資源簡介

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第6章 一次方程組
6.2 二元一次方程組的解法
第5課時 二元一次方程組的實際應用
1. 《九章算術》是我國古老的數學經典著
作，書中提到這樣一道題目：以繩測井.若將繩三折測之，繩
多四尺；若將繩四折測之，繩多一尺.繩長、井深各幾何？題
目大意是：用繩子測量水井的深度.如果將繩子折成三等份，
一份繩長比井深多4尺；如果將繩子折成四等份，一份繩長
比井深多1尺.繩長、井深各是多少尺？若設繩長尺，井深
尺，則符合題意的方程組是( )
A. B.
C. D.
√
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2.在一次學校組織的知識競賽中，競賽規則如下：本次競賽
共30道題，每題答對了得3分，答錯或不答倒扣2分，已知小
明最終得分為65分，則他共答對了____道題.
25
3.一列動車組與一列普通列車同向而行，動車組在普通列車
的后面，動車組從追上普通列車到完全超出需16秒；若它們
相向而行，則兩車從相遇到完全分開只需 秒.若動車組長度
為180米，普通列車長度為220米，則普通列車的速度是
____________，動車組的速度是___________.
90千米/時
180千米/時
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4.如圖，圖①是一個長為，寬為 的長方形，沿圖中虛線
用剪刀平均分成四塊小長方形.已知圖②中拼成的大正方形的
周長為28，陰影部分的周長為20，則圖①中平均分成的每個
小長方形的面積是___.
6
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5.[2024海南期中] 某車間有60名工人生產太陽鏡，1名工人每
天可生產鏡片200片或鏡架50個.每副太陽鏡需要2片鏡片和1
個鏡架配成一套，應安排____人生產鏡片,____人生產鏡架，
才能使產品配套.
20
40
返回
6.某市在創建省級衛生文明城市建設中，對城內部分河道進
行整治.現有一段長225米的河道整治任務由甲、乙兩個工程
隊先后接力完成.甲工程隊每天整治10米，乙工程隊每天整治
15米，共用時20天.求甲、乙兩工程隊分別整治河道多少米.
（1）小強、小華兩位同學提出的解題思路如下：
①小強同學：設甲工程隊整治河道米，乙工程隊整治河道 米.
根據題意，得
②小華同學：設表示____________________， 表示______
______________；
則可列方程組為
請你補全小強、小華兩位同學的解題思路.
甲工程隊工作的天數
乙工程隊工作的天數
（2）請從①②兩位同學的解題思路中任選一種，寫出完整
的解答過程.
【解】選擇①
設甲工程隊整治河道米，乙工程隊整治河道 米.
則解得
答：甲工程隊整治河道150米，乙工程隊整治河道75米.
或選擇②
設甲工程隊工作的天數是天，乙工程隊工作的天數是 天.
則解得
所以甲整治的河道長度為 （米）；乙整治的河
道長度為 （米）.
答：甲工程隊整治河道150米，乙工程隊整治河道75米.
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7. 現有一批臍橙運往外地銷售，型車載滿一次可運3噸，
型車載滿一次可運4噸，現有臍橙31噸，計劃同時租用，
兩種型號的車，一次運完且恰好每輛車都載滿臍橙，租車方
案共有( )
B
A. 2種 B. 3種 C. 4種 D. 5種
【點撥】設租型車輛，租型車 輛.
根據題意得，., 均為正整數，所
以易知當時，符合題意；當時， 符合
題意；當時，符合題意. 租車方案共有3種，分
別為租型車1輛，租型車7輛；租型車5輛，租 型車4輛；
租型車9輛，租 型車1輛.故選B.
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8.[2024聊城月考] 市場淡季，為促進空調銷售量，某商場進
行優惠活動，已知購買2臺型空調和1臺 型空調需要7 900
元；購買2臺型空調和3臺 型空調需要14 100元.
（1）求型空調、 型空調的單價分別為多少元.
【解】設型空調的單價為元，型空調的單價為 元，由
題意得解得
答：型空調的單價為2 400元， 型空調的單價為3 100元.
（2）某單位需要購買型空調5臺， 型空調3臺，現商家推
出活動，優惠一： 型空調滿3臺打八折；優惠二：總購物金
額滿20 000元減2 000元（兩種優惠不同時享受），問該單
位如何購買更劃算？
【解】選擇優惠一所需費用為
（元）；選擇優惠二
所需費用為 （元），
（元）.
， 選擇優惠一購買更劃算.
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9. 四川某中學新建了一棟4層的教學大樓，
每層樓有8間教室，共有4道門可以進出這棟大樓，其中兩道
正門大小相同，兩道側門大小也相同.安全檢查時對4道門進
行了測試，當同時開啟一道正門和兩道側門，1分鐘內可以
通過300名學生；當同時開啟一道正門和一道側門時，1分鐘
內可通過230名學生.
（1）平均每分鐘一道正門和一道側門各可以通過多少名學生？
【解】設平均每分鐘一道側門和一道正門各可以通過 名學
生， 名學生，
由題意得解得
答：平均每分鐘一道正門可以通過160名學生，一道側門可
以通過70名學生.
（2）檢查中發現，緊急情況時學生爭分奪秒有序離開，出
門的效率提高 .在防地震演練中，學校規定全大樓的學生
應在3分鐘內通過這4道門安全撤離.假設這棟教學大樓每間教
室最多有50名學生，則建造的這4道門是否符合規定？請你
說明理由.
【解】建造的這4道門符合規定，理由如下：
（名），
（名），
， 建造的這4道門符合規定.
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10.[2024天津期末] 用3輛型車和2輛 型車載滿貨物一次可
運貨17噸；用2輛型車和3輛 型車載滿貨物一次可運貨18噸.
某物流公司現有34噸貨物，計劃同時租用型車輛， 型車
輛，一次運完，且恰好每輛車都載滿貨物.根據以上信息，
解答下列問題：
（1）1輛型車和1輛 型車都載滿貨物一次可分別運貨多少噸？
【解】設每輛型車、型車都載滿貨物一次可以分別運貨
噸、 噸，依題意列方程組，得
解得
輛型車載滿貨物一次可運貨3噸，1輛 型車載滿貨物一
次可運貨4噸.
（2）若型車每輛需租金200元/次， 型車每輛需租金220元/
次，請選出最省錢的租車方案，并求出最少租車費.
【解】結合題意和（1）得，, .
，都是正整數，或或
有3種租車方案：方案一：型車2輛， 型車7輛；
方案二：型車6輛， 型車4輛；
方案三：型車10輛， 型車1輛.
型車每輛需租金200元/次，型車每輛需租金220元/次，
方案一需租金： （元）；
方案二需租金： （元）；
方案三需租金： （元）.
, 最省錢的租車方案是方案一：
型車租2輛， 型車租7輛，最少租車費為1 940元.
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11. 根據以下素材，探索完成任務.
如何設計板材裁切方案？
素材一 圖①中是一張學生椅，
主要由靠背、座墊及鐵架組成.
經測量，該款學生椅的靠背尺
寸為 ，座墊尺
寸為 .圖②是靠
背與座墊的尺寸示意圖.
素材二 因學校需要，某工廠配合制做該款式學生椅.經清點
庫存時發現，工廠倉庫已有大量的學生椅鐵架，只需在市場
上購進某型號板材加工制做該款式學生椅的靠背與座墊.已知
該板材長為，寬為 （裁切時不計損耗）.
任務一 擬定裁切方案
若要不造成板材浪費，請你設計出一張板材的所有裁切方法
（可設裁切靠背張，座墊 張）.
方法一：裁切靠背16張和座墊0張.
方法二： 裁切靠背___張和座墊___張.
方法三： 裁切靠背___張和座墊___張.
9
3
2
6
【點撥】設一張該板材可裁切靠背張，座墊 張，根據題意
得， .
，為非負整數，或或
方法二：裁切靠背9張和座墊3張；
方法三：裁切靠背2張和座墊6張；
任務二 確定搭配數量
若該工廠購進50張該型號板材，
能制做成多少張學生椅？
（張），
該工廠購進50張該型號板
材，能制做成240張學生椅.
