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(共23張PPT)
第7章 一元一次不等式
測(cè)素質(zhì) 一元一次不等式
［時(shí)間：60分鐘 分值：100分］
一、選擇題（每題5分，共40分）
1. 下列式子是一元一次不等式的是( )
D
A. B.
C. D.
返回
2. 交通法規(guī)人人遵守，文
明城市處處安全，在通過(guò)橋洞時(shí)，我們往往會(huì)看
到如圖所示的標(biāo)志，這是限制車高的標(biāo)志，則通
過(guò)該橋洞的車高 的范圍可表示為( )
D
A. B. C. D.
返回
3. [2024周口期末] 下列說(shuō)法中正確的是( )
A
A. 是不等式 的一個(gè)解
B. 是不等式 的解集
C. 是不等式 的唯一解
D. 不是不等式 的解
返回
4. 某超市用1 200元購(gòu)進(jìn)某種水果200千克，運(yùn)輸和銷售的過(guò)
程中有的正常損耗，要使銷售利潤(rùn)不低于 ，該水果每
千克的售價(jià)至少為多少元？設(shè)該水果每千克的售價(jià)為 元，
由題意列不等式，得( )
B
A.
B.
C.
D.
返回
5. [2024北京西城區(qū)期末] 不等式 的解集在數(shù)軸
上表示正確的是( )
A
A.
B.
C.
D.
返回
6. [2024濟(jì)南萊蕪區(qū)模擬] 已知不等式 的正整
數(shù)解有2個(gè)，則 的取值范圍是( )
D
A. B. C. D.
7. 已知關(guān)于，的方程組滿足 ，
則 的最大值是( )
C
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
返回
8. 對(duì)于任意實(shí)數(shù)， ，定義一種運(yùn)算：
.例如， .
若不等式 ，則該不等式的解集為( )
A
A. B. C. D.
返回
二、填空題（每題5分，共20分）
9.“的9倍與的 的和是正數(shù)”可表示為____________.
10. 已知，下列結(jié)論： ；
；③若，則；④若，則 .
其中正確的是____.
④
11.已知不等式 的最小整數(shù)解是方程
的解，則 ___.
2
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12.[2024德州月考] 某樓盤商品房（共30層）售價(jià)方案如下：
第1層每平方米售價(jià)5 000元，每上升1層，每平方米售價(jià)增
加50元，小王準(zhǔn)備購(gòu)買一套120平方米的房子，按照售房政
策，可以貸款購(gòu)房，但需要首付 ，現(xiàn)在小王只有20萬(wàn)元，
他最高可以買第____層的房子.
12
【點(diǎn)撥】設(shè)小王購(gòu)買了第 層的房子，
由題意得， ，
解得.為正整數(shù)，的最大值為 小王
最高可以買第12層的房子.
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三、解答題（共40分）
13.（10分） 解下列不等式，并將解集在數(shù)
軸上表示出來(lái).
（1） ；
【解】去括號(hào)，得 ，
移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，得，系數(shù)化為1，得 .
該不等式的解集在數(shù)軸上表示如圖所示.
（2） .
【解】去分母，得 ，
去括號(hào)，得 ，
移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，得 ，
系數(shù)化為1，得 .
該不等式的解集在數(shù)軸上表示如圖所示.
返回
14.（10分）[2024株洲月考] 已知關(guān)于， 的方程組
的解中，為非負(fù)數(shù)， 為負(fù)數(shù).
（1）求 的取值范圍；
【解】解方程組得
為非負(fù)數(shù)，，解得 .
為負(fù)數(shù)，，解得 .
的取值范圍為 .
（2）當(dāng)取哪些整數(shù)時(shí)，不等式 的解集為
？
不等式的解集為 ，
易知 .
由（1）知，， .
可取的整數(shù)為， ，0.
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15.（10分）[2024成都] 推進(jìn)中國(guó)式現(xiàn)代化，必須堅(jiān)持不懈夯
實(shí)農(nóng)業(yè)基礎(chǔ)，推進(jìn)鄉(xiāng)村全面振興.某合作社著力發(fā)展鄉(xiāng)村水果
網(wǎng)絡(luò)銷售，在水果收獲的季節(jié)，該合作社用17 500元從農(nóng)戶
處購(gòu)進(jìn)，兩種水果共進(jìn)行銷售，其中 種水果收
購(gòu)單價(jià)為10元/，種水果收購(gòu)單價(jià)為15元/ .
（1）求， 兩種水果各購(gòu)進(jìn)多少千克；
【解】設(shè)種水果購(gòu)進(jìn)，種水果購(gòu)進(jìn) ，
根據(jù)題意，得解得
種水果購(gòu)進(jìn)，種水果購(gòu)進(jìn) .
（2）已知種水果運(yùn)輸和倉(cāng)儲(chǔ)過(guò)程中質(zhì)量損失 ，若合作
社計(jì)劃種水果至少要獲得的利潤(rùn)，不計(jì)其他費(fèi)用，求
種水果的最低銷售單價(jià).
【解】設(shè)種水果的銷售單價(jià)為元/ ，根據(jù)題意，得
，
解得 ，
種水果的最低銷售單價(jià)為12.5元/ .
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16.（10分）[2024吉林期末] 王聰和張明分別要把兩塊邊長(zhǎng)都
為 的正方形薄鋼片制作成兩個(gè)無(wú)蓋的長(zhǎng)方形盒子
（不計(jì)粘合部分）.
（1）王聰首先在薄鋼片的四個(gè)角截去邊長(zhǎng)為 的小正方
形（如圖①），然后沿虛線折合粘在一起，便得到甲種盒子，
則甲種盒子的底面邊長(zhǎng)為____ ；
40
（2）張明截去兩角后（如圖②），沿虛線折合粘在一起，
便得到乙種盒子（如圖③）.已知乙種盒子底面的長(zhǎng) 是寬
的2倍，求乙種盒子底面的長(zhǎng)和寬；
【解】設(shè)乙種盒子底面的寬為 ，則盒子底面的長(zhǎng)為
，根據(jù)題意，得，解得 ，
.
乙種盒子底面的長(zhǎng)為，寬為 .
（3）現(xiàn)將一定量的水注入甲種盒子，當(dāng)甲種盒子注水高度
至少為多少時(shí)，將水倒入乙種盒子，可將乙種盒子注滿.
【解】設(shè)當(dāng)甲種盒子注水高度為 時(shí)，將水倒入乙種盒
子，可將乙種盒子注滿，根據(jù)題意，得
，解得 .
當(dāng)甲種盒子注水高度至少為 時(shí)，將水倒入乙種盒子，
可將乙種盒子注滿.
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第7章 一元一次不等式
專題11 含參數(shù)的一元一次不等式組
的四種常見類型
類型1 整數(shù)解問(wèn)題
1.若關(guān)于的不等式組 有且只有2個(gè)奇數(shù)解，
且關(guān)于的方程 的解為整數(shù)，則符合條件的所
有整數(shù) 的和為____.
【點(diǎn)撥】由①，得 ，由②，得
， 關(guān)于的不等式組 解集為
. 不等式組有且只有2個(gè)奇數(shù)解，
，解得，由方程 ，
得， 關(guān)于的方程 的解為整數(shù)，
，為整數(shù)，或 或1，
符合條件的所有整數(shù)的和為 .
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2.如果不等式組 的整數(shù)解僅為1，2，3，那么適
合這個(gè)不等式組的整數(shù)，的有序數(shù)對(duì) 共有____個(gè).
12
【點(diǎn)撥】由原不等式組可得 ，
在數(shù)軸上畫出這個(gè)不等式組解集的可能區(qū)間，如圖，
根據(jù)數(shù)軸可得， ，
由，得， ，2，3，4，共4個(gè).
由，得， ，11，12，共3個(gè).
（個(gè)）.故適合這個(gè)不等式組的整數(shù), 的有序數(shù)對(duì)
共有12個(gè).
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類型2 無(wú)解問(wèn)題
3. 從， ,0,1,2，3，5這七個(gè)數(shù)中，隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)記為
，若數(shù)使關(guān)于的不等式組 無(wú)解，且
使關(guān)于的一元一次方程 有整數(shù)解，則這七個(gè)數(shù)
中所有滿足條件的 的個(gè)數(shù)為( )
D
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
返回
4.已知關(guān)于，的二元一次方程組 的解滿足
，且關(guān)于的不等式組 無(wú)解，則所有符合
條件的整數(shù) 的個(gè)數(shù)為___.
7
【點(diǎn)撥】解方程組得
方程組的解滿足 ，
，解得 .
