資源簡介

授課題目 3.1 函數的概念 選用教材 高等教育出版社《數學》 2021 十四五 （基礎模塊上冊）（修訂版）
授課 時長 2 課時 授課 類型 新授課
教學提示 本課將在初中所學函數知識的基礎上，由熟悉的情景引入，借助 集合對應關系進一步學習函數的一般概念，并能夠利用集合語言和對應關系描述函數的概念，認識函數的定義域和對應法則兩個要素．
1．在初中所學函數概念的基礎上，通過數集之間的對應關系進一
步認識函數的概念及其要素，能辨別一個對應關系是不是函數，初步
認識符號 y=f (x)的含義；能辨別兩個函數是不是同一個函數．
教學 目標 2．學會判斷兩個函數是否同一函數的一般方法．
3．能求出給定函數在某一點處的函數值；能求出一個簡單函數的
定義域、值域；學會求解定義域的一般步驟和書寫規范；樹立尊重依
據、遵從規則的意識．
教學 重點 用集合和對應的觀點理解函數的定義；求定義域．
教學 難點 函數符號 y=f (x)的理解．
教學 環節 教學內容 教師 活動 學生 活動 設計 意圖
情境與問題（1） 展示 觀察 從三個實
小王同學響應國家關于“大眾創業，萬 情境 情境 際的情境
眾創新 ”的號召，從中等職業學校畢業后選 提出 思考 引導學生
擇了自主創業，在某電商平臺注冊了自己的 問題 問題 利用對應
網店．有一次，他批發了 100 套文具準備在 關系描述
情境導入 自己的網店上銷售，售價為 30 元/套．如果銷 售該文具 x 個，銷售額為 y 元，那么銷售額 引導 解決 函 數 關 系，讓學
y 與銷售量 x 之間有什么關系呢？ 學生 問題 生體會函
解決：銷售量 與銷售額 之間的關系可以表 觀察 數概念的
示為 = 30 ．銷售量 的變化范圍是數集 分析 抽 象 過
D={x∈N|x≤100}．對于數集 中的每一個 ， 程，培養
按照 = 30 ，銷售額 都有唯一確定的值和 學生數學
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它對應． 情境與問題（2） 國際上常用恩格爾系數 r 反映一個國家平均家庭生活質量的情況．恩格爾通過研究得出規律：一個家庭收入越少，恩格爾系數就越大，反之家庭收入越多，恩格爾系數就會越小．表中列出近年來我國居民恩格爾系數情況，請問恩格爾系數 r 與年份 x 之間有什么關系？ 解決：由表可知，恩格爾系數 r 是年份 x 的函數．對于數集 D={2012，2013，2014，2015， 2016， 2017，2018，2019，2020，2021，2022} 中的每一個年份 x，恩格爾系數 r 都有唯一確定的值和它對應．例如，當 x=2017 時，有 r=29.3%與它對應，即 2017 年我國居民恩格爾系數為 29.3%． 情境與問題（3） 下圖為某地某天的氣溫變化圖．請觀察氣溫 T 與時間 t 之間有什么關系？ 解決：由圖可知，氣溫T是時間t的函數．對于數集 D={t|0≤t≤24} 中的每一個時刻 t，氣 提問 分析 提問 引導分析 思考 解決問題 思考 解決問題 抽象的核心素養 情境與問題（1）滲透了創業教育，幫助學生樹立勞動意識；情境與 問 題 以我國居民恩格爾系數為背景，幫助學生體會我國人民逐漸富裕的幸福感；情境與問題 借助氣 溫 變化，圖形簡單，易于理解，容易感悟到數據的變化和變量之間的
溫T都有唯一確定的值和它對應．例如，當 t=14 時，有T=32℃和它對應，即 14 時的氣溫為32℃． 對應關系
探索新知 義務教育階段，已經學習過函數的概念，知道可以用函數來描述兩個變量x 和 y 之間的依賴關系．在一個變化的過程中有兩個變量 x 和 y，如果對于 x 的每一個值，y 都有唯一的值與之對應，那么我們就稱 y 為 x 的函數，其中 x 稱為自變量，y 稱為因變量． 一般地，設D是非空數集，對于D中的每一個x，按照某個確定的對應法則D，都有唯一確定的值x和它對應，那么就稱D為x的函數，記作 D = f(x)，x ∈ D． 其中，x稱為自變量，D的取值范圍稱為函數的定義域． 當 x0∈D 時，與x0相對應的值f0稱為函數在點f0處的函數值，記作f0 = f(x0)．函數值的集合{y|y=f(x)，x∈D}稱為函數的值域． 初中時學習過的一次函數 y=2x+1，該函數的定義域是 R，值域也是 R ．也就是，對于定義域 R 中的每一個數 x，按照對應法則 “x→2x+1”，都有唯一確定的值 y = 2x+1 與它對應．這個函數也可記為 f(x) = 2x+1． 定義域與對應法則是函數的兩個要素．函數的值域由定義域與對應法則這兩個要素位移確定． “ 情 境 與 問 題 （ 1 ） ” 中 的 函 數 y=f(x)=30x(x∈N，x≤100)，對于定義域{x∈ 引導回憶原有知識 精煉語言講解關鍵詞語 舉例說明 強調要點 舉例說明 類比分析完成函數概念抽象過程思考 理解記憶 領會學習 理解 思考領會 對比初中學習的概念知識，降 低 起點，結合情境與問題中的例子，師生共同總結函 數 概念，并進一步深化 借助具體例子幫助學生進一步理解函數的概念 前后呼應加深認識