任務三 解決實際問題
現需要制作500張學生椅，該
工廠倉庫現有8張座墊，需要
購買該型號板材多少張
（恰好全部用完）？并給出一
種裁切方案.
【解】設用張板材裁切靠背9張和座墊3張，用 張
板材裁切靠背2張和座墊6張，
根據題意得解得
（張）， 需要購買該型號板材103張，用
其中42張板材裁切靠背9張和座墊3張，用61張板材裁切靠背
2張和座墊6張.
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第6章 一次方程組
測素質 二元一次方程組及其解法
［時間：60分鐘 分值：100分］
一、選擇題（每題4分，共28分）
1. [2024開封月考] 下列方程組中是二元一次方程組的是
( )
D
A. B.
C. D.
返回
2. 若是關于,的二元一次方程 的一組
解，則 的值是( )
A
A. B. 0 C. 1 D. 2
返回
3. 已知關于，的二元一次方程組 的解滿
足，則 的值為( )
B
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
4. [2024南陽期末] 若關于，的方程組 的
解滿足與互為相反數，則 的值是( )
A
A. B. 3 C. 1 D. 2
返回
5. [2024宜賓月考] 若關于，的方程組 的解為
整數，則滿足條件的所有整數 的值的和為( )
C
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
【點撥】
由，得，解得 .
將代入①，得 .
關于，的方程組 的解為整數，
當取,,1,2時 為整數，
當時，解得，則 ，符合題
意；
當時，解得，則 ，符合
題意；
當時，解得，則 ，符合題意；
當時，解得，則 ，符合題意.
滿足條件的所有整數的值的和為 .
返回
6. [2024長沙月考] 若方程組與 有
相同的解，則， 的值為( )
C
A. 2， B. 2， C. 3， D. ，2
【點撥】 方程組與 有相同的解，
聯立其中兩個方程，得解得
將代入其他兩個方程得出
解得
返回
7. 已知從甲地到乙地的公路，只有上坡路和下坡路，一輛汽
車上坡時速度為，下坡時速度為 ，車從甲地
開往乙地需 ，若從乙地返回甲地時，上下坡的速度不變，
時間為 ，那么甲、乙兩地的公路長( )
B
A. B. C. D.
【點撥】設從甲地到乙地的上坡路長，下坡路長 ，
根據題意得
，得 ，
.
.
甲、乙兩地的公路長 .
返回
二、填空題（每題4分，共16分）
8.[2024蘇州月考] 若是關于，
的二元一次方程，則 ___.
3
返回
9.[2024紹興月考] 已知是方程組 的
解，那么 ___.
1
【點撥】將代入原方程組，得
即
由，得， .
將代入②，得，解得 .
.
返回
10.已知,滿足 我們可以不解這個方程組，
用可整體求出的值，則 的值是
____.
【點撥】 ，得
可整體求出 的值，
，得，⑤ ，
得.⑥ ，得，解得 .將
代入③，得 ，解得
的值是 .
返回
11. 如圖，兩根鐵棒直立于桶底水平的木桶中，
在桶中加入水后，一根露出水面的長度是它的 ，另一根露出
水面的長度是它的，兩根鐵棒長度之和為 厘米，此時木
桶中水的深度是____厘米（用含 的代數式表示）.
【點撥】設較長鐵棒的長度為厘米，較短鐵棒的長度為 厘米，
根據題意可列方程組解得
木桶中水的深度是 .
返回
三、解答題（56分）
12.[2024海口期末] （12分）解下列方程組：
（1）
【解】
，得，解得 .
把代入②，得.所以
（2）
【解】
方程組可化為
，得，，得 ，
解得.把代入②，得 .
所以
返回
13.（14分）已知關于,的方程組
（1）當 時，該方程組的解是_ ______________.
（2）與的數量關系是____________（不含字母 ）;
【點撥】方程組
，得 ，
整理得， .
（3）是否存在有理數，使得 ？若存在，請
求出 的值，若不存在，請說明理由.
【解】不存在.理由如下：
，，，解得 ，
，
代入方程組，得
解得且 ，矛盾，
不存在有理數，使得 .
返回
14.（14分）已知關于，的方程組 其中
， 為整數.
（1）若方程組有無窮多組解，求實數與 的值.
【解】
由①得， ，③
將③代入②得 ，
整理得出 ，④
方程組有無窮多組解，且 ，
解得， .
（2）當 時，方程組是否有整數解？如有，求出整數
解；若沒有，請說明理由.
【解】沒有，理由如下：
由（1）得 ，
， .
①當時， 無解.
②當時，，代入 ，得
.
為整數，
不可能為整數，
原方程組無整數解.
綜上，原方程組沒有整數解.
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15.（16分） 某汽車制造商開發了一款新能源
汽車，計劃一年生產安裝360輛.為按時完成計劃，工廠決定
招聘一批新工人與熟練工一起生產.生產開始后，調研部門發
現：1名熟練工和3名新工人每月可安裝12輛新能源汽車；2
名熟練工和5名新工人每月可以安裝22輛新能源汽車.
（1）每名熟練工和新工人每月分別可以安裝多少輛新能源汽車？
【解】設每名熟練工每月可以安裝 輛新能源汽車，每名新
工人每月可以安裝 輛新能源汽車.
根據題意得解得
答：每名熟練工每月可以安裝6輛新能源汽車，每名新工人
每月可以安裝2輛新能源汽車.
（2）如果工廠招聘 名新工人，使得招聘的新
工人和抽調的熟練工剛好能完成一年的安裝任務，那么工廠
有哪幾種新工人的招聘方案？
【解】設工廠有 名熟練工.
根據題意，得 ，
即，所以 ，
又,都是正整數， ，
所以時，；時，；時， .
即工廠有3種新工人的招聘方案：
①招聘新工人9人，抽調熟練工2人；
②招聘新工人6人，抽調熟練工3人；
③招聘新工人3人，抽調熟練工4人.
（3）在（2）的條件下，工廠給安裝新能源汽車的每名熟練
工人每月發放4 000元的工資，給每名新工人每月發2 400元
的工資，那么工廠應招聘多少名新工人，使新工人的數量多
于熟練工，同時工廠每月支出的工資總額 （元）盡可能少？
【解】由（2）新工人的招聘方案可得，要使新工人的數量
多于熟練工，則，或， .
根據題意得 .
當，時， （元）；
當，時， （元）.
，
當， 時，工廠每月支出的工資總額更少.所以工
廠應招聘6名新工人.
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第6章 一次方程組
6.2 二元一次方程組的解法
第1課時 直接用代入消元法
1. [2024新鄉月考] 在解方程組 的過程中，將
②代入①可得( )
C
A. B.
C. D.
2.[2024廈門期中] 已知方程組則可用含 的代數
式來表示 為___________.
返回
3.[2024莆田期末] 方程組 的解是_ ________.
返回
4.用代入消元法解方程：
（1）
【解】
把①代入②，得，解得 .
把代入①，得.所以
（2）
【解】由②得 ，③
把③代入①，得，解得 .
把代入③，得.所以
返回
5.下面是小紅同學解二元一次方程組的過程，請認真閱讀并
完成相應任務.
解：
由①得， _______，③ 第一步
將③代入②，解得 ____. 第二步
將的值代入③，解得 ____. 第三步
所以原方程組的解為__________. 第四步
2
5
（1）請將上面的空格補充完整；
（2）第一步依據的是_________________________________
_____________________________；
（3）該方程組的解法為____________.
等式兩邊同時加（或減）同一個代數式，所得的結果仍是等式
代入消元法
返回
6. 已知關于,的方程組 和
方程組有相同的解，則 的值是____.
15
【點撥】因為兩個方程組同解，所以可組成方程組
將①代入②得 ，③ 將③代入①得
，所以這兩個方程組的解是 將其代入
，得 .
返回
7. 為確保信息安全，信息需加密傳輸，發送方
由明文 密文（加密），接收方由密文 明文（解密），
已知加密規則為：明文,,,對應密文, ,
, .例如，明文1,2,3,4對應密文5,7,18,16.當接收方收
到密文14,9,23,28時，則解密得到的明文為( )
B
A. 7,7,1,4 B. 6,4,1,7 C. 4,6,1,7 D. 1,6,4,7
【點撥】由題意可得，， ，
，，解,得 ，直接代入可
得，，， 解密得到的明文為6，4，1，7.
