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(共31張PPT)
第十一章 一元一次不等式和一元一
次不等式組
測素質 一元一次不等式組
［時間：60分鐘 分值：100分］
一、選擇題（每小題4分，共32分）
1. 下列不等式組：
其中一元一次不等式組的個數為( )
A
A. 2 B. 1 C. 4 D. 3
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2. 若一艘輪船沿江水順流航行用時少于 ，它沿江
水逆流航行也用時少于 ，設這艘輪船在靜水中的航
速為，江水的流速為 ，則根據題意可列不等式
組為( )
B
A. B.
C. D.
返回
3. [2024遂寧] 不等式組 的解集在數軸上表
示為( )
B
A. B.
C. D.
返回
4. 若不等式組無解，則 的取值范圍是( )
A
A. B. C. D.
返回
5. 若的值同時大于和的值，則 的取值范
圍是( )
C
A. B. C. D.
【點撥】的值大于的值， ，解
得的值大于的值， ，
解得的值同時大于和 的值，
.
返回
6. [2024安徽] 已知實數，滿足 ，
，則下列判斷正確的是( )
C
A. B.
C. D.
【點撥】 ，
， ，
即 ，故選項A錯誤，不合題
意.，， ，故選項B錯誤，
不合題意.由，得 ，
，由，得， ，
，故選項C正確，符合題意;
，故選項D錯誤，不合題意.
返回
7. 若不等式組 的最大整數解與最小整數解的差為
3,則 的值可能為( )
C
A. 8 B. 10 C. 11 D. 13
【點撥】解不等式①,得 ,解不等式②,得
, 不等式組的解集為, 該不等式組的最小
整數解為.由題意得,該不等式組的最大整數解為 ,
.故選C.
返回
8. 若關于的不等式組 最多有2個整數解，
且關于的一元一次方程 的解為非正
數，則符合條件的所有整數 的和為( )
B
A. 13 B. 18 C. 21 D. 26
【點撥】解 得 關于 的不
等式組最多有2個整數解，
或無解. 不等式組的整數解最多時為， ，
解得.解，得 方
程的解為非正數，，解得 ，
符合條件的的整數值為5，6，7， 和為 .
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二、填空題（每小題5分，共20分）
9.不等式 的解集為_____________.
10.若不等式組 中不等式①，②的解集在數軸上
的表示如圖所示,則 的值為___.
4
【點撥】由不等式①,得,由不等式②,得 ,由題圖
知該不等式組的解集為,則 .
返回
11.[2024重慶期中] 已知關于，的方程組
其中，若，則 的最大值為___.
3
【點撥】方程組中兩方程相加，得 ，
， ，即
的最大值為3.
返回
12. 高斯函數，也稱為取整函數，即 表示
不超過的最大整數.例如：， .則下列結
論：； ；③若
，則的取值范圍是；④當
時， 的值為0，1，2.其中正確的是____.
（填序號）
③
【點撥】 ，故①錯誤；
，錯誤，例如： ，
;
③若，則的取值范圍是 ，故③正確；
④當時，， ，
或1， 或1或2，
當時， 或2，
故 或2；
當時， 或1，
故 或2；
綜上所述， 或2，故④錯誤.
返回
三、解答題（共48分）
13.（12分）[2024邢臺期末] 解不等式組
并將解集表示在數軸上.
【解】
解不等式①，得，解不等式②，得 ，
原不等式組的解集為 ，
在數軸上表示不等式組的解集如圖所示.
返回
14.（16分）在數軸上，點，分別表示數2， ，若
點， 在數軸上的位置如圖：
（1）求 的取值范圍；
【解】 點在點的右側， .
（2）如果點表示數，當點在線段上時，求 的
取值范圍；
點在線段 上,
解不等式①,得,解不等式②,得 .
的取值范圍是 .
（3）已知關于的不等式 有且僅有三個正
整數解，則滿足條件的 的取值范圍是 __________________
____________________________________________________
____________________________________________________
____________________________________________________.
【點撥】
解不等式,得. 關于 的不等式
有且僅有三個正整數解， ，
解得 .
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15.（20分） 2024年10月30 日，神舟十九
號載人飛船在酒泉衛星發射中心成功發射.某航天模型銷售店
看準商機，推出“神舟”和“天宮”模型.已知銷售店老板購進3
個“神舟”模型和4個“天宮”模型一共需要310元；購進4個“神
舟”模型和2個“天宮”模型一共需要280元.
（1）求每個“神舟”模型和“天宮”模型的進貨價格.
【解】設每個“神舟”模型的進貨價為 元，每個“天宮”模型的
進貨價為 元，根據題意，得
解得
答：每個“神舟”模型的進貨價為50元，每個“天宮”模型的進
貨價為40元.
（2）該銷售店老板計劃購進兩種模型共80個，設購進“神舟”
模型 個，如果購進“天宮”模型的數量不超過“神舟”模型數
量的2倍，并且總費用不超過3 490元，那么該銷售店共有幾
種進貨方案？
根據題意，得
解得 .
取整數， ,28,29.
該銷售店共有3種進貨方案：
①購進“神舟”模型27個，“天宮”模型 （個）；
②購進“神舟”模型28個，“天宮”模型 （個）；
③購進“神舟”模型29個，“天宮”模型 （個）.
（3）該銷售店計劃每個“神舟”模型的售價為70 元，每個“天
宮”模型的售價為55 元，在（2）的條件下，全部售完后，哪
種進貨方案獲得的利潤最大？ 最大利潤是多少元？
方案①的利潤為
（元）；
方案②的利潤為
（元）；
方案③的利潤為
（元）.
元元 元,
方案③購進“神舟”模型29個,“天宮”模型51個的利潤最大，
為1 345元.
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第十一章 一元一次不等式和一元一
次不等式組
11.1 不等式
1. 下列式子中，是不等式的有( )
；；； ；
； .
C
A. 2個 B. 3個 C. 4個 D. 5個
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（第2題）
2. 交通法規人人遵守，文明城市
處處安全.在通過橋洞時，我們往往會看到如圖
所示的標志，這是限制車高的標志，則通過該橋
洞的車高 的范圍可表示為( )
C
A. B.
C. D.
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3.用不等號連接下列各組數：
（1） ___3.14；
（2）___ ；
（3） ；
（4） 0.
返回
（第4題）
4. 根據機器零件的設計
圖紙（如圖），用不等式表示零件長度
的合格尺寸（ 的取值范圍）為_______
__________.
5.在4，3，2，1，0，，中，能使不等式
成立的數有___個.
2
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6. 教材P146練習 用不等式表示：
（1）2與 的5倍的差是非負數；
【解】 .
（2）的與2的差的相反數不小于 ；
.
（3） 與5的商小于3的相反數.
.
對含有“不”的不等關系忽略等于而導致錯誤.
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7. 如圖，數軸上的點，分別對應數， ，下列結論正確
的是( )
D
A. B. C. D.
【點撥】由數軸的定義及絕對值的意義得 且
，故 ，故A選項錯誤，不符合題意；
，故B選項錯誤，不符合題意； ，故C選項
錯誤，不符合題意； ，故D選項正確，符合題意.
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8. 學校組織同學們去井岡山進行紅色研學活
動，租用45座和30座兩種型號的客車，若租用45座客車 輛，
租用30座客車輛，則不等式“ ”表示的實際
意義是_______________________________.
兩種客車總的載客量不少于500人
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9.某蘋果種植商組織10輛汽車裝運A，B兩種蘋果到外地銷售.
