資源簡介

(共8張PPT)
第9章 軸對稱、平移與旋轉
項目學習3 體育比賽計分
項目主 題 體育比賽勝負的角逐問題
研究目 標 1.利用圖書、計算機等查閱相關資料，了解不同
的體育比賽的計分規則.
2.體會數學知識在體育比賽的計分規則中的應
用，利用跨學科學習拓寬視野，更好地了解和參
與運動項目.
研究過程
模型探究
足球、籃球、排球、乒乓球、羽毛球等球類運動屬于經典的
對抗類比賽，即參與雙方進行一對一比賽，角逐勝負.以足球
比賽為例，小組賽與淘汰賽是其常見的兩種形式，其中“小組
賽如何出線”是教練、隊員、球迷們分外關心的問題，請從數
學的視角分析其中的獲勝策略.
1.規則研究：足球比賽的記分規則為：勝一場得3分，平一場
得1分，輸一場得0分.
2.獲勝分析：某足球隊在14場比賽中負了5場，共得19分，若
設該隊勝了 場，則勝場得分____分，平場得分___________
________分.（用含 的代數式表示）
3.模型生成：計算該隊勝了多少場？
【解】根據等量關系列方程，得 ，解
得 ，即該隊勝了5場.
解決問題
4.一支足球隊在某個賽季中共需比賽14場，現已比賽了8場，
輸了1場，共得17分.請問：
（1）前8場比賽中，這支球隊共勝了多少場？
【解】設這支球隊勝了場，則平了 場，
根據題意，得 ，
解得 ，即這支球隊共勝了5場.
（2）這支球隊打滿14場比賽，最高能得多少分？
所剩6場比賽均勝的話，最高能拿 （分）.
模型應用
（3）通過對比賽情況的分析，這支球隊打滿14場比賽，得分
不低于29分，就可以達到預期的目標.請你分析一下，在后面
的6場比賽中，這支球隊至少要勝幾場，才能達到預期目的.
【解】由題意知，后面的6場比賽中，只要得分不低于12分
即可，所以勝4場，就能達到預期目標；而勝三場、平三場，
即 （分），正好達到預期目標，故至少
要勝3場.
5.如果一支球隊在14場比賽中得分不少于20分，那么該隊至
少勝了幾場？
【解】設該隊勝、平、輸的場數分別為，， ，
則 ，①
，即 ，②
把②代入①，得 .
當時， 取得最小值，為3.
故該隊至少勝了3場.
研究拓展(共30張PPT)
第9章 軸對稱、平移與旋轉
9.2 平移
2.平移的特征
1
D
C
C
B
14
答 案 呈 現
溫馨提示：點擊 進入講評
2
3
4
5
6
4
7
8
9
10
11
404
12
13
（第1題）
1. 如圖，將 平移
得到 ，下列結論中不一定成立
的是( )
D
A. B.
C. D.
返回
（第2題）
2. 如圖，若圖形 經過平移與下方圖形
（陰影部分）拼成一個長方形，則正確的平
移方式是( )
C
A. 向右平移4格，再向下平移4格
B. 向右平移5格，再向下平移5格
C. 向右平移4格，再向下平移5格
D. 向右平移5格，再向下平移3格
返回
3. [2024北京朝陽區期末] 下列四個圖案中，可用平移來分析
整個圖案的形成過程的是( )
C
A. B. C. D.
返回
（第4題）
4. 如圖，在三角形 中，
，將三角形沿 方向
平移得到三角形，其中 ，
， ，則陰影部分的面積
是( )
B
A. 15 B. 18 C. 21 D. 不確定
返回
5.利用平移的知識，可求得所給圖形的周長為____.
14
（第5題）
返回
6. 如圖，在邊長為1的正方形網格中，
的三個頂點都在網格的頂點上，按如下要求作圖.
（1）請在圖甲中，將平移至，使點和點 對
應，點和點對應，點和點 對應.（要求：畫出圖形，標
上字母）
【解】如圖甲.
（2）請在圖乙中找一個格點，連結，使 且
.（要求：畫出圖形，標上字母）
【解】如圖乙.
返回
7.如圖，將沿直線向右平移得到，連結 ，
若的周長為13，四邊形 的周長為21，則平移的
距離為___.
4
（第7題）
（第7題）
【點撥】 的周長為13，
四邊形 的
周長為21， ，
.
由平移可知， ，
，即
， ，
，即平移的距離為4.
返回
（第8題）
8.[2024湖州期末] 如圖，四邊形
是由四邊形 平移得到的，連結
，，若，，則
長度的取值范圍是_____________.
【點撥】連結 .
四邊形是由四邊形平移得到的， ，
.又 ，
，即 .
返回
9.如圖所示，將三張邊長分別為，， 的正方形紙
片按圖甲、乙兩種方式放置在相同的長方形 內
（圖甲、圖乙中三張正方形紙片均有部分重疊），未被這三
張正方形紙片覆蓋的部分用陰影表示，圖甲中陰影部分的周
長為，圖乙中陰影部分的周長為，則 ________.
【點撥】在長方形中，， ，
，
，
.
返回
10. 如圖，長方形
中， ，第1次平移長方形
沿 的方向向右平移5個單位
404
【點撥】易得，解得 .
長度，得到長方形，第2次平移長方形 沿
的方向向右平移5個單位長度，得到長方形 ，
，第次平移長方形沿 的方
向向右平移5個單位長度，得到長方形 ，若
的長度為，則 的值為_____.
返回
11. 如圖，將含 角
的直角三角板沿著射線 方向平移，
得到三角形，連結 ，在平移過
程中，若與 之間存在兩倍關
系，則 ________________.
或 或
【點撥】設 .
，
.
Ⅰ.如圖①，當點在線段 上時，
①當 時，
即 .
，
，解得 ；
②當 時，
，解得 ；
Ⅱ.如圖②，當點在線段 延長線上時，
③當 時，
即 .
，
，解得 ；
④當 時，
，解得 ，不合題意舍去.
綜上所述,等于 或 或 .
返回
12.[2024溫州期中] 如圖，中， ，
，在直線的下方，且 ，
.
（1）判斷與 的位置關系，并說明理由；
【解】 ，理由：
， ，
.
， .
，
，
， .
（2）沿直線平移線段至，連結，若 直線
，求 的度數.
沿直線平移線段至 ，
， ，
.
， 直線 ，
， ，
，
.
返回
13.[2024重慶萬州區期末] 如圖①，將線段平移至 ，點
的對應點為點，點的對應點為點，連結, .
（1）填空：與的位置關系為_________，與 的數
量關系為_________；
（2）點，都在直線上，， 平分
交直線于點 .
①如圖②，若，為射線上的點， ，求
的度數；
【解】, .
,平分 ，
， .
, ,
.
②如圖③，若，為射線上的點， ，求
的度數.（用含 的式子表示）.
, ,
平分， ，
,
,
, .
返回(共14張PPT)
第9章 軸對稱、平移與旋轉
9.1 軸對稱
4.設計軸對稱圖案
1. 下面是同學們利用兩條線段，兩個圓，兩個等腰三角形設
計的圖案，不是軸對稱圖形的是( )
D
A. B. C. D.
返回
2. [2024北京朝陽區模擬] 把一張正方形紙片按如圖方式對折
兩次后，再挖去一個小圓孔，那么展開后的圖形應為( )
C
A. B.
C. D.
返回
3. 如圖，已知要在一塊長方形的空地上修建一個花壇，要求
花壇圖案（陰影部分）為軸對稱圖形，圖中的設計符合要求
的有( )
A
A. 4個 B. 3個 C. 2個 D. 1個
返回
4.如圖，圖案甲是由左面的五種基本圖形中的兩種經過變換
拼接而成的，這兩種基本圖形是______.
②⑤
返回
5.下圖是由5個全等的正方形組成的，請你移動其中一個正方
形，使它變成軸對稱圖形.（在網格圖中畫出4種形狀不同的
圖形，涂上陰影）
【解】如圖所示.（答案不唯一）
返回
6.如圖，在的方格紙中，點，， 均在格點上.
（1）在圖中找出一格點，使，，， 所組成的四邊形
是軸對稱圖形，畫出此四邊形（畫出一個即可）；
【解】如圖所示，四邊形 即為所求（答案不唯一）.
（2）求出（1）中你所畫四邊形的面積.
【解】（1）中四邊形的面積 .
返回
7.在我們認識的多邊形中，有很多軸對稱圖形，有些多邊形，
邊數不同對稱軸的條數也不同；有些多邊形，邊數相同但卻
有不同數目的對稱軸.回答下列問題：
（1）非等邊的等腰三角形有___條對稱軸，非正方形的長方
形有___條對稱軸，等邊三角形有___條對稱軸；
1
2
3
（2）觀察上面一組凸多邊形（實線畫出），它們的共同點
是只有1條對稱軸，其中圖②和圖③都可以看作由圖①修改
得到的，仿照類似的修改方式，請你在圖④和圖⑤中，分別
修改圖②和圖③，各得到一個只有1條對稱軸的凸五邊形，
并用實線畫出所得的凸五邊形；（各畫出一個即可）
【解】如圖①所示.
