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(共37張PPT)
第5章 一元一次方程
全章熱門(mén)考點(diǎn)整合應(yīng)用
考點(diǎn)1 方程及方程的解
1. 下列各式：，（， 為已知
數(shù)），， 中，方程有( )
C
A. 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D. 4個(gè)
2.[2024南陽(yáng)期末] 已知關(guān)于的方程 的解是
，則 的值為_(kāi)__.
5
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考點(diǎn)2 等式的基本性質(zhì)
3. [2024新鄉(xiāng)期末] 下列利用等式的基本性質(zhì)變形錯(cuò)誤的是
( )
C
A. 若，則
B. 若，則
C. 若，則
D. 若，則
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考點(diǎn)3 一元一次方程的定義
4. 有下列方程：； ；
；； ，其中是一元一次方
程的有( )
A
A. 2個(gè) B. 3個(gè) C. 4個(gè) D. 1個(gè)
5. 已知是關(guān)于 的一元一次方程，則
( )
B
A. 3或1 B. 1 C. 3 D. 0
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考點(diǎn)4 解一元一次方程
6. 下列變形正確的是( )
D
A. 由移項(xiàng)得
B. 由去分母得
C. 由去括號(hào)得
D. 由去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類(lèi)項(xiàng)得
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7.解下列方程：
（1） ；
【解】，移項(xiàng)，得 ，
合并同類(lèi)項(xiàng)，得，系數(shù)化為1，得 .
（2） ;
，去括號(hào)，得 ，
移項(xiàng)，得，合并同類(lèi)項(xiàng)，得 .
（3） .
，
去分母，得 ，
去括號(hào)，得 ，
移項(xiàng)、合并同類(lèi)項(xiàng)，得 ，
系數(shù)化為1，得 .
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考點(diǎn)5 一元一次方程的應(yīng)用
8. [2024淮安期末] 如圖是某年1月份
的日歷表，在此表上可以用正方形圈
出 個(gè)位置的9個(gè)數(shù)（如3，4，5，
10，11，12，17，18，19），若圈出
的9個(gè)數(shù)中，最大數(shù)與最小數(shù)的和為
42，則這9個(gè)數(shù)的和為 ( )
D
A. 69 B. 207 C. 84 D. 189
【點(diǎn)撥】設(shè)中間的數(shù)為 ，則另外8
個(gè)數(shù)分別為，， ，
，，， ，
，根據(jù)題意得
，解得 ，
所以
.故選D.
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9. 如圖是由一些同樣大小的三角形按照一定規(guī)律所
組成的圖形，第1個(gè)圖形中有4個(gè)三角形.第2個(gè)圖形中有7個(gè)三
角形，第3個(gè)圖形中有10個(gè)三角形……按照此規(guī)律排列下去，
第個(gè)圖形中有2 026個(gè)三角形，則 _____.
675
【點(diǎn)撥】第1個(gè)圖形中有4個(gè)三角形，即 ；
第2個(gè)圖形中有7個(gè)三角形，即 ；
第3個(gè)圖形中有10個(gè)三角形，即 ；…；
按照此規(guī)律排列下去，第個(gè)圖形中有 個(gè)三角形，所
以，解得 .
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10.[2024長(zhǎng)春] 《九章算術(shù)》是我國(guó)第一部自成體系的數(shù)學(xué)專(zhuān)
著，其中“盈不足術(shù)”記載：今有共買(mǎi)金，人出四百，盈三千
四百；人出三百，盈一百.問(wèn)人數(shù)、金價(jià)各幾何？譯文：今有
人合伙買(mǎi)金，每人出400錢(qián)，剩余3 400錢(qián)；每人出300錢(qián)，
剩余100錢(qián).問(wèn)合伙人數(shù)和金價(jià)各是多少？請(qǐng)解答這個(gè)問(wèn)題.
【解】設(shè)合伙人數(shù)為 人，
由題意得 ，
解得 ，
所以 .
答：合伙人數(shù)為33人，金價(jià)為9 800錢(qián).
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11. 如圖，某校的飲水機(jī)有溫水、開(kāi)水兩個(gè)按鈕，
溫水和開(kāi)水共用一個(gè)出水口.溫水的溫度為 ，流速為
；開(kāi)水的溫度為，流速為 .某學(xué)生先接
了一會(huì)兒溫水，又接了一會(huì)兒開(kāi)水，得到一杯 溫度為
的水（不計(jì)熱損失），求該學(xué)生分別接溫水和開(kāi)水的時(shí)間.
物理常識(shí)：
開(kāi)水和溫水混合時(shí)會(huì)發(fā)生熱傳遞，開(kāi)水放出的熱量等于溫
水吸收的熱量，可以轉(zhuǎn)化為開(kāi)水的體積×開(kāi)水降低的溫度
溫水的體積×溫水升高的溫度.
【解】設(shè)該學(xué)生接溫水的時(shí)間
為 ，
根據(jù)題意可得
，解得
，， ，
.
答：該學(xué)生接溫水的時(shí)間為，接開(kāi)水的時(shí)間為 .
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12.小明的爸爸在工業(yè)區(qū)辦了一個(gè)工廠，投產(chǎn)后核算，產(chǎn)品的
成本分兩部分，一部分是直接生產(chǎn)成本，每個(gè)需8元，另一
部分是管理、宣傳、營(yíng)銷(xiāo)等與產(chǎn)品數(shù)量無(wú)關(guān)的費(fèi)用，全部需
240 000元.如果此產(chǎn)品的定價(jià)為16元，那么要使利潤(rùn)達(dá)到營(yíng)
業(yè)額的 ，至少要生產(chǎn)多少個(gè)產(chǎn)品？
【解】設(shè)至少生產(chǎn) 個(gè)產(chǎn)品，由題意可得
，即 ，
解得 ，
答：至少要生產(chǎn)60 000個(gè)產(chǎn)品.
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思想1 整體思想
13.解方程：
.
【解】去分母，得 ，
整理，得 ，
方程兩邊都除以3，得 ，
移項(xiàng)、合并同類(lèi)項(xiàng)，得，系數(shù)化為1，得 .
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思想2 分類(lèi)討論思想
14.為鼓勵(lì)居民節(jié)約用電，某市試行每月階梯電價(jià)收費(fèi)制度，
具體執(zhí)行方案如下：
檔次 每戶每月用電量（度） 執(zhí)行電價(jià)
（元/度）
第一檔 小于或等于200 0.5
第二檔 大于200且小于或等于450 時(shí)，超出200的部分 0.7
第三檔 大于450時(shí)，超出450的部分 1
（1）一戶居民七月份用電300度，則需繳電費(fèi)___________元.
170
（2）某戶居民五、六月份共用電500度，繳電費(fèi)290元.已知
該用戶六月份用電量大于五月份，且五、六月份的用電量均
小于450度，求該戶居民五、六月份分別用電多少度？
【解】設(shè)五月份用電為度，則六月份用電為 度，
當(dāng) 時(shí)，根據(jù)題意得
，解得
，此時(shí) ，
所以五月份用電100度，六月份用電400度；
當(dāng) 時(shí)，
根據(jù)題意得 ，此時(shí)方程無(wú)解，舍去.
綜上，五月份用電為100度，六月份用電為400度.
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思想3 數(shù)形結(jié)合思想
15.如圖，在數(shù)軸上點(diǎn)表示的數(shù)為，點(diǎn) 表示的數(shù)為40，
動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn) 出發(fā)以每秒5個(gè)單位的速度沿正方向運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)
從原點(diǎn)出發(fā)以每秒4個(gè)單位的速度沿正方向運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn) 從
點(diǎn) 出發(fā)以每秒8個(gè)單位的速度先沿負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，到達(dá)原點(diǎn)后
立即按原速返回，三點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)回到點(diǎn) 時(shí)，三點(diǎn)停
止運(yùn)動(dòng).
（1）當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為3秒時(shí)，點(diǎn)， 之間的距離是____單位.
21
（2）當(dāng) 個(gè)單位時(shí)，求三個(gè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間.
【解】設(shè)三個(gè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒.由題易知到 的時(shí)間為10
秒，到的時(shí)間為5秒，到的時(shí)間為10秒.當(dāng)?shù)?前時(shí)，
所表示的數(shù)為，所表示的數(shù)為， 所表示的數(shù)
為 .
①，相遇前，則，解得 ；
②，相遇后，到前，則 ，解得
；
當(dāng)、相遇后，到后時(shí)，所表示的數(shù)為， 所
表示的數(shù)為，所表示的數(shù)為 ，
，解得 .
綜上所述，當(dāng)個(gè)單位時(shí)，三個(gè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 秒或
秒或7秒.
（3）嘗試借助上面數(shù)學(xué)問(wèn)題的解題經(jīng)驗(yàn)，建立數(shù)軸完成下
面的實(shí)際問(wèn)題：
碼頭位于，兩碼頭之間，且知海里， 海
里，甲船從碼頭順流駛向碼頭，乙船從碼頭順流駛向
碼頭，丙船從碼頭開(kāi)往碼頭后立即調(diào)頭返回 碼頭.已知甲
船在靜水中的航速為5海里/時(shí)，乙船在靜水中的航速為4海里
/時(shí)，丙船在靜水中的航速為8海里/時(shí)，水流速度為2海里/時(shí)，
三艘船同時(shí)出發(fā)，每艘船都行駛到 碼頭停止.在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)
程中，是否存在某一時(shí)刻，這三艘船中的一艘恰好在另外兩
船之間，且與兩船的距離相等？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)甲船離
碼頭的距離；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
【解】建立如圖所示的數(shù)軸，碼頭所表示的數(shù)為，
碼頭所表示的數(shù)為0， 碼頭所表示的數(shù)為40.
甲船到碼頭的時(shí)間為時(shí)，甲船到碼頭的時(shí)間為 時(shí)，乙
船到碼頭的時(shí)間為時(shí)，丙船到碼頭的時(shí)間為 時(shí)，丙船
到碼頭的時(shí)間為時(shí)，甲船遇丙船的時(shí)間為 時(shí)，乙船遇丙
船的時(shí)間為 時(shí)，甲船追上乙船的時(shí)間為20時(shí)（舍去），丙
船追上甲船的時(shí)間為時(shí)（舍去）.設(shè)三艘船的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為
時(shí)，丙船到碼頭前，甲船所表示的數(shù)為 ；乙船所
表示的數(shù)為；丙船所表示的數(shù)為 .
①乙船與丙船相遇前： ，
解得，所以甲船離 碼頭的距離為
（海里）；
②乙船與丙船相遇后，甲船與丙船相遇前：
，解得 ，
所以甲船離碼頭的距離為
（海里）；
③甲船與丙船相遇后，丙船到 碼頭前：
，解得 ，
所以甲船離碼頭的距離為
（海里）；
④甲船與丙船相遇后，丙船到 碼頭后：甲船所表示的數(shù)為
；乙船所表示的數(shù)為40，丙船所表示的數(shù)為
. ，
解得 （舍去）.
綜上所述，在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，分別在小時(shí)、4小時(shí)、 小
時(shí)時(shí)，這三艘船中的一艘恰好在另外兩船之間，且與兩船的
距離相等，此時(shí)甲船離碼頭的距離分別為 海里、32海里、
20海里.
本題利用數(shù)形結(jié)合思想，運(yùn)用數(shù)軸輔助分析題意，
找到相等關(guān)系，列方程求解.
. .
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第5章 一元一次方程
1.等式的性質(zhì)與方程的簡(jiǎn)單變形
第1課時(shí) 等式的基本性質(zhì)
1. 若等式可以變形為 ,則有( )
C
A. B.
C. D. 為任意有理數(shù)
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2. 如圖，給一個(gè)平衡的天平兩邊分別加上一
個(gè)砝碼，天平仍平衡，下面與這一事實(shí)相符的是( )
A
A. 如果，那么
B. 如果，那么
C. 如果，那么
D. 如果，那么
返回
3. 根據(jù)等式的性質(zhì)，下列變形一定正確的是
( )
C
A. 若，則
B. 若，則
C. 若，則
D. 若，則
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4. 在物理學(xué)中，導(dǎo)體中的電流 跟導(dǎo)體兩端的電
壓、導(dǎo)體的電阻之間有以下關(guān)系： ，將等式變形可
得 ，那么其變形的依據(jù)是_________________.
等式的基本性質(zhì)2
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5. 用適當(dāng)?shù)臄?shù)或代數(shù)式填空，使所得的結(jié)果
仍是等式，并說(shuō)明變形是依據(jù)等式的哪個(gè)基本性質(zhì)得到的：
（1）如果，那么 ___；
2
等式的基本性質(zhì)1.
（2）如果，那么____ ；
等式的基本性質(zhì)1.
（3）如果，那么 ____；
16
等式的基本性質(zhì)2.
（4）如果，那么 ____.
等式的基本性質(zhì)2.
返回
6. 根據(jù)等式的基本性質(zhì)1,若等式 可以變形為
,則( )
A
A. ,互為相反數(shù) B. , 互為倒數(shù)
C. ,均為任意數(shù) D.
7. 設(shè),,為互不相等的數(shù)，且 ，則下列結(jié)論正
確的是( )
D
A. B.
C. D.
返回
8.已知，利用等式的性質(zhì)可求得 的值
是___.
2
【點(diǎn)撥】等式兩邊同時(shí)減去 ，得
，即 ，
等式兩邊同時(shí)除以5，得 .
返回
9.有7袋鹽，其中6袋是，有1袋比 輕，用天平至少稱(chēng)
___次一定能找出這袋鹽.
2
【點(diǎn)撥】將7袋鹽分成3袋，3袋，1袋.將3袋，3袋放到天平兩
邊，如果天平平衡則單獨(dú)1袋的比 輕；
如果天平有一邊輕則比 輕的1袋在輕的這邊的3袋中.將這
3袋鹽分成1袋，1袋，1袋.再將1袋，1袋放到天平兩邊，如果
天平平衡則不在天平上的1袋比 輕，如果天平一邊輕則比
輕的1袋在輕的這邊.
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10. 將9個(gè)數(shù)填入
（三行三列）的方格中，如果滿足每個(gè)橫行、
每個(gè)豎列和每條對(duì)角線上的三個(gè)數(shù)之和都相
等，這樣的圖為廣義的三階幻方.一個(gè)三階幻
方如圖所示，若，， ，則
整式 ______.
【點(diǎn)撥】依題意得 ，
所以，所以 .
又因?yàn)椋?，
，
所以
.
返回(共27張PPT)
第5章 一元一次方程
2.解一元一次方程
第1課時(shí) 用去括號(hào)法解一元一次方程
1. 下列方程屬于一元一次方程的是( )
D
A. B.
C. D.
2. 解方程 時(shí)，去括號(hào)的結(jié)
果正確的是( )
D
A. B.
C. D.
返回
3. 方程 的解為( )
C
A. B. C. D.
返回
4. 解方程 的步驟如
圖所示，則在每一步變形中，依據(jù)“等式的基本性質(zhì)”的有
( )
解：，① ，③
，② .④
A. ①② B. ②③
C. ③④ D. ②④
D
返回
5.[2024洛陽(yáng)期末] 當(dāng)____時(shí)，代數(shù)式 的值比
的值大1.
