資源簡介

章末檢測試卷二(第七章)
［時間：120分鐘 分值：150分］
一、單項選擇題(本題共8小題，每小題5分，共40分)
1.(2023·新高考全國Ⅰ)已知z=，則z-等于(　　)
A.- i B.i C.0 D.1
答案　A
解析　因為z==
==-i，所以=i，
即z-=-i.
2.(2023·新高考全國Ⅱ)在復平面內(nèi)，(1+3i)(3-i)對應的點位于(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
答案　A
解析　因為(1+3i)(3-i)=3+8i-3i2=6+8i，
則所求復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點為(6，8)，位于第一象限.
3.若z1，z2為復數(shù)，則“z1+z2是實數(shù)”是“z1，z2互為共軛復數(shù)”的(　　)
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
答案　B
解析　由題意，不妨設z1=a+bi，
z2=c+di(a，b，c，d∈R)，
若z1+z2是實數(shù)，則z1+z2=a+bi+c+di=(a+c)+(b+d)i∈R，
故b+d=0，即b=-d，
由于a，c不一定相等，故z1，z2不一定互為共軛復數(shù)，故充分性不成立；
若z1，z2互為共軛復數(shù)，則z2=a-bi，
故z1+z2=2a∈R，故必要性成立.
因此“z1+z2是實數(shù)”是“z1，z2互為共軛復數(shù)”的必要不充分條件.
4.設i是虛數(shù)單位，x是實數(shù)，若復數(shù)的虛部是2，則x等于(　　)
A.4 B.2 C.-2 D.-4
答案　D
解析　復數(shù)=
==-x-xi，
∵復數(shù)(x∈R)的虛部為2，
∴-x=2，∴x=-4.
5.(2022·全國乙卷)已知z=1-2i，且z+a+b=0，其中a，b為實數(shù)，則(　　)
A.a=1，b=-2 B.a=-1，b=2
C.a=1，b=2 D.a=-1，b=-2
答案　A
解析　由題意知=1+2i，
所以z+a+b=1-2i+a(1+2i)+b
=a+b+1+(2a-2)i，
又z+a+b=0，且a，b∈R，
所以解得
6.設復數(shù)z1，z2在復平面內(nèi)的對應點關于虛軸對稱，且z1=3-2i，則|+z2|等于(　　)
A.2 B.5 C.3 D.10
答案　D
解析　由題意得，z2=-3-2i，
∴+z2=(3-2i)2+(-3-2i)
=5-12i-3-2i=2-14i，
∴|+z2|==10.
7.復數(shù)z=(a∈R)為純虛數(shù)，則|2a+i|等于(　　)
A. B. C.2 D.3
答案　B
解析　因為z=為純虛數(shù)，
所以設z=bi(b∈R，b≠0)，
即bi=，則bi(a+i)=2-i，
因此-b+abi=2-i，
從而即
所以|2a+i|=|1+i|==.
8.1748年，瑞士數(shù)學家歐拉發(fā)現(xiàn)了復指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)的關系，并寫出以下公式eix=cos x+isin x(e是自然對數(shù)的底數(shù)，i是虛數(shù)單位)，這個公式在復變論中占有非常重要的地位，被譽為“數(shù)學中的天橋”.下列說法正確的是(　　)
A.+1=0 B.=1
C.cos x= D.sin x=
答案　C
解析　對于A，當x=時，
因為=cos+isin=i，
所以+1=i+1≠0，選項A錯誤；
對于B，=
==eπi=cos π+isin π=-1，選項B錯誤；
對于C，由eix=cos x+isin x，
得e-ix=cos(-x)+isin(-x)=cos x-isin x，
所以eix+e-ix=2cos x，
得出cos x=，選項C正確；
對于D，由C選項的分析得eix-e-ix=2isin x，得出sin x=-i，選項D錯誤.
