資源簡介

授課題目 2.1 不等式的基本性質(zhì) 選用教材 高等教育出版社《數(shù)學(xué)》 2021 十四五 （基礎(chǔ)模塊上冊）（修訂版）
授課 時長 2 課時 授課 類型 新授課
教學(xué)提示 本課由實際問題入手，引出比較兩個實數(shù)大小的“做差比較法”. 并將在初中所學(xué)一些不等式的性質(zhì)的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步研究不等關(guān)系，梳理不等式的基本性質(zhì)．
教學(xué)目標(biāo) 理解作差比較法的含義，知道可以通過作差比較法比較兩個數(shù) （式）的大小及其步驟，能利用作差比較法比較兩個數(shù)（式）的大小． 能舉例說明不等式的基本性質(zhì)，能利用不等式的基本性質(zhì)推斷、證明數(shù)（式）的大小關(guān)系．
教學(xué) 重點(diǎn) 作差比較法，不等式性質(zhì)的簡單應(yīng)用.
教學(xué) 難點(diǎn) 不等式性質(zhì)的應(yīng)用.
教學(xué) 環(huán)節(jié) 教學(xué)內(nèi)容 教師 活動 學(xué)生 活動 設(shè)計 意圖
情境導(dǎo)入 與相等關(guān)系相比，不等關(guān)系在現(xiàn)實世界中更為普遍．我們知道，不等式就是描述不等關(guān)系的一種重要的數(shù)學(xué)表示形式，我們將通過實數(shù)大小的比較，來研究不等式的基本性質(zhì)． 2.1.1 實數(shù)的大小 兩個周長相等的矩形，如圖所示，它們的面積哪個更大呢？ 圖 （ 1 ） 所 示 為 正 方 形 ， 面 積 為 3cm×3cm=9cm2； 說明 展示情境 提出問題 引導(dǎo)學(xué)生觀察分析 體會 觀察情境 思考問題 計算分析判斷 從具體的問題引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)兩個實數(shù)大小比較的方法，使學(xué)生能夠順利完成比較大小的抽象過程，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)
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圖 （ 2 ） 所 示 為 長 方 形 ， 面 積 為 4cm×2cm=8cm2． 由于 9 8=1＞0，所以它們的面積不相等，且圖（1）所示正方形的面積大于圖（2）所示矩形的面積．
一般地，對于任意實數(shù) a，b，如果 a-b>0，那么稱 a 大于 b（或 b 小于 a）． 因為實數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對應(yīng)的，對于任意實數(shù) a，b 都可以在數(shù)軸上找到對應(yīng)的點(diǎn) A 和 B，如圖所示． 顯然，當(dāng)點(diǎn) A 在點(diǎn) B 的右邊時，a>b；當(dāng)點(diǎn) A 在點(diǎn) B 的左邊時，a語言 總結(jié)兩個
講解 理解 實數(shù)比較
關(guān)鍵 大小的方
詞語 法，并利
數(shù)形 用數(shù)軸進(jìn)
結(jié)合 一步說
提出 分析 明，數(shù)形
探索新知 數(shù)軸 表示 結(jié)合深化 “作差比
的意 較法”，
義， 領(lǐng)會 培養(yǎng)學(xué)生
強(qiáng)調(diào) 直觀想
解釋 象、邏輯
等價 推理和數(shù)
符號 總結(jié) 學(xué)抽象等
歸納 記憶 核心素養(yǎng)
總結(jié)
例 1 比較 5 與 2 的大小． 7 3 解 因為 5 2 15 14 15 14 1 0 ， 7 3 21 21 21 21 所以 5 2 ． 7 3 提問 觀察 幫助學(xué) 生
掌握 “ 作
典型 引導(dǎo) 思考 差 比 較
例題 分析 求解 法 ” 的 基
本步驟，培
提問 觀察 養(yǎng)學(xué)生 的
