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第一章 數(shù)與式
第02講 整式與因式分解
01考情透視·目標(biāo)
中考考點 考查頻率 新課標(biāo)要求
列代數(shù)式 ★ 能分析具體問題中的簡單數(shù)量關(guān)系，并用代數(shù)式表示
代數(shù)式求值 ★★ 將具體數(shù)代入代數(shù)式進行計算
整式的加減 ★★ 1． 了解整數(shù)指數(shù)罪的意義和基本性質(zhì)；2． 理解整式的概念，掌握合并同類項和去括號的法則； 3． 能進行簡單的整式加減乘除運算； 4． 理解乘法公式，了解公式的幾何背景，能利用公式進行簡單的計算和推理； 5．靈活運用多種方法化簡代數(shù)式．
冪的運算 ★★
整式的乘除 ★★
整式的混合運算 ★★★
因式分解 ★★★ 能用提公因式法、公式法（直接利用公或不超過二次）進行因式分解（指數(shù)為正整數(shù)）．
【考情分析】本專題包含整式的概念、整式的運算及因式分解，是中考的必考內(nèi)容，試題形式多樣，難度不大，乘法公式的靈活運用是整式運算中的重要內(nèi)容，同時在整式的化簡求值及因式分解中也都有所體現(xiàn)．整式求值計算中經(jīng)常用到整體代入法，在應(yīng)用的過程中注意觀察已知與所求間的關(guān)系，因式分解一般以填空題的形式出現(xiàn)，注意分解要徹底．
02知識導(dǎo)圖·思
03考點突破·考
考點一 代數(shù)式
1． 列代數(shù)式
定義：把問題中與數(shù)量有關(guān)的詞語，用含有數(shù)、字母和運算符號的式子表示出來，這就是列代數(shù)式．
代數(shù)式的書寫要求：
1）數(shù)字與字母、字母與字母相乘，通常把乘號寫成“·”或省略不寫；數(shù)與數(shù)相乘必須寫乘號．
2）字母與數(shù)字相乘時，通常把數(shù)字寫在字母的前面；如果字母前面的數(shù)字是1或-1時，通常省略不寫．
3）除法可寫成分?jǐn)?shù)形式，帶分?jǐn)?shù)與字母相乘需把代分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)．
4）若代數(shù)式的最后結(jié)果含有加、減運算，則要將整個式子用括號括起來，再寫單位．
2． 代數(shù)式的值
定義：根據(jù)問題的需要，用具體數(shù)值代替代數(shù)式中的字母，計算所得的結(jié)果叫做代數(shù)式的值．
求代數(shù)式的值的步驟：
1）代入：將指定的數(shù)值代替代數(shù)式里的字母，代入數(shù)值時，必須將相應(yīng)的字母換成數(shù)值，其他的運算符號、原來的數(shù)字和運算順序都不能改變，同時對原來省略的乘號要進行還原；
2）計算：按照代數(shù)式指定的運算關(guān)系計算出結(jié)果，運算時，要分清運算種類及運算順序，先乘方，再乘除，后加減，有括號要先算括號里面的．
（2024·四川廣安·中考真題）
1．下列對代數(shù)式的意義表述正確的是（ ）
A．與x的和 B．與x的差 C．與x的積 D．與x的商
（2024·廣東廣州·中考真題）
2．若，則 ．
（2023·吉林長春·中考真題）
3．2023長春馬拉松于5月21日在南嶺體育場鳴槍開跑，某同學(xué)參加了7.5公里健康跑項目，他從起點開始以平均每分鐘x公里的速度跑了10分鐘，此時他離健康跑終點的路程為 公里．（用含x的代數(shù)式表示）
（2024·廣東廣州·中考真題）
4．如圖，把，，三個電阻串聯(lián)起來，線路上的電流為，電壓為，則．當(dāng)，，，時，的值為 ．

（2024·四川雅安·中考真題）
5．如圖是1個紙杯和若干個疊放在一起的紙杯的示意圖，在探究紙杯疊放在一起后的總高度H與杯子數(shù)量n的變化規(guī)律的活動中，我們可以獲得以下數(shù)據(jù)（字母），請選用適當(dāng)?shù)淖帜副硎? ．
①杯子底部到杯沿底邊的高h；②杯口直徑D；③杯底直徑d；④杯沿高a．
考點二 整式的相關(guān)概念
1． 單項式
單項式的定義：由數(shù)字與字母、字母與字母的乘積組成的式子叫單項式．
單項式的系數(shù)：單項式中的數(shù)字因數(shù)叫做單項式的系數(shù)．
注意：圓周率π是常數(shù)，單項式中出現(xiàn)π時，應(yīng)看作系數(shù)，而不能當(dāng)成字母；
單項式的次數(shù)：一個單項式中，所有字母的指數(shù)和叫做這個單項式的次數(shù)．
注意：單項式的指數(shù)只和字母的指數(shù)有關(guān)，與系數(shù)的指數(shù)無關(guān)．
例如：單項式的次數(shù)是2＋3＋4=9而不是14．
2．多項式
多項式的定義：幾個單項式的和叫做多項式．
多項式的項：在多項式中，每個單項式叫做多項式的項，不含字母的項叫做常數(shù)項．
多項式的次數(shù)：一個多項式中次數(shù)最高的項的次數(shù)，叫做這個多項式的次數(shù)．
注意：1）多項式的次數(shù)不是所有項的次數(shù)之和，而是多項式中次數(shù)最高的單項式的次數(shù)；
2）一個多項式是幾次、有幾項就叫幾次幾項式，如是二次三項式．
升冪排列與降冪排列：把一個多項式按某一個字母的指數(shù)從大到小的順序排列起來，叫做把多項式按這個字母降冪排列；若按某一個字母的指數(shù)從小到大的順序排列起來，叫做把多項式按這個字母升冪排列．
3．整式
定義：單項式與多項式統(tǒng)稱為整式．
（2024·江西·中考真題）
6．觀察a，，，，…，根據(jù)這些式子的變化規(guī)律，可得第100個式子為 ．
（2024·吉林長春·中考真題）
7．單項式的次數(shù)是 ．
（2024·山東濟寧·中考真題）
8．如圖，用大小相等的小正方形按照一定規(guī)律拼正方形．第一幅圖有1個正方形，第二幅圖有5個正方形，第三幅圖有14個正方形……按照此規(guī)律，第六幅圖中正方形的個數(shù)為（ ）
A．90 B．91 C．92 D．93
（2024·山東濰坊·中考真題）
9．將連續(xù)的正整數(shù)排成如圖所示的數(shù)表．記為數(shù)表中第行第列位置的數(shù)字，如，，．若，則 ， ．
（2023·湖北恩施·中考真題）
10．觀察下列兩行數(shù)，探究第②行數(shù)與第①行數(shù)的關(guān)系：
，4，，16，，64，……①
0，7，，21，，71，……②
根據(jù)你的發(fā)現(xiàn)，完成填空：第①行數(shù)的第10個數(shù)為 ；取每行數(shù)的第2023個數(shù)，則這兩個數(shù)的和為 ．
考點三 整式的運算
1． 同類項
定義：所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也相同的項叫做同類項．
判斷同類項的標(biāo)準(zhǔn)：一是所含字母相同；二是相同字母的指數(shù)也相同，缺一不可．
2． 合并同類項
定義：把多項式中的同類項合并成一項，叫做合并同類項．
法則：同類項的系數(shù)相加，所得的結(jié)果作為系數(shù)，字母與字母的指數(shù)不變．（簡稱：一相加兩不變）
3． 去括號與添括號
添（去）括號法則：括號外是“+”，添（去）括號不變號；括號外是“-”，添（去）括號都變號．
【補充】去括號和添括號是兩種相反的變形，因此可以相互檢驗正誤．
4． 整式的加減
運算法則：一般地，幾個整式相加減，如果有括號就先去括號，然后再合并同類項．
【補充說明】整式加減實際上就是：去括號、合并同類項；
5． 冪的運算
冪的運算法則中底數(shù)a的規(guī)定：底數(shù)a可以是單項式，也可以是多項式．
1）同底數(shù)冪相乘底數(shù)不變，指數(shù)相加，即（m，n都是整數(shù)）
2）冪的乘方底數(shù)不變，指數(shù)相乘，即（m，n都是整數(shù)）
注意：冪的乘方法則的條件是“冪”的乘方，結(jié)論是“底數(shù)不變，指數(shù)相乘”．這里的“底數(shù)不變”是指“冪”的底數(shù)“a”不變．例如：，其中，“冪”的底數(shù)是“a”，而不是“”，指數(shù)相乘是指“3×2”．
3）積的乘方積的乘方等于把每一個因式分別乘方，再把所得的積相乘，即（n為整數(shù)）
4）同底數(shù)冪的除法底數(shù)不變，指數(shù)相減，即（a≠0，m，n都為整數(shù)）
5）零指數(shù)冪
任何不等于0的數(shù)的0次冪都等于1，即（a≠0）．
6． 整式的乘除
1）單項式乘單項式運算法則：單項式與單項式相乘，把它們的系數(shù)，相同字母分別相乘，對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它們的指數(shù)作為積的一個因式．
實質(zhì)：乘法的交換律和同底數(shù)冪的乘法法則的綜合應(yīng)用．
2）單項式乘多項式運算法則：單項式與多項式相乘，就是用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加，即．
