資源簡介

授課題目 4.1 角的概念的推廣 選用教材 高等教育出版社《數學》 2021 十四五 （基礎模塊上冊）（修訂版）
授課 時長 2 課時 授課 類型 新授課
教學提示 本課通過熟悉的情境，感知推廣角的必要性，從運動的角度定義角，并引進正角、負角和零角，從而將角的概念推廣到任意角，進而學習終邊相同的角、象限角以及界限角等；在學習推廣角的意義和任意角所在的象限的基礎上進而識別終邊相同的角，學習用集合語言表 示終邊相同的角．
1．會結合熟悉的實例描述角的相關概念；能舉例說明正角、負角、
零角、象限角、終邊相同的角等．
2．能根據圖像判斷角是正角、負角還是零角，并能根據給出的角
教學 目標 的度數和角的始邊確定角的終邊的位置，并判斷角是第幾象限的角．
3．知道象限角的概念，并能用集合語言表示出來．
4．能寫出與角 α 終邊相同角的集合，并能找出給定范圍內與已知
角終邊相同的角．
教學重點 角的概念推廣的必要性；終邊相同的角組成的集合；角所在象限 的判斷．
教學難點 終邊相同的角的理解和表示；角所在象限的判斷；各象限的角的 表示．
教學 環節 教學內容 教師 活動 學生 活動 設計 意圖
在義務教育階段我們學習過，角是有公共端點的兩條射線構成的圖形. 角是平面內由一條射線繞著端點從一個位置旋轉到另一個位置所形成的圖形.如圖所示，如圖所示，射線的端點 O 稱為角的頂點， 旋轉起始位置的射線 OA 稱為角的始邊， 講解 回憶 借助原有
介紹 思考 知識為新
知學習做
好鋪墊
引入
提問 作答
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終止位置的射線 OB 稱為角的終邊． 這些角都可以用已經學習過的銳角、直角、鈍角、平角 、周角等表示.
4.1.1 任意角 用學生熟
（1）公園里的摩天輪，選定一個機械臂 提問 思考 悉的情境
的起始位置作為始邊，如果機械臂從這個起 引發學生
始位置旋轉一周，就說它轉過了 360°，那么 啟發 作答 思考
當它轉過一周半或者轉過兩周時，它轉過了 激發求知
多少度呢？ 引導 交流 欲調動積
摩天輪的機械臂從起始位置，旋轉了一 極性
周，則說它轉過了 360°，旋轉一周半，則說
它轉過了 540°，旋轉了兩周，則說它轉過了
情境導入 720°. （2）如果時鐘快 2h，應該如何校準？校
準過程中分針相對起始位置轉過了多少度？
如果時鐘慢了 2h 呢？
如果時鐘快了 2h，則需要將分針相對于
起始位置逆時針旋轉720°，如果時鐘慢了2h，
則需要將分針相對于起始位置順時針旋轉
720°.