6.已知與互為相反數(shù)，則 ____.
返回
7. 解方程：
（1） ；
【解】去括號(hào)，得.移項(xiàng)，得 .
合并同類(lèi)項(xiàng)，得.系數(shù)化為1，得 .
（2） ；
去括號(hào)，得 .
移項(xiàng)，得 .
合并同類(lèi)項(xiàng)，得.系數(shù)化為1，得 .
（3） .
【解】去括號(hào)，得 .
移項(xiàng)，得.合并同類(lèi)項(xiàng)，得 .
返回
8. [2024南陽(yáng)月考] 設(shè)， ，若
，則 的值為( )
A
A. 4 B. 0.4 C. D.
9. 小亮在做作業(yè)時(shí)，不小心將墨水灑在了作業(yè)紙上，導(dǎo)致方
程 中的一個(gè)常數(shù)被污染，同桌說(shuō)正確
答案是 ，則被污染的常數(shù)是( )
C
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
返回
10. 關(guān)于的一元一次方程 的解為
，則 的值是( )
D
A. 3 B. C. 9 D.
【點(diǎn)撥】 是一元一次方程，
， ，
原方程為 .
方程的解為 ，
， ，
.
返回
11. [2024成都期中] 若關(guān)于的方程 的解是
整數(shù)，則滿足條件的整數(shù) 的值有( )
A
A. 4個(gè) B. 5個(gè) C. 6個(gè) D. 7個(gè)
12.若關(guān)于的方程 是一元一次方程，則
的值為_(kāi)___．
返回
13. 規(guī)定新運(yùn)算“@”：對(duì)于任意數(shù)， 都有
，例如： .若
的運(yùn)算結(jié)果與的運(yùn)算結(jié)果相同，則 的
值為_(kāi)__.
3
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14. 如圖，用邊長(zhǎng)相等的正方形和等邊三角形卡
片，按一定規(guī)律拼圖，第1個(gè)圖形卡片總張數(shù)為7，第2個(gè)圖
形卡片總張數(shù)為12，第3個(gè)圖形卡片總張數(shù)為17， 如果
按這樣的規(guī)律拼出的第 個(gè)圖形中，正方形卡片比等邊三角
形卡片多15張，則第 個(gè)圖形中兩種卡片總張數(shù)為_(kāi)___.
77
【點(diǎn)撥】由所給圖形可知，第1個(gè)圖形中，等邊三角形卡片
的張數(shù)為，正方形卡片的張數(shù)為 ，
兩種卡片的總張數(shù)為 ；第2個(gè)圖形中，等邊三角
形卡片的張數(shù)為 ，正方形卡片的張數(shù)為
，兩種卡片的總張數(shù)為 ；第3個(gè)
圖形中，等邊三角形卡片的張數(shù)為 ，正方形卡
片的張數(shù)為 ，兩種卡片的總張數(shù)為
；…依此類(lèi)推，第 個(gè)圖形中，等邊三角形卡
片的張數(shù)為，正方形卡片的張數(shù)為 ，兩種卡
片的總張數(shù)為.因?yàn)榈?個(gè)圖形中，正方形卡片比等
邊三角形卡片多15張，所以 ，解得
，則，所以第 個(gè)圖形中兩
種卡片的總張數(shù)為77.
返回
15.[2024長(zhǎng)春月考] 已知方程與關(guān)于 的方程
的解相同，求 的值.
【解】解方程，得 .
兩方程的解相同，
，解得 .
返回
16.[2024長(zhǎng)沙月考] 巧解下列一元一次方程：
（1） ；
【解】原方程可化為
.
去括號(hào)，得
移項(xiàng)、合并同類(lèi)項(xiàng)，得 .
去括號(hào)，得 .
移項(xiàng)、合并同類(lèi)項(xiàng)，得 .
系數(shù)化為1，得 .
（2） .
【解】原方程可化為
，即
.
因?yàn)?,
所以，解得 .
方程（1）左右兩邊都含有 ，因此將方程左邊
括號(hào)內(nèi)的第一項(xiàng)變?yōu)楹螅?視為一個(gè)整體
進(jìn)行運(yùn)算；方程（2）通過(guò)變形，可把 當(dāng)作一個(gè)整體
進(jìn)行運(yùn)算.
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17. 根據(jù)如圖所示的流程圖，完成下列各題.
（1）如果輸入的值是 ，那么輸出的數(shù)是多少？請(qǐng)寫(xiě)出計(jì)
算過(guò)程.
【解】如果輸入的值是 ，
則 .
因?yàn)椋暂敵龅臄?shù)是 .
（2）如果輸出的數(shù)是，那么 的值是多少？請(qǐng)寫(xiě)出計(jì)算過(guò)程.
【解】當(dāng)時(shí)，，解得 ；
當(dāng)時(shí)，，解得 .
綜上，的值是或 .
返回
18. 定義：關(guān)于的方程 與方程
（， 均為不等于0的常數(shù)）互為“反對(duì)方程”.例
如：方程與方程 互為“反對(duì)方程”.
（1）【定義理解】若方程與方程 互為
“反對(duì)方程”，則 ___.
4
（2）【知識(shí)應(yīng)用】若關(guān)于的方程 與方程
互為“反對(duì)方程”，求， 的值.
【解】 關(guān)于的方程 與方程
互為“反對(duì)方程”， ，
，
解得， .
（3）【拓展提高】若關(guān)于的方程 與其“反
對(duì)方程”的解都是整數(shù)，直接寫(xiě)出常數(shù) 的值.
或 .
【點(diǎn)撥】根據(jù)題意可知關(guān)于的方程 的“反對(duì)
方程”為 ，
解方程，得 .
方程 有整數(shù)解，
， 解為 .
和 都為整數(shù)，
或，解得或 .
返回(共25張PPT)
第5章 一元一次方程
5.3 實(shí)踐與探索
第2課時(shí) 百分率問(wèn)題、銷(xiāo)售問(wèn)題
1. 今年我國(guó)國(guó)民經(jīng)濟(jì)開(kāi)局良好，市場(chǎng)銷(xiāo)售
穩(wěn)定增長(zhǎng)，社會(huì)消費(fèi)增長(zhǎng)較快，第一季度社會(huì)消費(fèi)品零售總
額120 327億元，比去年第一季度增長(zhǎng) ，求去年第一季
度社會(huì)消費(fèi)品零售總額.若將去年第一季度社會(huì)消費(fèi)品零售總
額設(shè)為 億元，則符合題意的方程是( )
A
A. B.
C. D.
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2.晶晶看一本書(shū)，第一天看了總頁(yè)數(shù)的 ，第二天看的是第一
天的 ，剩下12頁(yè)沒(méi)有看完，則這本書(shū)有_____頁(yè).
480
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3. 甲、乙兩家商場(chǎng)平時(shí)以同樣價(jià)格出售相
同的商品.端午節(jié)期間，兩家商場(chǎng)都讓利酬賓，其中甲商場(chǎng)所
有商品按八折出售，乙商場(chǎng)對(duì)一次購(gòu)物中超過(guò)100元后的價(jià)
格部分打七折，當(dāng)購(gòu)買(mǎi)的商品原價(jià)是_____元時(shí)，去兩家商
場(chǎng)采購(gòu)都一樣.
300
【點(diǎn)撥】設(shè)當(dāng)購(gòu)買(mǎi)的商品原價(jià)是 元時(shí)，去兩家商場(chǎng)采購(gòu)都
一樣，根據(jù)題意得 ，
解得 ，所以當(dāng)購(gòu)買(mǎi)的商品原價(jià)是300元時(shí)，去兩家商
場(chǎng)采購(gòu)都一樣.
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4.鑫鑫商貿(mào)銷(xiāo)售甲、乙兩種不同型號(hào)的智能掃地機(jī)器人，甲
型號(hào)每臺(tái)的實(shí)際售價(jià)比進(jìn)價(jià)提高了 ，乙型號(hào)每臺(tái)的實(shí)際
售價(jià)比進(jìn)價(jià)提高了 ，甲型號(hào)每臺(tái)的進(jìn)價(jià)比乙型號(hào)每臺(tái)的
進(jìn)價(jià)高100元，甲型號(hào)每臺(tái)的實(shí)際售價(jià)比乙型號(hào)每臺(tái)的實(shí)際
售價(jià)高70元，則甲、乙兩種型號(hào)智能掃地機(jī)器人每臺(tái)的進(jìn)價(jià)
分別是______________.
600元，500元
【點(diǎn)撥】設(shè)甲型號(hào)智能掃地機(jī)器人每臺(tái)的進(jìn)價(jià)是 元，則乙
型號(hào)智能掃地機(jī)器人每臺(tái)的進(jìn)價(jià)是 元，根據(jù)題意得
，
解得，所以 .
即甲型號(hào)智能掃地機(jī)器人每臺(tái)的進(jìn)價(jià)是600元，乙型號(hào)智能
掃地機(jī)器人每臺(tái)的進(jìn)價(jià)是500元.
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5. 2024年10月30日，神舟十九號(hào)載人飛
船成功發(fā)射，其紀(jì)念品也受到了人們的喜愛(ài).某商店以150元
的相同價(jià)格售出兩件不同的紀(jì)念品，其中一件盈利 ，另
一件虧損 ，則該商店售出這兩件紀(jì)念品總的盈虧情況為
( )
A
A. 虧損20元 B. 盈利20元 C. 虧損18元 D. 不盈不虧
【點(diǎn)撥】設(shè)盈利的那件紀(jì)念品的進(jìn)價(jià)為 元/件.由題意可得
，解得 .設(shè)虧損的那件紀(jì)念品的進(jìn)
價(jià)為元/件.由題意可得 ，解得
（元），即該商店售出這兩件紀(jì)念品總的盈虧情況為虧損20
元，故選A.
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6. 李經(jīng)理把他的手機(jī)充滿電后，待機(jī)時(shí)間
（手機(jī)在開(kāi)機(jī)狀態(tài)下不使用手機(jī)的時(shí)間）為35小時(shí)，如果只
用于打電話，14小時(shí)就耗盡電量，如果只用于上網(wǎng)，10小時(shí)
就耗盡電量.李經(jīng)理要去外地出差，當(dāng)他坐上高鐵時(shí)，發(fā)現(xiàn)手
機(jī)電量還有 ，在高鐵上，他使用手機(jī)打電話和不使用手
機(jī)的時(shí)長(zhǎng)相同，上網(wǎng)時(shí)長(zhǎng)是打電話時(shí)長(zhǎng)的2倍.高鐵到達(dá)目的
地時(shí)，他發(fā)現(xiàn)手機(jī)電量還剩 ，則他坐高鐵的時(shí)間為_(kāi)__
小時(shí).
6
【點(diǎn)撥】由題意，將手機(jī)的總電量看作“1”，則待機(jī)耗電量為
每小時(shí)，打電話耗電量為每小時(shí) ，上網(wǎng)耗電量為每小時(shí)
.設(shè)在高鐵上，使用手機(jī)打電話時(shí)長(zhǎng)為 小時(shí)，則不使用手
機(jī)的時(shí)長(zhǎng)為小時(shí)，上網(wǎng)時(shí)長(zhǎng)為 小時(shí)，由題意得
.解得 .所以他坐高鐵
的時(shí)間為 （小時(shí)）.
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7.[2024長(zhǎng)沙期末] 在元旦期間，我市某商場(chǎng)從廠家購(gòu)進(jìn)了甲、
乙兩種商品.若購(gòu)進(jìn)甲種商品5件，乙種商品4件，共需要800
元.已知甲種商品每件的進(jìn)價(jià)比乙種商品每件的進(jìn)價(jià)少20元.
（1）甲、乙兩種商品每件的進(jìn)價(jià)分別是多少元？
【解】設(shè)甲種商品每件的進(jìn)價(jià)是 元，則乙種商品每件的進(jìn)
價(jià)是元，由題意得 ，解得
，所以 .
答：甲種商品每件的進(jìn)價(jià)是80元，乙種商品每件的進(jìn)價(jià)是100元.
（2）該商場(chǎng)從廠家購(gòu)進(jìn)了甲、乙兩種商品共40件，所用資
金恰好為3 440元.在銷(xiāo)售時(shí)，甲種商品的售價(jià)為每件100元，
乙種商品的售價(jià)為每件125元.問(wèn)這40件商品全部售出后可獲
利多少元？（獲利 售價(jià)-進(jìn)價(jià)）
【解】設(shè)購(gòu)進(jìn)了甲種商品件，則購(gòu)進(jìn)了乙種商品 件，
由題意得，解得 ，
所以 ，
（元）.
答：這40件商品全部售出后可獲利860元.
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8.某玩具廠出售一種玩具，其成本價(jià)為每件28元，現(xiàn)有兩種
銷(xiāo)售方式.
方式1：直接由玩具廠的門(mén)市部銷(xiāo)售，每件產(chǎn)品售價(jià)為40元，
同時(shí)每月還要支出其他費(fèi)用3 600元；
方式2：委托某一商場(chǎng)銷(xiāo)售，出廠價(jià)定為每件35元.
（1）若每個(gè)月銷(xiāo)售 件，則按方式1銷(xiāo)售可獲得利潤(rùn)為
______________________，按方式2銷(xiāo)售可獲得利潤(rùn)為_(kāi)_____.
元
元
（2）若每個(gè)月銷(xiāo)售量達(dá)到2 000件時(shí)，按哪種方式銷(xiāo)售獲得
的利潤(rùn)較多？
【解】當(dāng)每月銷(xiāo)售量達(dá)到2 000件時(shí)，按方式1銷(xiāo)售的利潤(rùn)為
（元），按方式2銷(xiāo)售的利潤(rùn)為
（元）.因?yàn)?0 400元 元，所以
按方式1銷(xiāo)售獲得的利潤(rùn)較多.
（3）請(qǐng)列一元一次方程求解：每個(gè)月銷(xiāo)售多少件時(shí)，兩種
銷(xiāo)售方式所得的利潤(rùn)相等？
【解】設(shè)每個(gè)月銷(xiāo)售 件時(shí)，兩種銷(xiāo)售方式所得的利潤(rùn)相等.
根據(jù)題意可得，解得 .
答：每個(gè)月銷(xiāo)售720件時(shí)，兩種銷(xiāo)售方式所得的利潤(rùn)相等.
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9.隨著智能手機(jī)的普及，網(wǎng)購(gòu)已經(jīng)成為人們的一種生活方式，
快遞業(yè)也隨之發(fā)展壯大.某快遞公司每件普通物品的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)
如下表：
寄往市內(nèi) 寄往市外 首重 續(xù)重 首重 續(xù)重
10元/千克 3元/千克 12元/千克 8元/千克
說(shuō)明：①每件快遞按送達(dá)地（市內(nèi)、市外）計(jì)算運(yùn)費(fèi).
