資源簡(jiǎn)介

授課題目 4.2 弧度制 選用教材 高等教育出版社《數(shù)學(xué)》 2021 十四五 （基礎(chǔ)模塊上冊(cè)）（修訂版）
授課 時(shí)長(zhǎng) 2 課時(shí) 授課 類(lèi)型 新授課
教學(xué)提示 本課通過(guò)類(lèi)比其他度量制，感知弧度制引入的可能性和必要性，學(xué) 習(xí)引入弧度制的意義，進(jìn)行角度與弧度的換算的一般方法，學(xué)習(xí)弧度制下弧長(zhǎng)公式和扇形面積公式的推導(dǎo)，并會(huì)進(jìn)行有關(guān)的計(jì)算.
1．能從熟悉的角度制引申到弧度制，知道引入弧度的必要性，理
解定義 1 弧度的合理性，知道使用弧度制的優(yōu)勢(shì)．
2．能區(qū)分角度制與弧度制，知道角度與弧度的換算關(guān)系，能將角
教學(xué)目標(biāo) 度與弧度進(jìn)行互化． 3．會(huì)用函數(shù)型計(jì)算器進(jìn)行給定角度與弧度的互化．
4．經(jīng)歷弧度制下弧長(zhǎng)公式和扇形面積公式的推出過(guò)程，并能應(yīng)用
公式求弧長(zhǎng)和扇形的面積，培養(yǎng)學(xué)生思考問(wèn)題的意識(shí)與解決問(wèn)題的能
力．
教學(xué) 重點(diǎn) 角度與弧度的轉(zhuǎn)化.
教學(xué) 難點(diǎn) 1 弧度角的定義的理解.
教學(xué) 環(huán)節(jié) 教學(xué)內(nèi)容 教師 活動(dòng) 學(xué)生 活動(dòng) 設(shè)計(jì) 意圖
日常生活中，很多量可以用不同的單位 講解 回憶 借助原有
引入 進(jìn)行度量．如，體積有 m (立方米)、L(升)等不同的度量單位；溫度有℃ (攝氏溫度)、F(華 氏溫度)、K(開(kāi)爾文)等不同單位． 介紹提問(wèn) 思考作答 知識(shí)為學(xué)習(xí)做好鋪 墊
角也有不同的度量單位，除了義務(wù)教育
階段所學(xué)的“°”之外，還有一個(gè)度量單位— —rad(弧度)．
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情境導(dǎo)入 把一個(gè)周角 360 等分，每 1 份圓弧所對(duì)的圓心角就是 1 度的角，記作 1°． 這種用“°”(度)作為單位來(lái)度量角的制度成為角度制． 規(guī)定 1°=60’，1’=60’’ ，這種用六十進(jìn)制的方法來(lái)度量的角，在進(jìn)行十進(jìn)制運(yùn)算時(shí)，常會(huì)帶來(lái)單位換算等不必要的麻煩，能否建 立一種十進(jìn)制的度量體系來(lái)度量角呢？ 提問(wèn)啟發(fā) 思考作答 增強(qiáng)感性認(rèn)識(shí)同時(shí)引發(fā)學(xué)生深入思考
探索新知 在義務(wù)教育階段我們學(xué)過(guò)，在半徑為r 的圓中（如下圖所示），n°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng) 為 l=nπr，可得， 180 l ·n， r 180 而 是一個(gè)定值．這說(shuō)明 l 比值與半徑的 180 r 長(zhǎng)度無(wú)關(guān)，只與 n°角的大小有關(guān)． 因此，我們可以用弧長(zhǎng)與半徑的比值 l r 來(lái)表示這個(gè)圓弧所對(duì)的圓心角的大?。?規(guī)定：弧長(zhǎng)等于半徑(即 l =1)的圓弧所對(duì) r 的圓心角稱為１弧度的角，如下圖所示，記作“1rad”，讀作“1 弧度”．以“弧度”為單位來(lái)度量角的制度稱為弧度制． 