二、多項選擇題(本題共3小題，每小題6分，共18分.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分)
9.已知i為虛數(shù)單位，下列說法中正確的是(　　)
A.若復數(shù)z滿足|z-i|=，則復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點在以(1，0)為圓心，為半徑的圓上
B.若復數(shù)z滿足z+|z|=2+8i，則復數(shù)z=-15+8i
C.若復數(shù)z1，z2滿足|z1|=|z2|，則z1·=z2·
D.若復數(shù)z1，z2滿足|z1|=|z2|，則=
答案　BC
解析　滿足|z-i|=的復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點在以(0，1)為圓心，為半徑的圓上，故A錯誤；
設z=a+bi(a，b∈R)，
則|z|=，由z+|z|=2+8i，
得a+bi+=2+8i，
故解得
∴z=-15+8i，故B正確；
設z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，a1，b1，a2，b2∈R，
若|z1|=|z2|，則=，
即+=+，
∴z1·=+=+=z2·，故C正確；
若z1=1，z2=i，則|z1|=|z2|，
而=1，=-1，故D錯誤.
10.已知集合M=｛m|m=in，n∈N*｝，其中i為虛數(shù)單位，則下列元素屬于集合M的是(　　)
A.(1-i)(1+i) B.
C. D.(1-i)2
答案　BC
解析　根據(jù)題意，M=｛m|m=in，n∈N*｝，
當n=4k(k∈N*)時，in=1；
當n=4k+1(k∈N)時，in=i；
當n=4k+2(k∈N)時，in=-1；
當n=4k+3(k∈N)時，in=-i，
∴M=｛-1，1，i，-i｝.
選項A中，(1-i)(1+i)=2 M；
選項B中，==-i∈M；
選項C中，==i∈M；
選項D中，(1-i)2=-2i M.
11.已知z1，z2∈C，下列命題正確的是(　　)
A.|z1|2=
B.=(z2≠0)
C.若z1·z2=0，則z1，z2至少有1個為0
D.若z1，z2是兩個虛數(shù)，z1+z2∈R，z1·z2∈R，則z1，z2為共軛復數(shù)
答案　BCD
解析　設z1=a+bi，z2=c+di，a，b，c，d∈R.
對于選項A，例如z1=i，則|z1|2=1，=-1，
顯然|z1|2≠，故A錯誤；
對于選項B，因為z2≠0，
則===+i，
可得=-i；
又因為=a-bi，=c-di，
可得===-i，
所以=(z2≠0)，故B正確；
對于選項C，因為z1·z2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i=0，
可得
解得a=b=0或c=d=0，
即z1=0或z2=0，
所以z1，z2至少有1個為0，故C正確；
對于選項D，若z1，z2是兩個虛數(shù)，則b≠0，d≠0，
因為z1+z2=(a+c)+(b+d)i∈R，
則b+d=0，即b=-d，
又因為z1·z2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i∈R，
則ad+bc=0，即ad-dc=0，可得a=c，
所以z1=c-di=，即z1，z2為共軛復數(shù)，故D正確.
三、填空題(本題共3小題，每小題5分，共15分)
12.(2023·天津)已知i是虛數(shù)單位，化簡的結(jié)果為　　　　.
答案　4+i
解析　由題意可得===4+i.
13.若復數(shù)z=a+i(a∈R)與它的共軛復數(shù)所對應的向量互相垂直，則a=　　　　.
答案　±1
解析　=a-i，因為復數(shù)z與它的共軛復數(shù)所對應的向量互相垂直，所以a2=1，所以a=±1.
14.如果1-2i是關于x的實系數(shù)方程x2+px+q=0的一個根，其中i是虛數(shù)單位，則pq=　　　　.
答案　-10
解析　因為1-2i是關于x的實系數(shù)方程x2+px+q=0的一個根，
所以(1-2i)2+p(1-2i)+q=0，
即p+q-3-(2p+4)i=0，
所以解得
所以pq=-10.
四、解答題(本題共5小題，共77分)
15.(13分)已知復數(shù)z=(a2-2a-3)+(a+1)i，a∈R.
(1)當z為純虛數(shù)時，求復數(shù)z2 024；(6分)
(2)當a=0時，復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點記為點A，將點A繞著原點順時針旋轉(zhuǎn)90°到達點B，求所對應的復數(shù)的共軛復數(shù).(7分)
解　(1)由題意得解得a=3，
所以z=4i，則z2 024=(4i)2 024=42 024.
