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第七章 相交線與平行線
7.1 命題
第2課時 說理
1. “有一個角是直角的三角形是直角三角形”是( )
C
A. 基本事實 B. 定理 C. 定義 D. 條件
2. 下列說法中錯誤的是( )
C
A. 定理是真命題
B. 基本事實一定不是假命題
C. 基本事實與定理沒有區(qū)別
D. 定義、定理、基本事實等都是進行推理的依據(jù)
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3.下列語句，是定理的為________，是基本事實的為____，
是定義的為____（填序號）.
①兩點之間，線段最短；②等角的余角相等；③對應點到旋
轉(zhuǎn)中心的距離相等；④單項式中的數(shù)字因數(shù)叫作這個單項式
的系數(shù)；⑤如果，那么 .
②③⑤
①
④
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4.試說明“若 ， ，
，則 ”是真命題.
以下是排亂的說理過程：
①因為 （已知）；
②因為 ， （已知）；
③所以， （等式的基本性質(zhì)）；
④所以 （等量代換）；
⑤所以 （等量代換）.
正確的順序應是____________（填序號）.
②③①⑤④
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5. 教材P37習題T3 閱讀下面命題及說理過程,在括號里
填上依據(jù)：
命題：如圖， ，
平分，平分 ，那么
.
已知
理由：因為平分，平分 ，（______）
所以， . （
________________）
又因為 ，（______）
所以 . （__________）
角平分線的定義
已知
等量代換
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6. 教材P35例2 如圖，是線段上一點， 是線段
的中點，試探究與 之間的大小關系，并簡要
說明理由.
【解】 .
理由：因為是線段的中點，所以 .
因為是線段上一點，所以 .
所以 .
所以 .
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7.一個三位數(shù)，將該數(shù)的個位數(shù)字移到百位上，得到一個新
的三位數(shù).試說明新三位數(shù)與原三位數(shù)之差的絕對值一定能被
9整除.
【解】設這個三位數(shù)的百位數(shù)字是，十位數(shù)字是 ，個位數(shù)
字是，所以這個三位數(shù)為 .
因為將該數(shù)的個位數(shù)字移到百位上，得到一個新的三位數(shù),
所以這個新的三位數(shù)為 .
因為 ,
所以新三位數(shù)與原三位數(shù)之差的絕對值一定能被9整除.
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第七章 相交線與平行線
7.1 命題
第1課時 命題
1. 下列語句是命題的是( )
B
A. 畫一條直線 B. 正數(shù)都大于零
C. 多彩的青春 D. 明天是晴天嗎？
2. 命題“整數(shù)一定是有理數(shù)”的結論是( )
D
A. 整數(shù) B. 有理數(shù)
C. 一個數(shù)是整數(shù) D. 這個數(shù)一定是有理數(shù)
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3. 命題“等角的補角相等”中的“等角的補角”( )
A
A. 屬于條件部分
B. 既屬于條件部分也屬于結論部分
C. 屬于結論部分
D. 既不屬于條件部分也不屬于結論部分
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4. 用一個的值說明命題“若，則 ”是錯誤的，這
個 的值可以是( )
C
A. 2 B. 1 C. D.
【點撥】當時，，，.因為 ，所以
，所以命題“若，則 ”是錯誤的.故選C.
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5. 已知命題“若，則 ”，下列說法正確的是
( )
D
A. 它是真命題
B. 它是假命題，反例：，
C. 它是假命題，反例：，
D. 它是假命題，反例：，
6.把“互為相反數(shù)的兩個數(shù)的和為零”改寫成“如果……那
么……”的形式是______________________________________
______.
如果兩個數(shù)互為相反數(shù)，那么這兩個數(shù)的和為零
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7.命題“石家莊是河北省的省會”是________（填“真命題”或
“假命題”）.
真命題
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8. 教材P33練習T1 將下列命題改寫成“如果……那
么……”的形式，并指出它們的條件和結論，判斷其真假.
（1）有理數(shù)一定是自然數(shù)；
【解】如果一個數(shù)是有理數(shù)，那么這個數(shù)一定是自然數(shù).
條件：一個數(shù)是有理數(shù).結論：這個數(shù)一定是自然數(shù).是假命題.
（2）負數(shù)之和仍為負數(shù).
如果一個數(shù)是幾個負數(shù)之和，那么這個數(shù)是負數(shù).
條件：一個數(shù)是幾個負數(shù)之和.結論：這個數(shù)是負數(shù).是真命題.
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9. 給出下列語句：
①兩點之間，直線最短；
②不許大聲講話；
③連接， 兩點；
④鳥是動物；
⑤相等且互補的兩個角都是直角；
⑥無論為怎樣的自然數(shù)，式子 的值都是質(zhì)數(shù)嗎？
其中不是命題的有( )
B
A. 2個 B. 3個 C. 4個 D. 5個
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10. 某班有36名同學參加羽毛球，乒乓球比賽.每人必須選擇
一項或兩項參賽，關于參賽人數(shù)有以下三個說法，甲說：“只
參加一項的人數(shù)不少于25人.”乙說：“參加兩項的人數(shù)小于10
人.”丙說：“參加兩項的人數(shù)是參加一項人數(shù)的一半”，對于
甲、乙、丙三人的說法，有下列四個命題，其中是真命題的
是( )
C
A. 若甲對，則乙對 B. 若乙對，則丙對
C. 若丙對，則甲錯 D. 若甲對，則丙對
【點撥】選項A，若甲對，設只參加一項的人數(shù)為25人，可
知兩項都參加的人數(shù)為11人，則乙錯，所以選項A不符合題
意；選項B，若乙對，設兩項都參加的人數(shù)為6人，可知只參
加一項的人數(shù)為30人，則丙錯，所以選項B不符合題意；選
項C，若丙對，設兩項都參加的人數(shù)為12人，可知只參加一
項的人數(shù)為24人，則甲錯，所以選項C符合題意；選項D，若
甲對，設只參加一項的人數(shù)為25人，可知兩項都參加的人數(shù)
為11人，則丙錯，所以選項D不符合題意.故選C.
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11.已知有理數(shù)， ，下列命題中是真命題的是________
（填序號）.
①如果，那么或 ；
②如果，那么 ；
③如果，那么 ；
④如果，那么的符號與 的符號相同.
①③④
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12.關于，的二元一次方程， 是常數(shù)，且
，有下列命題：
①是方程 的解；
②；③ ；
④是方程 的解.
若上述四個命題中只有一個假命題，則該假命題是____
（填序號）.
④
【點撥】若①④為真命題，則 解得
此時, ,則②③均為假命題，不符合題意.所以①
④中有一個是假命題.當①②③為真命題時， ,
解得 ,此時④為假命題，故符合題意;當②③④為真命題
時，,解得 ,此時①②為假命題，不
符合題意.綜上，④為假命題.
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13. 已知命題“已知， 均為有理數(shù)，若
，則 ”.
（1）請舉出一個反例說明這個命題是假命題；
【解】反例不唯一，例如：，符合 ，但不
滿足 .
（2）請你修改命題的條件（或結論），使其成為一個真命題.
修改命題的條件（或結論）不唯一，如改成：若 ，
則 .
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14. 定義：對于任意實數(shù)， ，如果滿足
，那么稱，互為“朋友數(shù)”，點 為“朋友點”.
（1）判斷下列命題的真假，真命題在括號內(nèi)打“√”，假命題
在括號內(nèi)打“×”.
①1.5與3互為“朋友數(shù)”.( )
√
【點撥】因為， ，所以1.5與3互為
“朋友數(shù)”，故①是真命題.
②若點為“朋友點”，則點 也一定為“朋友點”.( )
√
【點撥】若點為“朋友點”，則 ，所以
.所以點 也一定為“朋友點”,故②是真命題.
③若與互為相反數(shù)，則點 一定不是“朋友點”. ( )
×
【點撥】若，則，所以此時點 是
“朋友點”，故③是假命題.
④存在與1互為“朋友數(shù)”的實數(shù).( )
×
【點撥】設1與互為“朋友數(shù)”，則 ，方程無解，
所以不存在與1互為“朋友數(shù)”的實數(shù)，故④是假命題.