整理不等式組得
關(guān)于的不等式組 無(wú)解，
，解得 .
所有符合條件的整數(shù)為， ,0,1,2,3,4，共7個(gè).
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類型3 同解（或有公共解）問(wèn)題
5.關(guān)于的不等式組與不等式組
同解，則的值為__， 的值為__.
【點(diǎn)撥】解不等式組得 ，
解不等式組得 .
關(guān)于的不等式組與不等式組
同解，解得
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6.我們定義：如果兩個(gè)一元一次不等式有公共解（兩個(gè)不等
式解集的公共部分），那么稱這兩個(gè)不等式互為“云不等式”，
其中一個(gè)不等式是另一個(gè)不等式的“云不等式”.
（1）在不等式； ；
中，不等式 的“云不等式”是______.
（填序號(hào)）
【點(diǎn)撥】解不等式①得 ，
不等式和不等式的公共解為 .
是不等式 的“云不等式”；
不等式和不等式的公共解為 ，
是不等式 的“云不等式”；
解不等式③得 ，
不等式和不等式 沒有公共解，
不是不等式 的“云不等式”.
（2）若，關(guān)于的不等式 與不等式
互為“云不等式”，求 的取值范圍.
【解】由，得 ，
由，得 ，
分類討論：①當(dāng)即時(shí)， .
與 ，互為“云不等式”，
，解得 ；
②當(dāng)，即時(shí)， .
此時(shí)與 一定互為“云不等式”.
綜上所述，的取值范圍是或 .
返回
類型4 已知一元一次不等式組的解集，求參數(shù)問(wèn)題
7.若關(guān)于的不等式組的解集為 ，則
的值為____.
8.若關(guān)于的一元一次不等式組 的解集是
，且關(guān)于的方程 有正整數(shù)解，則符合
條件的整數(shù) 的值為___.
1
返回
9.若為正整數(shù)，關(guān)于， 的二元一次方程組
的解為整數(shù)，且關(guān)于 的不等式組
的解集是，則滿足條件的與 的和為___.
5
【點(diǎn)撥】由，得 ，
解得，將代入②，可得 ，
二元一次方程組的解為為正整數(shù)，關(guān)于 ，
的二元一次方程組的解為整數(shù)， .
解得
關(guān)于的不等式組的解集是 ，
當(dāng)，即時(shí)， （舍去），
當(dāng)，即時(shí)， ，符合題意.
.
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第7章 一元一次不等式
專題8 含參數(shù)的一元一次不等式的
類型
類型1 解含參數(shù)的一元一次不等式
1.已知是方程 的解，求不等式
的解集.
【解】是方程 的解，
，解得 .
原不等式為，解得 .
返回
2.解關(guān)于的不等式 .
【解】去括號(hào)，得 ，
移項(xiàng)，得 ，
合并同類項(xiàng)，得 ，
當(dāng)，即時(shí)， ；
當(dāng)，即 時(shí)，不等式無(wú)解；
當(dāng)，即時(shí)， .
返回
類型2 結(jié)合一元一次不等式的解集，求參數(shù)
3.當(dāng)___時(shí)，關(guān)于的不等式的解集是 .
1
返回
4.已知關(guān)于的不等式的任意一個(gè)解都比關(guān)于 的
不等式的解大.求 的取值范圍.
【解】解不等式，得 .
解不等式得 .
不等式的任意一個(gè)解都比關(guān)于 的不等式
的解大，
，解得 .
返回
類型3 結(jié)合一元一次不等式的整數(shù)解，求參數(shù)
5.若關(guān)于的不等式的正整數(shù)解是1,2,3,4，求
的取值范圍.
【解】解不等式，得 .
該不等式的正整數(shù)解為1，2，3，4，
，解得 .
返回
6.已知不等式 的最小整數(shù)解為方
程的解，求 的值.
【解】解不等式，得 ，
不等式的最小整數(shù)解為 .
由題知，解得 .
返回
類型4 結(jié)合一元一次不等式的解集，求相關(guān)不等式的解集
7.若關(guān)于的不等式的解集是 ，
求關(guān)于的不等式 的解集.
【解】， .
關(guān)于的不等式的解集是 ，
.. .
關(guān)于的不等式可化為 .
又， .
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第7章 一元一次不等式
7.3 解一元一次不等式
第1課時(shí) 一元一次不等式及其解法
1. [2024長(zhǎng)沙月考] 下列式子：， ，
，，， .其中是一元一
次不等式的有( )
A
A. 2個(gè) B. 3個(gè) C. 4個(gè) D. 5個(gè)
2. [2024陜西] 不等式 的解集是( )
D
A. B. C. D.
返回
3. 不等式 的解集在數(shù)軸上表示正確的是
( )
D
A.
B.
C.
D.
返回
4. [2024黃石期末] 對(duì)不等式 ，給出了以下解答：
①去分母，得 ，
②去括號(hào)，得 ，
③移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，得 ，
④兩邊都除以3，得 .
其中錯(cuò)誤開始的一步是( )
B
A. ① B. ② C. ③ D. ④
返回
5. [2024威海期末] 若不等式的解集為 ，
則 的值為( )
C
A. B. C. 1 D. 2
6.若是關(guān)于 的一元一次不等式，則
___.
7.若代數(shù)式的值不大于1，則 的取值范圍是______.
8. 定義一種運(yùn)算： ，則不等式
的解集是________.
4
返回
9.解下列不等式，并將它們的解集在數(shù)軸上表示出來(lái).
（1） ；
【解】去括號(hào)，得 ，
移項(xiàng)，得，合并同類項(xiàng)，得 ，
系數(shù)化為1，得 .
解集在數(shù)軸上表示如圖所示.
（2） ；
【解】去分母，得 ，
去括號(hào)，得 ，
移項(xiàng)，得 ，
合并同類項(xiàng)，得，系數(shù)化為1，得 .
解集在數(shù)軸上表示如圖所示.
（3） .
【解】去分母，得 ，
去括號(hào)，得 ，
移項(xiàng)，得 ，
合并同類項(xiàng)，得，系數(shù)化為1，得 .
解集在數(shù)軸上表示如圖所示.
返回
10.[2024鹽城] 求不等式 的正整數(shù)解.
【解】去分母，得 ，
移項(xiàng)，得 ，
合并同類項(xiàng)，得，系數(shù)化為1，得 .
所以原不等式的正整數(shù)解為1，2.
返回
11. [2024海口月考] 若方程組中的， 滿
足，則 的取值范圍是( )
B
A. B. C. D.
【點(diǎn)撥】，得 ，
.，，解得 .
返回
12.已知是關(guān)于, 的二元一次方程，則
______（填“是”或“不是”）不等式 的解.
不是
【點(diǎn)撥】是關(guān)于， 的二元一次方
程，解得 .解
不等式，得， 不是不等式
的解.
返回
13.[2024煙臺(tái)] 若關(guān)于的不等式 有正數(shù)解，則
的值可以是_________________（寫出一個(gè)即可）.
0（答案不唯一）
【點(diǎn)撥】將原不等式整理，得 ，解得
原不等式有正數(shù)解， ，解得
的值可以是0.
返回
14.已知關(guān)于的方程 的解為非負(fù)整數(shù)且滿足
，則符合條件的所有 值的乘積為____.
【點(diǎn)撥】由，得.當(dāng) 時(shí)，該等
式不成立；當(dāng)時(shí)， 關(guān)于 的方程
的解為非負(fù)整數(shù)且滿足， 的值是0，1，
2.當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng) 時(shí)，
，解得；當(dāng)時(shí)， ，解得
. 符合條件的所有 值的乘積為
.
返回
15.已知關(guān)于的方程 ，若該方程的解是不等式
的最大整數(shù)解，則 _______.
2 026
【點(diǎn)撥】解不等式，得 ，
不等式 的最大整數(shù)解為2.
由題知關(guān)于的方程的解是 ，
.
返回
16. 定義：若關(guān)于同一個(gè)未知數(shù)的不等式和
的解集相同，則稱與 為同解不等式.
（1）若關(guān)于的不等式，不等式
是同解不等式，求 的值；
【解】解關(guān)于的不等式，得 .
解關(guān)于的不等式，得 .
由題意得，解得 .
（2）若關(guān)于 的不等式
，不等式
是同解不等式，試求關(guān)于 的不等式
的解集.
【解】解不等式，得 .
解不等式，得. ，
整理，得， ，
，解得 .
解不等式，得 .
將代入，得. 不等式的解集為
.