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8.五月枇杷韻黃金，白玉如蜜味芳華.德清枇杷品種以紅種和
白沙為最佳，白沙枇杷因味甜汁鮮更受消費者青睞，故其價
格比紅種枇杷的價格每斤貴3元，買5斤白沙枇杷比買7斤紅
種枇杷還貴1元.求白沙枇杷和紅種枇杷的價格.
【解】設白沙枇杷的價格為元/斤，紅種枇杷的價格為 元/
斤，根據題意可列二元一次方程組 把①代入
②得，，解得.把 代入①得
.所以
答：白沙枇杷的價格為10元/斤，紅種枇杷的價格為7元/斤.
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第6章 一次方程組
專題7 二元一次方程組的應用類型
類型1 盈不足問題
1.[2024紹興期末] 某數學興趣小組發現《算法統宗》里有這
樣一首詩：我問開店李三公，眾客都來到店中，一房七客多
九客，一房九客少七客.詩中后兩句的意思是：如果每一間客
房住7人，那么有9人無房可住；如果每一間客房住9人，那
么就有一間客房少7人.
（1）該店有客房多少間？房客多少人？
【解】設該店有客房間，房客 人，
依題意，得解得
答：該店有客房8間，房客65人.
（2）假設店主李三公將客房進行改造后，共有50間客房，
每間客房收費50錢，且每間客房最多入住3人，一次性訂客
房25間以上（含25間），房費按八折優惠.若詩中“眾客”再次
一起入住，他們如何訂房更合算？
【解】65人至少需要客房22間，需付費 （錢）；
若一次性訂客房25間，則需付費 （錢）.
， 一次性訂客房25間更合算.
答：詩中“眾客”再次一起入住，他們應選擇一次性訂客房25
間更合算.
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類型2 銷售問題
2.[2024沈陽模擬] 某商場用相同的價格分兩次購進2匹和3匹
兩種型號的立地式空調，兩次購進情況如下表：
2匹/臺 3匹/臺 總價/元
第一次 20 30 260 000
第二次 10 20 160 000
（1）該商場購進2匹和3匹立地式空調的單價各為多少元？
【解】設2匹立地式空調的單價為 元，3匹立地式空調的單
價為 元.由題意得
解得
答：該商場購進2匹立地式空調的單價為4 000元，3匹立地
式空調的單價為6 000元.
（2）已知商場2匹立地式空調的標價為每臺5 400元，3匹立
地式空調的標價為每臺8 400元，兩種立地式空調均銷售一
半后，為了促銷，剩余的2匹立地式空調打九折，3匹立地式
空調打八折全部銷售完，問兩種立地式空調售完后商場獲利
多少元？
【解】由題意可得
（元）.
答：兩種立地式空調售完后商場獲利111 900元.
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類型3 購物問題
3.[2024信陽期末] 某愛心組織開展圖書捐贈活動，以教育助
力鄉村振興，下表是本次購買圖書的清單，部分數據看不清，
根據其他數據可求出購買《愛的教育》《邊城》的數量分別
為________.
15，10
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名稱 數量/本 單價/（元/本） 金額/元
《假如給我三天光明》 5 50 250
《愛的教育》 ___________ 30 ___________
《邊城》 ____________ 25 ____________
總計 30 950
類型4 幾何問題
4.[2024黃石期末] 如圖是由同一種
長方形墻磚粘貼的部分墻面，其中
三塊橫放的墻磚比一塊豎放的墻磚
高 ，兩塊橫放的墻磚比兩塊豎
525
放的墻磚低，則每塊墻磚的面積是_____ .
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類型5 積分問題
5. 為落實教育部門“在校學生每天鍛煉時間不
少于1小時”的文件精神，提升學生身體素質，某校利用課后
服務時間，在七年級開展“體育賦能，助力成長”班級籃球賽，
共16個班級參加.
（1）比賽積分規定：每場比賽都要分出勝負，勝一場積3分，
負一場積1分.某班級在15場比賽中獲得的總積分為41分，問
該班級勝負場數分別是多少？
【解】設該班級勝了場，負了 場，根據題意得
解得
答：該班級勝負場數分別是13場和2場.
（2）根據比賽情況，學校商店對某籃球在甲、乙兩校區的銷
售單價進行了如下調整：甲校區上漲 ，乙校區降價5元.已
知銷售單價調整前甲校區比乙校區少10元，調整后甲校區比乙
校區少1元，求調整前甲、乙兩校區該籃球的銷售單價.
【解】設調整前甲校區該籃球的銷售單價為 元，乙校區該
籃球的銷售單價為 元，由題意得
解得
答：調整前甲校區該籃球的銷售單價為40元，乙校區該籃球
的銷售單價為50元.
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類型6 配套問題
6.[2024鄭州期末] 某制衣廠的一個車間現有24名制作服裝的
工人，每天都制作某種品牌的襯衫和褲子，每人每天可制作
這種襯衫3件或褲子5條.已知制作一件襯衫可獲得利潤30元，
制作一條褲子可獲得利潤16元，若該廠要求每天獲得利潤
2 100元，則需要安排多少名工人制作襯衫？
【解】設安排名工人制作襯衫， 名工人制作褲子，由題意
可列方程組為解得
所以需要安排18名工人制作襯衫.
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類型7 行程問題
7.甲、乙兩地相距74千米，途中有上坡路、平路和下坡路.一
汽車從甲地下午1點出發，到乙地是下午3點30分，停留30分
鐘后從乙地出發，下午6點48分返回甲地.已知汽車在上坡路
每小時行駛20千米，平路每小時行駛30千米，下坡路每小時
行駛40千米，求從甲地到乙地的行駛過程中平路、上坡路、
下坡路分別是多少千米？
【解】從下午1點到下午3點30分共2.5小時，休息30分鐘后，
即下午4點從乙地出發，從下午4點到下午6點48分共2.8小時.
設從甲地到乙地的行駛過程中平路是千米，上坡路是 千米，
則下坡路是 千米，
根據題意得解得
.
答：從甲地到乙地的行駛過程中平路是30千米，上坡路是16
千米，下坡路是28千米.
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類型8 增收節支問題
8.[2024天津二模] 某企業看準時機，合理謀劃，爭取通過增
收減支，到今年年底使企業利潤翻一番，該企業的具體目標
是：保證今年總產值比去年增加 ，總支出比去年減少
，已知該企業去年的利潤（利潤 總產值一總支出）為
200萬元，求今年的總產值、總支出分別是多少萬元.
【解】設去年的總產值為萬元，總支出為 萬元，則今年的
總產值為萬元，總支出為 萬元，根據
題意得
解得 今年的總產值為
（萬元），總支出為 （萬元）.
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第6章 一次方程組
6.2 二元一次方程組的解法
第2課時 變形后用代入消元法
1. [2024海口月考] 用代入法解方程組 正
確的解法是( )
B
A. 先將①變形為 ，再代入②
B. 先將①變形為 ，再代入②
C. 先將②變形為 ，再代入①
D. 先將②變形為 ，再代入①
返回
2. [2024桂林期末] 對于二元一次方程組 把
①變形后代入②消去后所得到的方程為 ，
則①可以是( )
C
A. B.
C. D.
返回
3. [2024長春期中] 用代入消元法解方程組
以下各式正確的是( )
B
A. B.
C. D.
返回
4. 若與 的和是單項
式，則， 的值分別是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
C
返回
5. 下面是小明同學解方程組
的過程的框圖表示，請你幫他補充完整：
其中，①為______，②為_______，③為_______.
代入
消去
解得
返回
6.用代入消元法解下列方程：
（1）
【解】由①得 ,③
將③代入②得，，解得 .
把代入①得，，解得 .
所以
（2）
【解】
整理，得
由①得 ，③
把③代入②，得，解得 .
把代入③，得.所以
返回
7. [2024郴州期末] ，那
么與 的值分別為( )
D
A. B.
C. D.
【點撥】 ，
解得
返回
8. 定義一種新運算“ ”，規定
，其中，為常數，且 ，
，則 ( )
B
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【點撥】，且， ，
解得
.