實質(zhì)：利用乘法的分配律將單項式乘多項式轉(zhuǎn)化為單項式乘單項式．
3）多項式乘多項式運算法則：多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加．即．
【易錯易混】
①相乘時，按一定的順序進行，必須做到不重不漏；
②多項式與多項式相乘，多項式的每一項都應(yīng)該帶上它前面的正負(fù)號．且結(jié)果仍是多項式，在合并同類項之前，積的項數(shù)應(yīng)等于原多項式的項數(shù)之積．
4）單項式除以單項式運算法則：一般地，單項式相除，把系數(shù)與同底數(shù)冪分別相除作為商的因式，對于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個因式．
5）多項式除以單項式
運算法則：一般地，多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項除以這個單項式，再把所得的商相加．
實質(zhì)：把多項式除以單項式轉(zhuǎn)化為單項式除以單項式．
7． 乘法公式
1）平方差公式
平方差公式：兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積，等于這兩個數(shù)的平方差．即：
特點：等號左邊是兩個二項式相乘，這兩個二項式中有一項完全相同，另一項互為相反數(shù)；等號右邊是一個二項式，這個二項式是左邊兩個二項式中相同項與相反項的平方差．
2）平方差公式的推導(dǎo)
①用多項式的乘法推導(dǎo)平方差公式
②通過面積法推導(dǎo)平方差公式：
如圖1所示，左側(cè)涂色部分的面積為，右側(cè)涂色部分的面積為，所以可以得到．
【補充】常見驗證平方差公式的幾何圖形
3）完全平方公式
完全平方公式：兩個數(shù)的和（或差）的平方等于這兩數(shù)的平方和加上（或減去）這兩數(shù)乘積的兩倍．即．
特點：左邊是兩數(shù)的和（或差）的平方，右邊是二次三項式，是這兩數(shù)的平方和加（或減）這兩數(shù)之積的2倍．
口訣：首平方，尾平方，二倍乘積放中央，中間符號同前方．
完全平方式的常見變形（①-⑤基礎(chǔ)必須掌握）：
① ②
③ ④ ⑤
4）完全平方公式的推導(dǎo)
①用多項式的乘法推導(dǎo)完全平方公式：
②通過面積法推導(dǎo)完全平方公式：
①如圖甲所示是一個邊長為a+b的正方形，面積為，它的面積還可以看成是由兩個小正方形與兩個長方形的和，即，所以可以得到；
②如圖乙所示，邊長為a-b的小正方形的面積是，它的面積還可以看成是由大的正方形面積減去兩個小的長方形面積，即，所以可以得到．
8．整式的混合運算
定義：含有整式的加減、乘除及乘方的多種運算叫做整式的混合運算．
運算順序： 先乘方，再乘除，后加減，有括號時，先算括號里的，去括號時，先去小括號，再去中括號，最后去大括號．
（2024·山東泰安·中考真題）
11．下列運算正確的是（ ）
A． B．
C． D．
（2024·河北·中考真題）
12．若a，b是正整數(shù)，且滿足，則a與b的關(guān)系正確的是（ ）
A． B． C． D．
（2024·四川德陽·中考真題）
13．若一個多項式加上，結(jié)果是，則這個多項式為 ．
（2023·江蘇南京·中考真題）
14．計算的結(jié)果是 ．
（2024·甘肅·中考真題）
15．先化簡，再求值：，其中，．
考點四 因式分解
1． 因式分解
定義：把一個多項式化成幾個整式的積的形式，叫做把這個多項式因式分解，也叫做把這個多項式分解因式．
【補充說明】
1）因式分解分解對象是多項式，分解結(jié)果必須是積的形式，且積的因式必須是整式，這三個要素缺一不可．
2）要把一個多項式分解到每一個因式不能再分解為止．
3）因式分解和整式乘法是互逆的運算，二者不能混淆．因式分解是一種恒等變形，而整式乘法是一種運算，且因式分解是把和差化為積的形式，而整式乘法是把積化為和差的形式．
2． 公因式
定義：多項式的各項中都含有相同的因式，我們把這個相同的因式就叫做公因式．
注意：公因式可以是一個單項式，也可以是一個多項式．
3． 提公因式法分解因式
定義：如果多項式的各項含有公因式，那么就可以把這個公因式提到括號外，將多項式寫成公因式與另一個多項式的乘積的形式，這種因式分解的方法叫提公因式法，即：．
實質(zhì)：乘法分配律的逆用．
關(guān)鍵：準(zhǔn)確找出多項式各項的公因式．
4． 公因式法分解因式
定義：運用平方差公式、完全平方公式將一個多項式分解因式的方法叫作公式法．
逆用平方差法分解因式：
逆用完全平方公式分解因式：
5．因式分解的一般步驟：
（2023·四川攀枝花·中考真題）
16．以下因式分解正確的是（ ）
A． B．
C． D．
（2023·河北·中考真題）
17．若k為任意整數(shù)，則的值總能（ ）
A．被2整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被7整除
（2024·山東淄博·中考真題）
18．若多項式能用完全平方公式因式分解，則的值是 ．
（2024·內(nèi)蒙古通遼·中考真題）
19．因式分解 ．
（2024·江蘇徐州·中考真題）
20．若，，則代數(shù)式的值是 ．
（2023·四川內(nèi)江·中考真題）
21．在中，的對邊分別為a、b、c，且滿足，則的值為 ．
4題型精研·考
命題點一 整式及其相關(guān)計算
題型01 實際問題中的代數(shù)式．
代數(shù)式的書寫要求：
1）數(shù)字與字母、字母與字母相乘，通常把乘號寫成“·”或省略不寫；數(shù)與數(shù)相乘必須寫乘號．
2）字母與數(shù)字相乘時，通常把數(shù)字寫在字母的前面；如果字母前面的數(shù)字是1或-1時，通常省略不寫．
3）除法可寫成分?jǐn)?shù)形式，帶分?jǐn)?shù)與字母相乘需把代分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)．
4）若代數(shù)式的最后結(jié)果含有加、減運算，則要將整個式子用括號括起來，再寫單位．
（2022·湖南長沙·中考真題）
22．為落實“雙減”政策，某校利用課后服務(wù)開展了主題為“書香滿校園”的讀書活動．現(xiàn)需購買甲，乙兩種讀本共100本供學(xué)生閱讀，其中甲種讀本的單價為10元/本，乙種讀本的單價為8元/本，設(shè)購買甲種讀本x本，則購買乙種讀本的費用為（ ）
A．元 B．元 C．元 D．元
（2023·江蘇·中考真題）
23．若圓柱的底面半徑和高均為，則它的體積是 （用含的代數(shù)式表示）．
（2022·河北·中考真題）
24．如圖，棋盤旁有甲、乙兩個圍棋盒．
（1）甲盒中都是黑子，共10個，乙盒中都是白子，共8個，嘉嘉從甲盒拿出a個黑子放入乙盒，使乙盒棋子總數(shù)是甲盒所剩棋子數(shù)的2倍，則a＝ ；
（2）設(shè)甲盒中都是黑子，共個，乙盒中都是白子，共2m個，嘉嘉從甲盒拿出個黑子放入乙盒中，此時乙盒棋子總數(shù)比甲盒所剩棋子數(shù)多 個；接下來，嘉嘉又從乙盒拿回a個棋子放到甲盒，其中含有個白子，此時乙盒中有y個黑子，則的值為 ．
（2023·山東臨沂·中考真題）
25．大學(xué)生小敏參加暑期實習(xí)活動，與公司約定一個月（30天）的報酬是M型平板電腦一臺和1500元現(xiàn)金，當(dāng)她工作滿20天后因故結(jié)束實習(xí)，結(jié)算工資時公司給了她一臺該型平板電腦和300元現(xiàn)金．
(1)這臺M型平板電腦價值多少元？
(2)小敏若工作m天，將上述工資支付標(biāo)準(zhǔn)折算為現(xiàn)金，她應(yīng)獲得多少報酬（用含m的代數(shù)式表示）？
題型02 求代數(shù)式的值．
求代數(shù)式的值的步驟：
1）代入：將指定的數(shù)值代替代數(shù)式里的字母，代入數(shù)值時，必須將相應(yīng)的字母換成數(shù)值，其他的運算符號、原來的數(shù)字和運算順序都不能改變，同時對原來省略的乘號要進行還原；
2）計算：按照代數(shù)式指定的運算關(guān)系計算出結(jié)果，運算時，要分清運算種類及運算順序，先乘方，再乘除，后加減，有括號要先算括號里面的．
（2024·四川·中考真題）
26．已知，那么的值是 ．
（2024·江蘇徐州·中考真題）
27．若，，則代數(shù)式的值是 ．
（2024·山東濟寧·中考真題）
28．已知，則的值是 ．
（2023·湖北隨州·中考真題）
29．已知關(guān)于x的一元二次方程的兩個實數(shù)根分別為和，則的值為 ．
題型03 整式的加減
（2024·甘肅蘭州·中考真題）
30．計算：（ ）
A．a(chǎn) B． C． D．
（2024·四川廣元·中考真題）
31．如果單項式與單項式的和仍是一個單項式，則在平面直角坐標(biāo)系中點在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
（2023·湖北宜昌·中考真題）
32．在日歷上，某些數(shù)滿足一定的規(guī)律．如圖是某年8月份的日歷，任意選擇其中所示的含4個數(shù)字的方框部分，設(shè)右上角的數(shù)字為a，則下列敘述中正確的是（ ）．
