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(共20張PPT)
第六章 二元一次方程組
專題1 二元一次方程組的常見解法
解法1 代入消元法
類型1 一般代入法
1. 用代入法解方程組 有以下過程，其中開始
出現錯誤的一步是( )
C
A. 由①得
B. 把③代入②得
C. 去分母得
D. 解得，再代入③得
返回
類型2 整體代入法
2. 閱讀材料：善于思考的小軍在解方程組
時，采用了“整體代入”的解法，過程如下：
解：將方程②變形，得 ，即
，③
把方程①代入③，得，所以 ，
把代入①，得，所以方程組的解為
請你模仿小軍的“整體代入”法解方程組
【解】
由,得 .①
把①代入，得 .
解得.把代入①，得.解得 .
所以方程組的解為
返回
解法2 加減消元法
類型1 一般加減法
3. [2024保定期末] 利用加減消元法解方程組
下列做法正確的是( )
C
A. 要消去，可以將
B. 要消去，可以將
C. 要消去，可以將
D. 要消去，可以將
返回
類型2 消常數項法
4.解方程組
【解】，得，即 .③
將③代入①，得，解得 .
將代入③，得 .
所以原方程組的解為
返回
類型3 輪換對稱法
5. 定義：在解關于， 的二元一次方程組
時，我們可以先 ，得
，進而得，再 ，得
，最后重新組成方程組 即可進行求解.這
種解二元一次方程組的解法稱為“輪換對稱解法”.
（1）用“輪換對稱解法”解方程組 其解為
_ ______________；
【解】
【點撥】
，得，進而得， ，
得，聯立組成新的二元一次方程組 解得
（2）如圖，小強和小紅一起搭積木，已知小強所
搭的“小塔”高度為 ，小紅所搭的“小樹”高度
為，求每塊型積木的高和每塊 型積木的高.
設每塊型積木的高為,每塊 型積木的高為
.由題意，得
，得，進而得 ，
，得 ，
聯立組成新的二元一次方程組 解得
答：每塊型積木的高為，每塊 型積木的高
為 .
返回
解法3 同解交換法
6.已知方程組和方程組 的解相
同，求 的值.
【解】由題意可得解得
將分別代入， 中，得
解得
所以 .
返回
解法4 換元法
7. 閱讀材料，回答問題.
解方程組 時，如果直接用代入消元
法或加減消元法求解，運算量比較大，也容易出錯，如果把
方程組中的和分別看作一個整體，設 ，
，則原方程組可變形為 解得
即 再解這個方程組得 這種解方程組的方
法叫作整體換元法.
（1）已知關于，的二元一次方程組 的
解為 那么在關于， 的二元一次方程組
中，____，
____；
10
（2）用材料中的方法解二元一次方程組
【解】設， ，
則原方程組可化為解得
即解得所以原方程組的解為
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第六章 二元一次方程組
測素質 二元一次方程組及其解法
［時間：60分鐘 分值：100分］
一、選擇題（每小題4分，共32分）
1. 下列方程組中，是二元一次方程組的是( )
B
A. B.
C. D.
返回
2. 若是關于,的方程 的一組解，
則 的值為( )
D
A. B. 1 C. 2 D. 4
3. 二元一次方程 的正整數解有( )
C
A. 1組 B. 2組 C. 3組 D. 4組
返回
4. 已知，滿足方程組 則 的值是( )
A
A. 1 B. 3 C. 7 D. 9
5. [2024廊坊校級月考] 若與 是同類
項，則 ( )
A
A. 1 B. C. 2 D. 3
【點撥】因為與 是同類項，所以
，得 .
返回
6. 為了慶祝2024年11月30日，我國自主
研發的首型4米級運載火箭長征十二號首飛成功,某學校組織
學生開展有關航空航天的知識競賽.競賽共有20道題，規定：
每答對一道題得5分，每答錯一道題扣3分，不答的題得1分.
已知杭杭同學這次競賽成績為60分.設杭杭同學答對了 道題，
答錯了 道題，則有( )
A
A. B.
C. D.
【點撥】依題意得 ，即
.故選A.
返回
7. 已知方程組和 有相同的解，則
， 的值為( )
D
A. 1， B. 1,2 C. 12,1 D. 12，
【點撥】因為方程組和 有相同的
解，所以它們的解是方程組 的解，解方程組
得 將代入 解得
故選D.
返回
8. 某社區為了打造“書香社區”,豐富小區居民的業余文化生活，
計劃出資500元全部用于采購A,B,C三種圖書，A種每本30元，
B種每本25元，C種每本20元，其中A種圖書至少買5本，最
多買6本（三種圖書都要買）,此次采購的方案有( )
B
A. 5種 B. 6種 C. 7種 D. 8種
【點撥】當購買5本A種圖書時，設購買本B種圖書， 本C
種圖書.根據題意，得 ,整理得
.因為,均為正整數，所以或 或
所以當購買5本A種圖書時，有3種采購方案.當購買
6本A種圖書時，設購買本B種圖書， 本C種圖書.根據題意，
得,整理得.因為,
均為正整數，
所以或或 所以當購買6本A種圖書時，
有3種采購方案.綜上，此次采購的方案有 （種）.
返回
二、填空題（每小題5分，共20分）
9.[2024石家莊校級期中] 已知，用含 的代數式
表示 可得_ _________.
10.已知,則_ _, __.
11.解方程組時，甲同學正確解得 乙同
學因把看錯而得到則_____，_____，
____.
0.25
0.75
返回
12. “幻方”最早記載于春秋時期的《大戴禮》
中，現將1，2，3，4，5，7，8，9這8個數字填入如圖①所
示的“幻方”中，使得每個三角形的三個頂點上的數字之和都
與中間正方形四個頂點上的數字之和相等.現有如圖②所示的
“幻方”，則 ____.
27
【點撥】由題知，，整理得 ，
，整理得，將 ，
代入中，有 .
返回
三、解答題（共48分）
13.（12分）解下列二元一次方程組：
（1）[2024蘇州]
【解】
，得，解得，將代入①，得 ，
則原方程組的解為
（2）
原方程組可化為
，得 ，③
，得，解得，把 代入②，得
，
所以原方程組的解是
返回
14.（10分） “方程”二字最早見于我國《九章
算術》這部經典著作中，該書的第八章名為“方程”.如
從左到右列出的算籌數分別表示方程中未知數
，的系數與相應的常數項，即可表示方程 ，則
表示的方程是____________；請將這兩個方程
聯立成方程組，并求出這個方程組的解.
【解】
,得,解得 ,
把代入②,得 .
所以原方程組的解是
返回
15.（12分） 定義：若一個兩位數十位、
個位上的數字分別為，，我們可將這個兩位數記為 ，
即 .
（1）若，求 的值；
【解】因為 ，
所以，解得 .
（2）若 求 的值.
因為所以
即解得
所以 .
返回
16.（14分） 已知關于， 的方程組
（ 是常數）
（1）當時，方程組可化為
①請寫出方程 的所有非負整數解;
【解】方程的所有非負整數解為
②若該方程組的解也滿足方程，求 的值;
根據題意,得解得
將代入中，得 .
（2）當時，如果方程組有整數解，求整數 的值.
當時，原方程組可化為
，得 ，③
，得，整理，得 .
因為方程組有整數解，且 為整數，
所以或 .
當時，，此時方程組的解是
當時，，此時方程組的解是
（舍去）
當時，，此時方程組的解是
當時，，此時方程組的解是
（舍去）
綜上，整數的值為 或0.
