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第一章 數(shù)與式
第01講 實(shí)數(shù)及其運(yùn)算
中考考點(diǎn) 考查頻率 新課標(biāo)要求
實(shí)數(shù)的分類(lèi) ★★ 理解有理數(shù)、無(wú)理數(shù)的概念，知道實(shí)數(shù)是由有理數(shù)和無(wú)理數(shù)組成的
數(shù)軸、相反數(shù)、絕對(duì)值、倒數(shù) ★★★ 了解實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)；能用數(shù)軸上的點(diǎn)表示實(shí)數(shù)；能借助數(shù)軸理解相反數(shù)和絕對(duì)值的意義，會(huì)求實(shí)數(shù)的相反數(shù)和絕對(duì)值．
科學(xué)記數(shù)法 ★★ 會(huì)用科學(xué)記數(shù)法表示數(shù)
平方根、立方根 ★★ 了解平方根、算術(shù)平方根、立方根的概念，會(huì)用根號(hào)表示數(shù)的平方根、算術(shù)平方根、立方根；了解乘方與開(kāi)方互為逆運(yùn)算．
實(shí)數(shù)比較大小 ★★ 能用有理數(shù)估計(jì)一個(gè)無(wú)理數(shù)的大致范圍；能比較實(shí)數(shù)的大小．
實(shí)數(shù)的相關(guān)計(jì)算 ★★★ 理解乘方的意義；掌握有理數(shù)的加減、乘、除、乘方及簡(jiǎn)單的混合運(yùn)算（以三步以?xún)?nèi)為主）；理解有理數(shù)的運(yùn)算律，能運(yùn)用運(yùn)算律簡(jiǎn)化運(yùn)算．
【考情分析】實(shí)數(shù)是初中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)內(nèi)容，也是必考內(nèi)容，試題形式多樣，考查較多的是實(shí)數(shù)與數(shù)軸結(jié)合、實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算及科學(xué)記數(shù)法，試題難度都不大，在實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算中，注意符號(hào)和運(yùn)算順序是解題的關(guān)鍵，實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算涉及的知識(shí)點(diǎn)較多，包含去絕對(duì)值、非零數(shù)的0次冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪及特殊角的三角函數(shù)值等，每個(gè)知識(shí)點(diǎn)都要求準(zhǔn)確掌握．
考點(diǎn)一 實(shí)數(shù)的分類(lèi)
1． 正數(shù)與負(fù)數(shù)
正數(shù)：大于0的數(shù)叫做正數(shù)，如：0.5， ，+2等．
負(fù)數(shù)：小于0的數(shù)叫做負(fù)數(shù)．如：-0.5， ，-2，-（+1）等．
2．有理數(shù)及分類(lèi)
有理數(shù)：整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱(chēng)為有理數(shù)．（【實(shí)質(zhì)】可以寫(xiě)成形式的數(shù)，其中m，n為整數(shù)且m≠0）
【補(bǔ)充】有限小數(shù)和無(wú)限循環(huán)小數(shù)可以轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)，因此有限小數(shù)和無(wú)限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)．
例：0.53（分?jǐn)?shù)形式： ），1.333333…（分?jǐn)?shù)形式： ）， ，整數(shù)3（分?jǐn)?shù)形式： ）等．有理數(shù)分類(lèi)：
3． 無(wú)理數(shù)
無(wú)理數(shù)：無(wú)限不循環(huán)小數(shù)叫做無(wú)理數(shù)．
【補(bǔ)充】無(wú)限不循環(huán)小數(shù)不能化成分?jǐn)?shù)，因此無(wú)限不循環(huán)小數(shù)不是有理數(shù)．
常見(jiàn)的無(wú)理數(shù)：
1） 一般的無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，如0.43241…，7.6385661…等
2） 開(kāi)方開(kāi)不盡的數(shù)，如： 、等．
[易錯(cuò)]帶根號(hào)的數(shù)并不都是無(wú)理數(shù)，而開(kāi)方開(kāi)不盡的數(shù)才是無(wú)理數(shù)．
3）與圓周率π有關(guān)的數(shù)，如5π，3+π，等．
4）看似有規(guī)律循環(huán)實(shí)際上是無(wú)限不循環(huán)的小數(shù)，如0.1010010001（兩個(gè)1之間依次增加1個(gè)0）…
5）某些三角函數(shù)，如sin60°、cos20°．
【注意】無(wú)理數(shù)都是無(wú)限小數(shù)，但無(wú)限小數(shù)不一定是無(wú)理數(shù)，只有無(wú)限不循環(huán)小數(shù)才是無(wú)理數(shù)．
4． 實(shí)數(shù)及其分類(lèi)
實(shí)數(shù)的定義：有理數(shù)和無(wú)理數(shù)統(tǒng)稱(chēng)為實(shí)數(shù)．
實(shí)數(shù)的分類(lèi)：
（2024·山東淄博·中考真題）
1．下列運(yùn)算結(jié)果是正數(shù)的是（ ）
A． B． C． D．
（2024·四川涼山·中考真題）
2．下列各數(shù)中：，負(fù)數(shù)有（ ）
A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)
（2024·山東日照·中考真題）
3．實(shí)數(shù)中無(wú)理數(shù)是（ ）
A． B．0 C． D．1.732
（2024·四川雅安·中考真題）
4．將，，，0，，這6個(gè)數(shù)分別寫(xiě)在6張同樣的卡片上，從中隨機(jī)抽取1張，卡片上的數(shù)為有理數(shù)的概率是 ．
考點(diǎn)二 數(shù)軸、相反數(shù)、絕對(duì)值、倒數(shù)
1．?dāng)?shù)軸
數(shù)軸的定義：在數(shù)學(xué)中，通常用一條直線(xiàn)上的點(diǎn)表示數(shù)，這條直線(xiàn)叫做數(shù)軸．
數(shù)軸有三要素：原點(diǎn)、正方向、單位長(zhǎng)度，三者缺一不可．
【補(bǔ)充】
1）數(shù)軸是一條可以向兩端無(wú)限延伸的直線(xiàn)；
2）數(shù)軸三要素是“規(guī)定”的，通常，我們習(xí)慣性向右為正方向，原點(diǎn)的位置和單位長(zhǎng)度的大小要依據(jù)實(shí)際情況靈活選取，但是一旦選定后就不能隨意改變；
3）在同一條數(shù)軸上，單位長(zhǎng)度的大小必須統(tǒng)一，要根據(jù)實(shí)際問(wèn)題靈活選取單位長(zhǎng)度的大?。?br/>4）在數(shù)軸上表示的兩個(gè)數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大．
實(shí)數(shù)與數(shù)軸上點(diǎn)的關(guān)系：每一個(gè)實(shí)數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)來(lái)表示，反之，數(shù)軸上的每一個(gè)點(diǎn)都表示一個(gè)實(shí)數(shù)，實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)．
2． 相反數(shù)
相反數(shù)：只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)稱(chēng)為互為相反數(shù)，相反數(shù)是成隊(duì)出現(xiàn)的．
性質(zhì)：1）【熱考】若a，b互為相反數(shù)，則a+b=0；反之，若a+b=0，則若a，b互為相反數(shù)．
2）一個(gè)有理數(shù)有且只有一個(gè)相反數(shù)；
3）正數(shù)的相反數(shù)是負(fù)數(shù)；負(fù)數(shù)的相反數(shù)是正數(shù)；0的相反數(shù)是0．
幾何意義：1）互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的兩個(gè)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離相等且位于原點(diǎn)的兩側(cè)．