返回
17. 在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中，自學(xué)是一種非常
重要的學(xué)習(xí)方式，通過(guò)自學(xué)不僅可以獲得新知，而且可以培
養(yǎng)和鍛煉我們的思維品質(zhì).請(qǐng)你通過(guò)自學(xué)解答下面的問(wèn)題：
解決含有絕對(duì)值符號(hào)的問(wèn)題，通常根據(jù)絕對(duì)值符號(hào)里所含式
子的正負(fù)性，去掉絕對(duì)值符號(hào)，轉(zhuǎn)化為不含絕對(duì)值符號(hào)的問(wèn)
題再解答.
例如：解不等式 .
解：①當(dāng)，即時(shí)，原不等式可化為 ，
解得 .
此時(shí)，不等式的解集為 ；
②當(dāng)，即時(shí)，原不等式可化為 ，解
得 .
此時(shí)，不等式的解集為 .
綜上可知，原不等式的解集為或 .
問(wèn)題：請(qǐng)用以上方法解關(guān)于的不等式： .
【解】， .
①當(dāng)，即時(shí)，原不等式可化為 ，
解得 .
此時(shí)，不等式的解集為 ；
②當(dāng)，即時(shí)，原不等式可化為 ，
解得 .
此時(shí)，不等式的解集為 .
綜上可知，原不等式的解集為 .
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第7章 一元一次不等式
7.1 認(rèn)識(shí)不等式
2.不等式的解集
1. 下列不等式的解集中，不包括 的是( )
C
A. B. C. D.
2. [2024煙臺(tái)期中] 下列說(shuō)法：①是不等式 的一
個(gè)解；②不等式的整數(shù)解有無(wú)數(shù)個(gè)；③不等式
的解集為 .其中正確的有( )
C
A. 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D. 0個(gè)
返回
3. 如圖，數(shù)軸上表示的不等式的解集是
( )
C
A. B. C. D.
向右大于，向左小于，有等號(hào)實(shí)心點(diǎn)，無(wú)等號(hào)空心圏.
返回
4. [2024貴州] 不等式 的解集在數(shù)軸上表示正確的是
( )
C
A. B.
C. D.
返回
5. “滿足 的每一個(gè)數(shù)都是不等式
的解，所以不等式的解集是 ”，這句
話是否正確？并說(shuō)明理由.
【解】這句話不正確.因?yàn)闈M足 的數(shù)只是不等式
的部分解，如：， 也是不等式
的解，所以 不是其解集，故這句話不正確.
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6.在數(shù)軸上表示出下列不等式的解集：
（1） ;
【解】如圖①所示.
（2） ；
【解】如圖②所示.
（3） ；
如圖③所示.
（4） .
【解】如圖④所示.
返回
7. 有一個(gè)數(shù)不小于 ，這個(gè)數(shù)的范圍在數(shù)軸上表示正確的是
( )
D
A. B. C. D.
返回
8. 如圖， 和5分別是天平兩邊的砝碼的質(zhì)量，
則 的取值范圍在數(shù)軸上可表示為 ( )
C
A. B.
C. D.
返回
9.已知是關(guān)于，的二元一次方程 的一
組解.
（1）求 的值.
【解】由題意得，解得 .
（2）若的取值范圍如圖所示，試猜想 的最大整數(shù)值.
【解】由題意得，即 ，
由數(shù)軸知的取值范圍為 ，
即，當(dāng)時(shí)， ，
故猜想 的最大整數(shù)值為3.
返回
10. 若關(guān)于的不等式 有且只有兩個(gè)負(fù)
整數(shù)解，求 的取值范圍.
【解】 關(guān)于的不等式有且只有兩個(gè)負(fù)整數(shù)解， 不
等式的負(fù)整數(shù)解是， .
已知不等式的特殊解確定字母的取值范圍時(shí)，因?yàn)樘?br/>殊解有限，所以該字母的范圍一定是某一區(qū)間，關(guān)鍵是包不包
括端點(diǎn).為了防止出錯(cuò)，可以把包括和不包括端點(diǎn)分情況討論.
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第7章 一元一次不等式
專題9 一元一次不等式解法的六大
應(yīng)用
應(yīng)用1 直接解不等式
1.[2024福州期末] 解不等式 ，并把解集表示
在數(shù)軸上.
【解】去分母，得 ，
去括號(hào)，得 ，
移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，得，系數(shù)化為1，得 .
該不等式的解集在數(shù)軸上表示如圖所示.
返回
應(yīng)用2 解含字母系數(shù)的一元一次不等式
2. 已知關(guān)于的不等式 的正整數(shù)解
有四個(gè),求 的取值范圍.
【解】解不等式，得 .
由題意得，解得 .
返回
3.關(guān)于的兩個(gè)不等式：①；② .
（1）若兩個(gè)不等式的解集相同，求 的值.
【解】解不等式，得 .
解不等式，得 .
由題知，解得 .
（2）若不等式①的解都是②的解，求 的取值范圍.
由題知，解得 .
返回
應(yīng)用3 解與方程（組）的解綜合的不等式
4.[2024西安未央?yún)^(qū)月考] 已知關(guān)于， 的方程組
的解滿足不等式 ，則滿足條
件的負(fù)整數(shù) 的值為_____________.
，，
【點(diǎn)撥】
，得 .
，.解得 .
滿足條件的負(fù)整數(shù)的值為，， .
返回
5. 已知關(guān)于的方程 的解是負(fù)數(shù).
（1）求 的取值范圍；
【解】 ，
， .
由題知，即，解得 .
（2）當(dāng)取最小整數(shù)時(shí)，解關(guān)于的不等式 .
，且取最小整數(shù)， .
將代入，得 ，
解得 .
返回
應(yīng)用4 解與不等式的解綜合的不等式
6.若關(guān)于的不等式的解集為 ，則
關(guān)于的不等式 的解集為______.
返回
應(yīng)用5 解與新定義綜合的不等式
7.我們把符號(hào)“ ”稱為二階行列式，規(guī)定它的運(yùn)算法則
為，如 .
（1）不等式 的解集為____________；
（2）若關(guān)于的不等式 的解集與（1）中的不等式解
集相同，求 的值；
，即， .
由題易知，解得 .
（3）若關(guān)于的不等式 的解都是（1）中的不等式的
解，求 的取值范圍.
，即， .
由題易知， .
返回
8.我們把關(guān)于 的一個(gè)一元一次方程和一個(gè)一元一次不等式組
合成一種特殊組合，且當(dāng)一元一次方程的解正好也是一元一
次不等式的解時(shí)，我們把這種組合叫做“有緣組合”；當(dāng)一元
一次方程的解不是一元一次不等式的解時(shí)，我們把這種組合
叫做“無(wú)緣組合”.
（1）判斷： 是“______（填“有緣”或“無(wú)緣”）組
合”；
無(wú)緣
（2）若關(guān)于的組合是“有緣組合”，求 的取
值范圍；
【解】解方程，得 .
解不等式，得 .
關(guān)于的組合 是“有緣組合”，
在的范圍內(nèi). .
（3）若關(guān)于的組合 是“無(wú)緣組合”，求
的取值范圍.
【解】解方程，得 .
解不等式，得 .
關(guān)于的組合 是“無(wú)緣組合”，
，解得 .
返回
應(yīng)用6 解與絕對(duì)值綜合的不等式
9. 閱讀理解：
解不等式，先利用數(shù)軸找出 的解，如
圖，因?yàn)樵跀?shù)軸上到1對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的距離等于2的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為
或3，所以方程的解為或 ，因此不
等式的解集為或 .
參考閱讀材料，解答下列問(wèn)題：
（1）解不等式： ；
【解】 在數(shù)軸上到3對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的距離等于2的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為
1或5，
方程的解為或 .
不等式的解集為 .
（2）解不等式： ；
【解】由絕對(duì)值的幾何意義知，方程 表
示在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，到4和 對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的距離之和等于8.
在數(shù)軸上4和 對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的距離為6，
滿足方程的對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在4對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的右邊或 對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的
左邊.
若對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在4對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的右邊，則 ，
解得 ；
若對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的左邊，則 ，
解得 .
方程的解是或 ，
不等式的解集為或 .
（3）對(duì)于任意數(shù)，若不等式 恒成立，
請(qǐng)直接寫出 的取值范圍.
.