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第六章 二元一次方程組
6.4 三元一次方程組*
1. 下列方程組是三元一次方程組的是( )
D
A. B.
C. D.
返回
2. 解方程組 時，要使解法較為簡便，應
先消去( )
A. B. C. D. 常數
B
返回
3. 教材P23例 已知三元一次方程組
經過步驟和 消去未
知數 后,得到的方程組是( )
A
A. B.
C. D.
返回
4. 若實數，，滿足， ，
則， 之間具有的等量關系為( )
A
A. B.
C. D.
【點撥】，得 .
故選A.
返回
5.已知是三元一次方程，則 ___.
1
返回
6.已知單項式與 的和還是單項
式，則___，____， ___.
4
5
【點撥】
由題意知單項式與 是同類項，
所以
，得,即 ，④
，得，解得，把 代入④，得
,解得，把， 代入③，得
,解得 .
返回
7.解方程組：
【解】
把①代入②,得 ，④
聯立方程組
由，得，解得 ，
把分別代入①③，得， ，
故原方程組的解為
解三元一次方程組時，先消去哪個“元”都是可以的，
得到的結果都一樣，我們應該根據方程組中各方程的特點選
擇最為簡便的解法，靈活地確定消元步驟和消元方法，不要
盲目消元.
返回
8. 已知方程組 則 ( )
A
A. 9 B. 8 C. 7 D. 6
【點撥】 ，得
，所以 .故選A.
返回
9. 已知在多項式中，，， 為
常數，的取值與多項式對應的值如下表，則 的值為____.
1 2
M 7 N
23
【點撥】當時，，① 當 時，
，② 當時， ，
③ 當時，，④ 由 ，得
，即，由 ，得
，所以.所以 ，
解得 .
返回
10.在關于，，的方程組 中，已知
，那么將，， 從大到小排列起來應該是
_____________.
【點撥】
由，得 .因為
，所以.由，得 .因為
，所以.所以將，， 從大到小排列起來
應該是 .
返回
11.解下列方程組：
（1）
【解】
設,則,,將其代入 ,得
,解得 .
所以 是原方程組的解.
（2）
設,, ,
則原方程組可化為
,得 .④
,得 .⑤
解由④與⑤組成的二元一次方程組，得, .
把,代入①，得 .
因此，,, .
所以 是原方程組的解.
像這種已知未知數之間數量比的問題，通常采用設
參數的方法，將“多元”化為“一元”，使解題過程更簡便.
本題運用了換元法，將，，分別用，， 表示，
將原方程組化為關于，，的三元一次方程組，求出 ，
，的值后，進一步再求，， 的值，這種方法可使解題
過程更簡便.
. .
返回
12.如圖是一個有三條邊的算法圖，每
個“ ”里有一個數，這個數等于它
所在邊的兩個“ ”里的數之和，請你
通過計算確定三個“ ”里的數之和，
并且確定三個“ ”里應填入的數.
【解】如圖，把三個“ ”里的數分別記作,, ，
則
，得 ,
即 .④
,得 .
，得 .
，得 .
所以三個“ ”里的數之和為47，三個“ ”里應填入的數按
先上后下，先左后右的順序依次為7，17，23.
返回
13.如下表，從左到右在每個小格子中填入一個整數，使得其
中任意三個相鄰格子中所填整數之和都相等
1 8 …
（1）___，____， ___；
8
1
【點撥】根據題意,得
解得
（2）第2 025個格子中的數為____；
【點撥】由（1）可知從左往右格子中的整數以1,8， 為一
個周期循環.因為 ，所以第2 025個格子中的
數與第3個格子中的數相同為 .
（3）前 個格子中所填整數之和是否能為2 026？若能，求
的值；若不能，請說明理由.
【解】能.由（1）可知每三格一循環，數分別為1,8, ，和
為5.
因為 ，
所以當 時，整數之和為2 026.
返回
14.[2024蘇州期末] 閱讀理解：已知實數，滿足
①，，求和 的值.仔細觀察兩個
方程未知數的系數之間的關系，本題可以通過適當變形整體
求得代數式的值，如由可得 ，由
可得 .這樣的解題思想就是通常所說
的“整體思想”.利用“整體思想”，解決下列問題：
（1）已知二元一次方程組 則 ____，
___.
3
（2）已知買20支鉛筆，3塊橡皮，2本日記本共需32元，買
39支鉛筆，5塊橡皮，3本日記本共需58元，求購買10支鉛筆，
10塊橡皮，10本日記本共需多少元？
【解】設1支鉛筆為元，1塊橡皮為元，1本日記本為 元，
由題意,得
，得 ，
所以 .
答：購買10支鉛筆,10塊橡皮,10本日記本共需60元.
（3）對于實數，，定義新運算： ，其
中，，是常數，等式右邊是實數運算.已知 ，
，求 的值.
因為，， ，
所以③， ，
，得 .
因為,所以 的值為54.
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第六章 二元一次方程組
6.3 二元一次方程組的應用
第1課時 二元一次方程組的應用—
—配套問題、年齡問題、和差倍分
問題
1. 一種商品有大、小盒兩種包裝，3大盒、4小盒共裝108瓶，
2大盒、3小盒共裝76瓶.大盒與小盒每盒各裝多少瓶？若設大
盒每盒裝瓶，小盒每盒裝 瓶，則可列方程組為( )
C
A. B.
C. D.
返回
2. 《孫子算經》是我國古代著名的數學典籍，
其中有一道題：“今有木，不知長短.引繩度之，余繩四尺五寸；
屈繩度之，不足一尺.木長幾何？”意思是：用一根繩子去量一
根長木，繩子還剩余4.5尺；將繩子對折再量長木，長木還剩
余1尺.問木長多少尺？設木長尺，繩子長 尺，則可以列出的
方程組為( )
A
A. B.
C. D.
返回
3.小明與爸爸的年齡和是52歲，爸爸對小明說：“當我的年齡
是你現在的年齡的時候，你還要16年才出生呢.”如果設現在
小明的年齡是歲，爸爸的年齡是 歲，則可列二元一次方程
組為_ ______________.
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4.運輸 的化肥，裝載了6節火車車廂和15輛汽車；運輸
的化肥，裝載了8節火車車廂和10輛汽車，每節火車車
廂與每輛汽車平均各裝多少噸？
解題方案：設每節火車車廂平均裝 化肥，每輛汽車平均裝
化肥.
（1）根據題意，列出方程組：
.
（2）解這個方程組，得
（3）答：每節火車車廂平均裝____ 化肥，每輛汽車平均裝
___ 化肥（用數字作答）.
50
4
50
4
返回
5. 為弘揚革命傳統精神，清明期間，某校組
織540名學生前往烈士陵園緬懷革命先烈.現租用大、小兩種
客車共10輛，恰好能一次性運完全部學生.已知這兩種車的限
載人數分別為60人和40人，求這兩種客車各租用多少輛.
【解】設租用小客車輛，大客車 輛.
依題意，得解得
所以租用小客車3輛，大客車7輛.
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6. 我國古代數學著作《增刪算法統宗》記載了
這樣一道題：“今有布絹三十疋，共賣價鈔五百七，四疋絹價
九十貫，三疋布價該五十，欲問絹布各幾何？”其大意為：今
有絹與布共30疋，賣得570貫錢，4疋絹價90貫，3疋布價50
貫，問絹與布各有多少？
答：絹有____疋，布有____疋.
12
18
【點撥】設絹有疋，布有 疋，根據題意得
解得 故絹有12疋，布有18疋.
