資源簡介

授課題目 3.3 函數的性質 選用教材 高等教育出版社《數學》 2021 十四五 （基礎模塊上冊）（修訂版）
授課 時長 4 課時 授課 類型 新授課
教學提示 本課將通過實例和學生熟悉的函數圖像，幫助學生理解函數的單調性和奇偶性，引導學生正確地使用符號語言刻畫函數的單調性和奇偶性，并通過幾種常見函數：一次函數、反比例函數、二次函數整體 系統地研究函數的性質．
教學目標 結合函數圖像，經歷函數單調性從感性到理性的認識過程，能用數學語言表達函數單調性的定義，能通過函數圖像寫出這個函數的單調區間；能根據函數單調性的定義，利用求差法，通過對函數解析式的分析判斷這個函數的單調性；能利用函數的單調性判斷同一單調區間內兩個函數值的大小． 知道函數奇偶性與函數圖像對稱性之間的關系，學會根據函數圖像判斷的奇偶性；能根據函數的奇偶性，結合函數的部分圖像補全函數的圖像；能根據函數奇偶性定義判斷函數的奇偶性． 能分解、歸納出證明函數的單調性和奇偶性的方法和步驟；能從函數單調性、奇偶性等角度，重新認識一次函數、反比例函數和二 次函數，初步學會在具體函數中研究對函數的一般性質的方法．
教學重點 經歷函數單調性從感性到理性的認識過程；能利用函數單調性、 奇偶性的定義判斷函數單調性、奇偶性.
教學 難點 利用函數單調性定義證明函數在給定區間上的單調性．
教學 環節 教學內容 教師 活動 學生 活動 設計 意圖
函數是描述客觀事物運動變化規律的數學模型．了解了函數的變化規律，也就基本把握了相應事物的變化規律，因此這一節我們來研究函數的性質． 3.3.1 函數的單調性 下圖是某市某天氣溫 y(℃)與時間 x（時） 說明 觀察 通過實例
創設情境
情境導入 引導學生 用數學語
言描述函
引導 數值隨自
21世紀教育網(www.21cnjy.com)
的函數圖像，記這個函數為y = x(x0)． 觀察圖像，當自變量x變化時，函數y(x)怎樣變化 如何用數學的語言來表示這個變化？ 學生 看圖 變量的變
分析 思考 化規律，
圖像 引出單調
變化 性，培養
趨勢 學生直觀
想象、邏
輯推理和
數學抽象
核心素養
由圖可知：時間從 4 時到 14 時，曲線呈 啟發 體會 師生共同
上升趨勢，說明氣溫隨時間的增加而逐漸升 引導 領悟 歸納函數
高，也就是說當 x∈[4，14] 時，函數 y=f(x)的 的單調性
值隨自變量 x 的增大而增大．時間從 14 時到 總結 的定義，
24 時曲線呈下降趨勢，說明氣溫隨時間的增 歸納 理解 學會定性
加而逐漸降低，也就是說當 x∈[14，24]時， 描述和定
函數 y=f(x)的值隨自變量 x 的增大而減小． 量刻畫函
由上圖可知：在給定區間[4，14]上，對 數的單調
于圖像上的任意兩 P1(x1，y1)和 P2(x2，y2)，當 說明 總結 性，培養
探索新知 x1< x2 時，都有 y1< y2，即， f(x1)＜f(x2)． 講解 關鍵 仔細 分析 學生數學 抽象等核
在給定區間[14，24]上，對于圖像上的任意兩 詞語 心素養
點 P3(x3，y3)和 P4(x4，y4)，當 x3< x4 時，都有
y3> y4，即
f(x3)＞f(x4)．
從上述例子可抽象出如下定義： 引導 嘗試
設函數 y=f(x)的定義域為 D，區間D R． 學生 抽象
（1）如果對于區間D上的任意兩點 x1 和 x2，當 x1< x2 時，都有 進行 概念
f(x1)那么稱函數 y=f(x)在區間I上是增函數，區間 I 稱為函數 y=f(x)的增區間，如圖所示．
說明講解 領會要點
（2）如果對于區間I上的任意兩點 x1 和 x2，當 x1< x2 時，都有 f(x1)>f(x2)， 那么稱函數 y=f(x)在區間 上是減函數，區間 稱為函數 y=f(x)的減區間，如圖所示．
如果函數 y=f(x)在區間I上是增函數或減函數，那么稱函數 y=f(x)區間I上具有單調性，區間I稱為單調區間．增區間也稱為單調增區 間，減區間也稱為單調減區間．