返回(共21張PPT)
第7章 一元一次不等式
7.3 解一元一次不等式
第2課時(shí) 一元一次不等式的實(shí)際應(yīng)用
1. 2024年8月1日是中國(guó)人民解放軍建軍97周年紀(jì)念日.某校
為激勵(lì)學(xué)生，舉辦了知識(shí)競(jìng)賽，共有20道題，答對(duì)一題得5
分，答錯(cuò)或不答扣3分，要使總得分不少于90分，則至少應(yīng)
該答對(duì)幾道題？設(shè)答對(duì) 道題，則可列不等式為( )
D
A. B.
C. D.
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2. [2024濟(jì)南期末] 某商場(chǎng)促銷，小明將促銷信息告訴了媽媽，
現(xiàn)假設(shè)某一商品的定價(jià)為 元，小明媽媽根據(jù)信息列出了不
等式 ，那么小明告訴媽媽的信息是
( )
C
A. 買兩件等值的商品可減150元，再打八折，最后不超過(guò)
1 500元
B. 買兩件等值的商品可打八折，再減150元，最后不超過(guò)
1 500元
C. 買兩件等值的商品可減150元，再打八折，最后不到1 500元
D. 買兩件等值的商品可打八折，再減150元，最后不到1 500元
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3.[2024山西] 為加強(qiáng)校園消防安全，學(xué)
校計(jì)劃購(gòu)買某種型號(hào)的水基滅火器和干
粉滅火器（如圖）共50個(gè).其中水基滅火
器的單價(jià)為540元/個(gè)，干粉滅火器的單
價(jià)為380元/個(gè).若學(xué)校購(gòu)買這兩種滅火器的總價(jià)不超過(guò)21 000
元，則最多可購(gòu)買這種型號(hào)的水基滅火器多少個(gè)？
【解】設(shè)可購(gòu)買這種型號(hào)的水基滅火器
個(gè)，則購(gòu)買干粉滅火器 個(gè)，
根據(jù)題意，得
，
解得 .
為整數(shù)， 的取值最大為12.
最多可購(gòu)買這種型號(hào)的水基滅火器12
個(gè).
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4. [2024溫州期末] 某大型超市從生產(chǎn)基地購(gòu)進(jìn)一批水果，運(yùn)
輸過(guò)程中質(zhì)量損失 ，假設(shè)不計(jì)超市其他費(fèi)用，如果超市要
想至少獲得 的利潤(rùn)，那么這種水果的售價(jià)在進(jìn)價(jià)的基礎(chǔ)
上應(yīng)至少提高( )
B
A. B. C. D.
【點(diǎn)撥】設(shè)這種水果的售價(jià)在進(jìn)價(jià)的基礎(chǔ)上提高 ，這種水
果的進(jìn)價(jià)是元/千克，購(gòu)進(jìn) 千克，
根據(jù)題意，得 ，
即，解得 ，
的最小值為 ，
即這種水果的售價(jià)在進(jìn)價(jià)的基礎(chǔ)上應(yīng)至少提高 .
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5. [2024石家莊三模] 一個(gè)容量為 的杯子中裝有
的水，先將6個(gè)相同的小玻璃球放入這個(gè)杯子中，總
體積變?yōu)?，接著依次放入相同的小鐵塊，直到放入
第4個(gè)后，發(fā)現(xiàn)有水溢出.若每個(gè)小玻璃球的體積是 ，每
個(gè)小鐵塊的體積是 ，則( )
D
A.
B.
C. 杯子中僅放入6個(gè)小鐵塊，水一定會(huì)溢出
D. 杯子中僅放入8個(gè)小玻璃球，水一定不會(huì)溢出
【點(diǎn)撥】 總體積變?yōu)?，接著依次放入相同的小鐵
塊，直到放入第4個(gè)后，發(fā)現(xiàn)有水溢出，
，故A錯(cuò)誤.
由知 .
杯子中裝有 的水，先將6個(gè)相同的小玻璃球放入這
個(gè)杯子中后，總體積變?yōu)椋?，解得
，故B錯(cuò)誤.
， 取時(shí)， .
杯子中僅放入6個(gè)小鐵塊，水不一定會(huì)溢出，故C錯(cuò)誤.
， .
杯子中僅放入8個(gè)小玻璃球，水一定不會(huì)溢出，故D正確.
故選D.
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6. 為增強(qiáng)學(xué)生的勞動(dòng)意識(shí)，養(yǎng)成勞動(dòng)的習(xí)
慣和品質(zhì)，某校組織學(xué)生參加勞動(dòng)實(shí)踐.經(jīng)學(xué)校與勞動(dòng)基地聯(lián)
系，計(jì)劃組織學(xué)生參加種植甲、乙兩種作物.如果種植3畝甲
作物和2畝乙作物需要27名學(xué)生，種植2畝甲作物和2畝乙作
物需要22名學(xué)生.
根據(jù)以上信息，解答下列問(wèn)題：
（1）種植1畝甲作物和1畝乙作物分別需要多少名學(xué)生？
【解】設(shè)種植1畝甲作物需要名學(xué)生，種植1畝乙作物需要
名學(xué)生，
根據(jù)題意，得解得
種植1畝甲作物需要5名學(xué)生，種植1畝乙作物需要6名學(xué)生.
（2）種植甲、乙兩種作物共10畝，所需學(xué)生人數(shù)不超過(guò)55
人，至少種植甲作物多少畝？
【解】設(shè)種植甲作物畝，則種植乙作物 畝，
根據(jù)題意，得，解得 ，
至少種植甲作物5畝.
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7. 隨著2024年11月8日中國(guó)新型隱形戰(zhàn)機(jī)殲
在廣東珠海金灣機(jī)場(chǎng)上空的出現(xiàn)，一款“殲 飛機(jī)模
型”也備受人們喜愛.某玩具店為了滿足廣大航天愛好者需求，
銷售每件進(jìn)價(jià)分別為80元和60元的A，B兩種型號(hào)的“殲
飛機(jī)模型”，下表是近兩周的銷售情況：
銷售時(shí)段 銷售數(shù)量 銷售收入
A種型號(hào) B種型 第一周 4件 5件 955元
第二周 2件 6個(gè) 810元
（1）求A，B兩種型號(hào)的殲 飛機(jī)模型的銷售單價(jià)；
【解】設(shè)種型號(hào)的“殲飛機(jī)模型”的銷售單價(jià)為 元/
件，種型號(hào)的“殲飛機(jī)模型”的銷售單價(jià)為 元/件.根據(jù)
題意，得
解這個(gè)方程組，得
答：種型號(hào)的“殲 飛機(jī)模型”的銷售單價(jià)為120元/件，
種型號(hào)的“殲 飛機(jī)模型”的銷售單價(jià)為95元/件.
（2）該玩具店準(zhǔn)備用不超過(guò)1 400元的金額再采購(gòu)這兩種型
號(hào)的“殲飛機(jī)模型”共20件，求A種型號(hào)的“殲 飛機(jī)
模型”最多能采購(gòu)多少件.
【解】設(shè)種型號(hào)的“殲飛機(jī)模型”采購(gòu)種，則 種型
號(hào)的“殲飛機(jī)模型”采購(gòu) 件.
根據(jù)題意，得，解得 .
答：種型號(hào)的“殲 飛機(jī)模型”最多能采購(gòu)10件.
（3）在（2）的條件下，玩具店銷售完這20件模型能否實(shí)現(xiàn)
760元的利潤(rùn)目標(biāo)？請(qǐng)說(shuō)明理由.
【解】不能實(shí)現(xiàn).理由：根據(jù)題意得
，解得 .由
（2）知，所以玩具店銷售完這20件“殲 飛機(jī)模
型”不能實(shí)現(xiàn)7 600元的利潤(rùn)目標(biāo).
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8. 定義：對(duì)任意一個(gè)兩位數(shù)，如果 滿足個(gè)
位數(shù)字與十位數(shù)字互不相同，且都不為零，那么稱這個(gè)兩位
數(shù)為“巴渝數(shù)”.將一個(gè)“巴渝數(shù)”的個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字對(duì)調(diào)后
得到一個(gè)新的兩位數(shù)，把這個(gè)兩位數(shù)與原兩位數(shù)的和與11的
商記為.例如： ，對(duì)調(diào)個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字得到新
兩位數(shù)21，新兩位數(shù)與原兩位數(shù)的和為 ，和與
11的商為，所以 .
根據(jù)以上定義，回答下列問(wèn)題：
（1）填空：①下列兩位數(shù)：90，56，77中，“巴渝數(shù)”為____；
②計(jì)算： ___.
（2）如果一個(gè)“巴渝數(shù)”的十位數(shù)字是 ，個(gè)位數(shù)字是
，且，請(qǐng)求出“巴渝數(shù)” .
【解】設(shè)任意一個(gè)“巴渝數(shù)”的十位數(shù)字是，個(gè)位數(shù)字是 ，
則 .由題知一個(gè)
“巴渝數(shù)”的十位數(shù)字是，個(gè)位數(shù)字是 ，且
， ，解得
“巴渝數(shù)” 為38.