返回
7. 成語“朝三暮四”講述了一位老翁喂養猴子
的故事，老翁為了限定猴子們每天的食量分早晚兩次喂食，
早上的糧食是晚上的 ，猴子們對這個安排很不滿意，于是老
翁進行了調整，從晚上的糧食中取 放在早上投食，這樣
早上的糧食是晚上的 ，猴子們對這樣的安排非常滿意，那么
老翁給猴子們限定的每天食量共有______.
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8.某學校課后興趣小組在開展手工制作活動中，美術老師要
求用14張卡紙制作圓柱體包裝盒，準備把這些卡紙分成兩部
分，一部分做側面，另一部分做底面.已知每張卡紙可以裁出
2個側面，或者裁出3個底面，如果1個側面和2個底面可以做
成一個包裝盒，求這些卡紙最多可以做成多少個包裝盒.
【解】設用張卡紙做側面，用 張卡紙做底面，由題意，得
解得
所以 .
所以這些卡紙最多可以做成12個包裝盒.
返回
9.2024年6月20日是某校建校97周年校慶日，該校七年級數學
興趣小組的小榮同學發現這樣一個有趣的巧合：小榮的爸爸
和爺爺都是該校的老校友，且爸爸和妹妹的年齡差恰好與爺
爺和小明的年齡差的和為95歲，而爸爸的年齡恰好比爺爺的
年齡小40歲.已知小榮今年15歲，妹妹今年6歲.
（1）分別求出今年小榮的爸爸和爺爺的年齡.
【解】設今年小榮的爸爸的年齡是歲，爺爺的年齡是 歲，
依題意，得
解得
所以今年小榮的爸爸的年齡是38歲，爺爺的年齡是78歲.
（2）假如小榮的爸爸和爺爺都是16歲初中畢業的，請問小
榮的爸爸和爺爺分別是哪一年在該校畢業的？
（年），
（年）.
答：小榮的爸爸是2002年在該校畢業的，爺爺是1962年在該
校畢業的.
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10. 北京時間2024年10月30日，神舟十九
號載人飛船發射取得了圓滿成功！某超市為了滿足廣大航天
愛好者的需求，計劃購進A，B兩種航天載人飛船模型進行銷
售，據了解，2件A種航天載人飛船模型和4件B種航天載人飛
船模型的進價共計140元；3件A種航天載人飛船模型和2件B
種航天載人飛船模型的進價共計130元.
（1）求A，B兩種航天載人飛船模型每件的進價分別為多少元；
【解】設A種航天載人飛船模型每件的進價為 元，B種航天
載人飛船模型每件的進價為 元，
根據題意，得 解得
所以A種航天載人飛船模型每件的進價為30元，B種航天載人
飛船模型每件的進價為20元.
（2）若該超市計劃正好用240元購進以上兩種航天載人飛船
模型（兩種航天載人飛船模型均有購買），請你寫出所有的
購買方案.
設購進件A種航天載人飛船模型和 件B種航天載人飛船模型，
根據題意，得，所以 .
因為， 均為正整數，
所以當時，；當時，；當 時，
.
故所有購買方案如下：
①購進6件A種航天載人飛船模型和3件B種航天載人飛船模型；
②購進4件A種航天載人飛船模型和6件B種航天載人飛船模型；
③購進2件A種航天載人飛船模型和9件B種航天載人飛船模型.
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第六章 二元一次方程組
測素質 二元一次方程組的應用
［時間：60分鐘 分值：100分］
一、選擇題（每小題5分，共30分）
1. [2024承德期末] 某班有學生49人，一天，該班一男生因事
請假，當天的男生人數恰好為女生人數的一半 .設該班有男
生人，女生 人，則可列方程組為( )
D
A. B.
C. D.
返回
2. 《孫子算經》是中國古代重要的數學著作，
該書第三卷記載：“今有獸六首四足，禽四首二足，上有七十六
首，下有四十六足，問獸、禽各幾何？”譯文：今有一種6頭4腳
的獸與一種4頭2腳的鳥，若獸與鳥共有76個頭與46只腳.問獸、
鳥各有多少？設獸有只，鳥有 只，則根據題意列方程組正確
的是( )
D
A. B.
C. D.
返回
3. 教材P17例1 某車間有60名工人生產太陽鏡，1名工
人每天可生產鏡片200片或鏡架50個.應如何分配工人生產鏡
片和鏡架，才能使產品配套？設安排名工人生產鏡片， 名
工人生產鏡架，則可列方程組為( )
C
A. B.
C. D.
返回
4. 某班環保小組收集廢舊電池，數據統計如
下表.問1節5號電池和1節7號電池的質量分別是多少？設1節5
號電池的質量為，1節7號電池的質量為 ，列方程組，
由消元法可得 的值為( )
5號電池/節 7號電池/節 總質量/
第一天 2 2 72
第二天 3 2 96
C
A. 12 B. 16 C. 24 D. 26
【點撥】根據題意,得
,得 .故選C.
返回
5. 學生問老師：“您今年多大了？”老師風趣地說：“我像你
這么大的時候，你才出生，你到我這么大時，我已經36歲了.”
老師和學生的年齡分別是( )
A
A. 24歲，12歲 B. 24歲，11歲
C. 25歲，11歲 D. 26歲，10歲
返回
6. 相同規格（長為14，寬為8）的長方形
硬紙板，剪掉陰影部分后，將剩余的部分沿虛線折疊，制成
底面為正方形的長方體箱子，有如圖所示的甲、乙兩種方案，
所得長方體的體積分別記為和 ，下列說法正確的是
( )
A
A. B. C. D. 無法判斷
返回
二、填空題（每小題5分，共20分）
7.某學校組織七年級135名學生參加學雷鋒活動,去人民廣場
的人數比去公園人數的3倍少1,去人民廣場和去公園的學生各
有多少名 根據題意,列出方程組其中 表示
______________, 表示__________________.
去公園的人數
去人民廣場的人數
返回
8. 教材P20練習 從A城到B城的航線長為 ，
一架飛機從A城飛往B城需要，從B城飛往A城需要 ，
假設飛機保持勻速，風速的大小和方向不變，設飛機的速度
為，風速為 ，則可列方程組為
_ __________________.
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9.甲、乙兩名同學進行象棋對弈，已知甲在6盤結束后，以凈
勝乙2分的成績取勝，比賽的積分規則是：每盤比賽勝者得2
分，負者得0分，和棋各得1分，則甲同學的總積分為___分.
7
【點撥】設甲同學的總積分為分，乙同學的總積分為 分，
依題意，得解得 所以甲同學的總積分
為7分.
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10.“翰墨凝書香，執筆頌中華”.某學校為了獎勵在規范漢字書
寫大賽中表現突出的同學，計劃拿出100元錢全部用于購買
甲、乙兩種獎品（兩種獎品都購買），已知甲種獎品每件15
元，乙種獎品每件10元，則購買方案有___種.
3
【點撥】設購買件甲種獎品， 件乙種獎品，依題意,得
，所以.又因為， 均為
正整數，所以或或 所以購買方案有3種.
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三、解答題（共50分）
11.（15分） 如圖，商店里把塑料凳整齊地
疊放在一起，根據圖中的信息，求當10個塑料凳整齊地疊放
在一起時的高度是多少.
【解】設1個塑料凳桌面的厚度為，腿高為 ，
根據題意，得解得
所以 .
所以當10個塑料凳整齊地疊放在一起時的高度是 .
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12.（15分）[2024西安雁塔區校級期末] 小明和哥哥在環形跑
道上練習長跑.他們從同一起點沿相反方向同時出發，每隔25
秒鐘相遇一次.現在，他們從同一起跑點沿相同方向同時出發，
經過25分鐘哥哥和小明剛好相遇了20次（出發時不算），求：
（1）哥哥速度是小明速度的多少倍？
【解】設哥哥的速度為米/秒，小明的速度為 米/秒，由題
意,得
，解得 ，
即哥哥速度是小明速度的2倍.
