資源簡介

(共27張PPT)
第八章 整式的乘法
8.5 乘法公式
第1課時 平方差公式
1. [2024宿遷校級期中] 下列各式中不能用平方差公式計算的
是( )
D
A. B.
C. D.
2. [2024廊坊模擬] 下列運算正確的是( )
B
A.
B.
C.
D.
返回
3. [2024保定校級月考] 如圖，邊長為 的正方形紙片
剪出一個邊長為 的正方形之后，將剩余部分剪拼成一個長
方形（不重疊,無縫隙），若拼成的長方形一邊長為3，則另
一邊長是( )
A
A. B. C. D.
返回
4. 已知 ,則
的值為( )
A
A. 13 B. 3 C. D. 5
【點撥】 ，
.
.
返回
5. 已知，，則與 的大小關
系是( )
A
A. B. C. D. 不能確定
【點撥】 ，
，
.
返回
6.[2024秦皇島期末] 若，，則
___.
7. 已知，則
的值為___.
5
1
【點撥】, 原式
.
返回
8.計算：
（1） ;
【解】原式 .
（2） .
原式
.
返回
9. 教材P96習題T23 先化簡，再求值：
，其中
.
【解】
.
當時，原式 .
返回
10. [2024石家莊藁城區模擬] 當 為正整數時，代數式
一定是下面哪個數的倍數( )
D
A. 3 B. 5 C. 7 D. 8
【點撥】，故當 是正整數時，
是8的倍數.故選D.
返回
11. 若，則 ( )
A
A. 3 B. 6 C. D.
【點撥】若 ，則
，因為，所以 .故選A.
返回
12. 如圖，若大正方形與小正方形的面積
之差是30,則陰影部分的面積是( )
A
A. 15 B. 20 C. 30 D. 35
【點撥】設大正方形的邊長為 ,小正方形
的邊長為,則.由題意可知 .陰影部分
的面積是 .
返回
13.小亮在計算
的值時，
把的值看錯了，其結果等于25，細心的小敏把正確的 的值
代入計算，其結果也是25.為了探究明白，她又把
代入，結果還是25，則 的值為____.
【點撥】
.由題
意,得， .
返回
14. _ _____.
【點撥】
.
返回
15. 若一個正整數能表示為兩個正整數的平
方差，則稱這個正整數為“智慧數”（如 ，
）.已知“智慧數”按從小到大順序構成如下數列：
3，5，7，8，9，11，12，13，15，16，17，19，20，21，
23，24，25， ，則第2 025個“智慧數”是_______.
2 703
【點撥】觀察可知，智慧數按從小到大順序可按3個數分一
組，從第2組開始每組的第一個數都是4的倍數，第二個數比
第一個數大1,第三個數比第一個數大 第 組的第一個數為
（，且 為正整數）.
， 第2 025個智慧數是第675組中的第三
個數，即為 .
返回
16.[2024石家莊橋西區模擬] 【發現】若兩個已知正整數之差
為奇數，則它們的平方差為奇數.若兩個已知正整數之差為偶
數，則它們的平方差為偶數.
【驗證】 ____, ____；
21
40
【探究】 設【發現】中的兩個已知正整數為,
（兩數之差為 ）,請說明【發現】中的結論的正確性.
【解】 .
當為奇數時，因為為偶數，所以 為奇數，所以
為奇數；
當為偶數時，因為為偶數，所以 為偶數，所以
為偶數.
若兩個已知正整數之差為奇數,則它們的平方差為奇數.若
兩個已知正整數之差為偶數,則它們的平方差為偶數,即【發
現】中的結論是正確的.
返回
17.【問題】如圖是由邊長為的正方形剪去一個邊長為 的小
正方形后余下的圖形.把圖剪開后，再拼成一個四邊形，可以
用來驗證公式 .
【操作】 請你通過對圖的剪拼，畫出三種不同拼法的示意
圖.（要求：①拼成的圖形是四邊形；②在圖上畫剪切線
（用虛線表示）；③在拼出的圖形上標出已知的邊長）
【解】三種不同拼法的示意圖如圖①②③.（答案不唯一）
【驗證】 選擇【操作】中一種拼法的示意圖，
寫出驗證上述公式的過程.
利用圖①驗證.
因為拼接前后的兩個圖形面積相等，拼接前
的面積，拼接后的面積 ,
所以 .
返回
18. 閱讀下面的問題：你能化簡
嗎？我們不妨先從簡單情況
入手，發現規律，歸納結論.
（1）填空：
① _______；
② _______；
【點撥】原式 .
③ _______；
【點撥】原式 .
④由此猜想 _________；
（2）利用得出的結論計算：
__________.
【點撥】原式
.
返回(共12張PPT)
第八章 整式的乘法
專題12 整式的化簡求值
類型1 化簡原式后直接代入求值
1.[2024蘇州校級月考] 先化簡再求值：
，其中， .
【解】
原式
.
當， 時，原式
.
返回
類型2 求出字母的值后代入求值
2.已知 ，則
_____.
【點撥】原式
，
解得 當， 時，原式
.
返回
類型3 整體代入求值
3.已知 ，求代數式
的值.
【解】
原式 .
因為，所以 .
所以原式 .
返回
4.已知， .
（1）求 的值；
【解】，， ，
.
（2）求代數式
的值.
.
， 原式 .
返回
類型4 取特殊值代入求值
5.已知 .
（1）求 的值;
【解】令,則 ,
.
（2）求 的值.
令,則 ,
.①
由（1）得 .②
,得, .
返回
類型5 利用“無關”求值
6.[2024唐山期中] 已知 ，
，且的值與的取值無關，求 的值.
【解】
， ，
.
的值與的取值無關， .
返回
【解】
原式=9a2+6ab+b2-(9a2-b2
-6b2
=9a2+6ab+b2-9a2+b2-6b2
6ab
-4b
-3b=-
2時，原式
=6×(-)×(-2)-4×(-2)2=4-16=-12.
【點撥】原式
3a2b (2ab2 2ab 3a2b ab)3a2b 2ab2
3a2b+ab=-2ab2+ab.:la-2|+(b+3)2=0,
份+子=8解得-2當a=2,b=-3時，原式
=-2×2×(-3)2+2×(-3)=-36-6=-42.
