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第8章 三角形
8.3 用正多邊形鋪設地面
1. [2024廣州期末] 下面給出的圖形能密鋪的是( )
B
A. 正五邊形 B. 正三角形
C. 正十邊形 D. 正十二邊形
2. [2024成都期末] 一個正多邊形每個外角都等于 ，若用
這種多邊形拼接地板，需與下列哪種正多邊形組合( )
D
A. 正四邊形 B. 正六邊形 C. 正八邊形 D. 正三角形
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3.[2024福州期末] 某?！爸腔蹟祵W教室”重新裝修，如圖是用
邊長相等的正三角形和正 邊形兩種地磚鋪滿地面后的部分
示意圖，則 的值為____.
12
（第3題）
返回
（第4題）
4. 如圖，有兩塊形狀大小完全相同
的三角板，把它們相等的邊靠在一
起，可以拼出許多圖形，其中形狀
不同的四邊形的種數是( )
B
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【點撥】如圖所示，把它們相等的邊靠在一起拼成形狀不同
的四邊形共有4種可能.
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5. 用正三角形和正六邊形鑲嵌，若每一個頂點周圍有 個正
三角形、個正六邊形，則， 滿足的關系式是( )
D
A. B.
C. D.
【點撥】正多邊形的平面鑲嵌，每一個頂點處的幾個角之和
應為 ，而正三角形和正六邊形內角分別為 ， ，
根據題意可知 ，化簡得到
.故選D.
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6.如圖所示的四邊形是某地板廠加工地
板時剩下的邊角余料，如果用這種相同
的四邊形木板進行鑲嵌，則至少需要___
塊才能完成鑲嵌.
4
【點撥】由鑲嵌的條件知，在一個頂點處各個內角的和為
時，就能鑲嵌.而任意四邊形的內角和是 ，所以至
少需要4塊才能完成鑲嵌.
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7. 【探究】
（1）觀察下列算式，并完成填空：
；
；
；
；
____.（ 是正整數）
（2）如圖是某市一廣場用正六邊形、正方形和正三角形地
板磚鋪設的圖案，圖案中央是一塊正六邊形地板磚，周圍是
正方形和正三角形的地板磚.從里向外第一層包括6塊正方形
和6塊正三角形地板磚；第二層包括6塊正方形和18塊正三角
形地板磚；以此類推.
①第3層中分別含有___塊正方形和____塊正三角形地板磚；
6
30
【點撥】 第一層包括6塊正方形和6塊正三角形地板磚，第
二層包括6塊正方形和 （塊）正三角形地板磚，
第三層包括6塊正方形和 （塊）正三角形地板磚.
②第 層中分別含有___塊正方形和__________塊正三角形地
板磚（用含 的代數式表示）.
6
【點撥】 每一層中正方形地板磚塊數不變，都是6塊，
正三角形地板磚的塊數分別為：
第一層 塊，
第二層 塊，
第三層 塊，
第層中分別含有6塊正方形和 塊正三角形地板磚.
【應用】 該市打算在一個新建廣場中央，
采用如圖樣式的圖案鋪設地面，現有1塊正
六邊形、150塊正方形地板磚，問：鋪設這
樣的圖案，還需要多少塊正三角形地板磚？
請說明理由.
【解】鋪設這樣的圖案，還需要3 750塊正三角形
地板磚.理由如下：
（層），
塊正方形地板磚可以鋪設這樣的圖案
25層.
鋪設 層需要正三角形地板磚的數量為：
，
當時， .
故鋪設這樣的圖案，還需要3 750塊正三角形地板磚.
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第8章 三角形
8.2 多邊形的內角和與外角和
第1課時 多邊形的內角和
1. 在如圖所示的圖形中，屬于多邊形的有( )
B
A. 2個 B. 3個 C. 4個 D. 5個
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2. 下列說法不正確的是( )
D
A. 正多邊形的各邊都相等
B. 正多邊形的各內角都相等
C. 從邊形的一個頂點引出的對角線可以將該 邊形分割成
個三角形
D. 正多邊形的各對角線相等
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（第3題）
3. 正定凌霄塔是全國重點文物
保護單位，其造型優美端莊，八角九層，塔高
約41米，如圖所示的正八邊形是凌霄塔其中一
層的平面示意圖，其每個內角的度數為( )
D
A. B. C. D.
4. [2024南陽期末] 過多邊形的一個頂點可以作4條對角線，
則這個多邊形的邊數是( )
B
A. 六 B. 七 C. 八 D. 九
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（第5題）
5.[2024長沙一模] 某校每周星期三下午開展
“七彩課堂”活動，為學生全面發展搭建平臺.
小田在素描課堂上觀察一幾何體的主視圖如
圖所示，若 ，則
的度數為______.
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（第6題）
6. 苯分子的環狀結構
是由德國化學家凱庫勒提出的.隨
著研究的不斷深入，發現苯分子中
的6個碳原子與6個氫原子均在同一
平面，且所有碳碳鍵的鍵長都相等
（如圖①），組成了一個完美的六
邊形（正六邊形），圖②是其平面示意圖，則 的度數為
______.
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7. [2024婁底月考] 從六邊形的一個頂點出發，可以畫 條對
角線，它們將六邊形分成個三角形，則 ( )
C
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
8. 一條直線將一個長方形分割成兩個多邊形，若這兩個多邊
形的內角和分別為和，則 不可能是( )
C
A. B. C. D.
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9. [2024長春模擬] 如圖，三個四邊形是正方形，則 的值為
( )
D
（第9題）
A. 30 B. 39 C. 40 D. 41
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10. 一個多邊形切去一個角后，形成的另一個多邊
形的內角和為 ，那么原多邊形的邊數為( )
D
A. 7 B. 7或8 C. 8或9 D. 7或8或9
解此題時，易因考慮不全面而致錯.
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（第11題）
11. [2024內江月考] 如圖，把 紙片
沿折疊，當點落在四邊形 的外
部時，與， 之間保持一種數量關
系始終不變，請試著找一找這個規律，你
發現的規律是( )
D
A. B.
C. D.
【點撥】如圖，設，交于點， 四
邊形 中，
，
， ，
， 即
.
， .
，
整理，得 ，
即 .
返回
（第12題）
12.如圖,正六邊形的頂點， 分
別在正方形的邊，上， 與
交于點，則 ______.
返回
13.[2024衡陽期末] 如圖，在四邊形 中，
，平分，平分 ，試說明：
.
【解】 在四邊形 中，
，
.
平分，平分 ，
.
， .
.
返回
14.閱讀明明和芳芳的對話，解答下列問題.
（1）明明通過計算，發現少加了一個銳角，則這個“少加的
銳角”的度數是____ .
20
【點撥】邊形的內角和公式為 ，
當時，多邊形的內角和為 ，
當時，多邊形的內角和為 .
明明少加了一個銳角，且 ，
這個少加了的銳角的度數為 .