（答案不唯一）
（3）小明希望構造出一個恰好有2條對稱軸的凸六邊形，于
是他選擇修改長方形，圖⑥是他沒有完成的圖形，請用實線
幫他補全圖形；
【解】如圖②所示.
（4）請你畫一個恰好有3條對稱軸的凸六邊形，并用虛線標
出對稱軸.
【解】如圖③所示（答案不唯一）.
返回(共32張PPT)
第9章 軸對稱、平移與旋轉
測素質 中心對稱、旋轉與全等
［時間：60分鐘 分值：100分］
一、選擇題（每題6分，共36分）
1. [2024遼寧] 紋樣是我國古代藝術中的瑰寶.下列四幅紋樣圖形既是軸對稱圖
形又是中心對稱圖形的是( )
B
A. B.
C. D.
返回
（第2題）
2. 在如圖所示的正方形網格中，四邊形
繞某一點旋轉某一角度得到四邊形
（所有頂點都是網格線交點），
在網格線交點，，， 中，是旋轉中
心的是( )
A
A. 點 B. 點 C. 點 D. 點
【點撥】如圖，連結，，作的垂直平分線，作
的垂直平分線，兩線交于點，所以旋轉中心是點 .
返回
（第3題）
3. 圖甲和圖乙中所有的小正方形都全等，
將圖甲的正方形放在圖乙中①②③④的
某一位置，使它與原來7個小正方形組
成的圖形是中心對稱圖形，則這個位置
是( )
C
A. ① B. ② C. ③ D. ④
返回
（第4題）
4. [2024海口期末] 如圖，在 中，
于點，是 上一點，若
，， ，
則 的周長為( )
C
A. 22 B. 23 C. 24 D. 26
返回
（第5題）
5. [2024河北三模] 如圖，在由正方形
組成的網格圖中有2條線段，如果再畫
1條線段，使上述3條線段組成一個中
心對稱圖形，最多能畫出的線段的條
數為( )
C
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
返回
6. 如圖是由20個全等的邊長
為1的正方形拼成的圖形，現
有兩種不同的方式將它沿著虛
線剪開，甲將它分成三塊，乙
將它分成四塊，各自要拼一個
D
A. 甲、乙都不可以 B. 甲可以，乙不可以
C. 甲不可以，乙可以 D. 甲、乙都可以
面積是20的大正方形，則 ( )
【點撥】如圖所示.
則甲、乙都可以拼一個面積是20的大正方形.
返回
二、填空題（每題5分，共20分）
7.[2024鄭州期中] 下列圖形中，是中心對稱圖形的有______.
②④
返回
8.[2024濱州] 一副三角板如圖①擺放，把三角板 繞公共頂
點順時針旋轉，如圖②，若，的大小為____ .
75
返回
9.[2024重慶沙坪壩區期末] 如圖，已知 ，若
，，，則 的周長為____.
12
（第9題）
【點撥】， .
的周長 .
返回
（第10題）
10.如圖，有一個四邊形， ，
，，分別是，，，關于 ，
，，的對稱點，設 表示四邊形
的面積，表示四邊形 的
面積，則 的值為___.
5
（第10題）
【點撥】連結，，， 關
于點 對稱，
.同理
，
.
同理 ,
, .
.
（第10題）
返回
三、解答題（44分）
11.（12分）[2024長春綠園區期末] 如圖，圖①、②、③均為
的正方形網格，每個小正方形的頂點稱為格點，
的頂點和點 均在格點上，只用無刻度的直尺，在給定的網
格中，按下列要求作圖，并保留作圖痕跡.
（1）在圖①中，將平移，使點與點 重合，畫出
.
【解】如圖①， 即為所求.
（2）在圖②中，畫出，使與 關于
點 成中心對稱.
【解】如圖②， 即為所求.
（3）在圖③中，畫出將繞點順時針旋轉 得到的
.
【解】如圖③， 即為所求.
返回
12.（14分）如圖，，點 對應點
，點對應點，點，，， 在一條直線上.
（1）試說明： ；
【解】， .
，即 .
（2）若，，求 邊的
取值范圍.
， ，
.
在 中，
，
，即 .
返回
13.（18分） 如圖①，將一副三角板擺放在
一起，其中 ， ，
.如圖②，固定三角板 ，將三角板
繞點 按順時針方向旋轉，記旋轉角
.
操作發現：
（1）在旋轉過程中，當 為____度時，；當 為
_____度時， ；
15
105
【點撥】如圖①.
， .
， ，即 .
如圖②，記與的交點為 ，
， .
.
，即.
（2）當三角板的一邊與三角板 的某一邊平行
（不共線）時，直接寫出旋轉角 所有可能的度數；
【解】旋轉角 所有可能的度數是 ， ， ，
， .
【點撥】①當時，由（1）得 ；
②當時，易知 ；
③當時，如圖③， ；
④當 時，如圖④，
；
⑤當時， ，
， ，即 .
綜上所述，旋轉角 所有可能的度數是 ， ，
， ， .
拓展應用：
（3）當 時，連結 ，利用圖③探究
的大小變化情況，并說明理由.
【解】當 時， 的大小
保持不變. 理由如下：
如圖⑥，設分別交，于點， .
在中， .
， ，
.
， ，
，大小保持不變.
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第9章 軸對稱、平移與旋轉
9.2 平移
1.圖形的平移
1. 下列生活現象是數學中的平移的是( )
B
A. 彩旗隨風飄揚 B. 電梯升降
C. 鐘表指針轉動 D. 車輪的轉動
返回
2. 2024年巴黎奧運會的會徽標志如圖所示，平移這個標志能
得到的圖形是( )
C
（第2題）
A. B. C. D.
返回
（第3題）
3. 如圖所示， 經
過平移之后得到 ，那么：
（1）點 的對應點是點___；
（2）點 的對應點是點___；
（3）線段 的對應線段是線段____；
（4）線段 的對應線段是線段____；
（5） 的對應角是_______；
（第3題）
（6） 的對應角是_______；
（7）線段_____________的長可以表示
平移的距離.
，，
返回
（第4題）
4. 用10根相同的小棒組成
如圖①所示的圖案，請平移3根小棒
變成如圖②所示的圖案，平移的方
式有( )
B
A. 1種 B. 2種 C. 3種 D. 4種
【點撥】如圖，有兩種平移方式：②④⑥或①⑧⑩.故選B.
易因對線段的平移考慮不周導致錯誤.
（第4題）
返回
（第5題）
5. [2024北京匯文中學期中] 如圖是
的正方形網格，如果將圖中任意一條線段
沿網格線的水平或豎直方向平移1格稱為“1
步”，那么通過平移使圖中的3條線段首尾
相接組成一個三角形，最少需要( )
B
A. 4步 B. 5步 C. 6步 D. 7步
【點撥】如圖，中間的線段向左平移1格，上邊的線段向右
平移2格，最下邊的線段向上平移2格，按此方式平移所需步
數最少，為5步.故選B.
返回
6.如圖，12根火柴棒拼成一個“井”字形，請
你想一想，能否只平行移動其中的4根火柴
棒，使原圖形變成三個相同的正方形；請
你再想一想，能否只平行移動其中的4根火
柴棒，使原圖形變成四個相同的正方形.對
能移動的請作出圖形.（同一根火柴棒只能移動一次，且沒有
火柴棒剩余）
【解】如圖①，平移4根變成三個相同的正方形；
如圖②，平移4根變成四個相同的正方形.
返回
7.如圖，在方格紙中平移三角形 ，
使點移到點，再將點由點 移到
點 ，分別畫出兩次平移后的三角形.
如果直接平移三角形，使點 移到
點 ，它和我們前面得到的三角形位
置相同嗎？
【解】兩次平移后的三角形如圖所示，
如果直接平移三角形，使點 移到點
，所得的三角形和前面得到的三角形
的位置相同.
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第9章 軸對稱、平移與旋轉
專題18 圖形變換的四種作圖
1
答 案 呈 現
溫馨提示：點擊 進入講評
2
3
4
5
題型1 平移作圖
1.如圖，將平移，可以得到，點 的對應點為點
，請畫出點的對應點、點的對應點 的位置，并作出
.
【解】如圖.
（第1題）
返回
題型2 旋轉作圖
2.如圖，將長方形繞點 順時針旋轉得到長方形
，此時點恰好落在邊 上.畫出旋轉后的圖形.
【解】如圖所示.
（第2題）
返回
3.如圖，在 的正方形網格中
（每個小正方形的邊長均為1）有一
個 ，其頂點均在小正方形頂點
上，請按要求畫出圖形.
（1）將繞點順時針旋轉 得到（點， 的
對應點分別為，），畫出 ；
【解】如圖， 即為所作.
（第3題）
（2）在正方形網格的格點上找一點，連結，， ，
使得的面積等于 的面積.（畫出一種情況即可）
【解】如圖.（答案不唯一）
（第3題）
返回
題型3 軸對稱作圖
4.如圖，網格中的與 為軸對稱圖形.
