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(共18張PPT)
第三講 等差數(shù)列初步
例題 1：①觀察下面的數(shù)列，在括號里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)。
（1）3，6，9，12，15，（ ），21，（ ）。
（2）1，5，9，13，（ ），21，（ ），29。
（3）55，49，43，37，（ ），25，（ ）。
通過觀察，我們發(fā)現(xiàn)第 1 小題中每相鄰兩個(gè)數(shù)的差是（ ）；
第 2 小題中每相鄰兩個(gè)數(shù)的差是（ ）；
第 3 小題中每相鄰兩個(gè)數(shù)的差是（ ）。
+3
+3
+3
+3
+3
+3
+3
18
24
+4
+4
+4
+4
+4
+4
+4
17
25
-6
-6
-6
-6
-6
-6
31
19
3
4
6
【易學(xué)點(diǎn)撥】一列數(shù)中，每相鄰兩個(gè)數(shù)的差都是一個(gè)固定的數(shù)時(shí)，我們就把這樣的一列數(shù)叫做等差數(shù)列；那個(gè)固定的差叫做公差，一般用字母d表示；其中第一個(gè)數(shù)叫做首項(xiàng)，一般用字母a1表示；最后一個(gè)數(shù)叫做末項(xiàng)，一般用字母an表示；這一列數(shù)的個(gè)數(shù)叫做項(xiàng)數(shù)，一般用字母n表示。
例題1： ②算一算，填一填。
（1）等差數(shù)列：3，5，7，9，……的第 15 項(xiàng)是（ ）。
（2）等差數(shù)列：2，5，8，11，……的第 35 項(xiàng)是（ ）。
（3）等差數(shù)列：5，12，19，26，……的第 50 項(xiàng)是（ ）。
（1）公差： d=2
首項(xiàng)：a1=3
a2=3+(2-1)×2
a3=3+(3-1)×2
……
a15= 3+(15-1)×2
= 3+14×2
= 31
31
a2=2+(2-1)×3
a3=2+(3-1)×2
……
a35=2+(35-1)×3
=2+34×3
=104
104
（3）公差： d=7
首項(xiàng)：a1=5
a50=5+(50-1)×7
an=a1+(n-1)×d
348
【易學(xué)點(diǎn)撥】先找出等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差，再根據(jù)規(guī)律：第n項(xiàng)要在首項(xiàng)上加上(n-1) 個(gè)公差，得出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：
an = a1+(n-1)×d
（2）公差： d=3
首項(xiàng)：a1=2
=5+49×7
=348
練習(xí) 1：
（1）國慶節(jié)到了，同學(xué)們?nèi)ブ行膹V場擺花盆。第一排擺了 51 盆，以后每一排都比前一排多擺 4 盆，一共擺了 11 排，最后一排要擺（ ）盆。
（2）小強(qiáng)到公園游玩，在一片小樹林里數(shù)小樹。第一排有 5 棵樹，第二排有 8 棵樹，第三排有 11 棵樹，……照這樣的規(guī)律，第 10 排有（ ）棵樹。
公差： d=4
首項(xiàng)：a1=51
項(xiàng)數(shù)： n=11
an= a1+(n-1)×d
a51： 51+(11-1)×4
= 91
91
公差： d=
首項(xiàng)：a1=5
項(xiàng)數(shù)： n=10
an= a1+(n-1)×d
a10： 5+(10-1)×3
= 32
32
8-5=3
1、一列數(shù)中，每相鄰兩個(gè)數(shù)的差都是一個(gè)固定的數(shù)時(shí)，我們就把這樣的一列數(shù)叫做等差數(shù)列；
公差：d
首項(xiàng)：a1
末項(xiàng)：an
項(xiàng)數(shù)：n。
2、先找出等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差，再根據(jù)規(guī)律：第n項(xiàng)要在首項(xiàng)上加上(n-1) 個(gè)公差，得出
等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：
an= a1 + ( n - 1)×d
末項(xiàng)= 首項(xiàng)+(項(xiàng)數(shù)-1)×公差
小結(jié)
例題 2：逆向思考
（1）等差數(shù)列：7，10，13，16，……，其中 58 是第（ ）項(xiàng)。
（2）等差數(shù)列：15，17，19，21，……，其中 99 是第（ ）項(xiàng)。
【易學(xué)點(diǎn)撥】
根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：an=a1+(n-1)×d，找出首項(xiàng)、公差和末項(xiàng)，替換掉字母，再用逐步還原求出項(xiàng)數(shù)。根據(jù)還原的過程，我們得出項(xiàng)數(shù)公式：
n = ( an - a1 ) ÷ d +1
項(xiàng)數(shù) =（末項(xiàng)-首項(xiàng))÷公差+1
n=(an-a1)÷d+1
(58-7)÷3+1
公差：d=
首項(xiàng)：a1=7
末項(xiàng)：an=58
10-7=3
