資源簡介

(共20張PPT)
階段拔尖專訓7 因式分解中的創新題
類型1 動手操作型
1. 在學習《因式分解》時，鄒老師給同學
們發了很多硬紙片的正方形A， 的正方形B，
的長方形 ,如圖①.
（1）在探究中，小明用1張A和1張C組成如圖②所示的長方
形,說明 可以分解為_________；
（2）繼續探究，小明用1張A、2張B和3張C再次拼得一個長
方形，請在圖③的框中畫出示意圖，并將長方形面積表達式
的因式分解結果寫在橫線上；
【解】示意圖如圖①.
（3）嘗試應用：請你仿照小明同學的探究方法，嘗試用1張
A、4張B和若干張C拼成一個長方形或正方形，請你設計兩
種不同的拼法，在圖④的框中和圖⑤的框中分別畫出示意圖，
并在相應的橫線上寫出所拼長方形或正方形的面積表達式及
因式分解的結果.
（拼法不唯一）第一種拼法,如圖②.
第二種拼法,如圖③.
類型2 新定義型題
2.[2024上海楊浦區模擬] 我們規定一種運算：
.例如： ，再
如： .按照這種運算規定，解答下列問題：
（1） ____;
14
（2）當時，求 的值;
【解】由題意得，解得 .
（3）將下面的式子進行因式分解： .
原式
.
類型3 閱讀理解題
3. 閱讀材料，解答下列問題：
待定系數法：設某一多項式的全部或部分系數為未知數，利
用當兩個多項式為恒等式時，同類項系數相等的原理確定這
些系數，從而得到待求的值.
待定系數法可以應用到因式分解中，例如：因式分解 .
因為 為三次多項式，所以若能因式分解，則可以分解
成一個一次多項式和一個二次多項式的乘積.
故我們可以猜想 ，等式右邊展
開得 ，根據待定系數法原理，
得等式兩邊多項式的同類項的對應系數相等，即 ，
，，可以求出， .所以
.
（1）若取任意值，等式 恒
成立，則 ___；
1
（2）已知多項式有一個因式為 ，請用待
定系數法求出該多項式的另一個因式；
【解】設另一個因式為 ，
則 .
所以,,,解得, .
所以該多項式的另一個因式為 .
（3）請判斷多項式 是否能分解成兩個均為整系
數的二次多項式的乘積，并說明理由.
多項式 能分解成兩個均為整系數的二次多項式的
乘積.理由如下：
設多項式 或
.分兩種情況討論：
①當 時，因為
,所以， ，
.
由,得 ，故此種情況不存在.
②當 時，因為
,所以， ，
, .
解得, .
即 .
綜上，多項式 能分解成兩個均為整系數的二次多
項式的乘積.
類型4 規律探究題
4.請你仔細觀察以下等式，并運用所發現的規律完成下列問
題：
；
;
；
；…
（1） （________________________）；
（2）_______
；
（3）以上各等式，從左到右的變形____（填“是”或“不是”）
因式分解；
是
（4）將 因式分解.
【解】因為 ，
，
所以 .(共17張PPT)
階段拔尖專訓6 整式乘法與幾何圖
形結合
類型1 平方差公式的幾何背景
1.【探究問題】
如圖①是一張長方形紙條，將其沿虛線剪成兩張后剛好能拼
成圖②.
（1）圖①中長方形紙條的面積可表示為_________________
___（寫成多項式乘法的形式）；
【解】
（2）拼成的圖②的面積可表示為________（寫成兩數平方
差的形式）；
（3）結合 ，可以得到乘法公式：__________________
_______；
【結論運用】
（4）運用所得的公式計算：
_________，
_ ________；
【拓展運用】
（5）計算：
.
原式
.
類型2 完全平方公式的幾何背景
2. 幾何圖形是一種重要的數學語言，它直觀
形象，能有效地表示代數中的數量關系，而運用代數思想也
能巧妙地解決幾何圖形問題.
（1）【觀察】如圖①是一個
長為，寬為 的長方形，沿
圖中虛線將其分成四個完全
相同的小長方形，然后用這
【解】
四個小長方形拼成一個“回形” 正方形（如圖②）.請你寫出
，， 之間的等量關系：________________
________________；
（2）【應用】若，，求 的值；
由（1）可得,將 ，
代入，得，解得 .