日 一 二 三 四 五 六
1 2 3 4
5 6 7 8 9 10 11
12 13 14 15 16 17 18
19 20 21 22 23 24 25
26 27 28 29 30 31
A．左上角的數(shù)字為 B．左下角的數(shù)字為
C．右下角的數(shù)字為 D．方框中4個位置的數(shù)相加，結(jié)果是4的倍數(shù)
（2023·河北·中考真題）
33．現(xiàn)有甲、乙、丙三種矩形卡片各若干張，卡片的邊長如圖1所示．某同學(xué)分別用6張卡片拼出了兩個矩形(不重疊無縫隙)，如圖2和圖3，其面積分別為．
(1)請用含a的式子分別表示；當(dāng)時，求的值；
(2)比較與的大小，并說明理由．
題型04 冪的混合運算
計算時可能用到以下公式：
1） 2） 3）
4） 5）
【注意】同底數(shù)冪的運算法則只適用于同底數(shù)冪的乘除，當(dāng)?shù)讛?shù)不同時要看能否化成同底數(shù)，若不能則不能用同底數(shù)冪的運算法則進行計算．
（2024·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）
34．下列運算中，結(jié)果正確的是（ ）
A． B． C． D．
（2024·山西·中考真題）
35．下列各式中，運算結(jié)果為的是（ ）
A． B． C． D．
（2024·上海·中考真題）
36．計算： ．
（2024·天津·中考真題）
37．計算的結(jié)果為 ．
題型05 整式的乘除
整式的乘除法
單項式×單項式例： 系數(shù)相乘，字母相乘
單項式×多項式例： 利用乘法分配律，化為單項式×單項式
多項式×多項式例： 1．要按一定順序進行，注意做到不重不漏，確定積中每項的符號時，按“同號得正，異號得負(fù)”的法則確定．2．多項式與多項式相乘，仍得多項式，有同類項時要合并同類項．
單項式÷單項式例： 運算順序：首先將系數(shù)相除，然后將同底數(shù)冪相除，最后將被除式中單獨有的字母連同它的指數(shù)一起作為商的一個因式，系數(shù)相除時要注意先確定商的符號．
多項式÷單項式例： 1．多項式除以單項式所得商的項數(shù)與多項式的項數(shù)一致，在計算時不要漏項；2．計算時，多項式的各項要包括它前面的符號，注意符號的變化．
（2024·西藏·中考真題）
38．下列運算正確的是（ ）
A． B．
C． D．
（2024·四川德陽·中考真題）
39．下列計算正確的是（ ）
A． B．
C． D．
（2023·山東青島·中考真題）
40．計算： ．
（2024·重慶·中考真題）
41．計算：
(1)；
(2)．
題型06 乘法公式的應(yīng)用
（2023·四川攀枝花·中考真題）
42．我們可以利用圖形中的面積關(guān)系來解釋很多代數(shù)恒等式．給出以下4組圖形及相應(yīng)的代數(shù)恒等式：
① ②
③ ④
其中，圖形的面積關(guān)系能正確解釋相應(yīng)的代數(shù)恒等式的有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
（2023·內(nèi)蒙古赤峰·中考真題）
43．已知，則的值是（ ）
A．6 B． C． D．4
（2024·四川樂山·中考真題）
44．已知，，則 ．
（2023·浙江·中考真題）
45．如圖，分別以為邊長作正方形，已知且滿足，．

（1）若，則圖1陰影部分的面積是 ；
（2）若圖1陰影部分的面積為，圖2四邊形的面積為，則圖2陰影部分的面積是 ．
（2023·四川成都·中考真題）
46．定義：如果一個正整數(shù)能表示為兩個正整數(shù)，的平方差，且，則稱這個正整數(shù)為“智慧優(yōu)數(shù)”．例如，，16就是一個智慧優(yōu)數(shù)，可以利用進行研究．若將智慧優(yōu)數(shù)從小到大排列，則第3個智慧優(yōu)數(shù)是 ；第23個智慧優(yōu)數(shù)是 ．
題型07 整式的化簡求值
一般這類題會利用整體代入法/間接代入法求值，
[整體代入法]從題中條件中不易直接得到某個字母的具體值，可以將原式化為已知條件中字母間的關(guān)系，然后將某個式子的值作為一個整體代入計算．
[間接代入法] 將已知的代數(shù)式化簡后，再將已知字母的值代入化簡后的代數(shù)式中計算求值．
[賦值法]給未知數(shù)賦予一些特殊值，將其代入等式中，得到所求代數(shù)式的形式，從而求出代數(shù)式的值．一般情況下，多是代入-1、0、1這三個值．
（2024·四川成都·中考真題）
47．若，為實數(shù)，且，則的值為 ．
（2023·遼寧沈陽·中考真題）
48．當(dāng)時，代數(shù)式的值為 ．
（2024·山東德州·中考真題）
49．已知a和b是方程的兩個解，則的值為 ．
（2023·四川涼山·中考真題）
50．已知，則的值等于 ．
（2023·四川涼山·中考真題）
51．先化簡，再求值：，其中，．
（2024·北京·中考真題）
52．已知，求代數(shù)式的值.
題型08 整式的混合運算
（2022·江蘇無錫·中考真題）
53．計算：
(1)；
(2)．
（2023·甘肅蘭州·中考真題）
54．計算：．
（2022·重慶·中考真題）
55．若一個四位數(shù)的個位數(shù)字與十位數(shù)字的平方和恰好是去掉個位與十位數(shù)字后得到的兩位數(shù)，則這個四位數(shù)為“勾股和數(shù)”．
例如：，∵，∴2543是“勾股和數(shù)”；
又如：，∵，，∴4325不是“勾股和數(shù)”．
(1)判斷2022，5055是否是“勾股和數(shù)”，并說明理由；
(2)一個“勾股和數(shù)”的千位數(shù)字為，百位數(shù)字為，十位數(shù)字為，個位數(shù)字為，記，．當(dāng)，均是整數(shù)時，求出所有滿足條件的．
題型09 判斷因式分解的正誤
（2023·山東·中考真題）
56．下列各式從左到右的變形，因式分解正確的是（ ）
A． B．
C． D．
（2023·湖南益陽·中考真題）
57．下列因式分解正確的是（ ）
A． B．
C． D．
（2024·河北秦皇島·一模）
58．對于①，②，從左到右的變形，表述正確的是（ ）
A．都是因式分解 B．都是乘法運算
C．①是因式分解，②是乘法運算 D．①是乘法運算，②是因式分解
（2024·河北邯鄲·模擬預(yù)測）
59．將多項式“”因式分解，結(jié)果為，則“？”是（ ）
A．3 B． C．9 D．
題型10 因式分解
（2024·山東淄博·中考真題）
60．若多項式能用完全平方公式因式分解，則的值是 ．
（2023·浙江嘉興·中考真題）
61．一個多項式，把它因式分解后有一個因式為，請你寫出一個符合條件的多項式： ．
（2024·山東威海·中考真題）
62．因式分解： ．
（2023·黑龍江綏化·中考真題）
63．因式分解： ．
題型11 因式分解的應(yīng)用
（2023·河北·中考真題）
64．若k為任意整數(shù)，則的值總能（ ）
A．被2整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被7整除
（2023·湖南·中考真題）
65．已知實數(shù)m、、滿足：．
①若，則 ．
②若m、、為正整數(shù)，則符合條件的有序?qū)崝?shù)對有 個
（2023·浙江嘉興·中考真題）
66．觀察下面的等式：
(1)寫出的結(jié)果．
(2)按上面的規(guī)律歸納出一個一般的結(jié)論（用含n的等式表示，n為正整數(shù)）
(3)請運用有關(guān)知識，推理說明這個結(jié)論是正確的．
（2024·福建·中考真題）
67．已知實數(shù)滿足．
(1)求證：為非負(fù)數(shù)；
(2)若均為奇數(shù)，是否可以都為整數(shù)？說明你的理由．
（2022·青海西寧·中考真題）
68．八年級課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：
將因式分解．
【觀察】經(jīng)過小組合作交流，小明得到了如下的解決方法：
解法一：原式
解法二：原式
【感悟】對項數(shù)較多的多項式無法直接進行因式分解時，我們可以將多項式分為若干組，再利用提公因式法、公式法達到因式分解的目的，這就是因式分解的分組分解法．分組分解法在代數(shù)式的化簡、求值及方程、函數(shù)等學(xué)習(xí)中起著重要的作用．（溫馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解為止）
【類比】
(1)請用分組分解法將因式分解；
【挑戰(zhàn)】
(2)請用分組分解法將因式分解；
【應(yīng)用】
(3)“趙爽弦圖”是我國古代數(shù)學(xué)的驕傲，我們利用它驗證了勾股定理．如圖，“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形圍成的一個大正方形，中間是一個小正方形．若直角三角形的兩條直角邊長分別是a和，斜邊長是3，小正方形的面積是1．根據(jù)以上信息，先將因式分解，再求值．
命題點二 規(guī)律探索及新定義問題