2）位于原點(diǎn)的兩側(cè)且到原點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，所表示的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)．
3．絕對(duì)值
絕對(duì)值：數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離叫做a的絕對(duì)值，記為|a|．
絕對(duì)值的代數(shù)意義：正數(shù)的絕對(duì)值是它本身；0絕對(duì)值是0；負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)，即．
【易混易錯(cuò)】
1）若|a|=a（或|a|-a=0），則a≥0，若|a|= -a（或|a|+a=0），則a≤0．
2）任何一個(gè)有理數(shù)的絕對(duì)值都是非負(fù)數(shù)，即a取任意實(shí)數(shù)，都有|a|≥0．
3）當(dāng)絕對(duì)值符號(hào)里的數(shù)的正負(fù)不能確定時(shí)，要分類(lèi)討論，即將其分成大于0，小于0，等于0這三類(lèi)討論．
4． 倒數(shù)
倒數(shù)：1除以一個(gè)不等于零的實(shí)數(shù)所得的商，叫做這個(gè)數(shù)的倒數(shù)．
【易混易錯(cuò)】
1）0沒(méi)有倒數(shù)，倒數(shù)是本身的只有1和-1．
2）若a、b互為倒數(shù)，則ab=1．
3）互為倒數(shù)的兩個(gè)數(shù)必定同號(hào)（同為正數(shù)或同為負(fù)數(shù)）
（2024·江蘇蘇州·中考真題）
5．用數(shù)軸上的點(diǎn)表示下列各數(shù)，其中與原點(diǎn)距離最近的是（ ）
A． B．1 C．2 D．3
（2024·黑龍江大慶·中考真題）
6．下列各組數(shù)中，互為相反數(shù)的是（ ）
A．和 B．2024和
C．和2024 D．和
（2024·內(nèi)蒙古包頭·中考真題）
7．若互為倒數(shù)，且滿(mǎn)足，則的值為（ ）
A． B． C．2 D．4
（2024·西藏·中考真題）
8．若x與y互為相反數(shù)，z的倒數(shù)是，則的值為（ ）
A． B． C．9 D．1
（2024·山東德州·中考真題）
9．實(shí)數(shù)a，b在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所，下列結(jié)論正確的是（ ）
A． B．
C． D．
（2023益陽(yáng)市三模）
10．已知互為相反數(shù)，為倒數(shù)，且，則的值為 ．
考點(diǎn)三 科學(xué)記數(shù)法
1．科學(xué)記數(shù)法
定義：把一個(gè)數(shù)A表示成的形式（其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)），這種記數(shù)法叫做科學(xué)記數(shù)法．
類(lèi)別 a的確定 n的確定 示例
|A|＞10 1≤|a|＜10 n為正整數(shù)，n=小數(shù)點(diǎn)左移的位數(shù) a=5.5，n=6
0＜|A|＜1 n為負(fù)整數(shù)，n=小數(shù)點(diǎn)右移的位數(shù) a=-5.5，n=6-
【補(bǔ)充】
1）用科學(xué)記數(shù)法表示數(shù)時(shí)，不改變數(shù)的符號(hào)，只是改變數(shù)的書(shū)寫(xiě)形式而已，可以方便地表示日常生活中遇到的一些很大或很小的數(shù)．
2）一個(gè)負(fù)數(shù)也可以用科學(xué)記數(shù)法表示．
3）科學(xué)記數(shù)法的常見(jiàn)類(lèi)型：
① 直接將像26000000、320萬(wàn)這樣的較大數(shù)字用科學(xué)記數(shù)法表示；
② 將450 km或 35 nm 換算單位后用科學(xué)記數(shù)法表示；
③ 根據(jù)題意，先計(jì)算，再將計(jì)算結(jié)果用科學(xué)記數(shù)法表示．
2．近似數(shù)
準(zhǔn)確數(shù)：在日常生活或生產(chǎn)實(shí)際中，能準(zhǔn)確地表示一些數(shù)的量，成為準(zhǔn)確數(shù)．
近似數(shù)：接近準(zhǔn)確數(shù)而不等于準(zhǔn)確數(shù)的數(shù)，叫做這個(gè)數(shù)的近似數(shù)．
精確度：近似數(shù)一般由四舍五入取得，四舍五入到哪一位，就說(shuō)這個(gè)近似數(shù)精確到哪一位．
【補(bǔ)充】對(duì)于帶單位的數(shù)或用科學(xué)記數(shù)法表示的近似數(shù)，a的末位數(shù)字在還原后的數(shù)中是哪一位，就說(shuō)這個(gè)近似數(shù)精確到哪一位．
有效數(shù)字的概念：從左邊第一位非0的數(shù)字到精確數(shù)位的所有的數(shù)字．例：0.012有兩個(gè)個(gè)有效數(shù)字：1，2；3.6萬(wàn)有兩個(gè)有效數(shù)字：3，6；有四個(gè)有效數(shù)字：4，3，6，0．
（2024·內(nèi)蒙古·中考真題）
11．2023年呼和浩特市政府工作報(bào)告中指出，我市主要經(jīng)濟(jì)指標(biāo)增速達(dá)到十年來(lái)最好水平．地區(qū)生產(chǎn)總值完成3802億元．?dāng)?shù)據(jù)“3802億”用科學(xué)記數(shù)法表示為 ．
（2024·上?！ぶ锌颊骖}）
12．科學(xué)家研發(fā)了一種新的藍(lán)光唱片，一張藍(lán)光唱片的容量約為，一張普通唱片的容量約為25，則藍(lán)光唱片的容量是普通唱片的 倍．（用科學(xué)記數(shù)法表示）
（2024·四川廣元·中考真題）
13．2023年10月諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)授予三位“追光”科學(xué)家，以表彰他們“為研究物質(zhì)中的電子動(dòng)力學(xué)而產(chǎn)生阿秒光脈沖的實(shí)驗(yàn)方法”．什么是阿秒？1阿秒是秒，也就是十億分之一秒的十億分之一．目前世界上最短的單個(gè)阿秒光學(xué)脈沖是43阿秒．將43阿秒用科學(xué)記數(shù)法表示為 秒．
考點(diǎn)四 平方根、立方根
1． 算術(shù)平方根
定義：如果一個(gè)正數(shù)x的平方等于a，即，那么這個(gè)正數(shù)x叫做a的算術(shù)平方根，記為，讀作“根號(hào)a”，a叫做被開(kāi)方數(shù)．
算術(shù)平方根（a≥0）具有雙重非負(fù)性：1）被開(kāi)方數(shù)具有非負(fù)性，即a≥0；
2）算術(shù)平方根本身具有非負(fù)性，即 ≥0；
【小結(jié)】即在式子 中，a≥0且≥0．兩個(gè)重要等式：
1） ，即一個(gè)非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根的平方等于它本身；
2），即一個(gè)數(shù)平方的算術(shù)平方根等于它本身的絕對(duì)值．
2． 平方根
定義：如果一個(gè)數(shù)x的平方等于a，即，那么這個(gè)數(shù)x就叫做a的平方根或二次方根．正數(shù)a的兩個(gè)平方根記作±，讀作“正、負(fù)根號(hào)a”．
性質(zhì)：正數(shù)有兩個(gè)平方根，且它們互為相反數(shù)；0的平方根為0；負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根．
3． 立方根
定義：如果一個(gè)數(shù)x的立方等于a，即 ，那么這個(gè)數(shù)x叫做a的立方根或三次方根． 數(shù)a的立方根記作“ ”，讀作“三次根號(hào)a”．
【補(bǔ)充】1）立方根等于本身的有0和±1．
2）互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)，它們的立方根也互為相反數(shù)．
性質(zhì)：正數(shù)只有一個(gè)正的立方根；0的立方根是0；負(fù)數(shù)只有一個(gè)負(fù)的立方根．
平方根與立方根的區(qū)別與聯(lián)系
關(guān)系 名稱(chēng) 平方根 立方根
區(qū)別 性質(zhì) 正數(shù)有兩個(gè)平方根，它們互為相反數(shù)；0的平方根是0；負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根 正數(shù)的立方根是一個(gè)正數(shù)，0的立方根是0，負(fù)數(shù)的立方根是一個(gè)負(fù)數(shù)
表示方法 非負(fù)數(shù)a的平方根表示為±，根指數(shù)是2，常省略不寫(xiě) 數(shù)a的立方根表示為，根指數(shù)是3，不能省略不寫(xiě)
被開(kāi)方數(shù)的取值范圍 在±中，a是非負(fù)數(shù)，即 在中，a是任意數(shù)
聯(lián)系 轉(zhuǎn)化條件 都可以轉(zhuǎn)化為非負(fù)數(shù)的非負(fù)方根來(lái)研究，平方根轉(zhuǎn)化為算術(shù)平方根來(lái)研究，負(fù)數(shù)的立方根可以轉(zhuǎn)化為其相反數(shù)的立方根來(lái)研究，即．
