資源簡介

授課題目 4.5 誘導公式 選用教材 高等教育出版社《數學》 2021 十四五 （基礎模塊上冊）（修訂版）
授課 時長 4 課時 授課 類型 新授課
教學提示 本課將從具有特殊位置關系的角出發，借助單位圓和三角函數的定義得到誘導公式，通過例題，學習誘導公式在三角函數求值與化簡中的作用，以及用誘導公式求任意角的三角函數值，進行簡單的化簡 與證明的一般過程和常用方法．
教學目標 知道角 2k ＋α、 α、 ＋α、 －α 與角 α 的終邊之間的關系，能利用這些角終邊之間的關系推導它們的三角函數值的關系． 能利用誘導公式將任意角的三角函數化為 0～2π 進而化為銳角的三角函數求解；對某些三角函數值進行求值、化簡及簡單的證明，提升計算能力． 可以利用計算器求任意角三角函數值．
教學 重點 能運用誘導公式解決一些簡單的求值、化簡、證明等問題．
教學 難點 誘導公式的推導．
教學 環節 教學內容 教師 活動 學生 活動 設計 意圖
引入 在 4.3 節，為求得任意角的三角函數值，我們依據三角函數的定義，在角 α 的終邊上取一點 P，通過點 P 的坐標求出任意角 α 的三角函數值．是否還有其他方法呢？ 我們可以通過誘導公式將任意角的三角 函數轉換為銳角的三角函數求解． 提示點撥 回憶思考 從知識銜接角度引出新的學習內容
情境導入 1.角 2kπ＋α (k∈Z)與角α 的三角函數間的關系 角13 與角 的終邊有什么關系？這兩個 6 6 角的正弦、余弦、正切之間有什么關系？ 提出問題 交流討論 利用特殊角的終邊的位置關系引出新 知
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探索新知 如左圖所示，角13 與角 的終邊相同， 6 6 它們的正弦、余弦、正切的值分別對應相等，即 sin 13 sin ， 6 6 cos 13 cos ， 6 6 tan 13 tan . 6 6 一般地，如右圖所示，由三角函數的定義可知，終邊相同的角的同名三角函數值相等．即 sin(2k ＋α) = sinα； cos(2k ＋α) = cosα； tan(2k ＋α) = tanα ． 利用公式，可以將任意角的三角函數轉 化為[0，2π)內的角的三角函數． 展示圖像提出問題 展示引導 歸納 觀察圖像思考分析 觀察思考 總結 展示角的特殊位置關系幫助學生更加直觀考慮問題，數形結合考慮問題， 透直觀想象核心素養
典型例題 例 1 求下列各三角函數值： （1）sin780 ；（2）cos 9 ；（3）tan ． 4 6 解（1）sin780 =sin(2×360 ＋60 )=sin60 = 3 ； 2 （2） cos 9 = cos 2 + = cos = 2 ； 4 4 4 2 （3）tan = tan 2 + = tan = 3 ． 6 6 6 3 提問引導講解 思考分析解答 解決問題鞏固新知
情境導入 2.角-α與角α 的三角函數間的關系 角 與角 的終邊有什么關系？這兩個角 6 6 的正弦、余弦、正切之間有什么關系？ 提出問題 交流討論 從特殊角終邊關系引出新知
探索新知 如左圖所示，角 與角 的終邊關于 6 6 x 軸對稱，由三角函數的單位圓定義可得 sin sin ， 6 6 cos cos ， 6 6 tan tan . 6 6 一般地，設角 α 與角-α 的終邊與單位圓的交點分別是點 P 和 P’，如右圖所示，則點 P 和 P’的坐標分別為(cosα，sinα)與(cos(-α) ， sin(-α))． 因為角 α 的終邊與角-α 的終邊關于 x 軸對稱，所以點 P 和 P’邊關于 x 軸對稱，因此它們的橫坐標相同，縱坐標互為相反數，即 cos(-α)=cosα，sin(-α)=-sinα． 又由同角三角函數基本關系式，有 tan(-α)= cos( α ) = -tanα. sin( α ) 于是，得 sin( α) = sinα； cos( α) = cosα； (4-2) 展示圖像提出問題 展示引導 歸納 觀察圖像思考分析 觀察思考 總結 展示角的特殊位置關系幫助學生更加直觀考慮問題，數形結合考慮問題， 透直觀想象核心素養