(x+y+2)2+(x-y-2(x-y+2)-2(x+y)
(x2+y2+2+2xy+2xz+2yz)+Ic-y-2]
yz
+y2=
20,.原式=20
解】
:A=
(2x+1)(x-2)-x(1-3m),B=-x2+mx
一1
A+2B=(2x+1)(x-2)-x(1-3+2(-x2+mx
-1
2x2-4x+x-2-x+3mx-2x2+2mx-2
(5m-4)x-4
:A+2B的值與x的取值無關，5m一4=0.m=
44
5(共12張PPT)
第八章 整式的乘法
專題9 運用冪的運算法則巧計算的
三種常見類型
類型1運用同底數冪的乘法法則計算
題型1 底數是單項式的同底數冪的乘法
1.計算：
（1） ____；
（2） ______.
返回
題型2 底數是多項式的同底數冪的乘法
2. 教材P76習題T4 計算：
（1） _________；
（2） __________.
返回
題型3 同底數冪的乘法法則的應用
3.（1）已知：，，求 的值;
【解】， ，
.
（2）已知：，求 的值.
， ，
.
返回
類型2 運用冪的乘方法則計算
題型4 運用冪的乘方法則求字母的值
4.若（且，，是正整數），則 .
利用上面的結論解決下面的問題：
（1）如果，求 的值；
【解】， ，
，， ，
，解得， 的值為4.
（2）如果，求 的值.
，
，， .解得
的值為2.
返回
題型5 運用冪的乘方法則求等量關系
5. [2024保定校級月考] 已知，， ，那
么，， 滿足的等量關系是( )
C
A. B.
C. D.
【點撥】，， ，
，， ，
.
返回
題型6 運用冪的乘方法則解方程
6. 規定新運算“*”： ，
如： .
（1）求 的值；
【解】由可得 .
（2）若，求 的值.
由可得 .
， ,
，解得 .
返回
類型3 運用積的乘方法則計算
題型7 逆用積的乘方法則計算
7.用簡便方法計算：
.
【解】
.
返回
題型8 運用積的乘方法則求式子的值
8.已知，，求 的值.
【解】由，，得 ，
.
.
返回(共23張PPT)
第八章 整式的乘法
專題11 活用乘法公式的八大技巧
技巧1 巧用乘法公式的變形求式子的值
1. 教材P108復習題T13 已知， .求：
（1） 的值；
【解】， ，
.
（2） 的值.
，， ，
.
.
返回
技巧2 巧用乘法公式進行簡便運算
2. 教材P108復習題T17 計算：
（1） ；
【解】原式
.
（2） .
原式 .
返回
技巧3 巧用乘法公式解決整除問題
3. 教材P108復習題T19 可以被60至70之間的哪
兩個整數整除
【解】
,
可以被65和63整除.
返回
技巧4 巧用乘法公式進行計算
4.如圖①，從邊長為的大正方形中剪掉一個邊長為 的小正
方形，將陰影部分沿虛線剪開，拼成圖②的長方形.
（1）比較兩圖的陰影部分面積，可以得到乘法公式：
_____________________________（用字母表示）；
【解】
（2）請應用這個公式完成下列各題.
① 的結果是
____；
【點撥】
.
②計算： ；
.
③計算： .
.
返回
技巧5 巧用乘法公式解決換元問題（換元法）
5.計算： .
【解】
設 ,則原式
.
返回
技巧6 巧用乘法公式解決規律問題
6. 在“趣味數學”的社團活動課上，小白同
學給大家分享了一個自己發現的關于8的倍數和最近學方差公式之間的有趣關系.小白同學的具體探究過程如下，
請你根據小白同學的探究思路，解決下面的問題：
（1）觀察下列各式并填空： ,
,,,
_____, ___, ；
6
（2）通過觀察、歸納，請你用含字母（ 為正整數）的等
式表示（1）中各式所反映的規律；
【解】通過觀察、歸納，可得 .
（3）請驗證（2）中你所寫的規律.
.
返回
技巧7 巧用乘法公式解決實際問題
7.某學校分為初中部和小學部，初中部的學生人數比小學部多.
做廣播操時，初中部排成的是一個規范的長方形方陣，每排
人，站有 排；小學部站的方陣，排數和每排
人數都是 .試求該學校初中部比小學部多多少名學生.
【解】
該學校初中部學生人數為
，
小學部學生人數為
，
該學校初中部比小學部多的學生數
.
答：該學校初中部比小學部多 名學生.
返回
技巧8 巧用乘法公式解決最值問題
8.在學習乘法公式 的運用時，我們
常用配方法求最值.
例如：求代數式 的最小值，總結出如下解答方法：
解： .
，
當時， 的值最小，最小值是0.
.
當時， 的值最小，最小值是1.
的最小值是1.
根據閱讀材料用配方法解決下列問題：
（1）若，當____時， 有最____值
（填“大”或“小”）是____；
【點撥】 ，
當 時，
的值最小，最小值是 當
時，的值最小，最小值是 當
時，有最小值,最小值是 .
小
（2）已知，，是三角形 的三邊長，滿足
，且的值為代數式
的最大值，求該三角形的周長；
【解】 ，
.
.
，， .
,
當時，代數式有最大值,最大值是 .
.此時該三角形的周長是 .
（3）已知，求 的最小值.
， .
當時， 的最小值為19.
返回(共20張PPT)
第八章 整式的乘法
測素質 冪的運算
［時間：60分鐘 分值：100分］
一、選擇題（每小題3分，共24分）
1. 計算 的結果為( )
D
A. B. C. D.
2. [2024石家莊裕華區期中] 式子 可表
示為( )
C
A. B. C. D.
返回
3. [2024眉山] 下列運算中正確的是( )
B
A. B.
C. D.
4. 若，，則 等于( )
B
A. B. C. D.
5. 已知，則 ( )
D
A. B. C. D.
返回
6. 已知，則 ( )
C
A. 2 B. C. D.
【點撥】，， ，
.
返回
7. 若，，， ，則( )
B
A. B.
C. D.
【點撥】，， ，
， .故選B.
返回
8. 已知下列式子：， ，
，，，， .觀察個位數字的
變化情況， 的個位數字是( )
A
A. 2 B. 4 C. 8 D. 6
【點撥】仔細觀察，，，， ,
可以發現它們的個位數字按2,4,8,6循環.
，與 的個位數字相同,是2.
故選A.