（3）【拓展】如圖③，四邊
形、四邊形 和四
邊形 都是正方形，四
邊形和四邊形 都
①填空：_____， ___；
5
是長方形，若，，長方形 的面積是150，
設， .
②求圖③中陰影部分的面積.
由題易得
.
類型3 多項式乘多項式的幾何背景
3.[2024菏澤月考]
（1）通過計算幾何圖形的面積可以表示一些代數恒等式，
如圖①是邊長為 的正方形，用兩種不同的方法表示圖①中
陰影部分的面積（， 為常數），可以得到一個恒等式：
_______________________________________;
【解】
（2）由（1）的結果進行應用：若
對 的任何值都成立，求
的值;
由（1）可知, .
又因為 ，
所以， ,
解得， .
所以 .
（3）事實上，通過計算幾何圖形的體積也可以表示一些代
數恒等式，如圖②表示的是一個棱長為 的正方體挖去一個
小長方體后，沿虛線切開重新拼成一個新長方體，請你根據
圖②的變化，利用整式乘法寫出一個代數恒等式.
.
類型4 應用整式乘法求幾何圖形的面積
4.如圖①,圖②，已知, ,
分別求圖①,圖②中陰影部分的面積.
【解】圖①中陰影部分的面積
.
圖②中陰影部分的面積
.(共25張PPT)
階段拔尖專訓2 解相交線與平行線
的常用技巧
技巧1 基本圖形（添加輔助線）法
1. 如圖，直線， ，
，則 的度數是
( )
B
A. B. C. D.
技巧2 分離圖形法
2.若平行線，與相交線， 相交成如圖所示的圖形，
則共得出同旁內角多少對？
【解】如圖，將給出的圖形分離為8個“三線八角”的基本圖形，
由每個基本圖形都有2對同旁內角，知共有16對同旁內角.
技巧3 整體思想
3.如圖， ，，平分， 平
分，的反向延長線為射線.求 的度數.
【解】， .
設， .
平分，平分 ，
， .
， .
.
.
.
技巧4 方程思想
4.如圖，直線與相交于點，，垂足為 .
（1）若 ，則 ____；
（2）若,求 的
度數.
【解】, .
, 設 ，
則 ，
,解得 , ,
.
技巧5 轉化思想
5.如圖，,,三點在同一直線上， ,
.試說明： .
【解】， .
又， .
技巧6 分類討論思想
6.如圖，點在的一邊上，過點的直線 ,
平分, .
（1）若 ,求 的度數；
【解】, ,
.
平分 ,
.
.
（2）猜想和 的數量關
系，并說明理由；
.理由如下：
平分, .
， 易得
.
.
（3）當的度數為___________時，分成 的兩部分.
或
【點撥】當
時， 平分
, ,
. .
,
；當
時，
平分 ,
,
.
.
.
,
.綜
上所述，當 或 時，
分成 的兩部分.
技巧7 從特殊到一般思想
7.如圖①，直線，直線分別交，于， 兩
點，，的平分線相交于點 .
（1）求 的度數.
【解】如圖，過點作.所以 .
因為，所以 .
所以 .
因為，分別為與 的平分線，
所以， .
因為 ，所以
， 即
.
所以 .所以
.
（2）如圖②，作，的平分線相交于點 ，問
與 的度數是否存在某種特定的等量關系？寫出結論并
說明理由.
存在. .理由如下：
因為， 的平分線相交
于點 ，
所以， .
由（1）得 ，所以
.
同（1）理，得 ，
所以 .
（3）在圖②中作，的平分線相交于點 ，作
，的平分線相交于點，依此類推， ，請
直接寫出 的度數.
.
【點撥】根據（2）中的規律可得 ，
， .(共25張PPT)
階段拔尖專訓8 三角形中求角的思
想方法
類型1 轉化思想
1.如圖①所示，與 稱
為“對頂三角形”,其中
.利用這個結論，
在圖②中，求
的度數.
【解】如圖，連接和，設和 的交
點為，和的交點為 ，
，
同理 ，
在中， ，
即 .
，
，
即 ，
，
即 .
類型2 分類討論思想
2.[2024鄭州金水區期中] 如圖， 是
的角平分線，是 的高，
， ，為邊
上一點，當 為直角三角形時，求
的度數.
【解】如圖①，當 時，
.
