資源簡介

授課題目 3.2 函數的表示方法 選用教材 高等教育出版社《數學》 2021 十四五 （基礎模塊上冊）（修訂版）
授課 時長 3 課時 授課 類型 新授課
教學提示 本課將通過實例幫助學生認識函數的三種表示方法，并通過典型 例題幫助學生理解分段函數的含義，學會根據實際情況寫出分段函數的解析式，并會用“描點法”作圖和求值．
教學目標 能結合生活中的實例，從解析式中變量之間的依賴關系、表格中數量之間的對應關系和函數圖像的幾何直觀三個方面整體認識函數概念，學會函數的三種表示方法；加深對函數概念的理解． 能分析具體情境中數量間的對應關系，并選用恰當的函數解析式表示出來；能復述分段函數的概念，并舉例說明一個分段函數的定 義域和值域；會用描點法畫出給定函數的圖像．
教學重點 能從情境中抽象出數學問題，建立變量之間的函數關系，并用恰 當的數學語言表示出來；能用描點法畫出簡單函數的圖像.
教學 難點 對分段函數概念的理解.
教學環節 教學內容 教師 活動 學生 活動 設計 意圖
黨的十八大以來，我國實施精準扶貧、精準脫貧方略，脫貧攻堅取得了舉世矚目的成就．截至 2020 年年度，完成了消除絕對貧困的艱巨任務，為全面建成小康社會打下了堅實基礎．2021-2020 年，全國農村貧困人口數見下表： 此表建立了全國農村貧困人口數與年份之間的對應關系．在義務教育階段，我們已經學習了利用數學表達式來表示函數，那么是否也可以用這個表格來表示函數？ 引導 觀察 創設情境
學生 引導學生
觀察 思考 判斷其是
分析 否滿足函
數概念，
情境導入 分析 幫助學生深化對函
數的表現
形式的認
識
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探究與發現：回顧學過的知識，除了表達式、列表，我們還有其他的方式來表示函數嗎？函數的表示方法有幾種？ 啟發引導 體會領悟
1．解析法 3.1“情境與問題（1）”中，我們用數學表達式 y=30x 表示銷售額y與銷售量x之間的對應關系，這個數學表達式稱為函數解析式，簡稱解析式．像這樣利用解析式表示函數的方法稱為解析法．如義務教育階段學習的一次函數、一元二次函數、反比例函數等都是用解析法表示的． 2.列表法 在上表中，用表格表示全國農村貧困人口數與年份之間的對應關系．像這樣通過列出自變量的值與對應函數值的相應表格來表示函數的方法稱為列表法．3.1“情境與問題 （2）”中的恩格爾系數y隨著時間t的對應關系也是用列表法表示的． 3．圖像法 在汽車的研發過程中，需要對汽車進行一系列的性能測試，右圖是一種新型家用小汽車在高速公路上行駛 時，油箱剩余油量V(l)隨時間t(h)變化的圖 像．像這樣利用圖像表示函數的方法稱為圖像法． 說明 思考 師生共同
總結函數
的三種表
歸納 理解 示方法，
總結 逐步辨析
舉例 函數的三
記憶 種表示方
法的優勢
和不足，
培養學生
說明 邏 輯 推
歸納 思考 理、數學
探索 新知 總結 抽象等核
心素養
舉例 理解
說明 觀察
歸納 思考
理解
3.1“情境與問題（3）”中某地某天的氣溫與時間的對應關系也是用圖像法表示的． 綜上所述，函數的表示方法通常有三種：解析法，列表法和圖像法． 探究與發現：函數的三種表示法各自的優勢與不足嗎？ 如果想要根據某同學五次考試成績分析 他這一學期的數學學習情況，試選擇恰當的方法表示這個問題中的函數關系． 進行比較
引導 思考 分析設置
分析 討論 開放性問
題引導學
組織 嘗試 生數學活
討論 解決 動體驗
例 1 文具店內出售某種簽字筆，每支售價 6.5 元，分別用列表法和解析法表示購買 4 支以內的簽字筆時，應付款與簽字筆支數之間的函數． 解 設 表示購買簽字筆的支數， 表示應付款數（元），則 x∈{1，2，3，4}，值域為{1.5， 3，4.5，6} ． （1）列表法表示如下： （ 2 ）解析法表示為： y=1.5x ， x ∈ {1，2，3，4}． （3）圖像法表示如圖所示． 提問 觀察 例 1 幫助
