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(共22張PPT)
1.4.1單位圓與任意角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)定義
北師大版（2019）必修第二冊
第一章 三角函數(shù)
學(xué)習(xí)目標(biāo)
已知角 α 終邊上的一點(diǎn)，會求sin α，cos α的值
02
借助單位圓理解并掌握任意角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義
01
情境導(dǎo)入
如果將水車邊緣看成一個(gè)圓，如何確定水車邊緣上的點(diǎn)呢？
水車又稱孔明車，是我國最古老的農(nóng)業(yè)灌溉工具，是先人們在征服世界的過程中創(chuàng)造出來的高超勞動技藝，是珍貴的歷史文化遺產(chǎn)．相傳，水車在漢靈帝時(shí)由畢嵐造出雛形，三國時(shí)經(jīng)孔明改造完善后在蜀國推廣使用，隋唐時(shí)廣泛用于農(nóng)業(yè)灌溉，至今已有1 700余年歷史．
可以建立直角坐標(biāo)系確定水車邊緣上的點(diǎn)．
知識回顧
在初中我們是如何定義銳角α的正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的？
如圖，
O
M
P
a
b
c
α
在直角△OPM中，sin α＝ ，cos α＝ ．
思考：在平面直角坐標(biāo)系中，銳角的終邊與單位圓交于點(diǎn)銳角的正弦值、余弦值與點(diǎn)坐標(biāo)有什么關(guān)系？
x
O
M
y
P(u,v)
1
α
這一結(jié)論能否推廣到α是任意角時(shí)的情形呢？
顯然，是由角唯一確定
過點(diǎn)作軸，垂足為，則
sin ， cos
定義
如圖，給定任意角α，作單位圓，角α的終邊與單位圓的交點(diǎn)為P(u，v)，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)v、橫坐標(biāo)u都是唯一確定的.在弧度意義下，對于α∈R，稱v＝sin α為任意角α的正弦函數(shù)，u＝cos α為任意角α的余弦函數(shù).
x
y
O
A(1，0)
P
α
M
例1 已知任意角α終邊上除原點(diǎn)外的一點(diǎn)Q(x，y)，求角α的正弦函數(shù)值、余弦函數(shù)值.
解：先考慮角α的終邊不在坐標(biāo)軸上的情況，設(shè)角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(如圖)，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(cos α，sin α)，且OP＝1.
點(diǎn)Q(x，y)在角α的終邊上，則OQ＝ .
x
y
O
P
α
Q
分別過點(diǎn)P，Q作x軸的垂線PM，QN垂足為M，N，
N
M
易知△POM∽△QON，所以 ，
即 ，
例1 已知任意角α終邊上除原點(diǎn)外的一點(diǎn)Q(x，y)，求角α的正弦函數(shù)值、余弦函數(shù)值.
x
y
O
P
α
Q
N
M
因?yàn)辄c(diǎn)P和點(diǎn)Q在同一象限，所以sin α和y的符號相同，
當(dāng)角α的終邊在坐標(biāo)軸上時(shí)，容易驗(yàn)證上述等式仍然成立.
同理 .
于是得到 ，
r
利用角的終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)定義正弦函數(shù)、余弦函數(shù)
如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè) α 是一個(gè)任意角，角 α 終邊上除原點(diǎn)外的一點(diǎn)Q(x，y)，則
比值 叫作角 的正弦函數(shù)值，記作sin ，即sin ；
比值 叫作角 的余弦函數(shù)值，記作cos ，即cos ；
其中
(1)sin α，cos α是一個(gè)整體符號，代表角的一種比值，不能將它們分離開來，單獨(dú)的“sin”毫無意義，也不能把“sin α”當(dāng)成“sin”與“α”的乘積.
知識剖析
(2)對任意一個(gè)給定的角 α，它只有一條終邊，從而終邊與單位圓只有一個(gè)交點(diǎn)，所以它對應(yīng)的正弦值和余弦值都是唯一確定的.
設(shè)角α終邊上除原點(diǎn)外的一點(diǎn)Q(x，y)，則
sin
cos
r
(3)三角函數(shù)值只與角 α 的終邊所在的位置有關(guān)，與點(diǎn)Q在終邊上的位置無關(guān).
例2 在單位圓中，
（1）畫出角α；
（2）求角α的正弦函數(shù)值和余弦函數(shù)值.
解：（1）如圖以原點(diǎn)為角的頂點(diǎn)，以 x 軸的非負(fù)半軸為始邊，
順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，與單位圓交于點(diǎn)P，
過點(diǎn)P作x軸的垂線交x軸于點(diǎn)M，
于是即為所作的角.
x
y
O
P
α
M
例2 在單位圓中，
（1）畫出角α；
（2）求角α的正弦函數(shù)值和余弦函數(shù)值.
解：（2）設(shè)點(diǎn)P(u，v)，則u
x
y
O
P(u,v)
α
M
所以sin
思考交流：在單位圓中，畫出下列各特殊角，求各角終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)(u，v)，并將各特殊角的正弦函數(shù)值，余弦函數(shù)值填入下表.
α 0
sin
cos
0
1
1
0
思考交流：在單位圓中，畫出下列各特殊角，求各角終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)(u，v)，并將各特殊角的正弦函數(shù)值，余弦函數(shù)值填入下表.
α π 2π
sin
cos
0
－1
0
0
1
－1
觀察此表格中的數(shù)據(jù)，你能發(fā)現(xiàn)函數(shù)sin 和cos的變化有什么特點(diǎn)嗎？
由上表可知，函數(shù)sin
cos在[0, 2π]上不是單調(diào)函數(shù)，函數(shù)sin 在[0, ]，[, 2π]上單調(diào)遞增，在[, ]上單調(diào)遞減；函數(shù)cos在[0, π]上單調(diào)遞減，在[π, 2π]上單調(diào)遞增
當(dāng)堂檢測
B
A
ABD
AB
感謝您的聆聽與指導(dǎo)
General template of fresh teaching
授課人：一一

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