資源簡介

授課題目 1.1 集合及其表示 選用教材 高等教育出版社《數學》 （基礎模塊上冊）（修訂版）
授課 時長 3 課時 授課 類型 新授課
教學提示 本課以學生學過的教學內容為載體，通過學生熟悉的情境和問題引入集合的概念及有關概念；體會集合及相關概念的抽象過程，學習用數學語言表示集合，并判斷元素與集合之間的關系.
教學目標 能舉例說明什么是集合，什么是集合的元素；能判斷給定對象是否組成集合；能判斷給定元素與集合之間的關系，并能用“ ”或“ ”表示． 知道常用數集的表示符號． 知道列舉法、描述法的一般格式，能選擇合適的方法表示給定集合．
教學 重點 元素與集合之間的關系；集合的描述法.
教學 難點 空集的理解；用描述法表示集合．
教學 環節 教學內容 教師 活動 學生 活動 設計 意圖
引入 義務教育階段，我們已經學習過一些集合，如正整數的集合、實數的集合、所有正方形的集合．為了更有效地使用集合語言，我們需要進一步學習集合的有關知識. 介紹講解 傾聽領會 引出新知
情境導入 1.1.1 集合的概念 中國古代四大發明是：造紙術、印刷術、指南針和火藥.四大發明可以組成一個集合. 圖書館里，為便于查找，會按照某種方式將同一類的書刊擺放在一起. 比如，可以所有數學書籍放在一起組成數學書籍專區，專區內所有數學書就可以組成一個集合. 數學中也常常會根據需要將一些需要研 引導學生聯系原有知識思考 回憶思考分析 以原有知識和生活經驗創設情境，引發學生思考.
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究的對象放在一起．比如，平面上到原點 O的距離等于 1 的所有點也可以組成一個集合.可見，人們常會將一些研究對象組成一 個整體，并且用集合這個詞表示這個整體.那么，具有什么特征的整體可以組成一 個集合呢？ 啟發引導
一般地，由某些確定的對象組成的整體稱為集合，簡稱為集．組成這個集合的對象稱為這個集合的元素. 集合常用大寫英文字母表示．如，集合 A，集合 B，集合 C，…．；集合的元素常用小寫英文字母表示．如，a，b，c，…． 在上面例子中，造紙術、印刷術、指南針和火藥都是四大發明組成的集合的元素；數學書籍專區中的每本書都是專區內所有數學書籍這個集合的元素；已知的圓上所有的點都是“平面內到圓心的距離等于半徑的所有 點”組成的集合的元素. 講解 理解 歸納概念
突出強調
符號規范
說明 記憶 表述
探索新知 舉例 思考
例 1 判斷下列對象能否組成集合？ 小于 6 的所有自然數； 方程 x2+3x 4=0 的所有實數解； 所有的平行四邊形； 某班級中的所有高個子同學． 解 （1）因為小于 6 的自然數包括 0，1，2， 3，4，5 這五個數，它們是確定的對象，所以它們可以組成集合； （2）因為方程 x2+3x 4=0 的實數解是 4 和 1，它們是確定的對象，所以可以組成集合； 提問 思考 回顧初中
知識幫助
理解集合
引導 分析 概念逐步
提升數學
典型 例題 抽象素養
講解 解決
強調 交流
因為平行四邊形的特征是確定的，因此滿足此特征的對象是確定的，所以可以組成集合； 因為高個子沒有具體標準，對象不是確定的，所以不能組成集合．
新知探索 如果 a 是集合 A 的元素，就說 a 屬于 A，記作 a∈A，讀作“a 屬于 A”. 如果 a 不是集合 A 的元素，就說 a 不屬于 A，記作 a A，讀作“a 不屬于 A”. 溫馨提示 組成集合的對象必須是確定的；同一個集合的元素必須是互補相同的．如例 1（4）中，因為不能確定哪些同學是“高個子”，所以該班高個子同學的全體不能組成一個集合．但該班身高為 1.75ｍ及以上的同學的全體能組成一個集合，這個集合里的元素就是身高為 1.75ｍ及以上的同學. 講解說明 理解記憶 加深認識元素與集合關系
典型例題 例 2 方程 x2=4 的所有實數解組成的集合為 A，則-2 A，5 A（用符號“∈”或 “ ”填空）． 解 因為(-2) =4，所以-2 是方程 x2=4 的解，故-2∈A． 因為 5 ≠4，所以 5 不是方程 x2=4 的解，故 5 A． 提問引導講解 思考解決交流 加深對符號的認識區分“∈” 和“S”
新知探索 含有有限個元素的集合稱為有限集.不含任何元素的集合稱為空集，記作 ，空集 也是有限集. 含有無限個元素的集合稱為無限集. 由數組成的集合稱為數集. 講解 說明舉例 理解 記憶思考 認識集合類型
例如，例 1（1）和（2），小于 6 的所有自然數組成的集合和方程 x2+3x 4=0 的所有實數解組成的集合都是有限集. 又例如，例 1（3）所有的平行四邊形組成的集合，不等式 x 3<0 的所有解組成的集合都是無限集. 數學中一些常用數集及其記法： 說明 記憶 強調常用數集的內涵和表示方法
