資源簡介

授課題目 4.6 正弦函數的圖像和性質 選用教材 高等教育出版社《數學》 2021 十四五 （基礎模塊上冊）（修訂版）
授課 時長 3 課時 授課 類型 新授課
教學提示 本課將通過簡諧振動形成的曲線，感知正弦曲線的特性，進而學習周期函數的有關知識，以及正弦函數的圖像和性質；學習借助代數運算與幾何直觀，認識正弦函數的圖像與性質，以及運用“五點法”畫 出正弦函數在一個周期上的簡圖．
1．知道描點法畫正弦函數在［0，2π］上的圖像的步驟，能找出
正弦函數在［0，2π］上的圖像中關鍵的五個點，并利用“五點法”作正
弦函數相關的函數的圖像，培養數形結合的數學思想．
教學 目標 2．能通過正弦曲線分析正弦函數的性質，并利用這些性質解決正
弦函數的相關問題．
3．知道從哪些角度分析函數的性質，學會利用函數圖像分析函數
性質的一般方法．
教學 重點 五點作圖法作正弦函數的圖像，正弦函數的性質的應用．
教學 難點 五點作圖法和正弦函數的性質的理解．
教學 環節 教學內容 教師 活動 學生 活動 設計 意圖
春天萬物復蘇、百花盛開，年復一年，周而復始．像這樣重復出現的現象稱為周期現象，數學中也存在這種現象．正弦函數就是一種周期函數，是刻畫“周而復始”現象的數 學模型． 描述 領會 結合生活
引入 認識數學
與生活聯
系
4.6.1 正弦函數的圖像
做一個沙漏單擺實驗：如圖所示，一個沙漏 提問 思考 用生活中
情境導入 掛在架子上，沙漏下方放一塊紙板，紙板中 間畫一條直線作為坐標系的橫軸．把沙漏沿 啟發 作答 的現象創 設情境的
垂直于該直線方向拉離平衡位置，放手使之 引發學生
擺動，同時勻速拉動紙板．這樣可在紙板上 引導 交流 思考
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得到一條曲線．這是一條什么曲線呢？ 激發求知欲
這個實驗得到的曲線是一條波浪起伏、 點撥 觀察 從物理現
周而復始的曲線．從前面的學習我們知道， 引導 總結 象引出數
隨著角的變化，三角函數值也具有這種周而 學知識
復始的變化規律．我們可以用正弦函數來刻
畫這條曲線．
根據單位圓的圓周運動特點，單位圓上
任意一點在圓周上旋轉一周就回到原來的位
置，這說明自變量每增加或者減少 2π， 正 講解 傾聽
弦函數值將重復出現．這一現象可以用公式
sin(x+2kπ) = sinx，k∈Z
來表示． 結合 觀察
探索新知 一般地，對于函數 y＝f(x)，如果存在一 個非零常數 T，使得當 x 取定義域內任意一 圖像 引導 圖像 思考
個值時，都有
f(x+T) ＝f(x)，
則稱函數 y＝f(x)為周期函數．非零常數 T 為
y＝f(x)的一個周期．
因此正弦函數 y = sinx，x∈R 是一個周 說明 理解 說明函數
期函數，2π，4π，6π，…及-2π，-4π，-6π，… 的周期不
都是它的周期，即常數 2kπ(k∈Z 且 k≠0)都是 唯一從而
它的周期．如果周期函數 y＝f(x)的所有周期 說明引入
中存在一個最小的正數 T0，那么這個最小的 講解 理解 最小正周
正數 T0 就稱為 y＝f(x)的最小正周期． 期的必要
本書中所涉及的周期，如果不特別說明， 性