（3）如果一個(gè)“巴渝數(shù)”滿足 ，求滿足條件的
的值.
【解】設(shè)“巴渝數(shù)”的十位數(shù)字是 ，個(gè)位數(shù)字是
.由（2）知 ，
，整理，得.當(dāng)
時(shí)，或2，此時(shí)或82；當(dāng)時(shí)， 或2或3
或4，此時(shí)或92或93或94.綜上，滿足條件的 的值為81，
82，91，92，93，94.
返回(共37張PPT)
第7章 一元一次不等式
7.4 解一元一次不等式組
1. 下列不是一元一次不等式組的是( )
C
A. B.
C. D.
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2. [2024遂寧] 不等式組 的解集在數(shù)軸上表
示為( )
B
A. B.
C. D.
返回
3.[2024廣東] 關(guān)于 的不等式組中，兩個(gè)不等式的解集如圖
所示，則這個(gè)不等式組的解集是______.
確定不等式組解集的口訣：同大取大；同小取小；
大小小大中間找，大大小小無(wú)解了.
返回
4.[2024天津] 解不等式組
請(qǐng)結(jié)合題意填空，完成本題的解答.
（Ⅰ）解不等式①，得______；
（Ⅱ）解不等式②，得________；
（Ⅲ）如圖，把不等式①和②的解集在數(shù)軸上表示出來(lái)；
【解】將不等式①和②的解集在數(shù)軸上表示如圖所示.
（Ⅳ）原不等式組的解集為____________.
返回
5.[2024武漢] 求不等式組 的整數(shù)解.
【解】解不等式①，得 .
解不等式②，得 .
故此不等式組的解集為 .
不等式組的整數(shù)解為，， .
返回
6.已知滿足關(guān)于的不等式組
求 的取值范圍.
【解】將代入，得 ，
解得.將代入 ，得
，解得. 的取值范圍是
.
返回
7. [2024南昌期末] 已知關(guān)于的不等式組 下列說(shuō)
法不正確的是( )
D
A. 若它的解集是，則
B. 當(dāng) 時(shí)，此不等式組無(wú)解
C. 若它的整數(shù)解只有2，3，4，則
D. 若不等式組無(wú)解，則
返回
8. [2024蘇州月考] 已知關(guān)于， 的二元一次方程組
的解滿足不等式組則 的取值
范圍是( )
B
A. B.
C. D.
【點(diǎn)撥】
由，得，即 ，
由，得 ，
解得 .
返回
9. 若不等式組的解集為 ，則
的值是( )
C
A. 1 B. C. D.
【點(diǎn)撥】解不等式①，得 ，
解不等式②，得， 原不等式組的解集為
，又 不等式組的解集為 ，
，且，解得 ，
返回
10. 已知非負(fù)實(shí)數(shù)，，滿足 ，設(shè)
，則 的最大值為( )
C
A. B. C. D.
11.若，且， ，設(shè)
，則 的取值范圍為_____________.
返回
12.[2024煙臺(tái)期末] 關(guān)于的不等式組 無(wú)解，則
的取值范圍為______.
【點(diǎn)撥】由①，得 .
不等式組無(wú)解，，解得 .
返回
13.若關(guān)于的一元一次不等式組 有3個(gè)整數(shù)解，
則 的取值范圍為___________.
【點(diǎn)撥】
解不等式①，得，解不等式②，得 ，
由題意知不等式組有解， 不等式組的解集為，
不等式組有3個(gè)整數(shù)解，
不等式組的整數(shù)解為1，2，3. .
返回
14.根據(jù)如圖所示的流程圖回答問(wèn)題.
（1）若， ，則最終輸出的結(jié)果為____；
77
【點(diǎn)撥】當(dāng)，時(shí)， ，繼續(xù)
計(jì)算： ，輸出17.
（2）若，程序進(jìn)行了3次運(yùn)算后停止，則 可取的最
小整數(shù)為___.
4
【點(diǎn)撥】 依題意，得解得
， 可取的最小整數(shù)為4.
返回
15.端午節(jié)這天，媽媽讓小明去超市買豆沙餡和蛋黃鮮肉餡的
粽子.豆沙餡的每個(gè)賣2元，蛋黃鮮肉餡的每個(gè)賣3元，若兩種
粽子至少各買一個(gè)，買粽子的總錢數(shù)不能超過(guò)15元，則有
____種不同的購(gòu)買方案.
14
【點(diǎn)撥】設(shè)購(gòu)買豆沙餡的粽子 個(gè)，根據(jù)題意，
得解得 .
當(dāng)時(shí)， ，即蛋黃鮮肉餡的粽子可以買1個(gè)、2
個(gè)、3個(gè)或4個(gè)；
同理，當(dāng) 時(shí)，蛋黃鮮肉餡的粽子可以買1個(gè)、2個(gè)或3個(gè)；
當(dāng) 時(shí)，蛋黃鮮肉餡的粽子可以買1個(gè)、2個(gè)或3個(gè)；
當(dāng) 時(shí)，蛋黃鮮肉餡的粽子可以買1個(gè)或2個(gè)；
當(dāng) 時(shí)，蛋黃鮮肉餡的粽子可以買1個(gè)；
當(dāng) 時(shí)，蛋黃鮮肉餡的粽子可以買1個(gè).
因此，有 （種）不同的購(gòu)買方案.
返回
16.小明沿著某公園的環(huán)形跑道
（周長(zhǎng)大于 ）按逆時(shí)針方向跑步，
并用跑步軟件記錄運(yùn)動(dòng)軌跡，他從起
點(diǎn)出發(fā)，每跑 ，軟件會(huì)在運(yùn)動(dòng)軌
跡上標(biāo)注出相應(yīng)的里程數(shù).前 的記
錄數(shù)據(jù)如圖所示，當(dāng)小明跑了2圈時(shí)，
7
他的運(yùn)動(dòng)里程___（填“ ”“”或 “” ）；如果小明跑
到 時(shí)恰好回到起點(diǎn)，那么此時(shí)小明總共跑的圈數(shù)為___.
【點(diǎn)撥】設(shè)公園環(huán)形跑道的周長(zhǎng)為
，小明總共跑的圈數(shù)為
（ 為正整數(shù)），
由題圖可知小明跑了2圈時(shí)，他的運(yùn)動(dòng)
里程 ，
由題意得解得 ，
.
，. .又
為正整數(shù)，
，即小明總共跑的圈數(shù)為7.
返回
17.已知實(shí)數(shù)，滿足， ，求
取最大值時(shí)， 的值.
【解】設(shè) ，
， 解得
.
， ，
， ，
， 的最大值為1，此時(shí)
，，解得， ，
.
返回
18.已知整式 .
（1）當(dāng)時(shí)，求 的值；
【解】， ，
.
（2）若某個(gè)關(guān)于的不等式的解集如圖所示， 為該不等式
的一個(gè)解，求 的負(fù)整數(shù)值；
，， .
的負(fù)整數(shù)值為 .
（3）關(guān)于的不等式組恰有兩個(gè)整數(shù)解，求 的
取值范圍.
【解】由題意得
解不等式②，得 .
由題意知不等式組有解， 不等式組的解集為 .
關(guān)于的不等式組 恰有兩個(gè)整數(shù)解，
.
返回
19.[2024瀘州] 某商場(chǎng)購(gòu)進(jìn)，兩種商品，已知購(gòu)進(jìn)3件 商
品比購(gòu)進(jìn)4件商品費(fèi)用多60元；購(gòu)進(jìn)5件商品和2件 商品
總費(fèi)用為620元.
（1）求， 兩種商品每件進(jìn)價(jià)各為多少元.
【解】設(shè)商品的進(jìn)價(jià)是元/件，商品的進(jìn)價(jià)是 元/件，根
據(jù)題意得解得
答：商品的進(jìn)價(jià)是100元/件， 商品的進(jìn)價(jià)是60元/件.
（2）該商場(chǎng)計(jì)劃購(gòu)進(jìn)，兩種商品共60件，且購(gòu)進(jìn) 商品
的件數(shù)不少于商品件數(shù)的2倍.若商品按每件150元銷售，
商品按每件80元銷售，為滿足銷售完， 兩種商品后獲得的
總利潤(rùn)不低于1 770元，則購(gòu)進(jìn) 商品的件數(shù)最多為多少？
【解】設(shè)購(gòu)進(jìn)件商品，則購(gòu)進(jìn)件 商品，根據(jù)題
意得
解得， 的最大值為20.