= 51÷3+1
18
n=(an-a1)÷d+1
(99-15)÷2+1
公差：d=
首項(xiàng)：a1=15
末項(xiàng)：an=99
17-15=2
= 84÷2+1
43
= 18
= 43
練習(xí) 2：
（1）同學(xué)們做操時(shí)站成了一個(gè)等差數(shù)列，其中第一排有學(xué)生 45 人，最后一排有學(xué)生 72人，每相鄰兩排相差 3 人，那么這個(gè)隊(duì)伍一共有（ ）排。
（2）一堆積木，最下面一層有 80 個(gè)，最上面一層有 12 個(gè)，每相鄰兩層相差 4 個(gè)，這堆積木堆了（ ）層。你學(xué)會了嗎？
n=(an-a1)÷d+1
(72-45)÷3+1
公差： d=3
首項(xiàng)：a1=45
末項(xiàng)：an=72
= 27÷3+1
10
n=(an-a1)÷d+1
(80-12)÷4+1
公差： d=4
首項(xiàng)：a1=12
末項(xiàng)：an=80
= 68÷4+1
18
= 10
= 18
1、一列數(shù)中，每相鄰兩個(gè)數(shù)的差都是一個(gè)固定的數(shù)時(shí)，我們就把這樣的一列數(shù)叫做等差數(shù)列； 公差：d；首項(xiàng)：a1；末項(xiàng)：an；項(xiàng)數(shù)：n
2、先找出等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差，再根據(jù)規(guī)律：第n項(xiàng)要在首項(xiàng)上加上(n-1) 個(gè)公差，得出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式： an=a1+(n-1)×d
3、根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：an=a1+(n-1)×d，找出首項(xiàng)、公差和末項(xiàng)，替換掉字母，再用逐步還原求出項(xiàng)數(shù)。根據(jù)還原的過程，我們得出項(xiàng)數(shù)公式：
n = ( an - a1 ) ÷ d +1
項(xiàng)數(shù) =（末項(xiàng)-首項(xiàng))÷公差+1
小結(jié)
例題 3：計(jì)算 10+13+16+……+49
【易學(xué)點(diǎn)撥】
1. 先根據(jù)項(xiàng)數(shù)公式計(jì)算出項(xiàng)數(shù)。
2. 再用求和公式計(jì)算出和。
S1：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10
S2：10+9+8+7+6+5+4+3+2+1
S1+S2：（1+10）×10=110
S1：（1+10）×10÷2=55
和：（首項(xiàng)+末項(xiàng)）×項(xiàng)數(shù)÷2
項(xiàng)數(shù)：(49-10)÷3+1
公差：d=13-10=3
首項(xiàng)：a1=10
末項(xiàng)：an=49
= 39÷3+1
和： (10+49)×14÷2
= 59×14÷2
= 413
項(xiàng)數(shù) ： (末項(xiàng)-首項(xiàng))÷公差+1
和 ：(首項(xiàng)+末項(xiàng))×項(xiàng)數(shù)÷2
= 14
練習(xí) 3：試一試
① 計(jì)算 50+55+60+……+245
② 計(jì)算 384+378+372+……+102
和 ：(首項(xiàng)+末項(xiàng))×項(xiàng)數(shù)÷2
項(xiàng)數(shù)：(末項(xiàng)-首項(xiàng))÷公差+1
項(xiàng)數(shù)：(245-50)÷5+1
公差：d=55-50=5
首項(xiàng)：a1=50
末項(xiàng)：an=245
= 195÷5+1
和：（50+245）×40÷2
= 295×（40÷2）
= 295×20
= 5900
和：（384+102）×48÷2
= 486×（48÷2）
= 486×24
= 11664
項(xiàng)數(shù)：(384-102)÷6+1
= 282÷6+1
公差：d=384-378=6
首項(xiàng)：a1=384
末項(xiàng)：an=102
= 47+1
= 39+1
= 40
= 48
1、一列數(shù)中，每相鄰兩個(gè)數(shù)的差都是一個(gè)固定的數(shù)時(shí)，我們就把這樣的一列數(shù)叫做等差數(shù)列；
公差：d；首項(xiàng)：a1；末項(xiàng)：an；項(xiàng)數(shù)：n
2、先找出等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差，再根據(jù)規(guī)律：第n項(xiàng)要在首項(xiàng)上加上(n-1) 個(gè)公差，得出
等差數(shù)列的通項(xiàng)公式： an=a1+(n-1)×d
3、根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：an=a1+(n-1)×d，找出首項(xiàng)、公差和末項(xiàng)，替換掉字母，再用逐步還原求出項(xiàng)數(shù)。根據(jù)還原的過程，我們得出項(xiàng)數(shù)公式：
n = ( an - a1 ) ÷ d +1