（2）若點為“朋友點”，則 _ _.
【點撥】若點為“朋友點”，則，解得.
（3）已知，滿足二元一次方程組 請判
斷點是否為“朋友點”？若是，請求出 的值；若不是，
請說明理由.
點 是“朋友點”.
由得
若點是“朋友點”，則 ，解
得，所以當時，點 是“朋友點”.
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第七章 相交線與平行線
7.3 平行線
1. 在同一平面內(nèi)，不重合的兩條直線的位置關系是( )
B
A. 平行或垂直 B. 平行或相交
C. 垂直或相交 D. 平行、垂直或相交
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2. 如圖，若直線，則下列可以表示平行線與 之間的
距離的是( )
B
（第2題）
A. 線段的長度 B. 線段 的長度
C. 線段的長度 D. 線段 的長度
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（第3題）
3. [2024保定期中] 如圖，四條線段， ，
，中的一條與擋板另一側(cè)的線段 平行，
請借助直尺，判斷該線段是( )
C
A. B. C. D.
【點撥】如圖，用直尺分別作，，，， 的延長線，其
中只有的延長線不與 相交，故選C.
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（第4題）
4. [2024石家莊橋西區(qū)期末] 如圖，直
線，點是直線 上一個動點，
當點的位置發(fā)生變化時，三角形
的面積( )
C
A. 向左移動變小 B. 向右移動變小
C. 始終不變 D. 無法確定
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（第5題）
5. 斑馬線的作用是為了引
導行人安全地通過馬路.某數(shù)學興趣小組為
了驗證斑馬線是由若干條平行線組成的，
在保證安全的前提下，按照如圖方式分別
測出 ，這種驗證方法依據(jù)
的基本事實是________________________.
同位角相等，兩直線平行
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6.[2024石家莊校級開學] 如圖，直線與直線相交于點 ，
與直線相交于點， ， ，若要使直線
，則需將直線繞點 按如圖所示的方向至少旋轉(zhuǎn)____.
（第6題）
【點撥】如圖. ，
. 同位角相等,兩直線平行， 若
要使直線，則應該變?yōu)?. ， 需將直
線繞點按逆時針方向至少旋轉(zhuǎn) .
（第6題）
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7.如圖，在長方體的各條棱中，與 平行的有____________
_____；與相交的有____________________；與 既不平
行也不相交的有_______________________.
，，
，，，
，，，
（第7題）
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8. 教材P49習題1 如圖，在方格紙中（每個小方格都是
正方形），有兩條線段, .利用方格紙完成以下操作：
（1）過點作 的平行線；
【解】如圖所示.
（2）過點作的平行線，與（1）中所作的平行線交于點 ;
如圖所示.
（3）過點作的垂線 ，與（1）中所作的平行線交于點
；
如圖所示.
（4）用符號表示所作圖形中的平行和垂直關系.
,, .
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9. 如圖，直線，被直線 所截，下列
選項中能得到 的是( )
A
A.
B.
C.
D.
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10. 已知直線，， 在同一
平面內(nèi)，且，與之間的距離為，與 之間的
距離為，則與 之間的距離是( )
C
A. B.
C. 或 D. 以上都不對
【點撥】如圖①，與之間的距離為 ；
如圖②，與之間的距離為 .
與之間的距離為或 .故選C.
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11.下列命題：①兩條直線的位置關系只有相交、平行兩種；
②過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行；③在同
一平面內(nèi)兩條不平行的線段必相交；④與已知直線平行的直
線有且只有一條.其中結論正確的命題序號為____.
②
12. 在同一平面內(nèi)，過直線外一點作已知直
線的平行線和垂線，可作的條數(shù)分別是條和 條，則方程組
的解是_ ________.
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13.如圖，，， ，
那么圖中與三角形 面積相等的三角形
有___個.
3
【點撥】 ，
，
， 與三角形 面積相等的三角形有3個.
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14.如圖，點在上， 于點
， ， ，
那么與 平行嗎？為什么？
【解】 .
， ，
， ，
， ，
， .
實踐：（1）畫 ,在內(nèi)任取一點,過點 作
直線,再過點作直線 ；
【解】如圖所示.
（2）測量，，， 的度數(shù).
, , , .
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15.探究： 測量的這些角與 之間存在什么關系？
相等或互補.
發(fā)現(xiàn)： 把你的發(fā)現(xiàn)用一句話概括出來.
如果兩個角的兩邊分別平行，那么這兩個角相等或互補.
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16. 先閱讀，然后解答.
問題：兩條直線將平面分成幾部分？
解：如圖①，兩條直線平行時，
它們將平面分成三部分；如圖
②，兩條直線不平行時，它們
將平面分成四部分.
（1）上面問題的解題過程應用了__________的數(shù)學思想
（填“轉(zhuǎn)化”“分類討論”或“整體”）.
分類討論
（2）三條直線將平面分成幾部分？請畫出來.
【解】如圖①②③④，三條直線可
以將平面分成四或六或七部分.
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第七章 相交線與平行線
7.5 平行線的性質(zhì)
第1課時 平行線的性質(zhì)
1. 如圖，，若 ，則
的度數(shù)為( )
C
（第1題）
A. B. C. D.
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2. [2024承德期末] 如圖，是的平分線， 交
于點，若 ，則 的度數(shù)為( )
C
（第2題）
A. B. C. D.
返回
3. [2024保定期末] 一把直尺按如圖所示的方式擺放，
，且 ，則 的度數(shù)是( )
A
（第3題）
A. B. C. D.
返回
4.如圖，直角三角形中， ，過點 且平
行于，若 ，則 的度數(shù)為____.
（第4題）
返回
5.如圖，，， ，則 的度數(shù)為
____.
（第5題）
返回
6.[2024衡水校級月考] 如圖，已知，直線與， 分別
相交于，兩點，把一塊含 角的三角板按如圖位置擺放.
若 ，則 ____.
（第6題）
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7.某縣積極推進“鄉(xiāng)村振興計劃”，要對一段水渠進行
擴建.如圖，已知現(xiàn)有水渠從地沿北偏東 的方
向到地，又從地沿北偏西 的方向到 地.現(xiàn)要
從地出發(fā)修建一段新渠，使，求
的度數(shù).
【解】地在地的北偏東 方向上，地在 地北偏西
方向上， .
， .
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（第8題）
8. 如圖，直線，直線與， 分
別相交于點， ，下列式子中表述正確的
是( )
D
A.
B.
C.
D.
（第8題）
【點撥】 ，
，
.
.故選D.
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（第9題）
9. 如圖，一束光線 先后經(jīng)
平面鏡，反射后，光線與 平行，
已知 ， ，
，則 的度數(shù)是____.
（第9題）
【點撥】 ， ，
.
.
， ，
. ，
.
返回
（第10題）
10.[2024保定期末] 如圖，
，則，， 之間的
數(shù)量關系為____________________.
【點撥】 ，
， .
返回
（第11題）
11. 如圖，將一條對邊互相
平行的紙帶進行兩次折疊，折痕分別為
，，若，且 ，
則 的度數(shù)是____.
【點撥】如圖，延長 ,由折疊的性質(zhì)，
可得 .
紙帶對邊互相平行,
. ,
.
.
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12.如圖，在線段 的延長線上，
，， ，連
接交于，的余角比
大 ，為線段上一點，連接 ，
①②
使，在內(nèi)部有射線，平分 .
則下列結論：；平分；
； .其中正確結論是______（填序號）.
【點撥】， ，
， ，故①正
確； ，
， ，
平分,故②正確；的余角比大，
， ，
， ，故③錯
誤；設 ， ，
， 平分
， ，
，
，
， ，故
④錯誤，故正確的有①②.
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13. 潛望鏡中的兩面鏡子是
互相平行放置的，如圖, ，光線經(jīng)過
鏡子反射時，， .
（1）猜想和 有什么關系，并說明理由；
【解】 .理由如下：
, .
（2）試說明 .
,, ,
.
,
即 .