（2）在（1）的條件下，明明求的是幾邊形的內角和？
【解】由（1）可知，明明求的是八邊形的內角和.
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15.[2024長春期末]
（1）在四邊形中， ， .
①如圖①，若，則____ ；
【點撥】 ， ，
， ，
.
②如圖②，若的平分線交于點，且 ，
試求出 的度數；
【解】， .
.
的平分線交于點 ，
.
.
③如圖③,若和的平分線交于點，試求出
的度數；
四邊形中， ， ，
.
和的平分線交于點 ，
. .
（2）如圖④，為五邊形 內一點,
，分別平分， ，請直接寫
出與 的數量關系.
.
【點撥】 五邊形 的內角和為
，
.
和的平分線交于點 ，
.
.
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第8章 三角形
8.1 與三角形有關的邊和角
3.三角形的三邊關系
1. 下列長度的各組線段能組成一個三角形的是( )
D
A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，
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（第2題）
2. 雙人漫步機是一
種有氧運動器材，通過進行心血管
健康的有氧運動，可以增強人體的
心肺功能、降低血壓、改善血糖.這
種器材（如圖）的支架設計應用的
幾何原理是( )
A
A. 三角形的穩定性 B. 兩點之間線段最短
C. 兩點確定一條直線 D. 垂線段最短
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3. 已知等腰三角形兩邊的長分別為3和7，則
此等腰三角形的周長為( )
C
A. 10 B. 15 C. 17 D. 13或17
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（第4題）
4. 如圖，，，， 是平面內四點，
若，， ，
則線段 的長度可能是( )
B
A. 2 B. 4 C. 5 D. 6
【點撥】在 中，
，即
.在 中，
，即
， .
各個選項中滿足條件的只有4.
（第4題）
返回
5. 將一個長方形紙片沿虛線折疊，圍成無上下底的直三棱柱，
尺寸如圖所示，則 的值可能是( )
D
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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6. 設一個三角形的三邊長分別是3，，8，則 的取值
范圍是( )
B
A. B.
C. D.
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7.已知，，為的三邊長，， 滿足
，且為方程 的解，求
的周長并判斷 的形狀.
【解】，， ，
解得，，解方程，解得或 ，
可能為3或9.
當 時，不滿足三角形三邊關系，故舍去.
，， .
， ，
的周長為8， 為等腰三角形.
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8. 如圖是一個由四根木條釘成的框架，拉動其中兩根木條后，
它的形狀將會改變，若固定其形狀，下列有四種加固木條的
方法，不能固定形狀的是釘在( )兩點上的木條.
D
A. ， B. ，
C. ， D. ，
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9. 的三邊長分別為，， ，則
________.
去絕對值符號時，忽略絕對值前面的“負號”，沒有
把去掉絕對值符號的部分當作一個整體導致計算錯誤.
【點撥】的三邊長分別是，， ，
，， .
返回
10.[2024洛陽期末] 已知關于的不等式組 至少有
兩個整數解，且存在以3，，7為邊的三角形，則 的整數解
的個數是___.
4
【點撥】解不等式，可得 ;解不等式
，可得 不等式組至少有兩個整數解，
整數解包含4， .
又 存在以3，，7為邊的三角形， .
的取值范圍是 的整數值有4個.
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11.若的三邊長分別為5，3，，且關于 的一元一次方
程 的解為非正數，則符合條件的所
有整數 的和為____.
18
【點撥】 ，
則，解得 .
關于的一元一次方程 的解為非正
數，，解得 .
的三邊長分別為5，3，， .
故符合題意的 的值為5，6，7，
則符合條件的所有整數的和為 .
返回
12.已知，，為的三邊長，且， 滿足
.
（1）求 的取值范圍；
【解】 ，
解得， .
，， .
的取值范圍為 .
（2）在（1）的條件下，若，求 的取值范圍.
，
.
的取值范圍為 .
返回
13.小剛準備用一段長32米的籬笆圍成一個三角形形狀的場地，
用于飼養雞，已知第一條邊長為 米，由于條件限制，第二
條邊長只能比第一條邊長的2倍少3米.
（1）請用含 的式子表示第三條邊長.
【解】 第一條邊長為 米，第二條邊長比第一條邊長的2倍
少3米,
第二條邊長為 米.
米，
第三條邊長為 米.
（2）第一條邊長能否為10米？為什么？
【解】不能.當 時，三邊長分別為10，17，5，
， 不能構成三角形，即第一條邊長不能為10米.
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14.根據圖①，填空：由三角
形兩邊的和大于第三邊，得
________，
________.將不等
（1）補全上面步驟；
式左邊、右邊分別相加，得 ________，
即 ________.
（2）仿照圖①的方法，請你利用圖②，過點 作直線交
，于點，，試說明： .
【解】在中， ，
在中， ，
在中， ，
將三個不等式相加，得
，
即 .
返回
15.[2024深圳模擬] 如圖①，圖②，在中， 是
的角平分線.
（1）若,， 的長為
偶數，則符合條件的 共有___
個；
2
【點撥】, ，
.
的長為偶數， 或6，
符合條件的 共有2個.
（2）如圖①，若為線段
上一點，過點作 于
點， ， .
①求 的度數；
【解】如圖①，過點作于點 ，
在 中，
.
是 的角平分線，
.
， .
.
.
， .
.
②如圖②，若為線段 延長線上一點，其余條件不變，直
接寫出 的度數.
.
【點撥】如圖②，過點作于點 ，
由①可知 .
， .
.
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第8章 三角形
全章熱門考點整合應用
考點1 三角形三邊關系
1.已知三角形的三邊長分別為1， ，3，則化簡
的結果為___.
2
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2.某建材市場上的一種鋼管的長度規格及相應價格如下表：
規格/ 1 2 3 4 5 6
價格/（元/根） 10 15 20 25 30 35
學校要制作一個三角形支架的宣傳牌，已經購買兩根長度分
別為和 的鋼管，還需要購買一根.
（1）有哪幾種規格的鋼管可供選擇？
【解】設第三根鋼管的長度為 ，
則，即 ，
長度為，， 的鋼管可供選擇.
（2）若要求做成的三角形支架的周長為偶數，則做成三角
形支架一共需要花多少錢購買鋼管？
三角形支架的周長為偶數，
三邊長分別為，， ，
則花的錢數為 （元）.
答：做成三角形支架一共需要花75元購買鋼管.
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考點2 三角形的重要線段
3. 如圖，在中，是中點， 是
邊上一點，且，與 交于
點，連結.若四邊形 的面積是14，
則 的面積是( )
C
A. 28 B. 32 C. 30 D. 29
【點撥】設的面積為， 的面
積為，則的面積為 ，
，
，
，
.
為 中點，
， .
， ，
，即 .
四邊形 的面積為14，
，
解得
，
.
返回
4.[2024雅安期末] 如圖所示，在中， 是角平分線，
是高.