同時(shí)規(guī)定，正角的弧度數(shù)是正數(shù)，負(fù)角 的弧度數(shù)是負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)是零． 點(diǎn)撥講解 說(shuō)明 歸納定義 講解說(shuō)明 理解領(lǐng)會(huì) 理解 領(lǐng)會(huì)思考 理解含義 強(qiáng)調(diào)對(duì)于任何一個(gè)圓心角α，所對(duì)弧長(zhǎng)與半徑的比值是一個(gè)僅與角 α 的大小有關(guān)的常數(shù)，因此，弧長(zhǎng)等于半徑的弧所對(duì)的圓心角的大小不隨半徑的變化而變化，而是一個(gè)大小確定的角，這是弧度制
半徑為 r 的圓中，長(zhǎng)度為 l 的圓弧所對(duì)的圓心角的大小為 α，如下圖所示，則 |α|= l . r 其中，角 α 的正負(fù)由角 α 的終邊的旋轉(zhuǎn)方向決定． 因?yàn)榘霃綖?r 的圓的周長(zhǎng)是 2πr，如下圖所示，所以周角的弧度數(shù)是 2 r =2π， r 故有 360°=2π rad. 或 180°=π rad． 由此可得弧度制與角度制的換算公式： 1°= rad≈0.017 45rad， 180 1rad= 180 ≈57.3°. 溫馨提示 用弧度制表示角時(shí)， 可以省略單位 講解分析 借助圖形說(shuō)明 講解 說(shuō)明 說(shuō)明 理解 思考 觀察圖形思考 領(lǐng)會(huì) 理解 思考 定義的基礎(chǔ) 學(xué)生通過(guò)觀察思考參與知識(shí)形成過(guò)程感受探索和發(fā)現(xiàn)的樂(lè)趣提升直觀想象核心素養(yǎng) 數(shù)形結(jié)合解決問(wèn)題同時(shí)提升數(shù)學(xué)運(yùn)算和直觀想象核心素養(yǎng)
“rad”．如“2rad”可以寫(xiě)成“2”． 但是，在用角度制表示角時(shí)，不能省略單位“°”．
典型例題 例 1 把 100°轉(zhuǎn)換為弧度. 解 100 = 100 rad= 5 rad . 180 9 例 2 把 8 化成角度． 5 解 8 8 180 288 . 5 5 例 3 扇形的圓心角為 α(0＜α＜2π) ，半徑為 r，弧長(zhǎng)為 l，扇形面積為 S，求證： （1） l=αr ; （2） S = 1 lr. 2 證明 （1）因?yàn)閨α | l ，而 0＜α＜2π，所以 r α l ，即 l=αr. r （2）因?yàn)閳A心角為 1rad 的扇形面積為 1 2 r2 r ，所以圓心角為的扇形面積為 2 2 r2 l r2 1 S α lr. 2 r 2 2 例 4 利用科學(xué)型計(jì)算器進(jìn)行角度與弧度的轉(zhuǎn)換： 把 67°30′轉(zhuǎn)換為弧度(保留到小數(shù)點(diǎn)后第 2 位)； 把 3.14rad 轉(zhuǎn)換為角度(保留到小數(shù)點(diǎn)后第 2 位)． 分析 利用科學(xué)型計(jì)算器進(jìn)行角度 提問(wèn)引導(dǎo) 講解強(qiáng)調(diào) 提問(wèn) 引導(dǎo) 講解 強(qiáng)調(diào)展示 分析講解 思考分析 解決交流 思考 分析 解決 交流操作 思考領(lǐng)會(huì) 鞏固角度與弧度轉(zhuǎn)換常用方法 以證明題方式給出弧度制下弧長(zhǎng)和扇形面積公式，強(qiáng)調(diào)弧長(zhǎng)公式 l ＝ |α|·r中的 α 是圓心角的弧度數(shù) 介紹借助信息技術(shù)多種計(jì)算方式提升學(xué)生運(yùn)用計(jì)算工具