返回
14.[2024滄州期中] 將三角板 與三
角板擺放在一起，與 重合
（如圖①）， ，
， .固定三角
板不動，將三角板繞點 順時
針旋轉(zhuǎn) 后停止，設三角板 旋
轉(zhuǎn)得三角形 .
（1）當邊落在 內(nèi)時
（如圖②），求 的度數(shù)；
【解】 ，
，
，即
的度數(shù)為 .
（2）三角板繞點 旋轉(zhuǎn)的速度為每
秒5度，設旋轉(zhuǎn)時間為 秒.若三角形
的一邊與三角板 的某邊平行
（不包含重合情況），請寫出所有符合
條件的 的值.
如圖①，當 時，
，
；
如圖②，當 時，
，
；
如圖③，當 時，
， ；
如圖④，當 時，
，
；
如圖⑤，當 時，
，
.
綜上，所有符合條件的 的值為15或
24或27或33.
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第七章 相交線與平行線
7.6 平面圖形的平移
1. 下列生活現(xiàn)象中，屬于平移的是( )
C
A. 對折一張紙 B. 汽車輪胎在地上滾動
C. 拉開抽屜 D. 時鐘上分針的運動
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2. 甲骨文是古代刻在龜甲和獸骨上的文字，
現(xiàn)在的漢字就是從甲骨文演變來的.下列甲骨文中，能用其中
一部分平移得到的是( )
C
A. B. C. D.
返回
（第3題）
3. [2024邢臺模擬] 如圖，將直線 向右平
移，當直線經(jīng)過點時，直線 還經(jīng)過點
( )
B
A. B. C. D.
返回
（第4題）
4. 如圖，三角形沿射線 方
向平移到三角形 的位置，若
， ，則平移的距離
為( )
C
A. 2 B. 8 C. 4 D. 5
返回
5.[2024東營] 如圖，將三角形沿方向平移 得到三
角形，若三角形的周長為，則四邊形 的
周長為____ .
30
（第5題）
返回
6.如圖，在一塊長為，寬為 的長方形草地上，有一條
曲折的小路，小路的左邊線向右平移 就與它的右邊線重
合，則這塊草地的綠地面積是_________ .
（第6題）
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7. 教材P64習題T2 如圖，在正
方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均
為1個單位長度，三角形 的三個
頂點都在格點處.現(xiàn)將三角形 平
移得到三角形，使點的對應點為點，點 的對應點為
點 .
（1）請畫出平移后的三角形 ；
【解】如圖，三角形 即為
所求.
（2）求三角形 的面積；
.
（3）若連接， ，則這兩條線段之間的關系是________
____.
平行且相等
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8. 小明乘電梯從一樓到五樓，向上平移了
，若每層樓的高度相同，則他乘電梯從十二樓到一樓
( )
B
A. 向下平移了 B. 向下平移了
C. 向下平移了 D. 向下平移了
返回
9.如圖，將直角三角形 沿斜
邊的方向平移到三角形
的位置，交于點 ，
，，三角形
①③④
的面積為1，下列結論：；②三角形 平移
的距離是2；；④四邊形 的面積為4.其中，
正確的有_________（填序號）.
【點撥】 直角三角形 沿斜邊
的方向平移到三角形 的位置，
， ，
，故①正
確，符合題意；②三角形平移的距離應該是 的長度，
, , ,即 ,
， ，故②錯誤，不符合題意；③由平移的
性質(zhì)可知， ，故③正確，符合
題意； 三角形 的面積是1，
， .由平移
的性質(zhì)知 ，
四邊形 的面積
為 ，故④正確，符合
題意.故正確的有①③④.
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10.如圖，方格紙中每個小正方形的
邊長都為1，三角形 的頂點均在
方格紙的格點上，將三角形 平移
后使點落在直線上的點 處，點
，的對應點分別為點, .
（1）畫出平移后的三角形 ；
【解】如圖，三角形 即
為所求.
（2）請描述這個平移過程；
三角形 先向上平移5個單位長
度，再向右平移3個單位長度得到
三角形 .（平移過程不唯一）
（3）在直線上找一格點，使點，，， 所構成的四
邊形的面積為7（畫出符合條件的一個點即可）.
如圖，點， 均滿足題意.
（畫出一個即可）
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11.如圖，直線，被直線所截，是線段 上的點，
過點作，連接，使.將線段 沿著直線
平移得到線段，連接 .
（1）判斷與 的位置關系，并說明
理由；
【解】 .理由：
， .
， .
.
（2）若 ，，求 的度數(shù).
如圖，過點作，則 .
, .
.
由平移的性質(zhì)，得 ，
，
.
返回
12. 圖形在正方形網(wǎng)格（小正方形的邊長為
1個單位長度）中沿著網(wǎng)格線平移，規(guī)定：若沿水平方向平
移的數(shù)量為（向右為正，向左為負，平移 個單位長度），
沿豎直方向平移的數(shù)量為（向上為正，向下為負，平移
個單位長度），
則把有序數(shù)對 叫作這一平移的“平移量”.如圖①，已知
三角形，點按“平移量”可平移到點 .
（1）點可看作點 按“平移量”______平移得到；
（2）若將三角形按“平移量”
平移得到三角形 ，請在圖①中畫
出三角形 ；
【解】如圖①所示，三角形 即為所求.
（3）將點按“平移量”平移得到點，使三角形 的
面積與三角形的面積相等，在圖②中畫出三角形
（畫一種情況即可），并寫出對應的， .
如圖②，三角形即為所求. 點由點按“平移量”
平移得到，， .（答案不唯一）
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第七章 相交線與平行線
專題4 識別相交線中的角
類型1 利用定義識別角
1.如圖，已知四邊形，點在 的延長線上.
（1）在圖中畫出 的對頂角；
【解】如圖， 即為所求.
（2）寫出 的同位角；
的同位角是 .
（3）寫出 的同旁內(nèi)角.
的同旁內(nèi)角是和 .
返回
2.如圖，已知直線與交于點，與
交于點，平分 ，若
， .
（1）求 的度數(shù)；
【解】因為 ，所以 .
因為平分，所以 .
（2）寫出與 互為同位角的角；
與互為同位角的角是 .
（3）求 的度數(shù).
因為 ，所以 .
因為，所以 .
所以 .
返回
類型2 利用對頂角的性質(zhì)探究角的大小關系
3.如圖，直線，相交于點，平分 .
（1）若 ，求 的度數(shù)；
【解】因為平分， ，
所以 .
因為直線，相交于點 ，
所以 .
（2）若 ，求 的度數(shù).
因為平分，所以 .
因為 ， ，所以
易知 .
所以 .所以 .
返回
類型3 利用“三線八角”的特征探究角的關系
4.（1）如圖，把圖看成是直線， 被
直線所截，那么與 是一對什么
角？與 呢？
【解】與是一對內(nèi)錯角，與 是
一對同旁內(nèi)角.
（2）如圖，把圖看成是直線，被直線 所截，那么
與是一對什么角？與 呢？
與是一對同位角，與 是一對同旁內(nèi)角.
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5.如圖，已知直線，被直線， 所截，
直線，，相交于點 ，按要求完成下
列各小題.
（1）在圖中的 這9個角中，同位
角共有多少對？請你全部寫出來.
【解】同位角共有5對,分別是和，和，和 ，
和，和 .
（2）和是什么位置關系的角？和
之間的位置關系與和 的相同嗎？
和是同旁內(nèi)角.和 也是同旁內(nèi)角，
故和之間的位置關系與和 的相同.
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類型4 利用相交角探求描述路線
6.已知：如圖是一個跳棋棋盤，其游戲規(guī)則是：一個棋子從
某一個起始角開始，經(jīng)過若干步跳動以后，到達終點角.跳動
時，每一步只能跳到它的同位角或內(nèi)錯角或同旁內(nèi)角的位置
上.例如：從起始位置跳到終點位置 ，寫出其中兩種不
同的路徑.路徑 .
路徑 .
試一試：
（1）從起始位置跳到終點位置 .
【解】路徑: .