鞏固練習 練習 1.1.1 1.下列各語句中的對象能否組成集合？如果能組成集合，寫出它的元素.如果不能組成集合， 請說明理由． 某校漢字錄入速度快的學生； 某校漢字錄入速度為 90 字符/min及以上的所有學生； 方程(2x-3)(x+1)=0 的所有實數解； 大于-5 且小于 5 的整數； 大于 3 且小于 1 的所有實數; 非常接近 0 的數. 2．用符號“∈”或“ ”填空． （1）-1 N；0.5 N；0 N* （2）-2 Z；0 Z； 1 Z； 4 （3）-3 Q； 2 Q；π Q； 3 （4） 5 R；π R； 3 R． 3 3．判斷下列集合是有限集還是無限集． （1）你所在班級的所有同學組成的集合； 提問 巡視 指導 思考 動手求解 交流 通過練習及時掌握學生的知識掌握情況，查漏補缺
方程 x+2=0 的所有正整數解組成的集合； 小于 3 的所有整數組成的集合； 數軸上表示大于 0 且小于 1 的所有點組成的集合．
情境導入 1.1.2 集合的表示法 小于 6 的正整數組成一個集合，大于 3 的實數也組成一個集合.那么，除了用這種自然語言表示集合， 還可以如何表示集合呢？ 質疑 思考 引出新知
新知探索 1.列舉法 把集合的所有元素一一列舉出來，中間用逗號隔開，再用花括號“{ }”把它們括起來，這種表示集合的方法稱為列舉法． 例如，小于 6 的所有正整數組成的集合可以表示為{1，2，3，4，5}； 中國古代四大發明組成的集合可以表示為{指南針，造紙術，火藥，印刷術}； 太陽系八大行星組成的集合可以表示為 {水星，金星，地球，火星，木星，土星，天王星，海王星}． 講解說明舉例 理解記憶思考 結合實例學習列舉法的表達方式和要點
典型例題 例 3 用列舉法表示下列集合. 中國古典長篇小說四大名著組成的集合； 大于-3 且小于 10 的所有偶數組成的集合． 解 （1）中國古典長篇小說四大名著組成的集合用列舉法表示為｛《水滸傳》，《三國演 義》，《西游記》，《紅樓夢》｝ 提問引導講解 強調 思考分析解決 交流 鞏固列舉法表示集合的基本方法
（2）大于-3 且小于 10 的所有偶數為- 2，0，2，4，6，8 它們組成的集合用列舉法 表示為{-2，0，2，4，6，8}.
情境導入 2.描述法 比 3 大的實數組成的集合能用列舉法表示出來么？ 這個集合具有特征性質：元素都是實數并且元素都比 3 大，所以可以利用元素具有的特征或者性質來表示這個集合： {x∈R|x>3}. 質疑 思考 引出新知
新知探索 利用元素的特征性質來表示集合的方法稱為描述法． 描述法表示集合時，在花括號“{ }”中畫一條豎線，豎線的左側是集合的代表元素及取值范圍，豎線的右側是元素所具有的特征性質． 約定：如果集合的元素是實數，那么“∈ R”可略去不寫，例如，{x∈R|x>3}可以簡寫 為{x|x>3}. 講解說明 理解記憶 學習描述法表達方式和要點
典型例題 例 4 用描述法表示下列集合： 小于 1 的所有整數組成的集合； 所有偶數組成的集合； 在平面直角坐標系中，由第一象限內的所有點組成的集合. 分析 （1）中元素的取值范圍是整數，元素的特征性質是小于 1；（2）中元素的特征性質可以寫成 2k (k∈Z)的形式；（3）中元素是平面直角坐標系中的點，用有序實數對(x，y)表示， 特征性質是橫、縱坐標(即 x，y)均為正數. 提問 引導 講解 思考 分析 解決 領會描述法的基本使用方式并強調表達方式的規范性，了解集合中所有元 素的特征
解 （1）小于 1 的所有整數組成的集合為{x ∈Z| x<1}． 所有偶數組成的集合為{x| x=2k， x∈Z}，也可以表示為{偶數}；這個集合也可以表示為{偶數}． 第一象限內的所有點組成的集合為 {(x，y) | x>0，y>0}． 例 5 用寫出不等式 2x+1>9 的解集. 解 由不等式 2x+1>9，得 2x>8，故 x>4 ．因此不等式 2x+1>9 的解集可以用描述法表示為{x|x>4} . 例 6 分別用列舉法和描述法表示方程 x -9=0 的解集. 解 解方程 x -9=0，得 x1=-3， x2=3.故方程的解組成的集合用列舉法表示為{-3，3}，用描述法表示為{x|x=-3 或 x=3}. 溫馨提示 有些集合只能用列舉法或描述法表示，有些集合兩種方法都適用，要根據需要具體問題進行具體分析. 強調 交流 也可以用文字來描述 體會描述法的適用情況 理解列舉法和描述法 的 定義，體會同一集合采用不同表示方法之間的轉換
鞏固練習 練習 1.1.2 1. 用列舉法表示下列集合： 大于-5 且小于 9 的所有奇數組成的集合； 方程 x -2x-3=0 的解集. 2. 用描述法表示下列集合． （1）大于-1 且小于 3 的所有實數組成的集合； 提問 巡視 思考 動手求解 及時掌握學生的知識掌握情況，查漏補缺
（2）平方等于 9 的所有實數組成的集合． 3. 用適當的方法表示下列集合 2x y 5 方程組 x y 1 的解集; 平面直角坐標系中，由第三象限的所有點組成的集合． 指導 交流
歸納總結 引導 提問 回憶 反思 培養學生總結學習過程能力
布置作業 書面作業：完成課后習題和學習與訓練； 查漏補缺：根據個人情況對課堂學習復習與回顧； 拓展作業：閱讀教材擴展延伸內容. 說明 記錄 繼續探究延伸學習

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