按規定每輛汽車只裝一種蘋果且必須裝滿.已知每輛汽車運載
量及每噸蘋果獲利如下表：
蘋果品種 A B
每輛汽車運載量/ 3 2
每噸蘋果獲利/元 500 900
（1）若要求一次性運出蘋果超過 ，試寫出裝運A種蘋果
的汽車輛數 應滿足的不等式；
【解】輛汽車裝運A種蘋果,則有 輛汽車裝運B種蘋
果,由題意，得 .
（2）若要求共獲利不少于15 000元，試寫出裝運A種蘋果的
汽車輛數 應滿足的另一個不等式.
由題意，得 ,即
.
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第十一章 一元一次不等式和一元一次不等式組
11.5 一元一次不等式組
第2課時 一元一次不等式組的應用
1. 不等式組 的解集為( )
D
A. B.
C. D.
返回
2. 已知方程組 且，則 的
取值范圍是( )
D
A. B.
C. D.
【點撥】
，得 ，
,，解得 .
返回
3. [2024石家莊欒城區期中] 已知關于的不等式
的整數解共有2個，若為整數，則 ( )
C
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【點撥】由，得，由，得 ，
不等式組有2個整數解， 不等式組的整數解為 ,
.又為整數， .故選C.
返回
4.不等式 的解集為_____________.
5.一元一次不等式組 的最大整數解是___.
或
2
【點撥】解不等式，得 ,
解不等式，得 ，
不等式組的解集為 .
不等式組的整數解有， ，0，1，2.
不等式組的最大整數解為2.
返回
6.如圖，用 長的籬笆圍成一邊靠墻（墻足夠長）的矩形
菜園，若，則 的取值范圍為
___________________.
返回
7.（1）[2024揚州] 解不等式組 并求出它的所
有整數解的和.
【解】解不等式①，得.解不等式②，得 .
原不等式組的解集為 .
它的所有整數解為 ,2,3.
它的所有整數解的和為 .
（2）解不等式組 并把它的解集在數軸
上表示出來.
由①得，由②得 ，
故此不等式組的解集為 .
解集在數軸上表示如圖.
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8. 已知三個連續偶數的和不小于90，且不大于120，這樣的
偶數共有( )
B
A. 5組 B. 6組 C. 10組 D. 11組
【點撥】設最小的偶數是，則另外兩個偶數分別是 ，
，根據題意得 解得
為偶數，，30，32，34，36，
這樣的偶數共有6組.故選B.
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9.如圖，某同學設計了一種運算程序，輸入數 ，將每次運
算結果是否大于作為一次運算，若大于 ，則輸出結果；若
小于或等于，則將運算結果重新賦值給 ，并進行運算.
（1）若, ，則輸出的結果為____.
77
【點撥】當,時, ,繼續計算得
,輸出77.
（2）若，程序進行了3次運算后停止，則 可取的最
小整數為___.
4
【點撥】依題意,得
解得, 可取的最小整數為4.
返回
10.已知關于的不等式組 下列結論中，正確的有
______（填序號）.
①若它的解集是，則 ；
②若 ，則不等式組有解；
③若它的整數解僅有3個，則的取值范圍是 ；
④若它無解，則 .
①④
【點撥】①若它的解集是，則 ，且
，，故①正確；②當 時，不等式組無
解，故②不正確；③由題意得，解得 ，
故③不正確；④由題意得，解得 ，故④正確.
返回
11.已知方程組 的解是一對正數.
（1） 的取值范圍是_______________；
【點撥】
，得，解得 ，
代入①，解得 .
由題意得，，
解得 .
（2）化簡： ___.
1
【點撥】由（1）得：，，， 原
式 .
返回
12. 已知的邊， 的長度分別是不
等式組的最大整數解與最小整數解，如果
的周長是奇數，求的第三條邊 的長度的最小值.
【解】解不等式組得 ，
的邊， 的長度分別是不等式組的最大整數解與
最小整數解，
， .
，即 .
又的周長是奇數， ，
的第三條邊 的長度的最小值為3.
返回
13.[2024瀘州] 某商場購進A，B兩種商品，已知購進3件A商
品比購進4件B商品費用多60元；購進5件A商品和2件B商品
總費用為620元.
（1）求A，B兩種商品每件進價各為多少元？
【解】設A商品每件的進價是元，B商品每件的進價是 元，
根據題意,得解得
答：A商品每件的進價是100元，B商品每件的進價是60元.
（2）該商場計劃購進A，B兩種商品共60件，且購進B商品
的件數不少于A商品件數的2倍.若A商品按每件150元銷售，B
商品按每件80元銷售，為滿足銷售完A，B兩種商品后獲得的
總利潤不低于1 770元，則購進A商品的件數最多為多少？
設購進件A商品，則購進 件B商品，
根據題意得
解得， 的最大值為20.
答：購進A商品的件數最多為20件.
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14.若一個不等式組有解且解集為 ，則稱
為的解集中點值，若的解集中點值是不等式組 的解
（即中點值滿足不等式組），則稱不等式組對于不等式組
中點包含.
（1）已知關于的不等式組 以及不等式
，請直接寫出不等式對于不等式組 是否中
點包含；
【解】不等式對于不等式組 中點包含.
【點撥】解不等式組 得， 的解
集中點值為在的范圍內， 不等式
對于不等式組 中點包含.
（2）已知關于的不等式組 和不等式
組若不等式組對于不等式組 中點包含，
求 的取值范圍.
不等式組對于不等式組 中點包含，
不等式組和不等式組 有解，
解不等式組 得
解不等式組 得
解得 .
當時，不等式組的解集為 ，
不等式組的解集為 .
的解集中點值為 .
不等式組對于不等式組 中點包含，
，解得 .
又， .
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第十一章 一元一次不等式和一元一
次不等式組
11.2 不等式的基本性質
1. 已知 ，下列變形一定正確的是( )
D
A. B.
C. D.
2. [2024承德期末] 已知，則一定有 ，“□”中
應填的符號是( )
A
A. B. C. D.
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3. 下列命題中，正確的是( )
A
①若，則； ②若，則 ；
③若，則； ④若，則 .
A. ③④ B. ①③ C. ①② D. ②④
【點撥】①若，則，當 時，不成立，故
錯誤；②若，則，當 時，不等號方向應改
變為，故錯誤；，則 ，正確；④若
，則 ，正確.故選A.
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4.李兵的觀點：不等式 不可能成立.理由：若在這個不
等式兩邊同時除以，則會出現 的錯誤結論.李兵的觀點
______（填“正確”或“錯誤”），理由_________________.
錯誤
當時,
5.用符號“ ”或“ ”填空：
如果，那么___，___， ___
，___ .
6. 若想,且,則
的值可以是_________________（寫出一個即可）.
1（答案不唯一）
返回
7. 教材P151習題 把下列不等式化為“ ”或“
”的形式：
（1） ；
【解】， .
（2） ；
， .
（3） ；
， .
（4） .
， .
返回
8. 已知，則一定有，“ ”中應填的符號
是( )
B
A. B. C. D.
返回
9. 數軸上表示數， 的點的位置
如圖所示，則下列結論不正確的是( )
C
A. B.
C. D.
【點撥】從數軸上可知，，A.， ，
故選項A不符合題意；B.， ，故選項
B不符合題意；C.， ，故選項C符合題
意；D.， ，故選項D不符合題意.故選C.
返回
10. [2024邢臺校級月考] 設 ， ， 分別表示三種不同的
物體，現用天平稱了兩次，情況如圖所示，則在 ， ，
中，質量最大的是( )
A
A. B. C. D. 無法確定
【點撥】設 ， ， 的質量分別為，， ，由題圖可知,
，，由，得 ，
質量最大的是“ ”.
故選A.
返回
11. [2024邯鄲模擬] 已知實數，，滿足 ，甲、
乙、丙、丁四名同學有如下結論：
甲：若，則 ；
乙：若，則 ；
丙：若，則 ；
丁：若，則 .