（2）哥哥追上小明時，小明跑了多少圈？
由于哥哥速度是小明速度的2倍，則哥哥跑的圈數是小明跑
的圈數的2倍，
設小明跑了圈，則哥哥跑了 圈，由題意,得
，解得 ，即小明跑了20圈.
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13.（20分） 2024年4月13日，第四屆中國國
際消費品博覽會在海南海口開幕.某商家購進一批吉祥物“元
元”和“宵宵”，已知一個“元元”的進價比一個“宵宵”的進價多
20元，并且購買4個“元元”的價格是購買3個“宵宵”價格的2倍.
（1）商家購進每個“元元”和“宵宵”的進價分別是多少元？
【解】
設商家購進每個“元元”的進價是 元，購進每個“宵宵”的進價
是 元，
由題意,得解得
答：商家購進每個“元元”的進價是60元，購進每個“宵宵”的
進價是40元.
（2）若商家購進“元元”和“宵宵”各1 000個，先按進價的
標價銷售，宵宵很快就售完，剩下的200個“元元”按照
標價的八折銷售完，請問商家共盈利多少元？
銷售“元元”的盈利為
（元），
銷售“宵宵”的盈利為
（元） （元）.
答：商家共盈利17 120元.
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第六章 二元一次方程組
6.2 二元一次方程組的解法
第2課時 加減消元法
1. 教材P11習題T1 用加減消元法解方程組
時，由消去未知數 ，所得到的一元
一次方程是( )
A
A. B. C. D.
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2. 用加減消元法解方程組 下列解法不正確
的是( )
D
A. ，消去
B. ，消去
C. ，消去
D. ，消去
【點撥】A項，可消去 ，故A項正確，不符
合題意；B項，可消去 ，故B項正確，不符
合題意；C項，可消去 ，故C項正確，不
符合題意；D項，不能消去 ，故D項不
正確，符合題意.故選D.
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3. 下列方程組中，有無數組解的是( )
C
A. B.
C. D.
【點撥】A項解得 方程組有唯一一組
解，故A項不符合題意；B項 易得方程組無解，
故B項不符合題意；C項 ，
得，則, 可取任何值，所以方程組有無數組解，
故C項符合題意；D項解得 方程組有唯
一一組解，故D項不符合題意；故選C.
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4.由方程組可得與 的關系式是_________
______.
返回
5. 已知, 都是有理數，觀察表中的運算，則
___.
, 的運算
運算的結果 5 9
【點撥】根據題意，得解得 所以
.
3
返回
6.用加減消元法解下列方程組：
（1）
【解】，得，解得 .
把代入①，得,解得 .
所以原方程組的解是
（2）
，得，解得 ，
將代入②，得，解得 ，
故原方程組的解為
（3）
原方程組整理，得
，得，解得 ，
把代入②，得，解得 ，
故原方程組的解為
返回
7. 教材P12習題T6 已知
，則 的值為( )
A
A. 1 B. C. 2 D.
【點撥】因為 ，所以
解得所以 .
返回
8. 若關于，的二元一次方程組 的
解滿足，則 的值等于( )
C
A. 2 024 B. 2 025 C. 2 026 D. 2 027
返回
9. 規定：形如與 的
兩個方程互為共軛二元一次方程，其中,為常數， ，
,為未知數；由這兩個方程組成的方程組 稱為
共軛方程組.若關于，的方程組
為共軛方程組，則， 的值為( )
A
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【點撥】由題意可得, ,解得
, .
返回
10.已知方程組與 有相同的解，則
的值為____.
28
【點撥】因為方程組與 有相同的
解，所以方程組 與題干兩個方程組有相同的解.
解方程組得將 代入
得解得 所以 .
返回
11.[2024長沙校級期中] 甲、乙兩人同時解方程組
甲正確解得 乙只抄錯 ，而其他運
算全正確，解得 則 ___.
1
【點撥】把代入方程組得解得 .
把代入，得 .
聯立解得
所以 .
返回
12.關于，的二元一次方程組 的解是正整數，
則符合題意的整數 的所有值的和為____.
14
【點撥】解二元一次方程組 得 因
為關于，的二元一次方程組 的解是正整數，
所以為正整數且為正整數.所以整數 或8.所以
符合題意的整數的所有值的和為 .
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13. 已知，滿足 ，且滿足
求 的值.
三位同學分別提出了自己的解題思路：
甲：先解關于，的方程組 再求 的值；
乙：先將方程組中的兩個方程相加，再求 的值；
丙：先解方程組 再求 的值.
（1）以上三位同學的解題思路中，正確的有___個，你最欣
賞______________________（填“甲”“乙”或“丙”）的思路；
3
乙（此空答案不唯一）
（2）根據你所選的思路解答此題.
【解】（選擇其一即可）甲同學： 解得
將代入 ，
得，解得 .
乙同學：
由并整理，得 .
將代入，得 ，
解得 .
丙同學：解方程組得
將代入 ，
得，解得 .
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14.[2024泰州校級月考] 一個兩位數，個位上的數字與十位上
的數字的和為13，若把個位上的數字與十位上的數字對調，
則所得的數比原數的2倍小4，求原來的兩位數.
【解】設原來兩位數的個位數字為，十位數字為 ，根據題
意，得解得
所以原來的兩位數為 .
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15. 定義：數對 經過一種運算可以得
到數對，將該運算記作： ，其中
（， 為常數）.
例如，當，時， .
（1）當，時， ______；
【點撥】當，時，因為, ,
所以， ，所以
.
（2）若，求和 的值；
【解】因為 ，
所以解得
（3）如果組成數對的兩個數， 滿足二元一次方程
（，均不為0）時，總有 ，求
和 的值.
因為,所以.又因為 ，所以
，
所以
又因為 不為0，
所以解得
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第六章 二元一次方程組
6.3 二元一次方程組的應用
第2課時 二元一次方程組的應用—
—行程問題、百分率問題、工程問題
1. 請欣賞我國古典文學名著《西游記》描述孫悟空追妖精的數
學詩：“悟空順風探妖蹤，千里只行四分鐘，歸時四分行六百，
風速多少才稱雄？”大致意思是：孫悟空順風去查妖精的行蹤，
4分鐘就飛躍1 000里，逆風返回時4分鐘走了600里.若設孫悟空
的速度為里/分鐘，風速為 里/分鐘，則可列方程組為( )
D
A. B.
C. D.
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2. 教材P21習題T2 甲、乙兩人在相距 的兩地，
若同時出發相向而行，經 相遇；若同向而行，且甲比乙先
出發，那么在乙出發后經 甲追上乙，求甲、乙兩人的
速度.設甲的速度為，乙的速度為 ，則可列方
程組為_ ______________.
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3. 將濃度為的酒精與濃度為 的酒精
混合，制成了濃度為的酒精.設濃度為 的酒精
需要，濃度為的酒精需要 ，則根據題意可列方
程組為_ _________________________.
4.已知某座橋長 ，現有一列火車從橋上通過，測得火
車從開始上橋到完全通過共用了 ，這列火車完全在橋上
的時間為 ，則火車的速度為________，車長為_______.
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5.甲，乙兩個工程隊共同為某貧困村修建了 的村路，
甲隊單獨修建一段時間后，乙隊再繼續單獨修建，共用18天
完成任務，已知甲隊每天修建，乙隊每天修建 .
求甲，乙兩個工程隊分別修建了多少天.