（答案不唯一）
（2）從起始位置 依次按同位角、內(nèi)
錯角、同旁內(nèi)角的順序跳，能否跳到終
點位置 ？
路徑：
.
（答案不唯一）
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類型5 “三線八角”之規(guī)律題
7. 觀察圖①～圖④，回答下列問題：
（1）請你寫出圖①、圖②、圖③和圖④中分別有幾對同旁內(nèi)角？
【解】題圖①中有2對同旁內(nèi)角,題圖②中有8對同旁內(nèi)角,題
圖③中有18對同旁內(nèi)角,題圖④中有32對同旁內(nèi)角.
（2）觀察圖形，請寫出第 個圖（ 是正整數(shù)）中有幾對
同旁內(nèi)角？
第 個題圖（是正整數(shù)）中有 對同旁內(nèi)角.
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第七章 相交線與平行線
7.4 平行線的判定
1. [2024唐山期末] 如圖，在下列條件中，能判定 的
是( )
A
A. B.
C. D.
返回
2. [2024石家莊校級月考] 在下列圖形中，已知 ，一
定能推導出 的是( )
D
A. B. C. D.
返回
3. 如圖，點在 的延長線上，在不
增加輔助線的前提下，增加一個條件____________________
_______后，能判定 .
（答案不唯一）
（第3題）
返回
4.[2024廊坊期末] 如圖，下列條件：
（第4題）
； ；
； .
其中，能得到直線 的有___個.
3
返回
5.如圖，將三個相同的三角板不重疊、不留空隙地拼在一起，
觀察圖形，在線段，，，，， 中，相互平
行的線段有___組.
3
（第5題）
返回
（第6題）
6. 如圖，一個彎形管道的
拐角 ，若工人師傅準備在點
處對管道進行加工（拐彎），要保證拐彎后
與平行，則拐角 的度數(shù)是_____
_______.
或
【點撥】過點作 .如圖①,
， ，
；
如圖②, ， ，
.綜上，加工
后拐角的度數(shù)是 或 .
返回
7.如圖， ，
，與
平行嗎？為什么？
【解】 ，
.
，.
， .
返回
8. 下列各圖中，能畫出 的是( )
D
A. ①②③ B. ①②④ C. ③④ D. ①②③④
返回
9. 一輛汽車在筆直的公路上行駛，兩次拐彎后，仍按原來的
方向前進，那么兩次拐彎的角度是( )
B
A. 第一次右拐 ，第二次左拐
B. 第一次左拐 ，第二次右拐
C. 第一次左拐 ，第二次左拐
D. 第一次右拐 ，第二次右拐
返回
10. 下面是驗證
紙條兩條邊， 是否平行的
不同折疊方式：
（1）如圖①，展開后測得 ；
（2）如圖②，測得 ；
（3）如圖③，展開后測得 ；
（4）如圖④，展開后測得 .
其中能判定 的是__________（填序號）.
返回
11.如圖是由五個同樣的三角形組成的圖案，三角形的三個角
分別為 , , ,則圖中共有___對平行線.
5
返回
12. 如圖，直線和被直線所截，
分別交，于點， .
（1）如圖①，平分,平分 （平分的是一對
同旁內(nèi)角），則與滿足______________時， .
【點撥】因為平分，平分 ，所以
，因為 ,所以
.所以 .
（2）如圖②，平分,平分 （平分的是一對
同位角），則與滿足_________時， .
【點撥】因為平分，平分 ，所以
，.因為 ，所以
.所以 .
（3）如圖③，平分,平分 （平分的是一對
內(nèi)錯角），則與滿足什么條件時， ？為什么？
【解】 .
因為平分，平分 ，
所以， .
因為，所以.所以 .
返回
13.
（1）光線從空氣射入水中會產(chǎn)生折射現(xiàn)象，
同時光線從水中射入空氣中也會產(chǎn)生折射現(xiàn)
象.如圖①，光線 從空氣射入水中，再從水
中射入空氣中，形成光線 ，根據(jù)光學知識
有，，請判斷直線與直線 是否平行，
并說明理由.
【解】 .理由如下：如圖①.
， ， ， .
，
，
即， .
（2）結合光線、舞美等效果可以打造不一樣
的視覺體驗，如圖②，直線上有兩點， ，
分別引兩條射線，， ，
，射線，分別繞點、點
以每秒 和每秒 的速度同時順時針轉(zhuǎn)動.
設轉(zhuǎn)動時間為秒，在射線 轉(zhuǎn)動一周的時間
內(nèi)，是否存在某一時刻，使得與 平行？若存在，求出
所有滿足條件的時間 ；若不存在，請說明理由.
存在.
①如圖②，當時,， 在
的兩側(cè),
則 ， .
要使，則 ，
即 ，解得
；
②當時,在直線 上,不符合題意;
③如圖③,當時,，都在 的右側(cè),
則 ，
.
要使，則 ，
即 ，解得 ;
④當時,易得與 不平行.
綜上，當為10或70時，與 平行.
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第七章 相交線與平行線
測素質(zhì) 相交線
［時間：60分鐘 分值：100分］
一、選擇題（每小題5分，共40分）
1. 教材P41習題1 下面四個圖形中，與 是對頂角
的是( )
D
A. B. C. D.
返回
2. 在一張透明的紙上畫一條直線，在外任取一點 ，并折
出過點且與 垂直的直線，這樣的直線能折出( )
B
A. 0條 B. 1條 C. 2條 D. 3條
3. 下列命題中，是假命題的是( )
D
A. 對頂角相等 B. 正數(shù)大于負數(shù)
C. 垂線段最短 D. 若，則
返回
4. 如圖，河道的一側(cè)有， 兩個村莊，現(xiàn)要鋪設一條管道
把河水引向， 兩村，下列四種方案中最節(jié)省材料的是
( )
B
（第4題）
A. B. C. D.
返回
（第5題）
5. 如圖，三角形是銳角三角形，過點
作，垂足為，則點到直線 的
距離是( )
D
A. 線段的長 B. 線段
C. 線段的長 D. 線段 的長
返回
6. 如圖，下列說法錯誤的是( )
C
A. 與 是同位角
B. 與 是內(nèi)錯角
C. 與 是同旁內(nèi)角
D. 與 是同旁內(nèi)角的角共有4個
【點撥】A、與是同位角，原說法正確；B、與 是
內(nèi)錯角，原說法正確；C、與 是內(nèi)錯角，原說法錯誤；
D、與是同旁內(nèi)角的角共有4個，分別是,, ,
，原說法正確.故選C.
返回
（第7題）
7. 如圖，直線，相交于點， ，
垂足為.若 ，則 ( )
D
A. B. C. D.
【點撥】因為，所以 .
因為 ，所以 .
所以 .故選D.
返回
8. 已知的兩邊與的兩邊互相垂直，且比 的兩倍
小 ，則 ( )
C
A. B.
C. 或 D.
【點撥】設 ，則 ，
有兩種情況：
①如圖①， ，
又因為 ，
所以.所以 .
所以 .所以 ；
②如圖②， ，連接
.
因為 ,
所以 .
所以 .
所以 .所以 .
所以 .
綜上， 或 .故選C.
返回
二、填空題（每小題4分，共16分）
9.如圖，一共有___對同旁內(nèi)角.
4
（第9題）
返回
（第10題）
10.如圖，直線，相交于點， 平
分，若 ，則 的
度數(shù)為______.
【點撥】因為 ，所以
，因為 平分
，所以 ，所以
.
返回
11. 如圖，在三角形中， ，
，，.點是線段 上的一個動點，
則 的最小值為___.
（第11題）
【點撥】在三角形中， ， ，
，，當時， 的值最小，此時，三
角形的面積 ，所以
，所以，即的最小值為 .
（第11題）
返回
12. 觀察下列圖形：
如圖①，兩直線相交，最多1個交點；
如圖②，三條直線相交最多有3個交點；
如圖③，四條直線相交最多有6個交點；
…
那么十條直線相交交點個數(shù)最多為____.