題型01 圖形類規(guī)律探索
（2024·黑龍江牡丹江·中考真題）
69．如圖是由一些同樣大小的三角形按照一定規(guī)律所組成的圖形，第1個圖有4個三角形．第2個圖有7個三角形，第3個圖有10個三角形……按照此規(guī)律排列下去，第674個圖中三角形的個數(shù)是（ ）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
（2023·四川綿陽·中考真題）
70．如下圖，將形狀、大小完全相同的“●”和線段按照一定規(guī)律擺成以下圖形，第1幅圖形中“●”的個數(shù)為，第2幅圖形中“●”的個數(shù)為，第3幅圖形中“●”的個數(shù)為，…，以此類推，那么的值為（ ）

A． B． C． D．
（2024·四川涼山·中考真題）
71．閱讀下面材料，并解決相關(guān)問題：
下圖是一個三角點陣，從上向下數(shù)有無數(shù)多行，其中第一行有1個點，第二行有2個點……第行有個點……
容易發(fā)現(xiàn)，三角點陣中前4行的點數(shù)之和為10．
(1)探索：三角點陣中前8行的點數(shù)之和為_____，前15行的點數(shù)之和為______，那么，前行的點數(shù)之和為______
(2)體驗：三角點陣中前行的點數(shù)之和______（填“能”或“不能”）為500．
(3)運用：某廣場要擺放若干種造型的盆景，其中一種造型要用420盆同樣規(guī)格的花，按照第一排2盆，第二排4盆，第三排6盆……第排盆的規(guī)律擺放而成，則一共能擺放多少排？
（2023·安徽·中考真題）
72．【觀察思考】
【規(guī)律發(fā)現(xiàn)】
請用含的式子填空：
(1)第個圖案中“”的個數(shù)為 ；
(2)第個圖案中“★”的個數(shù)可表示為，第個圖案中“★”的個數(shù)可表示為，第個圖案中“★”的個數(shù)可表示為，第個圖案中“★”的個數(shù)可表示為，……，第個圖案中“★”的個數(shù)可表示為______________．
【規(guī)律應(yīng)用】
(3)結(jié)合圖案中“★”的排列方式及上述規(guī)律，求正整數(shù)，使得連續(xù)的正整數(shù)之和等于第個圖案中“”的個數(shù)的倍．
題型02 數(shù)字類規(guī)律探索
（2024·江蘇徐州·中考真題）
73．觀察下列各數(shù)：3、8、18、38、…，按此規(guī)律，第5～7個數(shù)可能為（ ）
A．48、58、68 B．58、78、98 C．76、156、316 D．78、158、318
（2024·四川德陽·中考真題）
74．將一組數(shù)，按以下方式進行排列：
則第八行左起第1個數(shù)是（ ）
A． B． C． D．
（2023·西藏·中考真題）
75．按一定規(guī)律排列的單項式：，，，，．則按此規(guī)律排列的第n個單項式為 ．（用含有n的代數(shù)式表示）
（2023·黑龍江大慶·中考真題）
76．1261年，我國宋朝數(shù)學(xué)家楊輝在其著作《詳解九章算法》中提到了如圖所示的數(shù)表，人們將這個數(shù)表稱為“楊輝三角”．
觀察“楊輝三角”與右側(cè)的等式圖，根據(jù)圖中各式的規(guī)律，展開的多項式中各項系數(shù)之和為 ．
題型03 數(shù)式中的新定義問題
解題方法：新定義運算的規(guī)律其實是這幾種規(guī)律當(dāng)中最為簡單的一種，因為其規(guī)律都是由題目給出的，想要找到其規(guī)律，需要從所給的條件當(dāng)中進行簡單的推論．這時候就考驗大家的觀察能力，以及對數(shù)字的敏感程度．
（2024·河北·中考真題）
77．“鋪地錦”是我國古代一種乘法運算方法，可將多位數(shù)乘法運算轉(zhuǎn)化為一位數(shù)乘法和簡單的加法運算．淇淇受其啟發(fā)，設(shè)計了如圖1所示的“表格算法”，圖1表示，運算結(jié)果為3036．圖2表示一個三位數(shù)與一個兩位數(shù)相乘，表格中部分?jǐn)?shù)據(jù)被墨跡覆蓋，根據(jù)圖2中現(xiàn)有數(shù)據(jù)進行推斷，正確的是（ ）
A．“20”左邊的數(shù)是16 B．“20”右邊的“□”表示5
C．運算結(jié)果小于6000 D．運算結(jié)果可以表示為
（2023·重慶·中考真題）
78．在多項式（其中中，對相鄰的兩個字母間任意添加絕對值符號，添加絕對值符號后仍只有減法運算，然后進行去絕對值運算，稱此為“絕對操作”．例如：，，．下列說法：
①存在“絕對操作”，使其運算結(jié)果與原多項式相等；
②不存在“絕對操作”，使其運算結(jié)果與原多項式之和為0；
③所有的“絕對操作”共有7種不同運算結(jié)果．
其中正確的個數(shù)是　　
A．0 B．1 C．2 D．3
（2023·四川廣安·中考真題）
79．定義一種新運算：對于兩個非零實數(shù)，．若，則的值是 ．
（2024·重慶·中考真題）
80．我們規(guī)定：若一個正整數(shù)能寫成，其中與都是兩位數(shù)，且與的十位數(shù)字相同，個位數(shù)字之和為，則稱為“方減數(shù)”，并把分解成的過程，稱為“方減分解”．例如：因為，與的十位數(shù)字相同，個位數(shù)字與的和為，所以是“方減數(shù)”，分解成的過程就是“方減分解”．按照這個規(guī)定，最小的“方減數(shù)”是 ．把一個“方減數(shù)”進行“方減分解”，即，將放在的左邊組成一個新的四位數(shù)，若除以余數(shù)為，且（為整數(shù)），則滿足條件的正整數(shù)為 ．
（2022·湖南長沙·中考真題）
81．當(dāng)今大數(shù)據(jù)時代，“二維碼”具有存儲量大．保密性強、追蹤性高等特點，它已被廣泛應(yīng)用于我們的日常生活中，尤其在全球“新冠”疫情防控期間，區(qū)區(qū)“二維碼”已經(jīng)展現(xiàn)出無窮威力．看似“碼碼相同”，實則“碼碼不同”．通常，一個“二維碼”由1000個大大小小的黑白小方格組成，其中小方格專門用做糾錯碼和其他用途的編碼，這相當(dāng)于1000個方格只有200個方格作為數(shù)據(jù)碼．根據(jù)相關(guān)數(shù)學(xué)知識，這200個方格可以生成個不同的數(shù)據(jù)二維碼，現(xiàn)有四名網(wǎng)友對的理解如下：
YYDS（永遠的神）：就是200個2相乘，它是一個非常非常大的數(shù)；
DDDD（懂的都懂）：等于；
JXND（覺醒年代）：的個位數(shù)字是6；
QGYW（強國有我）：我知道，所以我估計比大．
其中對的理解錯誤的網(wǎng)友是 （填寫網(wǎng)名字母代號）．
參考答案：
1．C
【分析】本題考查了代數(shù)式的意義，用語言表達代數(shù)式的意義，一定要理清代數(shù)式中含有的各種運算及其順序．根據(jù)中的運算關(guān)系解答即可．
【詳解】解：代數(shù)式的意義可以是與x的積．
故選C．
2．11
【分析】本題考查了已知字母的值求代數(shù)式的值，得出條件的等價形式是解題關(guān)鍵．
由，得，根據(jù)對求值式子進行變形，再代入可得答案．
【詳解】解：，
，
，
故答案為：11．
3．
【分析】根據(jù)題意列出代數(shù)式即可．
【詳解】根據(jù)題意可得，
他離健康跑終點的路程為．
故答案為：．
【點睛】此題考查了列代數(shù)式，解題的關(guān)鍵是讀懂題意．
4．220
【分析】本題考查了代數(shù)式求值，乘法運算律，掌握相關(guān)運算法則，正確計算是解題關(guān)鍵．根據(jù)，將數(shù)值代入計算即可．
【詳解】解：，
當(dāng)，，，時，
，
故答案為：220．
5．
【分析】本題考查的是列代數(shù)式，由總高度H等于杯子底部到杯沿底邊的高h加上n個杯子的杯沿高即可得到答案；
【詳解】解：由題意可得：，
故答案為：；
6．
【分析】此題考查了單項式規(guī)律探究．分別找出系數(shù)和次數(shù)的規(guī)律，據(jù)此判斷出第n個式子是多少即可．
【詳解】解：∵a，，，，…，
∴第n個單項式的系數(shù)是1；
∵第1個、第2個、第3個、第4個單項式的次數(shù)分別是1、2、3、4，…，
∴第n個式子是．
∴第100個式子是．
故答案為：．
7．
【分析】此題考查單項式有關(guān)概念，根據(jù)單項式次數(shù)的定義來求解，解題的關(guān)鍵是需靈活掌握單項式的系數(shù)和次數(shù)的定義，單項式中數(shù)字因數(shù)叫做單項式的系數(shù)，所有字母的指數(shù)和叫做這個單項式的次數(shù)．
【詳解】單項式的次數(shù)是：，
故答案為：．
8．B
【分析】本題主要考查了規(guī)律型問題，解題的關(guān)鍵是仔細觀察圖形并找到有關(guān)圖形個數(shù)的規(guī)律．仔細觀察圖形知道第1個圖形有1個正方形，第2個有個，第3個圖形有個，…由此得到規(guī)律求得第6個圖形中正方形的個數(shù)即可．
【詳解】第1個圖形有1個正方形，
第2個圖形有個正方形，
第3個圖形有個正方形，
……
第6個圖形有（個）正方形，
故選：B.