tan( α) = tanα ． 利用公式可以將負角的三角函數轉化為正角的同名三角函數．
典型例題 例 2 求下列各三角函數值： （1）sin(-60 )；（2） cos ； 4 （3）tan(-30 )；（4） tan 11 ． 6 解（1）sin(-60 )=-sin60 = 3 ， 2 （2） cos =cos = 2 ， 4 4 2 （3）tan(-30 )=-tan30 = 3 3 （4） tan =tan 2 =tan 6 6 6 = tan = 3 . 6 3 提問引導講解 思考分析解答 解決問題鞏固新知
情境導入 3.角 π+α 與角α 的三角函數間的關系 角 7 與角 的終邊有什么關系？這兩 6 6 個角的正弦、余弦、正切之間有什么關系？ 提出問題 交流討論 從特殊角終邊關系引出新知
如左圖所示，角 7 與角 的終邊關于原 6 6 點中心對稱，由三角函數的單位圓定義可得 sin 7 sin ， 6 6 cos 7 cos ， 6 6 tan 7 tan . 6 6 一般地，設角 α 的終邊與角 π+α的終邊 與單位圓的交點分別是點 P 和 P’，如右圖所 展示圖像提出問題 展示引導 觀察圖像思考分析 觀察思考 展示角的特殊位置關系幫助學生更加直觀考慮問題，數形結合考慮問題， 透直觀想象核心素養
示，則點 P 和 P’的坐標分別為(cosα，sinα)與 (cos(π+α)，sin π+α)) ． 因為角 α 的終邊與角 π＋α 的終邊關于原點 O 中心對稱，所以點 P 和 P 關于原點 O中心對稱，因此它們的橫坐標互為相反數，縱坐標也互為相反數，即 cos(π＋α)＝ cos α，sin(π＋α)＝ sin α．又由同角三角函數間的基本關系式，有 tan +α sin +α sin α tan α . cos +α cosα 于是，得 sin(π+α)= sinα； cos(π+α)= cosα； (4-3) tan(π+α)=tanα. 利用公式可將角 ＋α 的三角函數轉化為角 α 的同名三角函數． 歸納 總結
典型例題 例 3 求下列各三角函數值： （1） sin 7 ； （2） cos(-240°)； 6 13 （3） tan210°； （4）cos 4 ． 解（1）sin 7 =sin + =-sin =- ； 6 6 6 2 （2）cos(-240°)=cos240°=cos(180°＋60°) = cos 60°=- ； 2 （4）cos 13 = 4 cos 2 5 cos 5 cos 4 4 4 cos 2 . 4 2 提問引導講解 思考分析解答 解決問題鞏固新知
情境導入 4.角 π-α 與角α 的三角函數間的關系 角 5 與角 的終邊有什么關系？這兩 6 6 個角的正弦、余弦、正切之間有什么關系？ 提出問題 交流討論 從特殊角終邊關系引出新知
探索新知 如左圖所示，角 5 與角 的終邊關于 y 6 6 軸對稱，由三角函數的單位圓定義可得， sin 5 =sin ， 6 6 cos 5 =-cos ， 6 6 tan 5 =-tan . 6 6 一般地，設角 α 與角 π-α的終邊與單位圓的交點分別是點 P 和 P’，如圖所示，則點 P 和 P’ 的 坐 標 分 別 為 (cos ， sinα) 與 (cos(π-α)，sin π-α)) ． 因為角 α 的終邊與角 π-α的終邊關于 y軸對稱，所以點 P 和 P’關于 y 軸對稱，因此，它們的橫坐標互為相反數相同，縱坐標相等，即 cos(π-α)=-cosα，sin(π-α)=sinα． 又由同角三角函數間的基本關系式，有 tan α sin α sin α tan α . cos α cosα 于是，得 sin( α)=sinα， cos( α)= cosα， (4-4) tan( α)= tanα. 利用公式，將角 α 的三角函數轉化為 展示圖像提出問題 展示引導 歸納 觀察圖像思考分析 觀察思考 總結 展示角的特殊位置關系幫助學生更加直觀考慮問題，數形結合考慮問題， 透直觀想象核心素養