例 1 根據函數在 R 上的圖像，寫出其單調 觀察 例 1 旨在
區． 提問 進一步培
典型 例題 解（1）由圖函數圖像可知，函數 y=f(x)的定 養學生的
義域為 R，增區間為(-∞，0]，減區間為[0， “看圖說
+∞) ． 思考 話”能力
（2）由函數圖像可知，函數 y=g(x)的定義域為(-∞，0)∪(0，+∞)，增區間為(-∞，0)和 (0，+∞)． 探究與發現 函數 f x 1 的減區間能寫成(-∞，0)∪ x (0，+∞)嗎？ 根據函數的解析式，利用作差比較法也可判斷或證明函數的單調性，這是研究函數性質的一種常用方法. 例 2 討論函數f(x)=2x+1在(-∞，+∞)上的單調性． 解 任取 x1，x2∈(-∞，+∞)且 x1求解
分析
提問 觀察 例 2、3 是
質疑 思考 通過“ 作
引導 差 比 較
分析 法”，利用
函數單調
提問 觀察 性的定義
判斷函數
的 單 調
性，讓學
分析 思考 生 在 判
斷、證明
的過程中
加深理解
單調性、
= 1 1 x1 x2 = x2 x1 ， x1 x2 因為 x2-x1>0，x1x2>0，所以 f(x1)- f(x2)>0，即 f(x1)> f(x2) ． 所以函數 f(x)= 1 1在區間(-∞，0)上是減函 x 數． 講解 求解 單調區間的意義
練習 3.3.1 填空題（填“增”或“減”）： （1）函數 f(x)=x+1 在(-∞，+∞)上是 函數； （2）函數 f(x)=-2x 在(-∞，+∞)上是 函數； （3）函數 f(x)= 2 在(-∞，0)上是 x 函數； （ 4 ）函數 f(x)= 5 在(0 ， +∞) 上是 x 函數； 已知函數 y=f (x)，x∈[-2,4]，如圖所示，試寫出函數的單調區間，并說明在每一單調區間上函數的單調性． 證明： （1）函數f (x)=-x -2在(-∞，+∞)上是減函數． 提問 思考 通過練習
及時掌握
學生的知
識掌握情
況，查漏
補缺
巡視 動手
求解
鞏固
練習
指導 交流
（2）函數f (x)=2x2 + 1在(-∞，0)上是減 函數．
3.3.2 函數的奇偶性 大千世界，美無處不在．如圖展示了生活中的對稱之美． 數學中也存在著對稱美，函數圖像的對稱就是其中一種．義務教育階段，我們已經知 道函數f (x)=x2的圖像和 f(x)= 1 的圖像. x 顯然，函數f (x)=x2的圖像是關于 軸對稱的軸對稱圖形，函數 f(x)= 1 的圖像是關于原 x 點對稱的中心對稱圖形． 觀察這兩種對稱的函數圖像，自變量互為相反數時，它們對應的函數值有什么關系？ 通過實例
讓學生觀
說明 觀察 察函數圖
像的對稱
情況，在
教師的引
導下學會
用數學語
言描述函
情境 引導 數值的特
導入 學生 征規律，
觀察 引出奇偶
分析 性么，培
養學生邏
輯推理和
數學抽象
等核心素
養
從函數值的角度看，對于函數f (x)=x2， 從數值特
有： 歸納 思考 點引導學
f(-1)= 1= f(1)， 總結 生發現函
探索新知 f(-2)=4= f(2)， f(-3)=9= f(3) 數奇偶性 的特征
……
事實上，對于函數f (x)=x2，自變量互為相 啟發 觀察 師生共同
反數時，對應的函數值相等．即對于定義域 學生 歸納 歸納函數
R 上的任意一個x，都有 f( x) = x2 = f(x)． 定義 設函數y = f(x)的定義域為數集R，若對于任意的x ∈ R，都有 x ∈ R，且 f( x) = f(x)， 則稱y = f(x)是偶函數．偶函數的圖像關于y軸對稱． 對于函數 f(x)= 1 有： x f(-1)=-1=- f(1)， f(-2)=- 1 =- f(2)， 2 f(-3)=- 1 =- f(3) 3 …… 事實上，對于函數 f(x)= 1 ，自變量互為 x 相反數時，對應的函數值也互為相反數．即對于定義域( ∞，0) ∪ (0， + ∞)上的任意一個x，都有 f(-x)=- 1 =- f(x)． x 定義 設函數y = f(x)的定義域為數集R，若對于任意的x ∈ R，都有 x ∈ R，且 f( x) = f(x)， 則稱y = f(x)是奇函數．奇函數的圖像關于原點中心對稱． 如果一個函數是奇函數或偶函數，就說這個函數具有奇偶性，其定義域一定關于原點中心對稱． 探究與發現 有沒有某個函數，它既是奇函數又是偶 觀察 總結 的奇偶性