（1）已知，請求出與， 的關系；
【解】由題意知，
.
是 的角平分線，
.
是的高， .
.
.
（2）已知，試說明： .
【解】由（2）可得， ，
，
，即 .
返回
考點3 三角形的內角和與外角和
5. 如圖①，②，③， ，， ，則
的度數為( )
C
A. B. C. D.
【點撥】對于圖①， 在中， ，
.
， ，
， .
.
.
對于圖②，是的外角， ，
.
， ，
.
是 的外角，
.
.
對于圖③，是的外角，是 的外
角， ，
， .
.
又， ，
， .
.
.
.
返回
6. [2024溫州期末] 如圖，
的度
數為( )
C
A. B.
C. D.
【點撥】如圖，
，
，
，
.
返回
考點4 多邊形的內角和與外角和
7. 如果一個多邊形的內角和為 ，那
么這個多邊形的邊數為( )
B
A. 14 B. 13 C. 15 D. 16
【點撥】設該多邊形的邊數是 ，
由多邊形的內角和公式，得 ，
解得 這個多邊形的邊數是13.
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8. 如圖是正邊形紙片的一部分，其中，
是正邊形兩條邊的一部分，若， 所在的
直線相交形成的銳角為 ，則 的值是
( )
B
A. 5 B. 6 C. 8 D. 10
【點撥】如圖，延長，，交于點 ，
則 .
正多邊形的每個內角相等，
正多邊形的每個外角也相等.
.
.
返回
9.[2024長沙開福區期末] 一個正多邊形的內角和等于它的外
角和的3倍，則這個正多邊形是正____邊形.
八
【點撥】設正多邊形的邊數是 ，
根據題意，得 ，
解得 .
這個正多邊形為正八邊形.
返回
10.[2024黃岡期末] 將正六邊形與正五邊形按如圖所示方式擺
放，公共頂點為，且正六邊形的邊與正五邊形的邊 在
同一條直線上，則 的度數是____.
【點撥】由題意，得
，
，
，
，
，
.
返回
思想1 轉化思想
11. 如圖，已知，分別平分 ，
，若 ， ，則
的大小為( )
C
A. B.
C. D.
【點撥】連結 并延長，如圖①，
由三角形外角性質可知 ，
.
，分別平分， ，
， .
， ，
.
.
連結 并延長，如圖②，
.
返回
思想2 分類討論思想
12.[2024南昌期末] 若一個三角形中一
個角的度數是另一個角的度數的3倍，
則稱這樣的三角形為“和諧三角形”.例
如，三個內角分別為 ， ，
的三角形是“和諧三角形”，如圖，直角三角形 中，
， ，是邊上一動點.當 是
“和諧三角形”時， 的度數是_____
__________________
或 或 或
【點撥】 ，
，
.
當 是“和諧三角形”時，分四種情
況：
①當時， ，
.
；
②當時， ，
；
③當 時，
，
.
；
④當時， ，
.
綜上所述，的度數是 或
或 或 .
返回
思想3 方程思想
13.[2024益陽月考] 如圖， 和
是的外角，和 分別
是和 的角平分線，延長
和交于點.設 ，
，求 與 之間的數量關系.
【解】和分別是 和
的角平分線，
， .
設 ，
，
則 ， ， ，
，
，
.
在 中，
，
.
整理，得 .
在 中，
，
.
.
整理，得 .
與 之間的數量關系為
.
返回(共34張PPT)
第8章 三角形
2.三角形的內角和與外角和
第1課時 三角形的內角和
1. 在中，若 ， ，則 的度數為
( )
A
A. B. C. D.
（第2題）
2. 如圖，在中， ，
，則 是( )
C
A. 等腰三角形 B. 等邊三角形
C. 直角三角形 D. 鈍角三角形
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（第3題）
3. 如圖，是 的平分線，
， ，則
( )
C
A. B. C. D.
（第4題）
4. 將一個含 角的三角板和直尺如圖放
置，若 ，則 的度數是( )
B
A. B. C. D.
返回
（第5題）
5. 《周禮·考工記》中記載
有：“…半矩謂之宣 ，一宣有半謂
之欘 …”.意思是：“…直角的一半的
角叫做宣，一宣半的角叫做欘…”.即：1
宣矩，1欘宣（其中，1矩） .問題：如圖①為中
國古代一種強弩圖，圖②為這種強弩圖的部分組件的示意圖，
若矩，欘，則 的度數為______.
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6.如圖，在中，為邊 上的
高，為邊上的一點，連結 .
（1）當為邊 上的中線時，若
，的面積為24，求 的
長；
【解】為邊上的高， 的面積為24，
.又， .
又為邊上的中線， .
（2）當為 的平分線時，若
， ，求 的度數.
, ,
.
又為的平分線， .
, , .
.
返回
（第7題）
7. 如圖，將三角形紙
片沿折疊，當點 落在四邊
形 的外部時，測量得
， ，則 的
度數為( )
B
A. B. C. D.
返回
8.[2024杭州模擬] 如圖，中， ，
，平分，于點， ，則
的度數為____.
（第8題）
返回
9.[2024北京豐臺區月考] 如圖，中， ，,
分別是邊,上的點，是直線上一動點，連結, ，
若 ，則________（用含有 的
式子表示）.
【點撥】 ,
.
,
.
,
,
.
,
.
返回
10. 在中，為邊上的高， ，
，則是________ .
80或40
【點撥】當 為銳角三角形時，如圖①，
為邊上的高， .又 ，
.
又 ，
；
當 為鈍角三角形時，如圖②，
， .
又 ，
.
又 ，
.綜上所述，
或 .
返回
11.如圖，在中，，分別是， 的平分
線，，分別是，的平分線，其中點在
的延長線上，點在 的延長線上.
（1）當 , 時，_____ ，
____ ；
115
65
【點撥】,分別是, 的平分
線， , ,
,
, ,
,
.
，分別是， 的平分線，
,
,
.
（2）若 ，求， 的度數；
【解】在中， ,
,分別是, 的平分線，
,,
.，分別是 ,
的平分線，
， .
（3）當的大小變化時， 的值是
否變化？請說明理由.
的值不變.理由：
由（2）知 ,
,
, 當的大小變化時， 的值不變.
返回
12. 光線照射到平面鏡，鏡
面會產生反射現象，由光學知識，入射
光線與鏡面的夾角（銳角）與反射光線
與鏡面的夾角（銳角）相等，例如：在
圖①中， .
（1）如圖②，已知有兩個平面鏡鏡面
與鏡面，入射光線能夠經鏡面 ,
形成反射，記反射光線分別為, .
①當 ，時，
____.
②記 ， ，當時，求 ， 之
間的等量關系.
【解】如圖①， ，，
,
.
， .
.
.
（2）如圖③，已知有三個平面鏡 ，
，，其中鏡面 放在水平地面上固
定，調整鏡面與鏡面 的擺放角度，使
得入射光線能夠經鏡面，， 形
成反射，記反射光線分別為，， .