由于旋轉的方向不同，其效果也不同.因
此，關于角，不僅要知道旋轉的度數，還要考
慮旋轉的方向．
探索新知 規定：一條射線繞其端點按逆時針方向旋轉形成的角稱為正角，如下圖（1）所示；按順時針方向旋轉形成的角稱為負角，如圖 （2）所示． 如果一條射線沒有做任何旋轉，也認為形成了一個角，這個角稱為零角. 分針按逆時針方向旋轉 2 周形成的角，記作 720°，如下圖（1）所示；分針按順時針方向旋轉 2 周形成的角，記作 -720°，如下圖（2）所示. 顯然，這兩個角是不一樣的. 這樣，我們不僅能表示 0°~360°范圍內的角，也能表示 0°~360°范圍之外的角．也就是把角的概念推廣到了任意角． 通常使用角的頂點或頂點與始邊、終邊上的字母來表示角.例如，下圖中的角，可以記作“∠AOB”或“∠O”. 也經常使用小寫的希臘字母 α，β， γ，… 來表示角，記作“角 α”“角 β”“角γ”……．在不引起混淆的情況下，可以簡記成“α”“β” “γ”……例如，α=420°， β= 135° ． 講解作圖 說明 舉例 講解 說明 理解觀察 思考 理解 觀察 思考 數形結合說明問題幫助學生理解動態定義角的方式提升直觀想象核心素養 加深認識通過觀察
探究與發現 設角 α 與角 β 是兩個任意角，如何理解角-α 、角 α + β 和角 α-β ？ 為了方便，通常在平面直角坐標系中討論角. 將角的頂點與原點重合，角的始邊與 x軸的非負半軸重合，此時角的終邊在第幾象限，就稱這個角為第幾象限角． 如圖，α=420°，所以角 α 是第一象限角， β= 135°，所以角 β 是第三象限角． 如果角的終邊在坐標軸上， 就認為這個角不屬于任何一個象限，稱為界限角．如， 0°，90°，180°，360°， 90°角都是界限角． 舉例 提問引導 講解 舉例 說明 理解 思考交流 思考 觀察 理解 思考參與概念形成感受知識發現的樂趣
典型例題 例 1 在平面直角坐標系中，敘述下列各角的形成過程，并指出它們是第幾象限角. （1） 490° ；（2） 650° ． 解 將角的頂點與坐標原點重合，角的始邊與 x 軸的非負半軸重合，則 490°角是射線繞著原點逆時針旋轉 490°形成的， 如圖（1）所示，終邊落在第二象限， 所以 490°為第二象限角； 650°角是射線繞著原點順時針旋轉 650°形成的，如圖（2）所示，終邊落在第一 提問 引導 講解 強調 思考 分析 解決 交流 讓學生直觀感受角的動態形成過程，感悟“總有一個周角內的角與已知角終 邊 相 同”
象限， 所以 650°為第一象限角. （1） （2） 例 2 求時鐘從 8 點到 9 點 15 分，如圖所示，分針和時針旋轉所成的角分別是多少？ 解 時鐘 8 點到 9 點 15 分， 分針順時針旋轉 450°(360°+45°)，因此，分針旋轉形成的角為 450°；而時針順時針旋轉了 37.5°(30°+ 30 )，因此，時針旋轉形成的角為 37.5°. 4 提問提示 舉例 思考交流 解決問題 落實知識實際應用 角的實際應用，動態感受角的形成過程
鞏固練習 練習 4.1.1 1. 判斷題( 正確的打“√ ”， 錯誤的打 “×”)： 第四象限角一定是負角； ( ) 第二象限角一定是正角； ( ) 小于 90°的角一定是銳角； ( ) 第一象限角一定是銳角； ( ) 鈍角一定是第二象限角； ( ) 第二象限角一定是鈍角． ( ) 2．填空題： （1） 15°是第 象限角； （2）795°是第 象限角； （3）163°是第 象限角； 提問 巡視 思考 動手求解 通過練習及時掌握學生的知識掌握情況，查漏補缺
（4） 458°是第 象限角． 3．在平面直角坐標系中，分別作出下列各角，并指出它們是第幾象限角： （1）460° ； （2）995°； （3） 200° ； （4） 700° ． 指導 交流
情境導入 4.1.2 終邊相同的角 我們知道，在平面直角坐標系中，對于一個大小確定的角 α，其終邊是確定的；反之，已知某個角的終邊，這個角的大小是否也是確定的呢？觀察生活中時鐘的指針和摩天輪等的運行軌跡會發現，這個答案是否定的，即具有相同終邊的角的大小是不確定的． 如圖， 30°， 330°， 390°角之間有什么關系呢？ 提問 啟發引導 思考 作答交流 引發學生主動觀察思考發現規律， 激發求知欲調動學習積極性