（1）利用網格線作出與的對稱軸 ；
【解】如圖，直線 即為所求.
（第4題）
（2）結合所畫圖形，在直線上畫出點，使 的值最小.
【解】如圖.
（第4題）
返回
題型4 中心對稱作圖
5.如圖，在邊長為1的小正方形組成的網格
中，給出了格點三角形 （頂點是網格
線的交點）和格點 .
（1）平移，使得點與點 重合，畫出平移后的
；
【解】如圖， 即為所求.
（2）畫出關于點成中心對稱的 ；
【解】如圖， 即為所求.
（3）判斷與 是否成中心對稱，如果是，在圖
中標出對稱中心 .
與成中心對稱，如圖，對稱中心 即為
所求.
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第9章 軸對稱、平移與旋轉
9.3 旋轉
2.旋轉的特征
1. 下列關于圖形旋轉的說法中，錯誤的是( )
C
A. 圖形上各點旋轉的角度相同
B. 對應點到旋轉中心的距離相等
C. 由旋轉得到的圖形也一定可以由平移得到
D. 旋轉不改變圖形的大小、形狀
返回
2.如圖，教室地面有個傾斜的畚箕，箕面 與水平地面的夾
角為 ，小明將它扶起（將畚箕繞點 順時針旋轉）
后平放在地面上，箕面繞點 旋轉的度數為______.
（第2題）
返回
3. 如圖，把繞點順時針旋轉 得
到，點，的對應點分別為點，，交 邊
于點.若 ，則 的度數為____.
（第3題）
返回
4.如圖，將 逆時針旋轉一定角度后
得到，點為 的中點.
（1）若 ，則旋轉中心為點
_________，旋轉角度為______；
【點撥】根據題意，得點 為旋轉中心.由
旋轉得，
.
. 旋轉角度為 .
（2）若，求 的長.
，且點為的中點， .
由旋轉得 .
返回
5.如圖， 的頂點均在正方形網格的格點上.
（1）畫出關于直線的對稱圖形 ；
【解】如圖， 即為所求.
（2）畫出 向左平移3格，再向下平移4格后得到的
；
【解】如圖， 即為所求.
（3）畫出將繞點逆時針旋轉 后得到的 .
【解】如圖， 即為所求.
返回
（第6題）
6. [2024天津] 如圖， 中，
，將繞點順時針旋轉
得到，點，的對應點分別為， ，
延長交于點 ，下列結論一定正確的
是( )
D
A. B.
C. D.
【點撥】設與相交于點 ，如圖所示.
將繞點順時針旋轉 得到 ，
， .
， 在 中，
.
，故D選項符合題意；
設 ，則 .
，
.
.
不一定等于 ，
不一定等于 .
不一定成立，故B選項不符合題意；
， ， 不一定等于 ，
不一定成立，故A選項不符合題意；
將繞點順時針旋轉 得到 ，
，
，故C選項不符合題意.
（第6題）
返回
（第7題）
7. 兩塊不同的三角板按如
圖方式擺放，邊重合， ，
將三角板繞著點 按順時針方向以每秒
的速度旋轉 后停止.在此旋轉過程
中，當旋轉時間為__________秒時，三角
或或
板有一條邊與三角板 的一條邊恰好平行.
返回
8. 如圖，已知
，點繞點 順時
針旋轉后的對應點 落在射線
157.5
168.75
上，點繞點順時針旋轉后的對應點落在射線 上，
點繞點順時針旋轉后的對應點落在射線上， ，
連結，，， ，依此往下作，則
______ ，_______ ， _ ___________
（用含的代數式表示， 為大于1的正整數）.
【點撥】 點繞點 順時針旋
轉后的對應點落在射線
上， 是等
腰三角形.又 ，
.
點繞點順時針旋轉后的對應點落在射線 上，
是等腰三角形，
.
.
點繞點 順時針旋轉后的對
應點落在射線 上，
是等腰
三角形，
.
.
，由此發現 ，
.
返回
9.如圖，正方形中，順時針旋轉后與 重合.
（1）旋轉中心是點___，旋轉了____ ；
90
（2）若，，求四邊形 的面積.
【解】繞點順時針旋轉 后
與 重合，
， . 設
.由題意得
，即，解得 ，即
, 四邊形的面積 .
返回
10.[2024長春綠園區期末] 如圖，已知
是繞點 順時針旋轉
后所得的圖形，點
恰好在上， .
（1）求 的度數；
【解】 ， .
是繞點 順時針旋轉后所得的圖形，
.
（2）試說明： .
【解】設與交于點，則 .
由旋轉，得 ，
， ，即
.
又, .
返回
11.【動手操作】將一副三角板如圖①擺
放， ， ，
，點在上，點在 上，
且平分，現將三角板 繞點
以每秒 的速度順時針旋轉
請完成下列各題：
（當點落在射線上時停止旋轉），在旋轉過程中， 與
的交點記為，設旋轉時間為 秒.
（1）當___時， ；
當____時， ；
3
21
【點撥】如圖①，當 時，
.
平分， ，
.
.
；
如圖②，當 時，
，
.
， . .
（2）如圖②，若有兩個內角相等，求 的值；
【解】①易知 .當
時， ，
；
②當時， ，
.
；
③當 時，
， .
綜上所述，當為6或15或24時， 有兩個內角相等.
【說明結論】
（3）如圖③，當邊與邊， 分別交
于點，時，連結，設 ，
， ，試說明：
為定值.
是的一個外角， 是
的一個外角，
，
.
又 ，
，
.
. .
是定值.
返回(共28張PPT)
第9章 軸對稱、平移與旋轉
9.1 軸對稱
2.軸對稱的再認識
1. 下列說法正確的是( )
D
A. 直角三角形一定不是軸對稱圖形
B. 角是軸對稱圖形，角平分線是它的對稱軸
C. 線段是軸對稱圖形，它的對稱軸是過該線段中點的任意一
條直線
D. 等邊三角形是軸對稱圖形，它有三條對稱軸
返回
（第2題）
2. [2024貴陽期末] 如圖，已知線段 ，
分別以點和點為圓心，以大于 的長
為半徑作弧，兩弧相交于點和點 ，連
結，，，， ，則下列結論
不一定正確的是( )
D
A. 平分 B. 平分
C. D.
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（第3題）
3. 如圖，由5個“ ”和3個“ ”組成的圖形
關于某條直線對稱，該直線是( )
C
A. B. C. D.
返回
4. 如圖所示，畫出它們各自的對稱軸.
【解】畫對稱軸如圖.
返回
5.圖①、圖②、圖③均是 的正方形網格，每個小正方形
的邊長均為1，每個小正方形的頂點稱為格點.點，， 均
在格點上，只用無刻度的直尺，分別在給定的網格中按下列
要求作圖，保留作圖痕跡，不寫作法.
（1）在圖①中連結，，并作出的平分線 ；
【解】如圖①所示.
（2）在圖②、圖③中過點作一條直線，使點，到直線
的距離相等，圖②和圖③中的直線 的位置不同.
【解】如圖②、圖③.
返回
6. [2024煙臺期末] 如圖，在
中，，點在 的延長線上，
觀察圖中尺規作圖的痕跡，則下列結
論正確的是( )
A
A. B. 與 是同旁內角
C. D.
返回
（第7題）
7. 如圖，在中， ，
，，垂直平分，點
為直線上的任一點，則 周長的最
小值是( )
B
A. 8.5 B. 9 C. 12 D. 12.5
【點撥】設交于點，連結 .
垂直平分， 由軸對稱的性質知，
.
的周長為
，的周長的最小值為 .
（第7題）
返回
（第8題）
8.[2024深圳模擬] 如圖，設， 是平行
且鏡面相對的兩面鏡子，把一個小球 放
在與 之間（小球的大小忽略不計），
小球在鏡中的像為，小球在鏡 中
的像為，當與的距離為 厘米時，
兩平面鏡， 之間的距離為___厘米.
【點撥】 小球在鏡中的像為，小球在鏡 中的像為
，和關于對稱，和關于對稱.設到 的距離
為厘米,到的距離為 厘米,根據題意，得
. 兩平面鏡，之間的距離為
厘米.
（第8題）
返回
9.請僅用無刻度的直尺完成下列畫圖，不寫畫法，保留畫圖
痕跡.
（1）如圖①，四邊形中，， ，畫出
四邊形的對稱軸 ；
【解】如圖①，直線 即為所
求.
（2）如圖②，四邊形中，， ，畫出
邊的垂直平分線 .
【解】如圖②，直線 即為所求.
返回
10.如圖，將長方形紙片沿 折
疊后，點，分別落在， 的位
置，的延長線交于點 .
（1）如果 ，求 的度數；
【解】， .
由折疊知 ，
.
（2）如果已知 ，則
_____；（用含 的式子表示）
（3）探究與 的數量關系.
， ，
， ，
.
返回
11.如圖，和關于直線 對
稱，和關于直線 對稱.