這四名同學的結論中正確的是( )
B
A. 甲和乙 B. 甲和丙 C. 乙和丙 D. 丙和丁
【點撥】若，則，解得， 甲的結
論正確；若，則， ，解得
， 乙的結論錯誤；若 ，則
，，解得， 丙的結論正
確；若，則， ，解得
， 丁的結論錯誤.
返回
12.已知如圖所示的紙片A是邊長為5的
正方形，紙片B是相鄰兩邊長分別為
， 的長方形，且紙片A，B的周長相
等.若，求 的取值范圍.
【解】 紙片A,B的周長相等，
.
又， .
又,, .
返回
13.已知關于的不等式兩邊都除以 ，得
，試化簡： .
【解】由題意得 ，
返回
14.【閱讀材料】已知，且，求 的取值范圍.
解：由，得 ，
，，解得 .
的取值范圍是 .
請按照上述方法，解決下列問題：
（1）已知，且，求 的取值范圍；
【解】由，得 ，
，，解得 .
的取值范圍是 .
（2）已知，且，求 的取值范圍.
由，得 ，
，，解得 .
的取值范圍是 .
返回
15.【閱讀】根據等式和不等式的基本性質，我們可以得到比
較兩數大小的方法：
若，則 ；
若，則 ；
若，則 .
反之也成立.
這種比較大小的方法稱為“作差法比較大小”.
【理解】
（1）若，則___.（填“ ”“ ”或“
”）
【運用】
（2）若，，試比較， 的大小.
【解】， ，
.
【拓展】
（3）請運用“作差法比較大小”解決下面這個問題.制作某產
品有兩種用料方案：
方案一：用5塊A型鋼板，6塊B型鋼板；
方案二：用4塊A型鋼板，7塊B型鋼板.
每塊A型鋼板的面積比每塊B型鋼板的面積小.方案一的總面
積記為，方案二的總面積記為，試比較， 的大小.
設A型鋼板的面積為，B型鋼板的面積為 ，
由題意得， ，
.
每塊A型鋼板的面積比每塊B型鋼板的面積小，
，即 .
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第十一章 一元一次不等式和一元一次不等式組
項目學習——主題活動（一）潛望鏡里的數學
一、活動目標
1.了解光的反射有關概念和性質，并能跨學科應用于數學中.
2.熟練掌握平行線的判定方法，并能用于解決實際問題.
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二、活動背景
在某些公路的彎道以及路口處，經常會安放一面凸面鏡來擴
大司機的視野，以防止交通事故的發生；利用潛望鏡可以在
水面下觀察水面上的情況，可以在戰壕里觀察戰壕外的情況.
它們的原理之一都是光線的反射.
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三、活動過程
獨立完成下列任務：
①了解光的反射的相關概念，根據下圖，完成下列填空.
光在兩種物質分界面上改變傳播方向又返回原來物質中的現
象，叫作__________，其中，入射光線與分界面的交點叫作
入射點，過入射點且垂直于分界面的直線叫作法線，入射光
線與法線的夾角叫作________，反射光線與法線的夾角叫作
________.
光的反射
入射角
反射角
②得出相關性質.
入射光線和反射光線居于______兩側，入射角______反射角，
且入射光線與平面的夾角______反射光線與分界面的夾角.
法線
等于
等于
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四、解決問題
1.如圖①是用潛望鏡在水下觀察水面的示意圖，圖②是抽象
出來的幾何圖形.其中，， 表示互相平行的鏡面.請討論
說明和 是互相平行的.
【解】
由光的反射可知， .
，
.
由平角定義可知 ，
， .
2.如圖,, 表示互相垂直的平面鏡.其中，
入射光線水平射向平面鏡 .請判斷入射光
線與其經過兩次反射后的光線 的位置關系，
并說明理由.
【解】
與平行.理由如下:由光的反射可知， ，
易知 ， .
. .
.
3.請設計一個入射光線經過三次反射后，反射出的光線與入
射光線平行的光路圖，并說明設計理由.
【解】（答案不唯一）三塊平面鏡如圖放置，使
，即可保證入射光線和反射光線 平行.
理由：如圖，過點作 ，則
.
,
.
結合三個平角和是 ，可得
，
.
.
返回
五、完成活動報告，分享交流
主題活動報告
編號： 主持人：年 月 日
活動主題 活動成員 活動時間 活動地點
人員分工 問題論證 探究結論
小組成員的其他典型發現
交流收獲與自我評價
略.
續表
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第十一章 一元一次不等式和一元一次不等式組
專題19 一元一次不等式（組）的含參數問題
題型1 根據一元一次不等式的定義求參數的值
1.已知是關于的一元一次不等式.則
的值為____.
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題型2 已知不等式的解集，求參數的值或取值范圍
2.已知不等式的解集為，求 的值.
【解】 ,
,解得 .
又 不等式的解集為 ,
,解得 .
返回
3.若不等式的解集是,求 的取值范圍.
【解】 不等式的解集是 ,
, .
返回
題型3 已知不等式整數解的個數，求參數的取值范圍
4.如果關于的不等式恰有3個非正整數解，求
的取值范圍.
【解】解不等式，得 .
關于的不等式 恰有3個非正整數解，
，解得 .
返回
5. 閱讀下列新定義，解答后面的問題.
對于實數，定義一種新運算，規定：
（其中， 均為非零常數），這里等式右邊是通常的四則運
算，例如 ，
.已知 ，
.
（1）求， 的值；
【解】， ，
，解得
（2）若關于的不等式 恰好
有2個正整數解，求實數 的取值范圍.
由（1）得 .
，
，解得 .
關于的不等式 恰好有2個
正整數解， 這兩個正整數解為1，2.
，解得 .
返回
題型4 已知不等式組有解，求參數的取值范圍
6.若不等式組有解，求實數 的取值范圍.
【解】
解不等式①,得 .
解不等式②,得 .
不等式組有解，
,解得 .
返回
題型5 已知不等式組無解，求參數的取值范圍
7.已知關于的不等式組無解，求 的取值范圍.
【解】
解不等式,得 ，
解不等式,得 ，
不等式組無解，. .
返回
題型6 已知不等式組的解集，求參數的值
8.若不等式組的解集為 ，求
的值.
【解】
解不等式①，得.解不等式②，得 .
根據題意,得，,解得, .
返回
題型7 已知不等式組的解集，求參數的取值范圍
9.關于的不等式組的解集為，求 的取值
范圍.
【解】
解不等式①,得.解不等式②,得 .
不等式組的解集為 ,
.
返回
題型8 已知不等式組整數解的個數，求參數的取值范圍
10. 已知關于的不等式組 有3
個整數解，求 的取值范圍.
【解】
解不等式①，得.解不等式②，得 .
不等式組的解集為 .
不等式組有3個整數解，
不等式組必定有整數解0.
若三個整數解為，，0，則 此不等
式組無解；若三個整數解為，0，1，則
此不等式組無解；若三個整數解為0，1，2，則
解得 .
的取值范圍是 .
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第十一章 一元一次不等式和一元一
次不等式組
11.4 一元一次不等式的應用
1. 某校進行“學黨史，知黨恩，跟黨走”知
識競賽，共有25道題，答對1道題得4分，答錯或不答扣1分，
得90分及以上者將獲得參賽資格，要取得參賽資格至少要答
對( )
D
A. 20道 B. 21道 C. 22道 D. 23道
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2. 2024年4月23日是第29個“世界讀書日”，新
華書店特推出“倡導全民閱讀，構建文明社會”的主題促銷活
動，某種標價 元/本的暢銷書，每本進價是標價的一半，書
店要想不虧本，必須保證每本書的利潤率不低于 ，那么
書店對該暢銷書最多可打( )
C
A. 五折 B. 六折 C. 六五折 D. 不確定
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3. [2024保定期末] 如圖是2024
年5月份的日歷，像圖中那樣，
用陰影圈住3個數，如果要被圈
住的3個數的和不大于66，則被
圈住的三個數中，最大的數
( )
C
A. 不大于21 B. 不大于22 C. 不大于23 D. 不大于20
【點撥】設最小的數為 ，則其
他兩個數為， .