返回
二、填空題（每小題4分，共16分）
9.計算： ___________.
10.已知，且比大3，則 的值為____.
40
【點撥】， ，
即.又， 可得方程組 解
得 .
返回
11.已知，，，那么，， 滿足的
等量關系是____________.
【點撥】， ，
，
, .
返回
12. 現有若干張卡片，分別寫有1， ，4，
，16，， ，小明從中取出三張卡片，要滿足三張
卡片上的數的乘積為，其中三數之和的最大值記為 ，
最小值記為，則 的值等于______.
【點撥】由題意知，卡片上的數為，， ，
，，， 三張卡片上的數的乘積為
， 使三數之和最大的三個數為，， ，
使三數之和最小的三個數為，， ，
，
， .
返回
三、解答題（共60分）
13.（12分）計算：
（1） ；
【解】原式 .
（2） ；
原式 .
（3）
原式
.
返回
14.（8分）[2024北京朝陽區校級期中] 若 ，
求 的值.
【解】， ，
.
返回
15.（12分）在冪的運算中規定：若（ 且
，，是正整數），則 .利用上面結論解答下列問
題：
（1）若，求 的值；
【解】，，，解得 .
（2）若，求 的值.
， .
，，解得 .
返回
16.（12分） 閱讀下列材料：
若，，且,,比較， 的大小.
解： ，
， ，
, ,
.
依照上述方法解答下列問題：
（1）已知，，試比較與 的大小;
【解】 ，
，， ，
.
（2）已知，，且，，試比較，
的大小.
， ，
，
，， .
返回
17.（16分） 規定兩數， 之間的一種運算，
記作，如果，則.我們叫 為“雅
對”.例如：因為，所以 .我們還可以利用“雅對”
的定義說明等式 成立：
設，，則， ，
所以 ，
所以 ，
即 .
（1）填空：___；（____，） ；
（2）計算： _______，并說明理由；
3
理由：設，，則， ，
.
，即 .
（3）利用“雅對”的定義說明： ，對于任意非
0整數 都成立.
【解】設，，， ，
，即， ，
，
即，對于任意非0整數 都成立.
返回(共23張PPT)
第八章 整式的乘法
測素質 整式的乘法和乘法公式
［時間：60分鐘 分值：100分］
一、選擇題（每小題4分，共32分）
1. 計算 的結果是( )
C
A. B. C. D.
2. 計算 的結果是( )
D
A. B.
C. D.
返回
3. 下列計算正確的是( )
B
A.
B.
C.
D.
4. 已知，，則 ( )
B
A. 9 B. 1 C. 5 D. 7
【點撥】 ，
，故選B.
返回
5. 已知,滿足方程組 則
的值為( )
A
A. B. 4 C. 5 D. 25
返回
6. 如果的展開式中不含 項，那
么 的值是( )
B
A. 1 B. C. 2 D.
【點撥】 展開式中不含 項，
，解得 .
返回
7. [2024天津河北區期末] 通過計算圖中陰影
部分的面積，可以驗證的等式為( )
A
A.
B.
C.
D.
【點撥】圖中陰影部分面積可以表示為 ，還可以表示
為, 可以得到等式
.故選A.
返回
8. [2024深圳校級月考] 已知,, , 均為正數，且滿
足 ,
,則
, 之間的關系是( )
A
A.
B.
C.
D. 視,, , 具體取值而定
【點撥】設 ,則
,
,所以.因為, 均為正數，所以
.所以 .
返回
二、填空題（每小題4分，共16分）
9.若是一個完全平方式，則 ____.
10. 已知，則
的值等于____.
【點撥】， ，
.
返回
11.如圖，點是線段上的一點，以 ，
為邊向兩邊作正方形，設 ，兩正
方形的面積和 ，則圖中陰影部
分的面積為___.
6
【點撥】
，
，， .易得
， .
返回
12. 為了書寫簡便，18世紀數學家歐拉引進了
求和符號“”（其中，且和 表示正整數），例如：
,
，若
，則___， _____.
4
【點撥】
， ，
.
返回
三、解答題（共52分）
13.（12分）計算：
（1）[2024重慶] ；
【解】原式 .
（2） ；
原式
.
（3） .
原式 .
返回
14.（10分）[2024唐山期末] 已知代數式：
.
（1）化簡這個代數式；
.
（2）若 ，求原代數式的值.
，，即 .
原式 .
返回
15.（12分） 觀察算式，解答下列問題：
第1個式子：
第2個式子： ,
第3個式子： ________.
（1）觀察算式規律，補全第3個式子；
【解】
（2）寫出第 個式子，并利用所學知識驗證你的結論；
由（1）可得
.驗證如下:
.
（3）利用發現的規律，直接寫出第11個式子.
.
返回
16.（18分） 圖①是一個長為，寬為 的
長方形，沿圖中虛線剪開，然后按圖②的方式拼成一個正方形.
（1）圖②中陰影部分的面積為_______________.
【解】
（2）觀察圖②，三個代數式,， 之間的
等量關系是__________________________.
（3）若，，求 的值.
， ,
.
.
（4）觀察圖③，你能得到怎樣的代數恒等式呢？
由圖形的面積相等可得 .
（5）畫一畫：試畫出一個幾何圖形，使它的面積能表示
.
由 可知，所畫長方形的兩
個相鄰邊長為和 ,里邊的小圖形有八個，一個面
積為，4個面積為，3個面積為 .
畫圖如圖（答案不唯一）.
返回(共14張PPT)
第八章 整式的乘法
8.1 同底數冪的乘法
1. 下列各項中，兩個冪是同底數冪的是( )
D
A. 與 B. 與
C. 與 D. 與
2. 教材P75例1 計算 的結果是( )
B
A. B. C. D.
返回
3. [2024邯鄲期末] 在等式中，“ ”所表示的代數
式為( )
A
A. B. C. D.
返回
4. 下列四個算式：； ；
； .其中正確的有( )
A
A. 0個 B. 1 C. 2個 D. 3個
【點撥】，故①錯誤;與 不是同類項，
不能合并，故②錯誤; ，故③錯誤;
,故④錯誤，故選A.
返回
5.若，則 的值為_______.
2 025
【點撥】， ，
.
返回
6. 已知，則 的值為____.
16
【點撥】， ，
.
返回
7.計算：
（1） ；
【解】原式 .