45
【點撥】兩條直線相交，最多有1個交點;三條直線相交，最
多有3個交點，即 ;四條直線相交，最多有6個交點，
即 ;五條直線相交，最多有10個交點，即
;……所以十條直線相交交點個數(shù)最多為
.
返回
三、解答題（共44分）
13.（8分）小明用一副三角板自制對頂角的“小
儀器”：
第一步將三角板的邊延長至點且使
固定，第二步將另一個三角板 的直角頂點
與前一個三角板直角頂點重合，擺放成如圖所示的方式，延
長至點，與 就是一組對頂角.
已知 ， 為多少
【解】因為 , ，所以
.因為 ，所以
.
返回
14.（10分） 兩條直線被第三條直線所截，
是的同旁內(nèi)角，是 的內(nèi)錯角.
（1）畫出示意圖；
【解】如圖所示（示意圖不唯一）.
（2）若，，求， 的度數(shù).
設 .因為， ，
所以 ， .
因為 ，所以，解得 .
所以 ， .
返回
15.（12分）如圖，已知直線與交于點， ，且
.
（1）求 的度數(shù)；
【解】因為 ，所以
.
所以 .
因為 ，所以
.
所以 .所以 .
所以 .
（2）過點在上方作射線 ，若
，求 的度數(shù).
因為 ，
所以，
因為 ，
所以 .所以 .
所以 .
返回
16.（14分）[2024滄州校級月考] 已知：直線與直線 交
于點，過點在上方作 .
（1）如圖①，為內(nèi)的一條射線，當與 滿足什
么條件時， 請說明理由.
【解】當時， .理由如下：
因為，所以 ,即 .
因為，所以 ，即 .
所以 .
（2）如圖②，若，求 的度數(shù).
因為 ，且 ,即
，
所以 .所以 .
因為，所以 .
所以 .
（3）如圖③，在（2）的條件下，過點作 ，經(jīng)過
點畫直線，若射線平分 ，請直接寫出圖中與
度數(shù)相等的角.
,,, .
【點撥】由（2）知 .因為
射線平分， ，
所以
.因為，
，所以 .所以
.所以 ，
所以與度數(shù)相等的角是,,, .
返回(共12張PPT)
第七章 相交線與平行線
專題5 判定兩直線平行的五種方法
方法1 利用平行線的定義
1. 下列說法中，正確的是( )
C
A. 兩條直線的位置關系只有相交、平行兩種
B. 在同一平面內(nèi)，不相交的兩條線段互相平行
C. 在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線互相平行
D. 在同一平面內(nèi)，不相交的兩條射線互相平行
返回
方法2 利用“同位角相等，兩直線平行”
2.[2024淮安期中] 如圖，與 相交于
點，， .請說
明： .
【解】 ，
.
， .
返回
方法3 利用“內(nèi)錯角相等，兩直線平行”
3.如圖，現(xiàn)給出下列條件：
；； ；
； .
（1）其中能夠得到 的條件是______（填序號），理
由：________________________；
（2）其中能夠得到 的條件是________（填序號）.
③④
內(nèi)錯角相等，兩直線平行
①②⑤
返回
方法4 利用“同旁內(nèi)角互補，兩直線平行”
4. 小林乘車進入車庫時
仔細觀察了車庫門口的“曲臂直桿道閘”，
并抽象出如圖所示的模型，已知 垂直
于水平地面 .車牌被自動識別后，曲
C
A. B. C. D.
臂直桿道閘的段繞點緩慢向上旋轉(zhuǎn)， 段則一直保持水
平狀態(tài)上升（即與 始終平行），在該過程中
始終等于( )
返回
方法5 利用“平行于同一條直線的兩直線平行”
5.如圖，已知，相交于點， ，
， ，.請說明 .
【解】 ，
，
.
，
.
， .
， .
返回
6.如圖，將北斗七星的位置畫到紙上，分別標為，， ，
，，，，然后將，，，，，， 順次首尾連接.
設恰好經(jīng)過點，且，， 在一條直線上.已知
， ， .
（1） 的度數(shù)為____；
【點撥】如圖,過作 ，
， ，
.
.
.
（2）連接，若，求 的度數(shù).
【解】如圖,， .
， . .
返回(共38張PPT)
第七章 相交線與平行線
全章熱門考點整合應用
考點1 命題
1. 下列語句，不是命題的是( )
C
A. 對頂角相等
B. 兩條直線不平行就相交
C. 延長線段到，使得
D. 同旁內(nèi)角互補
返回
2.[2024邢臺校級月考] 給出命題“如果 ，那么
.”
（1）寫出命題的條件和結論，并判斷命題 是真命題還是
假命題；
【解】命題的條件為，結論為 ；該命題是真命題.
（2）請直接判斷命題 的逆命題是真命題還是假命題，若是
假命題，請舉出一個反例.
命題 的逆命題是假命題.
反例:當，時，，而 .
（舉反例不唯一）
返回
考點2 垂線、垂線段
3. 如圖，直線,相交于點 ,
,垂足為, ,則
( )
C
A. B. C. D.
返回
4. 下列圖形中，能用線段的長表示點到直線 的距離
的是( )
D
A. B. C. D.
返回
5.如圖， ,，，.點是
邊上的動點（除，點外）,則線段 的取值范圍是_______
_______.
【點撥】由垂線段最短可知，當
時， 的長度最小，如圖，
,.易知, ,
的取值范圍為 .
返回
考點3 對頂角、三線八角
6. 數(shù)學課上老師用雙手形象
地表示了 “三線八角”圖形，
D
A. 同旁內(nèi)角、同位角、內(nèi)錯角 B. 同位角、內(nèi)錯角、對頂角
C. 對頂角、同位角、同旁內(nèi)角 D. 同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角
如圖所示（兩大拇指代表被截直線，食指代表截線）.
從左至右依次表示 ( )
返回
7.如圖，直線，相交于點 ，已知
，把 分成兩部分，
且，則
______.
【點撥】 ， .
， .
.
返回
考點4 平行線的判定和性質(zhì)
（第8題）
8. [2024蘇州] 如圖， ，若
， ，則 的度數(shù)為
( )
B
A. B. C. D.
返回
（第9題）
9. [2024福建] 在同一平面內(nèi)，將直尺、
含 角的三角板和木工角尺
按如圖方式擺放，若
，則 的大小為( )
A
A. B. C. D.
返回
（第10題）
10. 已知，直線，把一塊含有 角
的直角三角板如圖放置， ，三
角板的斜邊所在直線交于點，則
( )
B
A. B. C. D.
返回
11.[2024滄州期末] 如圖是路燈維護工程車的工作示意圖，工
作籃底部與支撐平臺平行.若 ，則 的度數(shù)為
______.
（第11題）
【點撥】過頂點作直線 支撐平臺，如圖,
則 工作籃底部,
, .
. ，
.
（第11題）
返回
12. 一副直角三角板按如圖所示的方式疊放在
一起，其中 ， .若固定三角板 ，三
角板繞點旋轉(zhuǎn)，當___________時， .
或
【點撥】如圖①，當在點 下
方時, ，
，.
；如圖②，當在點 上方時，
過點作， . ,
.
.綜上，當
或 時， .
返回
13. 中國漢字博大精
深，方塊文字智慧靈秀，奧妙無窮，
如圖①是個“馬”字，圖②是其抽象
的幾何圖形，其中 ，
，.若 ，
試判斷和 的位置關系，并說明
理由.
【解】 .理由如下：
， ，
.
. .
， .
， ，
.
返回
14.如圖，已知平分， 于點
， ，， .
（1）試說明： ；
【解】 ， ，
. .
又， .
， .
又， . .
（2）求 的度數(shù).
平分， ， .
， .
， .
返回
考點5 平移
15. 蘇州園林中的花窗圖案豐富多樣，美不
勝收.下列花窗圖案中可以由一個基本圖案經(jīng)過平移得到的是
( )
A
A. B. C. D.
返回
16. [2024廊坊期末] 如圖，三角形的周長為 ，將三
角形沿方向平移至三角形 的位置，則圖中
陰影部分的周長為( )
B
A. B. C. D.
【點撥】因為三角形 由三角形
沿方向平移 得到，所以
，.所以
. 又因為三角形的周長為 ，所以
，即圖中陰影部分的周長為 .故選B.