4． 常見(jiàn)實(shí)數(shù)的平方與立方：
常見(jiàn)數(shù)的平方 12 22 32 42 52 62 72 82 92 102
1 4 9 16 25 36 49 64 81 100
112 122 132 142 152 162 172 182 192 202
121 144 169 196 225 256 289 324 361 400
常見(jiàn)數(shù)的立方 13 23 33 43 53 63 73 83 93 103
1 8 27 64 125 216 343 512 729 1000
（2023·湖南婁底·中考真題）
14．從，3.1415926，，，，，中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)，此數(shù)是無(wú)理數(shù)的概率是（ ）
A． B． C． D．
（2023·山東·中考真題）
15．面積為9的正方形，其邊長(zhǎng)等于（　?。?br/>A．9的平方根 B．9的算術(shù)平方根 C．9的立方根 D．5的算術(shù)平方根
（2023·四川廣安·中考真題）
16．的平方根是 ．
（2023·四川內(nèi)江·中考真題）
17．若a、b互為相反數(shù)，c為8的立方根，則 ．
考點(diǎn)五 比較實(shí)數(shù)的大小
1）實(shí)數(shù)性質(zhì)法：正數(shù)大于0，負(fù)數(shù)小于0，正數(shù)大于負(fù)數(shù)；兩個(gè)正數(shù)比較大小，絕對(duì)值大的數(shù)大；兩個(gè)負(fù)數(shù)比較大小，絕對(duì)值大的數(shù)反而小；
2）數(shù)軸比較法：根據(jù)在數(shù)軸上右邊的點(diǎn)表示的數(shù)大于左邊的點(diǎn)表示的數(shù)，結(jié)合圖形比較，這個(gè)方法適用于多個(gè)實(shí)數(shù)比較大?。?br/>3）作差比較法：a，b是任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，若a-b>0，則a>b；若a-b=0，則a=b；若a-b<0，則a4）作商比較法：a、b為正數(shù)，若>1，則a>b；若=1，則a=b；若<1，則a5）倒數(shù)比較法：
已知a、b為正數(shù)，①若1a>1b，則ab．已知a、b為正數(shù)，①若1a>1b，則ab．
6）平方比較法：a、b為正數(shù)，若，則a>b． a、b為負(fù)數(shù)，若，則a【補(bǔ)充】主要應(yīng)用于二次根式的估值及比較含有根式的實(shí)數(shù)大小．
7）特殊值法：通過(guò)估算，將無(wú)理數(shù)取近似值，即可比較出這兩個(gè)實(shí)數(shù)的大?。@里需要我們記住三個(gè)常用的近似值：
（2024·山東威海·中考真題）
18．下列各數(shù)中，最小的數(shù)是（ ）
A． B． C． D．
（2023·江蘇·中考真題）
19．實(shí)數(shù)在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，下列結(jié)論正確的是（ ）．

A． B． C． D．
（2023·江蘇揚(yáng)州·中考真題）
20．已知，則a、b、c的大小關(guān)系是( )
A． B． C． D．
（2024·安徽·中考真題）
21．我國(guó)古代數(shù)學(xué)家張衡將圓周率取值為，祖沖之給出圓周率的一種分?jǐn)?shù)形式的近似值為．比較大小： （填“>”或“<”）．
考點(diǎn)六 實(shí)數(shù)的運(yùn)算
實(shí)數(shù)的四則運(yùn)算：當(dāng)數(shù)從有理數(shù)擴(kuò)充到實(shí)數(shù)以后，實(shí)數(shù)之間不僅可以進(jìn)行加、減、乘、除（除數(shù)不為0）、乘方運(yùn)算，又增加了非負(fù)數(shù)的開(kāi)平方運(yùn)算，任意實(shí)數(shù)可以進(jìn)行開(kāi)立方運(yùn)算． 進(jìn)行實(shí)數(shù)運(yùn)算時(shí)，有理數(shù)的運(yùn)算法則及性質(zhì)等同樣適用．
1． 實(shí)數(shù)的加法法則：1）同號(hào)兩數(shù)相加，取相同的符號(hào)，并把絕對(duì)值相加；
2）異號(hào)兩數(shù)相加，絕對(duì)值不相等時(shí)，取絕對(duì)值較大的加數(shù)的符號(hào)，并用較大的絕對(duì)值減去較小的絕對(duì)值．
2． 實(shí)數(shù)的減法法則：減去一個(gè)數(shù)等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)．
3． 實(shí)數(shù)的乘方法則：
1）兩數(shù)相乘，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相乘；
2）任何數(shù)同0相乘，都得0．
【補(bǔ)充】1）正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)；2）0的任何正整數(shù)次冪都是0；3）負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù)．
4． 實(shí)數(shù)的除法法則：1）除以一個(gè)不為0的數(shù)，等于乘以這個(gè)數(shù)的倒數(shù)；
2）0除以任何不為0的數(shù)，都得0．
5． 運(yùn)算順序：先進(jìn)行乘方和開(kāi)方運(yùn)算，再算乘除，最后算加減，如果遇到括號(hào)，則先進(jìn)行括號(hào)里的運(yùn)算．
6．運(yùn)算律
類(lèi)別 表示
加法交換律
加法結(jié)合律
乘法交換律
乘法結(jié)合律
乘法分配律
【易混易錯(cuò)】
1． 有理數(shù)的運(yùn)算定律在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)都適用，常用的運(yùn)算定律有加法結(jié)合律 、加法交換律 、乘法交換律 、乘法結(jié)合律、乘法分配律．
2． 在實(shí)數(shù)混合運(yùn)算中不注意運(yùn)算順序?qū)е陆Y(jié)果錯(cuò)誤，所以要牢記運(yùn)算順序避免出錯(cuò)：
①先算乘方，再算乘除，最后算加減；
②有括號(hào)先算括號(hào)里面的，再算括號(hào)外面的；先算小括號(hào)，再算中括號(hào)，最后算大括號(hào)．
（2024·江蘇徐州·中考真題）
22．計(jì)算：
(1)；
(2)．
（2024·四川廣元·中考真題）
23．計(jì)算：．
（2023·青海西寧·中考真題）
24．計(jì)算：．
（2023·遼寧沈陽(yáng)·中考真題）
25．計(jì)算：．
命題點(diǎn)一 實(shí)數(shù)的基礎(chǔ)
題型01 正負(fù)數(shù)的意義
（2024·海南·中考真題）
26．負(fù)數(shù)的概念最早記載于我國(guó)古代著作《九章算術(shù)》．若零上記作，則零下應(yīng)記作（ ）
A． B． C． D．
（2024·河北·中考真題）
27．如圖顯示了某地連續(xù)5天的日最低氣溫，則能表示這5天日最低氣溫變化情況的是（ ）
A． B． C． D．
（2024·江蘇連云港·中考真題）
28．如果公元前121年記作年，那么公元后2024年應(yīng)記作 年．
（2023·甘肅武威·中考真題）
29．近年來(lái)，我國(guó)科技工作者踐行“科技強(qiáng)國(guó)”使命，不斷取得世界級(jí)的科技成果，如由我國(guó)研制的中國(guó)首臺(tái)作業(yè)型全海深自主遙控潛水器“海斗一號(hào)”，最大下潛深度10907米，填補(bǔ)了中國(guó)水下萬(wàn)米作業(yè)型無(wú)人潛水器的空白；由我國(guó)自主研發(fā)的極目一號(hào)Ⅲ型浮空艇“大白鯨”，升空高度至海拔9050米，創(chuàng)造了浮空艇原位大氣科學(xué)觀測(cè)海拔最高的世界記錄．如果把海平面以上9050米記作“米”，那么海平面以下10907米記作“ 米”．
題型02 無(wú)理數(shù)的識(shí)別
常見(jiàn)的無(wú)理數(shù)：1）一般的無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，如0.43241…，7.6385661…等 2） 開(kāi)方開(kāi)不盡的數(shù)，如： 、等． [易錯(cuò)]帶根號(hào)的數(shù)并不都是無(wú)理數(shù)，而開(kāi)方開(kāi)不盡的數(shù)才是無(wú)理數(shù)． 3）與圓周率π有關(guān)的數(shù)，如5π，3+π，等． 4）看似有規(guī)律循環(huán)實(shí)際上是無(wú)限不循環(huán)的小數(shù)，如0.1010010001（兩個(gè)1之間依次增加1個(gè)0）… 5）某些三角函數(shù)，如sin60°、cos20°． 【注意】無(wú)理數(shù)都是無(wú)限小數(shù)，但無(wú)限小數(shù)不一定是無(wú)理數(shù)，只有無(wú)限不循環(huán)小數(shù)才是無(wú)理數(shù)．