的定義，
講述 領會 學會定性
描述和定
量刻畫函
數的奇偶
性，培養
引導 思考 學生數學
學生 分析 抽象和邏
觀察 歸納 輯推理等
核心素養
描述 體會
引導 領悟
講述 領會
定義 思考
分析 理解
啟發 思考 加深對概
函數？如果有，請舉例說明． 交流 念的理解
例 4 討論下列函數的奇偶性： （1）f(x)=x ； （2）f(x)=x +x4； （3）f(x)=x+1； （4）f(x)= x ． 解（1）f(x)=x 的定義域為 R，對于任意的 x ∈R，都有-x∈R，且 f(-x)=(-x) =-x =-f(x)， 所以 f(x)=x 是奇函數． （2）f(x)=x +x4 的定義域為 R，對于任意的 x∈R，都有-x∈R，且 f(-x)= (-x) + (-x) 4= x +x4=f(x)，所以 f(x)=x +x4 是偶函數． （3）f(x)=x+1 的定義域為 R，對于任意的 x∈R，都有-x∈R，且 f(-x)=-x+1≠-f(x)，f(-x)=-x+1≠f(x) 所以 f(x)=x+1 既不是奇函數也不是偶函數． （4）f(x)= x 的定義域為 0，+ ，對于 1∈ 0，+ ，而-1 0，+ ，所以函數 f(x)= x 既不是奇函數也不是偶函數．例 5 (1) (2) （1）圖（1）給出了偶函數 y=f(x)在 0，+ 上 例 4 是利
提問 思考 用 奇 函
數、偶函
數的定義
指導 計算 來判斷函
分析 求解 數的奇偶
性，強調
強調 交流 函數的定
要點 討論 義域是否
關于原點
對稱，規
范解題步
巡視 解決 驟
典型例題 指導 問題
分析 探索 例 5 是利
引導 方案 用函數的
奇偶性補
全函數圖
像 的 題
目，通過
本例進一
步提高學
生數形結
合 的 能
的函數圖像，試將 y=f(x)的圖像補充完整，并指出函數的單調區間． （2）圖（2）給出了奇函數 y=g(x)在[0， +∞)上的函數圖像，試將 y=g(x)的圖像補充完整，并指出函數的單調區間． 解（1）由于函數 y=f(x)是偶函數，所以它的圖像關于 軸對稱，因此它的圖像如圖所示． 函數 y=f(x)的減區間為( ∞，0]，增區間為[0，+∞)． （2）由于函數 y=g(x)是奇函數，所以它 的圖像關于原點中心對稱，因此它的圖像如圖所示． 函數 y=g(x)的增區間為 (-∞，+∞). 力，加深
學 生 對
分析 要點 領會 問題 “ 奇函數 的圖像關
于原點成
中 心 對
強調 求解 稱，偶函
畫圖 數的圖像
關于 y 軸 成 軸 對
稱” 這句 話的理解
講解 思考 和認識
練習 3.3.2 1．填空題： （1）點 P(2,3)于x軸對稱的點為 ，關y軸對稱的點為 ，關于坐標原點對稱的點為 ； 提問 思考 通過練習
及時掌握
鞏固 練習 學生的知
識掌握情
況，查漏
（2）點 Q(x,y)關于 x 軸對稱的點為 ，關于y軸對稱的點為 ，關于坐標原點對稱的點為 ． 討論下列函數的奇偶性： （1）f(x)=x+ 1 ； （2）f(x)=|x|； x （3）f(x)=1-2x； （4）f(x)= x +1． 已知偶函數 y=f(x)和奇函數 y=g(x)的定義域均為[-4，4]，下圖為它們在[0，4]上的圖像． （1）求 f(-2)與 g(-2)； （2）將函數 y=f(x)和 y=g(x)在定義域內的圖像補充完整． 巡視 指導 動手求解 交流 補缺