是的角平分線， ， .
；
如圖②，當 時，
是的高， ， 易得
. .
.
綜上所述，的度數為 或 .
類型3 方程思想
3. 我們將內角互為對
頂角的兩個三角形稱為“對頂三角
形”．例如，在圖①中， 的內角
與的內角互為對頂角，則與
為“對頂三角形”，根據三角形內角和是 ，可得“對頂三
角形”有如下性質： ．
（1）如圖①，與 為“對頂三角形”，若
，則 ____；
（2）如圖②，在中，，分別平分和 ，
且相交于點.若 ，比大 ，求
的度數．
【解】 ， ，
.
，分別平分 和
，
， .
.
與 是“對頂三角
形”，
.
設，比
大 ， ，
. .
．
類型4 整體思想
4.如圖，在四邊形中，平分,平分 .
（1）若 ,則 的度數為____；
（2）根據（1）的啟發，猜想與 之間的數量
關系，并說明理由.
【解】 .理由如
下：
在四邊形 中，
,
.
平分,平分 ,
, .
.
類型5 從特殊到一般的思想
5. 如圖，
在中，與 的平分線
交于點，于點 ，
.
（1）若 ， ，求 的大小；
【解】，分別平分 ，
，
，
.
， ,
.
，即 .
（2）若 ，求 的大小；
，分別平分,， 設
， ，
則， .
， .
.
， . ，即 .
（3）若 ，試用含 的式子表示 .
同（2）設 ，
，則 ，
,
,
. ,即 .
類型6 參數思想
6.如圖，在中， ,
于點,平分交于點 ，
于點,求 的度數.
【解】平分， 設
.
, .
.
, ,
.
, .
.(共22張PPT)
階段拔尖專訓3 平行線的判定與性
質中的實際情境題
類型1 與三角板相結合
1.如圖，，將兩塊直角三角板（一塊含 角，一
塊含 角）按如下方式進行擺放，恰好滿足
.
（1）若 ，求 的度數；
【解】因為 ， ，
所以 .
因為 ，
所以 .
所以
.
（2）試判斷與 的位置關系，并說明理由.
.理由：因為 ，所以
.
因為 ，
所以 ，
即 .
因為 ，所以
，
所以 .
類型2 與生活情境相結合
2.健康騎行越來越受到老百姓的喜歡，某自行車的示意圖如
圖，其中，.若 ， ，
求 的度數.
【解】因為 ，
所以 ，
.
因為 ，所以
.
因為，所以 .
所以 ，
所以
.
3.如圖是某射箭運動員射箭的一個瞬間，已知 ，
， ， ， ，求 的
度數.
【解】如圖，延長交于點 ，因為
，
所以 .
因為 ，所以 .
因為 ，
所以易得 .
因為 ，
所以 .
因為 ，
所以 ，所以
.
類型3 與跨學科應用相結合
4.通過實驗發現凸透鏡能使與主
光軸平行的光線聚在主光軸上一
點.如圖，箭頭所畫的是光線的方
向，點 是凸透鏡的焦點，
，若
， ，
求 的度數.
【解】因為 ，
所以 ，
.
因為 ，
，
所以 ， .
所以 .
5.[2024廣州荔灣區期末] 如圖，現有兩束
平行光從距離水面相同的高度斜射向水面
發生折射，由于兩束光的偏折程度一樣，
故射入水中的兩束光仍為平行光.若
， ，求 的度
數.
【解】因為 ，所以
.
因為，所以 .
所以 .
因為，所以 .因為
，
所以 .所以 .
因為 ，所以 .所以 .
6.【生活常識】射到平面鏡上的光線（入射光線）和變向后
的光線（反射光線）與平面鏡所夾的角相等.如圖①， 是
平面鏡，入射光線與平面鏡的夾角為 ，反射光線
與平面鏡的夾角為，則 .
【應用探究】
有兩塊平面鏡，，入射光線 經過兩次反射，得到反
射光線 .
（1）如圖②，若，試說明 ；
【解】因為,所以 .
所以 .
又因為， ，所以
.所以 .
（2）如圖③，光線與相交于點，若 ，
求 的度數；
因為 ,所以 .
由（1）可知，
，所以
.
（3）如圖④，光線與所在的直線相交于點 ，
， ，試猜想 與 之間滿足的數量
關系，并說明理由.