答：購(gòu)進(jìn) 商品的件數(shù)最多為20件.
利用不等式組解購(gòu)買方案問(wèn)題時(shí)，關(guān)鍵是根據(jù)題意，
正確地列出不等式組.
返回
20. 【感知】分子、分母都是整式，并且分
母中含有未知數(shù)的不等式叫做分式不等式.小亮在解分式不等
式 時(shí)，是這樣思考的：根據(jù)“兩數(shù)相除，同號(hào)得正，
異號(hào)得負(fù)”，原分式不等式可轉(zhuǎn)化為下面兩個(gè)不等式組：
①或②
解不等式組①,得 ，
解不等式組②，得 .
所以原分式不等式的解集為或
【探究】 請(qǐng)你參考小亮思考問(wèn)題的方法，解不等式 .
【解】根據(jù)“兩數(shù)相除，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)”，原分式不等
式可轉(zhuǎn)化為下面兩個(gè)不等式組：
①或②解不等式組①，得 ，
不等式組②無(wú)解，所以原分式不等式的解集為 .
【應(yīng)用】 不等式 的解集是____________.
【點(diǎn)撥】原不等式可轉(zhuǎn)化為不等式組：① 或②
不等式組①無(wú)解，解不等式組②得 ，
所以不等式的解集是 .
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第7章 一元一次不等式
全章熱門考點(diǎn)整合應(yīng)用
考點(diǎn)1 不等式的基本性質(zhì)
1. [2024廣州] 若 ，則( )
D
A. B.
C. D.
2. 已知 ，則下列結(jié)論正確的是( )
B
A. B.
C. D.
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考點(diǎn)2 不等式的解及解集
3. 下列不等式 的解集在數(shù)軸上的表示，正確的是 ( )
C
A.
B.
C.
D.
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4. [2024吉林模擬] 下列說(shuō)法正確的是( )
D
A. 不等式的解是
B. 不等式的解是
C. 是不等式 的一個(gè)解
D. 是不等式 的一個(gè)解
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考點(diǎn)3 解不等式
5.解不等式： .
【解】去分母，得 ，
移項(xiàng)，得，合并同類項(xiàng)，得 ，
不等式的兩邊都除以，得 .
返回
6.[2024連云港] 解不等式 ，并把解集在數(shù)軸上表
示出來(lái).
【解】，去分母，得 ，
去括號(hào)，得，移項(xiàng)，得 ，
合并同類項(xiàng)，得 .
這個(gè)不等式的解集在數(shù)軸上表示如圖.
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考點(diǎn)4 解不等式組
7. 關(guān)于的不等式組 的整數(shù)解僅有4個(gè)，則
的取值范圍是( )
A
A. B.
C. D.
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8.[2024蘭州] 解不等式組：
【解】由①，得，由②，得 .
不等式組的解集為 .
返回
9.[2024濟(jì)南] 解不等式組 并寫出它的所有
整數(shù)解.
【解】解不等式①，得，解不等式②，得 ，
不等式組的解集為 .
解集在數(shù)軸上表示如圖.
不等式組的所有整數(shù)解為0，1，2，3.
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考點(diǎn)5 一元一次不等式（組）的應(yīng)用
10.象征吉祥富貴的丁香花是西寧市市花.為美化丁香大道，
園林局準(zhǔn)備購(gòu)買某種規(guī)格的丁香花，若每棵6元，總費(fèi)用不
超過(guò)5 000元，則最多可以購(gòu)買_____棵丁香花.
833
【點(diǎn)撥】設(shè)購(gòu)買 棵丁香花，
根據(jù)題意，得，解得 ，
為整數(shù)， 的最大值為833，
最多可以購(gòu)買833棵丁香花.
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11. 為響應(yīng)國(guó)家節(jié)能減排的倡議，某汽車專
賣店銷售，兩種型號(hào)的新能源汽車，型汽車的售價(jià)比
型汽車售價(jià)高8萬(wàn)元，本周售出1輛型汽車和3輛 型汽車，
銷售總額為96萬(wàn)元.
（1）求每輛型汽車和 型汽車的售價(jià).
【解】設(shè)每輛型汽車的售價(jià)是萬(wàn)元，每輛 型汽車的售價(jià)
是 萬(wàn)元，
根據(jù)題意，得解得
答：每輛型汽車的售價(jià)是18萬(wàn)元，每輛 型汽車的售價(jià)是26
萬(wàn)元.
（2）隨著新能源汽車越來(lái)越受消費(fèi)者認(rèn)可，汽車專賣店計(jì)
劃下周銷售， 兩種型號(hào)的汽車共10輛，若銷售總額不少于
228萬(wàn)元，求 型汽車至少銷售多少輛？
【解】設(shè)銷售型汽車輛，則銷售型汽車 輛，
根據(jù)題意，得 ，
解得， 的最小值為6.
答： 型汽車至少銷售6輛.
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12.某中學(xué)組織學(xué)生研學(xué)，原計(jì)劃租用可坐乘客45人的 種客
車若干輛，則有30人沒有座位；若租用可坐乘客60人的 種
客車，則可少租6輛，且恰好坐滿.
（1）求原計(jì)劃租用 種客車多少輛？這次研學(xué)去了多少人？
【解】設(shè)原計(jì)劃租用種客車 輛，則這次研學(xué)去了
人，
根據(jù)題意，得，解得 ，
.
答：原計(jì)劃租用 種客車26輛，這次研學(xué)去了1 200人.
（2）若該校計(jì)劃租用，兩種客車共25輛，要求 種客車
不超過(guò)7輛，且每人都有座位，則有哪幾種租車方案？
【解】設(shè)租用種客車輛，則租用種客車 輛，
根據(jù)題意，得
解得，為正整數(shù)， 的值可以為5，6，7，
該學(xué)校有3種租車方案：
方案1：租用5輛種客車，20輛 種客車；
方案2：租用6輛種客車，19輛 種客車；
方案3：租用7輛種客車，18輛 種客車.
（3）在（2）的條件下，若種客車租金為每輛220元， 種
客車租金每輛300元，應(yīng)該怎樣租車才最合算？
【解】選擇方案1的總租金為 （元）；
選擇方案2的總租金為 （元）；
選擇方案3的總租金為 （元）.
元元 元，
租用5輛種客車，20輛 種客車最合算.
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思想1 數(shù)形結(jié)合思想
13.如圖，在數(shù)軸上，點(diǎn)，表示的數(shù)分別為 ，
，且點(diǎn)在點(diǎn) 的左側(cè).
（1）求 的取值范圍；
【解】由題意，得 ，
移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，得 ，
兩邊都除以5，得 ，
的取值范圍是 .
（2）若表示的數(shù)是的點(diǎn)在點(diǎn)和點(diǎn)之間，求 的
取值范圍.
【解】由題意，得解不等式①，得 ，
解不等式②，得 ，
該不等式組的解集為 ，
由（1）得，的取值范圍是 .
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思想2 分類討論思想
14. 若一個(gè)不等式組 有解且解集為
，則稱為的解集中點(diǎn)值，若 的解集中
點(diǎn)值是不等式組 的解（即中點(diǎn)值滿足不等式組），則稱不
等式組對(duì)于不等式組 中點(diǎn)包含.
（1）已知關(guān)于的不等式組 以及不等式組
，請(qǐng)判斷不等式組對(duì)于不等式組 是否中點(diǎn)
包含，并寫出判斷過(guò)程；
【解】不等式組對(duì)于不等式組 中點(diǎn)包含.判斷過(guò)程如下：
解不等式組得 ，
的解集中點(diǎn)值為5.
又是不等式組 的解，
不等式組對(duì)于不等式組 中點(diǎn)包含.
（2）已知關(guān)于的不等式組 和不等式
組若不等式組對(duì)于不等式組 中點(diǎn)包含，
求 的取值范圍；
不等式組對(duì)于不等式組 中點(diǎn)包含，
不等式組和不等式組 有解，
解不等式組得
解不等式組得
解得 ，
當(dāng)時(shí)，不等式組的解集為 ，
不等式組的解集為 ，
不等式組的解集中點(diǎn)值為 .
不等式組對(duì)于不等式組 中點(diǎn)包含，
，解得 .
又， .
（3）關(guān)于的不等式組 和不等式組
若不等式組對(duì)于不等式組 中點(diǎn)包含，且
所有符合要求的整數(shù)之和為14，求 的取值范圍.
【解】解不等式組，得，解不等式組 ，得
， 不等式組的解集中點(diǎn)值為 .
又 不等式組對(duì)于不等式組 中點(diǎn)包含，
，可得 .