與弧度的轉(zhuǎn)換時(shí)，應(yīng)先確定角的度量單 位．設(shè)置角的度量單位為“度”或“弧度”的方法是：依次按鍵： (角度制 模式)或 (弧度制模式)．如圖所示. 解 （1）第一步：將科學(xué)型計(jì)算器設(shè)為弧度制模式. 依次按鍵 ； 第二步：輸入 67°30′，并把它轉(zhuǎn)換為弧 度. 依次按鍵 結(jié)果顯示“1.178097245”． 因此，67°30′≈1.18rad． （2）第一步：將科學(xué)型計(jì)算器設(shè)為角度制模式.依次按鍵 . 第二步：輸入“3.14”rad，并把它轉(zhuǎn)換為角度：依次按鍵 3.14， 結(jié)果顯示 “179.9087477”． 因此， 3.14 rad≈179.91°． 溫馨提示 科學(xué)型計(jì)算器的功能強(qiáng)大．不同型號(hào)的 指導(dǎo) 講解 演示 講解演示指導(dǎo) 介紹講解 嘗試 領(lǐng)會(huì) 操作 嘗試領(lǐng)會(huì)操作 操作嘗試 解決問(wèn)題的能力
計(jì)算器，按鍵操作略有不同，本套書(shū)均以下邊圖所示計(jì)算器為例進(jìn)行介紹． 1.計(jì)算器的按鍵功能 執(zhí)行印在按鍵表面上的標(biāo)記所對(duì)應(yīng)的功能，直接按對(duì)應(yīng)的按鍵； 執(zhí)行印在按鍵左上方的標(biāo)記所對(duì)應(yīng)的功能，需要先按功能控制區(qū)的鍵，再按對(duì)應(yīng)的按鍵． 2.計(jì)算器的應(yīng)用程序 計(jì)算器中有多個(gè)應(yīng)用程序，按鍵開(kāi)機(jī)，按鍵顯示主屏幕，使用方向鍵 以及翻頁(yè)鍵可以查看所有應(yīng)用程序．按方向鍵反色顯示需要使用的應(yīng)用程序圖標(biāo)后，按鍵 即可進(jìn)入．本套書(shū)在沒(méi)有特殊說(shuō)明的情況下，都默認(rèn)計(jì)算器已開(kāi)機(jī)并進(jìn)入了 “計(jì)算”應(yīng)用程序，如圖中屏幕所示． 一些特殊角的角度值和弧度值的對(duì)應(yīng) 關(guān)系： 提示總結(jié) 完成表格 適時(shí)總結(jié)加深認(rèn)識(shí)
鞏固練習(xí) 練習(xí) 4.2 如圖所示，在半徑分別為 1cm、2cm、 5cm 的圓中，分別求 1°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)與半徑之比． 如圖所示，求半徑為 20cm，弧長(zhǎng)為 100cm 的扇形圓心角是多少弧度． 把下列角度轉(zhuǎn)換為弧度． （1）22°； （2） 210°； （3） 1200°． 把下弧度轉(zhuǎn)換為角度． （1） ； （2） 4 ； （3）3． 12 3 經(jīng)過(guò)4h，時(shí)鐘的時(shí)針和分針各轉(zhuǎn)了多少度，將其化成弧度？ 用弧度制表示終邊在x軸上的角的集合． 已知一個(gè)扇形的半徑為 10 cm，圓心角 為 1.2rad，求該扇形的弧長(zhǎng)和面積． 提問(wèn) 巡視 指導(dǎo) 思考 動(dòng)手求解 交流 及時(shí)掌握學(xué)生的知識(shí)掌握情況，查漏補(bǔ)缺
歸納總結(jié) 引導(dǎo) 提問(wèn) 回憶 反思 培養(yǎng)學(xué)生總結(jié)學(xué)習(xí)過(guò)程能力
布置作業(yè) 書(shū)面作業(yè)：完成課后習(xí)題和學(xué)習(xí)與訓(xùn)練； 查漏補(bǔ)缺：根據(jù)個(gè)人情況對(duì)課題學(xué)習(xí)復(fù)習(xí)與回顧； 拓展作業(yè)：閱讀教材擴(kuò)展延伸內(nèi)容. 說(shuō)明 記錄 繼續(xù)探究延伸學(xué)習(xí)

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