3.3.3 幾種常見的函數 回顧義務教育階段學過的一次函數、反比例函數與二次函數，它們的定義域、值域、單調性、奇偶性等各是怎樣的呢？如何用數 學的語言表達？ 引導 思考 再次認識
回顧 分析 已 學 函
情境 導入 數，強化
新知，螺
旋式上升
1．一次函數 師生共同
y = x + 1(x ≠ 0)是一次函數，其圖像 歸納一次
為直線，如圖所示． 啟發 分析 函數的性
探索 新知 由一次函數y=kx+b (k ≠ 0) 的解析式和圖 思考 質，對函
像不難發現，其定義域和值域均為 R， 數性質進
并有如下性質： 行 再 認
（1）當 k>0 時，在 R 上是增函數，如圖 識、再提
（1）所示；當 k<0 時，在 R 上是減函數，如圖（2）所示． （2）當 b=0 時，如圖（3）（4）所示． 一次函數y=kx（k≠0）是奇函數，其圖像關于原點中心對稱． 高，培養
學生直觀
形象、邏
總結 歸納 輯推理等
核心素養
例6 已知函數y=(3m+4)x+b在R 上是減函數． 求m的取值范圍； 若函數的圖像過點(-1，0)，試求圖像與 y 軸的交點坐標． 解 （1）由函數y=(3m+4)x+b在 R 上是減函數，可得 3m+4y<0，即m < 4 ， 3 所以m的取值范圍 , 4 ； 3 （2）由于 y=(3m+4)x+m 的圖像過點(-1， 0)，則有 0=(3m+4)×(-1)x+m 解得，m =-2．所以函數的解析式為 提問 觀察 通過例題
幫助學生
強調 思考 理解一次
函數的性
分析 求解 質
典型
例題
y=-2x-2． 令 x=0，得 y=-2 故函數的圖像與 y 軸的交點坐標為(0，-2)．
反比例函數 y= k (k≠0)是反比例函數，其圖像如圖 x 所示． 由反比例函數 y= k (k≠0)的解析式和圖 x 像可知：其定義域和值域均為 ,0 ∪ 0, ，并有如下性質： 當 k>0 時，函數圖像在第一、三象限，在 ,0 和 0, 上都是減函數； 當 k<0 時，函數圖像在第二、四象限，在 ,0 和 0, 上都是增函數． 函數是奇函數，圖像關于原點中心對稱． 師生共同
歸納反比
啟發 觀察 例函數的
引導 特征 性質，對
函數性質
進行再認
識、再提
高，培養
學生直觀
探索 形象、邏
新知 歸納 總結 輯推理等
核心素養
例 7 設反比例函數 y= k (k≠0)的圖像經過 x 點(-3,-2)問函數圖像是否一定經過點(3,2) 解 因為反比例函數 y= k (k≠0)是奇函數，它 x 的圖像關于原點 O 對稱．而點(-3,-2)關于原點 O 對稱的點是(3，2)，所以函數圖像一定 經過點(3，2)． 提問 觀察 幫助學生
理解正比
強調 思考 例函數的
典型例題 分析 求解 性質
例8 一次函數 y=(2m+1)x+b 在R 上是增函 數，其圖像與反比例函數 y= m2 圖像交于點 x （1，4），求這個一次函數與反比例函數．解由一次函數 y=(2m+1)+b 在 R 上是增函 數，可得2m + 1 > 0，所以 m> 1 ； 2 因為兩個函數的圖像交于點（1，4）， 將該點坐標代入反比例函數，得 4= m2 ，所 1 以，m=±2． 由于 m> 1 ，所以 m=-2 不合題意，舍 2 去，故 m=2． 所以一次函數為 y=5x +b. 將點（1，4）代入得，4=5×1+b ，即 b=- 1．所以這個一次函數為 y=5x-1 ，反比例函 數為 y= 4 ． x 提問 觀察 解決綜合
問題，提
強調 思考 升對一次
函數和反
比例函數
分析 求解 的認識
講解
3．二次函數 y=ax +bx+c(a≠0)是二次函數，其圖像是 拋物線，對稱軸方程為 x= b ，頂點坐標為 2a b 4ac b2 ． 2a , 4a 一般地，當a>0 時，二次函數y=ax +bx+c的圖像是一條開口向上的拋物線，定義域為 R，值域為 4ac b2 , .并有如下性質： 4a （ 1 ）在 , b 上是減函數， 在 2a b 2a , 上是增函數； （2）當 b=0 時為偶函數． 當 a<0 時，二次函數y=ax +bx+c的圖像 師生共同