所有符合要求的整數(shù) 之和為14，
整數(shù)可取2，3，4，5，或整數(shù)可取 ，0，1，2，3，
4，或 .
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第7章 一元一次不等式
專題10 不等式(組)的五種基本應(yīng)用
應(yīng)用1 求整數(shù)解
1.求不等式 的非正整數(shù)解.
【解】解不等式得 ，
所以非正整數(shù)解為，， .
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2.[2024西安雁塔區(qū)模擬] 解不等式組 并寫出
該不等式組的非負(fù)整數(shù)解.
【解】
由①得，由②得 ，
不等式組的解集為 ，
則它的非負(fù)整數(shù)解為 ，1.
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應(yīng)用2 求整數(shù)解的最值
3.解不等式組 并寫出它的最小負(fù)整數(shù)解.
【解】由得 ，
由得 ，
不等式組的解集為 ，
則不等式組的最小負(fù)整數(shù)解為 .
先解不等式組，再根據(jù)不等式組的解集確定整數(shù)解
的最值.
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4.解不等式組 并求不等式組的最大整數(shù)解.
【解】由①得，由②得 ，
不等式組的解集為 .
不等式組的最大整數(shù)解為 .
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應(yīng)用3 求整數(shù)解的和
5.解不等式組 并求出所有整數(shù)解的和.
【解】由①得，由②得 ，
不等式組的解集為 不等式組的整數(shù)解是 ，
4，5，即整數(shù)解的和為 .
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應(yīng)用4 求字母的取值范圍
6.若關(guān)于的不等式組 的解集中至少有1個(gè)整數(shù)解，
則整數(shù) 的最小值為___.
1
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7. 關(guān)于的不等式 只有4個(gè)正整數(shù)解，求
的取值范圍.
【解】， .
不等式 只有4個(gè)正整數(shù)解，
這四個(gè)正整數(shù)解為 ，2，3，4.
，解得 .
本題在求解字母的取值范圍時(shí)，若對(duì)端點(diǎn)值考慮不
周全，則會(huì)得到 的情況導(dǎo)致錯(cuò)解.
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8.已知關(guān)于的不等式組
（1）若該不等式組有且只有三個(gè)整數(shù)解，求 的取值范圍；
【解】
解不等式①，得，解不等式②，得 .
由題意知不等式組有解，
不等式組的解集為 .
又 不等式組有且只有三個(gè)整數(shù)解，
，解得 .
（2）若該不等式組有解，且它的解集中的任何一個(gè)值均不
在的范圍內(nèi)，求 的取值范圍.
不等式組有解， 不等式組的解集為 ，
，解得 .
它的解集中的任何一個(gè)值均不在 的范圍內(nèi)，
，解得的取值范圍為 .
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應(yīng)用5 方程（組）與不等式（組）綜合
9. 已知關(guān)于，的方程組 若方程組的解
滿足，則 的最小整數(shù)值為( )
A
A. B. C. 0 D. 1
【點(diǎn)撥】
由得，， .
又，，解得 .
的最小整數(shù)值為 .
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10.已知關(guān)于，的方程組 的解都小于1，若關(guān)于
的不等式組恰好有三個(gè)整數(shù)解.分別求出與
的取值范圍.
【解】解關(guān)于，的方程組得
方程組的解都小于1，解得 .
解不等式①，得 ，
解不等式②，得 .由題意知不等式組有解，
不等式組的解集為 .
不等式組恰好有三個(gè)整數(shù)解，
，解得 .
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11. 如果一元一次方程的解是一元一次不等式
組的解，則稱該一元一次方程為該不等式組的“關(guān)聯(lián)方程”.如：
方程就是不等式組 的“關(guān)聯(lián)方程”.
（1）方程； 中是不等式組
的“關(guān)聯(lián)方程”的是____；（填序號(hào)）
【點(diǎn)撥】解方程，得 ，
解方程，得 ，
解不等式組得 ，
是不等式組 的“關(guān)聯(lián)方程”.
（2）若關(guān)于的方程（ 為整數(shù)）是不等式組
的一個(gè)“關(guān)聯(lián)方程”，試求整數(shù) 的值.
【解】解方程（為整數(shù)），得 ，
解不等式組得 ，
關(guān)于的方程
（
為整數(shù)）是不等式組 的一個(gè)“關(guān)聯(lián)方程”，
，解得. 整數(shù) ，0.
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第7章 一元一次不等式
7.1 認(rèn)識(shí)不等式
1.不等式
1. [2024南陽(yáng)期末] 下列各式中，是不等式的是( )
D
A. B.
C. D.
2. [2024河北] 下列數(shù)中，能使不等式成立的 的
值為( )
A
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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3. 小霞原有存款52元，小明原有存款70元.從這個(gè)月開始，
小霞每月存15元零花錢，小明每月存12元零花錢，設(shè)經(jīng)過(guò)
個(gè)月后小霞的存款超過(guò)小明，可列不等式為( )
A
A. B.
C. D.
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4. 用不等式表示下列關(guān)系：
（1）“2與 的5倍的差是非負(fù)數(shù)”可表示為___________；
（2）“的與2的差的相反數(shù)不小于 ”可表示為
_ _________________；
（3）“ 與5的商小于3的相反數(shù)”可表示為________.
對(duì)含有“不”的不等關(guān)系忽略等于而導(dǎo)致錯(cuò)誤.
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5. 已知是不等式的一個(gè)解，則 的值可以是
( )
D
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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6. 某校組織學(xué)生進(jìn)行研學(xué)活動(dòng)，租用55座和53座兩種型號(hào)的
客車接送同學(xué)們.若租用55座客車輛，租用53座客車 輛，則
不等式“ ”表示的實(shí)際意義是( )
A
A. 兩種客車總的載客量不少于990人
B. 兩種客車總的載客量不超過(guò)990人
C. 兩種客車總的載客量不足990人
D. 兩種客車總的載客量恰好等于990人
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7. 如圖，數(shù)軸上的點(diǎn)，分別對(duì)應(yīng)數(shù)， ，下列結(jié)論正確
的是( )
D
A. B. C. D.
8.某種商品的進(jìn)價(jià)為80元，出售時(shí)標(biāo)價(jià)為120元，后來(lái)由于該
商品積壓，商店準(zhǔn)備打折出售，但要保證利潤(rùn)率不低于 ，
則至多可打幾折？若設(shè)該商品打 折銷售，則可列不等式為
_______________________.
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9.現(xiàn)有1元和5角的硬幣共15枚（每種硬幣至少有1枚），這些
硬幣的總金額小于9元.根據(jù)此信息，小強(qiáng)、小剛兩名同學(xué)分
別列出不完整的不等式如下：
小強(qiáng)：____；小剛：____ .
（1）小強(qiáng)同學(xué)所列的不等式中， 表示的是_____硬幣的枚
數(shù)；小剛同學(xué)所列的不等式中， 表示的是_____硬幣的枚數(shù)；
1元
5角
（2）在橫線上補(bǔ)全小強(qiáng)、小剛兩名同學(xué)所列的不等式；
;
（3）任選其中一個(gè)不等式，求可能有幾枚5角的硬幣.
【解】選，整理得 ，
當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)， .
可取13，14.
答：可能有5角的硬幣13枚或14枚.
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第7章 一元一次不等式
測(cè)素質(zhì) 解一元一次不等式組及其應(yīng)用
［時(shí)間：60分鐘 分值：100分］
一、選擇題（每小題5分，共35分）
1. 下列不等式組：
其
中是一元一次不等式組的個(gè)數(shù)為( )
A
A. 2 B. 1 C. 4 D. 3
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2. [2024運(yùn)城模擬] 不等式組 的解集在數(shù)軸上表
示為( )
B
A.
B.
C.
D.
返回
3. [2024安徽] 已知數(shù)，滿足 ，
，則下列判斷正確的是( )
C
A. B.
C. D.
【點(diǎn)撥】， .
， ，即
.
，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，不符合題意.
， ，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤，不符合題意.
由，得， ，
由，得， ，
，故選項(xiàng)C正確，符合題意；
，選項(xiàng)D錯(cuò)誤，不符合題意.
返回
4. 若一艘輪船沿江水順流航行用時(shí)少于 ，它沿江
水逆流航行用時(shí)也少于 ，設(shè)這艘輪船在靜水中的航
速為，江水的流速為 ，則根據(jù)題意可列不等式
組為( )
B
A. B.
C. D.
返回
5. 若的值同時(shí)大于和的值，則 的取值范
圍是( )
C
A. B. C. D.
返回
6. 如果整數(shù)使得關(guān)于的不等式組 有解，且
使得關(guān)于，的二元一次方程組 的解為整數(shù)
（，均為整數(shù)），則符合條件的所有整數(shù) 的個(gè)數(shù)為
( )
C
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【點(diǎn)撥】由①，得 ，
由②，得， 不等式組 有解，
不等式組的解集為， .