①當 ， ，時，求 的度數.
【解】如圖②，過點作 ，
， ，
，
.
.
，
. .
， .
.
. .
.
②記，，當， 存在怎
樣的等量關系時，有 成立 請直接
寫出關于， 之間的等量關系.
.
【點撥】如圖③，過點作 ，
， .
， .
， .
.
.
.
，
，
.
.
，且 ，
. .
返回(共26張PPT)
第8章 三角形
8.2 多邊形的內角和與外角和
第2課時 多邊形的外角和
1. 一個多邊形的每一個外角都等于 ，則
這個多邊形的邊數為( )
B
A. 12 B. 10 C. 8 D. 6
2. [2024遂寧] 佩佩在“黃娥古鎮”研學時學習扎染技術，得到
了一個內角和為 的正多邊形圖案，這個正多邊形的每
個外角為( )
C
A. B. C. D.
返回
（第3題）
3. 圖①
是我國古代建筑中的一種窗格，
其中冰裂紋圖案象征著堅冰出
現裂紋并開始消融，形狀無一
定規則，代表一種自然和諧美.
圖②是從圖①冰裂紋窗格圖案
C
A. B. C. D.
中提取的由五條線段組成的圖形，則
( )
返回
（第4題）
4. 如圖，將五邊形 沿虛線裁去一
個角，得到六邊形 ，則下列說法
正確的是( )
D
A. 外角和減少
B. 外角和增加
C. 內角和減少
D. 內角和增加
返回
5. 一個正多邊形的一個外角等于它的一個內角的 ，則這個
多邊形的邊數為( )
B
A. 6 B. 8 C. 9 D. 12
返回
6.[2024南陽月考] 已知一個多邊形的邊數為 .
（1）若 ，則這個多邊形的內角和為______；
（2）若這個多邊形的內角和的 比一個七邊形的外角和多
， 求 的值.
【解】根據題意，得 ，解得
.
返回
（第7題）
7. 小聰利用所學的數學
知識，給同桌出了這樣一道題：假如從
點出發，沿直線走6米后向左轉 ，接
著沿直線前進6米后，再向左轉 ， ，
如此下去，當他第一次回到點 時，發
C
A. B. C. D.
現自己一共走了72米，則 的度數為 ( )
（第7題）
【點撥】 第一次回到點 時，所經過
的路線正好構成一個正多邊形，
正多邊形的邊數為 .
多邊形的外角和為 ，
他每次轉動 的度數為
.
返回
8. [2024山東] 如圖，已知，，是正 邊形的三條邊，
在同一平面內，以為邊在該正 邊形的外部作正方形
.若 ，則 的值為( )
A
（第8題）
A. 12 B. 10 C. 8 D. 6
（第8題）
【點撥】 四邊形 為正方形，
.
，
.
正 邊形的一個外角為
，
的值為 .
返回
（第9題）
9. [2024長春二模] 如圖所示表示一張正 邊形紙
片被撕掉一塊，若，則 的值是( )
B
A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
【點撥】如圖，延長，，交于點 ，
， .
易知 ，
.
返回
（第10題）
10. 如圖，將三角形紙片
沿虛線剪掉兩角得五邊形
，若 ，
，根據所標數據，則
的度數為( )
A
A. B. C. D.
【點撥】如圖，由圖可得，
， .
， ，
.
.
返回
11.[2024濟寧期末] 將等邊三角形、正方形、
正五邊形按如圖所示的位置擺放，如果
， ，那么 的度數等
于____.
【點撥】等邊三角形每個內角的度數是 ，
正方形每個內角的度數是 ，正五邊形每個內角的度數是
，則
.
返回
12. 課堂上，老師給同學們出了一道討論題，
問題：一個多邊形的內角和與它的一個外角的度數之和為
，求此多邊形的邊數和這個外角的度數.
小亮同學和你分別想到了兩種不同的解答方法，請認真閱讀
以下內容，并完成解答.
（1）小亮想到的方法如下：
解：設這個多邊形的邊數為，這個外角的度數為 ，
根據題意，得 ，
.
……
請將過程補充完整.
【解】設這個多邊形的邊數為，這個外角的度數為 ，根
據題意，得 ，
.
， ，
解得 .
為正整數， .
.
（2）寫出你想到的方法.
【解】設這個多邊形的邊數為 ，
由題意，得 ，
解得 .
為正整數， .
這個外角為 .
返回
13.[2024岳陽期末] 已知一個多邊形的每一個內角都比與它相
鄰外角的4倍多 .
（1）求這個多邊形的邊數；
【解】設這個多邊形的每一個內角都為 ，則與它相鄰的外
角為 ，
依題意，得 ，解得 .
.
多邊形的外角和等于 ，
這個多邊形的邊數為 .
（2）從這個多邊形的一個頂點引對角線，最多可以引___條.
9
【點撥】從這個多邊形的一個頂點引對角線，最多可以引
（條）.
返回
14.（1）如圖①，，都是四邊形 的外角，試探
究，，與， 之間的數量關系；
【解】，
.
，
，
.
.
（2）如圖②，，都是四邊形 的
外角，試探究，與， 之間的數
量關系；
，
.
，
，
.
.
（3）用你發現的結論解決下列問題：如圖
③，，分別是四邊形 的外角
，的平分線， ，
求 的度數.
，
根據（1）的結論有.
，分別是， 的平分線，
， .
.
.
返回(共29張PPT)
第8章 三角形
專題12 三角形中的重要線段的相關
計算
題型1 利用三角形中的重要線段的性質求角度
（第1題）
1. 如圖，中， ，
和的平分線交于點 ，得
；和 的平分線交于
點，得；…； 和
的平分線交于點 ，則
為( )
D
A. B.
C. D.
返回
（第2題）
2.如圖， ，為 的角平
分線，的平分線交于點 ，
的外角平分線交 的延長線于點
，則與 的和為 ______.
返回
題型2 利用三角形中的重要線段的性質求線段長
（第3題）
3.如圖，在中，， ，
垂足分別為，，與相交于點 ，連結
并延長交于點.若， ，
，則 的值為__________.
（第3題）
【點撥】 在中，， ，
垂足分別為，，與交于點 ，連結
并延長交于點 ，
，， ，
，
， .
返回
（第4題）
4.如圖，中， ，垂足為
，,，點是邊
上一動點，過點作 ，交折線
于點，連結, ，若
與的面積相等，則線段
的長度是_ _____.
2或
【點撥】，，, ，
, .
如圖①，當點在 邊上時，
，
，
，
， ；
如圖②，當點在 邊上時，
，
，
即 .
， ，
.
， .
.
，即 .
. .
綜上，線段的長度是2或 .
返回
題型3 利用三角形中的重要線段的性質求面積
5.如圖，對面積為1的 逐次進行操作：
第一次操作，分別延長，，至點 ，
，，使得， ，
361
，順次連結，，，得到 ，記其面
積為；第二次操作，分別延長，，至點 ，
，，使得，， ，
順次連結，，，得到，記其面積為， ，
按此規律繼續下去，則 _____.