(2)當a=0時，z=-3+i，
則A(-3，1)，則B(1，3)，
所以=(4，2)，
所對應的復數(shù)z1=4+2i，
所以=4-2i.
16.(15分)已知m∈R，復數(shù)z=(m-2)+(m2-9)i.
(1)若z在復平面內(nèi)對應的點在第一象限，求m的取值范圍；(6分)
(2)若z的共軛復數(shù)與復數(shù)+5i相等，求m的值.(9分)
解　(1)由題意得解得m>3，
所以m的取值范圍是｛m|m>3｝.
(2)因為z=(m-2)+(m2-9)i，
所以=(m-2)+(9-m2)i，
因為與復數(shù)+5i相等，
所以解得m=-2.
17.(15分)已知復數(shù)z1滿足(1+i)z1=-1+5i，z2=a-2-i，其中i為虛數(shù)單位，a∈R，若|z1-|<|z1|，求a的取值范圍.
解　由題意，得z1==2+3i，
因為z2=a-2-i，所以=a-2+i，
所以|z1-|=|(2+3i)-(a-2+i)|
=|4-a+2i|=，|z1|=，
又因為|z1-|<|z1|，
所以<，
所以a2-8a+7<0，解得1所以a的取值范圍是(1，7).
18.(17分)已知復數(shù)z滿足|z|=，z2的虛部為2.
(1)求復數(shù)z；(7分)
(2)設z，z2，z-z2在復平面內(nèi)對應的點分別為A，B，C，求△ABC的面積.(10分)
解　(1)設z=a+bi(a，b∈R)，
由已知條件得a2+b2=2，
因為z2=a2-b2+2abi，所以2ab=2.
所以a=b=1或a=b=-1，
即z=1+i或z=-1-i.
(2)當z=1+i時，
z2=(1+i)2=2i，z-z2=1-i.
所以點A(1，1)，B(0，2)，C(1，-1)，
所以S△ABC=|AC|×1=×2×1=1；
當z=-1-i時，
z2=(-1-i)2=2i，z-z2=-1-3i.
所以點A(-1，-1)，B(0，2)，C(-1，-3)，
所以S△ABC=|AC|×1=×2×1=1.
綜上，△ABC的面積為1.
19.(17分)已知復數(shù)z滿足|z|=1，且關于x的方程zx2+2x+2=0有實根，其中為z的共軛復數(shù)，求滿足條件的z構(gòu)成的集合.
解　設z=a+bi(a，b∈R)，
則a2+b2=1，
代入原方程得(a+bi)x2+2(a-bi)x+2=0，
即ax2+2ax+2+(bx2-2bx)i=0，
若b=0，則a2=1，解得a=±1，
當a=1時，①無實數(shù)解；當a=-1時，存在實數(shù)解x=-1±滿足①，②，故z=-1滿足條件.
若b≠0，則由②知x∈｛0，2｝，
當x=0時不滿足①，故x=2，
代入①解得a=-，進而b=±，
即z=，
綜上，滿足條件的z構(gòu)成的集合為.章末檢測試卷二(第七章)
［時間：120分鐘 分值：150分］
一、單項選擇題(本題共8小題，每小題5分，共40分)
1.(2023·新高考全國Ⅰ)已知z=，則z-等于(　　)
A.- i B.i C.0 D.1
2.(2023·新高考全國Ⅱ)在復平面內(nèi)，(1+3i)(3-i)對應的點位于(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
3.若z1，z2為復數(shù)，則“z1+z2是實數(shù)”是“z1，z2互為共軛復數(shù)”的(　　)
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
4.設i是虛數(shù)單位，x是實數(shù)，若復數(shù)的虛部是2，則x等于(　　)
A.4 B.2 C.-2 D.-4
5.(2022·全國乙卷)已知z=1-2i，且z+a+b=0，其中a，b為實數(shù)，則(　　)
A.a=1，b=-2 B.a=-1，b=2
C.a=1，b=2 D.a=-1，b=-2
6.設復數(shù)z1，z2在復平面內(nèi)的對應點關于虛軸對稱，且z1=3-2i，則|+z2|等于(　　)
A.2 B.5 C.3 D.10
7.復數(shù)z=(a∈R)為純虛數(shù)，則|2a+i|等于(　　)
A. B. C.2 D.3