返回
9.[2024西安新城區月考] 已知與 互為相反數，
并且，則 的值為___.
4
【點撥】與 互為相反數，
，即 解
得
.
返回
10. 已知方程組 由于甲看
錯了方程①中的，得到方程組的解為 乙看錯了方程
②中的，得到方程組的解為試求， 的值及原方程
的解.
【解】將代入②，得，解得 .
將代入①，得，解得 .
把，代入方程組，得
由①得 ，③
將③代入②，得，解得 .
將代入③，得 .
則原方程組的解為
返回
11.[2024南昌期末] 已知關于，的方程組 和
有相同的解.
（1）求出它們的相同解；
【解】由題意得
由②得 .③
將③代入①得，解得 .
把代入③得 方程組的解為
（2）求 的值.
【解】把分別代入和 ，得
由①得 .③
把③代入②，得，解得 .
把代入③，得 .
.
返回
12. 閱讀材料：善于思考的小軍在解方程組
時，采用了一種“整體代入”的解法.
解：將方程②變形，得 ,即
.③ 把方程①代入③,得 ,解
得.把代入①,得 .所以方程組的解為
請你解決以下問題：
（1）仿照小軍的“整體代入”法解方程組
【解】將方程②變形為 ，③
把①代入③，得，解得 ，
把代入①，得，解得 .
原方程組的解為
（2）已知,滿足方程組求 的值.
【解】由①，得 ，③
把②代入③，得，解得 .
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第6章 一次方程組
6.4 實踐與探索
1. [2024濟南萊蕪區期中] 如圖，在長方形 中，放入六
個形狀大小相同的小長方形，則圖中的陰影部分的面積是
( )
D
A. B. C. D.
【點撥】設小長方形的長為 ，寬
為 ，根據題意得
解得 .
圖中
的陰影部分的面積是 .
設小長方形的長為 ，
寬為 ，觀察圖形列出二元一次方
程組，解之得出， 的值，再利用
陰影部分的面積長方形 的面
積 個小長方形的面積，即可得出結論.
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2.[2024太原三模] 某元宵生產商受原料保質期影響，在購買
元宵主要原料糯米粉和黃油時分三次購買，每次購買單價不
變，購進原料的總金額和數量如下表所示：
第一次 第二次
糯米粉/千克 10 12
黃油/千克 2 3
總金額/元 310 405
若第三次購進糯米粉20千克，黃油5千克，則第三次購買的
總金額為多少元？
【解】設糯米粉每千克的價格為元，黃油每千克的價格為 元，
依題意得解得
第三次購買的總金額為
（元）.
返回
3.[2024重慶沙坪壩區月考] 一艘輪船從地順水航行到 地用
了4小時，從地逆水航行返回 地比順水航行多用2小時，已
知輪船在靜水中的速度是25千米/時.
（1）求水流速度和， 兩地之間的距離；
【解】設水流速度為千米/時，，兩地相距 千米，則輪
船在順水中的速度為 千米/時，在逆水中的速度為
千米/時，根據題意得
解得
答：水流速度為5千米/時，， 兩地相距120千米.
（2）若在這兩地之間的地建立新的碼頭，使該輪船從 地
順水航行到碼頭的時間是它從地逆水航行到 碼頭所用時
間的一半，問， 兩地相距多少千米？
【解】設，兩地相距 千米，根據題意得
，解得 .
答：，兩地相距 千米.
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（第4題）
4. [2024蘇州期末] 用圖①中的長方形和
正方形紙板為側面和底面，做成如圖②的
豎式和橫式的兩種無蓋紙盒（圖②中兩種
紙盒朝上的一面不用紙板）.現在倉庫里
D
A. 2 021 B. 2 023 C. 2 024 D. 2 025
有張長方形紙板和 張正方形紙板，如果做兩種紙盒若干個，
恰好使庫存的紙板用完，則 的值可能是( )
（第4題）
【點撥】設做豎式的無蓋紙盒
個，橫式的無蓋紙盒 個，根
據題意得 ，
，都是正整數，
是5的倍數，
的值可能是2 025.
返回
（第5題）
5. 李老師逛超市時看中一套碗，
她將碗疊成一列（如圖），測量后發現：2只碗
疊放時總高度為 ，4只碗疊放時總高度為
.若將8只碗疊成一列正好能放入消毒柜，
則這個消毒柜的高度為( )
B
A. B. C. D.
（第5題）
【點撥】設一只碗的高度為 ，增加一只碗高
度增加，由題意得 解得
只碗疊成一列的高度為 .
將8只碗疊成一列正好能放入消毒柜， 這個消毒柜的高
度為 .
返回
6. 《九章算術》中的算籌圖是豎排的，為看
圖方便，我們把它改為橫排，如圖.圖中各行從左到右列出的
算籌數分別表示未知數， 的系數與相應的常數項.把圖①所
示的算籌圖用我們現在所熟悉的方程組形式表述出來，就是
在圖②所示的算籌圖中有一個圖形被墨水覆
蓋了，如果圖②所表示的方程組中 的值為3，則被墨水所覆
蓋的圖形為 ( )
C
A. B. C. D.
【點撥】設被墨水所覆蓋的圖形表示的數為 ，根據題意
得，把代入，得 由①
得，把代入②得，解得 .
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7.新房裝修后，甲居民購買家居用品的清單如下表，因污損
導致部分信息無法識別，根據下表解決問題:
家居用品名稱 單價/元 數量/個 金額/元
掛鐘 30 2 60
垃圾桶 15
塑料鞋架 40
藝術飾品 2 120
電熱水壺 35 1
合計 8 310
（1）____, ____.
60
35
（2）甲居民購買了垃圾桶、塑料鞋架各幾個
【解】設甲居民購買了垃圾桶個，塑料鞋架 個，依題意，
得 解得
答：甲居民購買了1個垃圾桶，2個塑料鞋架.
（3）若甲居民再次購買藝術飾品和垃圾桶兩種家居用品，
共花費150元，則有哪幾種不同的購買方案
【解】設甲居民再次購買個藝術飾品， 個垃圾桶，
依題意，得,所以 .
又因為,均為正整數，所以或
所以共有2種購買方案：
方案1:購買1個藝術飾品，6個垃圾桶；方案2:購買2個藝術飾
品，2個垃圾桶.
返回
8. “災難無情，人有情”,為救援災區，某市籌
集了大量的物資，用甲、乙兩種型號的貨車，分兩批運往災
區，具體運輸情況如下表：
批次 貨車型號 第一批 第二批
甲型貨車/輛 3 4
乙型貨車/輛 4 5
已知第一批、第二批每輛貨車均滿載，第一批累計運輸救援
物資47噸，第二批累計運輸救援物資60噸.
（1）甲、乙兩種型號貨車每輛滿載分別能運多少噸救援物資？
【解】設甲型貨車每輛滿載能運 噸救援物資，乙型貨車每
輛滿載能運 噸救援物資，依題意得
解得
答：甲型貨車每輛滿載能運5噸救援物資，乙型貨車每輛滿
載能運8噸救援物資.
（2）該市后續又籌集了150噸救援物資，計劃同時使用兩種
型號的貨車一次性運完（每輛貨車都滿載），請問共有哪幾
種運輸方案？
【解】設應安排輛甲型貨車， 輛乙型貨車，依題意得
，.， 均為非零自然數，
或或
共有3種運輸方案，
方案1：安排22輛甲型貨車，5輛乙型貨車；
方案2：安排14輛甲型貨車，10輛乙型貨車；
方案3：安排6輛甲型貨車，15輛乙型貨車.
（3）已知甲型貨車每輛運輸成本為500元/次，乙型貨車每輛
運輸成本為700元/次，運輸方案中哪種成本最低？最低成本
為多少元？
【解】方案1的成本： （元）；
方案2的成本： （元）；
方案3的成本： （元）.
，
安排6輛甲型貨車，15輛乙型貨車，運輸成本最低，最低
成本為13 500元.