【點撥】如圖，連結，, ,根據
，的面積為 面積的2
倍，所以的面積為2；同理 的面
，即面積為 面積的19
倍，以此類推的面積為面積的 倍，所以
.
積為的2倍，所以的面積為4； 的面
積為2，的面積為4，的面積為2， 的
面積為4，
返回
6.如圖，在中，點是邊上一點， ，
連結，點是線段上一點，，連結 ，
與交于點，若，，求與 面
積之和的最大值.
【解】如圖，連結 ，
設，， ，
， ，
， .
， .
， .
， ，
，
.
.
當最大時， 最大，
當時， 取最大值，
最大值 .
由，得 ，
與面積之和的最大值 .
返回
題型4 與三角形中的重要線段有關的探究
類型1 探究角度間的數量關系
7.如圖①，點在上，點在 上.
（1）若平分，平分 ，
，請判斷與 的位置關系，并說明
理由；
【解】 .理由如下：
平分，平分 ，
， .
， .
. .
（2）如圖②， 且，移動 的位置，
保持其在與之間，若是上一點，且 .
問在此過程中，與 是否存在確定的數量關系？并
說明理由.
.理由如下：
過點作 ，如圖，
， .
， .
，
.
， .
.
.
返回
類型2 探究線段間的數量關系
8.在中，，，于點 .
（1）如圖①，已知于點，試說明： ；
【解】， ，
.
,, .
.
（2）如圖②，是線段上任意一點（不與， 重合），
過點作于點，于點 ，試說明：
；
【解】如圖①，連結 ，
，
.
,, .
.
（3）在圖②中，若是 延長線上任意一點，其他條件不變，
請畫出圖形并直接寫出，， 之間的關系.
【解】畫出圖形如圖②.
.
【點撥】
連結， ，
.
,, ,
.
返回(共34張PPT)
第8章 三角形
測素質 與三角形有關的邊和角
［時間：60分鐘 分值：100分］
一、選擇題（每題5分，共35分）
（第1題）
1. 如圖，為估計池塘岸邊， 的距離，
小方在池塘的一側選取一點 ，測得
米，米，， 間的距
離不可能是( )
A
A. 36米 B. 30米 C. 25米 D. 15米
返回
（第2題）
2. [2024福州期末] 如圖，在
中，是高，是角平分線，
是中線，則下列說法中錯誤的是
( )
C
A. B.
C. D.
返回
（第3題）
3. 如圖，中，為 的角平
分線，為的高， ，
，那么 是( )
A
A. B. C. D.
返回
4. 若一個三角形的三個內角的度數的比為 ，那么這個
三角形是( )
B
A. 鈍角三角形 B. 銳角三角形
C. 直角三角形 D. 等邊三角形
返回
（第5題）
5. 如圖，將一副三角尺按如圖所示
的方式擺放， ，
，點在上，點在
上，，則 的度數為
( )
A
A. B.
C. D.
返回
（第6題）
6. 如圖，,都是 的高，過點
作交的延長線于點 ，
， ，若
，，則
( )
A
A. B. C. 5 D.
【點撥】如圖，連結 ，
，
. .
， .
， .
.
.
返回
（第7題）
7.[2024達州] 如圖，在中， ，
分別是內角，外角 的三
等分線，且 ，
，在中， ，
分別是內角，外角 的三等分線，且
，， ，以此規律作下
去，若 ，則 ___度.
（第7題）
【點撥】設 ， ，
則 ， ，由三角
形的外角的性質，得 ，
， .
同理， ，
，，即 .
返回
二、填空題（每題5分，共20分）
8.若，，為的三邊長，若， 滿足
，且是整數，則 _________.
2，3，4
返回
9. 如圖所示是地球截面
圖，其中， 分別表示南回歸線
和北回歸線，表示赤道，點 表
示某市的位置.現已知地球南回歸線
的緯度是南緯 ，該市的緯度是北緯
，而冬至正午時，太陽光直射南回
歸線（光線的延長線經過地心 ），則該市冬至正午時，
太陽光線與地面水平線的夾角 的度數是______.
【點撥】如圖，設與交于點 ，
， ，
.
在中， ，
， .
， .
返回
（第10題）
10. 如圖，在 中，
， ，點在邊
上，若是直角三角形，則
的度數為___________.
或
忽略討論直角頂點而導致漏解.
【點撥】如圖，當 時，
；當 時，
.
故的度數為 或 .
返回
11.如圖，在中，點為中點，連結.點為 上
一點，連結交于點.若， ，則
____.
24
（第11題）
【點撥】如圖，連結 ，
， ，
.
點為 中點，
.
， .
設， .
， .
， ，
，解得 .
.
返回
三、解答題（共45分）
12.（14分）如圖所示，在正方形網格中，點，點，點 在
小正方形的頂點上.
（1）畫出中邊上的高，邊上的中線 ；
【解】如圖，線段 ，線段
即為所求.
（2）若的周長比 的周
長大45，則比 長____.
45
【點撥】是 的中線，
.
的周長比 的周長大
45，
.
.
（3）若每個小正方形的邊長均為1，則 的面積為___.
4
【點撥】，是
的中線， .
返回
13.（15分）[2024濟南期末] 如圖，在
中，是高，， 是角平分線，它們相
交于點， ， ，求
和 的度數.
【解】，是， 的平分線，
.
在中， ，
.
.
在中，是高， ，
，
，
.
是 的平分線，
，
.
返回
14.（16分）[2024海口月考]
（1）如圖①所示，在中，，分別是 的高
和角平分線，若 ， ，求 的度數；
【解】
，
，， .
是 的角平分線，
.
是 的高線，
.
.
.
（2）如圖②所示，已知平分，交邊于點 ，過點
作于點， ， .
①___________；（用含 的式子表示）
【點撥】 ， ，
.
②試判斷的度數是否為定值？若是，請直接寫出 的度
數；若不是，請說明理由.
的度數是定值， .
【點撥】平分 ，
.
， .
，
，
，
即 ，
.
返回(共18張PPT)
第8章 三角形
1.認識三角形
第1課時 認識三角形
1. 下列圖形中，符合三角形概念的是( )
C
A. B. C. D.
2. [2024聊城月考] 如圖，圖中被信封遮住的三角形是( )
D
A. 只能是銳角三角形
B. 只能是直角三角形
C. 只能是鈍角三角形
D. 以上都有可能
返回
3. 三角形按角分類可以分為( )
A
A. 銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形
B. 等腰三角形、等邊三角形、不等邊三角形
C. 直角三角形、等腰直角三角形
D. 以上答案都不正確
返回
4. 看圖填空.