（1）張紅同學根據題意，列出了二元一次方程組
那么這個方程組中未知數 表示的是_______
____________________，未知數 表示的是_______________
____________；
甲工程隊共修建村路的米數
乙工程隊共修建村路的米數
（2）李芳同學設甲隊修建了天，乙隊修建了 天，請你按
照她的思路進行解答.
【解】根據題意，得解得
所以甲工程隊修建了12天，乙工程隊修建了6天.
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6.某開發區去年出口創匯額為25億美元，今年達到30.55億美
元，已知今年上半年出口創匯額比去年同期增長 ，下半
年比去年同期增長 ，求去年上半年和下半年的出口創匯
額各是多少億美元.
【解】設去年上半年的出口創匯額為 億美元，去年下半年
的出口創匯額為 億美元，根據題意，得
解得
所以去年上半年的出口創匯額為10億美元，去年下半年的出
口創匯額為15億美元.
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7.某地為了打造一條美麗的風光帶，將一段長為 的河道
整治任務由甲、乙兩個工程隊先后接力完成，共用20天，已
知甲工程隊每天整治，乙工程隊每天整治 ，求甲、
乙兩個工程隊分別整治了多少天河道.
【解】設甲工程隊整治了天河道，乙工程隊整治了 天河道，
根據題意,得
解得
所以甲工程隊整治了10天河道，乙工程隊整治了10天河道.
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8.甲、乙兩人在一環形場地上從某點開始同時同向勻速跑步，
甲的速度是乙的2.5倍， 后兩人首次相遇，此時乙還需
要跑 才跑完第一圈，求甲、乙兩人的速度及環形場地
的周長.
【解】設乙的速度為，環形場地的周長為 ，
則甲的速度為 ，
由題意得解得
.
所以乙的速度為，甲的速度為 ，環形
場地的周長為 .
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9. 為落實教育部門“在校學生每天鍛煉時間不
少于1小時”的精神，某校利用課后服務時間，在七年級開展
“體育賦能，助力成長”班級籃球賽，共16個班級參加.
（1）比賽積分規定：每場比賽都要分出勝負，勝一場積3分，
負一場積1分.某班級在15場比賽中獲得總積分為41分，問該
班級勝負場數分別是多少？
【解】設該班級勝了場，負了 場，根據題意,得
解得
答：該班級勝負場數分別是13場和2場.
（2）根據比賽情況，學校商店對某籃球在甲、乙兩校區的銷
售單價進行了如下調整：甲校區上漲 ，乙校區降價5元.已
知銷售單價調整前甲校區比乙校區少10元，調整后甲校區比乙
校區少1元，求調整前甲、乙兩校區該籃球的銷售單價.
設調整前甲校區該籃球的銷售單價為 元，乙校區該籃球的
銷售單價為元，由題意，得 解
得
答：調整前甲校區該籃球的銷售單價為40元，乙校區該籃球
的銷售單價為50元.
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10. 周末，小明和他的爸爸來到如圖所示的
運動場進行跑步鍛煉，繞運動場一圈的路程為 .
（1）若兩人同時同起點相向而跑，則經過 后首次相遇；
若兩人同時同起點同向而跑，則經過 后，爸爸首次從后
面又追上小明，問小明和他的爸爸的速度各為多少？
【解】設小明的速度為 ，他的爸爸
的速度為 ，由題意，得
解得
答：小明的速度為 ，他的爸爸的速
度為 .
（2）假設爸爸的速度是 ，小明
的速度是.兩人進行 賽跑，
同時同起點同向出發，等爸爸跑到半
圈時，故意降速為 .按此繼續比
賽，小明能否在 終點前追上爸爸，如果能，求追上時
距離終點還有多少米；如果不能，請說明理由.
能.因為小明到 終點需要的時間
為 ，
他的爸爸到 終點需要的時間為
，
而，所以小明能在 終點前追上爸爸.
設小明追上爸爸需要的時間為 ，
則追上時距離終點還有 ，
由題意，得
，解得
，
所以 .
答：小明能在 終點前追上爸爸，追上時距離終點還有
.
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第六章 二元一次方程組
專題3 解應用題的八種常見類型
類型1 配套問題
1. 健康營養師用甲、乙兩種原料為運動員的
康復訓練配制營養品，已知每克甲原料含0.4單位蛋白質和
0.8單位鐵質，每克乙原料含1單位蛋白質和0.8單位鐵質.如果
一位運動員每餐需要32單位蛋白質和40單位鐵質，那么每餐
含甲、乙兩種原料各多少克時恰好能滿足運動員的需要？
【解】設每餐含甲原料克，乙原料 克時恰好能滿足運動員
的需要，根據題意，得
解得
答：每餐含甲原料30克，乙原料20克時恰好能滿足運動員的
需要.
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類型2 行程問題
2. 教材P19例2 某列動車由一節車頭和若干節車廂組成，
每節車廂的長度都相等.已知該列動車掛8節車廂以 的
速度通過某觀測點用時，掛12節車廂以 的速度通過
該觀測點用時 .
（1）求車頭及每節車廂的長度分別是多少米.
【解】
設車頭的長度為，每節車廂的長度為 ，根據題意，得
解得
所以車頭的長度為，每節車廂的長度為 .
（2）小明乘坐該列動車勻速通過某隧道時，如果車頭進隧
道 后他也進入了隧道，此時車內屏幕顯示速度為
，請問小明乘坐的是幾號車廂？
，
.
所以小明乘坐的是9號車廂.
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類型3 盈不足問題
3. 中國古代數學著作《九章算術》中記載了
這樣一個題目：今有共買琎，人出半，盈四；人出少半，不
足三.問人數，琎價各幾何？其大意是：今有人合伙買琎石，
每人出錢，會多出4錢；每人出 錢，又差了3錢.問人數，琎
價各是多少？設人數為，琎價為 ，則可列方程組為( )
A. B.
C. D.
√
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類型4 積分問題
4.[2024石家莊校級月考] 某中學組織學生進行安全知識競賽，
共有30道題，答對一道題得4分，不答或答錯一道題扣2分.用
二元一次方程組的知識解決下列問題.
（1）甲同學參加了競賽，成績是6分，設甲同學在競賽中答
對了道題，不答或答錯了道題，求和 的值.
【解】根據題意，得解得
所以的值為11， 的值為19.
（2）乙同學也參加了競賽，考完后他說：“這次競賽我一定
能拿到100分.”請問乙同學可能拿到100分嗎？請說明理由.
乙同學不可能拿到100分.理由如下：
假設乙同學能拿到100分，設乙同學答對了 道題，則不答或
答錯了道題，根據題意，得 ，
解得 .
因為為正整數，所以 不符合題意.所以假設不成立.所
以乙同學不可能拿到100分.
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類型5 增長率問題
5.某超市有線下和線上兩種銷售方式，去年計劃實現總銷售
利潤200萬元，經過努力，實際總銷售利潤為225萬元，其中
線下銷售利潤比原計劃增長 ，線上銷售利潤比原計劃增長
，則該超市去年實際完成線下銷售利潤、線上銷售利潤
各為多少萬元？
【解】設該超市去年計劃完成線下銷售利潤為 萬元，線上
銷售利潤為 萬元，根據題意，得
解得
所以 ，
.
答：該超市去年實際完成線下銷售利潤為52.5萬元，線上銷
售利潤為172.5萬元.
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類型6 幾何問題
6.[2024廊坊校級月考] 如圖，這是某江灘公
園正在修建的一運動場館的規劃示意圖，運
動場館是一個長方形，長為 ，
寬為 ，現計劃在甲、乙、丙三塊形狀及大小相同的
小長方形地塊上修建網球場，剩余兩塊形狀及大小相同的空
地上鋪設塑膠草坪，求每塊草坪的面積.
