資源簡介

授課題目 4.3 任意角的三角函數 選用教材 高等教育出版社《數學》 2021 十四五 （基礎模塊上冊）（修訂版）
授課 時長 3 課時 授課 類型 新授課
教學提示 本課借助直角三角形中定義的銳角三角函數，在角的概念推廣的基礎上進行推廣，在平面直角坐標系中定義三角函數，并借助單位圓加深對任意角三角函數的定義的理解，學習根據任意角三角函數的定 義判斷角的三角函數值的符號．
教學目標 在銳角三角函數定義的基礎上理解任意角三角函數的定義，知道角 α 的三角函數值與在角 α 終邊上點的選取無關；能根據角的終邊上除原點外的任意一點的坐標求出這個角的正弦值、余弦值和正切值． 學會利用任意角三角函數的定義推斷三角函數值在各象限的符號，能通過角為第幾象限角，判斷給定角的正弦值、余弦值和正切值的符號，也可以由三角函數的符號判斷角的終邊所在的位置． 能熟記 0 到 π 之間的特殊角的正弦值、余弦值和正切值． 能根據任意角的三角函數的定義推導出角的終邊與單位圓的交 點坐標，反之，由角的終邊與單位圓的交點坐標，也能得到角的正弦值與余弦值．
教學 重點 任意角三角函數的定義及應用．
教學難點 任意角三角函數的定義的理解；角 α 的三角函數值與在角 α 終邊 上點的選取無關；各象限的角的三角函數值的符號的推斷．
教學 環節 教學內容 教師 活動 學生 活動 設計 意圖
引入 三角函數是基本初等函數之一，在研究三角形、圓和其他多邊形等幾何圖形的性質時有重要作用，也是研究周期性現象的數學工具，在導航、工程學以及物理學等方面都 有廣泛的應用. 講解介紹 傾聽思考 介紹知識背景
情境導入 4.3.1 任意角的三角函數定義 在義務教育階段，我們學習了銳角三角 引導 回憶 借助原有
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函數. sin A 角A的對邊 BC 斜邊 AB cos A 角A的鄰邊 AC 斜邊 AB tan A 角A的對邊 BC . 角A的鄰邊 AC 角的概念推廣之后， 任意角的正弦函數、余弦函數、正切函數等三角函數如何定義呢？ 為新知學
習知識做
提問 思考 好鋪墊，
體會從特
殊到一般
啟發 作答 的思想方
法
指導 交流
設角 α 為平面直 角坐標系 Oxy 中的任意一個角， 在其終邊上任取與原點 O 不重合的一點 P(x，y) ， 則 |OM|=|x|， |MP|=|y|．點 P 到原點 O 的距離 |OP|=r= x2 y2 r＞0 . 由相似三角形的性質可知：比值 y x y 、、 r r x (x≠0)，只依賴于角 α 的大小， 與點 P 在角 α終邊上的位置無關.因此，對任意角 α，有如下定義： y 稱為角 α 的正弦，記作 sinα，即 sinα= y ， r r 講解 觀察 將銳角三
角形中的
三條邊與
點的坐標
對 應 起
來，幫助
學生更加
探索 新知 說明 思考 直觀認識
問題
感受發現
的樂趣
介紹 理解
x 稱為角 α 的余弦，記作 cosα，即 cosα= x ， r r y 稱為角 α 的正切，記作 tanα，即 tanα= y ， x x (x≠0)． 可以看出，對于每一個確定的角 α，都有唯一確定的正弦值、余弦值與之對應，即： sinα 與 cosα 是以角 α 為自變量的函數，分別稱為正弦函數與余弦函數，它們的定義域都是 R． 當α +k k Z 時，點 P 的橫坐標 2 x=0，這時 tanα 沒有意義．除此之外，對于每一個確定的 α，都有唯一確定的正切值與之對應，因此 tanα 也是以角 α 為自變量的函數，稱為正切函數，其定義域為 α α +k k Z ． 2 正弦函數、余弦函數和正切函數統稱為三角函數． 引導 思考 x 比值 r ， y ， y r x 與角 α 終邊 上 點 P(x，y)的位 置 無關，而這三個比值的大小隨著角 α 的大小變化而變化，因此它們是角 α 的函數，體現函數思想