.理由如下：
易得 ，
， ，所以
.所以 .(共20張PPT)
階段拔尖專訓12 應用不等式（組）
解決方案設計問題
題型1 利用不等式（組）解決費用問題
1.[2024北京朝陽區期末] “中國人的飯碗必須牢牢掌握在咱們
自己手中.”為擴大糧食生產規模，某糧食生產基地計劃投入
一筆資金購進甲、乙兩種農機具.已知購進2件甲種農機具和1
件乙種農機具共需3.5萬元；購進1件甲種農機具和3件乙種農
機具共需3萬元.
（1）購進1件甲種農機具和1件乙種農機具各需多少萬元？
【解】設購進1件甲種農機具需萬元，1件乙種農機具需 萬元.
根據題意，得 解得
答：購進1件甲種農機具需1.5萬元，購進1件乙種農機具需
0.5萬元.
（2）若該基地計劃購進甲、乙兩種農機具共10件，且投入
資金不少于9.8萬元又不超過12萬元，設購進甲種農機具 件，
則該基地有幾種購買方案？
由題意知購進乙種農機具 件.根據題意，得
解得 .
為正整數， 可以為5，6或7.
該基地有三種購買方案.
（3）由于國家對農業生產扶持力度加大，每件甲種農機具
降價0.7萬元，每件乙種農機具降價0.2萬元，在（2）的條件
下，當 取最小值時，該基地計劃將節省的資金全部用于再
次購買甲、乙兩種農機具（可以只購買一種），請直接寫出
再次購買農機具的方案有幾種.
再次購買農機具的方案有兩種.
【點撥】設節省的資金用于再次購買甲種農機具 件，乙種
農機具件，由（2）知的最小值為5,此時 .由題
意得 ,整理，得
, 易得其整數解為或 再次購
買農機具的方案有兩種.
2.為有效開展課后延時服務特色課程，某校計劃購買葫蘆絲
和口風琴給同學們活動使用，若購買1個葫蘆絲和2個口風琴
需280元；若購買2個葫蘆絲和3個口風琴需470元.
（1）求購買1個葫蘆絲和1個口風琴各需多少元.
【解】設購買1個葫蘆絲需元，1個口風琴需 元，由題意，
得解得
答：購買1個葫蘆絲需100元，1個口風琴需90元.
（2）如果購買葫蘆絲和口風琴共46個，且購買葫蘆絲的數
量不低于口風琴數量的1.5倍，求最多可購買多少個口風琴.
設購買個口風琴，則購買 個葫蘆絲，由題意，得
，解得 .
為整數， 的最大值為18.
答：最多可購買18個口風琴.
（3）學校根據實際情況，在（2）的前提下，要求購買的總費
用不超過4 430元，請問有哪幾種購買方案？哪種方案最省錢？
由題意得
解得 .
為整數， 的值可以為17或18.
當時， ，此時購買的總費用為
（元）；
當時， ，此時購買的總費用為
（元）.
， 共有兩種購買方案：①購買葫蘆絲29個，
口風琴17個；②購買葫蘆絲28個，口風琴18個.其中方案②最
省錢.
題型2 利用不等式（組）解決利潤問題
3.[2024武漢漢陽區期末] 某商場銷售甲、乙兩種商品，它們
的進價和售價如下表.
進價/（元/件） 售價/（元/件）
甲 15 20
乙 35 43
（1）若該商場購進甲、乙兩種商品共100件，恰好用去
2 700元，求購進甲、乙兩種商品各多少件；
【解】設該商場購進甲種商品 件，則購進乙種商品
件.根據題意可得 ，解得
， .
答：該商場購進甲種商品40件，乙種商品60件.
（2）該商場為使銷售甲、乙兩種商品共100件的總利潤
（利潤 售價-進價）不少于750元，且不超過760元，請你幫
助該商場設計相應的購進方案.
設該商場購進甲種商品件，則購進乙種商品 件,根
據題意得
解得 .
是正整數， 或15或16.
購進方案共有3種，具體如下：
方案1：購進甲種商品14件，購進乙種商品86件；
方案2：購進甲種商品15件，購進乙種商品85件；
方案3：購進甲種商品16件，購進乙種商品84件.