（1）畫出直線 ；
【解】如圖，連結線段，作線段的垂直平分線 ，
則直線 即為所求.
（2）若直線與相交于點 ，試探究
與 的數量關系.
【解】如圖，連結 .
和關于直線對稱，和
關于直線 對稱，
， ，
，
.
返回
12.[2024湖州月考] 我們規定：等腰三角形的頂角與一個底角
度數的比值叫做等腰三角形的“特征值”，記作，若 ，
則該等腰三角形的頂角為____度.
36
（1）如圖，記上述等腰三角形為， ，用尺規
作的平分線，交于點 （保留作圖痕跡，不寫作法）；
【解】如圖所示， 即為所求.
【點撥】設等腰三角形的頂角為度，則底角為 度，
，解得 .
（2）在（1）的基礎上，延長到點，使得 ，連
結，依題意補全圖形，并判斷與 是否相等.
【解】補全圖形如圖，
由題意得 .
平分 ,
.
,
,
,
.
返回(共15張PPT)
第9章 軸對稱、平移與旋轉
9.3 旋轉
1.圖形的旋轉
1. 下列現象屬于旋轉的是( )
C
A. 摩托車在急剎車時向前滑動
B. 電梯上下運動的過程
C. 幸運大轉盤轉動的過程
D. 筆直的鐵軌上飛馳而過的火車
返回
2. [2024蕪湖月考] 如圖為蕪湖市軌道交通標志，將其繞圖形
中心按順時針方向旋轉 后得到的圖形是( )
B
A. B. C. D.
返回
3. [2024大連期末] 如圖，菱形繞點 旋轉后得到菱形
，則下列角中不是旋轉角的是( )
C
A. B. C. D.
返回
4. 填空：
（1）如圖①， 是以點___為中心____時針旋轉的；
順
（2）如圖②， 是以點___為中心____時針旋轉的；
逆
（3）如圖③，長方形 是以點___為中心
____時針旋轉的.
逆
返回
5.如圖，是由繞點 旋轉得到的，若
， ，則旋轉角的度數為____.
返回
6. 如圖，正方形旋轉后能與正方形 重合，那么圖
形所在的平面內可以作為旋轉中心的點有( )
C
A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 無數個
【點撥】以點為旋轉中心，把正方形
逆時針旋轉 ，可得到正方形 ；
以點為旋轉中心，把正方形 順時針旋
轉 ，可得到正方形 ；
以的中點為旋轉中心，把正方形旋轉 ，可得到
正方形 ；
所以可以作為旋轉中心的點有3個.
返回
7. 如圖是一個裝飾連續旋轉閃爍所成的四個圖形，照此規律
閃爍，第2 025次閃爍呈現出來的圖形是( )
A
A. B. C. D.
【點撥】觀察圖形的變化可知：每旋轉一次，旋轉角為 ，
即每4次旋轉一周.
， 第2 025次與第1次的圖形相同.
返回
8.（1）如圖①，將一副三角板按照如圖方式放置，其中點
，，， 在同一條直線上，另兩條直角邊所在的直線分
別為，， ， ，與 相交
于點，則 的度數是______；
（2）將圖①中的三角板 和三角板
分別繞點， 旋轉至如圖②所示位
置，其中平分，求 的度數.
【解】平分， ，
.
過點作 ，如圖.
易知 ，
.
， .
，
.
.
返回(共25張PPT)
第9章 軸對稱、平移與旋轉
9.4 中心對稱
1. [2024內江] 2024年6月5日，是二十四節氣的芒種，二十四
節氣是中國勞動人民獨創的文化遺產，能反映季節的變化，
指導農事活動.下面四幅圖片分別代表“芒種”“白露”“立夏”“大
雪”，其中是中心對稱圖形的是( )
D
A. B. C. D.
返回
2. 如圖，把該圖形繞點 順時針旋轉180度后，得到的圖形是
( )
C
A. B. C. D.
返回
3. 如圖，與關于點 成中心對稱，下列結論
不一定成立的是( )
B
A. B.
C. 點的對稱點是點 D.
返回
（第4題）
4. [2024柳州期末] 如圖，已知
與 成中心對稱，則對稱中心是
( )
D
A. 點
B. 點
C. 線段 的中點
D. 線段 的中點
返回
5.如圖是 的正方形網格，把其中一個標有數字的白色小
正方形涂黑，就可以使圖中的黑色部分構成一個中心對稱圖
形，則這個白色小正方形上標的數字是___.
3
（第5題）
返回
6. 如圖，已知和內一點 .
（1）求作，使與關于點 成中心對稱；
【解】如圖所示， 即
為所求作的三角形.
（2）指出各對應邊以及各對應角.
【解】對應邊：與，與，與 ；
對應角：與，與， 與
.
返回
7. 如圖①，
兩名同學把4張撲克牌放在桌
子上，然后蒙住乙同學的眼睛，
甲同學把其中一張撲克牌旋轉
.乙同學解開蒙具后，看
到4張撲克牌如圖②所示，則
被旋轉過的撲克牌是( )
A
A. 方塊6 B. 黑桃6 C. 梅花3 D. 紅桃8
返回
8. 用一條直線 將如圖①的鐵皮分成面積相等的兩部分.圖②，
圖③分別是甲、乙兩同學給出的作法，對于兩人的作法判斷
正確的是( )
C
A. 甲正確，乙不正確 B. 甲不正確，乙正確
C. 甲、乙都正確 D. 甲、乙都不正確
返回
9.[2024南陽期末] 如圖為某公園的觀賞魚池，其為中心對稱圖
形，已知 米，則陰影部分的面積為____平方米.
（第9題）
返回
10.如圖，正方形①和②關于點 對稱，正方形②和③關于點
對稱，若正方形①經過一次旋轉后和正方形③重合，則旋
轉角至少為____.
（第10題）
【點撥】如圖，設正方形①、②、③的對角線
交點分別為，，，連結， .
正方形①和②關于點對稱，正方形②和③關于點 對稱，
必過點，必過點，且 .易得
.
所以正方形①經過一次旋轉后和正方形③重合，則旋轉角至
少為 .
返回
11. 如圖，兩張完全重合在一起的正
三角形硬紙片，點 是它們的中心，若按住
下面的紙片不動，將上面的紙片繞點 順時
針旋轉，設旋轉角為 ，當
或 或
___________________時，兩張硬紙片所構成的圖形為中
心對稱圖形.
【點撥】要使兩張硬紙片所構成的圖形是中心對稱圖形，則
兩張硬紙片的頂點是一個正六邊形的六個頂點. 易得旋轉角
需是 的整數倍，且旋轉后兩個硬紙片不能重合，
可以是 或 或 .
返回
12.如圖是一個 的正方形網格，每個小正方形的邊長均
為1.請你在網格中以左上角的三角形為基本圖形，通過平移、
軸對稱或旋轉變換，設計一個精美圖案，使其滿足：①既是
軸對稱圖形，又是以點 為對稱中心的中心對稱圖形；②所
作圖案用陰影標識，且陰影部分的面積為4.
【解】如圖所示.（答案不唯一）
返回
13.如圖，在中，是 邊上的中線.
（1）畫出與關于點 成中心對稱的三角形.
【解】如圖所示， 即
為所求.
（2）找出與 相等的線段.
【解】根據中心對稱的性質可得，與相等的線段為 .
（3）探究：中與 的和與中
線 之間有何大小關系？并說明理由.
.理由如下：
， ，
.
（4）若，，求線段 的長度范圍.
【解】由題意，得 .由三角形的三邊關系可知，
，即 ，
.
返回
14. 為創建綠色校園，學校決定在一塊正方形
的空地上種植花草，現向學生征集設計圖案.圖案要求只能用
圓弧在正方形內加以設計，使所得圖案為中心對稱圖形，種
植花草部分用陰影表示.請你運用平移、旋轉、軸對稱等知識，
在圖③、圖④、圖⑤中畫出三種不同的設計圖案（溫馨提示：
只有半徑變化而圓心不變的圖案屬于同一種，例如：圖①、
圖②只能算一種）.
【解】（答案不唯一）如圖①，②，③所示：
返回(共22張PPT)
第9章 軸對稱、平移與旋轉
9.5 圖形的全等
1. [2024貴陽期末] 下列各組的兩個圖形中，屬于全等圖形的
是( )
B
A. B.
C. D.
返回
2. 下列說法中，正確的是( )
D
A. 面積相等的兩個圖形是全等圖形
B. 形狀相同的兩個圖形是全等圖形
C. 周長相等的兩個圖形是全等圖形
D. 能夠完全重合的兩個圖形是全等圖形
返回
（第3題）
3. [2024聊城期末] 如圖，
，與 是對應角，
與是對應邊.若 ，
，則 的長為( )
C
A. B. C. D.
返回
（第4題）
4. 如圖，
，下列結論： 與
是對應邊；與 是對應邊；
與是對應角； 與
是對應角.其中正確的有______.
（填序號）
②④
返回
5.[2024成都] 如圖，，若 ，
，則 的度數為______.