都是指函數的最小正周期． 利用正弦函數的周期性質可以簡化正弦函數的圖像與性質的研究過程． 下面用描點法作出正弦函數 y = sinx 在 [0,2π]上的圖像． （1）列表. 把區間[0,2π]分成 12 等份, 分別求出 y=sinx 在各分點及區間端點的正弦函數值. (2) 描點作圖． 根據表中 x，y 的數值在平面直角坐標系內描點(x, y) ，再用平滑曲線順次連接各點，就得到正弦函數 y＝sinx 在 [0,2π]上的圖像. 觀察函數 y＝sinx 在[0,2π]上的圖像發現，在確定圖像的形狀時，起關鍵作用的點有以下五個， (0，0)， ,1 ，(π，0)， , 1 ，(2π，0)． 2 2 描出這五個點后，正弦函數的圖像就基本確定了.因此，在精確度要求不高時，常常先找出這五個關鍵點，再用光滑的曲線將它們連接起來，就得到[0,2π]上正弦函數的圖像簡圖了，這種作圖方法稱為五點法． 因為正弦函數的周期是 2π，所以只要將 解釋說明 指點說明 說明 指導 思考理解 計算列表 思考 操作 描點法是作函數圖像的基本方法 數形結合說明問題滲透樹形結合思想方法逐步提升直觀想象核心素養 強調“五點法”是重要的作圖方法和學生必備基本技能
函數 y＝sinx 在 [0,2π]上的圖像沿 x 軸向左或向右平移 2kπ(k∈Z)，就可得到正弦函數 y＝ sinx，x∈R 的圖像. 正弦函數的圖像也稱為正弦曲線，它是一條“波浪起伏”“周而復始”的連續光滑曲 線． 引導 分析
典型例題 例1 利用五點法作出函數y＝1+sinx 在 [0,2π] 上的圖像． 解 （1）列表. （2）描點作圖. 根據表中 x, y 的數值在平面直角坐標系中描點(x,y), 再用光滑的曲線順次連接各點,就得到函數 y＝1+sinx 在 [0,2π]上的圖像. 提問 引導 講解 強調 思考 分析 解決 交流 借助實際例子加深對“五點法”作圖的理解
鞏固練習 練習 4.6.1 1．設函數 y=f (x)，x∈R 的周期為 2，且 f(1)＝1，則 f (3)= ． 2 . 利用五點法作出下列函數在[0,2π]上 提問 思考 及時掌握學生情況查漏補缺
的圖像： （1） y＝sinx 1；（2） y＝ sinx． 3. 利用五點法作出正弦函數 y＝sinx 在 3 上的圖像. 2 ， 2 巡視 指導 動手求解 交流
情境導入 4.6.2 正弦函數的性質 利用研究函數的經驗，可否從正弦函數的定義域、值域、周期性、奇偶性和單調性等方面來研究正弦函數的性質呢？ 提問啟發 觀察思考 從原有知識出發，數形結合思考問題
新知探索 觀察正弦曲線，得到關于正弦函數 y＝ sinx，x∈R 的結論: 定義域.正弦函數的定義域是實數集 R. 值域. 正弦曲線分布在兩條直線 y=- 1 和 y=1 之間，即對任意的 x,都有| sinx |≤1成立．由此可知,正弦函數的值域是[-1, 1],并 且, 當 x 2k (k ∈ Z) 時,y 取最大值， 2 ymax=1；當 x 2k (k∈Z)時，y 取最小值， 2 ymin=-1． 周期性.正弦函數是周期為 2π 的周期函數． 奇偶性.由圖像關于原點對稱和誘導公式 sin( x)= sinx 可知，正弦函數是奇函數． 單調性. 由圖像可知，正弦函數 y＝sinx 在區間 講解說明 引導學生從函數性質幾方面考慮問題 說明啟發結合 理解 觀察圖像得到結論 通 過 討論，學生由曲線形狀看出函數的性質 加深對知識的理解發展直觀想象和數學抽象核心素養
, 上單調遞增，在區間 , 上單調 2 2 2 2 遞減． 這說明，由正弦函數的周期性可知，正弦 函 數 y ＝ sinx 在 每 一 個 閉 區 間 +2k , +2k (k∈Z)上都是增函數，函 2 2 數值從-1 增大到 1 ；在每一個閉區間 +2k , +2k (k∈Z) 上都是減函數，函 2 2 數值從 1 減小到-1． 圖像啟發引導說明