方程組由，得 ，解得
，把代入②，得 ，解得
.與都為整數(shù)，，且 ，
或或或，或1或0或 ，
符合條件的所有整數(shù) 的個(gè)數(shù)為4.
返回
7. [2024蘇州月考] 5名學(xué)生身高兩兩不同，把他們按從高到
低排列，設(shè)前三名的平均身高為米，后兩名的平均身高為
米，前兩名的平均身高為米，后三名的平均身高為 米，則
( )
B
A. B.
C. D. 以上都不對(duì)
【點(diǎn)撥】由題意得，易知 ，
.
返回
二、填空題（每小題5分，共20分）
8.不等式組 的解集為_____________.
9.已知不等式組的解集為 ，則
的值為___.
1
返回
10.[2024濟(jì)寧期末] 為培養(yǎng)學(xué)生閱讀習(xí)慣，提高學(xué)生閱讀興趣
和能力，某校把一批圖書分給七年級(jí)（1）班學(xué)生去閱讀.如
果每人分2本，還剩48本；如果前面每人分3本，那么最后一
名學(xué)生得到的圖書少于3本（但至少分得1本）.設(shè)七年級(jí)（1）
班有 名學(xué)生，則下列四個(gè)結(jié)論中，正確的是______.
（只填序號(hào)）
①這批圖書有本；②這批圖書有 本；③七年
級(jí)（1）班最少有44名學(xué)生；④七年級(jí)（1）班最多有50名學(xué)生.
①④
【點(diǎn)撥】 七年級(jí)（1）班有名學(xué)生， 這批圖書有
本，根據(jù)題意，得 ，
解得 ，
七年級(jí)（1）班最多有50名學(xué)生，最少有49名學(xué)生.
返回
11.[2024重慶期中] 已知關(guān)于，的方程組
其中，若，則 的最大值為___.
3
【點(diǎn)撥】?jī)煞匠滔嗉樱?，
，
，即 的最大值為3.
返回
三、解答題（共45分）
12.（8分）解下列不等式組，并把不等式組的解集在數(shù)軸上
表示出來(lái).
（1）
【解】
解不等式①，得，解不等式②，得 ，
不等式組的解集為 ，
在數(shù)軸上表示如圖.
（2）
【解】解不等式①，得 ，解不等式
②，得， 不等式組的解集為 ，
在數(shù)軸上表示如圖.
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13.（10分）[2024南昌期末] 已知不等式組
（1）若該不等式組的解集為，求 的值；
【解】解不等式①，得 ，
解不等式②，得 ，
不等式組的解集是，，解得 .
（2）若該不等式組無(wú)解，求 的取值范圍.
【解】由（1）得不等式組的解集為 .
不等式組無(wú)解，，解得 .
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14.（12分） 定義一種新運(yùn)算“☆ ”為：當(dāng)
時(shí)，☆；當(dāng)時(shí)，☆ .
例如：☆，☆ .
（1）填空：☆ ____；
（2）若☆，則 ____；
2.5
【點(diǎn)撥】由題意，分兩種情形：
①當(dāng)，即時(shí)， ☆
，解得 ，符合題意.
②當(dāng)，即時(shí)， ☆
，解得 ，不符合題意.
綜上， .
（3）若☆，求 的取值范圍.
【解】由題意，分兩種情形：
①當(dāng)，即時(shí)， ☆
，解得 .故此時(shí)
.
②當(dāng)，即 時(shí)，
☆，解得 .
故此時(shí)無(wú)解.綜上， .
返回
15.（15分） 2024年4月25日，搭載神舟十
八號(hào)載人飛船的長(zhǎng)征二號(hào) 遙十八運(yùn)載火箭，在酒泉衛(wèi)星發(fā)
射中心點(diǎn)火升空，將航天員葉光富、李聰和李廣蘇順利送入
太空，神舟十八號(hào)載人飛船發(fā)射取得圓滿成功.某航天模型銷
售店看準(zhǔn)商機(jī)，推出“神舟”和“天宮”模型.已知銷售店老板購(gòu)
進(jìn)3個(gè)“神舟”模型和4個(gè)“天宮”模型一共需要310元；購(gòu)進(jìn)4個(gè)
“神舟”模型和2個(gè)“天宮”模型一共需要280元.
（1）求每個(gè)“神舟”模型和“天宮”模型的進(jìn)貨價(jià)格；
【解】設(shè)每個(gè)“神舟”模型的進(jìn)貨價(jià)格為 元，每個(gè)“天宮”模型
的進(jìn)貨價(jià)格為 元，根據(jù)題意，得
解得
答：每個(gè)“神舟”模型的進(jìn)貨價(jià)格為50元，每個(gè)“天宮”模型的
進(jìn)貨價(jià)格為40元.
（2）該銷售店老板計(jì)劃購(gòu)進(jìn)兩種模型共80個(gè)，設(shè)購(gòu)進(jìn)“神舟”
模型 個(gè)，如果購(gòu)進(jìn)“天宮”模型的數(shù)量不超過(guò)“神舟”模型數(shù)
量的2倍，并且總費(fèi)用不超過(guò)3 490元，那么該銷售店共有幾
種進(jìn)貨方案？
【解】根據(jù)題意，得解得
.取整數(shù)， ,28,29.
該銷售店共有3種進(jìn)貨方案：
①購(gòu)進(jìn)“神舟”模型27個(gè)，購(gòu)進(jìn)“天宮”模型
（個(gè)）；
②購(gòu)進(jìn)“神舟”模型28個(gè)，購(gòu)進(jìn)“天宮”模型
（個(gè)）；
③購(gòu)進(jìn)“神舟”模型29個(gè)，購(gòu)進(jìn)“天宮”模型
（個(gè)）.
（3）該銷售店計(jì)劃每個(gè)“神舟”模型的售價(jià)為70元，每個(gè)“天
宮”模型的售價(jià)為55元，在（2）的條件下，全部售完后，哪
種進(jìn)貨方案獲得的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少元？
【解】方案①的利潤(rùn)為
（元）；
方案②的利潤(rùn)為
（元）；
方案③的利潤(rùn)為
（元）.
元元 元，
方案③的利潤(rùn)最大，為1 345元.
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第7章 一元一次不等式
7.2 不等式的基本性質(zhì)
1. [2024蘇州] 若 ，則下列結(jié)論一定正確的是( )
D
A. B. C. D.
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2. [2024宜昌一模] 設(shè)●、 、 分別表示三種不同的物體，
現(xiàn)用天平稱了兩次，情況如圖所示，那么●、 、 這三種物
體按質(zhì)量從大到小排列為( )
A
A. 、、● B. 、●、
C. 、●、 D. 、 、●
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3.閱讀下面的解題過(guò)程，再解題.
已知，試比較與 的大小.
解：因?yàn)?，①
所以 .②
所以 .③
（1）上述過(guò)程中，從第____步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤；
（2）錯(cuò)誤的原因是什么？
【解】錯(cuò)誤的原因：不等式的兩邊都乘以同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等
號(hào)的方向沒改變.
（3）請(qǐng)寫出正確的解題過(guò)程.
因?yàn)椋?.
所以 .
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4. [2024南充期末] 下列說(shuō)法中不正確的是( )
B
A. 如果，那么
B. 如果，那么
C. 如果，那么
D. 如果，，，那么
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5.點(diǎn)，，在數(shù)軸上的位置如圖所示，有理數(shù)，， 各
自對(duì)應(yīng)著，，三個(gè)點(diǎn)中的某一點(diǎn)，且 ，
，，那么表示數(shù) 的點(diǎn)為___.
6.若，則，，三個(gè)數(shù)用“ ”連接起來(lái)為
_ ____________.
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7.已知實(shí)數(shù)，，滿足：， ，
.試說(shuō)明下列不等式的正確性.
（1） ；
【解】， ，
，
.
,即， .
（2） .
，， .
由（1）知， ,
又, .
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8. 【提出問(wèn)題】已知，且 ，
，試確定 的取值范圍.
【解決問(wèn)題】解：， .
又， .
又， .①
易得 ，②
由，得 ，
即 .
的取值范圍是 .
【嘗試應(yīng)用】已知，且，，求
的取值范圍.
【解】， .
又， .
又， .①
易得 ，②
由得，即 .
的取值范圍是 .
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