②運(yùn)費(fèi)計(jì)算方式：首重價(jià)格 續(xù)重×續(xù)重運(yùn)費(fèi).首重均為1千
克，超過(guò)1千克即要續(xù)重，續(xù)重以0.5千克為計(jì)重單位
（不足0.5千克按0.5千克計(jì)算）
例如：寄往市內(nèi)一件1.8千克的物品，運(yùn)費(fèi)總額為
（元）.
寄往市外一件3.4千克的物品，運(yùn)費(fèi)總額為
（元）.
續(xù)表
（1）小華同時(shí)寄往市內(nèi)一件3千克的物品和市外一件3.9千克
的物品，各需付運(yùn)費(fèi)多少元？
【解】寄往市內(nèi)一件3千克的物品需付運(yùn)費(fèi)
（元）；
寄往市外一件3.9千克的物品需付運(yùn)費(fèi)
（元）.
（2）小彤同時(shí)寄往市內(nèi)和市外一件千克的物品，已知 超
過(guò)2，且的整數(shù)部分是,小數(shù)部分小于 ，請(qǐng)用含字母的
代數(shù)式表示市外與市內(nèi)這兩筆運(yùn)費(fèi)的差.
【解】寄往市內(nèi)需付運(yùn)費(fèi)
（元），寄往市外需付運(yùn)費(fèi)
（元），所以 （元），
即市外與市內(nèi)這兩筆運(yùn)費(fèi)的差為 元.
（3）某日小華和小彤同時(shí)在該快遞公司寄物品，小華寄往
市外，小彤寄往市內(nèi)，小彤所寄物品的質(zhì)量不是整數(shù)，小華
的運(yùn)費(fèi)比小彤的運(yùn)費(fèi)多57元，物品的質(zhì)量比小彤多2.5千克，
請(qǐng)問(wèn)小華和小彤共需付運(yùn)費(fèi)多少元？
【解】設(shè)小彤所寄物品的質(zhì)量為（為正整數(shù)， 為小
數(shù)部分）千克，則小華所寄物品的質(zhì)量為 千克，
①當(dāng) 時(shí)，小彤的運(yùn)費(fèi)為
元，小華的運(yùn)費(fèi)為
元，根據(jù)題意得
，
解得 （不符合題意，舍去）；
②當(dāng) 時(shí)，小彤的運(yùn)費(fèi)為
元，小華的運(yùn)費(fèi)為
元，根據(jù)題意得
，解得 ，
所以 .
答：小華和小彤共需付運(yùn)費(fèi)119元.
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第5章 一元一次方程
專(zhuān)題2 解一元一次方程的七種應(yīng)用
類(lèi)型
類(lèi)型1 解方程在一元一次方程定義中的應(yīng)用
1.[2024贛州月考] 已知關(guān)于的方程
是一元一次方程.
（1）求 的值.
【解】 關(guān)于的方程 是一元一次方
程，,，解得 .
（2）若此方程的解與關(guān)于 的一元一次方程
的解互為相反數(shù)，求 的值.
【解】由（1）易得原方程為，解得 .
這個(gè)方程的解與關(guān)于的一元一次方程
的解互為相反數(shù)，
的解為 .
把代入，得 ，解
得 .
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類(lèi)型2 解方程在同解問(wèn)題中的應(yīng)用
2.若方程的解與關(guān)于 的方程
的解相同，則 的值為_(kāi)___.
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類(lèi)型3 解方程在錯(cuò)解問(wèn)題中的應(yīng)用
3. [2024太原月考] 嘉嘉同學(xué)在解關(guān)于的方程
時(shí)，由于粗心大意，誤將等號(hào)左邊的“”看作了“ ”，
其他解題過(guò)程均正確，從而解得方程的解為 ，則原方程
的解是( )
A
A. B. C. D.
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類(lèi)型4 解方程在解含多重括號(hào)的方程中的應(yīng)用
4.解方程：
.
【解】去中括號(hào)，得 .
去小括號(hào)，得.移項(xiàng)，得 .
合并同類(lèi)項(xiàng)，得.系數(shù)化為1，得 .
去括號(hào)一般由里到外進(jìn)行，但此題小括號(hào)前面的系
數(shù)與中括號(hào)前面的系數(shù)互為倒數(shù)，所以選擇由外到里去括號(hào)
較簡(jiǎn)單.
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類(lèi)型5 解方程在解分母為小數(shù)的方程中的應(yīng)用
5.解方程： .
【解】原方程可化為 ，
去括號(hào)，得 .
移項(xiàng)、合并同類(lèi)項(xiàng)，得 .
系數(shù)化為1，得 .
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類(lèi)型6 解方程在新定義題中的應(yīng)用
6.已知，為有理數(shù)，定義新運(yùn)算： .例如：
.若，則 的值為
_ _______.
或
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類(lèi)型7 解方程在含絕對(duì)值問(wèn)題中的應(yīng)用
7. 先閱讀下列解題過(guò)程，然后解答問(wèn)題.
解方程： .
解：當(dāng)時(shí)，原方程可化為，解得 ；
當(dāng)時(shí)，原方程可化為，解得 .
所以原方程的解是或 .
解方程： .
【解】當(dāng)時(shí)，原方程可化為 ，解得
；
當(dāng)時(shí)，原方程可化為，解得 .
所以原方程的解是或 .
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第5章 一元一次方程
專(zhuān)題4 一元一次方程實(shí)際應(yīng)用的其
他常見(jiàn)題型
題型1 一元一次方程在解銷(xiāo)售問(wèn)題中的應(yīng)用
1.[2024北京豐臺(tái)區(qū)期中] 某商店用70 000元的資金購(gòu)進(jìn)，
兩種商品共600件.
類(lèi)型 進(jìn)價(jià)（元/件） 標(biāo)價(jià)（元/件）
150 220
100 150
（1）分別求出， 兩種商品購(gòu)進(jìn)的數(shù)量.
【解】設(shè)商品購(gòu)進(jìn)的數(shù)量是件，則 商品購(gòu)進(jìn)的數(shù)量是
件，
根據(jù)題意得 ，
解得，則 （件）.
答：商品購(gòu)進(jìn)的數(shù)量是200件， 商品購(gòu)進(jìn)的數(shù)量是400件.
（2）商店為了促銷(xiāo)，決定推出優(yōu)惠活動(dòng)， 商品在標(biāo)價(jià)的基
礎(chǔ)上打八折， 商品在標(biāo)價(jià)的基礎(chǔ)上也打折.當(dāng)600件商品銷(xiāo)售
完時(shí)，商店獲得的利潤(rùn)為19 200元，請(qǐng)問(wèn) 商品在標(biāo)價(jià)的基
礎(chǔ)上打了幾折？
【解】設(shè)商品在標(biāo)價(jià)的基礎(chǔ)上打了 折，
根據(jù)題意得，解得 .
答： 商品在標(biāo)價(jià)的基礎(chǔ)上打了九折.
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題型2 一元一次方程在解積分問(wèn)題中的應(yīng)用
2. 為響應(yīng)河南省“全民閱讀”系列活動(dòng)，某
校開(kāi)展“書(shū)香校園”文學(xué)閱讀與知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng).知識(shí)競(jìng)賽為百分
制，共設(shè)20道選擇題，各題分值相同.下表記錄了3名參賽學(xué)
生的得分情況.
參賽學(xué)生 答對(duì)題數(shù) 答錯(cuò)或不答題數(shù) 得分
20 0 100
18 2 86
44
（1）根據(jù)表格，比賽規(guī)則為：答對(duì)1道題得___分，答錯(cuò)或
不答1道題扣___分；
5
2
（2）求出 同學(xué)答對(duì)的題數(shù)，并將表格補(bǔ)充完整.
【解】設(shè)同學(xué)答對(duì)道題，則 ，解得
，
所以同學(xué)答對(duì)12道題，答錯(cuò)或不答 （道）題.
表格補(bǔ)充如下：
參賽學(xué)生 答對(duì)題數(shù) 答錯(cuò)或不答題數(shù) 得分
20 0 100
18 2 86
12 8 44
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題型3 一元一次方程在解月歷問(wèn)題中的應(yīng)用
3.[2024漳州期中] 在我們?nèi)粘Ｉ钪械娜?br/>歷上也隱藏著許多的數(shù)學(xué)規(guī)律.如圖是2024
年3月份的日歷，一個(gè)虛線方框圈出的
（2行2列）個(gè)數(shù)字之和為
.
（1）若這個(gè)虛線方框圈出的 個(gè)數(shù)字之和
為100，則這4個(gè)數(shù)字的左上角那天是3月幾日？
【解】設(shè)這個(gè)數(shù)字的左上角數(shù)字是 ，則右上角的數(shù)字
是，左下角的數(shù)字是，右下角的數(shù)字是 ，由
題意得，解得 ，
所以這 個(gè)數(shù)字的左上角那天是3月21日.
（2）請(qǐng)通過(guò)計(jì)算判斷這個(gè)虛線方框圈
出的 個(gè)數(shù)字之和能否為84.
【解】假設(shè)能用虛線方框圈出和為84
的 個(gè)數(shù)字，且左上角的數(shù)字是 ，
由題意得 ，
解得 .因?yàn)?7處于最后一列，
所以不能圈出和為84的 個(gè)數(shù)字.
這是生活中常見(jiàn)的月歷
問(wèn)題，把它進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，轉(zhuǎn)化
為數(shù)字問(wèn)題. 它的橫行上相鄰兩
數(shù)之差為1，豎列上相鄰兩數(shù)之
差為7.
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題型4 一元一次方程在解費(fèi)用問(wèn)題中的應(yīng)用
4. 如今越來(lái)越多的人使用微信錢(qián)包，把
微信賬戶里的錢(qián)轉(zhuǎn)到銀行卡叫做提現(xiàn).微信提現(xiàn)的手續(xù)費(fèi)收取
標(biāo)準(zhǔn)如下：
1.每位用戶終身享受1 000元免費(fèi)提現(xiàn)額度，即不超過(guò)1 000
元不會(huì)收取提現(xiàn)手續(xù)費(fèi).
2.超出1 000元免費(fèi)提現(xiàn)額度的部分按銀行費(fèi)率收取手續(xù)費(fèi)，
費(fèi)率為 ，每筆最少收0.1元.
如：王阿姨第一次用微信提現(xiàn)1 200元，需支付手續(xù)費(fèi)
（元），第二次提現(xiàn)800元，則
需支付手續(xù)費(fèi) （元）.
（1）李亮使用微信至今，用自己的微信賬戶共提現(xiàn)兩次，提
現(xiàn)金額均為1 800元，李亮這兩次提現(xiàn)共需支付手續(xù)費(fèi)____元；
（2）王明使用微信至今，用自己的微信賬戶共提現(xiàn)三次，
每次支付的手續(xù)費(fèi)如下表.
第一次 第二次 第三次
手續(xù)費(fèi)/元 0 1.1 1.3
①王明第三次提現(xiàn)金額為_(kāi)______元；
1 300
②若王明第三次提現(xiàn)金額恰好等于前兩次提現(xiàn)金額之差，求
王明第一次提現(xiàn)的金額.
【解】設(shè)王明第一次提現(xiàn)的金額為 元.
因?yàn)橥趺鞯谌翁岈F(xiàn)金額恰好等于前兩次提現(xiàn)金額之差，
所以王明第二次提現(xiàn)的金額為 元.
根據(jù)題意得 ，
解得 .
答：王明第一次提現(xiàn)的金額為400元.
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題型5 一元一次方程在解配套問(wèn)題中的應(yīng)用
5.[2024上海青浦區(qū)期末] 一種正方體模具框架是由金屬棒和
卡扣組裝而成（一條棱用一根金屬棒，一個(gè)頂點(diǎn)用一個(gè)卡
扣）.某車(chē)間18名工人負(fù)責(zé)加工材料，一名工人每天可加工金
屬棒300根或卡扣100個(gè).請(qǐng)問(wèn)如何分配工作，可使一天生產(chǎn)的
金屬棒和卡扣配套？
【解】設(shè)安排名工人加工金屬棒，則安排 名工人加
工卡扣，根據(jù)題意得，解得 ，
所以 .
答：應(yīng)安排6名工人加工金屬棒，12名工人加工卡扣，可使
一天生產(chǎn)的金屬棒和卡扣配套.
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6.[2024武漢期末] 新年將至，某車(chē)間接到一批新年禮盒訂單，
要求5天完成，已知車(chē)間有12名工人，每名工人每天能生產(chǎn)
11個(gè)商品或者12個(gè) 商品，每名工人每天只能生產(chǎn)同一種商
品.每個(gè)新年禮盒由1個(gè)商品和3個(gè) 商品拼裝而成.車(chē)間安排
部分工人生產(chǎn)商品，剩余工人生產(chǎn) 商品，生產(chǎn)3天后預(yù)估
商品配套有余，于是從生產(chǎn) 商品的工人中調(diào)2名工人去生
產(chǎn)商品，其他工人生產(chǎn)不變，恰好如期完成訂單，且，
商品也剛好配套，這批新年禮盒共有多少個(gè)
（1）設(shè)前3天安排人生產(chǎn) 商品，根據(jù)題意列式填寫(xiě)下列表格.
生產(chǎn) 商品 生產(chǎn) 商品 人數(shù) 商品總個(gè)數(shù) 人數(shù) 商品總個(gè)數(shù)
前3天
后2天
【解】填寫(xiě)表格如下.
生產(chǎn) 商品 生產(chǎn) 商品 人數(shù) 商品總個(gè)數(shù) 人數(shù) 商品總個(gè)數(shù)
前3天
后2天
（2）請(qǐng)通過(guò)列方程求出這批新年禮盒的數(shù)量.
【解】由題意可得，解得 ，
所以這批新年禮盒共有 （個(gè)）.
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題型6 一元一次方程在解分段收費(fèi)問(wèn)題中的應(yīng)用
7.[2024長(zhǎng)沙月考] 某市中心城區(qū)居民生活用天然氣執(zhí)行階梯
價(jià)格，具體收費(fèi)如下表：
月用氣量（單位：立方米） 價(jià)格（單位：元/立方米）
30及以內(nèi) 2.5
（不含30，含50） 3
50以上 3.6
例如：若月用氣量為52立方米，則需交氣費(fèi)
（元）.
（1）若月用氣量為30立方米，應(yīng)交氣費(fèi)__________元；若
月用氣量為50立方米，應(yīng)交氣費(fèi)_____元.
75
135
（2）若小尚家10月份交了93元的氣費(fèi)，請(qǐng)計(jì)算他家10月份
用了多少立方米的天然氣？
【解】設(shè)小尚家10月份用了 立方米的天然氣.
因?yàn)?，所以小尚家10月份用氣量在第二階梯.
依題意，得，解得 .
答：小尚家10月份用了36立方米的天然氣.
（3）若小智家11月份交的氣費(fèi)，經(jīng)過(guò)測(cè)算，平均每立方米
3.1元，請(qǐng)計(jì)算他家11月份用了多少立方米的天然氣？
【解】設(shè)小智家11月份用了 立方米的天然氣.
因?yàn)?，所以小智家11月份用氣量在第三階梯.依
題意，得 ，
解得 .