（2022·四川巴中·中考真題）
30．下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．是無(wú)理數(shù) B．明天巴中城區(qū)下雨是必然事件
C．正五邊形的每個(gè)內(nèi)角是 D．相似三角形的面積比等于相似比
（2024·甘肅臨夏·中考真題）
31． 下列各數(shù)中，是無(wú)理數(shù)的是（ ）
A． B． C． D．0.13133
（2023·湖南婁底·中考真題）
32．從，3.1415926，，，，，中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)，此數(shù)是無(wú)理數(shù)的概率是（ ）
A． B． C． D．
（2024·山西大同·模擬預(yù)測(cè)）
33．請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)無(wú)理數(shù)，使它與的積是有理數(shù)，這個(gè)無(wú)理數(shù)可以是 ．（寫(xiě)出一個(gè)即可）
題型03 科學(xué)記數(shù)法
用科學(xué)記數(shù)法表示數(shù)時(shí)，確定a，n的值是關(guān)鍵，具體方法為：1）a是一個(gè)整數(shù)數(shù)位只有一位的數(shù)，即1≤|a|＜10； 2）確定n的兩種方法： ①當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值大于10時(shí)，則n的值等于原數(shù)中整數(shù)部分的位數(shù)減1； ②當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值小于1時(shí)，n為負(fù)整數(shù)，n的值等于原數(shù)中第一個(gè)非零數(shù)字前面所有零的個(gè)數(shù)的相反數(shù)（包括小數(shù)點(diǎn)前面的零）． 【小結(jié)】將數(shù)字用科學(xué)記數(shù)法表示時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)，即為10的指數(shù)的絕對(duì)值． 3）用科學(xué)記數(shù)法表示帶單位的大數(shù)的技巧：
（2024·山東日照·中考真題）
34．交通運(yùn)輸部2024年4月發(fā)布的全國(guó)港口貨物吞吐量數(shù)據(jù)顯示，日照港2024年第一季度吞吐量為15493萬(wàn)噸，居全國(guó)主要港口第6位．將數(shù)據(jù)154930000用科學(xué)記數(shù)法表示為（ ）
A． B． C． D．
35．2024年5月10日，記者從中國(guó)科學(xué)院國(guó)家天文臺(tái)獲悉，“中國(guó)天眼”FAST近期發(fā)現(xiàn)了6個(gè)距離地球約50億光年的中性氫星系，這是人類(lèi)迄今直接探測(cè)到的最遠(yuǎn)的一批中性氫星系．50億光年用科學(xué)記數(shù)法表示為（ ）
A．光年 B．光年 C．光年 D．光年
（2024·山東威?！ぶ锌颊骖}）
36．據(jù)央視網(wǎng)2023年10月11日消息，中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)中國(guó)科學(xué)院量子創(chuàng)新研究院與上海微系統(tǒng)所、國(guó)家并行計(jì)算機(jī)工程技術(shù)研究中心合作，成功構(gòu)建了255個(gè)光子的量子計(jì)算原型機(jī)“九章三號(hào)”，再度刷新了光量子信息的技術(shù)水平和量子計(jì)算優(yōu)越性的世界紀(jì)錄．“九章三號(hào)”處理高斯玻色取樣的速度比上一代“九章二號(hào)”提升一百萬(wàn)倍，在百萬(wàn)分之一秒時(shí)間內(nèi)所處理的最高復(fù)雜度的樣本，需要當(dāng)前最強(qiáng)的超級(jí)計(jì)算機(jī)花費(fèi)超過(guò)二百億年的時(shí)間．將“百萬(wàn)分之一”用科學(xué)記數(shù)法表示為（ ）
A． B． C． D．
（2024·山東淄博·中考真題）
37．我國(guó)大力發(fā)展新質(zhì)生產(chǎn)力，推動(dòng)了新能源汽車(chē)產(chǎn)業(yè)的快速發(fā)展．據(jù)中國(guó)汽車(chē)工業(yè)協(xié)會(huì)發(fā)布的消息顯示．2024年1至3月，我國(guó)新能源汽車(chē)完成出口萬(wàn)輛．將萬(wàn)用科學(xué)記數(shù)法表示為．則的值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
題型04 無(wú)理數(shù)的估算
估算，需要找到靠近a，且比a小和比a大的兩個(gè)相鄰平方數(shù)．
（2024·重慶·中考真題）
38．估計(jì)的值應(yīng)在（　　）
A．8和9之間 B．9和10之間 C．10和11之間 D．11和12之間
（2024·河北·中考真題）
39．已知a，b，n均為正整數(shù)．
（1）若，則 ；
（2）若，則滿(mǎn)足條件的a的個(gè)數(shù)總比b的個(gè)數(shù)少 個(gè)．
（2024·廣東深圳·中考真題）
40．如圖所示，四邊形，，均為正方形，且，，則正方形的邊長(zhǎng)可以是 ．（寫(xiě)出一個(gè)答案即可）
題型05 實(shí)數(shù)的大小比較
實(shí)數(shù)比較大小的常用方法 1）兩個(gè)負(fù)數(shù)比較大小，絕對(duì)值大的數(shù)反而??； 2）將實(shí)數(shù)在數(shù)軸上表示出來(lái)，左邊的數(shù)小于右邊的數(shù)； 3）作差或作商法：作差后與0進(jìn)行比較，作商后與1進(jìn)行比較； 4）估算法：常見(jiàn)≈1.414，≈1.732，≈2.236； 5）乘方法：符號(hào)相同的兩個(gè)根式，利用乘方法來(lái)比較大?。?br/>（2024·四川自貢·中考真題）
41．在0，，，四個(gè)數(shù)中，最大的數(shù)是（ ）
A． B．0 C． D．
（2023·江蘇揚(yáng)州·中考真題）
42．已知，則a、b、c的大小關(guān)系是( )
A． B． C． D．
（2023·江蘇鹽城·中考真題）
43．課堂上，老師提出了下面的問(wèn)題：
已知，，，試比較與的大?。?br/>小華：整式的大小比較可采用“作差法”.
老師：比較與的大?。?br/>小華：∵，
∴．
老師：分式的大小比較能用“作差法”嗎？
…
(1)請(qǐng)用“作差法”完成老師提出的問(wèn)題．
(2)比較大?。篲_________．（填“”“”或“”）
（2024·云南·中考真題）
44．已知拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)．設(shè)是拋物線(xiàn)與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，記．
(1)求的值；
(2)比較與的大?。?br/> 題型06 實(shí)數(shù)與數(shù)軸
（2024·山東青島·中考真題）
45．實(shí)數(shù)a，b，c，d在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，這四個(gè)實(shí)數(shù)中絕對(duì)值最小的是（ ）
A．a(chǎn) B．b C．c D．d
（2024·四川南充·中考真題）
46．如圖，數(shù)軸上表示的點(diǎn)是（ ）
A．點(diǎn)A B．點(diǎn)B C．點(diǎn)C D．點(diǎn)D
（2024·內(nèi)蒙古赤峰·中考真題）
47．如圖，數(shù)軸上點(diǎn)A，M，B分別表示數(shù)a，，b，那么下列運(yùn)算結(jié)果一定是正數(shù)的是（ ）

A． B． C． D．
（2023·遼寧大連·中考真題）
48．如圖，在數(shù)軸上，，過(guò)作直線(xiàn)于點(diǎn)，在直線(xiàn)上截取，且在上方．連接，以點(diǎn)為圓心，為半徑作弧交直線(xiàn)于點(diǎn)，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 ．
題型07 平方根、立方根
（2023·江蘇無(wú)錫·中考真題）
49．實(shí)數(shù)9的算術(shù)平方根是（ ）
A．3 B． C． D．
（2023·云南·中考真題）
50．按一定規(guī)律排列的單項(xiàng)式：，第個(gè)單項(xiàng)式是（ ）
A． B． C． D．
（2023·安徽·中考真題）
51．計(jì)算： ．
（2024武威市三模）
52．一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)平方根是和，則的立方根為 .