題型3 租車方案問題
4.某公司要將一批物資運往甲市，計劃租用A，B兩種型號的
貨車，在每輛貨車都滿載的情況下，若租用4輛A型貨車和6
輛B型貨車可裝載190箱物資；若租用5輛A型貨車和10輛B型
貨車可裝載275箱物資.
（1）A，B兩種型號的貨車每輛分別可裝載多少箱物資？
【解】設A型貨車每輛可裝載 箱物資，B型貨車每輛可裝載
箱物資，
由題意，得 解得
答：A型貨車每輛可裝載25箱物資，B型貨車每輛可裝載15箱
物資.
（2）初步估算，運輸的這批物資不超過725箱，若該公司計
劃租用A，B兩種型號的貨車共40輛，且B型貨車的數量不超
過A型貨車數量的3倍，則該公司一次性將這批物資運往甲市
共有幾種租車方案？請具體說明.
設租用A型貨車輛，則租用B型貨車 輛.由題意，
得 解得 .
是整數， 或11或12.
租車方案共有3種，具體如下：
①租用A型貨車10輛，租用B型貨車30輛；
②租用A型貨車11輛，租用B型貨車29輛；
③租用A型貨車12輛，租用B型貨車28輛.(共18張PPT)
階段拔尖專訓4 平行線中閱讀理解
與探究題
類型1 閱讀理解填空題
1.如圖，直線， ，
，求 的度數.
閱讀下面的解答過程，并填空.
解：因為 （已知），
兩直線平行，內錯角相等
所以 ____（________________________）.
因為 ， （已知），
所以 （等式的性質）.
所以 （__________）.
所以____//____（______________________
_____）.
所以 ____（_______________________
__）.
所以 .
等量代換
同旁內角互補，兩直線平行
兩直線平行，同位角相等
類型2 閱讀理解和運用
2.【閱讀材料】彤彤遇到這樣一個問題.
如圖①，，為，之間一點，連接， ，
得到.求證： .
彤彤是這樣做的：如圖①，過點作 ，則有
.因為，所以.所以 .
所以 .
請你參考彤彤思考問題的方法，解決問題：如圖②，直線
，點，在直線上，點，在直線上，連接 ，
，平分，平分，且， 所在的直線
交于點 .
（1）當點在點的左側時，若 ，
，求 的度數；
【解】如圖①，過點作 ，則有
.因為，所以 .
所以 .所以
，即 .
因為平分，平分 ，
所以 ， ，
所以 .
（2）如圖③，當點在點的右側時，設 ，
，直接寫出的度數.（用含有 ， 的式子表
示）
.
【點撥】過點作 ，如圖②，則
， 所以 .
因為，所以，所以 .
所以 ，
即 .
因為平分，平分 ，所以
， .所以
.
類型3 探究有關角度的定值問題
3. 如圖①，，，， ，
， 四點在同一直線上.
（1）試說明： ；
【解】延長，交于點，因為， ，所
以，.所以 .
（2）如圖②，連接，是下方一點，連接， ，
且，，若 ，
探究 的度數是否變化，若不變，請求出其值；
若變化，請說明理由.
的度數不變.因為 ，所以
.所以 .
4.如圖，已知 ，
，點是射線
上一動點（與點 不重合），
和 的平分線分別交
射線于點，，的平分線與 的平分線交于點
，在點運動的過程中，與 的比值是否變化？
若不變，請求出這個比值；若變化，請說明理由.
【解】與 的比值不變.設
.因為平分 ，所
以.如圖，過點 作
.
因為， ,
所以 ，
.
因為平分 ，所以
.所以
.
因為平分 ，所以
.
所以 .
易得 ，
所以 .(共11張PPT)
階段拔尖專訓5 整體思想在整式乘
法中的應用
類型1 冪的運算中的整體思想
1.已知，，求 的值.
【解】因為，，所以 .
所以 .
所以.所以.所以 .所以
.
2.已知是正整數，且，求 的值.
【解】原式 .
3.已知，求 的值.
【解】因為，所以 .
所以 .
類型2 乘法公式運算中的整體思想
題型1 化繁為簡整體代入
4.已知，， ，
求代數式 的值.
【解】因為， ，
，所以，， .所
以
.
題型2 變形后整體代入
5. 已知，且 ，則
的值是( )
A
A. B. C. D.
【點撥】因為，所以 .所以
.