8.1748年，瑞士數(shù)學家歐拉發(fā)現(xiàn)了復指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)的關系，并寫出以下公式eix=cos x+isin x(e是自然對數(shù)的底數(shù)，i是虛數(shù)單位)，這個公式在復變論中占有非常重要的地位，被譽為“數(shù)學中的天橋”.下列說法正確的是(　　)
A.+1=0 B.=1
C.cos x= D.sin x=
二、多項選擇題(本題共3小題，每小題6分，共18分.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分)
9.已知i為虛數(shù)單位，下列說法中正確的是(　　)
A.若復數(shù)z滿足|z-i|=，則復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點在以(1，0)為圓心，為半徑的圓上
B.若復數(shù)z滿足z+|z|=2+8i，則復數(shù)z=-15+8i
C.若復數(shù)z1，z2滿足|z1|=|z2|，則z1·=z2·
D.若復數(shù)z1，z2滿足|z1|=|z2|，則=
10.已知集合M=｛m|m=in，n∈N*｝，其中i為虛數(shù)單位，則下列元素屬于集合M的是(　　)
A.(1-i)(1+i) B.
C. D.(1-i)2
11.已知z1，z2∈C，下列命題正確的是(　　)
A.|z1|2=
B.=(z2≠0)
C.若z1·z2=0，則z1，z2至少有1個為0
D.若z1，z2是兩個虛數(shù)，z1+z2∈R，z1·z2∈R，則z1，z2為共軛復數(shù)
三、填空題(本題共3小題，每小題5分，共15分)
12.(2023·天津)已知i是虛數(shù)單位，化簡的結(jié)果為　　　　.
13.若復數(shù)z=a+i(a∈R)與它的共軛復數(shù)所對應的向量互相垂直，則a=　　　　.
14.如果1-2i是關于x的實系數(shù)方程x2+px+q=0的一個根，其中i是虛數(shù)單位，則pq=　　　　.
四、解答題(本題共5小題，共77分)
15.(13分)已知復數(shù)z=(a2-2a-3)+(a+1)i，a∈R.
(1)當z為純虛數(shù)時，求復數(shù)z2 024；(6分)
(2)當a=0時，復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點記為點A，將點A繞著原點順時針旋轉(zhuǎn)90°到達點B，求所對應的復數(shù)的共軛復數(shù).(7分)
16.(15分)已知m∈R，復數(shù)z=(m-2)+(m2-9)i.
(1)若z在復平面內(nèi)對應的點在第一象限，求m的取值范圍；(6分)
(2)若z的共軛復數(shù)與復數(shù)+5i相等，求m的值.(9分)
17.(15分)已知復數(shù)z1滿足(1+i)z1=-1+5i，z2=a-2-i，其中i為虛數(shù)單位，a∈R，若|z1-|<|z1|，求a的取值范圍.
18.(17分)已知復數(shù)z滿足|z|=，z2的虛部為2.
(1)求復數(shù)z；(7分)
(2)設z，z2，z-z2在復平面內(nèi)對應的點分別為A，B，C，求△ABC的面積.(10分)
19.(17分)已知復數(shù)z滿足|z|=1，且關于x的方程zx2+2x+2=0有實根，其中為z的共軛復數(shù)，求滿足條件的z構(gòu)成的集合.(共48張PPT)
第七章
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章末檢測試卷二(第七章)
答案
對一對
題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9
答案 A A B D A D B C BC
題號 10 11 12 13 14
答案 BC　 BCD 4+i ±1 -10
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(1)由題意得解得a=3，
所以z=4i，則z2 024=(4i)2 024=42 024.
(2)當a=0時，z=-3+i，
則A(-3，1)，則B(1，3)，
所以=(4，2)，
所對應的復數(shù)z1=4+2i，所以=4-2i.
16.
(1)由題意得解得m>3，
所以m的取值范圍是｛m|m>3｝.