返回
17.[2024滄州校級期中] 如圖所示的正方形
網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都為1個單位
長度，三角形 的頂點都在正方形網(wǎng)格的
格點上，將三角形 經(jīng)過平移后得到三角
形，其中點是點 的對應點.
（1）畫出平移后得到的三角形 ；
【解】如圖，三角形 即
為所求.
（2）連接，，則線段， 的
關系為____________；
平行且相等
（3）線段 掃過的面積為____.
12
返回
思想1 方程思想
18.如圖，已知， ，
，則 的度數(shù)為______.
【點撥】， ，
.由余角的性質(zhì)，得
，由角的和差，得
，即
，解得
，
，解得 ，
.
返回
思想2 轉(zhuǎn)化思想
19.如圖，已知， ，
，試說明 .
【解】
如圖，過點作 ，
， .
又， .
同理,由， ，可得
.
又，
. .
返回
思想3 分類討論思想
20.一副直角三角板按如圖①所示方
式疊放，現(xiàn)將含 角的三角板
固定不動，將含 角的三角
， ， 或
板繞頂點 順時針轉(zhuǎn)動，使兩塊三角板至少有一組邊互
相平行.如圖②，當 時， ，則
其他符合條件的度數(shù)為
________________________.
【點撥】分以下四種情況：（1）當
時，如圖①，此時點在 上，
；（2）當 時，如
圖②， ，
；（3）當 時，如
圖③， ；（4）當 時，如圖④，
, .綜上
所述，其他符合條件的度數(shù)為， ， 或
.
返回
21. 如圖，已知直線
，直線交于點，交于點，
是線段上的一個動點.當在直線 上
運動時，請你探究，， 之間的關
系.
【解】分三種情況：
（1）當點在線段 上運動時，如圖①,
過點向左作 ，
， ，
.
（2）當點在 上方運動時，如圖②，
過點向左作 ,
，
，
.
（3）當點在 下方運動時，如
圖③，過點向左作 ,
，
， .
返回(共35張PPT)
第七章 相交線與平行線
專題7 平行線中常見作輔助線的類型
類型1 連接兩點
1.如圖，，猜想與 有怎樣的位置關系，
并說明理由.
【解】
.理由如下：如圖，連接 .
在三角形中，.
因為 ，
所以 ，
即 .所以 .
返回
類型2 延長線段
2. 抖空竹是一
種傳統(tǒng)雜技節(jié)目，是國家級非
物質(zhì)文化遺產(chǎn)之一.某同學觀察
B
A. B. C. D.
“抖空竹”時發(fā)現(xiàn)，可以將某一時刻的情形抽象成數(shù)學問題：
如圖，已知， ，， 則
的度數(shù)是 ( )
【點撥】如圖，延長交于 .
， ， .
， .
.
返回
類型3
“ ”形圖
（第3題）
3. 如圖，已知， ，
，則 的度數(shù)為( )
B
A. B. C. D.
【點撥】如圖，過點作，則 .
，
.故
選B.
（第3題）
返回
類型4
“ ”形圖
（第4題）
4.如圖，直線，點， 分別在直
線，上， 為兩平行線間一點，那么
等于______.
【點撥】如圖，過點作 ,
， .
.
返回
5.[2024廊坊校級月考] 下列各圖中的與 平行.
（1）圖①中的 ______，圖②中的
______，圖③中的
______;
（2）第個圖中的
____________.
返回
類型5
“ ”形圖
6.如圖，已知，點是平面內(nèi)一點.若 ，
，求 的度數(shù).
【解】如圖,過點作 ，
.
， .
.
.
返回
類型6
“ ”形圖
7. 如圖所示，一條
公路修到湖邊時，需拐彎繞湖而
過，如果 ，
，第三次拐彎后的道
160
路恰好和第一次拐彎之前的道路平行，則 是_____度.
【點撥】如圖,過點作.由已知可得 ，
，
.
.
.
返回
類型7
“ ”形圖
8.直線，是一條折線段，平分 .
（1）如圖①，若，試說明： ;
【解】延長交于點，交于點 ，如圖①.
， .
平分 ，
.
.
，
， .
， ，
即 .
（2）平分，直線，交于點.如圖②，寫出
和 的數(shù)量關系，并說明理由.
.理由如下：
延長交于點，延長交 于
點 ，如圖②.
平分 ，
.
設 ， ，
, ，
， .
， ,
.
，
.
.
.
返回
類型8 多“拐點”型
9. 如圖,,,則 , , 之間的關系是
( )
C
A.
B.
C.
D.
【點撥】如圖,分別過,作的平行線和 .
, ,
,, .
,即 .故選C.
返回
類型9 復合“拐點”型
10. 小榮學習了角平分線
的定義以及平行線的判定與性質(zhì)的相關
知識后，對角之間的關系進行了拓展探
究.如圖①，直線，直線 是直
線，的第三條截線，，分別是， 的
平分線，并且相交于點 .
【問題解決】
（1）， 的平分線
，所夾的 的度數(shù)為____；
【問題探究】
（2）如圖②，， 的
平分線相交于點 ，請寫出
與 之間的等量關系，
并說明理由；
【解】 .理由如下：
如圖，過點作 .
， ，
.
， .
，的平分線相交于點 ，
， .
.
同理 ,
.
【拓展延伸】
（3）在圖③中作， 的
平分線相交于點，作 ，
的平分線相交于點 ，以此
類推，作， 的
平分線相交于點，求出
的度數(shù).
由（2）可知 .同理可得
，
， ，則
.
當 時，
.
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第七章 相交線與平行線
7.5 平行線的性質(zhì)
第2課時 平行線判定和性質(zhì)的應用
1. [2024天津和平區(qū)校級期末] 已知直線，，， ，則下
列推理正確的是( )
C
A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，
返回
2. 如圖，已知 ， ，則 等于
( )
D
（第2題）
A. B. C. D.
返回
（第3題）
3. 當光線從空氣射
入水中時，光線的傳播方向發(fā)生了改
變，這就是光的折射現(xiàn)象
（如圖所示），圖中 ，
，則 的度數(shù)為( )
B
A. B. C. D.
返回
4.把一副三角板 按如圖
所示的方式擺放，當為_____ 時， .
150
（第4題）
返回
（第5題）
5. 如圖，有一張四邊形紙
片，，將它沿 折疊，
點落在點處，點落在邊上的點
處，若 ，則 等于
____.
【點撥】， .由折疊的性
質(zhì)可得 .
.
返回
6.如圖，，， ， ，則
的度數(shù)為____.
返回
7. 如圖是某款嬰兒手推車的平面示意圖，若
， ， ，求 的度數(shù).
【解】如圖.
， .
，
.
.
.
返回
8. 如圖是一盞可調(diào)節(jié)
臺燈及其示意圖.固定支撐桿垂直底座 于
點，與是分別可繞點和 旋轉(zhuǎn)的調(diào)節(jié)
B
A. B. C. D.
桿，臺燈燈罩可繞點 旋轉(zhuǎn)調(diào)節(jié)光線角度，在調(diào)節(jié)過程中，
最外側(cè)光線，組成的 始終保持不變.現(xiàn)調(diào)節(jié)臺燈，
使外側(cè)光線，，若 ，則
( )
【點撥】如圖所示，過點作，過點 作
.
， ，
， ，
. .
， ，
.
.故選B.
返回
9.如圖，島在島的北偏東 方向，且島在 島的北偏西
方向，則的度數(shù)為____ .
90
【點撥】如圖，過作 ，
. ，
.
.
返回
10. 某市為了方便市民綠色出行，推出了共享
單車服務.圖①是某品牌共享單車放在水平地面的實物圖，圖
②是其示意圖，其中，都與地面 平行，
， ，當 為____度時，
.