9． 45 2
【分析】本題考查了規(guī)律型：數(shù)字的變化類，解題的關(guān)鍵是找出規(guī)律：當(dāng)正整數(shù)為時，若為奇數(shù)，則在第行，第1列，下一個數(shù)再下一行，上一個數(shù)在第2列；若為偶數(shù)，則在第1行，第列，下一個數(shù)再下一列，上一個數(shù)在第2行．
【詳解】解：由圖中排布可知，當(dāng)正整數(shù)為時，
若為奇數(shù)，則在第行，第1列，下一個數(shù)再下一行，上一個數(shù)在第2列；
若為偶數(shù)，則在第1行，第列，下一個數(shù)再下一列，上一個數(shù)在第2行；
∵，
而，在第行，第1列，
∴2024在第行，第2列，
∴，，
故答案為：45，2．
10． 1024
【分析】通過觀察第一行數(shù)的規(guī)律為，第二行數(shù)的規(guī)律為，代入數(shù)據(jù)即可.
【詳解】第一行數(shù)的規(guī)律為，∴第①行數(shù)的第10個數(shù)為；
第二行數(shù)的規(guī)律為，
∴第①行數(shù)的第2023個數(shù)為，第②行數(shù)的第2023個數(shù)為，
∴，
故答案為：1024；．
【點睛】本題主要考查數(shù)字的變化，找其中的規(guī)律，是今年考試中常見的題型.
11．D
【分析】根據(jù)合并同類項法則、單項式除以單項式法則、平方差公式、積的乘方進行判斷即可求解．
【詳解】解：A、與不是同類項，不能合并同類項，故不符合題意；
B、，故不符合題意；
C、，故不符合題意；
D、，故符合題意；
故選：D．
【點睛】本題考查合并同類項法則、單項式除以單項式法則、平方差公式、積的乘方，熟練掌握相關(guān)運算法則是解題的關(guān)鍵．
12．A
【分析】本題考查了同底數(shù)冪的乘法，冪的乘方的運算的應(yīng)用，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵．
由題意得：，利用同底數(shù)冪的乘法，冪的乘方化簡即可．
【詳解】解：由題意得：，
∴，
∴，
故選：A．
13．
【分析】本題考查整式的加減運算，根據(jù)題意“一個多項式加上，結(jié)果是”，進行列出式子：，再去括號合并同類項即可．
【詳解】解：依題意這個多項式為
．
故答案為：
14．
【分析】本題考查了冪的乘方運算的逆用及積的乘方運算的逆用，根據(jù)冪的乘方運算的逆用及積的乘方運算的逆用進行運算，即可求得．
【詳解】解：
故答案為：．
15．，
【分析】本題主要考查了整式的化簡求值，先根據(jù)平方差公式和完全平方公式去小括號，然后合并同類項，再根據(jù)多項式除以單項式的計算法則化簡，最后代值計算即可．
【詳解】解：
，
當(dāng)，時，原式．
16．B
【分析】利用平方差公式，還可分解因式；利用十字相乘法，．
【詳解】解：；故A不正確，不符合題意．
；故B正確，符合題意．
；故C，D不正確，不符合題意．
故選：B．
【點睛】本題考查因式分解，靈活掌握因式分解的方法是本題的關(guān)鍵．
17．B
【分析】用平方差公式進行因式分解，得到乘積的形式，然后直接可以找到能被整除的數(shù)或式．
【詳解】解：
，
能被3整除，
∴的值總能被3整除，
故選：B．
【點睛】本題考查了平方差公式的應(yīng)用，平方差公式為通過因式分解，可以把多項式分解成若干個整式乘積的形式．
18．
【分析】此題考查了因式分解-運用公式法，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．利用完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征判斷即可確定出m的值．
【詳解】解：多項式能用完全平方公式因式分解，
，
，
故答案為：．
19．
【分析】先提公因式，再利用完全平方公式進行因式分解即可．
【詳解】解：原式；
故答案為：．
【點睛】本題考查因式分解．解題的關(guān)鍵是掌握因式分解的方法．
20．2
【分析】本題考查代數(shù)式求值．先將代數(shù)式進行因式分解，然后將條件代入即可求值．
【詳解】解：∵，，
，
故答案為：2．
21．##
【分析】由，可得，求解，證明，再利用正弦的定義求解即可．
【詳解】解：∵，
∴，
∴，
∴，，，
解得：，
∴，
∴，
∴，
故答案為：．
【點睛】本題考查的是利用完全平方公式分解因式，算術(shù)平方根，絕對值，偶次方的非負(fù)性，勾股定理的逆定理的應(yīng)用，銳角的正弦的含義，證明是解本題的關(guān)鍵．
22．C
【分析】根據(jù)題意列求得購買乙種讀本本，根據(jù)單價乘以數(shù)量即可求解．
【詳解】解：設(shè)購買甲種讀本x本，則購買乙種讀本本，乙種讀本的單價為8元/本，則則購買乙種讀本的費用為元
故選C
【點睛】本題考查了列代數(shù)式，理解題意是解題的關(guān)鍵．
23．
【詳解】根據(jù)圓柱的體積圓柱的底面積圓柱的高，可得
．
故答案為：．
【點睛】本題主要考查代數(shù)式和整式的乘法運算，牢記整式乘法的運算性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
24． 4 1
【分析】①用列表的方式，分別寫出甲乙變化前后的數(shù)量，最后按兩倍關(guān)系列方程，求解，即可
②用列表的方式，分別寫出甲乙每次變化后的數(shù)量，按要求計算寫出代數(shù)式，化簡，即可
③用列表的方式，分別寫出甲乙每次變化后的數(shù)量，算出移動的a個棋子中有x個白子，個黑子，再根據(jù)要求算出y，即可
【詳解】答題空1：
原甲：10 原乙：8
現(xiàn)甲：10-a 現(xiàn)乙：8+a
依題意：
解得：
故答案為：4
答題空2：
原甲：m 原乙：2m
現(xiàn)甲1：m-a 現(xiàn)乙1：2m+a
第一次變化后，乙比甲多：
故答案為：
答題空3：
原甲：m黑 原乙：2m白
現(xiàn)甲1：m黑-a黑 現(xiàn)乙1：2m白+a黑
現(xiàn)甲2：m黑-a黑+a混合 現(xiàn)乙2：2m白+a黑-a混合
第二次變化，變化的a個棋子中有x個白子，個黑子
則：
故答案為：1
【點睛】本題考查代數(shù)式的應(yīng)用；注意用表格梳理每次變化情況是簡單有效的方法
25．(1)這臺M型平板電腦的價值為元
(2)她應(yīng)獲得元的報酬
【分析】（1）設(shè)這臺M型平板電腦的價值為元，根據(jù)題意，列出方程進行求解即可；
（2）根據(jù)題意，列出代數(shù)式即可．
【詳解】（1）解：設(shè)這臺M型平板電腦的價值為元，由題意，得：
，
解得：；
∴這臺M型平板電腦的價值為元；
（2）解：由題意，得：；
答：她應(yīng)獲得元的報酬．
【點睛】本題考查一元一次方程的應(yīng)用．找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確的列出方程，是解題的關(guān)鍵．
26．1
【分析】把所求代數(shù)式進行適當(dāng)變形，然后整體代入求解即可．
【詳解】解：，
故答案為：1．
【點睛】本題考查的是求代數(shù)式的值，關(guān)鍵是利用整體思想把看成一個整體，然后把所求代數(shù)式進行變形求值即可．
27．2
【分析】本題考查代數(shù)式求值．先將代數(shù)式進行因式分解，然后將條件代入即可求值．
【詳解】解：∵，，
，
故答案為：2．
28．2
【分析】本題考查了代數(shù)式的求值，解題的關(guān)鍵是熟練掌握整體思想的運用．根據(jù)對已知條件進行變形得到，代入進而即可求解
【詳解】解：，
，
故答案為：2
29．
【分析】本題主要考查根與系數(shù)的關(guān)系，和是一元二次方程的兩根時，．先將方程化為一般式，再直接利用根與系數(shù)的關(guān)系，，再代入計算即可求解．
【詳解】解：由可得：，
∵關(guān)于x的一元二次方程的兩個實數(shù)根分別為和，
∴，，
∴．
故答案為：．
30．D
【分析】本題主要考查了整式的混合運算，先計算單項式乘以多項式，再合并同類項即可．
【詳解】解：
故選：D．
31．D
【分析】本題主要考查同類項和確定點的坐標(biāo)，根據(jù)同類項的性質(zhì)求出的值，再確定點的位置即可