（1）如圖，共有___個三角形，分別是
_______________________________；
4
，，，
（2） 的三個頂點分別是__________，三條邊分別是
_____________，三個角分別是___________________；
（3）中，頂點所對的邊是____，邊 所對的頂點是
___；
，，
，，
，，
（4）圖中 的內角是__________________，外角是
_____________________.
，，
，，
返回
5.在如圖所示的邊長為1的正方形網格中，每個小正方形的頂
點稱為格點，線段 的端點均在格點上，只用無刻度的直尺，
按下列要求以為邊畫 ，要求：
在圖①中畫一個直角三角形，在圖②中畫一個銳角三角形，
在圖③中畫一個鈍角三角形.（點 在格點上）
【解】如圖所示，即為符合條
件的 （答案不唯一）.
返回
6. 設表示直角三角形，表示等腰三角形， 表示等邊三
角形， 表示等腰直角三角形.下列四個圖中，能正確表示它
們之間關系的是( )
C
A. B. C. D.
返回
7.如圖，平面內有五個點，以其中任意三個點為頂點畫三角
形，最多可以畫____個三角形.
10
【點撥】如圖所示，以其中任意三個點為頂點畫三角形，最
多可以畫10個三角形.
返回
8.用若干根等長的小木棍搭建等邊三角形，搭建1個等邊三角
形最少需要3根小木棍，搭建2個等邊三角形最少需要5根小
木棍，搭建4個等邊三角形最少需要___根小木棍.
6
【點撥】如圖①搭建1個等邊三角形，要3根小木棍，
如圖②搭建2個等邊三角形，要5根小木棍，
如圖③搭建3個等邊三角形，要7根小木棍，
同法搭建4個等邊三角形的圖④，要9根小
木棍，
如按圖⑤擺成三棱錐（四面體）就可以得
到4個等邊三角形，要6根小木棍，
搭建4個等邊三角形最少需要6根小木棍.
返回
9.
（1）如圖①，圖中共有____個三角形；如圖②，若增加一
條線，則圖中共有____個三角形；
10
24
（2）如圖③，若增加到10條線，請你求出圖中三角形的個數.
【解】增加1條線，三角形的個數為
；
增加2條線，三角形的個數為 ；
增加3條線，三角形的個數為
;
…
增加10條線，三角形的個數為
.
返回(共29張PPT)
第8章 三角形
測素質 多邊形及其內角和與外角和
［時間：60分鐘 分值：100分］
一、選擇題（每題5分，共40分）
1. 下列說法正確的是( )
C
A. 由一些線段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形
B. 多邊形的兩邊所在直線組成的角是這個多邊形的內角或外角
C. 各內角都相等，各條邊都相等的多邊形是正多邊形
D. 連結多邊形的兩個頂點的線段，叫做多邊形的對角線
返回
2. 如果從某個多邊形的一個頂點出發的對角線共有6條，那
么該多邊形的內角和是( )
D
A. B. C. D.
3. [2024杭州期末] 已知一個多邊形的內角和為 ，則
這個多邊形的對角線的總條數為( )
C
A. 40 B. 30 C. 20 D. 5
返回
（第4題）
4. [2024西安期末] 如圖，將透明直尺疊放
在正五邊形徽章 上.若直尺的下沿
，且經過點，直尺的上沿 經過
點，則 的度數為( )
B
A. B. C. D.
（第4題）
【點撥】 五邊形 是正五邊形，
.
由圖形可得 將原五邊形分成兩個四邊形，
MN上方的四邊形的內角和為
.
，
.
返回
（第5題）
5. 如圖所示，將沿著折疊到 所在
平面內，點的對應點是，若 ，
則 ( )
B
A. B. C. D.
（第5題）
【點撥】由折疊的定義知：
，
， .
，
.
返回
（第6題）
6. 如圖，在五邊形 中，
，，， 是五邊形
的外角，則 的度數
為( )
A
A. B. C. D.
【點撥】如圖，延長， ，
，
.
根據多邊形的外角和定理可得
，
.
返回
7. [2024柳州模擬] 若一個正多邊形的一個內角與相鄰外角的
比是 ，則這個正多邊形的邊數為( )
C
A. 10 B. 12 C. 18 D. 8
【點撥】設這個正多邊形的一個外角度數為 ，則與這個外
角相鄰的內角為 ， ，解得 .
這個正多邊形的邊數為18.
返回
（第8題）
8. [2024寧波一模] 如圖，一束太陽
光線平行照射在放置于地面的正六
邊形上，若 ，則 的度數
為( )
D
A. B. C. D.
【點撥】如圖，延長交于點 ，
六邊形 是正六邊形，
.
又 ，
.
.
又， .
返回
二、填空題（每題4分，共20分）
9.[2024重慶] 如果一個多邊形的每一個外角都是 ，那么
這個多邊形的邊數為___.
返回
10.如圖， 的度數為______.
（第10題）
11.[2024武漢月考] 八邊形從一個頂點出發可以畫 條對角線，
將這個八邊形分成個三角形，則 ____.
11
返回
（第12題）
12.如圖，已知 ，正五邊
形的頂點，在射線 上，
頂點在射線上，則 的度數為
____.
（第12題）
【點撥】 正五邊形的每一個內角的度數為
，
.
，
，
.
.
返回
13.[2024榆林二模] 如圖是工人師傅用邊長均為 的一塊正六
邊形和一塊正方形地磚繞著點 進行的鋪設，若將一塊邊長
為的正多邊形地磚恰好能無空隙、不重疊地拼在 處，
則這塊正多邊形地磚的邊數是____.
12
【點撥】 題圖是一塊正六邊形和一塊正方形
地磚繞著點 進行的鋪設，
，
這塊正多邊形地磚的一個外角的度數
，
這塊正多邊形地磚的邊數是 .
返回
三、解答題（共40分）
14.（12分）在一個多邊形中，一個內角相鄰的外角與其他各
內角的和為 .
（1）如果這個多邊形是五邊形，請求出這個外角的度數；
【解】設這個外角的度數是 ，
由題意，得 ,
解得 ，
這個外角的度數為 .
（2）是否存在符合題意的其他多邊形？如果存在，請求出
邊數及這個外角的度數；如果不存在，請說明理由.
【解】存在.
設多邊形的邊數為，這個外角的度數是 ,
由題意，得 ，
整理，得 .
， ，
解得 .
為正整數，或 .
當時， ，
多邊形的邊數是6，這個外角的度數為 .
返回
15.（14分）[2024駐馬店期末] 如圖所示，在四邊形
中， ，平分交于點 ，連結
.
（1）若 ， ，求 的度數；
【解】 在四邊形 中，
，
.
， .
平分， .
在中， ， ，
.
（2）若，試說明 .
平分， .
， .
在中， .
由（1）得 ，
.
.
返回
16.（14分）[2024揚州月考] 連結多邊形
不相鄰的兩個頂點的線段，叫做多邊形
的對角線，如圖①，， 是五邊形
的對角線.思考下列問題：
（1）如圖②， 邊形
中，過頂點 可以畫
________條對角線，它們分別是
__________________________；過頂點
可以畫________條對角線，過頂點
可以畫________條對角線.