6.已知， .
（1）求 的值；
【解】原式 .
（2）求 的值.
原式 .
類型3 多項式乘法運算中的整體思想
題型1 數字中的換元
7.已知，，， ， 是彼此互不相等的負數，且
，
，比較與
的大小.
【解】設 ，
則, .
所以 .
因為，，， ， 是彼此互不相等的負數，
所以.所以 .
題型2 多項式中的換元
8. 閱讀下列材料：
“換元法”是指運用“整體思想”把某些部分看成一個整體，并
用新字母代替（即換元），從而使復雜的問題簡單化的方法.
例如：
計算： .
解：令，則原式
請根據以上材料，解決下列問題：
（1）請把上面的解題過程補充完整；
【解】
.
（2）計算：
.
令 ，則
.(共17張PPT)
階段拔尖專訓10 不等式（組）與方
程（組）的綜合應用
類型1 運用整體思想解決問題
1.已知關于，的方程組（ 為常數）
（1）若，求 的值；
【解】
，得， .
又，，解得 .
（2）若，求 的取值范圍.
，得 .
又，，解得 .
類型2 運用消元思想解決問題
2.已知關于，的方程組 求（1）若
，求的值；（2）若，求 的值.
【問題解決】
（1）王磊的解題思路：觀察方程組中， 的系數發現，將
可得.又， 的值為
___；
5
（2）王磊的解題思路：觀察方程組中， 的系數發現，若
將方程組中的①與②直接進行加減，已經不能解決問題，經
過思考，王磊將， ，得
由，得 ，
，請根據王磊的思路，求出,及 的值；
【解】將，，得
由,得 .
，
，得，解得 ，
把代入⑤，得，解得 ，
把，代入⑦，得 ，
解得 .
【問題拓展】
（3）已知關于,的不等式組 若
，求 的取值范圍.
將，，得
，得 .
， .
類型3 運用轉化思想解決問題
3.已知在方程組中，為非正數， 為負數.
（1）求 的取值范圍；
【解】解方程組得
在方程組中，為非正數， 為負數，
解得 .
（2）化簡： ；
，
（3）在（1）的范圍中，當 為何整數時，不等式
的解集為 .
， .
要使不等式的解集為 ，
，解得 .
又，為整數， .
當為時，不等式的解集為 .
類型4 運用建模思想解決問題
4.在實施“城鄉危舊房改造工程”中，某區計劃推出A,B兩種新
戶型.根據預算，建成10套A種戶型和30套B種戶型住房共需
資金480萬元，建成30套A種戶型和10套B種戶型住房共需資
金400萬元.
（1）在實施“城鄉危舊房改造工程”中，建成一套A種戶型和
一套B種戶型住房所需資金分別為多少萬元
【解】設建成一套A種戶型所需資金是 萬元，建成一套B種
戶型所需資金是 萬元，
根據題意得解得
答：建成一套A種戶型所需資金是9萬元，建成一套B種戶型
所需資金是13萬元.
（2）該區共有800套房屋需要改造，改造資金由國家危舊房補
貼和地方財政共同承擔.若國家補貼撥付的改造資金不少于
2 100萬，該區財政投入資金不超過7 700萬元，其中，國家財
政投入A,B兩種戶型的改造資金分別為每套2萬元和3萬元.請你
計算求出A種戶型最少可以建多少套，最多可以建多少套.
設A種戶型有套，則B種戶型有 套，根據題意得
解得 .
答：A種戶型最少可以建100套，最多可以建300套.(共27張PPT)
階段拔尖專訓9 三角形中的探究型
問題
類型1 新定義型問題
1.如果兩個角的差為 ，就稱這兩個角互為“創新角”，其
中一個角叫作另一個角的“創新角”.
例如： ， ， ，則 和 互為
“創新角”，即 是 的“創新角”， 也是 的“創新角”.
（1）已知和互為“創新角”，且，若和 互
補，則 ______；
（2）如圖①所示，在中， ，過點作
的平行線，的平分線分別交，于， 兩點.
①若，且和互為“創新角”，則 ____；
【點撥】設的度數為， ,
.又 的平分線
分別交,于，兩點， .
，.， 和
互為“創新角”， ，即
，解得 . .
②如圖②所示，過點作的垂線，垂足為，， 相交
于點.若與互為“創新角”，求 的度數；
解設的度數為 ，
，
.