答：小智家11月份用了90立方米的天然氣.
解決計(jì)費(fèi)問(wèn)題關(guān)鍵要分析兩點(diǎn)：
1. 費(fèi)用的變化主要與什么量有關(guān).
2. 認(rèn)清計(jì)費(fèi)方式，特別注意分段收費(fèi)的方式.
. .
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題型7 一元一次方程在解情境圖問(wèn)題中的應(yīng)用
8.某班舉行了“慶祝建黨90周年知識(shí)競(jìng)賽”活動(dòng)，班長(zhǎng)安排張
小明購(gòu)買(mǎi)獎(jiǎng)品，下面的兩幅圖是張小明買(mǎi)回獎(jiǎng)品時(shí)與班長(zhǎng)的
對(duì)話情況：
請(qǐng)根據(jù)圖①，圖②的信息，解答下列問(wèn)題：
（1）張小明買(mǎi)了兩種筆記本各多少本？（說(shuō)明：要求列一
元一次方程解決問(wèn)題）
【解】設(shè)買(mǎi)了 本單價(jià)是5元的筆記
本，則買(mǎi)了 本單價(jià)是8元的
筆記本，依題意得
，
解得，所以 .
答：張小明買(mǎi)了單價(jià)是5元的筆記
本25本，單價(jià)是8元的筆記本15本.
（2）請(qǐng)你解釋為什么班長(zhǎng)說(shuō)不可能找回68元錢(qián).
【解】根據(jù)題意，得，解得 .
因?yàn)?不是整數(shù)，所以不可能找回68元錢(qián).
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第5章 一元一次方程
測(cè)素質(zhì) 一元一次方程的應(yīng)用
［時(shí)間：60分鐘 分值：100分］
一、選擇題（每題6分，共24分）
1. 某學(xué)校開(kāi)展校園籃球比賽活動(dòng)，規(guī)定每隊(duì)勝一場(chǎng)得3分，
平一場(chǎng)得1分，負(fù)一場(chǎng)得0分，七年級(jí)（3）班共比賽8場(chǎng)，且
保持不敗戰(zhàn)績(jī)，得了22分.若設(shè)七年級(jí)（3）班勝了 場(chǎng)，可列
方程為( )
A
A. B.
C. D.
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2. [2024衡陽(yáng)期末] 如圖，在邊長(zhǎng)為的等邊三角形 的
邊上有甲、乙兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，它們從 處同時(shí)出發(fā)，沿著三角形
的三邊順時(shí)針運(yùn)動(dòng).若甲的速度為每秒 ，乙的速度為每秒
，則乙在第2 024次追上甲時(shí)，這兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)所在的位置
( )
C
A. 在線段 上（不含端點(diǎn)）
B. 在線段 上（不含端點(diǎn)）
C. 在點(diǎn) 處
D. 在線段 上
【點(diǎn)撥】設(shè)經(jīng)過(guò) 相遇一次，則
，
解得 .當(dāng)相遇2 024次時(shí)，甲走的路程
為 .因?yàn)?br/>，所以乙在第2 024次追上甲時(shí)，在點(diǎn) 處.
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3. 某校師生從學(xué)校去劉禹錫紀(jì)念館開(kāi)展研
學(xué)旅行活動(dòng)，騎行愛(ài)好者張老師騎自行車(chē)的速度為250米/分，
張老師先行2小時(shí)后，其余師生乘汽車(chē)出發(fā)，已知汽車(chē)速度
是自行車(chē)速度的3倍，結(jié)果張老師和其余師生同時(shí)到達(dá)紀(jì)念
館，則下列結(jié)論正確的是( )
D
A. 其余師生乘坐汽車(chē)到達(dá)紀(jì)念館所用的時(shí)間為45分鐘
B. 張老師騎自行車(chē)到達(dá)紀(jì)念館所用的時(shí)間為2小時(shí)40分鐘
C. 汽車(chē)的速度為60千米/時(shí)
D. 學(xué)校與劉禹錫紀(jì)念館之間的距離為45千米
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4. 把9個(gè)數(shù)填入
的方格中，使其任意一行，任
意一列及兩條對(duì)角線上的數(shù)之和都
相等，這樣便構(gòu)成了一個(gè)“九宮格”.
它源于我國(guó)古代的《洛書(shū)》
C
A. 7 B. 4 C. 1 D. 6
（圖①），是世界上最古老的“幻方”.圖②是僅可以看到部分
數(shù)值的 “九宮格”，則其中 的值為( )
【點(diǎn)撥】如圖，依題意可得，解得 .
所以，解得 .
所以，解得 .
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二、填空題（每題6分，共24分）
5.[2024西安雁塔區(qū)模擬] 《九章算術(shù)》中記載了這樣一個(gè)數(shù)
學(xué)問(wèn)題：今有甲發(fā)長(zhǎng)安，五日至齊；乙發(fā)齊，七日至長(zhǎng)安.今
乙發(fā)已先二日，甲仍發(fā)長(zhǎng)安.問(wèn)幾何日相逢？譯文：甲從長(zhǎng)安
出發(fā)，5日到齊國(guó)；乙從齊國(guó)出發(fā)，7日到長(zhǎng)安.現(xiàn)乙從齊國(guó)先
出發(fā)2日，甲才從長(zhǎng)安出發(fā).問(wèn)甲出發(fā)幾日，甲、乙相逢？設(shè)
甲出發(fā) 日，甲、乙相逢，可列方程為_(kāi)__________.
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6.[2024濟(jì)南期中] 修筑一條公路，甲工程隊(duì)單獨(dú)承包要90天
完成，乙工程隊(duì)單獨(dú)承包要120天完成.如果甲、乙兩工程隊(duì)
合作了30天后，因甲工程隊(duì)另有任務(wù)，剩下的工作由乙工程
隊(duì)完成，則修好這條公路一共需要____天.
7.[2024山西三模] 某商場(chǎng)購(gòu)進(jìn)一批服裝，每件進(jìn)價(jià)為200元，由
于換季滯銷(xiāo)，商場(chǎng)決定將這批服裝按標(biāo)價(jià)的八折銷(xiāo)售.若打折后
每件服裝仍能獲利 ，則這批服裝每件的標(biāo)價(jià)為_(kāi)____元.
325
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8.如圖①，兩個(gè)正方形分別由， 兩種規(guī)格小長(zhǎng)方形紙片拼
成，現(xiàn)將它們放入一個(gè)長(zhǎng)為，寬為 的大長(zhǎng)方形中，如圖②，
其中陰影部分恰好為正方形，則大長(zhǎng)方形中未被紙片覆蓋部
分甲的周長(zhǎng)為_(kāi)________.（用含， 的代數(shù)式表示）
【點(diǎn)撥】由題意知，甲部分長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為 ，
設(shè)題圖①中小長(zhǎng)方形B的寬為，則長(zhǎng)為 ，
根據(jù)陰影部分為正方形，得 ，
解得，所以甲部分的寬為 .
所以甲部分的周長(zhǎng)為 .
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三、解答題（共52分）
9.（12分） 我市將5月21日設(shè)立為連云港市
“人才日”，以最大誠(chéng)意禮遇人才，讓人才與城市“雙向奔赴”.
活動(dòng)主辦方分兩次共郵購(gòu)了200把繪有西游文化的折扇作為
當(dāng)天一項(xiàng)活動(dòng)的紀(jì)念品.折扇單價(jià)為8元，其中郵費(fèi)和優(yōu)惠方
式如下表所示：
郵購(gòu)數(shù)量 100以上（含100）
郵寄費(fèi)用 總價(jià)的 免費(fèi)郵寄
折扇價(jià)格 不優(yōu)惠 打九折
若兩次郵購(gòu)折扇共花費(fèi)1 504元，求兩次郵購(gòu)的折扇各多少把？
【解】若每次購(gòu)買(mǎi)都是100把，
則（元） （元），
所以一次購(gòu)買(mǎi)多于100把，另一次購(gòu)買(mǎi)少于100把.
設(shè)一次郵購(gòu)折扇把，則另一次郵購(gòu)折扇
把，由題意得 ，
解得，所以 .
答：兩次郵購(gòu)的折扇分別是160把和40把.
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10.（20分）[2024湛江雷州開(kāi)學(xué)考試] 湛江市赤坎區(qū)金沙灣觀
海長(zhǎng)廊上綠草如茵，花色芬芳，是湛江人最喜歡的休閑天地
和外地游人必觀的城市風(fēng)光，保伯在觀海長(zhǎng)廊上散步，戴上
某智能手環(huán)記錄步數(shù)，第一次走了總步數(shù)的 多150步，第二
次走了剩下步數(shù)的一半還差300步，第三次走了剩下步數(shù)的
多450米，最后還剩下600步，求保伯在觀海長(zhǎng)廊上總共散步
的步數(shù).如果三步為1米，那么觀海長(zhǎng)廊的長(zhǎng)度有多少米？
【解】設(shè)保伯在觀海長(zhǎng)廊上總共散步的步數(shù)為 步，由題意
得第一次走了 步，第二次走了
步，第三次走了
步，
則可列方程為
，
解得.所以 （米）.
答：保伯在觀海長(zhǎng)廊上總共散步的步數(shù)為7 200步，觀海長(zhǎng)
廊的長(zhǎng)度有2 400米.
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11.（20分）[2024鄭州期末] 元旦期間，某運(yùn)動(dòng)品牌服裝店推
出兩種優(yōu)惠活動(dòng)，并規(guī)定一次結(jié)賬只能選擇其中一種.
活動(dòng)一：所購(gòu)商品按原價(jià)打八折；
活動(dòng)二：所購(gòu)商品按原價(jià)每滿200元減60元.（如：所購(gòu)商品
原價(jià)為200元，可減60元，需付款140元；所購(gòu)商品原價(jià)為
450元，可減120元，需付款330元）
（1）購(gòu)買(mǎi)一件原價(jià)為350元的服裝時(shí)，選擇哪種活動(dòng)更合算？
請(qǐng)說(shuō)明理由；
選擇活動(dòng)一更合算，理由如下：因?yàn)?br/>（元）， （元），280元
元，
所以選擇活動(dòng)一更合算.
（2）購(gòu)買(mǎi)一件原價(jià)在400元以下的服裝時(shí)，若選擇活動(dòng)一和
選擇活動(dòng)二的付款金額相等，求這件服裝的原價(jià)；
【解】設(shè)這件服裝的原價(jià)為 元，
若原價(jià)少于200元時(shí)，則活動(dòng)一按原價(jià)打八折，活動(dòng)二按原
價(jià)，此時(shí)付款金額不可能相等，
所以這件服裝價(jià)格在200元以上，400元以下.
所以，解得 ，
所以這件服裝的原價(jià)是300元.
（3）小王準(zhǔn)備買(mǎi)一件標(biāo)價(jià)為460元的上衣和一雙標(biāo)價(jià)為320
元的運(yùn)動(dòng)鞋，請(qǐng)你設(shè)計(jì)最優(yōu)惠的付款方法，并求出最優(yōu)惠的
付款金額.
【解】因?yàn)椋ㄔ?（元），
（元） （元），
所以最優(yōu)惠的付款方法是上衣和運(yùn)動(dòng)鞋分兩次付款，上衣選
擇活動(dòng)二的付款方式，運(yùn)動(dòng)鞋選擇活動(dòng)一的付款方式，此時(shí)
需付款的金額為 （元）.
答：最優(yōu)惠的付款金額為596元.
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第5章 一元一次方程
1.等式的性質(zhì)與方程的簡(jiǎn)單變形
第2課時(shí) 方程的簡(jiǎn)單變形
1. 解方程時(shí)，移項(xiàng)的依據(jù)是( )
C
A. 加法交換律 B. 加法結(jié)合律
C. 等式的基本性質(zhì)1 D. 等式的基本性質(zhì)2
2. 下列變形結(jié)果正確的是( )
D
A. 由，得
B. 由，得
C. 由，得
D. 由，得
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3. 解下面的方程時(shí)，既要移含未知數(shù)的項(xiàng)，又要移常數(shù)項(xiàng)的
是( )
B
A. B.
C. D.
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4. 下列方程移項(xiàng)正確的是( )
D
A. 移項(xiàng)，得
B. 移項(xiàng)，得
C. 移項(xiàng)，得
D. 移項(xiàng)，得
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5. 將方程 中未知數(shù)的系數(shù)化為1，得( )
D
A. B. C. D.
【點(diǎn)撥】未知數(shù)的系數(shù)化為1，需要兩邊同除以未知數(shù)的系
數(shù)，得 .
系數(shù)化為1時(shí)易混淆除數(shù)與被除數(shù)導(dǎo)致錯(cuò)誤.
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6.解下列方程：
（1） ；
【解】 .
（2） .
.
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7. 給出下面四個(gè)方程及其變形，其中變形正確的是( )
D
變形為 ；
變形為 ；
變形為 ；
變形為 .
A. ①③④ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③
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8. [2024重慶期末] 若代數(shù)式與的值相等，則 等于
( )
C
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
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9. 按如圖所示的程序圖計(jì)算：
若輸入，則輸出結(jié)果是304，若輸入 ，則輸出
結(jié)果也是304.如果開(kāi)始輸入的 為正整數(shù)，最后輸出結(jié)果為
322，那么開(kāi)始輸入的 值有( )
D
A. 1種 B. 2種 C. 3種 D. 4種
【點(diǎn)撥】 輸出結(jié)果為322， 令 ，解得
， 當(dāng)時(shí)， ；當(dāng)
時(shí)，；當(dāng)時(shí)， ；當(dāng)
時(shí)，，不符合題意.綜上， 值可以是106，
34，10，2， 值有4種，故選D.
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10. [2024南陽(yáng)宛城區(qū)期中] 某段鐵路由甲工程隊(duì)單獨(dú)鋪設(shè)需
要40天，由乙工程隊(duì)單獨(dú)鋪設(shè)需要60天.如果由這兩個(gè)工程隊(duì)
從兩端同時(shí)相向施工，總共需要( )
B
A. 20天 B. 24天 C. 25天 D. 30天
11.已知關(guān)于的方程的解是，則 的值為_(kāi) _.
12. 定義新運(yùn)算：對(duì)于任意數(shù)， 均有
，則 的解為_(kāi)_____.
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13. 已知, .
（1）求 ;
【解】 .
（2）若是方程的解，求 的值.
原方程可轉(zhuǎn)化為 ,
將代入，得 ，
移項(xiàng)，得,即 .
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14. 我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中有這樣
一個(gè)問(wèn)題：今有鳧起南海，七日至北海.雁起北海，九日至南
海.今鳧、雁俱起.問(wèn)：何日相逢？其大意為：野鴨從南海飛
到北海用7天，大雁從北海飛到南海用9天.它們從兩地同時(shí)起
飛，幾天后相遇？請(qǐng)列方程解答這個(gè)問(wèn)題.
【解】設(shè) 天后相遇，
根據(jù)題意，得，解得 .
答：它們從兩地同時(shí)起飛， 天后相遇.
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15.