，， ，
（2）過頂點的對角線與過頂點 的對角線
有重復的嗎？過頂點的對角線與過頂點 的
對角線有重復的嗎？
【解】過頂點的對角線與過頂點 的對角線
沒有重復的，過頂點的對角線與過頂點 的對角線有重復
的（和 重復）.
（3）在此基礎上，你能發現 邊形的對角線條數的規律嗎？
邊形的對角線的條數為 .
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第8章 三角形
專題14 求不規則圖形的角度問題
類型1 內凹型
（第1題）
1. [2024沈陽二模] 如圖，在多邊形
中，若 ，則
的度數為
( )
C
A. B. C. D.
返回
（第2題）
2. [2024濟南月考] 如圖所示，
的度數是( )
B
A. B.
C. D.
【點撥】如圖，連結，設與交于點 ，
，
，
.
則
.
返回
3.如圖所示的多邊形中，，， 四個點在同一條
直線上，則該多邊形的內角和是多少度？
【解】如圖，連結 ，
， ，
這個多邊形的內角和為 .
返回
類型2 交叉型
4. [2024深圳期末] 如圖，
的值是
( )
B
A. B. C. D.
返回
類型3 五角星型
5.[2024蘇州期末]
【探究發現】 小明對幾何推理證明問題興趣濃厚，
他從中華人民共和國國旗中的五角星開始了探究，已
知國旗中五角星的五個角均相等，小明為了計算每個
角的度數畫出了圖①所示的五角星，每個角均相等，并利用
所學的知識很快得出五個角的度數，此度數為____；
【點撥】如圖①，
， ，
，
.
，
.
【拓展延伸】 如圖②，小明改變了這五
個角的度數，使它們均不相等，小明發
現，，，， 的和是一個定
值，請你猜想出結果并說明理由；
【解】猜想：
.理由
如下：
如圖②， ，
， ，
.
【類比遷移】 如圖③，小明將點落在
上，點落在上，那么， ，
，， 存在怎樣的數量關系？請
直接寫出結果.
.
【點撥】 ，
， ，
，
即 .
返回(共34張PPT)
第8章 三角形
2.三角形的內角和與外角和
第2課時 三角形的外角及外角和
1. 如圖，已知是的 邊延長線上一
點，且滿足 ， ，則 的度數為
( )
B
（第1題）
A. B. C. D.
返回
（第2題）
2. 如圖，，為 的兩個
外角， ， ，
則 的鄰補角是( )
C
A. B. C. D.
返回
3. 如圖，，， 的大小關系是( )
B
（第3題）
A. B.
C. D.
無法確定三個角存在的外角與內角的關系導致判斷
錯誤.
返回
（第4題）
4. 一天，李明和爸爸一起到建筑工地去，
看見了一個如圖所示的人字架，爸爸說：
“李明，我考考你，若這個人字架中的
，你能求出比 大多少
嗎？”請你幫李明計算一下，正確的答案
是( )
C
A. B. C. D.
返回
（第5題）
5. [2024北京朝陽區期中] 一副三角板按
如圖所示擺放，其中，圖中 的
度數為( )
C
A. B. C. D.
返回
（第6題）
6.[2024柳州期中] 如圖，在 中，
，分別是，上的點，點在
的延長線上，， ，
，則 ______.
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7.如圖，已知 ， ，且
.若 ，求 的度數.
【解】延長交于點 ，如圖.
， ，
.
.
，是 的外角，
.
返回
（第8題）
8. [2024鄭州期末] 如圖，在
中，，為邊 上的動點
（不與點，重合），點在邊 上，
始終保持.當 的度
數每增加 時， 的度數( )
C
A. 增加 B. 減小 C. 增加 D. 減小
（第8題）
【點撥】
，
， ，
.
又， .
當的度數每增加 時，
的度數增加 .
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（第9題）
9. 如圖，已知 ，
，是上的一點，連結 ，
將沿所在直線折疊，點 落在
點處，連結,.若 ，
，則
( )
D
A. B. C. D.
【點撥】如圖，延長交 于點
， .由折疊的性
質可知 .
. ,
.又, ,
.
.
，
.
. .
. .
故選D.
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（第10題）
10. 如圖是可調躺椅示意圖，
與的交點為， ，
， .為了舒適，需調
整大小，使 ，且
，，保持不變，則圖中 應
調整為____ .
50
【點撥】如圖，延長交于點 ，
， ，
.
.
， ，
.
又 ， ， ，
即應調整為 .
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（第11題）
11.如圖，是中 的平分線，
是的外角 的平分線，如果
， ，則
____.
（第11題）
【點撥】是中 的平分線，
是的外角 的平分線，
， ，
，
.
，
.
.
又 ，
.
.
（第11題）
返回
12. 如圖，在
中， ，的外角
的平分線交的延長線于點， 為
延長線上的一點，為 延長線上的
一點，連結 .
（1）若 ， ，試說明： ；
【解】 在中， ,
,是 的外角，
.
又是 的平分線，
.
是的外角， .
又 , , .
（2）若，探究， 有怎樣的數量關系，并說明理由.
.理由如下：
, .
,
.
，
.
，
整理，得 .
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13. 綜合與實踐：
（1）如圖①，在中，與 的平
分線交于點，若 ，則 ______;
【點撥】，分別平分和 ，
， .
，
.
，
.
（2）如圖②，的內角 的平分線
與的外角的平分線交于點 .其中
，求的度數（用含 的式子表
示）;
是的平分線，是 的平分線，
， .
是的外角，是 的
外角，
， .
，即 ，
.
（3）如圖③，平分的外角，平分
的外角.試確定與 的數量關系，并說明理由.
.
理由如下：與是 的外角，
， .
又，分別是與 的平分線，
，
，
.
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第8章 三角形
1.認識三角形
第2課時 三角形的中線、角平分線
和高線
1. 如圖，在中，利用三角板能表示 邊上的
高度為( )
B
A. B. C. D.
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（第2題）
2. [2024深圳期末] 如圖，在 中，
，，是邊 上兩點，且
，平分 ，則下列說法
中不正確的是( )
C
A. 是的中線 B. 是 的角平分線
C. D. 是 的高
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3.如圖，，平分，平分 ，則
____ .
90
（第3題）
返回
4.如圖所示，在中，已知，，分別是， ，
的中點，且的面積為，則 的面積是
____ .
16
（第4題）
（第4題）
【點撥】是 的中點，
，
是的中點，
.
又的面積為 ，
.又是 的中點，
.
（第4題）
與三角形的面積計算有關的一些技巧：
（1）等高的三角形面積的比等于對應底邊的比；（2）三角
形的中線把三角形分成兩個面積相等的三角形.
（第4題）
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5.如圖，是的中線，，若 的周長
比的周長大，則的長為___ .