歸納 領會
定義 理解
例 1 已知角 α 的終邊經過點 P( 4， 3)，求角 α 的正弦、余弦和正切． 解 因為 x= 4 ， y=3，所以 r= ( 4)2+32 ＝5． 由三角函數的定義，得 sin α = y = 3 ， r 5 提問 思考 直接利用
定義求三
引導 分析 角函數值
加強對定
講解 解決 義的理解
典型 例題 直接利用
強調 交流 三角函數
的定義求
值，加強
對定義的
理解，提
cosα = x = 4 ， r 5 tan α = y = 3 ． x 4 例 2 求終邊在射線 y=2x(x≥0)上的角的正弦、余弦和正切. 解 在射線 y=2x(x≥0)上取點 P(1，2)，則 x=1，y=2，r = 12 22 5 ．所以 sin α = y = 2 = 2 5 ， r 5 5 cosα = x = 1 = 5 ， r 5 5 tan α = y = 2 =2 . x 1 溫馨提示 由三角函數的定義可知， 角 α 的三角函數值只與這個角有關，與點 P 在角α 終邊上的位置無關． 因此，點 P 的坐標的選取應盡量使計算簡便． 探究與發現 設角 α 為第四象限角，其終邊上的一個 點是 P x, 5 ，且cosα = 2 x ，試求 sinα 和 4 tanα 的值． 提問 思考 升直觀想
象核心素
引導 分析 養
講解 解決 例 2 是求
特殊角的
強調 交流 三角函數
值的示例
明確了比
說明 理解 值與角 α
終邊上點
強調 體會 P 的位置
無關以及
選點的技
引發 討論 巧，滲透
思考 交流 了不斷優
化的思想
和勇于探
索的精神
含參數的
數學問題
是對任意
角的三角
函數公式
的逆應用
鞏固練習 練習 4.3.1 1.已知角 α 終邊上的點 P 的坐標如下，分別求出角 α 的正弦、余弦和正切. 提問 思考 通過練習及時掌握
（1） (4，3)； （2）(2，0) ；（3）(0，1) ； （4）(-12，5) ；（5）(1， 2). 已知角 α 的終邊經過點(a， 1)，且 tan α = 1 ，求 a 的值． 2 已知角 α 為第二象限角， 其終邊上一點 P 的橫坐標為 8，|OP|=10. 求角 α 的正弦、余弦和正切值． 已知角 α 的終邊在射線 y= 3x(x≥0) 上，求角的正弦、余弦和正切. 學生的知
巡視 動手 識掌握情
求解 況，查漏
補缺
指導 交流
引入 4.3.2 單位圓與三角函數 半徑為 1 的圓稱為單位圓．在平面直角坐標系中，以原點 O 為圓心，1 為半徑的圓就是單位圓．單位圓廣泛應用于三角函數，對正弦函數、余弦函數、正切函數的定義以及三角函數圖像的繪制都有極為重要的作 用． 講解 傾聽 為新知學習做鋪墊
在單位圓上，角α的終邊與單位圓的交點 P 的坐標可以用角α的三角函數表示嗎？ 提問 思考 結合單位
圓與三角
情境 導入 啟發 作答 函數引發
學生思考
引導 交流
角α的終邊與單位圓相交于點 P(x，y)，則 r=|OP|=1， 由正弦函數和余弦函數的定義， 得 sinα = y y y ，cosα= x x x ． r 1 r 1 由此可知，角α的終邊與單位圓的交點 講解 理解 發現規律
體會數形
新知 結合思想
探索 說明 記憶 方法
P 的坐標可以表示為(sinα，cosα). 例如，30°角的終邊與單位圓的交點坐標 3 1 可以表示為(cos30°，sin30°)，即 2 , 2 ； 60°角的終邊與單位圓的交點的坐標可以表 1 3 示為(cos60°，sin60°)，即 2 , 2 ；130°角 的終邊與單位圓的交點坐標可以表示為 (cos130°，sin130°) ． 一般地，角 α 的終邊與單位圓的交點為 P(x，y)， 那么 cosα=x，sinα=y， tanα= y x 0 . x 根據點 P 的橫坐標 x 和縱坐標 y 的符號，我們可以確定當角 α 的終邊在不同的象限時，sinα，cosα 與 tanα 的符號． 啟發 體會