（1）將等式 變形，過(guò)程如下：
因?yàn)?，
所以 ，第一步
所以 .第二步
上述過(guò)程中，第一步的依據(jù)是什么？第二步得出錯(cuò)誤的結(jié)果，
其原因是什么？
【解】第一步的依據(jù)是等式的基本性質(zhì)1，第二步得出錯(cuò)誤
結(jié)果的原因是等式的兩邊同除以了一個(gè)可能等于零的 .
（2）已知，請(qǐng)求出 的值.
【解】?jī)蛇叾技樱?.
兩邊都除以3，得 .
（3）能否從得到 ？為什么？反之，
能否從得到 ？為什么？
【解】不能.因?yàn)闀r(shí)，兩邊都除以 ，無(wú)意義，
所以不能從得到 ；
能.由可知，所以能從 得到
利用等式的基本性質(zhì)2時(shí)，易忽略“除數(shù)不為0”這一
條件導(dǎo)致錯(cuò)誤.
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16. 某動(dòng)物園利用杠桿原
理稱(chēng)象.如圖，在點(diǎn)
處掛一根質(zhì)地均勻且足夠長(zhǎng)的鋼梁
（呈水平狀態(tài)），將裝有大象的鐵籠
和彈簧秤（秤的重力忽略不計(jì)）分別懸掛在鋼梁的點(diǎn)，
處，的長(zhǎng)度為，若鐵籠固定不動(dòng)，移動(dòng)彈簧秤，當(dāng)
的長(zhǎng)度是 長(zhǎng)度的10倍時(shí)，鋼梁保持水平，此時(shí)彈簧秤讀數(shù)
為 ，求裝有大象的鐵籠的重力.
【解】設(shè)裝有大象的鐵籠的重力為 ，
根據(jù)題意，得，解得 .
答：裝有大象的鐵籠的重力是 .
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第5章 一元一次方程
2.解一元一次方程
第2課時(shí) 用去分母法解一元一次方程
1. [2024上海寶山區(qū)期中] 解方程 ，去分母，得
( )
C
A. B.
C. D.
2.[2024泉州月考] 若代數(shù)式的值比的值大1，則 的
值為_(kāi)__.
2
返回
3.請(qǐng)將下列解方程 的過(guò)程補(bǔ)充完整.
解：原方程可變形為 .
①________，得 .
去括號(hào)，得②_____________________.
③______，得④_____________________.（⑤_____________
_____）
合并同類(lèi)項(xiàng)，得⑥__________
去分母
移項(xiàng)
等式的基本性質(zhì)1
系數(shù)化為1，得⑦_(dá)________.（⑧_________________）
（其中①③填寫(xiě)變形步驟名稱(chēng)，②④⑥⑦填寫(xiě)變形結(jié)果，⑤
⑧填寫(xiě)變形依據(jù)）
等式的基本性質(zhì)2
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4.解下列方程：
（1） ；
【解】去分母，得 .
去括號(hào)，得 .
移項(xiàng)，得 .
合并同類(lèi)項(xiàng)，得.系數(shù)化為1，得 .
（2） ；
【解】去分母，得 .
去括號(hào)，得.移項(xiàng)，得 .
合并同類(lèi)項(xiàng)，得.系數(shù)化為1，得 .
（3） ；
去分母，得 .
去括號(hào)，得.移項(xiàng)，得 .
合并同類(lèi)項(xiàng)，得.系數(shù)化為1，得 .
（4） .
【解】去分母，得 .
去括號(hào)，得 .
移項(xiàng)，得.合并同類(lèi)項(xiàng)，得 .
返回
5.[2024聊城月考] 已知：方程 是關(guān)
于 的一元一次方程.
（1）求 的值；
【解】 方程是關(guān)于 的一元一次方
程，，， .
（2）若上述方程①的解與關(guān)于的方程
的解互為相反數(shù)，求 的值.
【解】當(dāng)時(shí)，方程①為，解得 .
方程①的解與關(guān)于的方程 的解互為相
反數(shù)， 方程②的解為 .
解方程②，得，， .
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6. 若關(guān)于的一元一次方程 有負(fù)整數(shù)解，
則所有符合條件的整數(shù) 之和為( )
B
A. 2 B. C. 0 D.
返回
7.[2024上海虹口區(qū)期末] 若關(guān)于的方程 的解
與的解的和為7，則 的值為_(kāi)___.
【點(diǎn)撥】解方程 ，
得，解方程，得 .
由題意得，解得 .
返回
8.[2024德州期中] 解下列方程：
（1） ；
【解】去分母，得
，
去括號(hào)，得 ，
合并同類(lèi)項(xiàng)，得 ，
移項(xiàng)，系數(shù)化為1，得 .
（2） .
【解】由外到里逐層去括號(hào)，得 ，
， ,
， ，
移項(xiàng)，合并同類(lèi)項(xiàng)，得，去分母，得 ，
移項(xiàng)，合并同類(lèi)項(xiàng)，得 .
去括號(hào)一般由里到外進(jìn)行，但此題小括號(hào)前面的系
數(shù)是分?jǐn)?shù)，等號(hào)右邊是常數(shù)，選擇由外到里去括號(hào)較簡(jiǎn)單.
返回
9.若關(guān)于的方程有正整數(shù)解，求整數(shù) 的最
小值.
【解】去分母，得 .
去括號(hào)，得 .
移項(xiàng)，得 .
合并同類(lèi)項(xiàng)，得 .
系數(shù)化為1，得 .
因?yàn)榉匠逃姓麛?shù)解，且 為整數(shù)，
所以易得整數(shù) 的最小值是6.
返回
10.[2024長(zhǎng)春期中] 小紅解方程 時(shí)，在去分母
的過(guò)程中，右邊的 漏乘公分母6，因而求得方程的解為
.
（1）求 的值；
【解】由題意得是方程 的解.
把代入方程 ，
得，解得 .
（2）求出方程的正確解；
【解】由（1）可知，原方程為 ，
去分母，得 .
去括號(hào)，得 .
移項(xiàng)，得 .
合并同類(lèi)項(xiàng)，得，即方程的正確解為 .
（3）根據(jù)你的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，給同學(xué)們提一條關(guān)于解一元一次
方程的注意事項(xiàng).
【解】去分母時(shí)，不要漏乘沒(méi)有分母的項(xiàng)（答案不唯一）.
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11.[2024福州期末] 已知關(guān)于 的一元一次方程
，其中，， 為常數(shù).
（1）當(dāng)，， 時(shí)，求該方程的解；
【解】由題意得，原方程為 .
去分母，得 .
去括號(hào)，得 .
移項(xiàng)、合并同類(lèi)項(xiàng)，得 .
（2）當(dāng)時(shí)，求 的值；
【解】當(dāng)時(shí)，原方程為 .
去分母，得 .
去括號(hào)，得 .
（3）若無(wú)論為何值，該方程的解總是，求 的值.
【解】方程去分母、去括號(hào)，得 ，
將代入，并整理，得 .
無(wú)論 為何值，等式恒成立，
，，. .
返回
12. 定義：如果兩個(gè)一元一次方程的解之和為1，
我們就稱(chēng)這兩個(gè)方程為“美好方程”.例如：方程 和
為“美好方程”.
（1）若關(guān)于的方程與方程 是
“美好方程”，求 的值；
【解】解方程，得 .
解方程，得 .
關(guān)于的方程與方程 是“美好方
程”，， .
（2）若“美好方程”的兩個(gè)解的差為8，其中一個(gè)方程的解為
，求 的值；
“美好方程”的兩個(gè)解的和為1，其中一個(gè)方程的解
為 ， 另一個(gè)方程的解為 .
又 “美好方程”的兩個(gè)解的差為8，
或或 .
（3）若關(guān)于的一元一次方程 和
是“美好方程”，求關(guān)于 的一元一次方程
的解.
【解】解方程，得 .
關(guān)于的一元一次方程和
是“美好方程”，
關(guān)于的一元一次方程 的解為
.
關(guān)于的一元一次方程 可化為
， ，
.即所求方程的解為 .
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第5章 一元一次方程
2.解一元一次方程
第3課時(shí) 列一元一次方程解決實(shí)際
問(wèn)題
1. [2024張家口一模] 根據(jù)如圖所示的對(duì)話，算出小亮今年的
年齡為( )
A
A. 8歲 B. 6歲 C. 10歲 D. 7歲
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2. [2024佛山南海區(qū)開(kāi)學(xué)考試] 把數(shù)字
填在如圖的九宮格內(nèi)，使得每行、每列、每
條對(duì)角線上三個(gè)數(shù)字的和都相等，則方格內(nèi)
的字母 的值應(yīng)該是( )
A
A. 3 B. 5 C. 7 D. 9
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3. [2024任丘一模] 某市計(jì)劃在一段公路的一側(cè)栽上銀杏樹(shù)，
要求路的兩端各栽一棵，并且相鄰兩棵樹(shù)的間隔都相等.現(xiàn)有
銀杏樹(shù) 棵，如果每隔5米栽1棵，則缺21棵；如果每隔6米栽
1棵，則正好栽完，則下列選項(xiàng)正確的是( )
B
A. 依題意可列方程
B. 依題意可列方程
C. 現(xiàn)有銀杏樹(shù)105棵
D. 這段公路長(zhǎng)為620米
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4.[2024長(zhǎng)沙] 為慶祝中國(guó)改革開(kāi)放46周年，某中學(xué)舉辦了一
場(chǎng)精彩紛呈的慶祝活動(dòng)，現(xiàn)場(chǎng)參與者均為在校中學(xué)生，其中
有一個(gè)活動(dòng)項(xiàng)目是“選數(shù)字猜出生年份”，該活動(dòng)項(xiàng)目主持人
要求參與者從1，2，3，4，5，6，7，8，9這九個(gè)數(shù)字中任
取一個(gè)數(shù)字，先乘以10，再加上 ，將此時(shí)的運(yùn)算結(jié)果再乘
以10，然后加上 ，最后減去參與者的出生年份
（注：出生年份是一個(gè)四位數(shù)，比如2010年對(duì)應(yīng)的四位數(shù)是
），得到最終的運(yùn)算結(jié)果.只要參與者報(bào)出最終的運(yùn)算
結(jié)果，主持人立馬就知道參與者的出生年份.若某位參與者報(bào)
出的最終的運(yùn)算結(jié)果是915，則這位參與者的出生年份是
______.
2009
【點(diǎn)撥】設(shè)這位參與者的出生年份是，選取的數(shù)字為 ，由
題意，得 ，
整理得 .
此時(shí)中學(xué)生的出生時(shí)間應(yīng)該在2000年后， ，
.
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5.10人參加智力競(jìng)賽，每人必須回答24個(gè)問(wèn)題，答對(duì)一題得5
分，答錯(cuò)一題扣3分，結(jié)果得分最低的人得8分，且每個(gè)人的
得分都不相同，那么第一名至少得____分.
80
【點(diǎn)撥】設(shè)得分最低的人答對(duì)題，則答錯(cuò) 題，由題
意得，解得 ，
得分最低的人答對(duì)10題. 每個(gè)人的得分都不相同，
所有另外9人的答對(duì)題數(shù)最少是11，12，13，14，15，16，
17，18，19， 第一名至少得
（分）.
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6.甲、乙、丙三位同學(xué)向貧困山區(qū)的希望小學(xué)捐贈(zèng)圖書(shū)，已
知這三位同學(xué)捐贈(zèng)圖書(shū)本數(shù)的比是 ，如果他們共捐374
本，那么這三位同學(xué)各捐書(shū)多少本？
【解】設(shè)甲捐書(shū)本，則乙捐書(shū)本，丙捐書(shū) 本.
他們共捐374本， ，
解得，，， .
答：甲捐書(shū)85本，乙捐書(shū)136本，丙捐書(shū)153本.
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7.古代中國(guó)的數(shù)學(xué)專(zhuān)著《九章算術(shù)》中有一題：“今有生絲三
十斤，干之，耗三斤十二兩.今有干絲一十二斤，問(wèn)生絲幾
何？”意思是：“今有生絲30斤，干燥后耗損3斤12兩
（古代中國(guó)1斤等于16兩）.今有干絲12斤，問(wèn)原有生絲多
少？”則原有生絲___斤.
【點(diǎn)撥】設(shè)原有生絲 斤，依題意，得
，解得.所以原有生絲 斤.
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8. 為鼓勵(lì)家庭厲行節(jié)約，某城市居民生活用
天然氣實(shí)行階梯價(jià)格制度，家庭生活用氣收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下表中
所列.例如，某家庭全年共使用天然氣 ，其中前
按2.4元/收費(fèi)，另外按2.8元/ 收費(fèi)，剩下
的按3.6元/ 收費(fèi).童童也想通過(guò)計(jì)算，了解自己家里
使用天然氣的情況.
家庭年用氣量 單價(jià)（元/ ）
一檔 （含） 2.4
二檔 （含） 2.8
三檔 600以上 3.6
（1）若他家去年共使用 天然氣，則需要交費(fèi)多少元？
【解】 （元）.
答：需要交費(fèi)1 296元.
（2）若有一年他家交了1 556元天然氣費(fèi)，則這一年他家共
用了多少立方米天然氣？
【解】當(dāng)用氣量為時(shí)，天然氣費(fèi)為
（元），當(dāng)用氣量為 時(shí)，天然氣費(fèi)為
（元）.因?yàn)? 520元
元，
所以童童家這一年的用氣量大于 .
設(shè)這一年他家共用了 天然氣，
根據(jù)題意，得 ，
解得 .
答：這一年他家共用了 天然氣.
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9. 沙漏又稱(chēng)沙鐘，是我國(guó)
古代一種計(jì)量時(shí)間的儀器，它是根據(jù)流
沙從一個(gè)容器漏到另一個(gè)容器的量來(lái)計(jì)
算時(shí)間的.如圖展示了一個(gè)沙漏記錄時(shí)間
的情況.
（1）求出此時(shí)沙漏上部沙子的體積.
【解】 ，
答：此時(shí)沙漏上部沙子的體積為 .
（2）現(xiàn)在沙漏下部沙子的體積是
，如果再過(guò) ，沙漏上部的
沙子可以全部漏到下部，那么現(xiàn)在下部
的沙子已經(jīng)計(jì)量了多少分鐘？
【解】設(shè)現(xiàn)在下部的沙子已經(jīng)計(jì)量了 ，
根據(jù)題意，得 ，解得 .
答：現(xiàn)在下部的沙子已經(jīng)計(jì)量了 .
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10.[2024重慶渝北區(qū)質(zhì)檢] 某學(xué)校剛完成一批結(jié)構(gòu)相同的學(xué)生
宿舍的修建，這些宿舍地面需要鋪瓷磚，一天4名一級(jí)技工
去鋪4個(gè)宿舍，結(jié)果還剩 地面未鋪瓷磚；同樣時(shí)間內(nèi)6
名二級(jí)技工去鋪4個(gè)宿舍剛好完成.已知每名一級(jí)技工比每名
二級(jí)技工一天多鋪 瓷磚.
（1）求每個(gè)宿舍需要鋪瓷磚的地面面積.