例 2 比較(x+1)(x+2) 與3x 1的大小．解 因為 (x+1)(x+2) (3x 1) (x2 3x 2) (3x 1) x2 3 0 ， 所以(x+1)(x+2) 3x 1． 例 3 比較 2x -x 與 x +2x-3 的大小．解 因為 (2x -x)-(x +2x-3) 2 3 2 = x -3x+3= x -3x+ 3 - +3 2 2 3 2 3 = x 2 4 ， 3 2 對任意實數(shù) x，都有 x 2 ≥0，所以 3 2 3 x 2 4 > 0 ． 故 2x -x >x +2x-3 3．探究與發(fā)現(xiàn) 設(shè) a，b 均為實數(shù)，試比較 a ＋b －ab 與 ab 的大小． 數(shù)學(xué)運(yùn)算、
引導(dǎo) 觀察 邏輯推 理
分析 思考 等核心 素
養(yǎng)
提示 求解
分析 理解
練習(xí) 2.1.1 比較下列各組實數(shù)的大小． （1 4 7 5 2 6 ） 與 ；（2） 與 ；（3） 與 0.83． 5 9 8 3 7 若 a>b，比較2a 1 與2b 1的大小． 比較 x2-1 與 2x2+3 的大小． 比較 x -x 與 x-2 的大小． 提問 思考 通過練習(xí)
及時掌握
鞏固 練習(xí) 動手 學(xué)生的知
求解 識掌握情
況，查漏
指導(dǎo) 交流 補(bǔ)缺
情境導(dǎo)入 2.1.2 不等式的性質(zhì) 比較兩個實數(shù)大小的作差比較法為研究不等關(guān)系奠定了基礎(chǔ)．那么，如何用這個方法研究不等式的性質(zhì)呢？ 在義務(wù)教育階段，我們學(xué)習(xí)過一些不等式的性質(zhì). 性質(zhì) 1 如果 a>b，那么 a+c>b+c．可以用作差比較法證明性質(zhì) 1． 由 a > b，得 a-b>0，于是 (a+c)-(b+c)= a+c-b-c =a-b >0 ． 所以 a+c >b+c ． 也可以借助數(shù)軸來看性質(zhì) 1，如圖所示，實數(shù) a、b 和在數(shù)軸上分別對應(yīng)點(diǎn) A 和 B，a+c和 b+c 在數(shù)軸上分別對應(yīng)點(diǎn) A’和點(diǎn) B’．當(dāng) c>0時，點(diǎn) A 和點(diǎn) B 同時向右平移 c 個單位，即可到達(dá)點(diǎn) A’和點(diǎn) B’的位置；當(dāng) c<0 時，點(diǎn) A和點(diǎn) B 同時向左平移| |個單位，即可到達(dá)點(diǎn) A’和點(diǎn) B’的位置． 顯然，兩種情況中，點(diǎn) A’和點(diǎn) B’的左右位置與點(diǎn) A 和點(diǎn) B 的情況相同． 性質(zhì) 1 表明，不等式兩邊同時加上（或減去）同一個數(shù)（或代數(shù)式），不等號的方向不變．因此性質(zhì) 1 也稱為不等式的加法法則． 利用不等式的加法法則，容易證明： 說明 回顧義務(wù)教育階段學(xué)習(xí)過的不等式性質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識和思考 數(shù)形結(jié)合利用數(shù)軸說明強(qiáng)調(diào) 演示 體會 回憶 觀察 思考 領(lǐng)會 分析 通過利用 “ 作差比較法” 讓學(xué)生嘗試進(jìn)行一些不等式性質(zhì) 的 證明， 了解性質(zhì)的證明步驟和方法，并數(shù)形結(jié)合利用數(shù)軸進(jìn)一步說明不等式性質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng) 引導(dǎo)學(xué)生
如果 a+b > c，那么 a-c>b． 這表明，不等式的任何一項可以從不等式的一邊移到另一邊，但同時要改變符號．這條結(jié)論也稱為移項法則． 性質(zhì) 2 如果 a>b，c>0，那么 ac>bc；如果 a>b，c<0，那么 acb，b>c，那么 a>c．證明 由 a＞b，b＞c，有 a b＞0，b c＞0； 所以 a-c＝a b＋b c=(a b)＋(b c)＞0，由此得 a>c. 性質(zhì) 3 表明不等式具有傳遞性． 我們也可以借助數(shù)軸來看不等式的傳遞性．