70
返回
11.已知直線，點， 分別在
，上，如圖所示，射線 按順
時針方向以每秒 的速度旋轉(zhuǎn)至
15或50或105或110
便立即回轉(zhuǎn)，并不斷往返旋轉(zhuǎn)；射線按順時針方向每秒
旋轉(zhuǎn)至停止,此時射線也停止旋轉(zhuǎn).若射線 先轉(zhuǎn)60秒，
射線才開始轉(zhuǎn)動，當射線 旋轉(zhuǎn)的時間為_____________
_____秒時， .
【點撥】設光線旋轉(zhuǎn)時間為 秒.第一
次平行時,如圖①.因為 ，所以
.
，
.
.解得 .
第二次平行時,如圖②.因為 ，
所以 .
， .
.
易得此時光線由 處返回，
.
.
；
第三次平行時,此時光線再次往
旋轉(zhuǎn)，易得
，解得 ；
第四次平行時,此時光線 第二次由
處返回，易得
，解得 .
故答案為15或50或105或110.
返回
12.如圖，已知，， .
（1）請你判斷與 的位置關系，并說
明理由；
【解】 .理由：
，， .
.
，
.
（2）若 ，平分 ，試求
的度數(shù).
，， .
平分 ，
.
，
， .
.
返回
13.已知直線，直線分別與，交于點， .
（1）如圖①中，若平分， 平
分，則____ ；
90
【點撥】過點作 ，如圖①所示.
， .
，
， .
.
平分，平分 ，
， .
.
.
（2）如圖②，若 ，平分， 平分
交于，交于，平分，求 的度數(shù).
【解】過點作 ，如圖②所示.
平分， ，
.
， ，
，
，， .
，
.
平分，平分 ，
， .
， .
.
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第七章 相交線與平行線
測素質(zhì) 平行線的性質(zhì)與判定
［時間：60分鐘 分值：100分］
一、選擇題（每小題5分，共30分）
1. [2024邯鄲期末] 如圖，過直線外一點作直線 的平行線
，其直接依據(jù)是( )
B
A. 兩直線平行，同位角相等
B. 內(nèi)錯角相等，兩直線平行
C. 同位角相等，兩直線平行
D. 兩直線平行，內(nèi)錯角相等
返回
（第2題）
2. [2024陜西] 如圖， ，
， ，則 的度數(shù)
為( )
B
A. B. C. D.
（第3題）
3. [2024瀘州] 把一塊含 角的直角三角
板按如圖方式放置于兩條平行線間，若
，則 ( )
B
A. B. C. D.
返回
（第4題）
4. 如圖，點，，分別在三角形 的邊
，，上，連接， ，若
， ，則 的度數(shù)為
( )
A
A. B. C. D.
返回
（第5題）
5. 如圖，為的邊上一點，過點
作交的平分線于點 ，作
交的延長線于點 ，若
，則下列結論中正確的有
( )
D
； ；
； .
A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個
（第5題）
【點撥】， ，
平分 ，
，故①正確；
， ，故②正確； ，
，，故③正確； ,
. 易得 ，故④正確.正確
的是①②③④，故選D.
返回
（第6題）
6. 如圖是自來水公司
安裝的一條自來水管道，已知
， ，
，則 等于( )
B
A. B. C. D.
【點撥】過作 ，如圖.
，， ，
. ,
, , .
,故選B.
（第6題）
返回
二、填空題（每小題5分，共20分）
7. 如圖，直線，被直線 所截，添加一個
條件：_______________________，使 .
（答案不唯一）
（第7題）
返回
8.如圖，已知 ， ，則_____ .
（第8題）
返回
9.[2024保定校級期中] 按如圖方式折疊一張長方形紙條
，是折痕，若 ，則____ ，
_____ .
64
116
（第9題）
返回
10. 圖①是某移動硬
臂助力機械手，圖②是其示意圖，
現(xiàn)，，與 構
成的角為 ，與 構
成的角為 ，則與構成的角 的度數(shù)為
______.
【點撥】過作 ，如圖.
則 . ，
. ，
. ，
， .
返回
三、解答題（共50分）
11.（14分）如圖，點，分別為三角形
的邊，上的點，點，分別在，
上，， ，
.請說明 .
【解】
， .
， .
.
， . .
返回
12.（16分）如圖，點，在 上，點
，分別在，上，且 ，
.
（1）請說明 ；
【解】， .
， .
（2）若， ，求 的度數(shù).
，, .
.
返回
13.（20分）已知：點在射線上， .
（1）如圖①，若，請說明： ；
【解】， .
又， .
（2）如圖②，若，，請?zhí)骄?br/>與 的數(shù)量關系；
.
設與的交點為 .
, ，
.
， .
在三角形中， .
.
.
又， .
（3）如圖③，在（2）的條件下，過點作 交射線
于點，當時，求 的度數(shù).
設 ，則.
，
.
， .
又 ，
. .
.
又， ，
.
在三角形 中，
.
返回(共29張PPT)
第七章 相交線與平行線
7.2 相交線
第1課時 對頂角與垂線
1. [2024廊坊校級月考] 下列四個圖形中，和 互為對頂
角的是( )
D
A. B. C. D.
2. 在同一平面內(nèi)，過一點畫已知直線的垂線，可畫垂線的條
數(shù)是( )
B
A. 0條 B. 1條 C. 2條 D. 無數(shù)條
返回
3. 下列選項中，過點作直線 的垂線，三角板放置正確的
是( )
B
A. B. C. D.
返回
（第4題）
4. [2024北京] 如圖，直線和 相交于
點，.若 ，則
的大小為( )
B
A. B. C. D.
返回
5.如圖，，，已知， ，
，則點到直線 的距離是____.
12
（第5題）
返回
6. 教材P40練習T3下列三個日?，F(xiàn)象：其中，可以用
“垂線段最短”來解釋的是____（填序號）.
①
返回
（第7題）
7.[2024邢臺期末] 如圖所示，若 ，
則______；當剪刀口增大
時， 增大___.
【點撥】因為 ，
所以 .
因為對頂角相等，所以 .
所以當剪刀口增大 時， 也增大
.
返回
8.如圖是一種對頂角量角器，它所測量的 的度數(shù)是____，
用它測量角的原理是____________.
對頂角相等
（第8題）
返回
9.如圖，直線，相交于點 ，
，平分 .
（1）若 ，求 的度數(shù)；
【解】因為平分，所以 .因
為 ，
所以 .
因為 ，
所以 .
（2）若，求 的度數(shù).
因為 ，
所以設，則 .
因為,所以 .
所以 ，
即 ，解得 .
所以 .
所以 .
所以 .
返回
10. 在同一個平面內(nèi)，是直線外一點，，，分別是 上
不同的三個點，已知，，，若點到 的
距離是 ，則( )
A
A. B. C. D.
【點撥】因為直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，
垂線段最短，所以點到直線的距離，即 .
故選A.
返回
11. 如圖，當光線從空氣射入水中時，光線
的傳播方向發(fā)生了改變，這就是光的折射現(xiàn)象.若
， ，則光的傳播方向改變了____.
返回
12. 在直線上任取一點，過點
作射線，，使.如果 ，那么
的度數(shù)為___________.
或
【點撥】當,在 的同一側(cè)時,如圖①.
因為，所以 .
因為 ，
所以 ；
當,在 的兩側(cè)時，如圖②.
因為， ，所以 .
所以 .
綜上,的度數(shù)為 或 .
返回
13.[2024秦皇島期中] 如圖，直線，相交于點， 平
分，平分， ，是 上的一點.
（1）過點作直線的垂線，垂足為 .
【解】如圖， 即為所作.
（2）在（1）的基礎上，求 的
度數(shù)（用含 的式子表示）.
因為，所以 .
因為 ，所以
.
（3）探究的大小和 的大小是否有關？若有，請
寫出的大小和 的大小關系；若沒有，請說明理由.
的大小和 的大小沒有關
系.理由如下：
因為直線，相交于點 ，所以
.
因為平分，平分 ，
所以， .
所以 ，即
.
所以的大小和 的大小沒有
關系.
返回
14.如圖，點在直線上， ，在
三角形中， ，
，先將三角形一邊 與
重合，然后繞點 順時針方向旋轉(zhuǎn)，當
與 重合時停止旋轉(zhuǎn).