【詳解】解：∵單項式與單項式的和仍是一個單項式，
∴單項式與單項式是同類項，
∴，
解得，，
∴點在第四象限，
故選：D
32．D
【分析】根據(jù)日歷中的數(shù)字規(guī)律：同一行中后面的數(shù)字比它前面的大1，同一列中上一行比下一行的大7，然后用含a的式子表示其余三個數(shù)，表達規(guī)律即可．
【詳解】解：日歷中的數(shù)字規(guī)律：同一行中后面的數(shù)字比它前面的大1，同一列中上一行比下一行的大7，
任意選擇其中所示的含4個數(shù)字的方框部分，設(shè)右上角的數(shù)字為a，則有：
左上角的數(shù)字為，故選項A錯誤，不符合題意；
左下角的數(shù)字為，故選項B錯誤，不符合題意；
右下角的數(shù)字為，故選項C錯誤，不符合題意；
把方框中4個位置的數(shù)相加，即：，結(jié)果是4的倍數(shù)，故選項D正確；
故選：D．
【點睛】本題考查整式的混合運算和列代數(shù)式，解題的關(guān)鍵是掌握整式相關(guān)運算的法則．
33．(1)，，當(dāng)時，
(2)，理由見解析
【分析】（1）根據(jù)題意求出三種矩形卡片的面積，從而得到，，將代入用a表示的等式中求值即可；
（2）利用（1）的結(jié)果，使用作差比較法比較即可．
【詳解】（1）解：依題意得，三種矩形卡片的面積分別為：，
∴，，
∴，
∴當(dāng)時，；
（2），理由如下：
∵，
∴
∵，
∴，
∴．
【點睛】本題考查列代數(shù)式，整式的加減，完全平方公式等知識，會根據(jù)題意列式和掌握做差比較法是解題的關(guān)鍵．
34．A
【分析】本題考查合并同類項、同底數(shù)冪的乘法、冪的乘方與積的乘方、同底數(shù)冪的除法，熟練掌握運算性質(zhì)和法則是解題的關(guān)鍵．根據(jù)合并同類項法則；同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加；冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘；同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減，對各選項分析判斷后利用排除法求解．
【詳解】解：、，故此選項符合題意；
、，故此選項不符合題意；
、，故此選項不符合題意；
、，故此選項不符合題意；
故選：．
35．C
【分析】本題考查了合并同類項，積的乘方，單項式除以單項式，單項式乘以單項式，根據(jù)合并同類項，積的乘方，單項式除以單項式，單項式乘以單項式法則逐項排除即可，熟練掌握運算法則是解題的關(guān)鍵．
【詳解】、與不可以合并，故不符合題意；
、，故不符合題意；
、，故符合題意；
、，故不符合題意；
故選：．
36．
【分析】本題考查了積的乘方以及冪的乘方，掌握相關(guān)運算法則是解題關(guān)鍵．先將因式分別乘方，再結(jié)合冪的乘方計算即可．
【詳解】解：，
故答案為：．
37．
【分析】本題考查同底數(shù)冪的除法，掌握同底數(shù)冪的除法，底數(shù)不變，指數(shù)相減是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：，
故答案為：．
38．C
【分析】根據(jù)合并同類項、單項式乘以多項式、冪的乘方與積的乘方、單項式乘以單項式的運算法則逐項判斷即可得出答案．
【詳解】解：A、，故原選項計算錯誤，不符合題意；
B、，故原選項計算錯誤，不符合題意；
C、，故原選項計算正確，符合題意；
D、，故原選項計算錯誤，不符合題意；
故選：C．
【點睛】本題考查了合并同類項、單項式乘以多項式、冪的乘方與積的乘方、單項式乘以單項式，熟練掌握運算法則是解此題的關(guān)鍵．
39．B
【分析】本題考查整式的運算，根據(jù)同底數(shù)冪的乘法，去括號，單項式乘以多項式，完全平方公式，逐一進行判斷即可．
【詳解】解：A、，原選項計算錯誤；
B、，原選項計算正確；
C、，原選項計算錯誤；
D、，原選項計算錯誤；
故選B．
40．
【分析】利用積的乘方及單項式除以單項式的法則進行計算即可．
【詳解】解：原式
，
故答案為：．
【點睛】本題考查整式的運算，熟練掌握相關(guān)運算法則是解題的關(guān)鍵．
41．(1)
(2)
【分析】本題主要考查了整式的混合計算，分式的混合計算∶
（1）先根據(jù)單項式乘以多項式的計算法則和多項式乘以多項式的計算法則去括號，然后合并同類項即可得到答案；
（2）先把小括號內(nèi)的式子通分，再把除法變成乘法后約分化簡即可得到答案．
【詳解】（1）解：
；
（2）解：
．
42．D
【分析】觀察各個圖形及相應(yīng)的代數(shù)恒等式即可得到答案．
【詳解】解：圖形的面積關(guān)系能正確解釋相應(yīng)的代數(shù)恒等式的有①②③④，
故選：．
【點睛】本題考查用圖形面積解釋代數(shù)恒等式，解題的關(guān)鍵是用兩種不同的方法表示同一個圖形的面積．
43．D
【分析】變形為，將變形為，然后整體代入求值即可．
【詳解】解：由得：，
∴
，
故選：D．
【點睛】本題主要考查了代數(shù)式求值，解題的關(guān)鍵是熟練掌握整式混合運算法則，將變形為．
44．
【分析】本題考查了完全平方公式的變形．熟練掌握完全平方公式的變形是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)，計算求解即可．
【詳解】解：由題意知，，
故答案為：．
45．
【分析】（1）根據(jù)正方形的面積公式進行計算即可求解；
（2）根據(jù)題意，解方程組得出，根據(jù)題意得出，進而得出，根據(jù)圖2陰影部分的面積為，代入進行計算即可求解．
【詳解】解：（1） ，圖1陰影部分的面積是，
故答案為：．
（2）∵圖1陰影部分的面積為3，圖2四邊形的面積為，
∴，，即
∴（負(fù)值舍去）
∵，．
解得：
∵①
∴，
∴，
∴②
聯(lián)立①②解得：（為負(fù)數(shù)舍去）或
∴，
圖2陰影部分的面積是
故答案為：．
【點睛】本題考查了整式的乘方與圖形的面積，正方形的性質(zhì)，勾股定理，二元一次方程組，解一元二次方程，正確的計算是解題的關(guān)鍵．
46．
【分析】根據(jù)新定義，列舉出前幾個智慧優(yōu)數(shù)，找到規(guī)律，進而即可求解．
【詳解】解：依題意， 當(dāng)，，則第1個一個智慧優(yōu)數(shù)為
當(dāng)，，則第2個智慧優(yōu)數(shù)為
當(dāng)，，則第3個智慧優(yōu)數(shù)為，
當(dāng)，，則第4個智慧優(yōu)數(shù)為，
當(dāng)，，則第5個智慧優(yōu)數(shù)為
當(dāng)，，則第6個智慧優(yōu)數(shù)為
當(dāng)，，則第7個智慧優(yōu)數(shù)為
……
時有4個智慧優(yōu)數(shù)，同理時有個，時有6個，
列表如下，
觀察表格可知當(dāng)時，時，智慧數(shù)為，
時，智慧數(shù)為，
，時，智慧數(shù)為，
，時，智慧數(shù)為，
第1至第10個智慧優(yōu)數(shù)分別為：，，，，，，，，，，
第11至第20個智慧優(yōu)數(shù)分別為：，，，，，，，，，，
第21個智慧優(yōu)數(shù)，第22個智慧優(yōu)數(shù)為，第23個智慧優(yōu)數(shù)為
故答案為：，．
【點睛】本題考查了新定義，平方差公式的應(yīng)用，找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
47．1
【分析】本題考查非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)平方式和算術(shù)平方數(shù)的非負(fù)數(shù)求得m、n值，進而代值求解即可．
【詳解】解：∵，
∴，，
解得，，
∴，
故答案為：1．
48．2
【分析】先將原式去括號，然后合并同類項可得，再把前兩項提取，然后把的值代入可得結(jié)果.
【詳解】解：
當(dāng)時，原式，
故答案為：．
【點睛】此題主要是考查了整式的化簡求值，能夠熟練運用去括號法則，合并同類項法則化簡是解題的關(guān)鍵.