又的平分線分別交,于， 兩點，
.
.
， 易得 .
與 互為“創新角”，
或 .
或 ，
解得 或 .
綜上，的度數為 或 .
③如圖③所示，的平分線交于點，當 和
互為“創新角”時， __________.
或
【點撥】設， ， 易得
的平分線分別交,于，
兩點，. ，
， 的平分
線交于點 ，
.
.和 互為“創新
角”, 或 .
或 . 或 .
類型2 閱讀理解型問題
2.閱讀理解：已知三角形的中線具有等
分三角形面積的性質，即如圖①，
是中邊上的中線，則 ，
理由：如圖①，過點作于點 ，
, 即等
底同高的三角形面積相等. 回答下列問題：
（1）如圖②，，，分別是，， 的中點，且
，則圖②中陰影部分的面積為____；
12
【點撥】連接，分別是， 的中點，
, .同理可得 .
陰影部分的面積 .
（2）如圖③，已知四邊形的面積是,，，， 分
別是，，，的中點，點是四邊形 內一點，
求出圖中陰影部分的面積（用 表示）.
【解】如圖，連接,,, .
是 邊的中點，
.
同理可得 ,
, ，
圖中陰影部分的面積四邊形的面積 .
類型3 規律型問題
3.
【基礎探究1】
（1）如圖①，在中，平分，平分 ，
探求與 之間的數量關系；
【解】 ，
.
平分，平分 ，
， .
.
【基礎探究2】
（2）如圖②，在中，，是 的三等分線，
，是的三等分線，則與 之間的數量關
系是_ __________________；
【點撥】 ,
,是 的三等分
線，,是的三等分線， ，
.
【基礎探究3】
（3）如圖③，在中，，，是 的四等
分線，，，是的四等分線，則與
之間的數量關系是_ ___________________；
【點撥】 ,
,,是 的四等
分線，,,是 的四等分線，
， .
【拓展與探究】
（4）如圖④，在中，，， ，，
是的等分線，，， ，， 是
的等分線，請用一個等式表示，，
三者之間的數量關系：_____________________________.
【點撥】 ,
,, ,, 是
的等分線，,, ,,是的 等分
線，， ，
，
，
.(共19張PPT)
階段拔尖專訓1 二元一次方程組的
特殊解法
解法1 用疊加法或疊減法解二元一次方程組
【高分秘籍】當方程組中的兩個未知數的系數的和或差相等
時，通常采用疊加或疊減的方法解二元一次方程組.
1.解下列方程組：
（1）
【解】，得,化簡，得 .③
由③，得 .④
把④代入①，得 .
解這個方程，得.把代入④，得 .
所以原方程組的解為
（2）
，得.化簡，得 .③
，得 .④
，得，解得.，得 ，解得
.
所以這個方程組的解是
解法2 用換元法解二元一次方程組
【高分秘籍】換元法是指將原方程組中的某個式子看成一個
整體，用新的字母去代替它，并將其代入原方程組中得到新
的方程組.一般情況下，這樣的換元使得方程組的求解變得更
加簡便.
2.閱讀材料：善于思考的李同學在解方程組
時，采用了一種“整體換元”的解
法.具體方法如下：
解：把，看成一個整體，設 ，
，則原方程組可化為
解得 所以 所以原方程組的解為
（1）若方程組的解是 則方程組
的解是_ _________；
（2）仿照李同學的方法，用“整體換元”法解方程組
【解】設， ，
則原方程組可化為 即
，得，解得 .
把代入②,得，解得 .
所以 解得
所以原方程組的解為
解法3 用整體代入法解二元一次方程組
3.[2024邢臺校級月考] 閱讀下列解題方法：
解方程組時，可由①得 ，然
后再將③代入②，得，求得 ，從而進一
步求得方程組的解為 這種方法被稱為“整體代入法”.
請用同樣的方法完成下列問題：
（1）方程組 的解為_ _______；
（2）解方程組
【解】
由②,得，所以 .③
把③代入①,得，解得 .
把代入②,得,解得 .
所以原方程組的解是
解法4 用同解交換法解二元一次方程組
4.已知關于，的方程組與 的
解相同，求 的值.
4.【解】由題意可得，方程組 和方程組
的解相同.
解方程組得
將代入
得 解得
所以 .