返回
6. 如圖所示，
兩個圖形是全等圖形，試根據
所給的條件，求出，， ，
， 的值.
【解】根據全等多邊形的對應角相等，得 .
又由四邊形的內角和，得第四個角為
，所以 .
根據全等多邊形的對應邊相等，得，， .
返回
7. 如圖，若 ，則圖中相等的線段有( )
D
（第7題）
A. 1對 B. 2對 C. 3對 D. 4對
返回
（第8題）
8. 三個全等三角形按如圖的方式擺放，則
的度數是( )
D
A. B. C. D.
【點撥】如圖所示.
由圖形可得 .
三個三角形全等，
易得 .
又 ，
.
.
返回
9.如圖，是格點三角形，則在圖中能夠作出與
全等的且有一條公共邊的格點三角形（不含 ）的個數
是___.
4
返回
10.如圖，正方形中，點，分別是邊， 上的點，
若將繞點順時針旋轉 到 位置，可得
，若的周長為6，求正方形 的邊長.
【解】， ，
， ，
，
的周長 ，
， ，
，即正方形 的邊長為3.
返回
11.[2024石家莊期中] 如圖，已知 .
（1）若 ， ，求 的度數；
【解】， ， .
， .
（2）試說明： .
， .
，即 .
返回
12.[2024南昌月考] 如圖， ，
點在邊上，與相交于點 .若
，， ， .
（1）求線段 的長；
【解】，， ，
， .
.
（2）求 的度數.
， ， ，
， .
.
.
返回
13.如圖，點，， 在同一條直線上，
點在上，且 ，
， .
（1）求 的長.
【解】， ，
， .
（2）判斷與 的位置關系，并說明理
由.
.理由如下：
， .
又 點，， 在同一條直線上，
，
， .
（3）判斷直線與直線 的位置關系，并說明理由.
.理由如下：
如圖，延長交于點 .
， .
在直角三角形中， ，.
，即 .
返回(共13張PPT)
第9章 軸對稱、平移與旋轉
專題16 平移的性質在實際問題中的
應用
應用1 利用平移的性質判斷結論
1. 如圖①、圖②為一張紙片的兩種剪拼方案（沿虛線剪
開），記圖①為方案甲，圖②為方案乙，其中
，
，.對于方案甲，滿足 ，；對于方案乙，
滿足 ， .若要拼一個與原紙片面積相等的正方形（紙片沒有
空隙也不重疊），則 ( )
A. 甲可以、乙不可以 B. 甲不可以、乙可以
C. 甲、乙都不可以 D. 甲、乙都可以
D
【點撥】方案甲，如圖所示，
將四邊形 移至①處，將
四邊形 移至②處，將
移至③處，即可得到一
個與原紙片面積相等的正方形；
方案乙，如圖所示，將移至①處，將 移至②處，
即可得到一個與原紙片面積相等的正方形.因此甲、乙都可以.
返回
，且 ，對于結論①和②，下列判斷正確
的是 ( )
（第2題）
2. 如圖，兩個形狀、大小完全相同的 和
重疊在一起，固定不動，將
向右平移，當點和點 重合時，停止移動，連
結，設交于點 ，結論：①四邊形
的面積與四邊形 的面積相等；
B
A. ①②都正確 B. ①正確，②不正確
C. ①②都不正確 D. ①不正確，②正確
（第2題）
【點撥】由題意可得：
，
，
即 ，故①正確；
由平移的性質可得： ，
，不能得到 ，故②錯誤.
返回
應用2 利用平移的性質進行計算
（第3題）
3. 如圖①，從一張邊長為4的
正方形紙片上剪掉兩個邊長為
的小正方形，得到如圖②所
示的圖形.若圖②中圖形的周
長為22，則 的值是( )
A
A. 1.5 B. 2 C. 2.5 D. 3
【點撥】由題意得，解得 ，
故選A.
（第3題）
返回
4.某市區廣場上設置了一個呈軸對稱圖形的平面造型
（如圖所示），其正中間為一個半徑為 米的半圓，擺放花
草，其余部分為展板區.已知， .則展板的面積為
__________，擺放的花草造價為450元/平方米，展板造價為
80元/平方米，那么制作整個造型的造價是（ 取3）_______元.
12平方米
3 660
【點撥】由題意得，展板的面積
（平方米），
制作整個造型的造價
（元）.
返回
應用3 利用平移的性質找最短路線
5.圖①表示一條河，直線，表示河的兩岸，且 ，現
要在這條河上建橋（橋與河岸垂直），“橋”用線段表示.
（1）如圖①，在河岸，兩點建兩座橋，，則 和
的大小為___ ；
（2）如圖②，, 為兩個村莊，現要在這條河上建一座橋，
橋建在何處才能使從村莊經橋過河到村莊 的路程最短 畫
出示意圖，并用平移的原理說明理由.
【解】如圖.①作分別交，于，.②把 平移至
，連結，交于 .
③作于 .
則在處建橋，可使從村莊經橋到村莊
的路程最短.
理由：由作圖得，，則可以看成 平移
的結果，
.
.
若設另在處架橋，連結，， ，同
理可得 ，則
，
在處建橋，可使從村莊 經橋過河到村
莊 的路程最短.
返回(共29張PPT)
第9章 軸對稱、平移與旋轉
測素質 軸對稱與平移
［時間：60分鐘 分值：100分］
一、選擇題（每題5分，共35分）
1. [2024武漢] 現實世界中，對稱現象無處不在，中國的方塊
字中有些也具有對稱性.下列漢字是軸對稱圖形的是( )
C
A. B. C. D.
返回
2. 下列圖形中，不能由其中一部分通過軸對稱變換得到的是
( )
C
A. B. C. D.
返回
（第3題）
3. [2024長春期末] 如圖，在正方形網格
中有，兩點，在直線上求一點 使
最短，則點 應選在( )
C
A. 點 B. 點 C. 點 D. 點
返回
4. 如圖，在中，， ， ，
將向右平移到的位置，若 ，則下列結論
錯誤的是( )
D
（第4題）
A. B. C. D.
返回
（第5題）
5. 如圖所示，在 正方形網格中，已有三個
小正方形被涂灰，將剩余的白色小正方形再任
意涂灰一個，則所得灰色圖案是軸對稱圖形的
情況有( )
C
A. 6種 B. 5種 C. 4種 D. 2種
返回
（第6題）
6. 如圖，在 中，
， ， ，
垂足為，與關于直線
對稱，點的對稱點是點，則 的
度數為( )
A
A. B. C. D.
（第6題）
【點撥】 ， ，
.
與關于直線 對稱，
.
，
.
返回
7. 如圖，將圖①中周長為40的長方形紙片剪成1號、2號、3
號、4號正方形和5號長方形，并將它們按圖②的方式放入周
長為58的長方形中，則沒有覆蓋的陰影部分的周長為( )
B
A. 44 B. 48 C. 46 D. 50
【點撥】設1號正方形的邊長為，2號正方形的邊長為 ，則
3號正方形的邊長為，4號正方形的邊長為 ，5號
長方形的寬為 ，由題圖①中大長方形的周長為40，可得
，解得 .
如圖， 圖中大長方形的周長為58，
，
.
根據平移得，沒有覆蓋的陰影部分的周長等于四邊形
的周長，
.
返回
二、填空題（每題4分，共20分）
8. 如圖是一個英語單詞的一部分，四個大
寫字母都關于直線對稱，如第一個字母“C”關于直線 對稱.
請用中文翻譯這個單詞所指的職業：______.
廚師
（第8題）
返回
9.已知大正方形的邊長為，小正方形的邊長為 ，起
始狀態如圖.大正方形固定不動，把小正方形以 的速度
向右沿直線平移，當平移的時間為_______ 時，兩個正方形
重疊部分的面積為 .
1或5.5
（第9題）
返回
10.如圖，內有一點，且 ，作點 關于直
線，的對稱點，，再作射線， ，則
____.
（第10題）
【點撥】如圖，連接 .
點關于的對稱點為，點關于的對稱點為 ，
， .
，
.
（第10題）
返回
（第11題）
11.在一節折紙活動課上，小思
將如圖①的正方形紙片兩邊對
折至對角線，得到如圖②的四
邊形，再將其一角折疊，使對
面兩角的頂點重合，得到如圖
45
③的五邊形，則圖③中的 為____度.
【點撥】展開正方形紙片，如圖，則
，
，
，
.
返回
（第12題）
12.如圖，嘉淇同學在 的網格紙上將正
方形 從當前位置開始進行一次平移操
作，平移后的正方形頂點在格點上，則使
平移前后的兩個正方形組成軸對稱圖形的
平移方向有___個.
5
返回
三、解答題（共45分）
13.（11分） 如圖，
已知 的三個頂點在格點上.
（1）畫出，使它與關于直線 對稱；
【解】如圖所示， 即
為所求.
（2）在直線上找出一點，使得 ，并說
明理由.
【解】如圖所示，連結交于點 ，
連結，點 即為所求.理由：
由軸對稱的性質可知，
.