依題意得 ，
解得 ，
故被圈住的三個數中最大的數
,
即最大的數不大于23.
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4.斑馬線前“車讓人”，反映了城市的文明程度，但行人一般
都會在紅燈亮起前通過馬路.某人行橫道全長 ，小明以
的速度過該人行橫道，行至處時， 倒計時燈亮了.
小明要在紅燈亮起前通過馬路，他的速度至少要提高到原來
的____倍（保留一位小數）.
1.5
【點撥】設他的速度要提高到原來的 倍，根據題意可得
，解得 .
， 他的速度至少要提高到原來的1.5倍.
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5.[2024山西] 為加強校園消防安全，學
校計劃購買某種型號的水基滅火器和干
粉滅火器（如圖）共50個.其中水基滅火
器的單價為540元/個，干粉滅火器的單
價為380元/個.若學校購買這兩種滅火器的總價不超過21 000
元，則最多可購買這種型號的水基滅火器多少個？
【解】設可購買這種型號的水基滅火器
個，則購買干粉滅火器 個，根
據題意，得，解得 .
為整數， 的最大值為12.
答：最多可購買這種型號的水基滅火器
12個.
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6. [2024石家莊模擬] 如圖，一個容量為 的杯子中裝
有 的水，先將6顆相同的小玻璃球放入這個杯子中后，
總體積變為 ，接著依次放入4個相同的小鐵塊，直到
放入第4個后，發現有水溢出.若每顆小玻璃球的體積是 ，
每個小鐵塊的體積是 ，則( )
A.
B.
C. 杯子中僅放入6個小鐵塊，
水一定會溢出
D. 杯子中僅放入8顆小玻璃球，
水一定不會溢出
√
【點撥】 放入6顆相同的小
玻璃球后體積變為 ，
接著依次放入4個相同的小鐵
塊，直到放入第4個后，發現有水溢出， ，
故A選項錯誤.解不等式,得 裝有
的水，先將6顆相同的小玻璃球放入這個杯子中后，
總體積變為 ，
，故B選項錯誤.
， 取 時，
， 杯
子中僅放入6個小鐵塊，水不
一定會溢出，故C選項錯誤.
，
杯
子中僅放入8顆小玻璃球，水
一定不會溢出，故D選項正確.
故選D.
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7.[2024滄州模擬] 如圖，電腦上有一個小程
序，每按一次左鍵，屏幕上的結果加1；每按
一次右鍵，屏幕上的結果減2.已知屏幕上設
定的初始數字是3，且每輪操作按10次鍵.
（1）在一輪操作中，已知按了3次左鍵，7次右鍵，求屏幕
上最后的結果；
【解】屏幕上顯示的結果為 .
（2）一輪操作中，已知按了 次左鍵，且這
輪操作結束后屏幕上的結果是正數，求 的最
小值.
按了次左鍵,則按了 次右鍵.由題意
可得，解得 .
為正整數， 的最小值為6.
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8. 2024年巴黎奧運會于7月26日至8月11
日舉行，某經銷店調查發現：與吉祥物相關的A，B兩款紀念
品深受青少年喜愛.已知購進3個A款比購進2個B款多用120元；
購進1個A款和2個B款共用200元.
（1）分別求出A，B兩款紀念品的進貨單價.
【解】設A，B兩款紀念品的進貨單價分別為元、 元.
則 解得
答：A，B兩款紀念品的進貨單價分別為80元和60元.
（2）該商店決定購進這兩款紀念品共70個，其總費用不超
過5 000元，則至少應購買B款紀念品多少個？
設購買個B款紀念品，則購買 個A款紀念品，
根據題意，得 ，
解得 .
答：至少應購買B款紀念品30個.
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9. 某電器超市銷售A，B兩種型號的電風扇，
A型號每臺進價為200元，B型號每臺進價為150元，如下表是
近兩天的銷售情況：
銷售時段 銷售數量 銷售收入
A種型號 B種型號 第一天 3臺 5臺 1 620元
第二天 4臺 10臺 2 760元
（進價、售價均保持不變，利潤 銷售收入-進貨成本）
（1）求A，B兩種型號的電風扇的銷售單價.
【解】
設A種型號電風扇的銷售單價為 元，B種型號電風扇的銷售
單價為 元，
依題意，得解得
答：A種型號電風扇的銷售單價為240元，B種型號電風扇的
銷售單價為180元.
（2）若超市準備用不多于5 400元的金額再采購這兩種型號
的電風扇共30臺，求A種型號的電風扇最多能采購多少臺？
設采購A種型號電風扇臺，則采購B種型號電風扇 臺，
依題意，得，解得 .
答：A種型號的電風扇最多能采購18臺.
（3）在（2）的條件下，超市銷售完這30臺電風扇能否實現
利潤不少于1 060元的目標？若能，請給出相應的采購方案；
若不能，請說明理由.
依題意，得 ，
解得 .
，.又為整數， ，17或18.
共有三種采購方案:方案1：采購A種型號電風扇16臺，B種
型號電風扇14臺；方案2：采購A種型號電風扇17臺，B種型
號電風扇13臺；方案3：采購A種型號電風扇18臺，B種型號
電風扇12臺.
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第十一章 一元一次不等式和一元一次不等式組
11.3 解一元一次不等式
第2課時 解一元一次不等式
1. [2024陜西] 不等式 的解集是( )
D
A. B. C. D.
2. 不等式 的解集在數軸上表示為( )
A
A. B.
C. D.
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3. 的與的差不小于10，則 的值可能為( )
A
A. 7 B. 4 C. 3 D. 2
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4. 老師設計了接力游戲，用合作的方式完
成解不等式，規則是：每人只能看到前一人給的不等式，并
進行一步計算，再將結果傳遞給下一人，最后完成求解.過程
如圖所示.接力中，自己負責的一步出現錯誤的是( )
D
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
【點撥】 ,
去分母，得 ,
去括號，得 ,
移項,得 ,
合并同類項，得 ,
系數化為1,得 ,
故丁錯誤.故選D.
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5.如圖，小雨把不等式 的解集表示在數軸
上，則陰影部分蓋住的數字是____.
6. 請寫出一個滿足下列條件的一元一次不等
式，則該一元一次不等式可以是_________________________.
①解集為 ；
②在求解的過程中需要改變不等號的方向.
（答案不唯一）
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7.解下列不等式,并把解集在數軸上表示出來.
（1） ；
【解】
去括號,得 ，
移項,得 ，
合并同類項,得 ，
系數化為1,得 .
故不等式的解集在數軸上表示如圖.
（2） .
去分母,得 ，
去括號,得 ，
移項,得 ，
合并同類項,得 ，
系數化為1,得 .
故不等式的解集在數軸上表示如圖.
返回
8.[2024鹽城] 求不等式 的正整數解.
【解】去分母,得 ，
移項,得 ，
合并同類項,得 ，
系數化為1,得 .
滿足此不等式的正整數解為 ，2.