【解】設三個小長方形的長為 ，
寬為 ，根據題意，得
解得
所以三個小長方形的總面積為
.
所以每塊草坪的面積為.
返回
類型7 方案問題
7. 隨著“低碳生活，綠色出行”理念的普及，某
汽車銷售公司計劃購進一批新能源汽車嘗試進行銷售，據了
解，2輛型汽車，3輛型汽車的進價共計80萬元；3輛 型
汽車，2輛 型汽車的進價共計95萬元.
（1）求， 兩種型號的汽車每輛進價分別為多少萬元？
【解】設型汽車每輛的進價為萬元， 型汽車每輛的進價
為 萬元，依題意，得
解得
答：型汽車每輛的進價為25萬元， 型汽車每輛的進價為10
萬元.
（2）若該公司計劃正好用180萬元購進以上兩種型號的新能
源汽車（兩種型號的汽車均購買），則該公司有哪幾種方案？
設購進型汽車輛，購進型汽車 輛，依題意，得
,所以 .
因為, 均為正整數，
所以或或
所以共有3種購買方案，分別是:
方案一：購進型汽車2輛， 型汽車13輛；
方案二：購進型汽車4輛， 型汽車8輛；
方案三：購進型汽車6輛， 型汽車3輛.
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類型8 九宮格問題
8. 幻方是古老的數學問
題，我國古代的《洛書》中記載了最
早的幻方——九宮格.將9個數填入幻方
12
的空格中，要求每一橫行，每一豎列以及兩條對角線上的3
個數之和相等，例如圖①就是一個幻方，圖②是一個未完成
的幻方，則與 的和是____.
【點撥】因為每一橫行,每一豎列
以及兩條對角線上的3個數之和相
等，所以左下角的數為
.所以最中間的數
為或 . 右下
角的數為或 .
聯立方程
組,得 解得
所以 .
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第六章 二元一次方程組
6.2 二元一次方程組的解法
第1課時 代入消元法
1. 在解方程組 的過程中，將②代入①可得
( )
C
A. B.
C. D.
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2. [2024石家莊長安區期末] 用代入法解二元一次方程組
的過程中，下列變形不正確的是( )
C
A. 由①得 B. 由①得
C. 由②得 D. 由②得
【點撥】由①得或 ，
故A,B正確，不符合題意；
由②得或 ，
故C不正確，符合題意；D正確，不符合題意.
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3. [2024秦皇島期末] 對于二元一次方程組 把
①代入②消去后所得到的方程為 ，則①可以
是( )
A
A. B.
C. D.
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4. 若與 的和是單項式，
則, 的值分別是( )
C
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【點撥】由題意，得解得
返回
5. 下面是小明同學解方程組
過程的框圖表示，請你幫他補充完整：
其中，①為______，②為_______，③為_______.
代入
消去
解得
返回
6. 教材P8習題T2 用代入消元法解下列方程組：
（1）
【解】把②代入①,得，解得 ，
把代入②,得 ，
所以方程組的解為
（2）[2024浙江]
由①,得 ，③
把③代入②，得，解得 ，
把代入③，得，解得 ，
所以方程組的解為
返回
7. 已知關于，的二元一次方程組 有正整數
解，則整數 ( )
C
A. 9 B. 10 C. 10或20 D. 20
【點撥】 將②代入①,得
，解得.因為 是正整數，所以
或11.所以或.經檢驗， 和
時， 的值也為正整數，滿足題意.故選C.
返回
8. 定義一種新運算“ ”，規定：
，其中，為常數，且 ，
，則 ( )
B
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【點撥】因為，且， ，
所以解得 所以 .所以
.故選B.
返回
9. 為確保信息安全，信息需加密傳輸，發送方由明文 密
文（加密），接收方由密文 明文（解密），已知加密規則
為：明文,,,對應密文,,, .例如，明
文1,2,3,4對應密文5,7,18,16.當接收方收到密文14,9,23,28時，
則解密得到的明文為( )
B
A. 7,7,1,4 B. 6,4,1,7 C. 4,6,1,7 D. 1,6,4,7
【點撥】由題意可得，, ,
,,解得,,, .所以解
密得到的明文為6，4，1，7.
返回
10.已知方程組和 的解相同，則
___.
5
【點撥】由題意得解得 將 ，
代入，得，將, 代入
，得，所以 .
返回
11.[2024西安新城區校級月考] 已知與 互為相反
數，并且，則 的值為___.
4
【點撥】因為與 互為相反數，所以
，即，所以
解得所以 .
返回
12.[2024滄州期末] 對于關于， 的二元一次方程組
佳佳通過計算發現，無論取何值，
的值始終不變.則這個值是__.
【點撥】 由①，得 ，將
代入②，得 ，解得
，將 代入①，得
，解得 ，所以方程組的解為
那么 .
返回
13.已知關于，的方程組
（1）請直接寫出方程 的所有正整數解；
【解】方程 的所有正整數解為
（2）若方程組的解滿足，求 的值；
由題意得解得
把代入 中，
得，解得 ；
（3）當每取一個值時， 就對應一個方程，
而這些方程有一組公共解，求這組公共解.
因為 ，
所以 ，
令，則，解得 ，
所以無論取何值，都是方程 的解，
所以公共解為
返回
14. 先閱讀材料，然后解答后面的問題.
材料：解方程組
由①，得 .③
把③代入②，得，解得 .
把代入③，得 .
所以原方程組的解為
這種方法稱為“整體代入法”.你若留心觀察，有很多方程組可
采用此方法解答.
（1）請仿照上面的“整體代入法”解方程組
【解】由①，得 .③
把③代入②，得，解得 .
把代入③，得，解得 .
所以原方程組的解為
（2）已知，滿足方程組
求 的值.
由①,得 ，
所以 ，③
把③代入②，得，解得 ，
把代入③,得 ，即
.
返回(共21張PPT)
第六章 二元一次方程組
專題2 二元一次方程（組）的解的
常見應用
應用1 已知二元一次方程（組）的解，求字母（式子）
的值
1. [2024北京校級模擬] 已知 是二元一次方程
的一組解，則 的值為( )
D
A. 2 B. C. 1 D.
返回
2.已知是關于, 的二元一次方程組
的解，求 的值.
【解】因為是方程組 的解，
所以 所以
所以 .
返回
應用2 已知二元一次方程組的解也是二元一次方程的一
組解，求字母的值
3.已知關于,的方程組 的解也是方程
的一組解，求 的值.
【解】
，得，解得 .
將代入①，得，解得 .
將，代入，得 ，
解得 .
本題還可以利用加減法消去，得到一個關于，
的方程，再與方程聯立，解方程組得到， 的
值，最后代入已知方程組中任意一個方程求得 的值.
返回
應用3 已知二元一次方程組的解滿足的關系，求字母的值
4. 教材P15習題T4 已知關于， 的二元一次方程組
的解滿足，則 的值為____.
11
【點撥】因為，所以 .
把 代入原方程組，得
整理得
，得，解得 .
返回
5.關于,的二元一次方程組 當方程組的
解的差為4時，求 的值.
【解】
,得 .
,得 .
因為方程組的解的差為4.
所以當時，；當時， .
綜上可得， 的值為1或5.
返回
應用4 已知兩個二元一次方程組共解，求式子的值
6.若關于，的二元一次方程組 和
有相同的解，求：
（1）這兩個方程組的解；
【解】由題意，得
，得，解得 ，
把代入②，得，解得 ，
所以方程組的解為
所以所求的兩個方程組的解為
（2）代數式 的值.