49．2028
【分析】本題考查一元二次方程的解和根與系數(shù)關(guān)系、代數(shù)式求值，先根據(jù)方程的解滿足方程以及根與系數(shù)關(guān)系求得，，再代值求解即可．
【詳解】解：∵a和b是方程的兩個解，
∴，，
∴，
∴
，
故答案為：2028．
50．2023
【分析】把化為：代入降次，再把代入求值即可．
【詳解】解：由得：，，
，
故答案為：．
【點睛】本題考查的是代數(shù)式的求值，找到整體進行降次是解題的關(guān)鍵．
51．，
【分析】根據(jù)，，單項式乘以多項式法則進行展開，再加減運算，代值計算即可．
【詳解】解：原式
．
當(dāng)，時，
原式
．
【點睛】本題考查了化簡求值問題，完全平方公式、平方差公式，單項式乘以多項式法則，掌握公式及法則是解題的關(guān)鍵．
52．3
【分析】本題考查了分式的化簡求值，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵．
先利用完全平方公式和整式的加法，乘法對分母分子化簡，再對化簡得到，再整體代入求值即可．
【詳解】解：原式
，
∵，
∴，
∴原式．
53．(1)1
(2)2a+3b
【分析】（1）先化簡絕對值和計算乘方，并把特殊角的三角函數(shù)值代入，再計算乘法，最后算加減即可求解；
（2）先運用單項式乘以多項式法則和平方差公式計算，再合并同類項即可．
【詳解】（1）解：原式=
=
=1；
（2）解：原式=a2+2a-a2+b2-b2+3b
=2a+3b．
【點睛】本題考查實數(shù)混合運算，整式混合運算，熟練掌握實數(shù)運算法則和單項式乘以多項式法則，熟記特殊角的三角函數(shù)值、平方差公式是解題的關(guān)鍵．
54．
【分析】先計算平方差公式及單項式乘以多項式，然后計算加減法即可．
【詳解】解：
．
【點睛】題目主要考查整式的乘法運算及加減運算，熟練掌握運算法則是解題關(guān)鍵．
55．(1)2022不是“勾股和數(shù)”，5055是“勾股和數(shù)”；理由見解析
(2)8109或8190或4536或4563．
【分析】（1）根據(jù)“勾股和數(shù)”的定義進行驗證即可；
（2）由“勾股和數(shù)”的定義可得，根據(jù)，均是整數(shù)可得，為3的倍數(shù)，據(jù)此得出符合條件的c，d的值，然后即可確定出M．
【詳解】（1）解：2022不是“勾股和數(shù)”，5055是“勾股和數(shù)”；
理由：∵，，
∴1022不是“勾股和數(shù)”；
∵，
∴5055是“勾股和數(shù)”；
（2）∵為“勾股和數(shù)”，
∴，
∴，
∵為整數(shù)，
∴，
∵為整數(shù)，
∴為3的倍數(shù)，
∴①，或，，此時或8190；
②，或，，此時或4563，
綜上，M的值為8109或8190或4536或4563．
【點睛】本題以新定義為背景考查了整式混合運算的應(yīng)用以及學(xué)生應(yīng)用知識的能力，解題關(guān)鍵是要理解新定義，能根據(jù)條件找出合適的“勾股和數(shù)”．
56．C
【分析】根據(jù)因式分解的概念可進行排除選項．
【詳解】解：A、，屬于整式的乘法，故不符合題意；
B、，不符合幾個整式乘積的形式，不是因式分解；故不符合題意；
C、，屬于因式分解，故符合題意；
D、因為，所以因式分解錯誤，故不符合題意；
故選C．
【點睛】本題主要考查因式分解，熟練掌握因式分解的概念是解題的關(guān)鍵．
57．A
【分析】利用提公因式法，公式法對各項進行因式分解，即可求解．
【詳解】解：A、，故本選項正確，符合題意；
B、，故本選項錯誤，不符合題意；
C、，故本選項錯誤，不符合題意；
D、，故本選項錯誤，不符合題意；
故選：A
【點睛】本題主要考查了多項式的因式分解，熟練掌握多項式的因式分解方法——提公因式法、公式法、十字相乘法、分組分解法，并會結(jié)合多項式的特征，靈活選用合適的方法是解題的關(guān)鍵．
58．C
【分析】此題考查了因式分解和整式乘法的概念，熟練掌握有關(guān)概念是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)因式分解和整式乘法的有關(guān)概念，對式子進行判斷即可．
【詳解】解：①，從左向右的變形，將和的形式轉(zhuǎn)化為乘積的形式，為因式分解；
②，從左向右的變形，由乘積的形式轉(zhuǎn)化為和的形式，為乘法運算；
故選：C．
59．C
【分析】此題主要考查了平方差公式和因式分解，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平方差公式．利用平方差公式計算，根據(jù)對應(yīng)項相等即可求出答案．
【詳解】，
所以“？”是9．
故選C．
60．
【分析】此題考查了因式分解-運用公式法，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．利用完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征判斷即可確定出m的值．
【詳解】解：多項式能用完全平方公式因式分解，
，
，
故答案為：．
61．（答案不唯一）
【分析】根據(jù)平方差公式或完全平方公式等知識解答即可．
【詳解】解：∵，因式分解后有一個因式為，
∴這個多項式可以是（答案不唯一）；
故答案為：（答案不唯一）．
【點睛】本題考查了多項式的因式分解，熟練掌握分解因式的方法是解此題的關(guān)鍵．
62．
【分析】本題主要考查了用完全平方公式分解因式，先按照多項式乘以多項式展開，然后利用完全平方公式分解因式即可．
【詳解】解：
故答案為：．
63．
【分析】先分組，然后根據(jù)提公因式法，因式分解即可求解．
【詳解】解：，
故答案為：．
【點睛】本題考查了因式分解，熟練掌握因式分解的方法是解題的關(guān)鍵．
64．B
【分析】用平方差公式進行因式分解，得到乘積的形式，然后直接可以找到能被整除的數(shù)或式．
【詳解】解：
，
能被3整除，
∴的值總能被3整除，
故選：B．
【點睛】本題考查了平方差公式的應(yīng)用，平方差公式為通過因式分解，可以把多項式分解成若干個整式乘積的形式．
65．
【分析】①把代入求值即可；
②由題意知：均為整數(shù)， ，則再分三種情況討論即可．
【詳解】解：①當(dāng)時，，
解得：；
②當(dāng)m、、為正整數(shù)時，
均為整數(shù)，
而
或或，
或或，
當(dāng)時，時，；時，，
故為，共2個；
當(dāng)時，時，；時，，時，
故為，共3個；
當(dāng)時，時，；時，，
故為，共2個；
綜上所述：共有個．
故答案為：．
【點睛】本題考查了整式方程的代入求值、整式方程的整數(shù)解，因式分解的應(yīng)用，及分類討論的思想方法．本題的關(guān)鍵及難點是運用分類討論的思想方法解題．
66．(1)
(2)
(3)見解析
【分析】（1）根據(jù)題干的規(guī)律求解即可；
（2）根據(jù)題干的規(guī)律求解即可；
（3）將因式分解，展開化簡求解即可．
【詳解】（1）；
（2）；
（3）
．
【點睛】此題考查數(shù)字的變化規(guī)律，因式分解，整式乘法的混合運算，解題關(guān)鍵是通過觀察，分析、歸納發(fā)現(xiàn)其中的變化規(guī)律．
67．(1)證明見解析；
(2)不可能都為整數(shù)，理由見解析．
【分析】本小題考查整式的運算、因式分解、等式的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識：考查運算能力、推理能力、創(chuàng)新意識等，以及綜合應(yīng)用所學(xué)知識分析、解決問題的能力．
（1）根據(jù)題意得出，進而計算，根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，即可求解；
（2）分情況討論，①都為奇數(shù)；②為整數(shù)，且其中至少有一個為偶數(shù)，根據(jù)奇偶數(shù)的性質(zhì)結(jié)合已知條件分析即可．
【詳解】（1）解：因為，
所以．
則
．
因為是實數(shù)，所以，
所以為非負(fù)數(shù)．
（2）不可能都為整數(shù)．
理由如下：若都為整數(shù)，其可能情況有：①都為奇數(shù)；②為整數(shù)，且其中至少有一個為偶數(shù)．
①當(dāng)都為奇數(shù)時，則必為偶數(shù)．
又，所以．
因為為奇數(shù)，所以必為偶數(shù)，這與為奇數(shù)矛盾．
②當(dāng)為整數(shù)，且其中至少有一個為偶數(shù)時，則必為偶數(shù)．
又因為，所以．
因為為奇數(shù)，所以必為偶數(shù)，這與為奇數(shù)矛盾．
綜上所述，不可能都為整數(shù)．
68．(1)
(2)
(3)，9
【分析】（1）直接將前兩項和后兩項組合，利用平方差公式再提取公因式，進而分解因式即可；
（2）先分組，利用完全平方公式再提取公因式，進而分解因式即可；
（3）分組，先提取公因式，利用完全平方公式分解因式，再由勾股定理以及面積得到，，整體代入得出答案即可．
【詳解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
，
∴根據(jù)題意得，，
∴原式．
【點睛】此題主要考查了分組分解法以及、提取公因式法、公式法分解因式以及勾股定理的應(yīng)用，正確分組再運用公式法分解因式是解題關(guān)鍵．
69．B