新知探索 不難發現，在平面直角坐標系中，這三個角的終邊相同， 并且都可以表示成 30°與 k個(k∈Z) 360°的和.如： 30° = 30°＋0×360°； 330° = 30°＋ ( 1)×360°； 390° = 30°＋1× 360°． 從上述角的形成過程可以看出，與 30°終邊相同的角有無數多個，它們與 30°角均相差 360°的整數倍. 因此與 30°終邊相同的所有角可以表示 為 β= 30°+k 360°，k∈Z． 講解 說明 啟發 理解 記憶 體會 發現規律并學習用集合語言表示
一般地，與角 α 終邊相同的所有角構成的集合為 S={β|β=α+ k 360°， k∈Z}， 即，所有與角 α 終邊相同的角都可以表 示成角 α 與 360°的整數倍的和. 提示 描述
典型例題 例 3 寫出與 950°角終邊相同的所有角構成的集合，并找出 0°~360°范圍內與其終邊相同的角. 解 與 950°角終邊相同的所有角構成的集合為 S={β|β= 950°+ k·360°，k∈Z }. 當 k=3 時， Β= 950°+3×360° = 130°， 故在 0°~360°范圍內， 與 950°角終邊相同的角是 130°角． 溫馨提示 因為 950° 與 130° 終邊相同， 集合 S={β|β ＝ 950°+k 360° ， k ∈ Z} 也可寫成 S={β|β＝130°+k 360°，k Z}． 例 4 寫出終邊在射線 y=x(x≥0)上的角組成的集合. 解 在 0°~360°范圍，終邊在射線 y=x(x≥0) 上的角為 45°角， 因此終邊在射線 y=x(x≥ 0)上的角組成的集合為 S={β|β=450°+k·360°， k∈Z}. 例 5 寫出終邊在 y 軸上的角組成的集合. 解 如圖所示，在 0°~360°范圍，終邊在 y 軸上的角有 90°角和 270°角. 提問 引導 講解 補充說明 提問 引導 講解 思考 解決 交流 思考理解 思考 解決 交流 由特殊到一般分析問題并得到結論 多角度思考問題數形結合找到已知角的特性后應用知識解決問題 進一步鞏固終邊相同的角、界限角等概念加深深度提升數學運算核心素養適時鞏固 例 5 是為了進一步
所有與 90°角終邊相同的角組成的集合為 S1={β|β=90°+ k·360°， k∈Z} . 所有與 270°角終邊相同的角組成的集合分別為 S2={β|β=270°+ k·360°， k∈Z}. 所以，終邊在 y 軸上的角組成的集合為 S=S1∪S2 ={β|β=90°+k·360°，k∈Z}∪ {β|β=270°+ k·360°，k∈Z} ={β|β= 90°+ 2k·180°，k∈Z}∪ {β|β=90°+(2k+1) ·180°，k∈Z} = {β|β=90°+n·180°， n∈Z}． 探究與發現 若角 α 是第一象限角，試寫出角 α 的集 合. 提問 引導 講解 補充提問 思考 解決 交流 思考交流 鞏固終邊相 同 的角、界限角等概念而 設 置的，要求較高，為二級水平 把終邊相同的角從單一角拓展到了角的集合，加深學生理解深度
鞏固練習 練習 4.1.2 1.已知角 α 是第一象限角，則角 α 的終邊在第 象限. 2 .與 1560°角終邊相同的角的集合中，最小的正角是 . 寫出與下列角終邊相同的所有角組成的集合，并在 0°～360°范圍內找出與其終邊相同的角. （1） 420°； （2） 510°； （3） 73°； （4） 855°. 寫出終邊在 x 軸上的角組成的集合. 提問巡視 指導 思考 動手求解 交流 通過練習及時掌握學生情況查漏補缺
歸納總結 引導 提問 回憶 反思 培養學生總結學習過程能力
布置作業 書面作業：完成課后習題和學習與訓練； 查漏補缺：根據個人情況對課題學習復習與回顧； 拓展作業：閱讀教材擴展延伸內容. 說明 記錄 繼續探究延伸學習

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