舉例 領會 舉例說明
幫助學生
理解單位
提示 思考 圓與三角
函數的關
系
總結
規律
歸納 思考 結合坐標
引發 交流 軸記憶和
思考 討論 總結更加
生動提升
直觀想象
核心素養
例 3 求 90°角的正弦、余弦和正切. 提問 思考 數形結合
典型例題 解 90°角的終邊與單位圓的角的交點坐標 為(0，1) ， 加深體會 利用單位
所以 sin90°=1，cos90°=0，tan90°不存在. 引導 解決 圓求界限
溫馨提示 0°角、180°角、270°角和 360°角的正弦、余弦和正切值. 例 4 求 2 rad 角的正弦、余弦和正切. 3 解 在平面直角坐標系中，做∠AOP= 2 和 3 單位圓 O，如圖所示，設點 P(x，y)是角 2 3 的終邊與單位圓的交點，其坐標可表示為 cos 2 ,sin 2 ． 3 3 在 Rt△POM 中，因為∠POM= ， 3 ∠OPM= ，|OP|=1 ． 6 所以|OM|= ，|MP|= 3 . 2 2 即 x=- ，y= 3 .所以 2 2 角的三角
函數
講解 交流
提示 填寫 適時總結
總結 表格 加深認識
提問 思考 即時應用
解決問題
引導 分析
講解 解決
強調 交流
指導 計算
cos 2 =x=- ， 3 2 sin 2 =y= 3 ， 3 2 3 tan 2 = y = 2 = 3 . 3 x 1 2 例 5 判斷下列各三角函數值的符號. （1）sin(-325°)； （2）cos 3 ； 5 （3）tan4252°； （4）sin 19 ． 6 解 （1）因為-325°=35°-360°，所以－325°角是第一象限角，故 sin(-325°)＞0； 因為 3 弧度的角是第二象限角，所 5 以 cos 3 ＜0； 5 因為 4252°=292°＋11×360°，所以 4252°角是第四象限角，因此 tan4252°＜0； （4）因為 = ＋2π，所以 弧度的角 6 6 6 是第三象限角，故 sin ＜0． 6 例 6 已知 cosθ＞0，且 tanθ＜0，試確定角θ 是第幾象限角． 解 因為 cosθ＞0，所以角θ可能是第一或第四象限角，也可能終邊在 x 軸的正半軸上. 又因為 tanθ＜0，所以角θ可能是第二或第四象限角． 故滿足 cosθ＞0 且 tanθ＜0 的角θ是第四 象限角． 提問 思考 典型示例
引導 分析 如何確定
已知角的
講解 解決 三角函數
強調 交流 值的符號
的一般過
程，強化
理解
巡視 嘗試
指導 解決
分析 求解 逆向思維
問題培養
學生邏輯
推理能力
鞏固練習 練習 4.3.2 1．判斷下列三角函數值的符號： （1） sin156°； （2）cos ； 5 提問 思考 通過練習及時掌握
（3）cos( 440°)；（4） tan ； 8 （5）sin2； （6）tan556°． 2.計算： （1）7cos270°+12sin0°+2tan0° 8cos180°； （2）5cos180° 3sin90°+2tan0° 6sin270°； （3）cos tan0+ tan π sin +cosπ． 2 3 2 3.求下列各角的正弦、余弦和正切值． (1) ； (2) ． 6 4 4.已知 sinθ＜0 且 tanθ＜0，試確定角 θ 是第幾象限角． 學生情況
查漏補缺
巡視 動手
求解
指導 交流
歸納總結 引導 提問 回憶 反思 培養學生總結學習過程能力
布置作業 書面作業：完成課后習題和學習與訓練； 查漏補缺：根據個人情況對課題學習復習與回顧; 拓展作業：閱讀教材擴展延伸內容. 說明 記錄 繼續探究延伸學習

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