解法5 用設輔助元法解二元一次方程組
【高分秘籍】當方程組中的某一個方程缺少常數項或方程是
關于兩未知數的比例式時，可設輔助元解之.
5.解方程組：
【解】根據方程①可設, ,代入②，得
,解得.所以, .
所以原方程組的解為(共20張PPT)
階段拔尖專訓11 不等式（組）的創
新題型
題型1 程序框圖問題
1.如圖，按下面的程序進行運算，規定：程序運行到“判斷結
果是否小于12”為一次運算，若輸入整數 后運算進行了2次
才輸出結果，則 的最大值為______.
11.75
題型2 含絕對值的不等式問題
2.解方程 .由絕對值的幾何意義知，該方
程表示求在數軸上與1表示的點和 表示的點的距離之和為5
的點對應的的值.在數軸上，1表示的點和 表示的點的距
離為3,不為5,因此滿足該方程的 的值的對應點在1表示的點
的右邊或表示的點的左邊.若 的對應點在1表示的點的右
邊，由如圖所示的數軸可以看出；同理，若 的對應點
在表示的點的左邊，可得，故原方程的解是
或 .
閱讀材料，解答下列問題：
（1）方程 的解為_______________；
或
（2）解不等式 .
【解】 在數軸上，3表示
的點和 表示的點的距離
為7, ,
易知滿足不等式的的對應點在3表示的點的右邊或 表示
的點的左邊.
①當 在3表示的點的右邊時，原不等式可化為
,解得 ;
②當在 表示的點的左邊時，
原不等式可化為
,解得 .
原不等式的解集為 或
.
題型3 新定義問題
3.閱讀理解：定義：若一個方程（組）的解也是一個不等式
（組）的解，我們稱這個方程（組）的解是這個不等式（組）
的“友好解”.例如：方程的解是，同時
也是不等式的解，則稱方程的解 是
不等式 的“友好解”.
（1）試判斷方程的解是不是不等式
的“友好解”？不必說明理由.
不是.
【點撥】，解得， ，解得
， 方程的解不是不等式的解. 方程
的解不是不等式 的“友好解”.
（2）若關于,的方程組 的解是不等式
的“友好解”，求 的取值范圍.
【解】
，得 .
， ，
由題意得,解得 .
（3）當時，方程 的解是不等式
的“友好解”，求 的最小整數值.
由，得 .
，，即 .
由，得 .
方程的解是不等式 的“友好
解”，，解得 .
的最小整數值為3.
4.定義：如果一個兩位數的十位數字為，個位數字為 ，
且，， ，那么這個兩位數叫作“互異數”.
將一個“互異數”的十位數字與個位數字對調后得到一個新的
兩位數，把這個新兩位數與原兩位數的和與11的商記為 .
例如： ，對調個位數字與十位數字得到新兩位數41，
新兩位數與原兩位數的和為 ，和與11的商為
，所以 .
根據以上定義，解答下列問題：
（1）①下列兩位數：20，21，22中，是“互異數”的為____；
②___；_______（， 分別為一個
兩位數的十位數字與個位數字）；
【點撥】 ,
.
（2）如果一個“互異數”的十位數字是，個位數字是 ，且
；另一個“互異數”的十位數字是 ，個位數字
是，且，請求出“互異數”和 ；
【解】, 易得 .①
， 易得 .②
聯立①②，得 解得
故, .
（3）如果一個“互異數”的十位數字是，個位數字是 ，
另一個“互異數”的十位數字是 ，個位數字是3，且滿足
，請求出滿足條件的所有 的值；
,
易得,解得 .
,,, .
綜上，的取值范圍為 .
又為正整數， 或4或5或6.
當時，, ,滿足題意；
當時，, ,滿足題意；
當時， 為33,不是“互異數”，舍去，
當時，, ,滿足題意,
滿足條件的所有 的值為3或4或6.
（4）如果一個“互異數”的十位數字是，個位數字是 ，
且滿足的“互異數”有且僅有3個，求 的取值范圍.
,, .
又為正整數， 當時，,此時 是“互
異數”， ；
當時，,此時是“互異數”， ；
當時，,此時是“互異數”， ;
當時，,此時是“互異數”， ;
當時，,此時是“互異數”， .
滿足 的“互異數”有且僅有3個，
.

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