命題點(diǎn)二 實(shí)數(shù)的運(yùn)算
題型01 非負(fù)性的應(yīng)用
二次根式是初中階段常見(jiàn)的三種非負(fù)數(shù)之一，這三種非負(fù)數(shù)分別是：1）一個(gè)實(shí)數(shù)的絕對(duì)值，即|a|； 2）一個(gè)實(shí)數(shù)的偶次方（主要是二次方），即等； 3）一個(gè)實(shí)數(shù)的算術(shù)平方根（即二次根式），即．
（2023·山東·中考真題）
53．的三邊長(zhǎng)a，b，c滿(mǎn)足，則是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．銳角三角形 D．等腰直角三角形
（2024·四川成都·中考真題）
54．若，為實(shí)數(shù)，且，則的值為 ．
（2024·四川資陽(yáng)·中考真題）
55．若，則 ．
（2023·廣東深圳·二模）
56．若與互為相反數(shù)，則的值是 .
題型02 實(shí)數(shù)的簡(jiǎn)單運(yùn)算
（2024·吉林長(zhǎng)春·中考真題）
57．根據(jù)有理數(shù)加法法則，計(jì)算過(guò)程正確的是（　?。?br/>A． B． C． D．
（2024·河南·中考真題）
58．計(jì)算的結(jié)果是（ ）
A． B． C． D．
（2024·吉林·中考真題）
59．若的運(yùn)算結(jié)果為正數(shù)，則內(nèi)的數(shù)字可以為（ ）
A．2 B．1 C．0 D．
（2023·遼寧營(yíng)口·中考真題）
60．有下列四個(gè)算式①；②；③；④．其中，正確的有（ ）．
A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)
（2023·山東濱州·中考真題）
61．計(jì)算的結(jié)果為 ．
（2023·廣西·中考真題）
62．計(jì)算：．
題型03 實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算
運(yùn)算順序：先進(jìn)行乘方和開(kāi)方運(yùn)算，再算乘除，最后算加減，如果遇到括號(hào)，則先進(jìn)行括號(hào)里的運(yùn)算． 【注意】 1）有理數(shù)的運(yùn)算定律在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)都適用，常用的運(yùn)算定律有加法結(jié)合律 、加法交換律 、乘法交換律 、乘法結(jié)合律、乘法分配律． 2）在實(shí)數(shù)混合運(yùn)算中不注意運(yùn)算順序?qū)е陆Y(jié)果錯(cuò)誤，所以要牢記運(yùn)算順序避免出錯(cuò)： ①先算乘方，再算乘除，最后算加減； ②有括號(hào)先算括號(hào)里面的，再算括號(hào)外面的；先算小括號(hào)，再算中括號(hào)，最后算大括號(hào)． 實(shí)數(shù)計(jì)算的易錯(cuò)點(diǎn)： 1）負(fù)數(shù)的奇數(shù)次冪是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶數(shù)次冪是正數(shù)； 2）一個(gè)非負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它本身；一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)； 3）（a≠0，n為正整數(shù)），（a≠0，n為正整數(shù)） 在計(jì)算中常用的銳角三角函數(shù)值： 三角函數(shù)30°45°60°sin αcos αtan α1
（2024·山東日照·中考真題）
63．計(jì)算：
（2024·北京·中考真題）
64．計(jì)算：
（2024·四川遂寧·中考真題）
65．計(jì)算：．
（2023·四川德陽(yáng)·中考真題）
66．計(jì)算：
（2023 灞橋區(qū)一模）
67．計(jì)算：
(1)
(2)
題型04 與實(shí)數(shù)有關(guān)的新定義問(wèn)題
（2023·內(nèi)蒙古·中考真題）
68．定義新運(yùn)算“”，規(guī)定：，則的運(yùn)算結(jié)果為（ ）
A． B． C．5 D．3
（2023·四川內(nèi)江·中考真題）
69．對(duì)于正數(shù)x，規(guī)定，例如：，，，，計(jì)算：（　?。?br/>A．199 B．200 C．201 D．202
（2024·山東威海·中考真題）
70．定義新運(yùn)算：
①在平面直角坐標(biāo)系中，表示動(dòng)點(diǎn)從原點(diǎn)出發(fā)，沿著軸正方向（）或負(fù)方向（）．平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再沿著軸正方向（）或負(fù)方向（）平移個(gè)單位長(zhǎng)度．例如，動(dòng)點(diǎn)從原點(diǎn)出發(fā)，沿著軸負(fù)方向平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再沿著軸正方向平移個(gè)單位長(zhǎng)度，記作．
②加法運(yùn)算法則：，其中，，，為實(shí)數(shù)．
若，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
（2024·甘肅·中考真題）
71．定義一種新運(yùn)算*，規(guī)定運(yùn)算法則為：（m，n均為整數(shù)，且）．例：，則 ．
（2023·四川廣安·中考真題）
72．定義一種新運(yùn)算：對(duì)于兩個(gè)非零實(shí)數(shù)，．若，則的值是 ．
中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺(tái)
參考答案：
1．A
【分析】題考查了正數(shù)的定義，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算，絕對(duì)值的化簡(jiǎn)，乘方，算術(shù)平方根的意義，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)正數(shù)的定義，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算，絕對(duì)值的化簡(jiǎn)，乘方，算術(shù)平方根的意義計(jì)算選擇即可．
【詳解】解：A、是正數(shù)，符合題意；
B、是負(fù)數(shù)，不符合題意；
C、是負(fù)數(shù)，不符合題意；
D、是負(fù)數(shù)，不符合題意；
故選：A．
2．C
【分析】本題考查了對(duì)正數(shù)和負(fù)數(shù)定義的理解，難度不大，注意0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)．
根據(jù)正數(shù)和負(fù)數(shù)的定義判斷即可，注意：0既不是負(fù)數(shù)也不是正數(shù)．
【詳解】解：，是正數(shù)；
，是負(fù)數(shù)；
，是負(fù)數(shù)；
0既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)；
，是負(fù)數(shù)；
，是正數(shù)；
負(fù)數(shù)有，，，共3個(gè)．
故選：C．
3．C
【分析】本題考查了無(wú)理數(shù)，解答本題的關(guān)鍵掌握無(wú)理數(shù)的三種形式：①開(kāi)方開(kāi)不盡的數(shù)，②無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，③含有的數(shù)．根據(jù)無(wú)理數(shù)的定義，“無(wú)限不循環(huán)的小數(shù)是無(wú)理數(shù)”逐個(gè)分析判斷即可．
【詳解】解：都是有理數(shù)，是無(wú)理數(shù)．
故選：C
4．
【分析】本題考查概率的求法與運(yùn)用，有理數(shù)與無(wú)理數(shù)的識(shí)別，一般方法：如果一個(gè)事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現(xiàn)m種結(jié)果，那么事件A的概率P（A）=．先根據(jù)無(wú)理數(shù)的定義得到取到有理數(shù)的有，，0，3.14這4種結(jié)果，再根據(jù)概率公式即可求解．
【詳解】解：將，，，0，，3.14這6個(gè)數(shù)分別寫(xiě)在6張相同的卡片上，字面朝下隨意放在桌上，任取一張，有6種等可能結(jié)果，其中取到有理數(shù)的有，，0，3.14這4種結(jié)果，