(2)因為z=(m-2)+(m2-9)i，
所以=(m-2)+(9-m2)i，
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因為與復數(shù)+5i相等，所以解得m=-2.
17.
由題意，得z1==2+3i，
因為z2=a-2-i，所以=a-2+i，
所以|z1-|=|(2+3i)-(a-2+i)|=|4-a+2i|=，
|z1|=，
又因為|z1-|<|z1|，所以<，
所以a2-8a+7<0，解得1答案
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(1)設z=a+bi(a，b∈R)，
由已知條件得a2+b2=2，
因為z2=a2-b2+2abi，
所以2ab=2.
所以a=b=1或a=b=-1，
即z=1+i或z=-1-i.
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18.
(2)當z=1+i時，z2=(1+i)2=2i，z-z2=1-i.
所以點A(1，1)，B(0，2)，C(1，-1)，
所以S△ABC=|AC|×1=×2×1=1；
當z=-1-i時，
z2=(-1-i)2=2i，z-z2=-1-3i.
所以點A(-1，-1)，B(0，2)，C(-1，-3)，
所以S△ABC=|AC|×1=×2×1=1.綜上，△ABC的面積為1.
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設z=a+bi(a，b∈R)，
則a2+b2=1，
代入原方程得(a+bi)x2+2(a-bi)x+2=0，
即ax2+2ax+2+(bx2-2bx)i=0，
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19.
若b=0，則a2=1，解得a=±1，
當a=1時，①無實數(shù)解；當a=-1時，存在實數(shù)解x=-1±滿足①，②，故z=-1滿足條件.
若b≠0，則由②知x∈｛0，2｝，
當x=0時不滿足①，故x=2，
代入①解得a=-，進而b=±，
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即z=，
綜上，滿足條件的z構(gòu)成的集合為.
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一、單項選擇題
1.(2023·新高考全國Ⅰ)已知z=，則z-等于
A.-i B.i C.0 D.1
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因為z====-i，所以=i，
即z-=-i.
答案
2.(2023·新高考全國Ⅱ)在復平面內(nèi)，(1+3i)(3-i)對應的點位于
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
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√
因為(1+3i)(3-i)=3+8i-3i2=6+8i，
則所求復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點為(6，8)，位于第一象限.
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答案
3.若z1，z2為復數(shù)，則“z1+z2是實數(shù)”是“z1，z2互為共軛復數(shù)”的
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
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由題意，不妨設z1=a+bi，
z2=c+di(a，b，c，d∈R)，
若z1+z2是實數(shù)，則z1+z2=a+bi+c+di=(a+c)+(b+d)i∈R，
故b+d=0，即b=-d，
由于a，c不一定相等，故z1，z2不一定互為共軛復數(shù)，故充分性不成立；
若z1，z2互為共軛復數(shù)，則z2=a-bi，
故z1+z2=2a∈R，故必要性成立.
因此“z1+z2是實數(shù)”是“z1，z2互為共軛復數(shù)”的必要不充分條件.
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4.設i是虛數(shù)單位，x是實數(shù)，若復數(shù)的虛部是2，則x等于
A.4 B.2 C.-2 D.-4
√
復數(shù)===-x-xi，
∵復數(shù)(x∈R)的虛部為2，
∴-x=2，∴x=-4.
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5.(2022·全國乙卷)已知z=1-2i，且z+a+b=0，其中a，b為實數(shù)，則
A.a=1，b=-2 B.a=-1，b=2
C.a=1，b=2 D.a=-1，b=-2
√
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由題意知=1+2i，
所以z+a+b=1-2i+a(1+2i)+b
=a+b+1+(2a-2)i，
又z+a+b=0，且a，b∈R，
所以
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6.設復數(shù)z1，z2在復平面內(nèi)的對應點關于虛軸對稱，且z1=3-2i，則|+z2|等于
A.2 B.5 C.3 D.10
√
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由題意得，z2=-3-2i，
∴+z2=(3-2i)2+(-3-2i)=5-12i-3-2i=2-14i，
∴|+z2|==10.