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第6章 一次方程組
測素質 二元一次方程組的應用
［時間：60分鐘 分值：100分］
一、選擇題（每題6分，共30分）
1. 《算法統宗》中記載了這樣一個問題：“一百饅頭一
百僧，大僧三個更無爭，小僧三人分一個，大小和尚得幾丁？”其大意是：
100個和尚分100個饅頭，大和尚1人分3個饅頭，小和尚3人分1個饅頭.問
大、小和尚各有多少人？設大和尚有人，小和尚有 人，則可列方程組
為( )
A. B. C. D.
A
返回
2. [2024南昌期中] 圖①是長為
、寬為 的長方形，將四個這
樣的長方形擺放在一個長為5、
寬為4的大長方形中，如圖②所
示，則圖②中陰影部分的面積是
( )
B
A. 8 B. 12 C. 15 D. 16
【點撥】由題意得解得 所以陰影部分
的面積是 .
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3. 小林在某商店兩次購買商品，，購買商品， 的數量和
費用如下表：
購買商品 的 數量/個 購買商品 的 數量/個 購買總費用/元
第一次 6 5 1 140
第二次 3 7 1 110
則商品， 的標價分別是( )
C
A. 60元，90元 B. 90元，60元
C. 90元，120元 D. 120元，90元
【點撥】設商品的標價為元，商品的標價為 元，
根據題意，得解得
即商品的標價為90元，商品 的標價為120元.
返回
4. 嘉祥縣是魯西黃牛、小尾寒羊的國家育種基地縣，2024年
前三季度全縣畜牧業產值高達16.57億元.據了解，某養牛場
原有50頭大牛和20頭小牛，1天約用飼料 ；3天后又
購進10頭大牛和60頭小牛，這時1天約用飼料 .下列說
法中，錯誤的是( )
D
A. 每頭大牛1天約用飼料
B. 1頭大牛和1頭小牛1天約用飼料
C. 1頭大牛和2頭小牛1天約用飼料
D. 2頭大牛和1頭小牛1天約用飼料
【點撥】設每頭大牛1天約用飼料 ，每頭小牛1天約用飼
料 ，
根據題意得解得
每頭大牛1天約用飼料，每頭小牛1天約用飼料 .
每頭大牛1天約用飼料，說法正確. 頭大牛和1頭小牛
1天約用飼料，說法正確. 頭大牛和2頭小
牛1天約用飼料，說法正確. 頭大牛和
1頭小牛1天約用飼料 ，說法錯誤.
返回
5. 小王沿街勻速行走，發現每隔12分鐘從背后駛過一輛8路
公交車，每隔4分鐘迎面駛來一輛8路公交車.假設每輛8路公
交車行駛速度相同，而且8路公交車總站每隔固定時間發一
輛車，那么發車間隔的時間是( )
D
A. 3分鐘 B. 4分鐘 C. 5分鐘 D. 6分鐘
【點撥】設8路公交車的速度為米/分，小王行走的速度為
米/分，同向行駛的相鄰兩車的間距為 米.
根據題意得由可得 ，
所以 ，即8路公交車總站發車間隔時間是6分鐘.
返回
二、填空題（每題6分，共18分）
6.[2024長春月考] 小芳與媽媽的年齡和是50歲，5年后，媽媽
的年齡是小芳年齡的3倍，求小芳和媽媽的年齡各是多少.若
設小芳歲，媽媽 歲，則可列方程組為_ ________________.
返回
7.某班為獎勵在數學競賽中獲獎的同學，花費32元購買了甲、
乙兩種獎品，每種獎品至少購買1件，其中甲種獎品每件4元，
乙種獎品每件3元，則有___種購買方案.
2
【點撥】設購買件甲種獎品， 件乙種獎品，
依題意得， .
，均為正整數，或
共有2種購買方案.
返回
8.古代中國有諸多技藝均領先世界水平，榫卯 結構
就是其中最為華麗的一點.榫卯是在兩個木構件上所采用的一
種凹凸結合的連接方式.有若干個相同的木構件，其形狀如圖
①所示，它們緊密拼成一列如圖②.已知當3個木構件緊密拼
成一列時，總長度為 ，當9個木構件緊密拼成一列時，
總長度為 ，則圖①中的木構件長度為______.
【點撥】設題圖①中，去掉凸起部分的木構件長度為 ，
凸起部分的長度為，由題意得 解得
所以題圖①中的木構件長度為 .
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三、解答題（共52分）
9.（14分） 當下電子產品更新換代速度加
快，廢舊智能手機數量不斷增加.科學處理廢舊智能手機，既
可減少環境污染，還可回收其中的可利用資源.據研究，從每
噸廢舊智能手機中能提煉出的白銀比黃金多760克.已知從2.5
噸廢舊智能手機中提煉出的黃金，與從0.6噸廢舊智能手機中
提煉出的白銀克數相等.求從每噸廢舊智能手機中能提煉出黃
金與白銀各多少克.
【解】設從每噸廢舊智能手機中能提煉出黃金克，白銀 克，
根據題意得解得
即從每噸廢舊智能手機中能提煉出黃金240克，白銀1 000克.
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10.（18分）[2024重慶期中] 為拓展辦學空間，鳳中教育集團
總校的新食堂正在緊鑼密鼓地裝修，其中由甲、乙兩個裝修
組同時鋪設地面.
（1）甲裝修組每天比乙裝修組多鋪設20平方米，兩個裝修
組每天共鋪設地面80平方米，求甲、乙兩個裝修組每天各鋪
設地面多少平方米；
【解】設甲裝修組每天鋪設平方米，乙裝修組每天鋪設 平
方米.由題意得解得
答：甲裝修組每天鋪設50平方米，乙裝修組每天鋪設30平方米.
（2）已知兩個裝修組同時施工8天，共需要工時費35 200元，
若甲組單獨施工6天，乙組單獨施工12天，共需要工時費
34 800元，求甲、乙裝修組施工一天的工時費分別是多少元.
【解】設甲裝修組施工一天的工時費為 元，乙裝修組施工
一天的工時費為元.由題意得
解得
答：甲裝修組施工一天的工時費為3 000元，乙裝修組施工
一天的工時費為1 400元.
返回
11.（20分）某平價商場經銷甲、乙兩種商品，甲種商品每件
售價60元，可得利潤20元；乙種商品每件進價50元，售價80元.
（1）甲種商品每件進價為____元，每件乙種商品所得利潤
為____元.
40
30
（2）若該商場進貨時同時購進甲、乙兩種商品共50件，總
進價為2 100元，求購進甲、乙商品各多少件.如果這些商品
全部出售，商場共獲利多少元？
【解】設購進甲種商品件，購進乙種商品 件，根據題意有
解得
（元）.
所以購進甲種商品40件，乙種商品10件，商場共獲利1 100元.
（3）在“五一”期間，該商場只對甲、乙兩種商品進行如下的
優惠促銷活動：
一次性購物總金額 優惠措施
少于等于450元 不優惠
超過450元，但不超 過600元 打九折
超過600元 其中600元的部分打八二折，超過600
元的部分打三折
按上述優惠條件，若小華一次性購買乙種商品實際付款504
元，求小華在該商場購買乙種商品多少件.
【解】設一次性購物總金額為元，若 超過450，但不超過
600，則有，解得 ，
此時購買乙種商品的數量為 （件）；
若超過600，則有 ，解
得，此時購買乙種商品的數量為 （件）.
綜上所述，小華一次性購買乙種商品實際付款504元，則小
華在該商場購買乙種商品7件或8件.
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第6章 一次方程組
全章熱門考點整合應用
考點1 二元一次方程（組）的解
1. [2024青島期中] 如果是方程組 的解，
則 的值為( )
C
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
返回
2.[2024瀘州月考] 已知與都是關于， 的方
程 的解.
（1）求， 的值；
【解】與都是關于，的方程
的解，解得
（2）若也是方程的解，求 的值.
【解】當，時，原方程為 .
也是方程 的解，
，解得 .
返回
考點2 解二元一次方程組
3. 解下列方程組：
（1）[2024蘇州]
【解】得，即 .
將代入①得，解得 .
所以原方程組的解為
（2）
【解】原方程組整理得
得 ，③
得，解得 .
把代入②得，解得 ，
所以原方程組的解為
（3）
【解】由得 ，④
把④代入③得，解得 .
把代入①②得解得
所以方程組的解為
返回
4.已知 是一個方程組.圓圓說：“這個方程
組的解是而我由于看錯了第二個方程中 的系數，求
出的解是 ”請你根據以上信息，把方程組復
原出來.