【解】設(shè)每個(gè)宿舍需要鋪瓷磚的地面面積為 .根據(jù)題意，
得，解得 .
答：每個(gè)宿舍需要鋪瓷磚的地面面積為 .
（2）現(xiàn)該學(xué)校有26個(gè)宿舍的地面和 的走廊需要鋪瓷磚，
一開(kāi)始有4名一級(jí)技工來(lái)鋪瓷磚，3天后，學(xué)校根據(jù)實(shí)際情況
要求再鋪設(shè)2天必須完成剩余的任務(wù)，于是決定加入6名二級(jí)
技工一起工作并提高所有技工的工作效率.若每名一級(jí)技工每
天多鋪瓷磚面積與每名二級(jí)技工每天多鋪瓷磚面積的比為
，問(wèn)每名二級(jí)技工每天需要鋪多少平方米瓷磚才能按時(shí)
完成任務(wù)？
【解】設(shè)每名一級(jí)技工每天多鋪瓷磚面積為 ，則每名二級(jí)技工每天多鋪瓷磚面積為 .原來(lái)每名一級(jí)技工每天鋪瓷磚的面積為 ，原來(lái)每名二級(jí)技工每天鋪瓷磚的面積為 .根據(jù)題意，得
，解得， .
答：每名二級(jí)技工每天需要鋪 瓷磚才能按時(shí)完成任務(wù).
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第5章 一元一次方程
5.1 從實(shí)際問(wèn)題到方程
1. 下列式子中，是方程的是( )
D
A. B.
C. D.
2. 下列方程中，解是 的是( )
B
A. B.
C. D.
3.已知是關(guān)于的方程的解，則 ___.
2
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4.按如圖方式做一個(gè)試管架，在 長(zhǎng)的木板上鉆若干個(gè)半
徑為的圓孔，已知相鄰兩個(gè)圓孔的間距為 ，設(shè)木板
上能鉆 個(gè)圓孔，可列方程為_(kāi)___________.
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5. 2024年巴黎奧運(yùn)會(huì)上，中國(guó)代表隊(duì)獲得
獎(jiǎng)牌91枚，其中銀牌27枚，金牌數(shù)比銅牌數(shù)的2倍少8枚.
（1）若設(shè)中國(guó)代表隊(duì)獲得銅牌 枚，則可列出方程為_(kāi)_____
______________；
（2）試判斷中國(guó)代表隊(duì)獲得的銅牌數(shù)是不是24枚，并說(shuō)明理由.
【解】是.理由如下：由（1）得 ，
當(dāng)時(shí)，方程左邊 方程
右邊，所以是方程 的解，
所以中國(guó)代表隊(duì)獲得的銅牌數(shù)是24枚.
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6. [2024衡陽(yáng)月考] 下列各式：； ；
；；； .其
中是方程的是( )
D
A. ①②④⑤ B. ②③⑤⑥ C. ②④⑤⑥ D. ①②⑤⑥
7. [2024許昌期末] 小亮在解關(guān)于的方程 時(shí)，由
于粗心，錯(cuò)把看成了，解得，則 的值為( )
A
A. B. 3 C. D.
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8.已知是關(guān)于的方程 的解，則
的值是_______.
2 018
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9. “燕幾”
是世界上最早的一套組合桌，設(shè)
計(jì)者是北宋進(jìn)士黃伯思.全套“燕
幾”一共有7張桌子，每張桌子高
度相同.其桌面共有3種尺寸，包括2張長(zhǎng)桌、2張中桌和3張小
桌，它們的寬都相同.7張桌面可以拼成一個(gè)大的長(zhǎng)方形，或
者分開(kāi)組合成不同的圖形，其方式豐富多樣，“燕幾”
也被認(rèn)為是現(xiàn)代七巧板的前身.如
圖是《燕幾圖》中列出的名稱(chēng)為
“函三”和“回文”的兩種桌面拼合
方式.若全套7張桌子桌面的總面
積為61.25平方尺，則每張桌子桌
面的寬為多少尺？設(shè)每張桌子桌
面的寬為 尺，則列方程為_(kāi)____
_____________________________.
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10.整式的值隨著的取值的變化而變化，下表是當(dāng) 取
不同的值時(shí)對(duì)應(yīng)的整式的值：
0 1 2 3
3 2 1 0
則關(guān)于的方程 的解是______．
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11.有一列方程：第1個(gè)方程是，解為 ；第2個(gè)
方程是，解為；第3個(gè)方程是 ，解為
；…根據(jù)規(guī)律可知第10個(gè)方程是____________，解為
_________.
【點(diǎn)撥】由題中的方程可以發(fā)現(xiàn)，第 個(gè)方程為
，解為 ，所以第10個(gè)方程是
，解為 .
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12.有一個(gè)兩位數(shù)，十位數(shù)字比個(gè)位數(shù)字小3，若把這個(gè)兩位
數(shù)的十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字交換，所得的兩位數(shù)與原兩位數(shù)的
和為165，求原兩位數(shù).設(shè)原兩位數(shù)的十位數(shù)字為 ，請(qǐng)列出方
程，不用求解.
【解】根據(jù)題意，得原兩位數(shù)的個(gè)位數(shù)字為 ，
所以原兩位數(shù)為 ，
所以交換后的兩位數(shù)為 .
因?yàn)榘言瓋晌粩?shù)的十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字交換，所得的兩位數(shù)
與原兩位數(shù)的和為165，
所以 .
解決兩位數(shù)的數(shù)字問(wèn)題，一般要設(shè)個(gè)位數(shù)字或十位
數(shù)字為未知數(shù)，再結(jié)合題意列方程.
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13. 一快遞員需要在規(guī)定時(shí)間內(nèi)開(kāi)車(chē)將快遞送到某地，
若快遞員開(kāi)車(chē)每分鐘行駛，就早到 ；若快遞員
開(kāi)車(chē)每分鐘行駛，就會(huì)遲到 .試求出規(guī)定時(shí)間及
快遞員開(kāi)車(chē)所行駛的路程.
然然和涵涵列出的方程如下：
然然： ；
涵涵： .
（1）然然所列方程中的 表示__________，涵涵所列方程中
的 表示________________________；
規(guī)定時(shí)間
快遞員開(kāi)車(chē)所行駛的路程
（2）請(qǐng)問(wèn) 是不是涵涵所列方程的解？請(qǐng)說(shuō)明理由.
【解】是.理由如下：當(dāng)時(shí)，方程左邊 ，
方程右邊 ，
左邊右邊，所以 是涵涵所列方程的解.
混淆兩個(gè)方程中 的含義導(dǎo)致錯(cuò)誤.
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14. 閱讀下列材料：
方程的解是 ；
方程的解是 ；
方程的解是 ；
…
根據(jù)以上材料，解答下列問(wèn)題：
（1）觀察上述方程以及解的特征，請(qǐng)你直接寫(xiě)出方程
的解為_(kāi)_____；
（2）比較關(guān)于的方程 與上面各式的關(guān)系，
猜想它的解是______；
（3）請(qǐng)驗(yàn)證第（2）問(wèn)猜想的結(jié)論；
【解】當(dāng)時(shí)，方程左邊 方程右邊，所以關(guān)于
的方程的解是 ；
（4）利用第（2）問(wèn)的結(jié)論，求解關(guān)于 的方程
的解.
【解】因?yàn)?，
所以 ，
所以，解得 .
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第5章 一元一次方程
測(cè)素質(zhì) 一元一次方程及其解法
［時(shí)間：60分鐘 分值：100分］
一、選擇題（每小題4分，共40分）
1. [2024石家莊月考] 下列方程中，是一元一次方程的是
( )
D
A. B.
C. D.
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2. 已知 ，根據(jù)等式的基本性質(zhì)，
下列變形錯(cuò)誤的是( )
A. B.
C. D.
C
返回
3. [2024寧波期末] 方程 ，移項(xiàng)后正確的是
( )
A
A. B.
C. D.
返回
4. [2024長(zhǎng)沙期中] 在解方程 時(shí)，去分母、
去括號(hào)正確的是( )
A.
B.
C.
D.
D
返回
5. 下列方程中，解是 的是( )
D
A. B.
C. D.
6. 若是方程 的解，
則 的值為( )
A
A. 3 B. C. D. 5
返回
7. 在解關(guān)于的方程 時(shí)，小穎在去分母的過(guò)程
中，右邊的“ ”漏乘了公分母15，因而求得方程的解為
，則方程正確的解是( )
A
A. B. C. D.
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8. 若關(guān)于的一元一次方程 有無(wú)數(shù)個(gè)解，則
的值為( )
A
A. B. C. D. 1
【點(diǎn)撥】整理得 方程
有無(wú)數(shù)個(gè)解，，，解得 ，
， .
返回
9. [2024廣州] 某新能源車(chē)企今年5月交付新車(chē)35 060輛，且
今年5月交付新車(chē)的數(shù)量比去年5月交付的新車(chē)數(shù)量的1.2倍還
多1 100輛.設(shè)該車(chē)企去年5月交付新車(chē) 輛，根據(jù)題意，可列
方程為( )
A
A.
B.
C.
D.
返回
10. 小紅學(xué)習(xí)了等式的性質(zhì)后，在甲、乙兩臺(tái)天平的左右兩
邊分別放入“ ”“ ”“ ”三種物體，如圖所示，天平都保持平
衡.若設(shè)“ ”與“ ”的質(zhì)量分別為， ，則下列關(guān)系式正確的
是( )
C
A. B. C. D.
【點(diǎn)撥】設(shè)“”的質(zhì)量為，由甲可得 ，即
，由乙可得，即， .
返回
二、填空題（每小題4分，共24分）
11.[2024河北模擬] 老師在黑板上列出了如下算式：
.老師說(shuō)：“這個(gè)算式的正確結(jié)果為0.”則
____.
15
12.當(dāng)__時(shí)，式子與 互為相反數(shù).
返回
13. 中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《增刪算法統(tǒng)宗》中記
載的“繩索量竿”問(wèn)題，大意是：現(xiàn)有一根竿子和一條繩索，
用繩索去量竿子，繩索比竿子長(zhǎng)5尺；若將繩索對(duì)折去量竿
子，繩索就比竿子短5尺，問(wèn)繩索、竿子各有多長(zhǎng)？該問(wèn)題
中的竿子長(zhǎng)為_(kāi)___尺.
15
【點(diǎn)撥】設(shè)竿子長(zhǎng)為尺，則繩索長(zhǎng)為 尺，根據(jù)題意，
得，解得 ，
竿子長(zhǎng)為15尺.
返回
14.已知關(guān)于的方程與 的解相
同，則 ____.
【點(diǎn)撥】解方程，得.把 代入
，得，解得 .
返回
15. 設(shè)，，， 為有理數(shù)，現(xiàn)規(guī)定一種新的
運(yùn)算為，則滿足的 的值為_(kāi)__.
16.若關(guān)于的一元一次方程 的解為整數(shù)，則滿足
題意的所有整數(shù) 的和為_(kāi)__.
8
返回
三、解答題（共36分）
17.（8分）[2024衡陽(yáng)期末] 解下列方程：
（1） ；
【解】去括號(hào)，得 .
移項(xiàng)，得 .
合并同類(lèi)項(xiàng)，得.系數(shù)化為1，得 .
（2） .
【解】去分母，得 .
去括號(hào)，得 .
移項(xiàng)，得 .
合并同類(lèi)項(xiàng)，得.系數(shù)化為1，得 .
返回
18.（8分）已知關(guān)于的方程 與方程
的解之積為1，求 的值.
【解】解方程，得 .
關(guān)于的方程與方程 的解之
積為1， 方程的解為 .
將代入，得，解得 .
返回
19.（10分）[2024南陽(yáng)月考] 已知關(guān)于 的一元一次方程
的解是，求關(guān)于 的一元一
次方程 的解.
【解】將所求方程兩邊同乘 ，得
.
對(duì)照，發(fā)現(xiàn)， .
因?yàn)椋?.
返回
20.（10分）甲、乙兩工程隊(duì)承接某段隧道挖掘工程，已知甲
工程隊(duì)每天的挖掘長(zhǎng)度是乙工程隊(duì)每天挖掘長(zhǎng)度的1.5倍，且
甲、乙兩工程隊(duì)一起挖掘200米長(zhǎng)度的隧道用時(shí)4天.
（1）求甲、乙兩工程隊(duì)每天分別挖掘隧道多少米.
【解】設(shè)乙工程隊(duì)每天挖掘隧道 米，則甲工程隊(duì)每天挖掘
隧道米，由題意，得 ，
解得，
答：甲工程隊(duì)每天挖掘隧道30米，乙工程隊(duì)每天挖掘隧道20米.
（2）已知該段隧道挖掘工程為600米，甲工程隊(duì)每天的挖掘費(fèi)
用為6萬(wàn)元，乙工程隊(duì)每天的挖掘費(fèi)用為3萬(wàn)元.若安排甲工程
隊(duì)先單獨(dú)挖掘若干天后，剩下的工程再由乙工程隊(duì)單獨(dú)完成，
總費(fèi)用剛好為102萬(wàn)元，求甲工程隊(duì)?wèi)?yīng)先單獨(dú)挖掘多少天.
【解】設(shè)甲工程隊(duì)?wèi)?yīng)先單獨(dú)挖掘天，則乙工程隊(duì)挖掘
天，即 天，
由題意，得，解得 .
答：甲工程隊(duì)?wèi)?yīng)先單獨(dú)挖掘8天.
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第5章 一元一次方程
5.3 實(shí)踐與探索
第3課時(shí) 工程問(wèn)題、行程問(wèn)題
1. 元朝朱世杰所著的《算學(xué)啟蒙》中，記
載了這樣一道題：“良馬日行二百四十里，駑馬日行一百五十
里，駑馬先行一十二日，問(wèn)良馬幾何日追及之？”其大意是：
快馬每天行240里，慢馬每天行150里，慢馬先行12天，問(wèn)快
馬幾天可追上慢馬？則快馬追上慢馬的天數(shù)是( )
D
A. 5天 B. 10天 C. 15天 D. 20天
【點(diǎn)撥】設(shè)快馬追上慢馬的天數(shù)是 天，
根據(jù)題意得，解得 ，
所以快馬追上慢馬的天數(shù)是20天.
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2.[2024衡陽(yáng)月考] 某項(xiàng)工作由甲單獨(dú)做3小時(shí)完成，由乙單獨(dú)
做4小時(shí)完成，乙單獨(dú)做了1小時(shí)后，甲、乙兩人合做完成剩
下的工作，這項(xiàng)工作共用___小時(shí)完成.
【點(diǎn)撥】設(shè)乙單獨(dú)做了1小時(shí)后，甲、乙兩人合做 小時(shí)可以
完成，設(shè)總工作量為單位1，根據(jù)題意得
,解得 .
所以總工作時(shí)間為 （小時(shí)）.
1.當(dāng)總工作量未知時(shí)，一般把總工作量看作整體1，
則工作效率為單獨(dú)完成總工作量的時(shí)間的倒數(shù) .