（2） .
原式
.
返回
8. 《孫子算經》中記載：“凡大數之法，萬萬
曰億，萬萬億曰兆.”說明了大數之間的關系：1億萬 萬，
1兆萬萬 億，則1兆等于( )
C
A. B. C. D.
【點撥】億萬萬,億 兆
萬萬億，兆 .
返回
9. 當，為正整數時， 的值為( )
A
A. 正數 B. 負數 C. 非正數 D. 非負數
【點撥】， ，
.故選A.
返回
10. 已知，， 為正整數，且滿足
，則 的取值不可能是( )
D
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
【點撥】根據題意得， ，
，為正整數， 當時，；當 時，
；當時， 或
或
不可能為8.故選D.
返回
11. 據生物學統計，一個健康的成年女子體
內的血量一般不低于 毫升，每毫升血中紅細胞的數量
約為 個，那么一個健康的成年女子體內的紅細胞一
般不低于___________個.
12.若，則 ___.
1
【點撥】， ，
，解得 .
返回
13.（1）已知，且 ，求
， 的值；
【解】
， ，
， ，
解得
（2）已知，求 的值.
當時， .
返回
14. 我們知道，同底數冪的乘法法則為
（， 為正整數），類似地，我們規定關于
任意正整數，的一種新運算： .比
如若，則 .若
，則 的結果是( )
C
A. B.
C. D.
【點撥】， ，
.
返回(共14張PPT)
第八章 整式的乘法
8.2 冪的乘方與積的乘方
第1課時 冪的乘方
1. [2024滄州模擬] 的結果表示( )
C
A. 5個的積 B. 9個的積 C. 6個的積 D. 6與 的積
2. 若，，則 的值為( )
D
A. 8 B. 10 C. 12 D. 18
【點撥】， ，
.故
選D.
返回
3. 已知，，， ，則這
四個數的關系，正確的是( )
C
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【點撥】， ，
， ，
.故選C.
返回
4. [2024常州武進區校級月考] 已知，則， 滿足
的關系正確的是( )
B
A. B. C. D.
【點撥】 ，
.故選B.
返回
5.計算： ____.
6. 計算得，則, 的值可以是
__________________.
7.一個正方體的棱長為 ，則這個正方體的體積為_____
（結果寫成冪的形式）.
3,2（答案不唯一）
返回
8. 教材P79習題 計算：
（1） ；
【解】原式 .
（2） .
原式 .
返回
9. 若，則 的值為( )
C
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【點撥】， ，
，解得 .故選C.
返回
10.已知，則 的值為____.
返回
11. 定義：
， .若 ，則
的值為____.
32
【點撥】根據題意得， ，
， .
返回
12.在冪的運算中規定：若（且，， 是
正整數），則 .利用上面的結論回答下列問題：
（1）若，則 ___；
4
【點撥】，，， ，
.
（2）若，則 ___.
2
【點撥】， ，
，， .
返回
13.[2024無錫期中] 小華的數學老師在數學課上給學生歸納了
如下結論：“冪的形式的數之間的大小比較，可以通過統一底
數，比較指數或者統一指數，比較底數來確定數之間的大小
關系.”
請結合你的理解解答下列問題：
（1）比較與 的大小；
【解】，， ,
， .
（2）比較與 的大小.
， ，
,, .
返回(共24張PPT)
第八章 整式的乘法
8.5 乘法公式
第2課時 完全平方公式
1. 下列各式可利用完全平方公式計算的是( )
D
A. B.
C. D.
2. 已知，那么 的值是( )
A
A. B. 4 C. D. 2
返回
3. [2024無錫期中] 下列各式中計算正確的是( )
A
A.
B.
C.
D.
4. 比較與 的大小，敘述正確的是( )
A
A. B.
C. 由的大小確定 D. 由 的大小確定
【點撥】， .
返回
5.如果多項式是完全平方式，那么 的值是
_____.
【點撥】 多項式 是完全平方式，
.
返回
6. 如圖，在邊長為 的大正
方形內放入三個邊長都為 的小正方
形紙片，這三張紙片沒有蓋住的面積是 ，
則 的值為___.
4
【點撥】三張紙片沒有蓋住的面積為
.
返回
7.若，則 的值為____.
13
【點撥】， ，
， ，
， ，即
， .
返回
8. 教材P98練習T1 計算：
（1） ;
【解】原式
.
（2） .
原式
.
返回
9. 教材P98練習T2 用簡便方法計算：
（1） ；
【解】原式
.
（2） .
原式 .
返回
10.[2024秦皇島期末] 先化簡，再求值：
，其中， .
【解】
.
當， 時，原式
.
返回
11. [2024承德期末] 小明在利用完全平方公式計算一個二項
式的平方時，不小心用墨水把中間一項的系數染黑了，得到
正確的結果為 ，則中間一項的系數是( )
C
A. 12 B. C. 12或 D. 36
【點撥】 ，
中間一項的系數是12或 .故選C.
返回
12. 小明將展開后得到 ；
小亮將展開后得到 ，若兩
人計算過程無誤，則 的值為( )
C
A. 2 025 B. 2 026 C. 4 051 D. 1
【點撥】 ，
，
，
.故選C.
返回
13.[2024上海閔行區校級期中] 已知多項式 加上一個
單項式后能成為一個完全平方式，試寫出這個單項式
__________________（寫出一種即可）.
（答案不唯一）
返回
14. 觀察下列各式及其展開式：
；
；
；
；
…
請你猜想 的展開式倒數第二項的系數是_______.
2 025
【點撥】由題可得,
的展開式倒數第二項的系數是2，
的展開式倒數第二項的系數是3，
的展開式倒數第二項的系數是4，
的展開式倒數第二項的系數是5，
…
的展開式倒數第二項的系數是 .
的展開式倒數第二項的系數是2 025.
返回
15.【背景】對于完全平方公式 中的
三個代數式：，和 ，若已知其中任意兩個代
數式的值，則可求第三個代數式的值.由此解決下列問題：
【應用】
（1）若，，則 的值為____；
【點撥】， ，
.
【遷移】
（2）如圖，在長方形 中，
，，點， 分別
是邊， 上的點，且
，分別以， 為邊
在長方形外側作正方形
和正方形，若長方形 的
面積為60，求圖中兩個正方形的面積之和.
