資源簡介

授課題目 4.4 同角三角函數的基本關系 選用教材 高等教育出版社《數學》 2021 十四五 （基礎模塊上冊）（修訂版）
授課 時長 2 課時 授課 類型 新授課
教學提示 本課從熟悉的特殊角的三角函數值之間的關系出發，借助三角函 數的定義利用單位圓，推導同角三角函數的平方關系和商數關系，學習利用同角三角函數的基本關系進行有關的化簡和計算的常見方法．
教學目標 經歷利用單位圓和三角函數定義推導同角三角函數的平方關系和商數關系的過程． 熟記同角三角函數基本關系式，并會通過一個三角函數值求出另外兩個三角函數值，體會“知一求二”． 能應用同角三角函數基本關系式進行簡單的化簡與證明，并在 此過程中可以總結出化簡與證明的一般規律．
教學重點 關系式的推導過程；靈活運用同角三角函數的基本關系式解決求 值、推理等問題．
教學 難點 理解和識記兩個公式；已知正切值求正弦值和余弦值．
教學 環節 教學內容 教師 活動 學生 活動 設計 意圖
引入 同角三角函數的基本關系是在任意角三角函數定義的基礎上，建立起三個三角函數的聯系，從而解決已知角 α 的一個三角函數值，求該角的其余三角函數值的問題．同角三角函數的基本關系式在解決三角函數的化 簡、求值、證明中具有重要作用． 引導 思考 闡述學習主題
情境導入 我們知道，對于任意角 α 的正弦函數 sinα、余弦函數 cosα 和正切函數 tanα，都是角 α 的三角函數，那么這些三角函數之間存 在怎樣的關系呢？ 提問啟發引導 思考作答交流 引發學生思考，引出學習主 題
探索新知 一般地，設點 P (x，y)是角 α 的終邊與單 位圓 O 的交點，則 闡述 講解 理解 領會 從一般情 況入手分
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|OP|=1，x=cosα，y=sinα. 因為|OP|=r=√x +y ，所以 x +y =1， 即 sin α+ cos α =1. 顯然，當 α 的終邊與坐標軸重合時，這個公式也成立． 而當 α≠ +kπ(k∈Z)時，有 2 tan α = y = sin α . x cosα 由此得到同角三角函數間的基本關系式： sin α+ cos α =1 sin α tan α =cosα 這說明，同一個角 α 的正弦、余弦的平方和等于 1，商等于角 α 的正切． 溫馨提示 在運用統計三角函數的基本關系解決問題時，要特別注意“同角”二字，如， 如 sin 35°+ cos 35°=1，tan35°= sin 35 ； cos 35 sin β sin β+ cos β=1，tanβ= ； cos β 析，幫助
學生理解
公式適用
的普遍性
借助 數形
圖像 結合
講解 理解 數形結合
思考問題
提升直觀
想象核心
素養
歸納 理解
指導 歸納
強調 領會 借助正反
例進行說
明，加深
對公式的
理解以及
sin 2α+ cos 2α=1，tan2α= sin 2α ； cos 2α 以上各式都符合同角三角函數基本關系式的形式，所以都成立． “同角”的含義
例 1 已知sin α = 4 ，且角 α 是第二象限角， 5 求 cosα 和 tanα． 解 因為 sin α+cos α=1，所以 4 2 3 |cosα|= 1－sin2α = 1 = ． 5 5 又因為 α 是第二象限角，所以 cosα＜ 0，因此 cosα= 3 ， 5 從而 sin α
tanα= = cos α 例 2 已知 tanα= 5，且 α 是第四象限角.求 sinα 和 cosα． 解 由題設及同角三角函數間的基本關系，得方程組： sin2 α cos2 α 1 (1) sin α cosα 5 (2) 由(2)式得 sinα= 5cosα，代入(1)，得 （ 5cosα）2 + cos2α =1， 1 即 6cos2α =1，所以 cos2α = 6，因此 |cosα| = 6 ． 6 提問 思考 強調綜合
運用同角
三角函數
引導 分析 基本關系
與算數根
知識解決
講解 解決 問題掌握
常用解決
問題方法
強調 交流 和思路
典型
例題 提問 思考
鞏固綜合
運用同角
引導 分析 三角函數
基本關系
與算數根
講解 解決 知識解決
問題掌握
常用解決
強調 交流 問題的一
般方法和
思路
因為 α 是第四象限角，cosα＞0．所以 cosα = 6 ， 6 sinα= 5cosα= 5× 6 30 ． 6 6 例 3 化簡： sinα cosα ． tanα 1 解 因為 tanα-1= sinα = sinα cosα ， cosα cosα sinα cosα sinα cosα 所以 tanα 1 = sinα cosα =cosα . cosα 例 4 求證： sinα = 1 cosα ． 1+cosα sin α 證明 因為 sinα 1- cosα sin2 α 1- cos2 α - 1 cosα sinα 1 cosα sinα sin α sin α 0 2 2 (1 cosα ) sin α 所以 sinα = 1 cosα ． 1+cosα sin α 3sin α +4 cosα 例 5 已知 tanα=2，求 2sinα cosα ． 解法一 由 tanα=2，得 sin α =2 ，即 cosα sinα=2cosα， 所以 3sin α +4 cosα = 3 2 cosα +4 cosα 2sinα cosα 2 2sinα cosα = 10 cosα 10 . 3cosα 3 解法二 3sin α +4 cosα 3sin α +4 cosα = cosα 2sinα cosα 2sinα cosα cosα 提問引導講解強調 提問引導講解強調 提問引導講解強調 提出 思考分析解決交流 思考分析解決交流 思考分析解決交流 思考 例 3 利用同角三角函數進行恒等變形解決問題 例 4學習三角恒等式證明的常用方法鍛煉學生靈活運用公式能力體會化歸思想方法 例 5 結合 “ 齊 次式”問題，引導學生分析蘊含的“數學的 邏 輯美”并總 結此類問
= 3 tan α +4 3 2 4 10 . 2tanα 1 2 2 1 3 探究與發現 sinα+cosα 與 sinαcosα 之間有什么關系？ 問題 交流 題一般解題方法
鞏固練習 練習 4.4 已知sinα 3 且 α 是第二象限角，求 2 cosα 和 tanα． 已知cosα 2 且 α 是第三象限角， 2 求 sinα 和 tanα． 已知tanα 3 且 α 是第一象限角，求 4 sinα 和 cosα． 化簡： 1 cosαtanα 2 2 cos2 α 1 （ ） ； （ ） ； 1 2sin2 α （3） 1 sin2 α ，其中 α 為第二象限角． 5．已知 tanα= 4，求下列各式的值： （1） sin α cosα ；（2） 1 . sin α cosα cos2 α sin2 α 6．求證： 1+ sin α = cosα ． cosα 1 sin α 7．化簡： 1 2sinα cosα ，其中 α 為第 一象限角． 提問 巡視 指導 思考 動手求解 交流 通過練習及時掌握學生的知識掌握情況，查漏補缺
歸納總結 引導 提問 回憶 反思 培養學生 總結學習過程能力
布置作業 書面作業：完成課后習題和學習與訓練； 查漏補缺：根據個人情況對課題學習復習與回顧； 拓展作業：閱讀教材擴展延伸內容. 說明 記錄 繼續探究延伸學習

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