2.若將總工作量分幾部分完成，則常見(jiàn)的等量關(guān)系為各部分
的工作量之和等于總工作量1.
. .
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3.，兩地相距31千米，甲從地騎自行車(chē)去 地，1小時(shí)后
乙騎摩托車(chē)也從地去 地.已知甲每小時(shí)行駛12千米，乙每
小時(shí)行駛28千米.
（1）乙出發(fā)后_ _小時(shí)追上甲.
（2）若乙到達(dá) 地后立即返回，則在返回路上與甲相遇時(shí)距
乙出發(fā)多長(zhǎng)時(shí)間？
【解】設(shè)在返回路上與甲相遇時(shí)距乙出發(fā) 小時(shí)，
由題意得，解得 .
答：在返回路上與甲相遇時(shí)距乙出發(fā) 小時(shí).
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4.某汽車(chē)工廠現(xiàn)有一批汽車(chē)配件訂單需交付，若全部由1名工
人生產(chǎn)需要150天才能完成.為了快速完成生產(chǎn)任務(wù)，現(xiàn)計(jì)劃
由一部分工人先生產(chǎn)3天，然后增加6名工人與他們一起再生
產(chǎn)5天就能完成這批訂單的生產(chǎn)任務(wù).假設(shè)每名工人每天的工
作效率相同.
（1）前3天應(yīng)先安排多少名工人生產(chǎn)？
【解】設(shè)前3天應(yīng)先安排 名工人生產(chǎn)，每名工人每天的工作
效率為1,根據(jù)題意得，解得 .
答：前3天應(yīng)先安排15名工人生產(chǎn).
（2）增加6名工人一起工作后，若每名工人每天使用機(jī)器可以
生產(chǎn)600個(gè)型配件或650個(gè)型配件，如果3個(gè)型配件和2個(gè)
型配件配套組成一個(gè)零件系統(tǒng)，要使每天生產(chǎn)的型和 型配
件剛好配套，應(yīng)安排生產(chǎn)型配件和 型配件的工人各多少名？
【解】設(shè)應(yīng)安排名工人生產(chǎn)型配件，則安排
名工人生產(chǎn) 型配件，
根據(jù)題意得，解得 ，
所以 .
答：應(yīng)安排13名工人生產(chǎn)型配件，8名工人生產(chǎn) 型配件.
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5.有一些相同的房間需要粉刷，一天3個(gè)師傅去粉刷8個(gè)房間，
結(jié)果其中有 墻面未來(lái)得及刷；同樣的時(shí)間內(nèi)5個(gè)徒弟粉刷
了9個(gè)房間的墻面.每個(gè)師傅比每個(gè)徒弟一天多刷 的墻面.
（1）求每個(gè)房間需要粉刷的墻面面積.
【解】設(shè)每個(gè)房間需要粉刷的墻面面積為 .由題意得
，解得 .
答：每個(gè)房間需要粉刷的墻面面積為 .
（2）張老板現(xiàn)有36個(gè)這樣的房間需要粉刷，若請(qǐng)1個(gè)師傅帶
2個(gè)徒弟去，需要幾天完成？
【解】由（1）得到每個(gè)師傅每天粉刷的墻面面積為
，所以每個(gè)徒弟每天粉刷的墻面面積為
，所以1個(gè)師傅帶2個(gè)徒弟粉刷36個(gè)房間
需要 （天）.
（3）已知每個(gè)師傅、每個(gè)徒弟每天的工資分別是95元、75
元（不足1天的工資按1天算），張老板要求在3天內(nèi)完成36
個(gè)房間的粉刷，問(wèn)如何在這8個(gè)人中雇用人員最合算？
【解】由（2）可知，每個(gè)師傅每天粉刷的墻面面積為 ，
每個(gè)徒弟每天粉刷的墻面面積為 .若想在3天內(nèi)完成，則每
天粉刷的墻面面積最少為 .若雇傭3個(gè)師傅和
3個(gè)徒弟，則每天粉刷的墻面面積為
， ，需要
（天）完成，每天的費(fèi)用是
（元）；若雇傭2個(gè)師傅和4個(gè)徒弟，則每天粉刷的墻面面積
為，需要 （天）完成，
每天的費(fèi)用是（元）.因?yàn)?90元
元，所以在這8個(gè)人中雇傭2個(gè)師傅、4個(gè)徒弟最合算.
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6. 臺(tái)州西站到永康南站現(xiàn)有一條設(shè)計(jì)時(shí)速為
的單軌普速鐵路.客車(chē)以 的平均速度行駛，從
“鐵路12306”可查得它在各站點(diǎn)的到達(dá)時(shí)間和駛出時(shí)間如下表：
到達(dá)站點(diǎn) 臨海南 仙居南 磐安南 壺鎮(zhèn) 永康南
到達(dá)時(shí)間 11:03 11:25 11:53 12:04 12:23
駛出時(shí)間 11:05 11:27 11:55 12:07
（1）求臨海南、仙居南、磐安南、壺鎮(zhèn)相鄰兩站之間的鐵
路公里數(shù).
【解】客車(chē)的行駛速度為 ；
臨海南到仙居南的鐵路公里數(shù)： ；
仙居南到磐安南的鐵路公里數(shù)： ；
磐安南到壺鎮(zhèn)的鐵路公里數(shù)： .
（2）一列貨車(chē)以 的速度勻速行駛開(kāi)往永康南站，
在10：55通過(guò)臨海南站.
【解】貨車(chē)的速度為 ，客車(chē)的行駛速
度為 .
①若貨車(chē)中途不停靠站點(diǎn)進(jìn)行避讓?zhuān)诘竭_(dá)永康南站前與
客車(chē)有追尾危險(xiǎn)嗎？如果有追尾危險(xiǎn)，請(qǐng)確定在它駛離臨海
南站多少千米時(shí)會(huì)追尾.
首先判斷到終點(diǎn)永康南站前，客車(chē)是否與貨車(chē)發(fā)生追尾事故.
由題意可得，以臨海南站為起點(diǎn)，客車(chē)比貨車(chē)晚 出發(fā)，
壺鎮(zhèn)到永康南的鐵路公里數(shù)為 ，所以臨海
南至永康南的鐵路總里程為
.
貨車(chē)行駛時(shí)間為 ；
客車(chē)行駛時(shí)間為 ，三站停車(chē)總時(shí)長(zhǎng)為
.
因?yàn)?，所以客車(chē)總用時(shí)
比貨車(chē)少，但很接近，所以猜測(cè)兩車(chē)在壺鎮(zhèn)至永康南段追尾.
驗(yàn)證追尾：假設(shè)兩車(chē)在壺鎮(zhèn)至永康南段追尾，設(shè)貨車(chē)的行駛
時(shí)間為.根據(jù)題意可知 ，
解得 ，所以追尾點(diǎn)與臨海南站的距離為
.
②為了確保列車(chē)運(yùn)行安全，貨車(chē)需要在客車(chē)追上前進(jìn)入火車(chē)
站，停靠在貨車(chē)等待軌道等待客車(chē)通過(guò).則該貨車(chē)應(yīng)該停靠在
________站等待客車(chē)通過(guò)能使等待的時(shí)間最少.且停靠等待的
時(shí)間為_(kāi)__.（精確到 ）.
磐安南
3
【點(diǎn)撥】臨海南至永康南鐵路總里程為 .因?yàn)?br/>，所以若貨車(chē)不等待客車(chē)先通過(guò)，兩車(chē)
在壺鎮(zhèn)至永康南段將會(huì)追尾.為避免兩車(chē)追尾，因此貨車(chē)可以
停靠在仙居南站、磐安南站或壺鎮(zhèn)站等待客車(chē)先通過(guò).
停仙居南站：貨車(chē)用時(shí)為 ，客車(chē)用時(shí)為
，貨車(chē)等待時(shí)間： ，
所以貨車(chē)停仙居南站等待客車(chē)通過(guò)要 .
停磐安南站： ，
，所以貨車(chē)停磐安南
站等待客車(chē)通過(guò)約要 .
停壺鎮(zhèn)站： ，
，所以貨
車(chē)停壺鎮(zhèn)站等待客車(chē)通過(guò)要 .
綜上所述，貨車(chē)停靠在磐安南站用時(shí)最少，最少為 .
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7.實(shí)踐與探索
觀察發(fā)現(xiàn)：某數(shù)學(xué)興趣小組自制
了一個(gè)模擬鐘面，如圖所示，
為模擬鐘面圓心，，， 在一
條直線上，指針，分別從，出發(fā)繞點(diǎn) 轉(zhuǎn)動(dòng)，
轉(zhuǎn)動(dòng)速度為每秒 ，轉(zhuǎn)動(dòng)速度為每秒 ，當(dāng)一根指
針與起始位置重合時(shí)，運(yùn)動(dòng)停止，設(shè)轉(zhuǎn)動(dòng)的時(shí)間為 秒，請(qǐng)你
試著解決他們提出的下列問(wèn)題：
（1）如圖①，若 順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，
同時(shí)逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng) ____
時(shí)，與 第一次重合；
（2）如圖②，若， 同時(shí)順
12
時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)____時(shí)，與 第一次重合；
拓展遷移：
（3）小明每天去體育場(chǎng)晨練都見(jiàn)到
一位田徑隊(duì)的叔叔也在鍛煉.兩人沿
400米跑道跑步，小明與叔叔跑步速
度之比為 .一天，兩人在同地同時(shí)反向而跑，隔了32秒兩
人第一次相遇.第二天小明打算和叔叔在同地同時(shí)同向而跑，
若兩人每天的跑步速度保持不變，請(qǐng)你幫小明預(yù)測(cè)一下，他
隔多長(zhǎng)時(shí)間與叔叔首次相遇？
【解】設(shè)小明的速度為 米/秒,
則叔叔的速度為 米/秒,
根據(jù)題意得 ，
解得 ，
所以小明的速度為 （米/秒）,叔叔的速度為
（米/秒）,
設(shè)小明隔 秒與叔叔首次相遇，
根據(jù)題意得，解得 .
答：小明隔160秒與叔叔首次相遇.
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第5章 一元一次方程
1.等式的性質(zhì)與方程的簡(jiǎn)單變形
第3課時(shí) 活用方程的變形規(guī)則解方程
1. 解方程 時(shí)，變形正確的是( )
A
A. B.
C. D.
移項(xiàng)時(shí)易忽略變號(hào)導(dǎo)致錯(cuò)誤.
2. 方程 的解答過(guò)程的正確順序是( )
①合并同類(lèi)項(xiàng)，得;②移項(xiàng)，得 ;③系數(shù)
化為1,得 .
C
A. ①②③ B. ③②① C. ②①③ D. ③①②
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3. [2024長(zhǎng)春期中] 下面是一個(gè)被墨水污染過(guò)的方程：
，答案顯示此方程的解是 ，被墨
水污染的是一個(gè)常數(shù)，則這個(gè)常數(shù)是( )
D
A. 1 B. C. D.
4. 若與互為相反數(shù)，則 的值為( )
C
A. B. 4 C. D.
返回
5. [2024瀘州期中] 如果關(guān)于的方程 與方程
的解相同，那么 ( )
B
A. B. C. D.
6. 若*是規(guī)定的運(yùn)算符號(hào)且 ,
則在中， 的值是____.
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7. 解下列方程.
（1） ；
【解】移項(xiàng)，得.合并同類(lèi)項(xiàng)，得 .系數(shù)
化為1，得 .
（2） ；
移項(xiàng)，得.合并同類(lèi)項(xiàng)，得 .
（3） ；
移項(xiàng)，得.合并同類(lèi)項(xiàng)，得 .
（4） .
【解】移項(xiàng)，得.合并同類(lèi)項(xiàng)，得 .
返回
8. 鋼琴素有“樂(lè)器之王”的美稱(chēng)，鍵盤(pán)上白色琴
鍵和黑色琴鍵共有88個(gè)，白色琴鍵比黑色琴鍵多16個(gè).求白色
琴鍵和黑色琴鍵的個(gè)數(shù).
【解】設(shè)白色琴鍵的個(gè)數(shù)為 個(gè)，則黑色琴鍵的個(gè)數(shù)為
個(gè)，根據(jù)題意，得，解得 .
所以 .
答：白色琴鍵的個(gè)數(shù)為52個(gè)，黑色琴鍵的個(gè)數(shù)為36個(gè).
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9. 如果單項(xiàng)式與的差是單項(xiàng)式，則關(guān)于 的
方程 的解是( )
C
A. B. C. D.
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10. [2024泉州期中] 已知， 為任意有理數(shù)，下列說(shuō)法正確
的是( )
A
①關(guān)于的方程的解為 ；
②關(guān)于的方程的解為 ；
③當(dāng)，互為相反數(shù)時(shí)，關(guān)于的方程 的
解是 .
A. ①③ B. ①② C. ②③ D. ①②③
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11. 《九章算術(shù)》是中國(guó)古代的數(shù)學(xué)專(zhuān)著，是
《算經(jīng)十書(shū)》中最重要的一部，書(shū)中第八章內(nèi)容“方程”里記載
了一個(gè)有趣的追及問(wèn)題，可理解為：速度快的人每分鐘走100
米，速度慢的人每分鐘走60米，現(xiàn)在速度慢的人先走100米，
速度快的人去追他，則速度快的人追上他需要____分鐘.
2.5
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12.下表是當(dāng)取不同值時(shí)，對(duì)應(yīng)的整式 的值，則關(guān)于
的方程 的解為_(kāi)_______.
0 1 2 3
0 4 8
13.如果是關(guān)于的方程 的解，那么
____.
21
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14.在初中數(shù)學(xué)文化節(jié)游園活動(dòng)中，被稱(chēng)為“數(shù)
學(xué)小王子”的王小明參加了“智取九宮格”游戲
比賽，活動(dòng)規(guī)則是：九宮格中，在除了已經(jīng)填
寫(xiě)的三個(gè)數(shù)之外的每一個(gè)方格中填入一個(gè)數(shù)，
39
使每一橫行、每一豎列以及兩條對(duì)角線上的3個(gè)數(shù)之和分別
相等，且均為 .王小明抽取到的題目如圖所示，他運(yùn)用初中
所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)，很快就完成了這個(gè)游戲，則 ____.
【點(diǎn)撥】設(shè)九宮格中最中間的數(shù)為 .
第1列中間數(shù)與第2行最左側(cè)的數(shù)重合，
， .
易知九宮格中每一橫行、每一豎列以及兩條對(duì)
角線上的3個(gè)數(shù)之和等于最中間數(shù)的3倍，得 .
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15.當(dāng)____時(shí)，關(guān)于的方程 的解比
的解大2.
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16. 解方程：
.
【解】 ，
，
，
，
， .
返回
17. 根據(jù)絕對(duì)值的定義，若有 ，則
或，若，則 ，我們可以根據(jù)這樣的結(jié)
論，解一些簡(jiǎn)單的絕對(duì)值方程，例如：
解方程： .
17.解：方程可化為或 .
當(dāng)時(shí)，解得 ；
當(dāng)時(shí)，解得 .
故方程的解為或 .