【解】， ，
，
， .
長方形 的面積為60，
.
.
圖中兩個正方形的面積之和為136.
返回
16. 【閱讀材料】
求 的最小值.
解： .
因為的值為非負數，所以 的最小值為2，
即 的最小值為2.
【問題解決】
（1）對于多項式，當, 取何值時有
最小值？
【解】
.
和 的結果都為非負數，
當,時， 有最小值,最小
值為3.
（2）若，求 的值.
，
.
.
與 的值都是非負數，
,, .
（3）多項式 是否有最大值或最小值？若有，
則求出最值；若沒有，請說明理由.
多項式 有最大值.
.
, .
.
多項式有最大值，最大值是 .
返回(共12張PPT)
第八章 整式的乘法
8.6 科學記數法
1. 2024年6月6日，嫦娥六號在距離地球
約 外上演“太空牽手”，完成月球軌道的交會對接.
數據384 000用科學記數法表示為( )
B
A. B.
C. D.
返回
2. 刻蝕機是芯片制造和微觀加工最核心的設備之一，中國自
主研發的5納米刻蝕機已獲成功，5納米就是 米.
數據 用科學記數法表示為( )
B
A. B.
C. D.
返回
3. 水質指紋污染溯源技術是一項水環境監管
技術，被稱為水環境治理的“福爾摩斯”，經測算，一個水分
子的直徑約有，數據 用科學記數
法表示為，則 的值為____.
返回
4. 中國信息通信研究院測算， 年，
中國 商用帶動的信息消費規模將超過8萬億元，直接帶動
經濟總產出達10.6萬億元.其中數據10.6萬億用科學記數法表
示為___________.
【點撥】10.6萬億 .
返回
5. 已知的氫氣質量約為 .
（1）用科學記數法表示 的氫氣質量.
【解】 .
（2） 的氫氣質量為多少克（結果用科學記數法表示）？
.
答:的氫氣質量為 .
返回
6. [2024唐山模擬] “中國天眼”是目前世界上最大單口徑、最
靈敏的射電望遠鏡.從理論上說，“中國天眼”能接收到137億
光年以外的電磁信號，這個距離接近宇宙邊緣.已知1光年
，結合估算，把137億光年用科學記數法表
示為，則 的值為( )
C
A. 15 B. 16 C. 23 D. 24
【點撥】137億光年 億
， .故選C.
返回
7. 河北省物產豐富，土地遼闊，土地面積約
為19萬平方千米.將19萬用科學記數法表示為 ，關
于 的描述，下列說法正確的是____（填序號）.
為負數；② ；
③ 等于19萬的整數位數；
④當 增加1時，原數擴大為原來的10倍.
④
【點撥】萬用科學記數法表示為 ，
選項錯誤，不符合題意； 當 增加1時，
原數擴大為原來的10倍，④正確，符合題意.
返回
8. 根據有關理論，當一顆恒星衰老時，其中
心的燃料（氫）已經被耗盡，在外殼的重壓之下，核心開始
坍縮，直到最后形成體積小、密度大的星體.如果這一星體的
質量超過太陽質量的三倍，那么就會引發另一次大坍縮.當這
種收縮使得它的半徑達到施瓦氏半徑后，其引力就會變得相
當強大，以至于光也不能逃脫出來，從而成為一個看不見的
星體——黑洞.施瓦氏半徑（單位： ）的計算公式是
，其中 ，為萬有引力常
數，表示星球的質量（單位：）， ，為
光在真空中的速度.已知太陽質量為 ，計算太陽的
施瓦氏半徑（結果保留三位有效數字）.
【解】
.
答：太陽的施瓦氏半徑約為 .
返回(共11張PPT)
第八章 整式的乘法
專題10 整式乘法的基本運算
運算1 整式的計算
1.計算：
（1） ；
【解】原式 .
（2） .
原式 .
返回
運算2 化簡求值
2. 教材P107復習題T5 先化簡，再求值：
，其中， .
【解】
.
當，時，原式 .
返回
運算3 解方程
3. 教材P92習題T4 解方程：
.
【解】
根據題意，得 ,
移項、合并同類項，得 ,
系數化為1,得 .
返回
運算4 整體代入求值
4.若滿足，求 的值.
解：設，，則 ，
，
.
，即 .
請仿照上面的方法求解下面的問題：
（1）若滿足 ，求代數式
的值；
【解】設， ，
則， ，
.
，即 .
（2）若滿足，求代數式 的值.
設， ，
則 ，
， .
，， .
.
返回
運算5 求待定系數的值
5.若多項式與的積中不含項與 項.
（1）求， 的值；
【解】
.
上式不含項與 項，
，， .
（2）求式子 的值.
當， 時，
.
返回
【解】
3x-y)2-(x+y)(x-y)-2y2
9x
2-6x+y2-(x2-y
9x2
6xy
8x2
當x-,y=-1時，原式=8×(-6××(-1)=5
設6-x=a,4一x=b,
則ab=(6-x)(4一)=8！
a-b=(6-x)-(4-x)=2,a+b=10-2x.
(a-b)2=a2-2ab+b2=4,ab=8,.a2+b2=20
.(10-2x)2=(a+b)2=a2+2ab+b2=20+2X8=36.
【解】(x+3p(x2-x+q)
x3-x2+39x+3 x2-3px+p9
x3+(3p-1)x2+(-3p)x+p4.
上式不含x項與x2項
3p-1=0,4
3p=0.p=
7=3.(共16張PPT)
第八章 整式的乘法
專題8 冪的運算的六大技法
技法1 直接利用冪的運算法則計算
1.計算：
（1） ；
【解】原式 .
（2） ；
原式 .
（3） ；
原式 .
（4） .
原式 .
返回
技法2 逆用冪的運算法則簡便計算
2.用簡便方法計算：
（1） ；
【解】原式 .
（2） .
原式 .
返回
技法3 運用冪的運算法則求值
3.已知， .
（1）求 的值；
【解】， ，
.
（2）求 的值.
， ，
.
返回
4.已知， .
（1）當時，求 的值；
【解】因為, ,
所以 .
所以 .
因為,所以 .
（2）求 的值.
由（1）知 ,所以
.
返回
技法4 運用冪的運算法則比較大小
類型1 底數比較法
5.閱讀下列解題過程：
試比較與 的大小.
解：， .
， ,
.