學生理解
函數的三
種表示方
分析 思考 法，并學
強調 求解 會選擇恰
當的方法
表示函數
典型例題
例 2 現階段，我國很多城市普遍采用“階梯水價”的辦法計量水費，發揮市場價格作用，增強了企業和居民的節水意識，避免水資源的浪費．如某市居民用水“階梯水價”的收費標準如下： 每戶每年用水不超過 180m 時，水價為 5 元/ m ； 超過 180m 不超過 260m 時，超過的部分按 7 元/m 收費； 超過 260m 時，超過的部分按 9 元/m 收費． 結合給出的數據（不考慮其他影響因素） 求出每戶每年應繳水費 y（元）與用水量 x（m ）之間的函數解析式，并畫出函數的圖像； 若某用戶某年用水 200m ，試求該用戶這一年應繳水費多少元？ 解 （1）依題意，得到應繳水費與用水量之間的關系，見表 由表得到函數的解析式： 5x, 0 ≤ x ≤180, y 7x 360, 180 x ≤260, 9x 880, x 260. （ 2 ） 因為該用戶用水為 200m ，即 x=200m ，所以 y=7×200-360=1040（元）， 分析講解 分析 啟發引導 理解問題 思考 解決問題 例 2 以 “階梯水價”為背景的分段函數的例子，便于學生理解函數的三種表示方法、引出分段函數的概念而創設的情境，滲透了節約用水、抑制浪費的思政教育
即該用戶這一年度應繳水費為 1040 元． 在現實生活中，有很多函數是分段描述的．如，階梯電費、出租車費、個人所得稅等．這類函數的特點是：當自變量在不同范圍內取值時，需要用不同的解析式來表示，我們稱這樣的函數為分段函數． x2 , x ≤1, 例 3 已知分段函數 y 3 x,1 x ≤4. （1）求 f(-1)，f(3)的值； 求函數的定義域； 作出該函數的圖像. 解 （1）當 x=-1 時，f(x)=x ，所以 f(-1)=(- 1) =1；當 x=3 時，f(x)=3-x，所以 f(3)= 3-3=0； （2）因為{x|x≤1}∪{x|1值范圍的函數值的并集．分段函數在整個定義域上仍然是一個函數，而不是幾個函數．求分段函數的函數值y(x0)時，首先判 斷x0所屬的取值范圍，然后再將x0代入相應的解析式中進行計算． 作分段函數的圖像時，在各段不同取值范圍內，根據相應解析式，做出相應部分的 圖像． 解 進 行 綜述，提升學生的認識
鞏固練習 練習 3.2 已知圓的半徑為r，試分別寫出圓的周長 C 和圓的面積S關于半徑r的解析式． 已知定義在 R 上的一次函數 y=ax+b 可以用下表表示，寫出它的解析式． 已知函數 y = x(x0)的圖像如所示，則 （1）該函數的定義域為 ； （2）y(1.6) = ； （3）該函數的值域為 ． 2, 1≤ x ≤0, 4．已知函數 f x = x+2, 0 x 2, 則 4, x≥ 2. （1）函數的定義域為 ， （2）y(1.5) = ； （3）y[x(0)]= ． 5．李老師在菜市場購買標價為 4 元/kg 提問 巡視 指導 思考 動手求解 交流 通過練習及時掌握學生的知識掌握情況，查漏補缺
的土豆 x（kg），并花 2 元錢買了一個能裝 6kg 物品的環保購物袋，求應付款y（元）的函數解析式． 在圖中畫出函數 f x = x 2，x≤ 1， 的圖像． x2， x 1
歸納總結 引導總結 反思交流 培養學生總結學習過程能力
布置作業 書面作業：完成課后習題和學習與訓練； 查漏補缺：根據個人情況對課堂學習復習回顧； 拓展作業：閱讀教材擴展延伸內容． 說明 記錄 鞏固提高查漏補缺

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