項(xiàng)數(shù) =（末項(xiàng)-首項(xiàng))÷公差+1
4、先根據(jù)項(xiàng)數(shù)公式計(jì)算出項(xiàng)數(shù) n=(an-a1)÷d+1
再用求和公式計(jì)算出和 S=(a1+an)×n÷2
小結(jié)
項(xiàng)數(shù) ： (末項(xiàng)-首項(xiàng))÷公差+1
和 ：(首項(xiàng)+末項(xiàng))×項(xiàng)數(shù)÷2
例題 4：一個(gè)等差數(shù)列的第 4 項(xiàng)是 18，第 18 項(xiàng)是 88，這個(gè)等差數(shù)列的第一項(xiàng)是多少？第 40 項(xiàng)是多少？前 40 項(xiàng)的和是多少？
a4 = 18
a18= 88
相差項(xiàng)：18-4=14
相差：88-18=70
公差：70÷14=5
第1項(xiàng)：18-(4-1)×5
= 18-15
= 3
第40項(xiàng)： 3+（40-1）×5
= 3+39×5
= 3+195
= 198
3，8，13，18，23，28，33……
前40項(xiàng)的和：（3+198）×40÷2
= 201×（40÷2）
= 201×20
= 4020
答：這個(gè)等差數(shù)列的第一項(xiàng)是3，第40項(xiàng)是198，前40項(xiàng)的和是4020。
練習(xí) 4：（1）一個(gè)等差數(shù)列的第 7 項(xiàng)是 40，第 20 項(xiàng)是 92，第一項(xiàng)是多少？第 45 項(xiàng)是多少？前 45 項(xiàng)的和是多少？
a7 = 40
a20= 92
相差項(xiàng)：20-7=13
相差：92-40=52
公差：52÷13=4
第1項(xiàng)：40-(7-1)×4
= 40-24
= 16
第45項(xiàng)： 16+（45-1）×4
= 16+ 44×4
= 16+176
= 192
16，20，24，28，32，36，40，44，48……
前45項(xiàng)的和：（16+192）×45÷2
= 208×45÷2
= 9360÷2
= 4680
答：這個(gè)等差數(shù)列的第一項(xiàng)是16，第45項(xiàng)是192，前45項(xiàng)的和是4680。
練習(xí) 4：（2）一個(gè)等差數(shù)列的第 9 項(xiàng)是 48，第 20 項(xiàng)是 103，第一項(xiàng)是多少？第 30 項(xiàng)是多少？前 30 項(xiàng)的和是多少？
a9 = 48
a20= 103
相差項(xiàng)：20-9=11
相差：103-48=55
公差：55÷11=5
第1項(xiàng)：48-8×5
= 48-40
= 8
第30項(xiàng)： 8+（30-1）×5
= 8+ 29×5
= 8+145
= 153
8，13，18，23，28，33，38，43，48……
前30項(xiàng)的和： （8+153）×30÷2
= 161×(30÷2)
= 161×15
= 2415
答：這個(gè)等差數(shù)列的第一項(xiàng)是8，第45項(xiàng)是153，前45項(xiàng)的和是2415。
1、等差數(shù)列概念；公差：d 首項(xiàng)：a1 末項(xiàng)：an 項(xiàng)數(shù)：n
2、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式： an= a1 + ( n - 1)×d
3、項(xiàng)數(shù)公式： n = ( an - a1 ) ÷ d +1
4、求和公式： S=(a1+an)×n÷2
5、已知中間兩項(xiàng)，求首項(xiàng)和末項(xiàng)，求和。
小結(jié)
1、觀察規(guī)律填空。
（1）等差數(shù)列：19，22，25，28，……的第 45 項(xiàng)是（ ）。
（2）等差數(shù)列：30，34，38，42，……，102 共有（ ）項(xiàng)。
an = a1+(n-1)×d
19+(45-1)×（22-19）
=151
151
n=(an-a1)÷d+1
(102-30)÷（34-30)+1
= 19
19
=19+44×3
= 72÷4+1
2、計(jì)算 45+49+53+57+……+97
3、一個(gè)等差數(shù)列的第 8 項(xiàng)是 43，第 17 項(xiàng)是 97，這個(gè)等差數(shù)列的第一項(xiàng)是多少？第 25 項(xiàng)是多少？前 25 項(xiàng)的和是多少？
項(xiàng)數(shù)：(97-45)÷(49-45)+1
= 52÷4+1
= 14
和：（45+97）×14÷2
= 142×14÷2
= 1998÷2
= 994
a8=43 a17=97
相差項(xiàng)：17-8=9
相差：97-43=54
公差d：54÷9=6
第1項(xiàng)：43-7×6=1
第25項(xiàng)： 1+（25-1）×6
= 1+24×6
= 1+144
= 145
前25項(xiàng)的和：（1+145）×45÷2
= 146×45÷2
= 3285
答：這個(gè)等差數(shù)列的第一項(xiàng)是1，第25項(xiàng)是145，前25項(xiàng)的和是3285。
THANKS

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