請根據上述方法，解答下面問題：
已知，，，請把，， 按從大到小
的順序排列.
【解】 ，
， .
,
， .
返回
類型2 指數比較法
6. 已知：，， ，試
比較，， 的大小關系.
【解】， ，
， .
，， .
返回
類型3 乘方比較法
7. 閱讀下列材料：
若，，比較， 的大小.
解： ，
， ，
， .
依照上述方法解答下列問題：
已知，，試比較與 的大小.
【解】， ，
，， .
返回
技法5 利用冪的運算法則判斷正整數位數、個位數字
8.試判斷 的結果是一個幾位正整數.
【解】原式 ，
故 的結果是一個9位正整數.
返回
9.下面是3的正整數次冪的運算，，， ，
，，，，, .
觀察歸納各計算結果中個位數字的規律，求 的運算結果
的個位數字.
【解】由,,,,, ,
,, 可知,等號右邊個位數字依次以
3,9,7,1循環.
, 的運算結果的個位數字為9.
返回
技法6 利用冪的運算法則說明整除問題
10.（ 為正整數）能被13整除嗎？
請說明理由.
【解】 能被13整除.理由如下：
.
因為 為正整數，
所以 是正整數.
所以 能被13整除.
返回(共23張PPT)
第八章 整式的乘法
8.4 整式的乘法
第2課時 單項式乘多項式
1. 計算： ( )
A
A. B.
C. D.
返回
2. 如圖，有一邊為 的三個長方形拼在一
起，用不同的方法表示整個圖形的面積可以說明下列哪個等
式成立( )
A
A.
B.
C.
D.
返回
3. 多項式與 的關系是
( )
A
A. 相等 B. 互為相反數
C. 前式是后式的倍 D. 前式是后式的 倍
【點撥】 ，
， 兩式相等.故選A.
返回
4.若，則 ___.
8
【點撥】， ，
，， .
返回
5.數學課上，老師講了單項式與多項式相乘，回到家，小麗
拿出課堂筆記復習，突然發現一道題：
,“ ”的地方被墨水
污染了，則“ ”的位置應是___.
返回
6. 教材P88例3 計算：
（1） ；
【解】
.
（2） .
.
返回
7.若為自然數，那么式子 能否被3整除？
【解】原式 ,則式子
能被3整除.
返回
8.已知有理數,,滿足 ,
先化簡，再求值： .
【解】 .
由 ,得
解得
原式 .
返回
9. 已知,則 的值是
( )
D
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
返回
10. [2024保定期末] 要使中不含有
的四次項，則 等于( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【點撥】原式
中不含有的四次項，，解得 .故選B.
B
返回
11. 某同學在計算一個多項式乘 時，因抄錯運算符號，算
成了加上,得到的結果是 ,那么正確的計算結
果是( )
A
A. B.
C. D.
【點撥】設這個多項式為, 計算一個多項式乘 時，因
抄錯運算符號，算成了加上,得到的結果是 ,
,
, 正確的結果為
,故選A.
返回
12. 的結果中次數是10的項的系數是
____.
【點撥】 ，
所以次數是10的項是，其系數是 .
返回
13. 定義： 表示 ，
表示 ，則 × 的結果為_____________
______.
返回
14. 一條防洪堤壩，其橫斷面是梯形，上底寬
，下底寬，壩高 .
（1）求防洪堤壩的橫斷面面積.
【解】防洪堤壩的橫斷面面積為
.
（2）如果防洪堤壩長 ，那么這段防洪堤壩的體積是多
少立方米？
這段防洪堤壩的體積為
.
返回
15. 閱讀下面的解題過程，并解決問題：
已知，求 的值.
分析：考慮到， 的可能值較多，不能逐一代入求解，故考
慮整體代入思想，將 整體代入.
解：
.
你能用上述方法解決以下問題嗎？試一試！
（1）已知，求 的值；
【解】
.
， 原式
.
（2）已知，求代數式 的值.
， ，
原式 .
返回
16.[2024滄州期中] 將7張相同
的小長方形紙片（如圖①）按
圖②的方式不重疊地放在長方
形 內，未被覆蓋的部分
恰好能分割為兩個長方形，面
積分別記為，，已知小長方形紙片的長為，寬為 ，且
.
（1）當時，用含，的式子表示， ；
【解】當時， ，
.
（2）若長度不變， 變長，
將這7張小長方形紙片還按照
同樣的方式放在新的長方形
內，而 的值總保
持不變，求， 滿足的數量關
系.
，
變長， 的值總保持不變，
，解得.即,滿足的數量關系是 .
返回(共31張PPT)
第八章 整式的乘法
全章熱門考點整合應用
考點1 冪的運算
1. [2024福建] 下列運算正確的是( )
B
A. B.
C. D.
2.（1） ___；
（2） ___.
0
0
返回
3.（1）已知，求 的值；
【解】， .
.
（2）已知，，求 的值.
，， .
返回
4.數學探究活動課上，同學發現由冪的運算逆向思維可以得
到， ，
，在解題過程中，根據算式的結構特
征，逆向運用冪的運算法則，常可以化繁為簡，化難為易，
使問題巧妙解決.
（1）若，求 的值；
【解】 ，
.
.
.
,
即，解得 .
（2）若，，，試比較，， 的大小
關系.
將式子化為相同次冪，
得， ，
.
，
，即 .
返回
考點2 整式的運算
5. [2024邯鄲期末] 若，則
的值為( )
C
A. 5 B. 2 C. D.
6.若，則代數式 的值
是________.
【點撥】
,, .
返回
7.已知代數式化簡后，不含 項和
常數項，求 的值.
【解】
.
代數式化簡后不含項和常數項， ,
.解得,， .
返回
8.[2024邯鄲期中] 先化簡再求值：
，其中
， .
【解】
原式.當，時，原式 .
返回
9.[2024張家口期中] 嘉嘉計算一道整式乘法的題：
,由于嘉嘉在解題過程中，抄錯了第一個多
項式中前面的符號，把“-”寫成了“ ”,得到的結果為
.
（1）求 的值；
【解】由題意得
,
.
, .
（2）計算這道整式乘法的正確結果.
.
返回
考點3 乘法公式
10. [2024成都] 下列計算正確的是( )
D
A. B.
C. D.
返回
11.計算：
（1） ；
【解】原式
.