【解】設為，●為， 為， 這個方程組的解是
看錯了第二個方程中
的系數，求出的解是
解得所以原方程組為
返回
考點3 二元一次方程組的應用
5. [2024海南期中] 已知單項式與 是同類
項，那么， 的值分別是( )
C
A. 2， B. ， C. 2，1 D. ，1
【點撥】 單項式與 是同類項，
把代入，得 ，
解得 .
把代入，解得 .
返回
6. 化學方程式是用化學式來表示物質化學反應
的式子.化學方程式不僅表明了反應物、生成物和反應條件，
同時化學計量數代表了各反應物、生成物物質的量關系，例
如就表示兩份（氫氣）與一份 （氧氣）
點燃生成兩份 （水）.依據化學反應過程中的質量守恒定
律，在化學方程式等號左邊和等號右邊同一元素原子的個數
一定相同.已知 ，由此可列
出關于， 的二元一次方程為( )
D
A. B.
C. D.
返回
7.[2024吉林模擬] 扎染文化是我國傳統文化的重要組成部分，
扎染文化的發展帶動了旅游相關產業的發展.云南大理某扎染
坊第一次用3 700元購進甲種布料25件，乙種布料55件；第
二次以同樣的價格用3 800元購進甲種布料50件，乙種布料
20件.該扎染坊購進的甲、乙兩種布料的單價各是多少元？
【解】設該扎染坊購進的甲種布料的單價為 元，乙種布料
的單價為 元，
由題意得解得
答：該扎染坊購進的甲種布料的單價是60元，乙種布料的單
價是40元.
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8.甲、乙兩人在某環形道路上跑步，假設他們在跑步過程中
各自保持一定的速度不變.如果他們同時從同一地點反向而行，
那么就會形成每隔10分鐘相遇一次的規律；如果他們同時從
同一地點同向而行，那么5分鐘后甲在乙的前方200米處，并
且他們的相遇規律變成了每隔100分鐘相遇一次.求甲的速度
和環形道路的長度.
【解】設甲的速度為米/分，乙的速度為 米/分，環形道路
的長度為 米，
依題意得解得
答：甲的速度為220米/分，環形道路的長度為4 000米.
返回
思想1 轉化思想
9.已知，，， ，中每個數只能取 ，0，2中
的一個，且滿足
則 _____.
627
【點撥】設有個數取， 個數取2，
則解得
.
返回
思想2 整體思想
10.[2024鄭州月考] 在數學課上，老師教給了同學們一種新的
解方程組的方法，例如：解方程組 時，
可由①得，③ 然后將③代入②，得 ，
解得，從而進一步得 這種方法被稱為“整體
代入法”.
（1）用上述方法解方程組
【解】
由①，得 ，③
把③代入②，得，解得 .
將代入③，得，解得 .
方程組的解為
（2）若方程組的解是 求方程組
的解.
方程組的解是
在方程組中 解得
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第6章 一次方程組
6.2 二元一次方程組的解法
第4課時 變形后用加減消元法
1. 用加減消元法解方程組時消去 ，最簡捷
的方法是( )
D
A. B.
C. D.
2.[2024南陽期末] 在解關于， 的二元一次方程組
時，若 可以直接消去一個未知數，
則， 之間的數量關系可以用等式表示為____________.
返回
3.已知則 ____.
30
返回
4.解下列方程組：
（1）
【解】 ，得
，解得 .
將代入①，得 ，
解得.所以
（2）
【解】將①變形，得 ，③
將②變形，得 ，④
，可得，解得 .
把代入③，可得，解得 .
所以原方程組的解是
（3）
【解】原方程組整理，得
，得，解得 ，
把代入②，得，解得 .
所以
返回
5.[2024泰安期末] 下面是數學課上小穎同學解方程組
的過程，老師在旁邊標注了步驟，請認真
閱讀并完成相應的任務.
解：由，得 ，③（第一步）
由，得 ，④（第二步）
，得 ，（第三步）
解得 .（第四步）
把代入①，得 .（第五步）
原方程組的解為 （第六步）
（1）小穎用______消元法解方程組；（填“代入”或“加減”）
（2）小穎的解答從第____步出現了錯誤；
加減
二
（3）請直接寫出該方程組的解.
【解】
【點撥】
由，得 ，③
由，得 ，④
，得，解得 .
把代入①，得 原方程組的解為
返回
6. [2024鄭州三模] 方程組的解， 的值互
為相反數，則 的值是( )
D
A. 1 B. C. D. 2
【點撥】方程組
，得，即 .
，的值互為相反數， .
，解得 .
返回
7. [2024蘇州月考] 若方程組有唯一解，則，
的值應當是( )
A
A. ，為任意實數 B. ，
C. ， D. ， 為任意實數
【點撥】
，得 ，③
，得 ，
方程組有唯一解，，即 .
， 為任意實數.
返回
8. [2024內江期中] 已知關于，的方程組
不論取什么實數，的值始終不變，則 的值為( )
D
A. B. 0 C. 1 D. 2
【點撥】 ，得
不論取什么實數， 的值
始終不變，，解得 .
返回
9. 對于有理數，，定義新運算“ ”：
，，為常數，若 ，
，則 ____.
41
10.已知，則 ___.
2
返回
11. 已知方程組與
有相同的解，則 的值為____.
28
【點撥】 方程組與 有相同的
解， 方程組 與題干兩個方程組有相同解.解方
程組得 解得
.
同解交換法解方程組的實質是重組方程組，整合出
一個只含， 的方程組和一個含字母系數的方程組，求出
， 的值后再代入含字母系數的方程組求出字母系數的值.
. .
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12.[2024漢中期末] 關于， 的二元一次方程組
的解是正整數，則整數 的值的和為____.
14
【點撥】解二元一次方程組得
關于，的二元一次方程組 的解是正整
數，為正整數且 為正整數.
或 整數的值的和為 .
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13.已知關于,的方程組 甲得到正確的解為
乙看錯了，得則 的值為_____.
【點撥】由甲的解得， ，解得
.由乙的解得，聯立得 解
得 .
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14.已知關于，的方程組
（1）若方程組的解滿足，求 的值；
【解】聯立解得
將代入，得 .
（2）無論實數取何值，方程 總有一個
公共解，你能求出這個公共解嗎？
【解】原方程可變為 .
由題意可得這個解和無關，， ，解得
. 這個公共解為
（3）如果方程組有整數解，求整數 的值.
【解】將方程組 兩個方程相加得
， .
方程組有整數解且 為整數，
，， .
①，計算得 （不符合題意）
②，計算得 （不符合題意）
③，計算得 （不符合題意）
④，計算得 （不符合題意）
⑤，計算得（符合題意）， .
⑥，計算得（符合題意）， .
綜上，或 .
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15. 閱讀以下內容：已知， 滿足
，且滿足求 的值.
三位同學分別提出了自己的解題思路：
甲同學：先解關于，的方程組再求
的值；
乙同學：先將方程組中的兩個方程相加，再求 的值；
丙同學：先解方程組再求 的值.
（1）以上三位同學的解題思路中，正確的有___個，你最欣
賞__________________（填寫“甲”或“乙”或“丙”）的思路；
3
乙（答案不唯一）
（2）根據你所選的思路解答此題.
【解】由 并整理，得
.
將代入，得 ，
解得 .
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第6章 一次方程組
6.1 二元一次方程組和它的解
1. [2024無錫期中] 下列方程組中，是二元一次方程組的是
( )
B
A. B.
C. D.
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2. 下列判斷中，正確的是( )
D
A. 方程 不是二元一次方程
B. 任何一個二元一次方程都只有一個解
C. 方程有無數組解，任何一組， 的值都是該方
程的解
D. 既是方程的解也是方程 的解
返回
3. 下列各組數值中，是二元一次方程組
的解的是( )
B
A. B.
C. D.
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4.[2024沈陽期末] 現用95張紙板制作一批盒子，每張紙板可
做4個盒身或做11個盒底，而一個盒身和兩個盒底配成一個
完整的盒子.問用多少張紙板制盒身、多少張紙板制盒底，可
以使盒身和盒底正好配套？設用張紙板做盒身， 張紙板做
盒底，可以使盒身與盒底正好配套，則可列方程是
_ _____________.