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9. 已知數軸上兩點，表示的數分別為，1，則關于
的不等式 的解集，下列說法正確的是( )
C
A. 若點在點左側，則解集為
B. 若點在點右側，則解集為
C. 若解集為，則點必在點 左側
D. 若解集為，則點必在點 右側
【點撥】，.若點 在點
左側，則，故，則無法判斷 的符號，
故A選項錯誤；若點在點右側，則，故 ，
則，所以,故B選項錯誤；當 時，
， 此時點在點 左側，故D選項錯誤，C選項正確.
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10. 若不等式的解都能使不等式 成
立，則 的取值范圍是( )
A
A. B.
C. D.
【點撥】，解得， ，
.又 不等式 的解都能使不等式
成立， .
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11.若不等式 的最小整數解是關于
的方程的解，則代數式 的值為
____.
【點撥】由不等式可得 ，
不等式 的最小整數解是
不等式 的最小整數解
是關于的方程 的解，
，解得
.
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12. 對于實數對 ，定義偏左數為
，偏右數為.對于實數對 ，若
，則 的最小整數值是___.
8
【點撥】根據題意得對于實數對 ，
，. ，
，解得 的最小整數值是8.
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13.已知關于的不等式 .
（1）當 時，求該不等式的正整數解；
【解】
將代入不等式，得 ，
則 ，
，
，
此不等式的正整數解為 .
（2）當 取何值時，該不等式有解，并求出其解集.
由，得 ，
，
.
當，即 時，該不等式有解.
當,即時，不等式的解集為 ；
當,即時，不等式的解集為 .
返回
14.已知關于，的二元一次方程組
（1）若該方程組的解滿足，試求 的取值范圍；
【解】方程組中兩方程相加得 ，
則 .
方程組的解滿足 ，
，解得 .
（2）若代數式的值與的取值無關，求 的值.
解方程組得
則 .
代數式的值與 的取值無關，
，解得 .
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15. 在數學學習過程中，自學是一種非常
重要的學習方式，通過自學不僅可以獲得新知識，而且可以
培養和鍛煉我們的思維品質.請你通過自學解答下面的問題：
解決含有絕對值符號的問題，通常根據絕對值符號里所含式
子的正負性，去掉絕對值符號，轉化為不含絕對值符號的問
題再解答.
例如：解不等式 .
解：①當，即時，原式化為 ，解得
，此時，不等式的解集為 ；
②當，即時，原式化為，解得 ，
此時，不等式的解集為 .
綜上可知，原不等式的解集為或 .
問題：請用以上方法解關于的不等式： .
【解】， .
①當，即時，原式化為 ，解得
，
此時，不等式的解集為 ；
②當，即時，原式化為 ，解得
，
此時，不等式的解集為 .
綜上可知，原不等式的解集為 .
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第十一章 一元一次不等式和一元一次不等式組
專題18 一元一次不等式組的解法技巧
技巧1 解普通型一元一次不等式組
1.解不等式組 請結合題意完成本題的
解答.（每空只需填出最后結果）
（1）解不等式①，得________.
（2）解不等式②，得______.
（3）把不等式①和②的解集在數軸上表示出來：
【解】把不等式①和②的解集在數軸上表示出來，如圖.
（4）原不等式組的解集為____________.
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2.[2024保定期末] 解不等式組 并求出
最小整數解與最大整數解的和.
【解】由①得，由②得 ，
原不等式組的解集為 .
最小整數解為 ，最大整數解為1.
最小整數解與最大整數解的和為 .
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技巧2 解連寫型不等式組
3.用兩種不同的方法解不等式組 .
【解】解法一:原不等式組可寫為
解不等式①，得;解不等式②，得 .
原不等式組的解集為 .
解法二: .
去分母，得 .
.
系數化為1，得 .
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技巧3 將“絕對值”型不等式轉化為不等式組求解
4.閱讀下列材料：
， ，像這樣的不等式叫作絕對值不
等式.解絕對值不等式的方法是想辦法去掉絕對值符號，轉化
成已學過的不等式（組）來解決.例如：解不等式：
解：①當，即 時，原不等式變形為
解不等式組得 ；
②當，即時，原不等式變形為 解
不等式組得 .
綜合①②可得，原不等式的解集為或 .
（1）解不等式： ；
【解】①
當,即 時，原不等式變形為
解不等式組得 ；
②當,即時，原不等式變形為
該不等式組無解.
綜合①②可得，原不等式的解集為 .
（2）解不等式： .
①當,即時，原不等式變形為 解
不等式組得 ;
②當時，原不等式變形為 解不等式組
得 ;
③當時，原不等式變形為 解不等式
組得 .
綜合①②③可得，原不等式的解集為 .
返回
技巧4 將“乘積”型不等式轉化為不等式組求解
5. 閱讀以下例題：解不等式：
.
解：①若，則，即可以寫成 解
不等式組得 ；
②若，則，即可以寫成 解不
等式組得 .
綜合以上兩種情況，原不等式的解集為或 .
以上解法的依據為：若，則 同號.
請你模仿例題的解法，解下列不等式：
（1） ；
【解】①若，則 ，
解不等式組得 .
②若，則 ，
解不等式組得 .
綜上,原不等式的解集為或 .
（2） .
①若，則 ，
由①得，由②得 ，
不等式組無解;
②若，則 ，
由①得，由②得 ，
不等式組的解集為 .
綜上,原不等式的解集為 .
返回
技巧5 將“分式”型不等式轉化為不等式組求解
6. 閱讀下面材料：分子、分母都是整式，并
且分母中含有未知數的不等式叫作分式不等式.
小亮在解分式不等式 時，是這樣思考的：根據兩數
相除，同號得正，異號得負.原分式不等式可轉化為下面兩個
不等式組：
或
解不等式組①得 ，
解不等式組②得 .
原不等式的解集為或 .
請參考小亮思考問題的方法，解下列分式不等式：
（1） ；
【解】根據兩數相除，同號得正，異號得負，原分式不等式
可轉化為下面兩個不等式組：
或
解不等式組①得 ;
解不等式組②得無解，
原不等式的解集為 .
（2） .
,
或
解不等式組①得；解不等式組②得 .
不等式的解集為或 .
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第十一章 一元一次不等式和一元一次不等式組
11.3 解一元一次不等式
第1課時 一元一次不等式及其解集
1. [2024秦皇島期末] 下列不等式中，是一元一次不等式的是
( )
C
A. B.
C. D.
返回
2. [2024貴州] 不等式 的解集在數軸上表示正確的是
( )
C
A. B.
C. D.
返回
3. [2024邢臺期末] 在數，， ，0， ，3中，是不等
式 的解的有( )
C
A. 4個 B. 3個 C. 2個 D. 1個
返回
4. 某超市花費750元購進草莓，銷售中有 的正常
損耗，為避免虧本（其他費用不考慮），售價至少定為每千
克多少元？設售價定為每千克 元，根據題意所列不等式正
確的是( )
A
A. B.
C. D.
返回
5.下列說法：
是 的解集；
②是不等式 的解；
③是不等式 的解集；
④不等式 有無數個整數解.
其中正確的是____.（填序號）
④
返回
6. 教材P153例1 解下列不等式，并把它們的解集在數
軸上表示出來.
（1） ;
【解】不等式兩邊都減去3，得 ，
即 .
將未知數的系數化為1，得 .
解集表示在數軸上如圖.
（2） .
不等式兩邊都減去，得，即 .
將未知數的系數化為1，得 .
解集表示在數軸上如圖.
返回
7. 不等式 1的解集在數軸上的表示如圖所示，則
蓋住的符號是( )
（第7題）
A
A. B. C. D.
返回
（第8題）
8. 如圖， 和5分別是天平上兩
邊的砝碼的質量，則 的取值范圍在數軸上可表
示為( )
C
A. B.
C. D.
返回
9.[2024鹽城校級模擬] 若是關于 的一
元一次不等式，則 的值為___.
