資源簡介

授課題目 2.3 一元二次不等式 選用教材 高等教育出版社《數學》 2021 十四五 （基礎模塊上冊）（修訂版）
授課 時長 3 課時 授課 類型 新授課
教學提示 本課從一元二次方程和二次函數之間的關系入手，引導學生借助一元二次方程的根和二次函數的圖像求解一元二次不等式.
1．知道二次函數的圖像、一元二次方程的解與一元二次不等式的
解集之間的關系．
教學 2．能選擇求根公式法、因式分解法或配方法等求解一元二次方程．
目標 3．能做出一元二次函數的簡圖．
4．能根據一元二次不等式對應的一元二次方程的解，結合其對應
的二次函數的圖像，寫出一元二次不等式的解集．
教學重點 運用適當的方法熟練、準確地解一元二次方程；用圖像法解一元二 次不等式.
教學 難點 如何由對應一元二次方程的解寫出一元二次不等式的解集.
教學 環節 教學內容 教師 活動 學生 活動 設計 意圖
我們知道，當 a＞0 時，關于一元二次方程 ax2＋bx＋c=0 和二次函數 y=ax2＋bx＋c 之間有下表所示結論． 由表中函數 y＝ax2＋bx＋c 的圖像可以看出，圖像在 x 軸上方的部分所對應的函數值 y>0，即 說明 體會 從學生已
經了解的
一元二次
回顧 方程和二
次函數之
展示 間的 關
情境導入 關系引導 系入手，利用數形
學生 結合，提
觀察 觀察 出新的問
分析 情境 題，引導
思考 學生主動
數形 問題 思考，培
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ax2＋bx＋c>0， 圖像在 x 軸下方的部分所對應的函數值 y<0，即 ax2＋bx＋c＜0． 像這樣，含有一個未知數，并且未知數的最高次數為 2 的不等式，稱為一元二次不等式．其一般形式為 ax2＋bx＋c>0（a≠0）． 上面不等式中的“>”也可以換成“<”、“≥”或“≤”. 如，x2-9>0，3x2-2x-1≤0， -2x2+5x+4<0 等都是一元二次不等式． 結合 養學生直
分析 觀想象、
邏輯推理
等核心素
說明 分析 養
判斷
舉例
一元二次不等式與一元二次方程、二次函數形式上很接近，關系很密切，我們是能否借助它們之間的關系求解形如 ax2＋bx＋c<0 或 ax2＋bx＋c>0 這樣的一元二次不等式呢？ 下面先來分析一元二次不等式 x2-2x-3<0 和二次函數 y=x2-2x-3、一元二次方程 x2-2x-3=0 之間的關系. 如圖（1）所示，二次函數 y=x2-2x-3 的圖像與 x 軸交于兩點，方程 x2-2x-3=0 的解是 x1=-1，x2=3，也就是拋物線與 x 軸交點(-1，0)和(3，0)的橫坐標． 可以看出，拋物線與 x 軸的兩點交點將 x 提問 思考 師生通過
引導 體會 具體的實
學生 例，共同
思考 觀察 總結二次
函數、一
提出 元二次方
要求 程與一元
思考 二次不等
探索 新知 數形 式三者之
結合 間 的 關
分析 系，并利
問題 用數形結
合進一步
來分析和
解決問題
歸納總結
強調 分析 出一元二
軸分成了三部分． 如圖（2）所示，當-13 時，函數的圖像位于 x 軸的上方，此時 y>0. 由此得到，不等式 x2-2x-3<0 的解集為 (-1，3)；不等式 x2-2x-3>0 的解集為(-∞，-1) ∪(3，+∞)． 按照上面的分析，可以得到一般的一元二次不等式 ax2+bx+c>0(a>0)和 ax2+bx+c<0(a>0)的求解方法： 先求出一元二次方程的根，再根據二次函數圖像與 x 軸的相關位置確定一元二次不等式的解集． 根據一元二次方程判別式的不同取值情況，將二次函數圖像、一元二次方程的解和一元二次不等式的解集列表如下. 次不等式
的解法，
培養學生
解釋 直 觀 想
象、邏輯
推理和數
學抽象等
領會 核心素養
歸納 總結
總結 記憶
例 1 求下列一元二次不等式的解集： 提問 觀察 通過例題
（1） x2-x-6<0 ； （2） x(x-3)≥0； 幫助學生
典型 例題 （3） 2x2-4x+3<0． 掌握一元
解 （1）因為不等式的二次項系數 1＞0，對應 二次不等
方程 x2-x-6=0 的解為 x1=-2，x2=3，對應的二 式 的 解