（2） .
原式 .
返回
12.求 的個位數字.
【解】
原式 .
的個位數字是2,的個位數字是4,的個位數字是8, 的
個位數字是6,的個位數字是2, ,
的整數次冪的運算結果的個位數字以2,4，8,6循環.
是4的倍數， 的個位數字是6.
的個位數字是7.
返回
13.在數學中，通常可以運用一些公式來解決問題.比如，運
用兩數和的完全平方公式 ，能夠在
三個代數式，， 中，當已知其中任意兩個代
數式的值時，求出第三個代數式的值.例如：已知 ，
，求 的值.
解： ，
，即 .
， .
請根據以上信息，解答下列問題.
（1）已知，，則 ___;
8
（2）如圖，已知兩個正方形的邊長分別為
,，若， ，求圖中陰影部
分的面積;
【解】圖中陰影部分的面積
.
，，即 .
，，即 ，
圖中陰影部分的面積 .
（3）若 ，求
的值.
令， ，
則 .
， .
.
返回
考點4 與整式乘法有關的規律探究
14. 我國宋朝數學家楊輝在他
的著作《詳解九章算法》中提出“楊輝三角”
（如圖），此圖揭示了（ 為非負整
數）展開式的項數及各項系數的有關規律.
例如： ，它只有一項，系數為1；
，它有兩項，系數分別為1，1，系數和為
2； ，它有三項，系
數分別為1，2，1，系數和為4；
，它有四
項，系數分別為1，3，3，1，系數和為8；….
根據以上規律，解答下列問題：
（1） 的展開式共有____項，系數分
別為_________；
五
1,4,6,4,1
（2） 的展開式共有________項，系
數和為____.
返回
考點5 科學記數法
15. 目前全球最薄的手撕鋼產自中國，厚度
只有0.015毫米，約是紙厚度的六分之一.已知1毫米 百
萬納米， 毫米等于多少納米？將結果用科學記數法表示
為( )
B
A. 納米 B. 納米
C. 納米 D. 納米
返回
16.用科學記數法表示的數 ，化為原數是______
_______.
返回
思想1 整體思想
17.[2024樂山] 已知，，則 ____.
29
18.設 ，
，試比較與 的大小.
【解】
設 ，
則， .
， .
返回
思想2 轉化思想
19.已知，， ，求
的值.
【解】
原式
.
將，， 代入,得
原式 .
返回
思想3 方程思想
20. [2024石家莊校級月考] 已知 是正整數，若
，則 的值是( )
B
A. 4 B. 5 C. 6 D. 8
【點撥】
，
，，解得 .故選B.
返回
21. 教材P108復習題 如果
，那么___， ___.
1
3
【點撥】
，
，，解得， .
返回
思想4 數形結合思想
22. 把幾個圖
形拼成一個新的圖形，再通過
兩種不同的方法計算同一個圖
形的面積，可以得到一個等式，
也可以求出一些圖形的面積. 例如，由圖①，可得等式：
.
（1）如圖②，將幾個面積不等的小正方形與小長方形拼成
一個邊長為 的正方形，試用不同的形式表示這個大
正方形的面積，你能發現什么結論？請用等式表示出來.
【解】 .
（2）利用（1）中所得到的結論，解決下面的問題：已知
，，求 的值.
，， .
返回(共29張PPT)
第八章 整式的乘法
8.4 整式的乘法
第3課時 多項式乘多項式
1. 的運算結果是( )
D
A. B.
C. D.
返回
2. [2024石家莊裕華區校級期中] 觀察如圖兩個多項式相乘的
運算過程，根據你發現的規律，若
，則， 的值可能分別是
( )
A
A. ， B. ，7 C. 2， D. 2，7
返回
3. 若,則 等于
( )
A
A. B. C. 4 D. 11
返回
4. [2024邢臺校級期中] 要使多項式不含 的
一次項，則( )
A. B.
C. D.
【點撥】 多項式不含 的一次項，
.故選B.
B
返回
5.若,則 ____.
6.已知,,則 _____.
【點撥】， 把
， ，代入,得原式
.
返回
7.計算：
（1） ；
【解】
.
（2） .
.
返回
8.解方程：
（1） ;
【解】 ,
,
,
,
.
（2） .
,
,
,
,
.
返回
9. 如圖，某市
有一塊長為 ，寬為
的長方形地塊，規
劃部門計劃將陰影部分進行綠
化，中間修建一座雕像.綠化
的面積是多少平方米（用含， 的代數式表示）？
【解】長方形的面積：
，
正方形的面積： ，
綠化的面積：
，
答：綠化的面積是
.
返回
10. 若,,則與 的大小
關系是( )
A
A. B.
C. D. 由 的取值而定
返回
11. 用如圖所示的卡片拼成一個長為
，寬為的長方形，則需要 型卡片的張數是
( )
D
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【點撥】拼成的長方形的面積為
張型卡片的面積為，1張型卡片的面積為 ，1張
型卡片的面積為， 要拼成一個長為 ，寬為
的長方形，需要 型卡片5張，故選D.
返回
12.對任意有理數，等式 總成
立，那么 __.
【點撥】，， ，解得
，， .
返回
13.甲、乙兩人計算同一道題： ，由于甲抄錯
了的符號，得到的結果是 ，乙漏抄了第二個多
項式中的系數，得到的結果是 .則正確結果是
______________.
【點撥】甲抄錯了 的符號,計算結果為
，
由對應的系數相等，得， .
乙漏抄了第二個多項式中 的系數，計算結果為
.
由對應的系數相等，得， .
聯立方程組得
正確的結果是 .
返回
14.在學習多項式乘以多項式時，我們知道
的結果是一個多項式，并且最高次
項為，常數項為 .那么
一次項是多少呢？
解決這個問題，就是要確定該一次項的系數.通過觀察，我們
發現一次項系數就是：
，即一次項為
.
參考材料中用到的方法，解決下列問題：
（1）計算 所得多項式的一次項系數；
【解】計算 所得多項式的一次項系
數為 .
（2）如果計算 所得多項
式不含一次項，求 的值.
計算 所得多項式一次項系
數為 .
多項式不含一次項，，解得 .
返回
15. 在探索有關整式的乘法法則時，可以借
助幾何圖形來解釋某些法則.例如，
可以用圖①來解釋.實際上還有些代數恒等式也可以用這種形
式表示，例如 就可以用圖
②中的幾何圖形的面積來表示.