1
【點撥】是關于 的一元一次不等
式，，，則或 ，
且，解得 .
返回
10.已知關于的不等式 至少有三個負整數解，則
的取值范圍是 ______.
【點撥】，. 關于 的不等式
至少有三個負整數解， 關于 的不等式
至少有的三個負整數解是, ,
，解得 .
返回
11.已知不等式的解集是 ，
則關于的不等式 的解集為________.
【點撥】 不等式 的解集是
，, ，解得
.把代入 ，得
，，， .
返回
12.按照給定的計算程序（如圖），當 時，輸出的結果是
____；使代數式的值不大于20的最大整數 的值是___.
23
7
【點撥】當時，, 輸出
的結果是23.
令,解得， 最大整數 的值是7.
返回
13.[2024邯鄲期末] 整式的值為 .
（1）當時，求 的值；
【解】根據題意得, 當 時,
.
（2）若的取值范圍如圖所示，求 的最小負整數值.
由題圖知，,即,解得 ,
的最小負整數值為 .
返回
14. 對有理數， 定義運算：
，其中，是常數，如果 ，
，求， 的取值范圍.
【解】根據題意得， ，②
由①得 ，③
把③代入②,得，解得 ，
由①得， .
返回
15. 定義：若關于同一個未知數的不等式
和的解集相同，則稱與 為同解不等式.
（1）若關于的不等式 ，不等式
是同解不等式，求 的值；
【解】解關于的不等式，得 ，
解關于的不等式，得 ，
由題意得，解得 .
（2）若關于的不等式 ，不等式
是同解不等式，其中，是正整數，求，
的值；
解不等式,得 ，
解不等式,得 ，
由題意得 .
又，是正整數， 或4或2.
，或，或， .
（3）若關于的不等式 ，不等式
是同解不等式，試求關于 的不等式
的解集.
解不等式 ,得
，解不等式 ,得
.
由題意得， .
，，解得 ，
.
解不等式,得 .
將代入,得 .
不等式的解集為 .
返回(共22張PPT)
第十一章 一元一次不等式和一元一次不等式組
專題17 一元一次不等式的解法的應用
應用1 直接解不等式
1.[2024承德期末] 解不等式 .并把解集在如圖所
示的數軸上表示出來.
【解】去分母,得 ，
去括號,得 ，
移項,合并同類項,得 ，
系數化為1,得 ，
在數軸上表示解集如圖所示.
返回
應用2 解含字母系數的一元一次不等式
2.解關于的不等式 .
【解】移項,合并同類項,得 .
當，即 時,不等式無解;
當，即時, ;
當，即時, .
返回
3.已知關于的不等式的正整數解有四個，求 的
取值范圍.
【解】解不等式，得 .
由題意得,解得 .
返回
應用3 解與方程（組）的解綜合的不等式
4.已知不等式 的最小整數解也是
關于的方程的解，求關于 的不等式
的解集.
【解】解不等式,得 ,
不等式的最小整數解是 .
把代入方程,得 ,
解得 .
不等式即為,解得 .
返回
5.[2024邯鄲期末] 關于，的方程組 的解
滿足條件，求 的最大值.
【解】
，得，即 .
，，解得 .
的最大值是 的最大值是8.
返回
應用4 解與新定義綜合的不等式
6.已知任意實數，，定義，的含義為當 時，
，，當時，， .
（1）若，求 的取值范圍；
【解】
，
.
（2）求， 的最大值.
分兩種情況討論:①當時，解得 ，
， ;
②當時，解得 ，
， ;
綜上,， ，
， 的最大值為3.
返回
7.我們把符號“ ”稱為二階行列式，規定它的運算法則
為，如 .
（1）求不等式 的解集；
【解】根據題意得 ，解得
.
（2）若關于的不等式 的解集與（1）中的不等
式解集相同，求 的值；
，即， .
此不等式的解集與（1）中的不等式解集相同，
.
（3）若關于的不等式 的解都是（1）中的不等式
的解，求 的取值范圍.
，即， .
關于的不等式 的解都是（1）中的不等式的
解， .
返回
應用5 解與不等式的解綜合的不等式
8.已知，為有理數，不等式 的解
集是，求關于的不等式 的解集.
【解】 不等式的解集是 ，
，
，解得 .
把代入，得 ，
，，，， .
返回
應用6 解與絕對值綜合的不等式
9. 我國著名數學家華羅庚說過“數缺形時少
直觀，形少數時難入微”，數形結合是解決數學問題的重要思
想方法.例如，代數式的幾何意義是數軸上 所對應的
點與2所對應的點之間的距離， ，
的幾何意義就是數軸上所對應的點與 所對應的
點之間的距離.
【發現問題】
代數式 的最小值是多少？
【探究問題】
如圖，設點，，分別表示數，2，, .
的幾何意義是線段與 的長度之和，
當點在線段上時，；當點在點 的左側
或點的右側時， .
的最小值是3.
【解決問題】
（1） 的最小值是___.
6
（2）利用上述思想方法解不等式： .
【解】如圖，設點,,分別表示數,1, ,則
的幾何意義是線段與 的長度
之和,的幾何意義是
點不在線段上,應在點的左側或點的右側. 不等式
的解集為或 .
（3）直接寫出當為何值時，代數式 的最小
值是2？
當為或時，代數式 的最小值是2.
返回(共25張PPT)
第十一章 一元一次不等式和一元一
次不等式組
測素質 一元一次不等式
［時間：60分鐘 分值：100分］
一、選擇題（每小題4分，共32分）
1. 下列不等式中，是一元一次不等式的是( )
C
A. B.
C. D.
2. 所表示的解集是( )
C
A. B. C. D.
返回
3. 下列說法中正確的是( )
A
A. 是不等式 的一個解
B. 是不等式 的解集
C. 是不等式 的唯一解
D. 不是不等式 的解
返回
4. 長跑比賽中，張華跑在前面，在離終點 時他以
的速度向終點沖刺，在他身后 的李明需以多快的
速度同時開始沖刺，才能夠在張華之前到達終點？設李明沖
刺的速度為 ，可列出不等式為( )
A
A. B.
C. D.
返回
5. 若是關于的不等式的一個解，則 可
取的最小整數為( )
C
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
【點撥】是關于的不等式 的一個解，
可取的最小整數為9.
返回
6. 某種服裝的進價為240元，出售時標價為360元，由于換季，
商店準備打折銷售，但要保持利潤率不低于 ，那么至多
打( )
A
A. 八折 B. 八五折 C. 九折 D. 九五折
【點撥】設打折，由題意得 ，
解得 ，故至多打八折.故選A.
返回
7. 已知關于，的方程組 的解滿足
，則 的最大值是( )
C
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【點撥】 ,得
， ，解得
的最大值是2.故選C.
返回
8. 定義新運算“ ”，規定：
.若關于的不等式 的解集為
，則 的值是( )
B
A. B. C. 1 D. 2
【點撥】， ，解得
.又的解集為 ，
.
返回
二、填空題（每小題5分，共20分）
9. 教材P147習題T1 “的9倍與的 的和是正數”可表
示為____________.
10.不等式的解集是，則 的取值范圍
是_______.
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11.[2024煙臺] 關于的不等式有正數解，則
的值可以是_________________（寫出一個即可）.
0（答案不唯一）
【點撥】原不等式整理得，解得
不等式有正數解，，解得， 的值可以
是0.
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12. 世界地球日 ，即
每年的4月22日，是一個專門為世界環境保護而設立的節日.