N | x≤100} ={0，1，2，3，…，100 }中的每一個值，按照對應法則“30x”，y 都有唯一確定的值與它對應．如，在定義域中取 x0=3，則 對 應 唯 一 確 定 的 函 數 值 為 y0=f(3)=30×3=90(元)，……這些函數值組成的集合就是該函數的值域{y| y=30x，x∈N，x≤ 100} ={0，30，60，90，…，3000} ． 溫馨提示 在實際問題中，函數的定義域通常由問題的實際背景確定，如“情境與問題 （1）”中的函數 y=30x，其中的自變量 x 就由{x∈N|x≤100}確定．如果函數的對應法則是用代數式表示的，那么函數的定義域就是使這個代數式有意義的自變量的取值集 合． 探究與發現 表達式 y2 4x 中， y 是 x 的函數嗎？請根據函數的定義說明． 強調 提示和強調 思考 引導學生辨識給定對應關系是不是函數關系，幫助學生鞏固對函數概念的 理解
典型例題 例 1 （1）在“情境與問題（2）”中，當 x=2015 時，求 r 的值； （2）設函數f(x)=2x -5，求 f(0)，f(a)， f(-x)． 解 （1）由“情境與問題(2)”中的表可知，當 x=2015 時，r=30.6%； （2）將f(x)=2x -5中的數 x 分別用 0，a， -x 代入，得 f(0)=2×0 -5=-5， f(a)=2×a -5=2a -5， 提問 及時歸納定義域的求法 觀察 思考 求解 例 1 是利用函數的解析式求函數值的問題，旨在加深對符號和函數對應法則的理解
f(-x)=2×(-x) -5=2x -5. 例 2 求下列函數的定義域，并在數軸上表示出來. （1） f x = 1 ； x+2 （2） f x = x 3 ； （3） f x = 2x 1 1 . 1 x 解（1）要使函數 f x = 1 有意義，必須 x+2 x+2≠0，即 x≠-2，所以定義域為(-∞，-2) ∪(-2，+∞)，數軸表示如圖所示． 要使函數 f x = x 3 有意義，必 須使 x-3≥0，即 x≥3．所以函數的定義域為[3，+∞)，數軸表示如圖所示． 要使函數 f x = 2x 1 1 有 1 x 2x 1≥0, 1 意義，必須使 1 x 0. 解得 2 ≤x 1 ，所 以函數的定義域為 1 ,1 ，數軸表示如圖 2 所示. 例 3 判斷下列函數是否為同一個函數，并說明理由． （1）f(x)=x+1 與 g(t)=t+1； （2）f(x)=x 與 g x = x2 ． x 引導提問 強調同一函數的要求 提問 分析 指導分析 解決問題 觀察思考判斷 觀察思考理解 解決問題 例 2 幫助學生掌握定義域的基本求法 例 3 表明定義域、對應法則是函數的
解（1）雖然函數 f(x)=x+1 與函數g(x) = x + 1中表示自變量的字母不同，但它們的定義域和對應法則都是相同的，所以它們表示的是同一個函數； （2）因為函數 f(x)=x 的定義域為R，函 數 g x = x2 的定義域為{x|x≠0}，它們的定義 x 域不同，因此它們表示的不是同一個函數． 兩 個 要素，定義域不同或對應法則不一致的函數是不同的函數
鞏固練習 練習 3.1 設函數 f x =1 x ，求 f 1 . 1 x 3 設函數求 f(x)=x +2x，x∈R，求 f(2)，f(-2)，f(a)，f(-a)． 求下列函數的定義域，并在數軸上表示出來. （1）f(x)=x -2x-1；（2） f x = 1 ； x2 4 （3） f x = 1 x ；（4） f x = x 3 ． 圓的面積 與直徑 之間的關系是 S= d 2 .試求函數 的定義域. 當直徑d =2 5 4 m 時，求圓的面積 S（π 取 3.14）． 5．判斷下列各組函數是否為同一個函 數，并說明理由． （1）y=x +5x 與 s=t(t+5)； （2）f(x)=x-1 與 g(x)= （x x-1） ； x （3）f(x)= x2 -4 與 g(x)=x-2. x 2 提問 巡視 指導 思考 動手求解 交流 通過練習及時掌握學生的知識掌握情況，查漏補缺
歸納總結 引導總結 反思交流 培養學生總結學習過程能力
布置作業 書面作業：完成課后習題和學習與訓練； 查漏補缺：根據個人情況對課堂學習復習回顧； 拓展作業：閱讀教材擴展延伸內容． 說明 記錄 鞏固提高查漏補缺

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