（1）當在與之間，且
時，則 ______.
【點撥】因為，所以 .
因為在與之間， ，
，
所以 .
所以 .
（2）試探索：在三角形 旋轉(zhuǎn)過程中，
與 大小的差是否發(fā)生變化？若
不變，請求出這個差值；若變化，請說明
理由.
【解】在三角形旋轉(zhuǎn)過程中，
與 的差不發(fā)生變化.
有兩種情況：①如圖①.因為
，
，
所以易得 ;
②如圖②.因為
，
，所以 .
綜上,在三角形旋轉(zhuǎn)過程中，
與的差不發(fā)生變化，這個差值為 .
（3）在三角形 旋轉(zhuǎn)過程中，若
，試求 的大小.
如圖①.因為 ，
， ，
所以 .
所以 .
所以 ；
如圖②.因為 ，
， ，
所以 .所以
.
所以 .
綜上, 或 .
返回(共11張PPT)
第七章 相交線與平行線
專題6 平行線的性質(zhì)在求角的大小
中的六種類型
類型1 與對頂角綜合應用
1.已知：如圖，直線，被直線所截， ，試說明
.
【解】如圖.
，
.
， .
返回
類型2 與鄰補角綜合應用
2. 如圖，若， ，則 ( )
D
（第2題）
A. B. C. D.
返回
類型3 與垂直綜合應用
（第3題）
3. 如圖，于點， 于
點，， ，
，則 的度數(shù)為
( )
B
A. B. C. D.
（第3題）
【點撥】 ，
， .. ，
，
. ，故選B.
返回
類型4 與角平分線綜合應用
4.如圖，在四邊形中，，，點， 分
別在邊，上，平分交于點， 平分
交于點.試說明 .
【解】， .
， .
.
平分，平分 ，
， .
.
返回
類型5 與截線綜合應用
5. 如圖是螳螂的示意圖，
， ，
，則 的度數(shù)為( )
B
A. B. C. D.
返回
類型6 與折疊綜合應用
6. 如圖①，已知長方形紙帶， ，
， ，點，分別在邊， 上.如圖②，
將紙帶先沿折疊后，點，分別落在， 的位置.如圖③，
將紙帶再沿折疊一次，使點落在線段上點 的位置，
若 ，求 的度數(shù).
【解】由折疊可得, ,
,, ,
,
,
,,又 ,
, .
返回
【點撥】'AC⊥CD
ED⊥CD,.∠C=∠D=90°.
AC/DE.÷∠CAE=∠DEA=25°
AB//EF,
∠BAE=10°
∴.∠BAE=∠FEA=10°
LDEF=∠DEA+∠FEA=25°+
10°=35°，故選B.
解】AB/CD,÷∠B+∠C=180
:∠B=∠D,÷.∠C+∠D=180
AD//BC.∠BEF=∠DFE.
:EM平分∠BEF,PN平分LDFE,
∠MEF=5∠BEF,∠NPE=5∠DFE
.∠MEF=∠NFE..EM//FN
解】由折疊可得∠GEF=∠DEF,∠EFH=2LEFS,
:AD//BC,.FH//EG,∴∠GEF+∠EFH
=180
.∠DEF+2∠EFS=180°
·∠DEF+2(∠EFB+∠BFS=180°
AD//BC,∠EFB=∠DEF,又∠BFS=57°
.∠DEF+2(∠DEF+57)=180°，.∠DEF=22°(共27張PPT)
第七章 相交線與平行線
7.2 相交線
第2課時 同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角
1. 下列圖形中，和 不是同位角的是( )
C
A. B. C. D.
2. 教材P43例 如圖，下列說法中不正確的是( )
A
A. 和 是同位角
B. 和 是同旁內(nèi)角
C. 和 是同位角
D. 和 是內(nèi)錯角
返回
（第3題）
3.如圖，_______與是直線 與____被直
線 所截的同位角，_______與_______是
直線與被直線 所截的內(nèi)錯角，___
與是直線與 被直線____所截的同
旁內(nèi)角.
返回
4.[2024滄州校級月考] 如圖，與 互為同旁內(nèi)角的有
_____________________.
，，
（第4題）
返回
5.如圖，直線，被直線所截， 的同位角的度數(shù)是____.
（第5題）
返回
6.如圖，圖中內(nèi)錯角共有___對，同旁內(nèi)角共有___對.
3
3
（第6題）
（第6題）
【點撥】題圖中內(nèi)錯角共有3對,分別是
與，與，
與 .
同旁內(nèi)角共有3對,分別是與 ，
與，與 .
返回
7.如圖，直線與相交于點，直線
分別交，于點，，直線 分別交
，于點， ，分別寫出圖中的兩對
同位角、兩對同旁內(nèi)角.
【解】（答案不唯一）2對同位角：
與,與 ;
2對同旁內(nèi)角：與,與 .
返回
8. 如圖，與 成同位角的角共有( )
C
（第8題）
A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個
返回
（第9題）
9.如圖，在，，，，和 中，
同位角對數(shù)為，內(nèi)錯角對數(shù)為 ，同旁內(nèi)
角對數(shù)為，則 ___.
1
【點撥】同位角有：與，與 ;
內(nèi)錯角：與，與 ;
同旁內(nèi)角：與，與，與，與 .
所以，，.所以 .
返回
10. 觀察下列圖形，尋找對頂角（不含平角）：
（1）如圖①，2條直線相交于一點，共有___對對頂角；
（2）如圖②，3條直線相交于一點，共有___對對頂角；
（3）如圖③，4條直線相交于一點，共有____對對頂角；
（4）猜想：若有 條直線相交于一點，則可形成_________
對對頂角.
2
6
12
返回
11. 教材P43做一做 如圖，在三角形
所在平面內(nèi)畫一條直線，使得與 成
同旁內(nèi)角的角有3個.若與 成同旁內(nèi)角的角
有4個，則該怎樣畫這條直線？
【解】如圖①，與 成同旁內(nèi)角的角有3個，
分別為，， .
如圖②，與 成同旁內(nèi)角的角有4個，分
別為，，， .
返回
12. 如圖，把一根筷
子的一端放在水里，另一端露出水面，
筷子變彎了，它真的彎了嗎？其實沒
有，這是光的折射現(xiàn)象，光從空氣中
射入水中，光的傳播方向發(fā)生了改變.
（1）請指出與是同旁內(nèi)角的有哪些角？請指出與 是內(nèi)
錯角的有哪些角？
【解】與是同旁內(nèi)角的有，，.與 是
內(nèi)錯角的有， .
（2）若 ，測得 ，
從水面上看斜插入水中的筷子，水下部分向
上折彎了多少度？
因為，所以 .
因為 ，所以
.所以水下部
分向上折彎了 .
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13. 如圖①，對于兩條直線， 被第三條
直線所截的同旁內(nèi)角 ， 滿足 ，則稱
是 的關聯(lián)角.
（1）已知 是 的關聯(lián)角.
①當 時，____ ；
②當 時，求 ， 的度
數(shù).
【解】由題意可得方程組
解得
（2）如圖②，已知是的關聯(lián)角，點是直線
上一定點.
①請說明是 的關聯(lián)角；
因為是 的關聯(lián)角，
所以 .
因為 ，
，
所以
.
所以 .
所以是 的關聯(lián)角.
②過點的直線 分別交直線
，于點， ，且
.當 是圖中某
個角的關聯(lián)角時，請直接寫出所
有符合條件的 的度數(shù).
的度數(shù)為 或 或 .
【點撥】
因為是的關聯(lián)角， ，
所以 .
當直線 位于如圖①所示位置時.
若是 的關聯(lián)角，則
;
若是的關聯(lián)角，則 .
因為 ，所以
.所以 .
當直線 位于如圖②所示位置時.
因為 ， ，
所以 ，
.
若是 的關聯(lián)角，則
.
因為 ;
所以 （舍去）.
若是的關聯(lián)角，則 因為
，
所以 .所以 .
綜上，的度數(shù)為 或 或 .
返回

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