學校為提升學生的環保意識，組織了環保知識競賽，共20道
題，規定：答對一題得5分，答錯一題扣2分，不答得0分.在
這次競賽中，小榮有一題未答，那么小榮至少要答對____道
題，成績才能在80分以上.
17
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三、解答題（共48分）
13.（10分）解下列不等式，并在數軸上表示解集：
（1） ；
【解】去括號，得 ，
移項，得 ，
合并同類項，得 ，
系數化為1，得 .
這個不等式的解集在數軸上表示如圖所示.
（2） .
去分母，得 ，
去括號，得 ，
移項，得 ，
合并同類項，得 ，
系數化為1，得 .
這個不等式的解集在數軸上表示如圖所示.
返回
14.（12分） 若三角形的三邊長分別是2, ,10,
且是不等式 的正偶數解，求該三角形的周長.
【解】,解得 .
三角形的三邊長分別是2,,10, .
.
又是正偶數， .
三角形的周長為 .
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15.（12分）某數學課外鞏固練習《數學作業設計》的部分內
容如下：
已知關于的方程的解是非負數，求 的取值
范圍.
（1）寫出這道題的解題過程；
【解】解關于的方程，得 .
關于的方程 的解是非負數，
，解得 .
（2）若關于，的方程組 的解滿足
，求 的最小整數值.
解方程組得
，，解得 .
的最小整數值是6.
返回
16.（14分） 污水治理，保護環境.某市治污
公司決定購買A，B兩種型號的污水處理設備共12臺，已知A，
B兩種型號的設備每臺的價格、月處理污水量如下表：
設備型號 A B
價格/（萬元/臺）
處理污水量/（噸/月） 220 180
經調查：購買一臺A型設備比購買一臺B型設備多3萬元，購
買1臺A型設備比購買3臺B型設備少3萬元.
（1）求， 的值.
【解】根據題意得解得
（2）經預算：治污公司購買污水處理設備的資金不超過50萬
元，若兩種設備都要購買，你認為該公司有哪幾種購買方案
設購買A型設備臺，則購買B型設備 臺，根據題意
得， .
取正整數， ,2,3,4.
,10,9,8.
該公司共有四種購買方案：
①購買A型設備1臺，B型設備11臺；
②購買A型設備2臺，B型設備10臺；
③購買A型設備3臺，B型設備9臺；
④購買A型設備4臺，B型設備8臺.
（3）在（2）問的條件下，若每月要求處理的污水量不低于
2 260噸，為了節約資金，請你為治污公司設計一種最省錢
的購買方案.
由題意得， .
又， .
又取正整數， ，4.
當時，購買資金為 （萬元）;
當時，購買資金為 （萬元）.
萬元 萬元，
為了節約資金，應購買A型設備3臺，B型設備9臺.
返回(共14張PPT)
第十一章 一元一次不等式和一元一次不等式組
項目學習——主題活動（二）水管出水口設置
在哪里最好
一、活動目標
1.借助圖形理解兩點間的距離，體會“數形結合”思想在解題
中的作用.
2.幫助學生掌握總結規律的方法.
3.培養學生利用所學知識解決問題的能力.
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二、活動背景
在一條平直的道路一旁栽有 棵樹，且相鄰兩棵樹之間的距
離相等.為了更方便地澆灌這些樹，護林隊計劃將水管鋪設到
某棵樹的附近.如果要使出水口的位置到每棵樹的距離之和最
小，那么水管出水口設置在哪里最好呢
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三、活動過程
1.獨立完成下列任務.
如圖，設每個點之間的距離是1，
當直線上只有一個點 時，出水口設置在_______時距離最小，
為___；
點處
0
當直線上有兩個點， 時，出水口設置在__________時距離
和最小，為___；
當直線上有三個點，， 時，出水口設置在_______時距
離和最小，為___；
當直線上有四個點，，， 時，出水口設置在_________
__時距離和最小，為___；
當直線上有五個點，，，， 時，出水口設置在______
__時距離和最小，為___.
線段上
1
點處
2
線段上
4
點處
6
2.小組合作完成下列任務.
（1）分析最小距離的計算方法（以上述五個點為例）
當出水口設置在__________之間時，到點和點 的距離和最
小，為___；
當出水口設置在__________之間時，到點和點 的距離和最
小，為___；
當出水口設置在_______時，到點 的距離最小，為___.
綜上，所以出水口設置在_______時，距離和最小，為___.
點和點
4
點和點
2
點處
0
點處
6
（2）總結規律：
當 為任意正整數時，
出水口到第1個點和第個點的距離和最小為 ，
出水口到第2個點和第個點的距離和最小為 ，
出水口到第3個點和第個點的距離和最小為 ，
…
所以距離和最小為
所以當為偶數時，距離和最小為_ __；當 為奇數時，距離
和最小為_ ____.
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四、解決問題
1.如圖，點，，，在數軸上分別表示數， ，2，
4，是數軸上一動點，從點 出發以每秒2個單位長度的速
度向右運動，當點出發多少秒后，到，， 三點的距離
和最小，此時點所處位置對應的數字是多少？此時點 到
，， 三點的距離之和是多少？
【解】根據題意，當點和點重合時，點到，， 三點
的距離和最小,是7，即點所處位置對應的數字是2,點 出發
時間是 .
2.如圖，某一直線街道旁有9個小區，依次記為， ，
， ， ，假定相鄰兩個小區間隔相同，將這個間隔記
為 ．某快遞公司決定在街道旁建立一個快遞代收點
．請問快遞代收點 建立在何處，才能使這9個小區的居民
到快遞代收點 的距離總和最小？最小值是多少？
【解】
快遞代收點建立在 處,才能使這9個小區的居民到快遞代
收點 的距離總和最小，最小值是
.
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五、完成活動報告，分享交流
主題活動報告
編號： 主持人：年 月 日
活動主題 活動成員 活動時間 活動地點
人員分工 問題論證
探究結論
小組成員的其他典型發現
交流收獲與自我評價
略.
續表
返回(共25張PPT)
第十一章 一元一次不等式和一元一次不等式組
11.5 一元一次不等式組
第1課時 一元一次不等式組及其解法
1. 下列不等式組中，是一元一次不等式組的是( )
D
A. B.
C. D.
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2. [2024雅安] 不等式組 的解集在數軸上表示為
( )
C
A. B.
C. D.
返回
3. [2024河南] 下列不等式中，與 組成的不等式組無
解的是( )
A
A. B. C. D.
返回
4. [2024邢臺模擬] 如圖，若是整數，且滿足
則 落在( )
B
A. 段④ B. 段③ C. 段② D. 段①
【點撥】 由①得，由②得 .則不
等式組的解集是是整數, 落在段③.
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5. 請寫出一個關于 的不等式組，使不等式
組的解集在數軸上表示如圖中所示：
_ _________________________.
（答案不唯一）
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6.[2024天津] 解不等式組
請結合題意填空，完成本題的解答.
（Ⅰ）解不等式①，得______；
（Ⅱ）解不等式②，得________；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在如圖所示的數軸上表示出來；
【解】解集在數軸上表示如圖所示.
（Ⅳ）原不等式組的解集為____________.
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7.解下列一元一次不等式組：
（1）
【解】
解不等式①,得 ，
解不等式②,得 ，
所以不等式組的解集為 .
（2）
解不等式①，得 ，
解不等式②，得 ，
所以不等式組的解集為 .
返回
8. 關于的一元一次不等式組有解，則 的取值
范圍是( )
A
A. B. C. D.
9.若關于的不等式組的解集是，則
的取值范圍是______.
【點撥】解不等式,得，由 且不等
式組的解集為,得 .
返回
10.若不等式組的解集是 ，則
____.
【點撥】 解不等式①得 ，解不等式
②得， 不等式組的解集為.又 不等式
組的解集是，， ，
解得， .