歸納二次
啟發 回憶 函數的性
質，對函
數性質進
行 再 認
探索 描述 領會 識、再提
新知 高，培養
學生直觀
形象、邏
提示 歸納 輯推理等
核心素養
是一條開口向下的拋物線，定義域為 R，值 域為 , 4ac b2 ．并有如下性質： 4a （ 1 ）在 , b 上是增函數， 在 2a b 2a , 上是減函數； 當 b=0 時為偶函數． 溫馨提示 對二次函數進行總結，見表： 組織 交流
回答 討論
說明 領悟 培養分析
函數的能
歸納 記憶 力
總結 要點
例 9 作出二次函數y=x -2x-3的圖像，并討論其單調性． 解 由y=x -2x-3知：a=1，b=-2，c=-3，所以 b 2 2a＝ 2×1＝1， 4ac b2 4 1 ( 3) ( 2)2 4a = 4 1 =-4， 則對稱軸方程為 x=1，頂點坐標為(1，-4) ． 列表 描點連線 提問 觀察 培養學生
分析函數
性質的能
力，強調
思考 利用函數
典型 例題 的圖像來
研究二次
求解 函數的性
質，以及
利用二次
函數圖像
圖像過點(-1，0)， (0，-3)，(1，-4)， (2，-3)，(3，0)，用光滑曲線依次連接以上各點，畫出函數y=x -2x-3的圖像，如圖所示． 由圖知，二次函數y=x -2x-3的圖像是開口向上的拋物線，定義域為 R，值域為[ 4， ＋ ）．函數在（ ，1]上是減函數，在[1， ＋ ）上是增函數． 探究與發現 已知函數 f x x2 ax 1在 , 2 上是減函數，在 2，+ 上是增函數，請求出a 的值． 來研究二
次函數、
一元二次
方程及一
指導 利用 元二次不
描點 等式三者
法作 之間的關
圖 系
強調 觀察
分析 思考
點撥 討論 結合函數
提示 交流 圖像解決
問題
練習 3.3.3 若函數 f(x)=(2a-1)x(a 為實數)在 R 上是增函數，則（ ）． A. a≥ 1 B. a≤ 1 C. a> 1 D. a< 1 2 2 2 2 填空題： 一次函數 y=-3x+5 的定義域是 ，值域是 ，該函數在 上是 函數(減或增)，它的圖像與坐標軸的交點坐標為 ； 當 時，一次函數 f(x)=kx+b 是奇函數； 練習及時
掌握學生
的知識掌
握情況，
查漏補缺
鞏固
練習 動手
巡視 求解
若反比例函數 y= k 在（- ，0）上 x 是增函數，則 的取值范圍是 ； 二次函數 f(x)= 2x -5 的定義域是 ，值域是 ，該函數在 上是增函數，在 上是減函數；它是 函數（奇或偶），它的圖像與 x 軸的交點的坐標是 ，與 y 軸的交點的坐標是 ； 二次函數 f(x)=-x -x+2 的定義域是 ，值域是 ；該函數在 上是增函數，在 上是減函數，它的圖像與 x 軸的交點坐標是 ，與 y軸的交點坐標是 ． 3．已知函數f(x)=m +2x-5 在 R 上是減函數，求m的取值范圍． 設反比例函數 y= k (k≠0).函數 g(x) x 是偶函數，且 f(2)=g(2)=2.比較 f(-2)與 g(-2) 的大小． 已知點 A(1，m)在函數 y = 2x 的圖像上，求點A關于y軸對稱點的坐標． 已知函數 f(x)=x +bx-2 是 R 上的偶函 數，求實數b． 已知函數 f(x)=-x+k-2 是 R 上的奇函 數，求實數k． 指導 交流
歸納總結 引導總結 反思交流 培養學生總結學習過程能力
布置作業 書面作業：完成課后習題和學習與訓練； 查漏補缺：根據個人情況對課堂學習復習回顧； 拓展作業：閱讀教材擴展延伸內容． 說明 記錄 鞏固提高查漏補缺

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