所以取到有理數(shù)的概率為，
故答案為：．
5．B
【分析】本題考查了絕對(duì)值的定義，一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值就是表示這個(gè)數(shù)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離．到原點(diǎn)距離最近的點(diǎn)，即絕對(duì)值最小的點(diǎn)，首先求出各個(gè)數(shù)的絕對(duì)值，即可作出判斷．
【詳解】解：∵，，，，，
∴與原點(diǎn)距離最近的是1，
故選：B．
6．A
【分析】本題考查相反數(shù)．根據(jù)只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)，結(jié)合絕對(duì)值的意義逐項(xiàng)判斷即可．
【詳解】解：A、和互為相反數(shù)，故A選項(xiàng)符合題意；
B、2024和互為倒數(shù)，故B選項(xiàng)不符合題意；
C、和2024不互為相反數(shù)，故C選項(xiàng)不符合題意；
D、和不互為相反數(shù)，故D選項(xiàng)不符合題意；
故選：A．
7．B
【分析】本題主要考查了倒數(shù)的定義，根據(jù)互為倒數(shù)，則，把代入，即可得出m的值，進(jìn)一步即可得出n的值．
【詳解】解：∵互為倒數(shù)，
∴，
∵，
∴，
則，
故選：B．
8．D
【分析】本題考查了相反數(shù)、倒數(shù)、求代數(shù)式的值，根據(jù)相反數(shù)和倒數(shù)的定義得出，，將式子變形為，整體代入計(jì)算即可得解，熟練掌握相反數(shù)、倒數(shù)的定義是解此題的關(guān)鍵．
【詳解】解：∵x與y互為相反數(shù)，z的倒數(shù)是，
∴，，
∴，
故選：D．
9．D
【分析】本題主要考查了數(shù)軸與實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則，掌握實(shí)數(shù)與數(shù)軸的基本知識(shí)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)點(diǎn)在數(shù)軸上的位置，判斷數(shù)的大小關(guān)系，不等式的性質(zhì)及絕對(duì)值的意義判斷出式子的大小即可．
【詳解】解：根據(jù)數(shù)軸得，
∴，
故選：D．
10．
【分析】本題考查了相反數(shù)、倒數(shù)的定義，絕對(duì)值的性質(zhì)，代數(shù)式求值，利用相反數(shù)、倒數(shù)的定義和絕對(duì)值的性質(zhì)可求得，，，再代入算式計(jì)算即可求解，掌握相反數(shù)、倒數(shù)的定義和絕對(duì)值的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：∵互為相反數(shù)，為倒數(shù)，
∴，，
∵，
∴，
∴原式，
故答案為：．
11．
【分析】本題考查了科學(xué)記數(shù)法“將一個(gè)數(shù)表示成的形式，其中，為整數(shù)，這種記數(shù)的方法叫做科學(xué)記數(shù)法”，熟記科學(xué)記數(shù)法的定義是解題關(guān)鍵．確定的值時(shí)，要看把原數(shù)變成時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同．根據(jù)科學(xué)記數(shù)法的定義即可得．
【詳解】解：3802億，
故答案為：．
12．
【分析】本題考查科學(xué)記數(shù)法，按照定義，用科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù)時(shí)，一般形式為，其中，為整數(shù)，按要求表示即可得到答案，確定與的值是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
【詳解】解：藍(lán)光唱片的容量是普通唱片的倍，
故答案為：．
13．
【分析】本題考查了用科學(xué)記數(shù)法表示較小的數(shù)，一般形式為，解題的關(guān)鍵是熟知．根據(jù)題意可知，43阿秒秒，再根據(jù)科學(xué)記數(shù)法的表示方法表示出來(lái)即可．
【詳解】解：根據(jù)題意1阿秒是秒可知，
43阿秒秒，
故答案為：．
14．A
【分析】先判斷出，是無(wú)理數(shù)，再根據(jù)概率公式進(jìn)行計(jì)算即可．
【詳解】解：∵，，
∴，3.1415926，，，，，中無(wú)理數(shù)有：，，
∴從，3.1415926，，，，，中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)，此數(shù)是無(wú)理數(shù)的概率是；
故選A
【點(diǎn)睛】本題考查的是求解一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根，立方根，無(wú)理數(shù)的含義，利用概率公式求解簡(jiǎn)單隨機(jī)事件的概率，掌握以上基礎(chǔ)知識(shí)是解本題的關(guān)鍵．
15．B
【分析】根據(jù)算術(shù)平方根的定義解答即可．
【詳解】解：∵面積等于邊長(zhǎng)的平方，
∴面積為9的正方形，其邊長(zhǎng)等于9的算術(shù)平方根．
故選B．
【點(diǎn)睛】本題考查了算術(shù)平方根的意義，一般地，如果一個(gè)正數(shù)x的平方等于a，即，那么這個(gè)正數(shù)x叫做a的算術(shù)平方根．
16．±2
【詳解】解：∵
∴的平方根是±2．
故答案為±2．
17．
【分析】利用相反數(shù)，立方根的性質(zhì)求出及c的值，代入原式計(jì)算即可得到結(jié)果．
【詳解】解：根據(jù)題意得：，
，
故答案為：
【點(diǎn)睛】此題考查了代數(shù)式求值，相反數(shù)、立方根的性質(zhì)，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．
18．A
【分析】本題考查了實(shí)數(shù)的大小比較，根據(jù)實(shí)數(shù)的大小比較即可求解．
【詳解】解：，
∵
∴最小的數(shù)是
故選：A．
19．D
【分析】根據(jù)實(shí)數(shù)在數(shù)軸上的位置，判斷實(shí)數(shù)的大小關(guān)系，即可得出結(jié)論．
【詳解】解：由圖可知，，，
A、，錯(cuò)誤；
B、，錯(cuò)誤；
C、，錯(cuò)誤；
D、，正確；
故選D．
【點(diǎn)睛】本題考查利用數(shù)軸比較實(shí)數(shù)的大小關(guān)系．正確的識(shí)圖，掌握數(shù)軸上的數(shù)從左到右依次增大，是解題的關(guān)鍵．
20．C
【分析】由，，進(jìn)行判斷即可．
【詳解】解：∵，，
∴，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)的大小比較，算術(shù)平方根．解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握．
21．>
【分析】本題考查的是實(shí)數(shù)的大小比較，先比較兩個(gè)正數(shù)的平方，從而可得答案．
【詳解】解：∵，，
而，
∴，
∴；
故答案為：
22．(1)2
(2)
【分析】本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，分式的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
（1）先根據(jù)絕對(duì)值、零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、立方根的運(yùn)算法則計(jì)算，再根據(jù)有理數(shù)的加減運(yùn)算法則計(jì)算即可；
（2）先計(jì)算括號(hào)里的，再把除法運(yùn)算化為乘法運(yùn)算，最后約分即可．
【詳解】（1）解：
；
（2）解：
．
23．
【分析】此題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，特殊的三角函數(shù)值，零次冪及負(fù)指數(shù)冪計(jì)算，正確掌握各計(jì)算法則是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：原式．
24．
【分析】計(jì)算乘方、化簡(jiǎn)絕對(duì)值、計(jì)算零指數(shù)冪，再進(jìn)行加減運(yùn)算即可得到答案．
【詳解】解：原式
.
