資源簡介

(共22張PPT)
4.7 余弦函數的圖像和性質
中小學教育資源及組卷應用平臺
4.7 余弦函數的圖像和性質
情境導入
探索新知
典型例題
鞏固練習
歸納總結
布置作業
我們用描點法作出了正弦函數 y=sinx在[0，2π]上的圖像，通過不斷向左、向右平移(每次移動 2π個單位長度)得到了正弦函數 y=sinx，x∈R的圖像，并通過正弦曲線研究了正弦函數的性質．
對于余弦函數y=cosx，x∈R，可否用同樣的方法來研究？
4.7 余弦函數的圖像和性質
情境導入
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把區間[0，2π]分成12等份，分別求得函數y=cosx在各分點及區間端點的函數值．
用描點法作出余弦函數y=cosx 在 [0，2π]上的圖像.
（1）列表.
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根據表中x，y的數值在平面直角坐標系內描點(x，y) ，再用光滑的曲線順次連接各點，就得到余弦函數y=cosx 在 [0，2π]上的圖像．
用描點法作出余弦函數y=cosx 在 [0，2π]上的圖像.
（1）列表．
（2）描點作圖．
4.7 余弦函數的圖像和性質
不難看出下面五個點是確定余弦函數y=cosx在 [0，2π]上的圖像的關鍵點．因此，余弦函數的圖像也可以用五點法畫出簡圖．
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(0， )， ，(π，-1)，
4.7 余弦函數的圖像和性質
由誘導公式cos(2kπ+x)=cosx (k∈Z)可知，將函數y=cosx在[0，2π]上的圖像沿x軸向左或向右平移2π，4π，…，就得到了余弦函數 y=cos x，x∈R的圖像．
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余弦函數的圖像也稱為余弦曲線；它是與正弦曲線具有相同形狀的“波浪起伏”“周而復始”的連續光滑曲線．
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將正弦函數的圖像和余弦函數的圖像放在同一個坐標系內，可以看出：把正弦函數y=sinx， x∈R的圖像向左平移 個單位長度，就得到余弦函數y=cos x， x∈R的圖像．
y＝sinx， x∈R
4.7 余弦函數的圖像和性質
若將正弦函數y=sinx，x∈R的圖像向右平移，是否也可以得到余弦函數y=cos x，x∈R的圖像，如果是，需平移多少？
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（1）定義域．
觀察余弦曲線，類比正弦函數，得到關于余弦函數y=cosx，x∈R的結論：
余弦函數的定義域是實數集R ．
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（2）值域．
余弦函數的值域是[-1，1] ．
當x=2kπ(k∈Z)時，y取最大值，ymax=1；
當x=π+2kπ(k∈Z)時，y取最小值，ymin= -1 ．
觀察余弦曲線，類比正弦函數，得到關于余弦函數y=cosx，x∈R的結論：
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（3）周期性．
余弦函數是周期為2π的周期函數．
觀察余弦曲線，類比正弦函數，得到關于余弦函數y=cosx，x∈R的結論：
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（4）奇偶性．
由圖像關于y軸對稱和誘導公式cos( x)=cosx可知，余弦函數是偶函數．
觀察余弦曲線，類比正弦函數，得到關于余弦函數y=cosx，x∈R的結論：
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余弦函數y=cosx在每一個閉區間[(2k-1)π， 2kπ] (k∈Z) 上都是增函數，函數值從-1增大到1；在每一個閉區間[2kπ，(2k+1)π] (k∈Z)上是減函數，函數值從1減小到-1．
（5）單調性．
觀察余弦曲線，類比正弦函數，得到關于余弦函數y=cosx，x∈R的結論：
4.7 余弦函數的圖像和性質
例1 利用五點法作出函數y=-cosx在[0，2π]上的圖像．
解 （1）列表．
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4.7 余弦函數的圖像和性質
（2）描點作圖．根據表中x，y的數值在平面直角坐標系內描點(x，y)，再用平滑曲線順次連接各點，就得到函數y=-cosx在[0，2π]上的圖像．
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例1 利用五點法作出函數y=-cosx在[0，2π]上的圖像．
解 （1）列表．
想一想
y=cosx，x∈[0，2π]與y=-cosx，x∈[0，2π]集的圖像有什么關系？
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例2 求函數y=3cosx＋1的最大值、最小值及取得最大值、最小值時x的集合．
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解 由余弦函數的性質知，-1≤cosx≤1，所以-3≤3cosx≤3，
從而 -2≤3cosx+1≤4，即 -2≤y≤4 ．
故函數的最大值為4，最小值為-2 ．
函數y=3cosx+1取最大值時的x的集合，就是函數y=cosx取得最大值時的x的集合 {x|x=2kπ， k∈Z}；
函數y=3cosx + 1取最小值時的x的集合，就是函數y=cosx取得最小值時的x的集合 {x|x=2kπ+π， k∈Z}．
4.7 余弦函數的圖像和性質
例3 不求值比較下列各組數值的大小：
（1）cos cos；（2）cos與cos．
解 根據余弦函數的圖像和性質可知：
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（1）因為0< < <π，余弦函數y=cosx在區間[0， π]上是減函數，所以
cos cos ．
4.7 余弦函數的圖像和性質
例3 不求值比較下列各組數值的大小：
（1）cos sin；（2）cos與cos．
解 根據余弦函數的圖像和性質可知：
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（2）因為-π<-<-<0，余弦函數y=cosx在區間[-π， 0]上是減函數，所以
cos cos．
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練習
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1. 用五點法作出函數y=cosx-1在[0， 2π]上的圖像．
2.求下列函數的最大值和最小值，及取得最大值、最小值時自變量x的集合．
（1） y=2cosx-1 ；（2） y=- cosx ．
3. 不求值，比較下列各組數的大小．
（1）cos cos；（2）cos與cos．
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