次函數的圖像如圖所示．所以不等式 x2-x-6<0 的解集為(-2，3)． 因為不等式的二次項系數為 1>0，對于方程 x(x-3)=0 的解為 x1=0，x2=3，對應的二次函數的圖像如圖所示.所以不等式 x(x- 3)≥0 的解集為 , 0 3, ． 因為不等式的二次項系數為 2>0，對應方程 2x2-4x+3=0 無實數根( =(-4)2- 4×2×3=-8<0)，對應二次函數圖像如圖所示，所以不等式 2x2-4x+3<0 的解集為 ． 例 2 若 3x2 2x 1 有意義，試求 x 的取值范圍． 解 要使 3x2 2x 1 有意義，x 應該滿足不等式 3x2-2x-1≥0． 因為不等式的二次項系數 3>0，對應方程 3x2-2x-1=0 的解為 x 1 ,x 1，對應的二次函 1 3 2 引導分析 數形結合得到結論 提問引導分析 數形結合得到結論 提問 引導分析 思考求解 觀察思考求解 觀察思考求解 思考 分析 法，培養學生的數學運算、直觀想象和邏輯推理等核心素養 提示學生使用適當的方法求解相應方程，不拘泥一種 一元二次不等式的簡單應用
數圖像如圖所示，所以不等式 3x2-2x-1≥0 的 解集為 x , 1 [1, ) ． 3 即當 x , 1 [1, ) 時， 3x2 2x 1 3 有意義． 探究與發現 如何求解一元二次不等式 ax2+bx+c>0 (a<0)？ 當二次項系數 a<0 時，由不等式的性質，不等式兩邊同乘 1，不等號方向改變，就可以將 a<0 的情形轉化為 a>0 的情形，得到與原不等式同解的不等式，然后求解即可． 例 3 求一元二次不等式-x2+4x-2<0 的解集．解 因為不等式的二次項系數為-1<0，所以將不等式的兩邊同乘-1，不等號方向改變，得到與原不等式同解的不等式 x2-4x+2>0， 其對應方程 x2-4x+2=0 的解為 x1=2- 2 ， x2=2+ 2 ，對應的二次函數圖像如圖所示．所以不等式 x2-4x+2>0 的解集為 (-∞， 2- 2 )(2+ 2 ，+∞)． 即不等式-x2+4x-2<0 的解集為 (-∞， 2- 2 )U(2+ 2 ，+∞)． 數形結合得到結論 提問 引導分析點明要點 解決問題 提問 引導分析 求解 思考 分析理解 思考 思考求解 體驗變式滲透轉化和化歸的思想
例 4 一元二次不等式 x2+4x+m≥0 對于一切實數 x 都成立，求 m 的取值范圍． 解 因為不等式 x2+4x+m≥0 對于一切實數 x都成立，所以對應的二次函數 y=x2+4x+m 的圖像是開口向上的拋物線，且在 x 軸上方，如圖所示． 也就是說，對應方程 x2+4x+m=0 的根的判別式 42 4 1 m ≤0 . 解得 m≥4． 因此，m 的取值范圍是[4，+∞)． 數形結合得到結論 分析講解 嘗試解決
鞏固練習 練習 2.3 不等式(x-2)(x-3)≥0 的解集為( )． A． ，2 3， B． ，2] [3， ) C．[2, 3] D． 2，3 不等式 2x-x2>0 的解集為( )． A． ,0 2, B． 0,2 C． 0,2 D． R 不等式 x2-2x+1≤0 的解集為( )． A． 1 B． ,1 1, C．R D． 4．求下列一元二次不等式的解集： （1） 5x2-x-6>0； 提問 巡視 思考 動手求解 通過練習及時掌握學生的知識掌握情況，查漏補缺
（2） -x2+3x+10≥0； （3） 2x2-5x-3<0； （4） 2x-x2+3<0； （5） 5x2-2x+1>0； （6） 4x2-12x+9<0； （7） x2-3x+5>0； （8） 2x-x2-3>0． 當 x 在什么范圍取值時， x2 3x 有意義？ 若一元二次方程 x2+mx+1=0 無實數解， 求 m 的取值范圍． 指導 交流
歸納總結 引導總結 反思交流 培養學生總結學習過程能力
布置作業 書面作業：完成課后習題和學習與訓練； 查漏補缺：根據個人情況對課堂學習復習回顧； 拓展作業：閱讀教材擴展延伸內容． 說明 記錄 鞏固提高查漏補缺

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