（1）請寫出圖③中的幾何圖形所表示的代
數恒等式：___________________________
_______________；
【解】
（2）試畫出一個幾何圖形，使它能表示
；
畫圖如圖①所示（答案不唯一）.
（3）請仿照上述方法另寫一個含有， 的代數恒等式，并
畫出與之相對應的幾何圖形.
恒等式是 ，如圖②所示（答案不唯
一）.
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第八章 整式的乘法
8.4 整式的乘法
第1課時 單項式乘單項式
1. 化簡 的結果是( )
A
A. B. C. D.
2. 如果，則 內應填的代數式是( )
C
A. B. C. D.
3. 下列運算正確的是( )
D
A. B.
C. D.
4.計算 _______.
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5. 已知兩個單項式的積是 ，這兩
個單項式可以是_____________________________
（寫出一對即可）.
和（答案不唯一）
6.一個長方體的長、寬、高分別為，， ，則它
的體積是_______.
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7. 教材P86例2 計算：
（1） ;
【解】原式 .
（2） ；
原式 .
（3） .
原式 .
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8. 若單項式與 是同類項，則這兩個單項
式的積是( )
D
A. B. C. D.
9.某住宅小區為了提高業主的居住環境,規劃
修建一個廣場（平面圖如圖所示）,則該廣
場的面積是_______.
【點撥】該廣場的面積為
.
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10.已知 ，求
的值.
【解】， ，
，
解得， ，
.
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11. 觀察式子，并回答問題：
； ；
；….
（1） _ ___________；
（2）利用你得到的結論計算：
；
【解】原式
.
（3） ，
請利用上述關系直接寫出 的值.
.
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第八章 整式的乘法
8.2 冪的乘方與積的乘方
第2課時 積的乘方
1. 教材P81練習 計算： ( )
C
A. B. C. D.
2. [2024石家莊模擬] 下列各圖中，能直觀解釋“ ”
的是( )
D
A. B. C. D.
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3. 下列計算錯誤的是( )
D
A. B.
C. D.
4. 計算 的值為( )
B
A. B. C. 7 D.
【點撥】原式
，故選B.
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5.若，則 ___.
1
【點撥】，， ，
.
返回
6. 教材P80例3 計算：
（1） ；
【解】原式 .
（2） .
原式 .
返回
7. 數 是( )
C
A. 10位數 B. 11位數 C. 12位數 D. 13位數
【點撥】, 是12位數.
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8. 若，，用字母，表示 的結果為( )
D
A. B. C. D.
【點撥】 .
返回
9. 現規定一種新運算“”： .如
，則____，
________.
【點撥】 ；
.
返回
10.計算：
.
【解】原式 .
返回
11.[2024南京鼓樓區期中]
（1）若，，則 ____;
14
（2）若，求, ;
【解】，, .
（3）若,,，求 .
,,, ,
, .
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12. 冪的運算性質在一定條件下具有可逆性，
如：（為正整數），則 .請運
用所學知識解答下列問題：
（1）已知，求 的值；
【解】 ，
，即 ，
，解得 .
（2）已知，求 的值.
， ，
，，解得 .
返回(共25張PPT)
第八章 整式的乘法
8.3 同底數冪的除法
1. [2024邢臺校級月考] 若 ，則“？”表示的是
( )
D
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2. 若有意義，則 的取值范圍是
( )
D
A. B.
C. 或 D. 且
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3. 下面括號內填入 后，等式成立的是( )
A. （ ） B. （ ）
C. （ ） D. （ ）
D
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4.[2024邯鄲模擬] 若，則 的值為____.
5.若，，則___（填“ ”“ ”或“ ”），
的值等于___.
9
【點撥】， ，
， .
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6.[2024滄州期末] 已知，，則 _ ___.
【點撥】， ，
.
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7. 一種數碼照片每張的文件大小是 ，一
個存儲量為 的移動存儲器能存儲____
張這樣的照片.
【點撥】 ，
（張），故一個存儲量為 的移動存
儲器能存儲 張這樣的照片.
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8.計算：
（1） ；
【解】原式 .
（2） ；
原式
.
（3） ；
原式 .
（4） .
原式 .
返回
9.已知，，求 .
【解】， ，
.
返回
10. 若,,,，則 ，
，， 的大小關系為( )
D
A. B.
C. D.
【點撥】, ,
, ,
,故選D.
返回
11. 已知，，，那么，， 之間滿足
的等量關系不成立的是( )
D
A. B.
C. D.
【點撥】， ，
，
，
， 錯
誤的為D.
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12. 已知,，則代數式
的值是( )
B
A. 3 B. 6 C. 7 D. 8
【點撥】因為, ,所以
,.所以 ,
.所以,.所以 .故選B.
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13.關于，的方程組的解滿足 ，
則 的值是___.
8
【點撥】
，得 ，
.
， ，
.
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14. 如果，那么我們規定 .
例如：因為，所以 .根據上述規定填空：
（1） ___；
3
【點撥】， .
（2）若，， .且滿足
，則 _ __.
【點撥】，， ，
，， .
， .
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15.在復習了整式的運算后，數學老師讓同學們總結：當
（為整數）成立時，， 要滿足的條件.請解答下列
問題：
（1）經過討論，小鄭同學總結了三種使（ 為整數）
成立的情形，請幫小鄭同學補充完整：
① ② ③ ___.
1
（2）若，求 的值.
【解】當時， ；
當時， ,
此時指數為偶數，故 符合題意;
當時， ，
此時，故 符合題意.
綜上所述,或0或 .
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16.按要求完成下列各小題.
（1）若，求 的值；
【解】原式， 原式 .
（2）若，，求 的值.
, ,
, .
,得 .
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17. 認真閱讀下面材料：
例如：已知，求 的值.
解： ，
.
回答問題：
（1）若，求 的值；
【解】， ，
.
（2）若，求 的值.
，
.
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18. 探究應用：用“ ”“ ”定義兩種新運
算：對于兩個數,，規定 ,
.例如： ，
.
（1）求 的值；
【解】
由題意得
.
（2）求 的值；
由題意得
.
（3）當為何值時，的值與 的值相等.
由題意得 ，
.
的值與 的值相等，
，， ，
當時，的值與 的值相等.
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