，
.
返回
14.（16分）[2024株洲期末] 如圖，在四邊形 中，
，與互余，將，分別平移到和 的
位置.
（1）請判斷 的形狀，并說明理由；
【解】 是直角三角形.理由如下：
，分別平移到和 的位置，
，， ，
.
與互余， ，
.
， ，
是直角三角形.
（2）若，，求 的長.
，分別平移到和 的位置，
， .
.
返回
15.（18分）數學小組的同學發現，折紙中蘊含著許多數學問
題.現有一張三角形紙片，點，分別是邊， 上的
點，若沿直線折疊，點的對應點為點，且點
在直線 的右側.
（1）若如圖①所示，點恰好在 邊
上，則與 的數量關系是
___________________.
（2）如圖②，點在 內部，記
， ，試通過折痕
的變化，探索，和 之間的數
量關系.
【解】由折疊可得 ，
， ，
，
.
，
.
.
返回(共12張PPT)
第9章 軸對稱、平移與旋轉
9.3 旋轉
3.旋轉對稱圖形
1. [2024鄭州月考] 下列圖形繞某點逆時針旋轉 后，不能
與原來圖形重合的是( )
C
A. B. C. D.
返回
2. 如圖，這個五角星可以由一個基本圖形
（圖中的陰影部分）
繞中心 至少經過___次旋轉而得到，每一次旋轉____度.
4
72
返回
3.如圖，正方形的邊長為 ，以各邊中點為圓心，
為半徑依次作 圓，將正方形分成四部分.
（1）這個圖形是旋轉對稱圖形，旋轉中心是點___，最小旋
轉角是____度；
90
（2）求圖形 的周長和面積.
【解】圖形的周長 圓的周長
，
圖形的面積 .
返回
4.如圖，正方形與正方形 的邊
長相等.①這個圖案可以看成是由正方形
繞點旋轉 前后的圖形共同組成
的；②這個圖案可以看成是由 繞點
分別旋轉 ， ， ， ，
前后的圖形共同組成的；③這個圖案可以看成是由
繞點分別旋轉 , , , ， , ,
前后的圖形共同組成的.以上說法正確的有_________.
（填序號）
返回
①②③
5.如圖，正五邊形的邊長等于2，中心是點 ，分別以
正五邊形各邊為直徑，向外作半圓.
（1）這個圖形__________（填“是”或“不是”）旋轉對稱圖形，
若是，則旋轉中心是點___，最小旋轉角度為____；
是
（2）求陰影部分的周長和面積（用含 的式子表示）.
【解】由題意得，陰影部分的周長為
，陰影部分的面積為 .
返回
6.規定：在平面內，如果一個圖形繞一個定點旋轉一定的角
度 后能與自身重合，那么就稱這個圖形是
旋轉對稱圖形，轉動的這個角度 為這個圖形的一個旋轉角
度.例如：正方形繞著兩條對角線的交點旋轉 ， 或
后，能與自身重合（如圖①），所以正方形是旋轉對
稱圖形.
根據以上規定，回答問題：
（1）下列圖形中，是旋轉對稱圖
形，且有一個旋轉角度是 的
是________（填序號）；
①③⑤
（2）下列三個結論：①圓是旋轉
對稱圖形；②等腰三角形是旋轉
對稱圖形；③平行四邊形是旋轉
對稱圖形.其中正確的有( )
C
A. 0個 B. 1個 C. 2個 D. 3個
（3）如圖②的旋轉對稱圖形由等腰直角三角形和圓構成，
最小旋轉角度為 ，將圖形補充完整.
【解】如圖所示.
返回(共16張PPT)
第9章 軸對稱、平移與旋轉
9.1 軸對稱
3.作軸對稱圖形
1. 下面是四位同學作關于直線 的對稱圖形，其中
正確的是( )
B
A. B. C. D.
返回
2. 漢字是中華民族的文化瑰寶，是世界上現在
最古老的文字之一，并且很多漢字之間存在著對稱關系.如圖，
直線上面是漢字“甲”，若以 為對稱軸，則“甲”的對稱圖
形應是漢字____.
由
返回
3.如圖，方格紙中每個小方格都是邊長為1的正方形，我們把
以格點連線為邊的多邊形稱為“格點多邊形”.如圖所示，四邊
形 就是一個“格點四邊形”.
（1）作出四邊形關于直線對稱的四邊形 ；
【解】如圖所示，四邊形 即為所求.
（2）四邊形 的面積為____.
12
返回
4. 如圖，求作關于直線 的對稱圖形
.
【解】如圖所示.
返回
（第5題）
5. 如圖，這是由8個邊長相同的正六邊形
組成的圖形，若在5個白色的正六邊形中，
選擇2個涂灰，使涂灰的2個正六邊形和原
來3個被涂灰的正六邊形恰好組成軸對稱
圖形，則選擇的方案最多有( )
C
A. 10種 B. 9種 C. 8種 D. 6種
【點撥】如圖，選擇，；，；，；，；， ；
，；，；， 時，均可得到軸對稱圖形，則選擇的方
案最多有8種.
返回
（第6題）
6. 如圖，在 的正方形網格中，網
格線的交點稱為格點.以格點為頂點的三角形稱
為格點三角形，如 為格點三角形，與
成軸對稱的格點三角形可以畫出( )
D
A. 3個 B. 4個 C. 5個 D. 6個
【點撥】如圖，與 成軸對稱的格點三角形可以畫出6個.
易找不全對稱軸而漏解.
（第6題）
返回
7.【畫圖探究】
（1）如圖①，若點，在直線的同側，在直線 上畫一
點，使 的值最小.
【解】如圖①，作出點關于直線的對稱點，連結 交
直線于點，則點 即為所求.
【拓展延伸】
（2）如圖②，在四邊形 中，
， ，分別
在，上找點，，使 的周
長最小，并求此時 的度數.
【解】如圖②，分別作出點關于， 的
對稱點，，連結分別交，
于點，，此時 的周長最小.
， .
易得，
.
返回(共23張PPT)
第9章 軸對稱、平移與旋轉
專題15 軸對稱及其性質的應用
應用1 軸對稱的性質在計算中的應用
1.如圖，點在的內部，點
和點關于對稱，點關于
的對稱點是點，連結交 于
點，交于點，連結 ，
.
（1）①若 ，求 的度數；
【解】連結， 點和點關于 對稱，
.
點關于的對稱點是點 ，
，
.
②若 ，則____ （用含 的代數式表示）；
（2）若，則 的周長為___.
4
【點撥】 點和點關于 對稱，
.
點關于的對稱點是點 ，
.
， ，
，即 的周長為4.
返回
應用2 軸對稱的性質在說明線段與直線關系中的應用
2.如圖，已知四邊形 與四
邊形關于直線 對稱，
，
，
， .
（1）試寫出， 的長度；
【解】 四邊形 與四邊形
關于直線 對稱，
， ，
，
.
（2）求 的度數；
，
，
.
易得 .
（3）連結，線段與直線 有什么關系？
對稱軸垂直平分對應點的連線，點和點為對應點，
直線垂直平分線段 .
返回
應用3 軸對稱的性質在辨析中的應用
3. 如圖，為內部一點， ，
，分別為關于直線， 的對稱點.
（1）請指出當為多少度時，會使得 的長度等于6，
并說明理由.
【解】當 時， .
理由：如圖，連結， .
，分別為點關于直線， 的
對稱點，
，， ，
，
.
.
點，，三點共線. .
（2）在（1）的基礎上，請判斷當
不是你指出的角度時， 的長
度是小于6還是大于6？并說明理由.
的長度小于6.理由如下：
， 由（1）易知點，， 不在同一直線
上. .
， .
返回
應用4 軸對稱的性質在判斷最短距離中的應用
4.（1）如圖，草原上兩個居民點，在河流 的同側，一輛
汽車從出發到 ，途中需要到河邊加水，汽車在哪一點加水，
可使行駛的路程最短？在圖中畫出該點，并說明理由.
【解】如圖，作點關于的對稱點 ，連結
交于點，點 即為所求.
理由如下：
點與點關于直線 對稱，
， .
兩點之間線段最短，
此時最小，即 最小.
（2）嘉淇同學秋游時，發現一位農民伯伯正在澆地，這塊
地的外形是如圖所示的，其中邊 在一條水渠上，這
位農民伯伯想在地中再新開一條水渠，把水引到頂點 處，
且水渠把地塊平分成面積相等的兩部分.
①這條水渠是 的______（填“中線”“角平分線”或
“高”）；
中線
②請在圖中畫出水渠的位置，并說明水渠把三角形地塊平分
成面積相等的兩部分的理由.
【解】如圖，為水渠，即邊的中線為 .
理由：
作于點 .
邊的中線為 ，
.
，
， ，
三角形的中線把三角形地塊平分成面積相等的兩部分.
返回
應用5 軸對稱的性質在圖案設計中的應用
5.如圖，三角形的三個頂點都在正方形網格的格點上，請在
圖①②③④中分別畫出另一個格點三角形，使它與已知的三
角形關于某條直線成軸對稱，并畫出對稱軸.