把代入得
，得，解得 ，
把代入②，得，解得 ，
所以 .
返回
應用5 已知二元一次方程組有整數解，求字母的值
7.若是整數，關于，的二元一次方程組
的解是整數，求滿足條件的所有 的值的和.
【解】;
，得，解得 .
由題意易知,,, ,1,2,5,10.
所以，，，，， ，2，7.
當，，，7時， 不是整數，
所以滿足條件的所有的值的和為 .
返回
應用6 已知二元一次方程組無解（或無數解），求字母
（或式子）的值
8.在二元一次方程組 中，若這個方程組沒有解，
則 的值是____.
【點撥】，得 ，即
.
又因為已知方程組無解，所以，解得 .
返回
9.若方程組有無數解，求 的值.
【解】原方程組可轉化為
因為方程組有無數解，
所以，，即 .
所以 .
返回
應用7 已知二元一次方程組的錯解，求字母的值
10.在解方程組 時，由于粗心，甲看錯了方程
組中的,得解為乙看錯了方程組中的 ，得解為
（1）甲把錯看成了什么？乙把 錯看成了什么？
【解】將代入方程組，得
解得
將代入方程組，得解得
故甲把錯看成了1，乙把 錯看成了1.
（2）求出原方程組的正確解.
根據（1）得正確的, 的值分別為2，3，
則原方程組為解得
返回
應用8 已知二元一次方程組的解，求與其系數相同的二
元一次方程組的解
11.若關于，的二元一次方程組 的解為
求關于，的方程組
的解.
【解】根據題意易知解得
所以原方程組的解為
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第六章 二元一次方程組
全章熱門考點整合應用
考點1 二元一次方程（組）
1. [2024邢臺校級月考] 下列方程組中，是二元一次方程組的
是( )
B
A. B.
C. D.
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2. [2024滄州校級月考] 已知關于， 的方程
是二元一次方程，則 ( )
A
A. 3 B. C. 1 D.
【點撥】因為 是二元一次方程，
所以，，解得， .
所以 ，故選A.
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考點2 二元一次方程（組）的解
3. 教材P4練習 已知是關于， 的方程
的一組解，則 的值為( )
B
A. B. 1 C. 2 D. 3
【點撥】因為是關于，的方程 的一組解，
所以把代入到原方程，得，解得 ，故
選B.
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4. 若關于,的二元一次方程組
的解為則多項式 可以是____________________
（寫出一個即可）.
（答案不唯一）
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5.[2024唐山校級期中] 關于， 的二元一次方程
的非負整數解有___組.
【點撥】因為,所以 .所以非負整數解
是 共有3組.
3
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考點3 二元一次方程組的解法
6.解方程組：
（1）
【解】
由①,得 .③
把③代入②，得,解得 .
把代入③，得 .
所以原二元一次方程組的解是
（2）
原方程組整理,得
,得,解得 ,
把代入②,得 ,
所以原二元一次方程組的解是
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考點4 三元一次方程組及其解法
7. 下列方程組不是三元一次方程組的是( )
D
A. B.
C. D.
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8.解方程組：
【解】
，得,即 ，④
，得 ，⑤
，得，解得 ，
把代入④，得 ，
把，代入②，得 .
所以原方程組的解是
返回
考點5 二元一次方程（組）的實際應用
9. [2024邯鄲校級期中] 今年哥哥的年齡是妹妹的2倍，2年前
哥哥的年齡是妹妹的3倍，求今年哥哥和妹妹的年齡.設哥哥
今年歲，妹妹今年 歲，則得到的方程組是( )
B
A. B.
C. D.
返回
10. [2024宜賓] 某果農將采摘的荔枝分裝為大箱和小箱銷售，
其中每個大箱裝4千克荔枝，每個小箱裝3千克荔枝.該果農現
采摘有32千克荔枝，根據市場銷售需求，大小箱都要裝滿，
則所裝的箱數最多為( )
C
A. 8箱 B. 9箱 C. 10箱 D. 11箱
【點撥】設可以裝箱大箱， 箱小箱，根據題意，得
，所以.因為， 均為正整數，所以
或 所以 或10.所以所裝的箱數最多為
10箱.故選C.
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11. 如圖，是由8個大
小相同的小長方形無縫拼接而成的一
個大長方形，已知大長方形的周長為
，則小長方形的周長為_ __.
【點撥】設小長方形的長為、寬為 ，
由題意,得解得
所以小長方形的周長為 .
返回
12. 中國古代數學著作《張丘建算經》中有一
道問題；“今有甲、乙懷錢，各不知其數.甲得乙十錢，多乙
余錢五倍.乙得甲十錢，適等.問甲、乙懷錢各幾何？”問題大
意：甲、乙兩人各有錢幣若干枚.若乙給甲10枚錢幣，此時甲
的錢幣數比乙的錢幣數多出5倍，即甲的錢幣數是乙錢幣數
的6倍；若甲給乙10枚錢幣，此時兩人的錢幣數相等.問甲、
乙原來各有多少枚錢幣？請用二元一次方程組解答上述問題.
【解】設甲有錢幣枚，乙有錢幣 枚，由題意，得
解得
答：甲原來有38枚錢幣,乙原來有18枚錢幣.
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思想1 轉化思想
13.已知個數，，， ， ，它們每一個數只能取0，
1，這三個數中的一個，且滿足
則 的值是______.
【點撥】設各式中有個1和個 ，則原方程組可變為
解得 那么
.
返回
思想2 整體思想
14. 閱讀材料：
小榮同學在解方程組 時，采用了一種
“整體代換”的方法.
解：將方程②變形為 ，
即 .③
把①代入③，得，解得 ，
把代入①，得 ，
解得 ，
所以原方程組的解為
請你根據材料，解決以下問題：
（1）請模仿小榮同學的“整體代換”法解方程組
【解】
將②變形為，即 ，③
把①代入③，得，解得 ，
把代入①，得,解得 ，
所以原方程組的解為
（2）已知，滿足方程組 求
和 的值.
，得，即 .
，得，所以 .
所以的值為17， 的值為2.
返回(共27張PPT)
第六章 二元一次方程組
6.2 二元一次方程組的解法
第3課時 用合適的方法解二元一次
方程組
1. 已知二元一次方程組：
解以上方程組比較適合選擇的方法是( )
B
A. ①②用代入法，③④用加減法
B. ①③用代入法，②④用加減法
C. ②③用代入法，①④用加減法
D. ②④用代入法，①③用加減法
返回
2. [2024滄州校級月考] 已知，滿足方程組
則 的值為( )
A
A. B. 1 C. 3 D. 5
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3.在方程組中，與互為相反數，則 __.
【點撥】因為與互為相反數，所以 .則方程組
整理為,得 ,則
.
返回
4.[2024邯鄲校級期中] 在中，當時， ；
當時，；則當時， ____.
10
【點撥】因為當時，；當時， ，所以
解得所以.將 代入
，得 .
返回
5. 教材P14練習 解下列方程組：
（1）
【解】
把②代入①，得，解得 ，
把代入②，得 ，
所以原方程組的解為
（2）
方程組化簡，得
，得，解得 ，
把代入②，得，解得 ，
所以原方程組的解為
（3）
設，可得
將③和④代入②，得 ，解得
.
將分別代入③和④，得原方程組的解為
返回
6. 若關于，的二元一次方程組 的解為
則關于, 的二元一次方程組
的解為( )
B
A. B.
C. D.
【點撥】整理方程組 為方程組
因為二元一次方程組
的解為所以解得 故
選B.