角 α 的三角函數．
典型例題 例 4 求下列各三角函數值. （1）cos 5 ；（2）tan495°；（3）sin 2 . 6 3 解 （1）cos 5 =cos =-cos = 3 ； 6 6 6 2 （2）tan495°= tan(360°＋135°)=tan(180°- 45°)=-tan45°=-1. （3）sin 2 =-sin 2 =-sin 3 3 3 =-sin = 3 . 3 2 sin( α ) . 例 5 化簡cos( α ) tan(3 α ) sin( α ) sinα 解 cos( α ) tan(3 α ) ( cosα )( tanα ) sin α 1. cosα sin α cosα 公式(4-1)—(4-4)這些都是三角函數的誘導公式，利用這些公式可以將任意角的三角函數轉化為銳角三角函數進行計算． 探究與發現 把任意角的三角函數轉化為銳角三角函數的一般步驟是什么？ 嘗試結合-750 、 225 、510 舉例說明. 提問引導講解 提問引導講解 思考分析解答 思考分析解答 解決問題鞏固新知 圍繞公式鍛煉學生靈活運用誘導公式的能力
探索新知 在實際問題中，經常利用科學型計算器求任意角的三角函數值． 用科學型計算器計算任意角的三角函數 值的主要步驟： 講解演示 模仿學習 體現信息技術在三角函數中 的應用
設置角度單位(角度制或弧度制)→按 鍵( 或按鍵) →輸入角的大小→按鍵顯示結果．
典型例題 例 6 利用科學型計算器，求下列各三角函數值(保留到小數點后第三位). （1） sin 2 ；（2） tan47.6°． 7 解 （1）將科學型計算器設為弧度制模式：依次按鍵 ； 輸入函數名，輸入角， 依次按鍵 ，結 果顯示“0.7818314825”. 因此， sin 2 ≈0.782． 7 （2）將科學型計算器設置為角度制模式：依次按鍵 ； 輸入函數名，輸入角： 依次按鍵 ， 結 果 顯 示 “1.095139739”. tan47.6°≈1.095． 提問 示范說明 說明注意事項 思考 模仿操作 注意操作規范 學習一般流程體會利用科學型計算器可以方便地計算任意角的三角函數值體驗信息技術應用
鞏固練習 練習 4.5 利用誘導公式(4-1)，求下列各三角函數值： （1）cos 9 ； （2） tan 10 ； 4 3 （3） cos570°；（4）sin(-315°) . 利用誘導公式(4-1)、(4-2)，求下列各三角函數的值. 提問 巡視 思考 動手求解 通過練習及時掌握學生的知識掌握情況，查漏補缺
（1）tan(-45°)； （2）sin 25 ； 4 （3）cos(-780°) ；（4） sin(-1800°) ． 利用誘導公式(4-1)、(4-2)、(4-3)，求下列各三角函數的值. （1）cos ； （2）sin 10 ； 4 3 （3）sin(-210°) ；（4）tan ． 4 利用誘導公式求下列各三角函數的值. （1）cos 7 ； （2）tan 4 3 （3）sin840° ； （4）cos ． 6 將下列三角函數轉化為 0, 內角的 2 三角函數． （1）cos(1+π)；（2）sin ；（3）tan . 7 5 化簡. cos α tan 180 α （1） ； sin 180 α cos α tan α tan α （2） sin α . 利用科學型計算器，求下列各三角函 數的值（保留到小數點后第 3 位）. （1）sin25°； （2） cos 3 ； 11 （3）tan70°21′；（4） sin ． 7 指導 交流
歸納總結 引導 提問 回憶 反思 培養學生總結學習過程能力
布置作業 書面作業：完成課后習題和學習與訓練； 查漏補缺：根據個人情況對課題學習復習與回顧； 拓展作業：閱讀教材擴展延伸內容. 說明 記錄 繼續探究延伸學習

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