如圖 2-4 所示，對于實數(shù) a、b 和 c，它們在數(shù)軸上分別對應(yīng)點(diǎn) A、B 和 C，由 a>b，所以點(diǎn) A 在點(diǎn) B 的右邊，又因為 b>c，即點(diǎn) B 在點(diǎn) C 右邊，所以三個點(diǎn)從左到右依次為點(diǎn) C、點(diǎn) B 和點(diǎn) A，即 a>b>c． 利用已有的性質(zhì)可以證明如下結(jié)論： 性質(zhì) 4 如果 a>b，c>d，那么 a+c>b+d．性質(zhì) 4 也稱為同向不等式的可加性． 說明 說明 分析 分析證明思路 數(shù)形結(jié)合分析說明 引導(dǎo)學(xué)生 探究 理解 領(lǐng)會 嘗試獨(dú)立證明 結(jié)合圖像領(lǐng)會內(nèi)涵 發(fā)現(xiàn)性質(zhì) 體驗性質(zhì)在不等式運(yùn)算中的實際應(yīng)用 展示作差比較法在實際應(yīng)用中的一些常用方法 提升直觀想象核心素養(yǎng) 展示知識之間內(nèi)在
證明 因為 a>b，c>d，由性質(zhì) 1 得 a+c>b+c，b+c>b+d， 由性質(zhì) 3 得 a+c>b+d． 認(rèn)識發(fā)現(xiàn) 之間聯(lián)系 的聯(lián)系及性質(zhì)的進(jìn)一步應(yīng)用
典型例題 例 4 用符號“ ”或“ ”填空，并說明利用了不等式的哪（幾）條基本性質(zhì)． 如果 ab，那么 a+4 b+2； 如果 ab，那么 3a-2 3b-3．解 （1）根據(jù)不等式性質(zhì) 1，不等式 ab 兩邊同時加上 4，不等號方向不變，即 a+4>b+4 又因為 b+4>b+2，所以根據(jù)不等式性質(zhì) 3，可以得到 a+4>b+2． 根據(jù)不等式性質(zhì) 2，不等式 a3b， 再仿照（2）的方法，可以得到 3a-2>3b-3． 例 5 若 a>b>0，c>d>0，試證明 ac> bd．解 因為 a>b，c>0，由不等式的性質(zhì) 2 得 提問 引導(dǎo) 分析 提問引導(dǎo) 分析 提問 分析 觀察 思考 求解 觀察思考 求解 觀察 思考 幫助學(xué)生鞏固不等式基本性質(zhì) 的 應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理和數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng) 對不等式
ac>bc． 同理，由 c>d，b>0，得 bc>bd． 因此，由不等式的性質(zhì) 3 可得 ac>bd． 例 6 如果代數(shù)式 6x+7 與代數(shù)式 3x-5 的差不大于 2，求 x 的取值范圍． 解 由題可知 (6x+7)(3x-5)≤2， 化簡得 3x+12≤2， 因此 3x≤2-12， 故 x 10 ． 3 所以 x 的取值范圍是| x x 10 ． 3 探究與發(fā)現(xiàn) 如果 a>b，c>d，是否有“a-c> b-d ”成立呢？如果成立，請說明理由；否則，請舉出反例． 提問分析 求解 思考領(lǐng)悟 性質(zhì)加深認(rèn)識 鞏固作差比較法， 為后續(xù)解不等式做鋪墊
鞏固練習(xí) 練習(xí) 2.1.2 已知 a＞b，用符號“＞”或“＜”填空: （1）a+1 b+1；（2） -5a -5b； （3）3a+3 3b+2． 判斷下列結(jié)論是否正確，并說明理由． 如果 ab，那么 a2>b2； 如果 a>b 且 c>d，那么 a+c>b+d． 3．若代數(shù)式 3x-5 與代數(shù)式 x+2 的差不小 提問 巡視 指導(dǎo) 思考 動手求解 交流 通過練習(xí)及時掌握學(xué)生的知識掌握情況，查漏補(bǔ)缺
于 3，求 x 的取值范圍．
歸納總結(jié) 引導(dǎo) 總結(jié) 反思 交流 培養(yǎng)學(xué)生 總結(jié)學(xué)習(xí)過程能力
布置作業(yè) 書面作業(yè)：完成課后習(xí)題和學(xué)習(xí)與訓(xùn)練； 查漏補(bǔ)缺：根據(jù)個人情況對課堂學(xué)習(xí)復(fù)習(xí)回顧； 拓展作業(yè)：閱讀教材擴(kuò)展延伸內(nèi)容． 說明 記錄 鞏固提高查漏補(bǔ)缺