5.如果是關于， 的二元一次方程，
則 的值為____.
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6. 寫出二元一次方程 的一組整數
解：_ _____________________.
7.已知是方程的解，則式子 的
值為___.
（答案不唯一）
1
【點撥】將代入，可得 ,則
.
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8. 已知方程組
（1）分別取, ,0,2,填寫下表：
方程 0 2
___ ___ ____ ____
方程 0 2
_ _ ___ _ _ ___
8
2
2
4
（2）根據（1）中的數據寫出方程組的解.
【解】方程組的解為
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9. 如果方程組 的解為
那么被“★”“ ”遮住的兩個數分別為( )
A. 3，10 B. 4，10 C. 10，4 D. 10，3
√
【點撥】將
代入，得 ，
解得 ，即 .將代入★，得★，
所以★ .所以被“★”“ ”遮住的兩個數分別為10，4.
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10. 我國古代《四元玉鑒》中記載“二果問價”問題，其內容
大致如下：用九百九十九文錢，可買甜果苦果共一千個，若 ， ，試
問買甜果苦果各幾個？若設買甜果個，買苦果 個，可列出符合題意的
二元一次方程組
根據已有信息，題中用“ ， ”表示的缺
失的條件應為 ( )
D
A. 甜果七個用四文錢，苦果九個用十一文錢
B. 甜果十一個用九文錢，苦果四個用七文錢
C. 甜果四個用七文錢，苦果十一個用九文錢
D. 甜果九個用十一文錢，苦果七個用四文錢
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11. 國家“雙減”政策實施后，某班開展了主題為“書香滿校園”
的讀書活動.班級決定為在活動中表現突出的同學購買筆記本
和碳素筆進行獎勵（兩種獎品都買）.其中筆記本每本3元，
碳素筆每支2元，共花費28元，則共有購買方案( )
B
A. 5種 B. 4種 C. 3種 D. 2種
【點撥】設購買筆記本本，碳素筆 支，根據題意得
，所以 .
又因為， 均為正整數，
所以或或或
所以共有4種購買方案.
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12.已知是方程組 的解，則
的值是___.
6
【點撥】將代入得
即所以 .
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13.“幻方”最早記載于我國春秋
時期的《大戴禮》中，現將1，
2，3，4，5，7，8，9這八個
數字填入如圖①所示的“幻方”
6
中，使得每個三角形的三個頂點上的數字之和都與中間正方
形四個頂點上的數字之和相等. 若按同樣的要求重新填數如
圖②所示，則與 的和是___.
【點撥】設空白2個部分右上的數字為，左下的數字為 ，
由題意得 ，
，所以， .
所以 .
返回
14.[2024衡陽期中] 已知二元一次方程 .
（1）寫出此方程的所有正整數解.
【解】當時，， ；
當時，， ；
當時，， ；
當時，， ；
當時，， ；
當時，， ；
當時，， ；
當時，， ；
當時，， ；
當時，， ；
當時，， ；
當時，， ；
…；
所以方程的正整數解為或
（2）若二元一次方程組存在， 互為相反數
的解，請在括號處補上一個方程.
（答案不唯一）
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15. 定義：把（其中， 是常數，
， 是未知數）這樣的方程稱為“優美二元一次方程”.當
時，“優美二元一次方程”中 的值稱為“優美
二元一次方程”的“優美值”.例如：當 時，“優美二元一次
方程”化為，解得 ，故其“優美值”
為4.
（1）求“優美二元一次方程” 的“優美值”；
【解】令，則“優美二元一次方程” 化為
，解得，故其“優美值”為 .
（2）若“優美二元一次方程”的“優美值”是 ，
求 的值；
令，則“優美二元一次方程” 化為
，把代入，得 .
（3）是否存在，使得“優美二元一次方程” 與“優
美二元一次方程” 的“優美值”相同？若存在，
請求出 的值及此時的“優美值”；若不存在，請說明理由.
【解】存在.令，則“優美二元一次方程”
化為，解得，故其“優美值”為 .
令，則“優美二元一次方程” 化為
，解得，故其“優美值”為 .
假設“優美值”相同，則，解得，所以 ，
即“優美值”為 .
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第6章 一次方程組
*6.3 三元一次方程組及其解法
1. 下列方程組中，是三元一次方程組的是( )
D
A. B.
C. D.
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2. 解方程組 最簡便的消元方法是( )
B
A. 先消去 B. 先消去
C. 先消去 D. 先消去常數項
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3. [2024杭州月考] 設 ， ， 分別表示三種不同的物體，
如圖所示，前兩架天平保持平衡，如果要使第三架天平也保
持平衡，右邊應放“ ”的個數為( )
B
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4.已知方程組則 的值為___.
3
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5.用適當的方法解下列方程組：
（1）
【解】將①代入②，得 ，
整理得 ，④
將①代入③，得，整理得 ，⑤
，得，⑥ ，得 .
把代入⑤，得，解得 .
把，代入①，得 .
原方程組的解為
（2）[2024上海楊浦區期末]
【解】，得 ，④
，得，解得 .
將代入④中，得，解得 .
將代入②中，得，解得 .
方程組的解為
解三元一次方程組時，先消去哪個“元”都是可以的，
得到的結果都一樣，我們應該根據方程組中各方程的特點選
擇最為簡便的解法，靈活地確定消元步驟和消元方法，不要
盲目消元.
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6. 已知多項式中，，，
為常數， 的取值與多項式對應的值如下表：
1 2
7
則 的值為( )
D
A. 15 B. 19 C. 21 D. 23
【點撥】當時， ，①
當時， ，②
當時， ，③
當時， ，④
，得，即 ，
，得 ，
.
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7. [2024黃石月考] 一件工程，甲、乙合作2天可以完工，乙、
丙合作2天，可以完成全工程的 ；丙、甲合作2天后，剩余工
程由丙單獨做1天即可完工，那么由丙單獨完成全部工程需
要的天數是( )
B
A. 6 B. 9 C. 12 D. 18
【點撥】設工程總量為1，甲的工作效率為 ，乙的工作效率
為，丙的工作效率為 ，
由題意得，解得
（天）.
丙單獨完成全部工程需要的天數為9.
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8. 如圖所示的三階幻方，其每條對角線、每
一橫行、每一縱行的三個數字的和都相等，且等于中心數字
的3倍，則根據所給數據，可以確定這個和為( )
A
A. 12 B. 4 C. D.
【點撥】如圖，設對角線上的三個數字為,, .
由題意得
解得
這個和為 .
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9.若方程組的解是則 的
值是____.
【點撥】把代入方程組得
，得，即. ，得
，即 ，則原式
.
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10. 解方程組
【思路分析】小明觀察后發現方程①的左邊是 ，而方程
②的括號里也是，他想到可以把 視為一個整體，
把方程①直接代入到方程②中，這樣，就可以將方程②直接
轉化為一元一次方程，從而達到“消元”的目的.
（1）【完成解答】請你按照小明的思路，完成解方程組的過程.
【解】把①代入②，得，解得 .
把代入①，得，解得 .
原方程組的解為
（2）你還能用其他的方法來求得該方程組的解嗎？
【解】由①，得 ，③
把③代入②，得 ，解得
.
把代入①，得 .
原方程組的解為
（3）【遷移運用】請你按照小明的方法，解方程組
【解】把①代入③，得，解得 .
把代入②，得，解得 .
把代入①，得，解得 .
原方程組的解為
返回
11.某體育用品商店老板到體育商場批發籃球、足球、排球共
30個，得知該體育商場籃球、足球、排球平均每個36元，籃
球比排球每個多10元，排球比足球每個少8元.
（1）求這三種球每個各多少元.
【解】設籃球每個元，足球每個元，排球每個 元，由題
意得解得
故籃球每個40元，足球每個38元，排球每個30元.
（2）經決定，該老板批發了這三種球的任意兩種共30個，共
花費了1 060元，問該老板可能買了哪兩種球？各買了幾個.
【解】假設買的是籃球和足球，分別為個和 個，則
解得 則不可能是這種情況；
同理若買的是足球和排球，則可能買了足球20個，排球10個；
若買的是籃球和排球，則可能買了籃球16個，排球14個.