6
（第5題）
返回
6.如圖，已知平分，，且 .
（1）若 ，則 的度數為____；
（2）當，，時，求點到直線 的距離.
【解】如圖，過點作于點 ，
， .
，
，
故點到直線的距離為 .
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（第7題）
7. [2024北京東城區期中] 如圖，點 是
長方形內任意一點，連結 ，
，，，把長方形 分成4個
三角形，，， ，
的面積分別記為，，， .
已知長方形的面積，則一定可以求出的
值是( )
D
A. B.
C. D.
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8.如圖，在中，是邊上的中線，點在線段 上，
且，線段與線段相交于點，若 的面
積為3，則四邊形 的面積為__.
（第8題）
【點撥】如圖，連結 .
， 的面積為3，
， ，
.
設，則 ，
， .
設，則 ，
是 邊上的中線，
，，即 ，
，
， ，
， .
（第8題）
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9.[2024長沙期末] 在中，是的中點， ，
.用剪刀從點入手進行裁剪，若沿 剪成兩個三角形，
它們周長的差為___；若點在上，沿 剪開得到兩部分
周長差為2，則 ______.
4
1或3
【點撥】①如圖①，
是 的中點，
.又， ，
的周長 的周長
.
②如圖②，設，則 ，
當四邊形的周長的周長 時，
即 ，整理，得
，
，解得 ；
當的周長-四邊形的周長 時，
即 ，
整理，得 ，
，解得.綜上， 或3.
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10.如圖，在中，與是 的高.
（1）若， ，
，求 的長.
【解】 ,
.
（2）若,,的高與 的比是多少？
，
， .
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11.如圖，中， ,, ,
.若動點從點開始，按 的路徑
運動，且速度為每秒，設運動的時間為 .
（1）當___時，把 的周長分成相等的兩部分.
6
【點撥】在中， ，
，， 的周長為
， 當把 的周
長分成相等的兩部分時，點在 上，此時
. 運動速度為
每秒，，解得.故當為6時，把
的周長分成相等的兩部分.
（2）當____時，把 的面積分成
相等的兩部分.
6.5
當點在中點時，把
的面積分成相等的兩部分，此時
，， ，
解得.故當為6.5時，把 的面積分成相等的兩
部分.
（3）當為何值時，的面積為 ？
【解】分兩種情況：當點在 上時，
，
.
，， ，解得
；
當點在上時， ，
，
， 點為 的中點，
，解得 .
綜上所述，當為2或6.5時， 的面積為
.
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12.[2024煙臺模擬] 直線，點，分別在直線 ，
上.
（1）如圖①，，， 的數量關系為
______________________________；
【點撥】如圖①，過點作 ，
.
，
，
.
（2）如圖②，直線與直線，分別交于點， ，連
結，的平分線交于點 .
①當，時，請判斷與 的數量關
系，并說明理由；
②如圖③，當保持 并向左平移，在平移的過程中
猜想，與 的數量關系，請直接寫出結論.
.理由如下：
， .
， .
平分， .
，， .
.
或 .
【點撥】由題意知分點在的右側和點在 的左側，
兩種情況：
如圖②，當點在 的右側時，
，
，
.
平分 ，
.
， .
，
.
；
如圖③，當點在 的左側時，
，
，
.
平分， .
， .
，
.
綜上，，與 的數量關系為
或 .
返回(共33張PPT)
第8章 三角形
專題13 三角形中角的計算的八大經
典模型
模型1 雙垂直模型
1.
（1）【探究】如圖①，在中， ，
于點，若 ，則 的度數是____度；
30
【點撥】在中， ， ，
.， .
.
（2）【拓展】如圖②， ，射線在 的
內部，點，分別在，上，分別過點， 作
，，垂足分別為，，若 ，
求 的度數；
【解】， .
， .
， .
， .
（3）【應用】如圖③，點，分別在的邊，
上，射線在的內部，點，在射線 上，連結
，，若 ，則
_____度.
120
【點撥】是 的外角，
.
同理， ，
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模型2 A字型
2.如圖，是的角平分線，，交于點 ，
， .則 的度數為______.
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模型3 8字型
3.[2024內江期末] 將內角互為對頂角的兩
個三角形稱為“對頂三角形”.例如，在圖
①中，的內角與 的內
角為對頂角，則與 為 “對頂三角形”，根
據三角形的內角和是 ，“對頂三角形”有如下性質：
.
【性質理解】
（1）如圖①，在“對頂三角形”與 中，
，求 的度數；
【解】 ，
，
.
和 是“對頂三角形”，
.
【性質應用】
（2）如圖②，在中，，分別平分和 ，
且，相交于點.若 ，比大 ，用
含 的代數式表示 的度數.
【解】在中， ，
.
，分別平分 和
，
.
與 是“對頂三角形”，
.
又 ，
. .
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模型4 飛鏢型（或燕尾型）
4. 在社會實踐手工課上，小茗同學設計了一
個形狀如圖所示的零件，如果 ，
， ， ，
，那么 的度數是( )
B
A. B. C. D.
【點撥】如圖，連結 ，此時圖形轉化為兩個飛
鏢模型.由飛鏢模型的結論，得
,
,
.
.
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模型5 雙內角平分線模型
（第5題）
5. [2024遂寧期末] 如圖，， 都是
的角平分線，且 ，則
( )
D
A. B. C. D.
（第5題）
【點撥】，都是 的角平分線，
.
， .
返回
模型6 內外角平分線模型
（第6題）
6. 如圖， ，點， 分別
在，上運動（不與點 重合），
平分， 的反向延長線與
的平分線交于點，在， 的運
動過程中， 的度數( )
D
A. 變大 B. 變小 C. 等于 D. 等于
返回
； .其中正確的結論有
( )
模型7 雙外角平分線模型
（第7題）
7. [2024黃石月考] 如圖，，，，分別平分
的內角，外角，外角.以下結論：；
； ；
C
A. 2個 B. 3個 C. 4個 D. 5個
返回
模型8 角平分線+高線模型
（第8題）
8.[2024寧波期末] 如圖，在 中，
于點，平分，交 于
點，若 ， ，
則的度數為_________.（用含 ，
的式子表示）
（第8題）
【點撥】 ， ，
.
平分交于點 ，
.
.
，
.
返回
9.在中，平分交于點，點是直線 上
一點，過點作于點 .
（1）如圖①，當 ， ，且點 與點
重合時，____ ；
40
【點撥】 ，
，
.
平分， .
， .
.
（2）如圖②，當點在 的延長線上時，試說明：
；
【解】如圖①，作射線 ，
則， ，
.
， .
，
即 .
平分， .
，
.
.
，
即 .
（3）如圖③，當點在線段 上（不含端點）時.
①補全圖形；
【解】補全圖形，如圖②.
②直接寫出，， 之間的數量關系：
_ ______________________________.
【點撥】平分 ，
.
，
.
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