【解】如圖所示.（答案不唯一）
返回
應用6 軸對稱的性質在折疊中的應用
類型1 折疊中的空間認識
6. 將一張正方形紙片按圖示折疊，再把折疊后的紙片剪去陰
影部分，展開后得到的圖形是( )
A
A. B. C. D.
返回
類型2 折疊中的相關計算
7.[2024宿遷月考] 如圖，在 中，
，，， .將
邊沿翻折，點落在點處，交 于
點，求 的最大值.
【解】 將邊沿翻折，點落在點 處，
， .
當最小時，最大，此時 .
，
，
，
.則的最大值為 .
返回
8.[2024泰州月考] 在學習“生活中的軸
對稱”之后，小穎對圖形的變換進行操
作實踐.為長方形紙片的邊 上
一點，點，分別為， 上的動點，
如圖，先把紙片沿對折，點翻折至點 ，再把紙片
沿對折，點翻折至點.當點， 運動時，若
，求 的值.
【解】當在 左邊時，由折疊的性質可得
， .
，
，
.
同理，當在右邊時，可得 .
返回(共19張PPT)
第9章 軸對稱、平移與旋轉
項目學習4 生活中的密鋪
項目 主題 同一種多邊形或不同的多邊形之間能進行密鋪的規律
研究 目標 1.學習和查閱相關資料，了解多邊形鑲嵌的方法；
2.分析不同多邊形的邊數、邊長、內角和外角的大小
及它們在鑲嵌過程中的特點；
3.通過學習多邊形鑲嵌的相關知識及在生產生活中的
應用，了解多邊形在鑲嵌中的規律和美感.
項目探究
對于正邊形，從一個頂點出發作對角線，它們將 邊形分成
個三角形，得到其內角和是 ，則一個
內角的度數就是 .若一個內角度數能整除
，那么這樣的正 邊形就可以進行平面密鋪，例如我們
鋪地板時經常使用正方形地磚.
圖①和圖②就是分別利用正三角形和正方形得到的兩組密鋪
圖案.如圖③，按照平面密鋪的條件，正五邊形就不能進行平
面密鋪.對于一些不規則的多邊形也可以進行平面密鋪.圖④
就是利用不規則的五邊形得到的一種密鋪圖案.
閱讀上述材料回答下列問題：
（1）材料中“對于正 邊形，從一個頂點出發作對角線，它
們將邊形分成 個三角形，得到其內角和是
”，這種方法體現的一種數學思想是___；
B
A. 數形結合思想 B. 轉化思想 C. 方程思想
【點撥】將 邊形的內角和轉化為三角形的內角和來計算，
這種方法體現的一種數學思想是轉化思想.
（2）除“正三角形”“正方形”外，請再寫出一種可以進行平面
密鋪的正多邊形：__________；
正六邊形
【點撥】 當一個內角度數能整除 時，這樣的正 邊形
就可以進行平面密鋪，
為整數.
當時， .
正六邊形可以進行平面密鋪.
（3）圖⑤是圖④中的一個基本圖形，若 ，
，求 的度數.
拓展延伸：
【解】根據五邊形的內角和可知
，
， ，
，解得 .
（4）現有如下若干種正多邊形：①正三角形，②正方形，
③正五邊形，④正六邊形，⑤正八邊形，⑥正十邊形，⑦正
十二邊形，這些正多邊形的邊長均相等.若從中選用兩種不同
的正多邊形進行平面密鋪，寫出其中的三種組合：________
_________________________；若選用三種不同的正多邊形
可以進行平面密鋪，寫出所有的組合：________________.
（填序號即可）
①②，①④，②⑤（答案不唯一）
①②④，②④⑦
（5）用若干邊長相等的正三角形和正六邊形進行平面密鋪，
若每一個頂點周圍有個正三角形，個正六邊形，求出 ，
滿足的關系式，并畫出所有符合要求的密鋪圖案
（每個圖案只畫出一個頂點即可）.
【解】由題意可得 ，
.
畫出密鋪圖案如圖：
項目主題
同一種多邊形或不同的多邊形之間能進行密鋪的規律
項目應用
1. 用同一種正多邊形進行密鋪的條件是( )
D
A. 內角是整數度數 B. 邊數是3的倍數
C. 內角可以整除 D. 內角可以整除
2. 下列正多邊形中，與正八邊形組合能夠密鋪的是( )
B
A. 正三角形 B. 正方形 C. 正五邊形 D. 正六邊形
【點撥】 正八邊形的每個內角的度數是 ，
正三角形的每個內角的度數是 ，正方形的每個內角的度
數是 ，正五邊形的每個內角的度數是 ，
正六邊形的每個內角的度數是 ，
與正八邊形組合能夠進行密鋪的是正方形.
3.[2024榆林二模] 某廣場的地面是由相同的正五邊形與相同
的四角星（四個尖角的度數相同）鋪成的無縫隙、不重疊的
圖形，如圖是該廣場地面的一部分，則圖中四角星的尖角
的度數為____.
4. 如圖①，②，③，用一種大小相等的正多邊形密
鋪成一個“環”，我們稱之為環形密鋪.但圖④，⑤不是我們所
說的環形密鋪.請你再寫出一種可以進行環形密鋪的正多邊形：
____________.
正十二邊形
5.[2024長沙期末] 如圖，邊長相等的正六邊形、正方形、正
三角形三種地磚可進行無縫密鋪，觀察圖①、圖②、圖③，
根據圖中的規律可得圖 中，正方形地磚的數量為________
__塊，正三角形地磚的數量為_________塊.
6.如圖，用形狀、大小相同的方格紙中的三角形，能進行平
面密鋪嗎？若能，請在方格紙中畫出密鋪的設計圖.
【解】能，如圖所示
（設計圖不唯一）.(共45張PPT)
第9章 軸對稱、平移與旋轉
全章熱門考點整合應用
1
B
D
①②③④
答 案 呈 現
溫馨提示：點擊 進入講評
2
3
4
5
6
C
B
C
7
8
9
10
11
12
13
14
100
15
C
90°
16
考點1 軸對稱圖形、中心對稱圖形的判斷
1. 垃圾分類功在當代，利在千秋.下列垃圾分類指引標志中，
文字上方的圖形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是
( )
B
A. B. C. D.
返回
考點2 軸對稱的性質
2. 如圖，與關于直線對稱，為 上任
意一點（，， 不共線），下列結論中不正確的是( )
D
A.
B. 垂直平分線段
C. 與 面積相等
D. 直線，的交點不一定在直線 上
【點撥】與關于直線 對
稱，為上任意一點（，， 不共
線），
與面積相等，垂直平分 .
，故A，B，C選項不符合題意；
直線，關于直線對稱，因此交點一定在 上，故
D選項符合題意.
返回
3.如圖， 在正方形網格上.
（1）畫出關于直線的對稱圖形 （不寫畫法）；
【解】如圖， 即為所求.
（2）在直線上找一點，使 最短.
【解】如圖，點 即為所求.
（3）若網格上的每個小正方形的邊長為
1，則 的面積為__.
返回
4.[2024榆林期末] 如圖，將 沿直
線折疊，使點與點 重合.
（1）若的周長為26， ，
求 的長；
【解】由折疊可知，
的周長， ，
.
（2）若 ， ，求
的度數.
， ，
.
由折疊可知， .
.
返回
考點3 平移的特征
5.[2024南陽期末] 如圖，在三角形
中， ，
， ，把三角形
沿著直線向右平移 后得
到三角形，連結，，有以下結論： ；
；； .其中正確的結
論有__________.（填序號）
①②③④
【點撥】沿著直線的方向平移 后得到
，，，， ，故①
③正確； ，故②正確；
易知， 易得 ，故④正確.
返回
6.如圖，五邊形中， ，
，， .
（1）說明，， 之間的數量關系；
【解】 五邊形的內角和
，
，
；
（2）平移五邊形，使點移動到 點，畫出平移后的
五邊形，并求出順次連接，，，，，，
各點所圍成的圖形的面積；
【解】作圖如圖①，過作于 .由平移的性質可知，在上，四邊形 和四邊形 是平行四邊形，
，多邊形 的
面積四邊形的面積四邊形
的面積 .
（3）在和的內部取一點 ，使
，，求與 之間
的數量關系.
【解】如圖②，過作.設 ，
，則， ，
， .
， ，
， ，
，，
.
由（1）得
，
.
返回
考點4 旋轉的性質
（第7題）
7. [2024武漢模擬] 如圖，在正方形網
格中， 繞某一點旋轉某一角度得
到 ，則旋轉中心是( )
C
A. 點 B. 點 C. 點 D. 點
返回
（第8題）
8. 如圖，將繞點 順時針旋轉
一定的角度得到，此時點
恰好在邊上，若， ，
則 的長為( )
B
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
返回
考點5 中心對稱的性質
9. [2024長沙芙蓉區月考] 若兩個圖形關于某點成中心對稱，
則以下結論：①這兩個圖形一定全等；②對稱點的連線一定
經過對稱中心；③對稱點到對稱中心的距離相等；④一定存
在某條直線，使沿該直線折疊后的兩個圖形能互相重合.其中
所有正確結論的序號是( )
C
A. ①② B. ③④ C. ①②③ D. ①②③④
返回
10.如圖，和關于點 成中心對稱.