（3）該老板打算將每一種球各提價20元后，再進行打折銷
售，若排球、足球打八折，籃球打八五折，在（2）的情況
下，為獲得最大利潤，他批發的一定是哪兩種球？各買了幾
個？計算并說明理由.
【解】對兩種情況分別計算，若為足球和排球，銷售額為
（元）；
則利潤為 （元）.
若為籃球和排球，銷售額為
（元），
則利潤為 （元）.
， 他批發的一定是籃球和排球，買了籃球16
個，排球14個.
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12. 《九章算術》是我
國古代著名的數學專著，其“方程”章中
給出了“遍乘直除”的算法解方程組.比
A
A. 24,4 B. 17,4 C. 24,0 D. 17,0
如對于方程組 將其
中數字排成如圖所示的形式，然后執行
步驟：第一步，將第二行的數乘3，然
后不斷地減第一行，直到第二行第一個
數變為0；第二步，對第三行做同樣的
操作，其余步驟都類似.其本質就是在
消元，那么其中, 的值分別是 ( )
【點撥】本題的新穎之處在于運
用古代數學專著《九章算術》中
的“遍乘直除”加深對消元法的理解.
由 ，
得,④由，得 ,
⑤ 由，得 ，
.由 ，得
，⑥ 由 ，
得， .
返回(共13張PPT)
第6章 一次方程組
6.2 二元一次方程組的解法
第3課時 直接用加減消元法
1. [2024濟南期末] 用加減消元法解方程組 時，
由消去未知數 ，所得到的一元一次方程是( )
A
A. B. C. D.
返回
2.用加減消元法解下列方程組：
（1）
【解】，得，解得 .
，得，解得.所以
（2）
【解】，得，解得 .
將代入①，得，解得 .
所以
返回
3. [2024深圳期末] 已知二元一次方程組 則
( )
B
A. 2 B. C. D. 8
返回
4.下面是兩位同學解方程組 時，
不完整的解題過程：
甲同學：，得， .
乙同學：由①，得 ，③
將③代入②，得 ，
， .
（1）甲、乙兩位同學的解題過程正確嗎？若不正確，請找
出錯誤的地方，并指出他用的哪種消元法；
【解】甲同學的解題過程不正確.
時未給②中等號前面的式子添括號致錯.
用的加減消元法；
乙同學的解題過程也不正確.
將③代入②時未給③中的式子添括號致錯.
用的代入消元法.
（2）請你改正并完善其中一位同學的解題過程.
【解】（任選一個即可）甲同學：，得
，解得.將代入①，得
，解得. 原方程組的解為
乙同學：由①，得 ，③
將③代入②，得，解得 .
將代入①，得 ，
解得. 原方程組的解為
返回
5.已知：方程組其中與的值相等，求 的值.
【解】與的值相等， .
把代入②，得，解得 .
.把代入①，得 .
返回
6. 在解方程組
時，可令, ,將方程組化為
解得把代入 ,
,得解得
請參照上述方法，解方程組
【解】令， ，則方程組化為
，得，解得 .
把代入①，得.將，代入 ,
，得解得
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第6章 一次方程組
專題5 解方程組的常用技巧
技巧1 代入消元法
類型1 一般代入消元法
1.[2024廣州三模] 解下列方程組：
（1）
【解】把①代入②，得 ，
解得 .
把代入①，得.所以
（2）
【解】由①可得 ，③
將③代入②，得，解得 .
將代入③，得.所以
返回
類型2 整體代入消元法
2.解下列方程組：
（1）
【解】由①，得 ，③將③
代入②，得，解得 .
把代入③，得.所以
（2）
【解】由①，得 ，③
把③代入②，得，解得 .
將代入③，得，解得 .
所以
返回
技巧2 加減消元法
3.[2024臺州期末] 解方程組：
【解】，得 ，解得
.把代入①，得 這個二元一次方程
組的解為
返回
4.在解方程組時，發現， 的系數及常
數項的數值較大，如果用常規的代入消元法、加減消元法來
解，不僅計算量大，而且易出現運算錯誤.小亮同學經過思考
采用了下面的解法，使運算變得比較簡單，方法如下：
，得，所以 ，③
，得，解得 .
把代入③，得 .
所以原方程組的解是
請你模仿本題的解法解方程組
【解】，得，得 .③
，得，解得 .
把代入③，得 .
所以原方程組的解是
返回
技巧3 輪換對稱法
5.解方程組：
【解】由，得 ，
化簡得 ，
原方程組可化為解得
返回
技巧4 消常數項法
6.解方程組：
【解】 ，
得，即 ，③
把③代入①，得，解得.把 代
入③，得.所以方程組的解是
返回
技巧5 同解交換法
7.關于，的兩個方程組和
具有相同的解，求 的值.
【解】由題意得由，得 .
把代入①，得，解得 .
則兩個方程組的解為
把代入方程組得
由，得，解得 .
將代入③，得，解得 .
則 .
返回
技巧6 換元法
8.[2024武漢月考] 閱讀材料：善于思考的小聰同學在解方程
組 時，采用了一種“整體換元”的
解法.
解：把，看成一個整體，設 ，
，則原方程組可化為
解得 原方程組的解為
（1）若方程組的解是 試求方程組
的解；
【解】 方程組的解是
易知解得
（2）仿照小聰同學的方法，用“整體換元”法解方程組
【解】設，，則原方程組可化為
解得解得
原方程組的解為
返回
9.（1）用“整體換元”的方法，解方程組：
【解】設, ，則原方程組化為
，得，即 ，③
把③代入①，得，解得 .
把代入③，得解得
（2）已知關于,的方程組的解為
求關于，的方程組 的解.
【解】設， ，原方程組化為
解得
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第6章 一次方程組
專題6 利用二元一次方程(組)的解
求字母的值
類型1 已知二元一次方程（組）的解，求字母的值
1.已知和都是關于， 的二元一次方程
的解.
（1） 的值為___；
（2）若是該方程的一個解，則 的值為____.
8
8.5
返回
2.[2024南寧月考] 閱讀理解：
【知識背景】在現代高等代數領域中，可以將關于, 的二元
一次方程組的系數排成一個表 ，
這種由數排成的表叫做矩陣.
例如：二元一次方程組 可以寫成矩陣
的形式.
【知識應用】
（1）將二元一次方程組 寫成矩陣形式為
_ ____________；
（2）若矩陣 所對應的二元一次方程組的解為
則與 的值分別為______.
2，1
返回
類型2 已知兩個二元一次方程（組）同解，求字母的值
3.若關于，的方程組與 有
相同的解，則， 的值分別為______.
3，2
【點撥】由方程組與 有相同
的解，可得方程組解得
把代入方程得，解得 .再
把代入，解得.把代入 得
.把代入得.所以， .
返回
類型3 已知二元一次方程組的解互為相反數，求字母的值
4.已知關于，的二元一次方程組 的解
，互為相反數，則 的值為____.
返回
類型4 已知二元一次方程組有整數解，求字母的值
5.[2024南昌月考] 若關于， 的二元一次方程組
的解均為正整數， 也是正整數，則滿足條件
的所有 值有___個.
3
返回
類型5 已知二元一次方程組無解，求字母的值
6.在二元一次方程組 中，若這個方程組沒有解，
則 的值是____.
返回
類型6 已知二元一次方程組的錯解，求字母的值
7.[2024保定一模] 對于題目：“若方程組 的解為
且整式，求：整式 的值.”
小明化簡求值時，將系數看錯了，他求的 的值為0；
小宇求的結果，與題的正確答案一樣， 的值為6.
（1）小明將系數 看成的數是____；
【點撥】 方程組的解為
將代入，得，解得 .
設小明將系數看成了 ，則
， 小明
求的 的值為0，
，
解得，即小明將系數看成的數是 .
（2）整式 可化簡為____________.
【點撥】設正確的為 ，
則 .
小宇求的 的值為6，
，解得 .
.
返回
類型7 已知二元一次方程組的解，求含字母的代數式的值
8.[2024北京東城區模擬] 若等式 中的
，滿足方程組則 的值為___.
【點撥】 ，
解得將 代入方程組
得解得
.
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