【分析】此題考查了圖形的變化規(guī)律，解題的關(guān)鍵是根據(jù)圖形的排列，歸納出圖形的變化規(guī)律．根據(jù)前幾個圖形的變化發(fā)現(xiàn)規(guī)律，可用含n的代數(shù)式表示出第n個圖形中三角形的個數(shù)，從而可求第674個圖形中三角形的個數(shù)．
【詳解】解：第1個圖案有4個三角形，即，
第2個圖案有7個三角形，即，
第3個圖案有10個三角形，即，
…，
按此規(guī)律擺下去，第n個圖案有個三角形，
則第674個圖案中三角形的個數(shù)為：（個）．
故選：B．
70．C
【分析】首先根據(jù)圖形中“●”的個數(shù)得出數(shù)字變化規(guī)律，進而求解即可．
【詳解】解：，
，
，
，
…，
；
∴
，
故選∶C．
【點睛】此題考查圖形的變化規(guī)律，找出圖形之間的聯(lián)系，找出規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
71．(1)36；120；
(2)不能
(3)一共能擺放20排．
【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)圖形，總結(jié)規(guī)律，列式計算即可求解；
（2）根據(jù)前n行的點數(shù)和是500，即可得出關(guān)于n的一元二次方程，解之即可判斷；
（2）先得到前n行的點數(shù)和是，再根據(jù)題意得出關(guān)于n的一元二次方程，解之即可得出n的值．
【詳解】（1）解：三角點陣中前8行的點數(shù)之和為，
前15行的點數(shù)之和為，
那么，前行的點數(shù)之和為；
故答案為：36；120；；
（2）解：不能，
理由如下：
由題意得，
得，
，
∴此方程無正整數(shù)解，
所以三角點陣中前n行的點數(shù)和不能是500；
故答案為：不能；
（3）解：同理，前行的點數(shù)之和為，
由題意得，
得，即，
解得或（舍去），
∴一共能擺放20排．
72．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根據(jù)前幾個圖案的規(guī)律，即可求解；
（2）根據(jù)題意，結(jié)合圖形規(guī)律，即可求解．
（3）根據(jù)題意，列出一元二次方程，解方程即可求解．
【詳解】（1）
解：第1個圖案中有個，
第2個圖案中有個，
第3個圖案中有個，
第4個圖案中有個，
……
∴第個圖案中有個，
故答案為：．
（2）第1個圖案中“★”的個數(shù)可表示為，
第2個圖案中“★”的個數(shù)可表示為，
第3個圖案中“★”的個數(shù)可表示為，
第4個圖案中“★”的個數(shù)可表示為，……，
第n個圖案中“★”的個數(shù)可表示為，
（3）解：依題意，，
第個圖案中有個，
∴，
解得：（舍去）或．
【點睛】本題考查了圖形類規(guī)律，解一元二次方程，找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
73．D
【分析】本題主要考查了數(shù)字的變化規(guī)律，題目難度不大，通過觀察、分析、歸納并發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，并應(yīng)用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決問題是解答該題的關(guān)鍵．根據(jù)題意得出已知數(shù)組的規(guī)律得出結(jié)果即可
【詳解】解：∵，
，
，
∴第5個數(shù)為，
第6個數(shù)為，
第7個數(shù)為，
故選：D．
74．C
【分析】本題考查了數(shù)字類規(guī)律探索，正確歸納類推出一般規(guī)律是解題關(guān)鍵．求出第七行共有28個數(shù)，從而可得第八行左起第1個數(shù)是第29個數(shù)，據(jù)此求解即可得．
【詳解】解：由圖可知，第一行共有1個數(shù)，第二行共有2個數(shù)，第三行共有3個數(shù)，
歸納類推得：第七行共有個數(shù)，
則第八行左起第1個數(shù)是，
故選：C．
75．
【分析】根據(jù)系數(shù)和字母的次數(shù)與單項式的序號關(guān)系寫出即可．
【詳解】解：系數(shù)為，次數(shù)為1；
系數(shù)為，次數(shù)為2；
系數(shù)為，次數(shù)為3；
系數(shù)為，次數(shù)為4；
第n個單項式的系數(shù)可表示為：，字母a的次數(shù)可表示為：n，
∴第n個單項式為：．
【點睛】本題考查數(shù)字變化類規(guī)律探究，掌握單項式的系數(shù)和次數(shù)并發(fā)現(xiàn)其變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
76．
【分析】仿照閱讀材料中的方法將原式展開，即可得出結(jié)果．
【詳解】根據(jù)題意得：展開后系數(shù)為：，
系數(shù)和：，
展開后系數(shù)為：，
系數(shù)和：，
展開后系數(shù)為：，
系數(shù)和：，
故答案為：．
【點睛】此題考查了多項式的乘法運算，以及規(guī)律型：數(shù)字的變化類，解題的關(guān)鍵是弄清系數(shù)中的規(guī)律．
77．D
【分析】本題考查了整式的加法運算，整式的乘法運算，理解題意，正確的邏輯推理時解決本題的關(guān)鍵．
設(shè)一個三位數(shù)與一個兩位數(shù)分別為和，則，即，可確定時，則，由題意可判斷A、B選項，根據(jù)題意可得運算結(jié)果可以表示為：，故可判斷C、D選項．
【詳解】解：設(shè)一個三位數(shù)與一個兩位數(shù)分別為和
如圖：
則由題意得：
，
∴，即，
∴當(dāng)時，不是正整數(shù)，不符合題意，故舍；
當(dāng)時，則，如圖：
，
∴A、“20”左邊的數(shù)是，故本選項不符合題意；
B、“20”右邊的“□”表示4，故本選項不符合題意；
∴上面的數(shù)應(yīng)為，如圖：
∴運算結(jié)果可以表示為：，
∴D選項符合題意，
當(dāng)時，計算的結(jié)果大于6000，故C選項不符合題意，
故選：D．
78．C
【分析】根據(jù)給定的定義，舉出符合條件的說法①和②．說法③需要對絕對操作分析添加一個和兩個絕對值的情況，并將結(jié)果進行比較排除相等的結(jié)果，匯總得出答案．
【詳解】解：，故說法①正確．
若使其運算結(jié)果與原多項式之和為0，必須出現(xiàn)，顯然無論怎么添加絕對值，都無法使的符號為負(fù)，故說法②正確．
當(dāng)添加一個絕對值時，共有4種情況，分別是；；；．當(dāng)添加兩個絕對值時，共有3種情況，分別是；；．共有7種情況；
有兩對運算結(jié)果相同，故共有5種不同運算結(jié)果，故說法③不符合題意．
故選：C．
【點睛】本題考查新定義題型，根據(jù)多給的定義，舉出符合條件的代數(shù)式進行情況討論；
需要注意去絕對值時的符號，和所有結(jié)果可能的比較．主要考查絕對值計算和分類討論思想的應(yīng)用．
79．
【分析】先根據(jù)可得一個關(guān)于的等式，再根據(jù)新運算的定義代入計算即可得．
【詳解】解：，
，即，
，
故答案為：．
【點睛】本題考查了新定義下的實數(shù)運算、代數(shù)式求值，理解新運算的定義是解題關(guān)鍵．
80．
【分析】本題考查了新定義，設(shè)，則（，）根據(jù)最小的“方減數(shù)”可得，代入，即可求解；根據(jù)除以余數(shù)為，且（為整數(shù)），得出為整數(shù)，是完全平方數(shù)，在，，逐個檢驗計算，即可求解．
【詳解】設(shè)，則（，）
由題意得：，
∵，“方減數(shù)”最小，
∴，
則，，
∴，
則當(dāng)時，最小，為，
故答案為：；
設(shè)，則（，）
∴
∵除以余數(shù)為，
∴能被整除
∴為整數(shù)，
又（為整數(shù)）
∴是完全平方數(shù)，
∵，
∴最小為，最大為
即
設(shè)，為正整數(shù)，
則
當(dāng)時，，則，則是完全平方數(shù)，又，，無整數(shù)解，
當(dāng)時，，則,則是完全平方數(shù)，又，，無整數(shù)解，
當(dāng)時，，則，則是完全平方數(shù)，
經(jīng)檢驗，當(dāng)時，，，，
∴，
∴
故答案為：，．
81．DDDD
【分析】根據(jù)乘方的含義即可判斷YYDS（永遠的神）的理解是正確的；根據(jù)積的乘方的逆用，將化為，再與比較，即可判斷DDDD（懂的都懂）的理解是錯誤的；根據(jù)2的乘方的個位數(shù)字的規(guī)律即可判斷JXND（覺醒年代）的理解是正確的；根據(jù)積的乘方的逆用可得，即可判斷QGYW（強國有我）的理解是正確的．
【詳解】是200個2相乘，YYDS（永遠的神）的理解是正確的；
，DDDD（懂的都懂）的理解是錯誤的；
，
2的乘方的個位數(shù)字4個一循環(huán)，
，
的個位數(shù)字是6，JXND（覺醒年代）的理解是正確的；
，，且
，故QGYW（強國有我）的理解是正確的；
故答案為：DDDD．
【點睛】本題考查了乘方的含義，冪的乘方的逆用等，熟練掌握乘方的含義以及乘方的運算法則是解題的關(guān)鍵．

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