（1）找出它們的對稱中心 ；
【解】如圖，點 即為所求.
（2）若，，，求 的周長.
由題意得的周長的周長 .
返回
考點6 圖形全等的性質
11.如圖，在中，，分別是， 上的點，
，，且， ，
交于點，若 ，則_____ .
100
【點撥】如圖，延長交于點，交于點 .
， ，
，, .
. . ，
.
, .
返回
考點7 圖形的變換作圖
12.如圖，已知 的頂點都在格點上，
直線 與網格線重合，每個小正方形
的邊長均為1.
（1）畫出關于直線對稱的 ；
【解】如圖， 即為所
求.
（2）將 向右平移8個單位長度，再向上平移3個單位長
度，得到，畫出 ；
【解】如圖， 即為所求.
（3）畫出繞點逆時針旋轉 后得到的 ；
【解】如圖， 即為所求.
（4）求 的面積.
.
返回
13.[2024天津模擬] 請按下列要求畫圖（每小問各畫出一種即
可）.
（1）在圖①中添加1個正方形，使它成為軸對稱圖形但不是
中心對稱圖形.
【解】如圖①（答案不唯一）.
（2）在圖②中添加1個正方形，使它成為中心對稱圖形但不
是軸對稱圖形.
【解】如圖②.
（3）在圖③中改變1個正方形的位置，從而得到一個新圖形，
并使它既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形，在圖④中畫出
符合條件的圖形.
【解】如圖③（答案不唯一）.
返回
思想1 轉化思想
（第14題）
14. 如圖，甲、乙兩只螞蟻以相同的速
度沿兩條不同的路徑，同時從 出發爬
到 ，則( )
C
A. 乙比甲先到
B. 甲比乙先到
C. 甲和乙同時到
D. 無法確定
返回
思想2 方程思想
（第15題）
15.如圖，，和 分別
關于， 邊所在直線對稱，若
，則 的度數為___.
（第15題）
【點撥】 ，
設 , , .
由 ，得
，
解得 ，
所以 ， ， .
由題意得 ， ，
， .
.
返回
16.如圖①，已知直線，且和 之間的距離為1，在
直角三角形中， ， ， .
（1）如圖①，若點在直線上，且 .求 的度數；
【解】 ， ，
.
， .
（2）若點在直線上，繞著點 旋轉的過程中，點
始終在和之間（不在、上），邊、 與直
線分別交于點和點 .
①如圖②，、的平分線交于點， 的度數是否
變化？若不變，求出 的度數；若變化，請說明理由；
【解】在繞著點旋轉的過程中， 的度數不發生變化.
， ，
.
，的平分線交于點 ，
， .
. .
②如圖③，設 ， ，求
的取值范圍.
， .
由①知 ，
.
如圖①，當點在直線 上時，
；
，且和之間的距離為1， 如圖②，當點 在
直線上時， . .
點在和之間（不在， 上），
，即 .
的取值范圍是 .
返回(共22張PPT)
第9章 軸對稱、平移與旋轉
9.1 軸對稱
1.生活中的軸對稱
1. 下列四種化學儀器的示意圖中，是軸對稱圖
形的是( )
C
A. B. C. D.
返回
2. 下列選項中，直線 是四邊形的對稱軸的是( )
C
A. B. C. D.
3. 視力表中的字母“ ”有各種不同的擺放形式，下面每種組
合的兩個字母“ ”是關于某條直線成軸對稱的是( )
D
A. B. C. D.
返回
（第4題）
4. 如圖，與關于直線 對
稱，則 的度數為( )
C
A. B. C. D.
返回
5. 如圖，將折疊，使邊落在 邊上，展開后得到
折痕，則是 的( )
D
（第5題）
A. 中線
B. 既是中線，又是角平分線
C. 高線
D. 角平分線
返回
（第6題）
6. [2024杭州期末] 如圖，若 與
關于直線對稱，交
于點 ，下列結論不一定正確的是
( )
B
A. B.
C. D.
返回
（第7題）
7. 如圖的圖形為軸對稱圖形，
該圖形的對稱軸的條數為( )
C
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
返回
8.如圖（1）～（10）（其中（2）（5）（7）（9）表示兩個
圖形），請觀察并指出，哪些圖案是軸對稱圖形？哪些圖案
成軸對稱？
【解】軸對稱圖形有
；成軸對
稱的有 .
返回
9. 小明在鏡子中看到身后墻上的時鐘，實際時間最接近8時
的是下圖中的( )
C
A. B. C. D.
【點撥】實際時間最接近8時的時鐘，在鏡子里看起來應是
最接近4時的，所以C選項中時鐘所示的實際時間最接近8時.
故選C.
返回
10.[2024鄭州模擬] 如圖所示，點 在
的內部，點，分別是點 關于
，的對稱點，線段 分別交
，于點，，若 的周長是
，則線段的長是____ .
20
【點撥】，關于對稱，，關于 對稱，
易得， .
又的周長是，即 ，
.
返回
11.如圖，和 關于直線
對稱，與的交點 在直線
上.
（1）圖中點的對應點是點___，
的對應邊是____；
（2）若 ， ，求 的度數.
【解】 ,， ,
,
又 , .
返回
12.如圖，中， ，為上一點，為 上
一點，點和點關于對稱，點和點關于 對稱.求
和 的度數.
【解】 點和點關于 對稱，
，即
.
又 點和點關于 對稱，
, .
, .
.
.
返回
13.【定義】如圖①，平分 ，則稱射
線，關于 對稱.
（1）【理解題意】如圖①，射線， 關
于對稱且 ，則 _____；
（2）【應用實際】如圖②，若 ，在 內
部，，關于對稱，，關于 對稱，求
的度數；
【解】和關于 對稱，
.
又和關于 對稱，
，
，
.
（3）如圖③，若 ， 在
外部，且 ， ，
關于對稱，，關于 對稱，
求 的度數；
和關于對稱， .
又和關于對稱， .
，
.
（4）【拓展提升】如圖④，若 ，
，關于的 邊對稱，
，求 的度數（直接寫出
答案）.
或 .
【點撥】①當在 內部時，如圖①.
，關于 對稱，
.
，
，
，
.
②當在外部時. ，
射線在射線 的上面，如圖②.
，關于的 邊對稱，
.
，
， ，
，
.
綜上所述， 或 .
返回(共11張PPT)
第9章 軸對稱、平移與旋轉
專題17 巧用旋轉進行計算
類型1 通過旋轉求角度
1. [2024大同月考] 為了積極響應國家“節約
資源，保護環境”的號召，某省充分利用自
身地域優勢大力發展風能，為全省的綠色發
展注入不竭活力.如圖是位于山頂上
C
A. 60 B. 90 C. 120 D. 180
的風力發電裝置，葉片圖案繞中心旋轉 后能與原圖案重合，
則 的值可以是 ( )
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2.在正方形中，點在 上，點
在上， ， 按順
時針方向旋轉一個角度后得到 ，
如圖所示.
（1）哪一個點是旋轉中心，旋轉角度等于多少？
【解】點是旋轉中心，旋轉角度等于 .
（2）指出圖中的對應線段和對應角；
【解】對應線段為和，和，和；對應角為
和，和，和 .
（3）求 的度數.
, ,
.
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類型2 通過旋轉求面積
3.如圖所示的圖案由三個葉片組成，繞點旋轉 后可以
和自身重合，若每個葉片的面積為， ，
則圖中陰影部分的面積為_______.
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4.如圖，在中，將繞點 按
逆時針方向旋轉 后得到 ，
若陰影部分的面積為16，求 的面
積.
【解】 將繞點 按逆時針方向
旋轉 后得到， .
，陰影部分
面積為16， .
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類型3 通過旋轉探究規律
5. [2024濟寧一模] 如圖，長方形 中，
，，一個邊長為 的
小正方形沿著長方形 的邊
連續地翻轉，
C
A. B. C. D.
那么這個小正方形第一次回到起始位置時，小正方形箭頭的方
向是( )
【點撥】根據題意可得小正方形第一次回到起始位置時需10
次翻轉，而每翻轉4次，箭頭的方向重復1次，故回到起始位
置時箭頭的方向是向下.
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6. [2024重慶階段練習] 等邊三角形（三條邊都相等的三角形
是等邊三角形）紙板在數軸上的位置如圖所示，點，
對應的數分別為2和1，若 繞著頂點向左在數軸上連續
翻轉，翻轉第1次后，點 所對應的數為0，則翻轉2 025次后，
點 所對應的數是( )
D
A. B. C. D.
【點撥】由題意得每3次翻轉為一個循環組依次循環.
， 翻轉2 025次后點 在數軸上.
點所對應的數是 .
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