（1）解方程： ；
【解】方程可化為或 ，
解得或 ，
故方程的解為或 .
（2）已知，求 的值.
【解】因?yàn)?，
所以或 ，
所以或 ，
所以 或20.
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第5章 一元一次方程
專(zhuān)題3 解一元一次方程實(shí)際應(yīng)用問(wèn)
題的四種設(shè)元技巧
技巧1 直接設(shè)元法
1.[2024益陽(yáng)模擬] 如圖，某中學(xué)新建了一個(gè)音樂(lè)噴
泉，當(dāng)出水量達(dá)到最大時(shí)，噴泉會(huì)響起優(yōu)美的音樂(lè)，
此時(shí)水柱的高度比出水管的高度的2倍還高 ,
設(shè)出水管的高度為 .
（1）直接用含 的代數(shù)式表示此時(shí)水柱的高度為
________________ .
（2）當(dāng)噴泉響起優(yōu)美的音樂(lè)時(shí)，出水管和水柱的
總高度為 ,求出水管的高度.
【解】由題知，解得 .
答：出水管的高度為 .
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2.我國(guó)明代數(shù)學(xué)家吳敬所著的《九章算術(shù)比類(lèi)大全》中，有一
首數(shù)學(xué)名詩(shī)叫“寶塔裝燈”.內(nèi)容為“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅燈點(diǎn)點(diǎn)
倍加增，共燈三百八十一，請(qǐng)問(wèn)頂層幾盞燈？”大致意思是：
有一座七層高塔，從底層開(kāi)始，每層安裝的燈的數(shù)目都是上一
層的2倍，共有381盞燈，請(qǐng)你算出塔的頂層有多少盞燈.
【解】設(shè)塔的頂層有 盞燈，
由題意得 ，
解得 .
答：塔的頂層有3盞燈.
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技巧2 間接設(shè)元法
3.[2024德州月考] 用白鐵皮做罐頭盒，每張鐵皮可制作盒身
12個(gè)或者盒底18個(gè)，一個(gè)盒身與兩個(gè)盒底配成一個(gè)罐頭盒，
現(xiàn)有28張鐵皮，能制作成罐頭盒多少個(gè)？
【解】設(shè)做盒身用去 張，則
，解得，
（個(gè)）.
答：能制作成罐頭盒144個(gè).
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技巧3 整體設(shè)元法
4.一個(gè)五位數(shù)，個(gè)位數(shù)為4，這個(gè)五位數(shù)加上6 120后所得的
新的五位數(shù)的萬(wàn)位、千位、百位、十位、個(gè)位的數(shù)恰巧分別
為原來(lái)五位數(shù)的個(gè)位、萬(wàn)位、千位、百位、十位上的數(shù)，求
原來(lái)的五位數(shù).
【解】設(shè)原五位數(shù)去掉個(gè)位數(shù)后的四位數(shù)為 ，則原五位數(shù)
可表示為 ，
根據(jù)題意，得 .
解得.所以 .
答：原五位數(shù)是37 644.
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技巧4 輔助設(shè)元法
5. 某糧食生產(chǎn)基地為了落實(shí)在適宜地區(qū)開(kāi)展雙
季稻中間季節(jié)再種一季油菜的號(hào)召，積極擴(kuò)大糧食生產(chǎn)規(guī)模，
計(jì)劃用基地的甲、乙兩區(qū)農(nóng)田進(jìn)行油菜試種，甲區(qū)的農(nóng)田比
乙區(qū)的農(nóng)田多10 000畝，甲區(qū)農(nóng)田的 和乙區(qū)全部農(nóng)田均
適宜試種，且兩區(qū)適宜試種農(nóng)田的面積剛好相同.
（1）求甲、乙兩區(qū)各有農(nóng)田多少畝.
【解】設(shè)乙區(qū)有農(nóng)田畝，則甲區(qū)有農(nóng)田 畝，根
據(jù)題意，得，解得 ，所以
.
答：甲區(qū)有農(nóng)田50 000畝，乙區(qū)有農(nóng)田40 000畝.
（2）在甲、乙兩區(qū)適宜試種的農(nóng)田上全部種上油菜后，為
加強(qiáng)油菜的蟲(chóng)害治理，基地派出一批性能相同的無(wú)人機(jī)，對(duì)
試種農(nóng)田噴灑除蟲(chóng)藥，由于兩區(qū)地勢(shì)差別，派往乙區(qū)的無(wú)人
機(jī)架次是甲區(qū)的1.2倍（每架次無(wú)人機(jī)噴灑時(shí)間相同），噴灑
任務(wù)完成后，發(fā)現(xiàn)派往甲區(qū)的每架次無(wú)人機(jī)比乙區(qū)的平均多
噴灑 畝，求派往甲區(qū)每架次無(wú)人機(jī)平均噴灑多少畝.
【解】設(shè)派往甲區(qū)每架次無(wú)人機(jī)平均噴灑 畝，派往甲區(qū)的
無(wú)人機(jī)架次為架次，則派往乙區(qū)每架次無(wú)人機(jī)平均噴灑
畝，派往乙區(qū)的無(wú)人機(jī)架次為 架次，
根據(jù)題意，得 ，
即，解得 ，經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意.
答：派往甲區(qū)每架次無(wú)人機(jī)平均噴灑100畝.
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第5章 一元一次方程
專(zhuān)題1 解一元一次方程的五種方法
方法1 去分母法
1.[2024上海期末] 解方程： .
【解】去分母，得 .
去括號(hào)，得 .
移項(xiàng)，得 .
合并同類(lèi)項(xiàng)，得.系數(shù)化為1，得 .
返回
2.解方程： .
【解】去分母，得 .
去括號(hào)，得 .
移項(xiàng)，得 .
合并同類(lèi)項(xiàng)，得.系數(shù)化為1，得 .
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方法2 去括號(hào)法
3.[2024臨沂月考] 解下列方程：
（1） ；
【解】原方程可化為 ，
即，去括號(hào)，得 .
移項(xiàng)、合并同類(lèi)項(xiàng)，得.系數(shù)化為1，得 .
返回
（2） .
【解】移項(xiàng)、合并同類(lèi)項(xiàng)，得
.
兩邊同時(shí)乘14，得 .
移項(xiàng)、合并同類(lèi)項(xiàng)，得 .
兩邊同時(shí)乘6，得 .
移項(xiàng)、合并同類(lèi)項(xiàng)，得 .
兩邊同時(shí)乘4，得.移項(xiàng)、合并同類(lèi)項(xiàng)，得 .
方程有多重括號(hào)時(shí)，若逐層去括號(hào)，則計(jì)算量較大，
因此我們可以采用交替 使用移項(xiàng)、合并同類(lèi)項(xiàng)、
去分母的變形方法.
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方法3 化小數(shù)為整數(shù)法
4.解下列方程：
（1） ；
【解】原方程可化為 .
去分母，得 .
去括號(hào)，得 .
移項(xiàng)，得 .
合并同類(lèi)項(xiàng)，得.系數(shù)化為1，得 .
（2） .
【解】原方程可化為 .
去分母，得 .
去括號(hào)，得 .
移項(xiàng)，得 .
合并同類(lèi)項(xiàng)，得.系數(shù)化為1，得 .
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方法4 分組結(jié)合法
5.解方程: .
【解】原方程可變形為 .
方程兩邊分別通分后相加，
得 ,
整理，得，去分母，得 .
去括號(hào)，得.移項(xiàng)，得 .
合并同類(lèi)項(xiàng)，得.系數(shù)化為1，得 .
此方程若采用直接去分母的方法很麻煩，觀察分母
的特點(diǎn)，將分母有倍數(shù)關(guān)系的結(jié)合在一起進(jìn)行通分合并，則
簡(jiǎn)便很多.
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方法5 整體求解法
6.在解方程 時(shí)，可
先將， 分別看成整體進(jìn)行移項(xiàng)、合并同類(lèi)項(xiàng)，
得方程 ，然后再繼續(xù)求解，這種方法叫
做整體求解法.請(qǐng)用這種方法解方程：
（1） ；
【解】移項(xiàng)，得 ，
整體合并，得 ，
所以，解得 .
（2） .
【解】移項(xiàng)、合并同類(lèi)項(xiàng)，得 .
去分母，得 .
去括號(hào)，得 .
移項(xiàng)、合并同類(lèi)項(xiàng)，得 .
系數(shù)化為1，得 .
返回(共22張PPT)
第5章 一元一次方程
5.3 實(shí)踐與探索
第1課時(shí) 幾何問(wèn)題
1. 如圖所示的兩個(gè)長(zhǎng)方體容器中的液體體積
相同，根據(jù)圖中信息，以下結(jié)論正確的是( )
A
（第1題）
A.
B.
C. 甲容器中液體的體積為405
D. 乙容器中液面的高度為10
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（第2題）
2. 如圖所示，一個(gè)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為
,若這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)減少 ,
寬增加 ,就成為一個(gè)正方形，那
么這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別為( )
D
A. ， B. ，
C. ， D. ，
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3.圖①是邊長(zhǎng)為 的正方形紙板，裁掉陰影部分后將其折
疊成如圖②所示的長(zhǎng)方體，若該長(zhǎng)方體的寬是高的3倍，則
它的高是___ .
6
（第3題）
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4.墻上釘著用一根彩繩圍成的梯形形狀的飾物，如圖所示
（單位： ）.小穎將梯形下底的釘子去掉，并將這根彩繩
釘成一個(gè)長(zhǎng)方形.小穎所釘長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為_(kāi)______.
（第4題）
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5.用 長(zhǎng)的鐵絲首尾相接圍成一個(gè)長(zhǎng)方形，長(zhǎng)與寬的比是
，那么長(zhǎng)方形的面積是________.
【點(diǎn)撥】設(shè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為,則寬為 ,
根據(jù)題意得，解得 ，
所以， .
所以長(zhǎng)方形的面積是 .
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6. 已知一個(gè)長(zhǎng)方體合金的長(zhǎng)為80，寬為40，
高為60.
（1）現(xiàn)要鍛壓成新的長(zhǎng)方體，其底面是邊長(zhǎng)為40的正方形，
則新長(zhǎng)方體的高為多少？
【解】設(shè)新長(zhǎng)方體的高為 .
根據(jù)題意得，解得 .
答：新長(zhǎng)方體的高為120.
（2）若將長(zhǎng)方體合金鍛壓成圓柱體，其底面是直徑為80的
圓，則圓柱體合金的高為多少？（ 取3）
【解】設(shè)圓柱體合金的高為 .
根據(jù)題意得 ，
即，解得 .
答：圓柱體合金的高約為40.
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（第7題）
7. [2024襄陽(yáng)期末] 如圖，一個(gè)瓶子的
容積是 ，瓶?jī)?nèi)裝著
一些水.當(dāng)瓶子正放時(shí)，瓶?jī)?nèi)的水高度為
,倒放時(shí)，空余部分的高度為 ,
則瓶子的底面積為( )
B
A. B. C. D.
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（第8題）
8. 如圖，6個(gè)正方形無(wú)縫拼成一個(gè)大長(zhǎng)方形，
中間最小的正方形面積為1，大長(zhǎng)方形的面
積是( )
C
A. 80 B. 99 C. 143 D. 169
【點(diǎn)撥】如圖，設(shè) ,則
， ，
，
由題意得，解得 ，
所以大長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為 ，寬為
，
所以大長(zhǎng)方形的面積為 .
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9.一個(gè)圓錐和一個(gè)圓柱的底面積及體積分別相等，圓錐的高
是2.85厘米，則圓柱的高是_____厘米.
10.如圖，為線段的中點(diǎn)，若點(diǎn)在線段 上，且
，，則線段 的長(zhǎng)為_(kāi)__.
0.95
4
【點(diǎn)撥】設(shè)，則 .
因?yàn)闉榫€段的中點(diǎn)，所以 .
因?yàn)椋?，
解得，所以 .
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11.如圖，將一張正方形紙片先剪去一
個(gè)寬為 的長(zhǎng)方形紙條，再?gòu)氖Ｏ?br/>的長(zhǎng)方形紙片上剪去一個(gè)寬為 的
長(zhǎng)方形紙條，如果第一次剪下的長(zhǎng)方
形紙條的周長(zhǎng)恰好是第二次剪下的長(zhǎng)
方形紙條周長(zhǎng)的2倍，求原正方形紙片的邊長(zhǎng).
【解】設(shè)原正方形紙片的邊長(zhǎng)為 .
因?yàn)榈谝淮渭粝碌拈L(zhǎng)方形紙條的周長(zhǎng)恰好是第二次剪下的長(zhǎng)
方形紙條周長(zhǎng)的2倍，
所以，解得 .
答：原正方形紙片的邊長(zhǎng)為 .
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12.如圖所示的是某年4月的日
歷表：
（1）在圖中用優(yōu)美的 形框
（ ）框住五個(gè)數(shù)，其
中最小的數(shù)為1，則 形框中的
五個(gè)數(shù)之和為_(kāi)___；
38
（2）在圖中移動(dòng) 形框的位置，框住的
五個(gè)數(shù)之和可以為63嗎？若能，求出這
五個(gè)數(shù)中最小的數(shù)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理
由.
【解】框住的五個(gè)數(shù)之和不能
為63，理由如下：
設(shè)框住的最小的數(shù)為 ,則另外
四個(gè)數(shù)分別為， ，
， ，
所以這五個(gè)數(shù)之和為
由題意得
，解得 ，
所以要求框出的五個(gè)數(shù)中最小
的數(shù)是6，由題圖可知，不能框
出這樣的五個(gè)數(shù).
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13. 在紙盒制作的實(shí)踐課上，對(duì)規(guī)格是
的原材料板材進(jìn)行裁剪，得到A型長(zhǎng)方形紙
板和B型正方形紙板.為了避免材料浪費(fèi)，每張?jiān)牧习宀南?br/>裁得4張 的紙板條，每張紙板條又恰好可以裁
得3張A型長(zhǎng)方形紙板或5張B型正方形紙板，如圖①所示.
（單位： ）
（1）每張?jiān)牧习宀目梢圆玫肁型紙板____張或裁得B型紙
板____張；
12
20
（2）現(xiàn)有130張?jiān)牧习宀娜坎眉簦繌堅(jiān)牧习宀闹荒?br/>一種裁法）得到A型與B型紙板當(dāng)側(cè)面和底面，做成如圖②所
示的豎式有蓋長(zhǎng)方體紙盒（1個(gè)長(zhǎng)方體紙盒需要4個(gè)側(cè)面和2
個(gè)底面，接縫忽略不計(jì)）.問(wèn)：怎樣裁剪才能使剪出的A，B
型紙板恰好用完？能做多少個(gè)紙盒？
【解】設(shè)用張?jiān)牧习宀牟眉鬉型紙板，則用 張
原材料板材裁剪B型紙板，
根據(jù)題意得,解得 ，
所以， .
答：用100張?jiān)牧习宀牟眉鬉型紙板，30張?jiān)牧习宀牟眉?br/>B型紙板才能使剪出的A，B型紙板恰好用完，能做300個(gè)紙盒.
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