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7. [2024石家莊校級期中] 如圖，約定：上
方相鄰兩數之和等于這兩數下方箭頭共同
指向的數.下列判斷正確的是( )
B
結論Ⅰ：若的值為5，則 的值為1；
結論Ⅱ： 的值為定值；
結論Ⅲ：若，則 .
A. Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ均對 B. Ⅰ，Ⅱ對，Ⅲ錯
C. Ⅰ錯，Ⅱ，Ⅲ對 D. 只有Ⅰ對
【點撥】由題意可知 ，
， ，所以
，即
.所以 ，為
定值，所以結論Ⅱ正確.因為當 時，
，所以
,得 ,解得
，把代入①，得 ,解
得，所以結論Ⅰ正確.因為 ，
所以當時， .所以
, .
所以 .所以結論
Ⅲ錯誤，綜上可知，Ⅰ，Ⅱ對，Ⅲ錯，故選B.
返回
8.[2024廊坊期末] 已知方程組 的解是
則 的解是_ _________.
返回
9.在現代高等代數領域中，可以將關于, 的二元一次方程組
的系數排成一個表 ，這種由數
排成的表稱為矩陣.例如：二元一次方程組 可
以寫成矩陣的形式.若矩陣 所對
應的二元一次方程組的解為 則___， ___.
2
1
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10. 算盤起源于中國，是我國的優秀文化遺產.
以排列成串的算珠作為計算工具，成串算珠稱為檔，中間橫
梁把算珠分為上、下兩部分，每顆上珠代表5,每顆下珠代表1,
每串算珠從右至左依次代表十進位制的個位、十位、百位、
千位、萬位數 ，可以任意選定某檔為個位，不撥出
（空檔）表示0.
小華在百位撥了一顆上珠和一顆下珠，對小明說：“我撥的三
位數中，個位數字與十位數字的和等于百位上的數，個位數
字與十位數字的差是4.”請求出這個三位數，并回答怎樣在算
盤上撥出十位數和個位數.
【解】由題意可知小華在百位撥的數字是6,設個位數字是 ,
十位數字是 ,
由題意得 解得
所以這個三位數是615.
小華應當在十位撥一顆下珠，在個位撥一顆上珠.
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11. 對于未知數為， 的二元一次方程組，
如果方程組的解，滿足 ，我們就說方程組的解
與 具有“鄰好關系”.
（1）方程組的解與 是否具有“鄰好關系”？說
明你的理由.
【解】方程組的解與 具有“鄰好關系”.理由:由
方程組中的方程得 ，所以方程組
的解與 具有“鄰好關系”.
（2）若方程組的解與 具有“鄰好關系”，求
的值.
，得，解得 ，
把代入①，得 ，
則方程組的解為
因為方程組的解與 具有“鄰好關系”，所以
.所以
，所以
.所以或 .
（3）已知關于，的方程組其中與， 都是
正整數，該方程組的解與 是否具有“鄰好關系”？如果具有，
請求出 的值及方程組的解；如果不具有，請說明理由.
該方程組的解與 具有“鄰好關系”.方程組兩式相加，得
.
因為， 均為正整數，
所以
當,時，;當,時，;當 ,
時， （此種情況舍去）;
當,時， （此種情況舍去）.
在上面符合題意的兩組解中，只有當時， ，
所以，方程組的解為
返回(共21張PPT)
第六章 二元一次方程組
6.1 二元一次方程組
1. [2024邢臺期中] 若方程組 是二元一次方程組，
則“……”不可能是( )
C
A. B.
C. D.
返回
2. 下列說法中，不正確的是( )
B
A. 方程 是二元一次方程
B. 任何一個二元一次方程都只有一組解
C. 方程 有無數組解
D. 是方程 的解
返回
3. [2024滄州期中] 下列是二元一次方程 的解的
是( )
D
A. B.
C. D.
返回
4. 為了慶祝2024年11月4日神舟十八號載
人飛船在東風著陸場成功著陸，某學校組織學生開展有關航
空航天的知識競賽.競賽共有60道題，小榮同學答對了 道題，
答錯了 道題（不答視為答錯），且答對題數比答錯題數的7
倍還多4道，那么下面列出的方程組中正確的是( )
A
A. B.
C. D.
返回
5. 教材P4練習T1 將方程寫成用含 的代數
式表示 的形式：___________.
6.[2024北京大興區期末] 已知方程 是關
于，的二元一次方程，則 的值為___.
7. 寫出二元一次方程 的一組整
數解：_ _____________________.
1
（答案不唯一）
返回
8. 教材P3一起探究 已知方程組
（1）分別取, ,0,2,填寫下表：
0 2
___ ___ ____ ____
0 2
_ _ ___ _ _ ___
8
2
2
4
（2）根據（1）中的數據寫出方程組的解.
方程組的解為
返回
9. 如果方程組的解為那么被“★， ”遮
住的兩個數分別為( )
C
A. 3，10 B. 4，10 C. 10，4 D. 10，3
返回
10. 我國古代《四元玉鑒》中記載“二果問價”
問題，其內容大致如下：用九百九十九文錢，可買甜果苦果
共一千個，若 ， ，試問買甜果、苦果各幾個？若設買
甜果個，買苦果 個，可列出符合題意的二元一次方程組
根據已有信息，題中用“ ， ”表示的
缺失的條件應為( )
A. 甜果七個用四文錢，苦果九個用十一文錢
B. 甜果十一個用九文錢，苦果四個用七文錢
C. 甜果四個用七文錢，苦果十一個用九文錢
D. 甜果九個用十一文錢，苦果七個用四文錢
√
返回
11. 若是方程 的一組
解，則 ____.
16
【點撥】把代入，得 .所以
.所以
.
返回
12.為提高學生學習興趣，增強動手實踐能力，某校為物理興
趣小組的同學購買了一根長度為 的導線，將其全部截
成和 兩種長度的導線用于實驗操作（每種長度的
導線至少一根），則截取方案共有___種.
7
【點撥】設截成長的導線根，截成長的導線 根.
根據題意，得.所以 .因為
,所以.又因為是正整數，所以 的值為
1,2,3,4,5,6,7.即截取方案共有7種.
返回
13. 甲、乙兩人共同解關于, 的方程組
解完以后有下面一段對話，請認真閱讀對
話內容，然后求出 的值.
【解】把代入②，得，解得 .
把代入①，得，解得 .
所以 .
返回
14.已知二元一次方程 .
（1）直接寫出它所有的正整數解；
【解】正整數解有
（2）請你寫出一個二元一次方程，使它與已知方程組成的
方程組的解為
符合題意的二元一次方程為 .（答案不唯一）
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15. 定義：把（其中， 是常
數，， 是未知數）這樣的方程稱為“優美二元一次方程”.當
時，“優美二元一次方程”中 的值稱為“優
美二元一次方程”的“優美值”.例如：當 時，“優美二元
一次方程”化為，解得 ，
故其“優美值”為4.
（1）求“優美二元一次方程” 的“優美值”.
【解】當時，“優美二元一次方程” 化為
，解得，故其“優美值”為 .
（2）若“優美二元一次方程”的“優美值”是 ，
求 的值.
當時，“優美二元一次方程” 化為
，把代入，得 .
（3）是否存在，使得“優美二元一次方程” 與“優
美二元一次方程” 的“優美值”相同？若存在，
請求出 的值及此時的“優美值”；若不存在，請說明理由.
存在.當時，“優美二元一次方程” 化為
，解得，故其“優美值”為 .
當時，“優美二元一次方程” 化為
，解得，故其“優美值”為 .
假設“優美值”相同，則，解得 ，
所以,即存在滿足題意的，且的值為，“優美值”為 .
返回

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