【點(diǎn)睛】此題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
25．10
【分析】根據(jù)零指數(shù)冪和負(fù)整數(shù)指數(shù)冪運(yùn)算法則，二次根式性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)值，進(jìn)行計(jì)算即可．
【詳解】解：
．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了實(shí)數(shù)混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握零指數(shù)冪和負(fù)整數(shù)指數(shù)冪運(yùn)算法則，二次根式性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)值，準(zhǔn)確計(jì)算．
26．A
【分析】本題主要考查了正負(fù)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，正負(fù)數(shù)是一對(duì)具有相反意義的量，若零上由正數(shù)表示，那么零下就用負(fù)數(shù)表示，據(jù)此可得答案．
【詳解】解：若若零上記作，那么零下應(yīng)記作，
故選：A．
27．A
【分析】本題考查了正負(fù)數(shù)的大小比較，熟練掌握正負(fù)數(shù)大小比較的方法解題的關(guān)鍵．
由五日氣溫為得到，，，則氣溫變化為先下降，然后上升，再上升，再下降．
【詳解】解：由五日氣溫為得到，，
∴氣溫變化為先下降，然后上升，再上升，再下降．
故選：A．
28．
【分析】本題考查正負(fù)數(shù)的意義，根據(jù)正負(fù)數(shù)表示一對(duì)相反意義的量，公元前為負(fù)，則公元后為正，進(jìn)行作答即可．
【詳解】解：公元前121年記作年，那么公元后2024年應(yīng)記作年；
故答案為：．
29．
【分析】根據(jù)正負(fù)數(shù)表示相反的意義解答即可．
【詳解】解：把海平面以上9050米記作“米”，則海平面以下10907米記作米，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】此題考查了正負(fù)數(shù)的理解：在一個(gè)事件中，規(guī)定一個(gè)量為正，則表示相反意義的量為負(fù)，正確理解正負(fù)數(shù)表示一對(duì)相反的意義的量是解題的關(guān)鍵．
30．C
【分析】二次根式化簡(jiǎn)可得=2，下雨是可能事件，正五邊形每個(gè)內(nèi)角是，相似三角形的面積比等于相似比的平方，即可解得．
【詳解】A． =2，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意．
B． 明天巴中城區(qū)下雨是可能事件，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意．
C． 正五邊形的每個(gè)內(nèi)角是，故選正確，符合題意．
D． 相似三角形的面積比等于相似比的平方，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意．
故選：C．
【點(diǎn)睛】此題考查了二次根式、事件發(fā)生的可能性、正多邊形的內(nèi)角、相似三角形的面積比，解題的關(guān)鍵是記住相關(guān)概念．
31．A
【分析】本題考查無(wú)理數(shù)的定義，根據(jù)無(wú)理數(shù)是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)結(jié)合立方根的定義，進(jìn)行判斷即可．
【詳解】解：A、是無(wú)理數(shù)，符合題意；
B、是有理數(shù)，不符合題意；
C、是有理數(shù)，不符合題意；
D、0.13133是有理數(shù)，不符合題意；
故選A．
32．A
【分析】先判斷出，是無(wú)理數(shù)，再根據(jù)概率公式進(jìn)行計(jì)算即可．
【詳解】解：∵，，
∴，3.1415926，，，，，中無(wú)理數(shù)有：，，
∴從，3.1415926，，，，，中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)，此數(shù)是無(wú)理數(shù)的概率是；
故選A
【點(diǎn)睛】本題考查的是求解一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根，立方根，無(wú)理數(shù)的含義，利用概率公式求解簡(jiǎn)單隨機(jī)事件的概率，掌握以上基礎(chǔ)知識(shí)是解本題的關(guān)鍵．
33．（答案不唯一）
【分析】本題考查了無(wú)理數(shù)的定義，二次根式的性質(zhì)，二次根的乘法，熟練掌握二次根式的性質(zhì)和乘法法則是解本題的關(guān)鍵．
先化簡(jiǎn)，再根據(jù)二次根式的乘法法則進(jìn)行計(jì)算后確定這個(gè)符合條件的無(wú)理數(shù)．
【詳解】∵，，
∴這個(gè)無(wú)理數(shù)可以是，（答案不唯一）
故答案為：（答案不唯一）．
34．B
【分析】本題考查了科學(xué)記數(shù)法的表示方法，科學(xué)記數(shù)法的表現(xiàn)形式為的形式，其中，為整數(shù)，確定的值時(shí)，要看把原數(shù)變成時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同，當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值大于等于10時(shí)，是非負(fù)數(shù)，當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值小于1時(shí)，是負(fù)數(shù)，表示時(shí)關(guān)鍵是要正確確定的值以及的值．
【詳解】解：，
故選：B．
35．C
【分析】本題考查科學(xué)記數(shù)法，根據(jù)科學(xué)記數(shù)法的表示方法為整數(shù)，進(jìn)行表示即可．關(guān)鍵是確定a與n的值．
【詳解】解：50億光年光年；
故選C．
36．B
【分析】本題考查了用科學(xué)記數(shù)法表示絕對(duì)值較小的數(shù)，用科學(xué)記數(shù)法表示絕對(duì)值較小的數(shù)，一般形式為，其中，為整數(shù)．
【詳解】解：百萬(wàn)分之一．
故選：B．
37．B
【分析】本題主要考查科學(xué)記數(shù)法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，n為整數(shù)，確定n的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，n的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同，
【詳解】解：萬(wàn)，
則，
故選：B．
38．C
【分析】本題考查的是二次根式的乘法運(yùn)算，無(wú)理數(shù)的估算，先計(jì)算二次根式的乘法運(yùn)算，再估算即可．
【詳解】解：∵，
而，
∴，
故答案為：C
39．
【分析】本題考查的是無(wú)理數(shù)的估算以及規(guī)律探究問(wèn)題，掌握探究的方法是解本題的關(guān)鍵；
（1）由即可得到答案；
（2）由，，為連續(xù)的三個(gè)自然數(shù)，，可得，，再利用完全平方數(shù)之間的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)的特點(diǎn)探究規(guī)律即可得到答案．
【詳解】解：（1）∵，而，
∴；
故答案為：；
（2）∵a，b，n均為正整數(shù)．
∴，，為連續(xù)的三個(gè)自然數(shù)，而，
∴，，
觀察，，，，，，，，，，，
而，，，，，
∴與之間的整數(shù)有個(gè)，
與之間的整數(shù)有個(gè)，
∴滿(mǎn)足條件的a的個(gè)數(shù)總比b的個(gè)數(shù)少（個(gè)），
故答案為：．
40．2（答案不唯一）
【分析】本題考查了算術(shù)平方根的應(yīng)用，無(wú)理數(shù)的估算．利用算術(shù)平方根的性質(zhì)求得，，再根據(jù)無(wú)理數(shù)的估算結(jié)合，即可求解．
【詳解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，即，
∴正方形的邊長(zhǎng)，即，
∴正方形的邊長(zhǎng)可以是2，
故答案為：2（答案不唯一）．
41．C
【分析】此題主要考查了實(shí)數(shù)大小比較的方法，正實(shí)數(shù)都大于0，負(fù)實(shí)數(shù)都小于0，正實(shí)數(shù)大于一切負(fù)實(shí)數(shù)，兩個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)絕對(duì)值大的反而小，據(jù)此判斷即可，解答此題的關(guān)鍵是要明確：正實(shí)數(shù)負(fù)實(shí)數(shù)，兩個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)絕對(duì)值大的反而小．
【詳解】解：根據(jù)實(shí)數(shù)比較大小的方法，可得：
，
∴在0，，，四個(gè)數(shù)中，最大的數(shù)是，
故選：C．
42．C
【分析】由，，進(jìn)行判斷即可．
【詳解】解：∵，，
∴，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)的大小比較，算術(shù)平方根．解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握．
43．(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)作差法求的值即可得出答案；
（2）根據(jù)作差法求的值即可得出答案．
【詳解】（1）解：，
，
，
；
（2）解：，
．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查分式運(yùn)算的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是理解材料，通過(guò)作差法求解，掌握分式運(yùn)算的方法．
44．(1)
(2)當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)， ．
【分析】（1）由對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)直接求解；
（2）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)， ．
【詳解】（1）解：∵拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)，
∴，
∴；
（2）解：∵是拋物線(xiàn)與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，
∴，
∴，
∴，
∴，
而
代入得：，
∴，
∴，
∵，
解得：，
當(dāng)時(shí)，
∴；
當(dāng)時(shí)，，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸公式，與x軸交點(diǎn)問(wèn)題，解一元二次方程，無(wú)理數(shù)的大小比較，解題的關(guān)鍵是對(duì)進(jìn)行降次處理．
45．C
【分析】本題主要考查了實(shí)數(shù)與數(shù)軸，根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義可知，一個(gè)實(shí)數(shù)的絕對(duì)值表示的是這個(gè)實(shí)數(shù)在數(shù)軸上與原點(diǎn)的距離，故離原點(diǎn)越近，其絕對(duì)值越小，據(jù)此可得答案．
【詳解】解：由數(shù)軸上點(diǎn)的位置可知，，
∴這四個(gè)實(shí)數(shù)中絕對(duì)值最小的是，