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7.復數(shù)z=(a∈R)為純虛數(shù)，則|2a+i|等于
A. B. C.2 D.3
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因為z=為純虛數(shù)，
所以設z=bi(b∈R，b≠0)，
即bi=，則bi(a+i)=2-i，
因此-b+abi=2-i，從而
所以|2a+i|=|1+i|==.
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答案
8.1748年，瑞士數(shù)學家歐拉發(fā)現(xiàn)了復指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)的關系，并寫出以下公式eix=cos x+isin x(e是自然對數(shù)的底數(shù)，i是虛數(shù)單位)，這個公式在復變論中占有非常重要的地位，被譽為“數(shù)學中的天橋”.下列說法正確的是
A.+1=0 B.=1
C.cos x= D.sin x=
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對于A，當x=時，
因為=cos+isin=i，
所以+1=i+1≠0，選項A錯誤；
對于B，===eπi=cos π+isin π=-1，選項B錯誤；
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對于C，由eix=cos x+isin x，
得e-ix=cos(-x)+isin(-x)=cos x-isin x，
所以eix+e-ix=2cos x，
得出cos x=，選項C正確；
對于D，由C選項的分析得eix-e-ix=2isin x，得出sin x=-i，選項D錯誤.
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答案
二、多項選擇題
9.已知i為虛數(shù)單位，下列說法中正確的是
A.若復數(shù)z滿足|z-i|=，則復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點在以(1，0)為圓心，
為半徑的圓上
B.若復數(shù)z滿足z+|z|=2+8i，則復數(shù)z=-15+8i
C.若復數(shù)z1，z2滿足|z1|=|z2|，則z1·=z2·
D.若復數(shù)z1，z2滿足|z1|=|z2|，則=
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滿足|z-i|=的復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點在以(0，1)為圓心，為半徑的圓上，故A錯誤；
設z=a+bi(a，b∈R)，
則|z|=，由z+|z|=2+8i，
得a+bi+=2+8i，
故
∴z=-15+8i，故B正確；
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設z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，a1，b1，a2，b2∈R，
若|z1|=|z2|，則=，
即+=+，
∴z1·=+=+=z2·，故C正確；
若z1=1，z2=i，則|z1|=|z2|，
而=1，=-1，故D錯誤.
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10.已知集合M=｛m|m=in，n∈N*｝，其中i為虛數(shù)單位，則下列元素屬于集合M的是
A.(1-i)(1+i) B.
C. D.(1-i)2
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根據(jù)題意，M=｛m|m=in，n∈N*｝，
當n=4k(k∈N*)時，in=1；
當n=4k+1(k∈N)時，in=i；
當n=4k+2(k∈N)時，in=-1；
當n=4k+3(k∈N)時，in=-i，
∴M=｛-1，1，i，-i｝.
選項A中，(1-i)(1+i)=2 M；
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選項B中，==-i∈M；
選項C中，==i∈M；
選項D中，(1-i)2=-2i M.
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11.已知z1，z2∈C，下列命題正確的是
A.|z1|2=
B.=(z2≠0)
C.若z1·z2=0，則z1，z2至少有1個為0
D.若z1，z2是兩個虛數(shù)，z1+z2∈R，z1·z2∈R，則z1，z2為共軛復數(shù)
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設z1=a+bi，z2=c+di，a，b，c，d∈R.
對于選項A，例如z1=i，則|z1|2=1，=-1，
顯然|z1|2≠，故A錯誤；
對于選項B，因為z2≠0，
則===+i，可得=-i；
又因為=a-bi，=c-di，可得===-i，
所以=(z2≠0)，故B正確；
答案
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對于選項C，因為z1·z2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i=0，
可得
解得a=b=0或c=d=0，
即z1=0或z2=0，
所以z1，z2至少有1個為0，故C正確；
對于選項D，若z1，z2是兩個虛數(shù)，則b≠0，d≠0，
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因為z1+z2=(a+c)+(b+d)i∈R，
則b+d=0，即b=-d，
又因為z1·z2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i∈R，
則ad+bc=0，即ad-dc=0，可得a=c，
所以z1=c-di=，即z1，z2為共軛復數(shù)，故D正確.
答案
三、填空題
12.(2023·天津)已知i是虛數(shù)單位，化簡的結(jié)果為　　　　.