典型例題 例 2 求下列函數的最大值和最小值，并寫出取得最大值、最小值時自變量 x 的集合. y 2 sin x, x R ； 3 y=1-2sinx，x∈R． 分析 由正弦函數的性質知， 1≤sin x ≤1， 且當 +2k (k∈Z)時，sinx 取得最大值 1，此 2 時-sinx 取得最小值-1，當 x= +2kπ(k∈Z) 2 時， sinx 取得最小值-1，此時-sinx 取得最大值 1． 解 （1）因為-1≤sinx≤1，所以 2 ≤ 2 sin x ≤ 2 . 3 3 3 由正弦函數的性質可得 當 x= +2k (k∈Z)時，sinx 取得最大值 2 1，函數 y 2 sin x 取得最大值 2 ； 3 3 當 x= +2k (k∈Z)時，sinx 取得最小 2 提問 引導 講解 提問 引導 思考 解決 交流 思考 解決 數形結合解決問題結合具體問題鞏固函數的性質
值-1，函數 y 2 sin x 取得最小值- 2 ； 3 3 （2）因為-1≤sinx≤1，所以 2≥-2sinx ≥-2，即-2≤-2sinx≤2.所以-1≤1-2sinx≤3.由正弦函數的性質，可得 當 x= +2k (k∈Z)時，sinx 取得最大值 2 1，函數 y=1-2sinx 取得最小值-1； 當 x= +2k (k∈Z)時，sinx 取得最小 2 值-1，函數 y=1-2sinx 取得最大值 3. 例 3 不求值，比較下列各組數值的大小： （1） sin 與sin 2 ；（2）sin 5 與sin 7 ． 7 7 8 8 解 根據正弦函數的圖像和性質可知： （1）因為0 ，正弦函數 7 7 2 y=sinx 在區間 0 上是增函數，所以 ， 2 sin sin ； 7 7 （2）因為 ，正弦函數 2 8 8 y=sinx 在區間 上是減函數，所以 2 sin sin ． 8 8 例 4 求函數 y sin x 的定義域． 解 要使函數 y sin x 有意義， 必須使 sin x≥0 ． 觀察由正弦函數正弦函數 y=sinx 在 [0,2π]上的圖像. 發現，在[0,2π]內，符合題意的 x 滿足 0 講解 提問 引導 講解 提問 巡視引導 講解 提問 交流 思考 解決 交流 思考 解決問題 交流 思考 幫助學生加強對正弦函數單調性的理解 數形結合加強對正弦函數的圖像和周期性的理解
≤x≤π．由函數的周期性得： 2kπ≤x≤π+2kπ(k∈Z)， 故函數的定義域為{x|2kπ≤x≤π+2kπ,k∈Z}． 溫馨提示 對含三角函數的函數式求定義域時，除了考慮函數式有意義之外，還要注意三角函數的周期性． 探究與發現 對于函數 y=sinx (x∈R) ，有 sin + 2 6 3 =sin 成立．這是否說明 2 是函數 y=sinx (x 6 3 ∈R)的一個周期？為什么？ 引導 講解 補充說明 解決 領會 體會領悟 強調思維的嚴謹性和知識的簡單應用 加深對周期概念的理解
鞏固練習 練習 4.6.2 下列各等式能否成立？為什么？ （1） 2sinx=3； （2） sin2 x 1 ． 4 當自變量 x 為何值時，下列各函數取得最大值和最小值？ （1） y 1 sin x ； （2） y=2sinx-1． 2 函數 y=a+2sinx 的最小值是 5，求 a 的值． 不求值，比較下列各對正弦值的大 小. （1） sin(-65°)與 sin(-70°)； 提問巡視 指導 思考 動手求解 交流 通過練習及時掌握學生情況查漏補缺
sin 與sin ； 8 7 sin 與sin ； 18 10 sin 與sin ． 4 4 5.求函數 y sin x 的定義域.
歸納總結 引導總結 反思交流 培養學生總結學習過程能力
布置作業 書面作業：完成課后習題和學習與訓練； 查漏補缺：根據個人情況對課題學習復習與回顧； 拓展作業：閱讀教材擴展延伸內容. 說明 記錄 繼續探究延伸學習

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