故選：C．
46．C
【分析】本題考查了實(shí)數(shù)與數(shù)軸，無(wú)理數(shù)的估算．先估算出的范圍，再找出符合條件的數(shù)軸上的點(diǎn)即可．
【詳解】解：∵，
∴數(shù)軸上表示的點(diǎn)是點(diǎn)C，
故選：C．
47．A
【分析】本題考查了實(shí)數(shù)與數(shù)軸，整式的運(yùn)算等，由數(shù)軸是上A、M、B的位置可得出，，，，再根據(jù)整式的運(yùn)算法則求解即可．
【詳解】解：由數(shù)軸知：，，
∴，，
∴原點(diǎn)在A、M之間，，
∴，，，
∴運(yùn)算結(jié)果一定是正數(shù)的是，
故選：A．
48．##
【分析】根據(jù)勾股定理求得，根據(jù)題意可得，進(jìn)而即可求解．
【詳解】解：∵，，，
在中，，
∴，
∴，
為原點(diǎn)，為正方向，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為；
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理與無(wú)理數(shù)，實(shí)數(shù)與數(shù)軸，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．
49．A
【分析】根據(jù)算術(shù)平方根的定義即可求出結(jié)果．
【詳解】解：，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了平方根和算術(shù)平方根的定義．注意一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，它們互為相反數(shù)；0的平方根是0；負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根．
50．C
【分析】根據(jù)單項(xiàng)式的規(guī)律可得，系數(shù)為，字母為，指數(shù)為1開(kāi)始的自然數(shù)，據(jù)此即可求解．
【詳解】解：按一定規(guī)律排列的單項(xiàng)式：，第個(gè)單項(xiàng)式是，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了單項(xiàng)式規(guī)律題，找到單項(xiàng)式的變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
51．
【分析】根據(jù)求一個(gè)數(shù)的立方根，有理數(shù)的加法即可求解．
【詳解】解：，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了求一個(gè)數(shù)的立方根，熟練掌握立方根的定義是解題的關(guān)鍵．
52．3
【分析】因?yàn)橐粋€(gè)正數(shù)的平方根有兩個(gè)，它們是互為相反數(shù)的關(guān)系，列出方程求得的值，進(jìn)而求得的值，代入代數(shù)式即可求解．
【詳解】解：，
解得，
∴，
∴，
即的立方根為3
故答案為：3．
【點(diǎn)睛】本題考查了平方根的應(yīng)用、立方根，掌握一個(gè)正數(shù)的平方根有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)是解題的關(guān)鍵．
53．D
【分析】由等式可分別得到關(guān)于a、b、c的等式，從而分別計(jì)算得到a、b、c的值，再由的關(guān)系，可推導(dǎo)得到為直角三角形．
【詳解】解∵
又∵
∴，
∴
解得 ，
∴，且，
∴為等腰直角三角形，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了非負(fù)性和勾股定理逆定理的知識(shí)，求解的關(guān)鍵是熟練掌握非負(fù)數(shù)的和為0，每一個(gè)非負(fù)數(shù)均為0，和勾股定理逆定理．
54．1
【分析】本題考查非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)平方式和算術(shù)平方數(shù)的非負(fù)數(shù)求得m、n值，進(jìn)而代值求解即可．
【詳解】解：∵，
∴，，
解得，，
∴，
故答案為：1．
55．2
【分析】本題考查了絕對(duì)值和平方的非負(fù)性，解題的關(guān)鍵是掌握幾個(gè)非負(fù)數(shù)和為0，則這幾個(gè)非負(fù)數(shù)分別為0．根據(jù)絕對(duì)值和平方的非負(fù)性，得出，求出a和b的值，即可解答．
【詳解】解：∵，
∴，
解得：，
∴，
故答案為：2．
56．##
【分析】利用互為相反數(shù)兩數(shù)之和為0列出等式，再利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)列出方程組，求出方程組的解即可得到x與y的值．
【詳解】解：∵，
∴，
解得：，
∴，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】此題考查了解二元一次方程組，以及非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．
57．D
【分析】本題主要考查了有理數(shù)的加法，掌握“將兩個(gè)數(shù)的絕對(duì)值相減,結(jié)果的符號(hào)與絕對(duì)值較大的數(shù)的符號(hào)相同”成為解題的關(guān)鍵．
根據(jù)將兩個(gè)數(shù)的絕對(duì)值相減,結(jié)果的符號(hào)與絕對(duì)值較大的數(shù)的符號(hào)相同即可解答．
【詳解】解：．
故選D．
58．D
【分析】本題考查的是乘方的含義，冪的乘方運(yùn)算的含義，先計(jì)算括號(hào)內(nèi)的運(yùn)算，再利用冪的乘方運(yùn)算法則可得答案．
【詳解】解：，
故選D
59．D
【分析】本題主要考查了有理數(shù)的乘法計(jì)算，根據(jù)有理數(shù)的乘法計(jì)算法則，分別計(jì)算出與四個(gè)選項(xiàng)中的數(shù)的乘積即可得到答案．
【詳解】解：，，，，
四個(gè)算式的運(yùn)算結(jié)果中，只有3是正數(shù)，
故選：D．
60．C
【分析】由有理數(shù)的加減運(yùn)算法則、乘方的運(yùn)算法則、除法運(yùn)算法則，分別進(jìn)行判斷，即可得到答案．
【詳解】解：①；故①錯(cuò)誤；
②；故②錯(cuò)誤；
③；故③正確；
④；故④正確；
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的加減乘除、乘方的運(yùn)算法則，解題的關(guān)鍵是正確掌握運(yùn)算法則進(jìn)行判斷．
61．
【分析】化簡(jiǎn)絕對(duì)值，根據(jù)有理數(shù)的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可．
【詳解】，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)的加減法則，熟練掌握有理數(shù)的加減法則是解題的關(guān)鍵．
62．6
【分析】根據(jù)有理數(shù)的混合運(yùn)算法則求解即可．
【詳解】
．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了含乘方的有理數(shù)混合計(jì)算，熟知相關(guān)計(jì)算法則是解題的關(guān)鍵．
63．1
【分析】本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．分別化簡(jiǎn)絕對(duì)值，零指數(shù)冪，再進(jìn)行加減計(jì)算．
【詳解】解：原式，
．
故答案為：1
64．
【分析】本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
依次根據(jù)零指數(shù)冪，二次根式的性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)值，絕對(duì)值的意義化簡(jiǎn)計(jì)算即可．
【詳解】解：原式
．
65．
【分析】此題主要考查了實(shí)數(shù)運(yùn)算及二次根式的運(yùn)算，直接利用負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)值、絕對(duì)值的性質(zhì)、算術(shù)平方根分別化簡(jiǎn)得出答案，正確化簡(jiǎn)各數(shù)是解題關(guān)鍵．
【詳解】解：
．
66．4
【分析】先計(jì)算銳角的余弦，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，化簡(jiǎn)絕對(duì)值，零次冪，算術(shù)平方根，再合并即可．
【詳解】解：
．
【點(diǎn)睛】本題考查的是實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的含義，零次冪的含義，求解算術(shù)平方根，特殊角的三角函數(shù)值，熟記運(yùn)算法則與運(yùn)算順序是解本題的關(guān)鍵．
67．(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)二次根式，三次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)，再根據(jù)實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算即可求解；
（2）根據(jù)乘方運(yùn)算，絕對(duì)值性質(zhì)，二次根式的性質(zhì)，三次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)，再根據(jù)實(shí)數(shù)的運(yùn)算即可求解．
【詳解】（1）解：
，
故答案為：．
（2）解：
，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查二次根式，三次根式的性質(zhì)，絕對(duì)值的性質(zhì)，冪的運(yùn)算，實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，掌握二次根式，三次根式的性質(zhì)，實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．
68．D
【分析】根據(jù)新定義的運(yùn)算求解即可．
【詳解】解：∵，
∴，
故選：D．
【點(diǎn)睛】題目主要考查新定義的運(yùn)算，理解題意中的運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．
69．C
【分析】通過(guò)計(jì)算，可以推出結(jié)果．
【詳解】解：
…
，，，
故選：C．
【點(diǎn)睛】此題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則，找到數(shù)字變化規(guī)律是解本題的關(guān)鍵．
70．B
【分析】本題考查了新定義運(yùn)算，平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)新定義得出，即可求解．
【詳解】解：∵，
∴
解得：，
故選：B．
71．8
【分析】根據(jù)定義，得，解得即可．
本題考查了新定義計(jì)算，正確理解定義的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
【詳解】根據(jù)定義，得，
故答案為：8．
72．
【分析】先根據(jù)可得一個(gè)關(guān)于的等式，再根據(jù)新運(yùn)算的定義代入計(jì)算即可得．
【詳解】解：，
，即，
，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了新定義下的實(shí)數(shù)運(yùn)算、代數(shù)式求值，理解新運(yùn)算的定義是解題關(guān)鍵．

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