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4+i
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由題意可得===4+i.
答案
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13.若復數(shù)z=a+i(a∈R)與它的共軛復數(shù)所對應的向量互相垂直，則a=　　　.
±1
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=a-i，因為復數(shù)z與它的共軛復數(shù)所對應的向量互相垂直，所以a2=1，所以a=±1.
答案
14.如果1-2i是關于x的實系數(shù)方程x2+px+q=0的一個根，其中i是虛數(shù)單位，則pq=　　　　.
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-10
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因為1-2i是關于x的實系數(shù)方程x2+px+q=0的一個根，
所以(1-2i)2+p(1-2i)+q=0，
即p+q-3-(2p+4)i=0，
所以
所以pq=-10.
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答案
四、解答題
15.已知復數(shù)z=(a2-2a-3)+(a+1)i，a∈R.
(1)當z為純虛數(shù)時，求復數(shù)z2 024；
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由題意得解得a=3，
所以z=4i，則z2 024=(4i)2 024=42 024.
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答案
(2)當a=0時，復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點記為點A，將點A繞著原點順時針旋轉(zhuǎn)90°到達點B，求所對應的復數(shù)的共軛復數(shù).
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當a=0時，z=-3+i，
則A(-3，1)，則B(1，3)，
所以=(4，2)，
所對應的復數(shù)z1=4+2i，所以=4-2i.
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16.已知m∈R，復數(shù)z=(m-2)+(m2-9)i.
(1)若z在復平面內(nèi)對應的點在第一象限，求m的取值范圍；
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由題意得解得m>3，
所以m的取值范圍是｛m|m>3｝.
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(2)若z的共軛復數(shù)與復數(shù)+5i相等，求m的值.
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因為z=(m-2)+(m2-9)i，
所以=(m-2)+(9-m2)i，
因為+5i相等，所以解得m=-2.
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17.已知復數(shù)z1滿足(1+i)z1=-1+5i，z2=a-2-i，其中i為虛數(shù)單位，a∈R，若|z1-|<|z1|，求a的取值范圍.
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由題意，得z1==2+3i，
因為z2=a-2-i，所以=a-2+i，
所以|z1-|=|(2+3i)-(a-2+i)|
=|4-a+2i|=，|z1|=，
又因為|z1-|<|z1|，
所以<，
所以a2-8a+7<0，解得1所以a的取值范圍是(1，7).
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18.已知復數(shù)z滿足|z|=，z2的虛部為2.
(1)求復數(shù)z；
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設z=a+bi(a，b∈R)，
由已知條件得a2+b2=2，
因為z2=a2-b2+2abi，所以2ab=2.
所以a=b=1或a=b=-1，
即z=1+i或z=-1-i.
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(2)設z，z2，z-z2在復平面內(nèi)對應的點分別為A，B，C，求△ABC的面積.
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當z=1+i時，z2=(1+i)2=2i，z-z2=1-i.
所以點A(1，1)，B(0，2)，C(1，-1)，
所以S△ABC=|AC|×1=×2×1=1；
當z=-1-i時，z2=(-1-i)2=2i，z-z2=-1-3i.
所以點A(-1，-1)，B(0，2)，C(-1，-3)，
所以S△ABC=|AC|×1=×2×1=1.
綜上，△ABC的面積為1.
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19.已知復數(shù)z滿足|z|=1，且關于x的方程zx2+2x+2=0有實根，其中為z的共軛復數(shù)，求滿足條件的z構(gòu)成的集合.
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設z=a+bi(a，b∈R)，
則a2+b2=1，
代入原方程得(a+bi)x2+2(a-bi)x+2=0，
即ax2+2ax+2+(bx2-2bx)i=0，
若b=0，則a2=1，解得a=±1，
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當a=1時，①無實數(shù)解；當a=-1時，存在實數(shù)解x=-1±滿足①，②，故z=-1滿足條件.
若b≠0，則由②知x∈｛0，2｝，
當x=0時不滿足①，故x=2，
代入①解得a=-，進而b=±，即z=，
綜上，滿足條件的z構(gòu)成的集合為.
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