返回
11.關于，的方程組 的解滿足不等式組
則 的取值范圍是________.
【點撥】,得 ，
,得.由題意得 解得
.
返回
12.我們用來表示不大于的最大整數.例如 ，
.若，則 的取值范圍是_____________.
【點撥】表示不大于 的最大整數，
， ，則
.由，得， ，
.
返回
13.[2024廊坊期末] 當 取哪些整數值時，不等式
與 都成立？
【解】
解①得，解②得 ，
不等式組的解集為 ，
不等式組的整數解為， ，0，1，2，3，4，
即取整數， ，0，1，2，3，4時，不等式
與 都成立.
返回
14.已知關于，的方程組 的解滿足
， .
（1）用含的代數式分別表示和 .
【解】
，得， .
，得， .
（2）求 的取值范圍.
，,解得 .
（3）在的取值范圍內，當 為何整數時，不等式
的解集為 ？
不等式的解集是 ，
.
又， .
又為整數， .
返回
15. 定義：給定兩個不等式組和 ，若不
等式組的任意一個解，都是不等式組 的一個解，則稱不等
式組為不等式組 的“子集”.
例如：不等式組是不等式組 的“子集”.
（1）若不等式組 不等式組
則其中不等式組 _________是不等式組 的“子集”
（填“”或“ ”）.
【解】
【點撥】不等式組的解集為 ，不等
式組的解集為，不等式組
的解集為，則不等式組是不等式組 的“子集”.
（2）若關于的不等式組是不等式組 的“子
集”，則 的取值范圍是多少？
關于的不等式組是不等式組 的“子集”，且
不等式組的解集為, .
（3）已知不等式組 有解，且不等式組
是不等式組的“子集”，請寫出， 滿足的條件.
不等式組的解集為 ，不等式組
的解集為 ,
不等式組是不等式組 的“子集”，
，， .
返回(共36張PPT)
第十一章 一元一次不等式和一元一
次不等式組
全章熱門考點整合應用
考點1 不等式及不等式的基本性質
1. 下列數學表達式中，是不等式的有( )
；； ；
；；
C
A. 2個 B. 3個 C. 4個 D. 5個
返回
2. 不等關系在生活中廣泛存在.如圖，, 分別表示弟弟和哥
哥的身高， 表示臺階的高度.圖中兩人的對話體現的數學原
理是( )
A. 若，則
B. 若，，則
C. 若，，則
D. 若，，則
√
返回
3. [2024邢臺校級月考] 嘉嘉將某服飾店的促銷活動內容告訴
淇淇后，淇淇假設某商品的標價為 元，并列出關系式
,則下列哪項可能是嘉嘉告訴淇淇的內
容？( )
B
A. 買兩件該商品可減150元，再打兩折，最后不超過1 600元
B. 買兩件該商品可減150元，再打八折，最后不超過1 600元
C. 買兩件該商品可打兩折，再減150元，最后不超過1 600元
D. 買兩件該商品可打八折，再減150元，最后不超過1 600元
返回
考點2 一元一次不等式（組）
4. 下列式子中，是一元一次不等式的是( )
B
A. B. C. D.
5.下列不等式組： ② ③
④ ⑤
其中______（填序號）是一元一次不等式組.
①②
返回
考點3 不等式（組）的解（集）
6. 是下列哪個不等式的解？( )
D
A. B.
C. D.
返回
7. [2024唐山校級期末] 不等式 的解集在數軸
上表示正確的是( )
D
A. B.
C. D.
返回
8. [2024廊坊期末] 已知關于的不等式組 下列說
法不正確的是( )
D
A. 若它的解集是，則
B. 當 時，此不等式組無解
C. 若它的整數解只有，3，4，則
D. 若不等式組無解，則
返回
考點4 一元一次不等式的解法
9. 學習了一元一次不等式的解法后,四名同學解不等式
時,第一步“去分母”的過程都不同,其中正確的
是( )
D
A. B.
C. D.
返回
10.解不等式 ,并在數軸上表示解集.
【解】去分母,得 ,
去括號,得 ,
移項,得 ,
合并同類項,得 ,
將未知數系數化為1,得 .
將解集表示在數軸上,如圖所示.
返回
考點5 一元一次不等式組的解法
11.（1）解不等式組 并將解集表示在數軸上.
【解】解不等式①,得 ，
解不等式②,得 ，
不等式組的解集為 ，
在數軸上表示解集如圖.
（2）解不等式組 并寫出這個不等式組
的最小整數解.
由①，得，由②，得 ，
不等式組的解集為 .
不等式組的最小整數解是 .
返回
12.已知關于的不等式組無解，求 的取值范圍.
【解】
解不等式①，得，解不等式②，得 .
該不等式組無解，，解得 .
返回
13.已知關于的不等式組 有且只有3個整數
解，且關于的一元一次方程 的解是正整數，求
所有滿足條件的整數 的值之和.
【解】
解不等式①，得，解不等式②，得 ，
不等式組的解集為 .
該不等式組有且只有3個整數解，
該不等式組的三個整數解為 ，2，1，
，解得 .
由可得 .
關于的一元一次方程 的解是正整數，且
,
或 .
所有滿足條件的整數的值之和為 .
返回
考點6 一元一次不等式（組）的應用
14.[2024保定校級月考] 如圖，按下面的程序運算：
當 時，輸出結果為____.若運行到“判斷結果是否大于20”
為一次運算，進行了兩次運算就輸出停止，則 的取值范圍
是___________.
33
【點撥】當時，， 輸出
結果為33.由題意可列不等式組 解得
.
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15. 為響應國家節能減排的倡議，某汽車專
賣店銷售A，B兩種型號的新能源汽車，B型車的售價比A型
車的售價高8萬元，本周售出1輛A型車和3輛B型車，銷售總
額為96萬元.
（1）求每輛A型車和B型車的售價.
【解】設每輛A型車的售價是萬元，每輛B型車的售價是
萬元，
根據題意得 解得
答：每輛A型車的售價是18萬元，每輛B型車的售價是26萬元.
（2）隨著新能源汽車越來越受消費者認可，汽車專賣店計
劃下周銷售A，B兩種型號的汽車共10輛，若銷售總額不少于
228萬元，求B型車至少銷售多少輛.
設銷售B型車輛，則銷售A型車 輛，
根據題意得，解得 ，
的最小值為6.
答：B型車至少銷售6輛.
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16.學校為激勵更多班級積極參與“分類適宜，垃圾逢春”活動，
決定購買拖把和掃帚作為獎品，獎勵給垃圾分類表現優異的
班級.若購買3把拖把和2把掃帚共需80元，購買2把拖把和1把
掃帚共需50元.
（1）請問拖把和掃帚每把各多少元？
【解】設拖把每把元，掃帚每把 元.
根據題意,得解得
答：拖把每把20元，掃帚每把10元.
（2）現準備購買拖把和掃帚共200把，且要求購買拖把的費
用不低于購買掃帚的費用，所有購買的資金不超過2 690元，
問有幾種購買方案，哪種方案最省錢？
設購買拖把把，則購買掃帚 把.
根據題意得
解得 .
為整數， ，68，69.
有3種購買方案:①購買拖把67把，掃帚133把；②購買拖把
68把，掃帚132把；③購買拖把69把，掃帚131把.
當時，共花費 （元）；
當時，共花費 （元）；
當時，共花費 （元）.
元元 元，
方案①購買拖把67把，掃帚133把最省錢.
返回
思想1 數形結合思想
17.已知不等式組 在數軸上表示不等式①，
②的解集如圖所示，則 的值為____.
27
返回
思想2 整體思想
18.已知且，則 的取值范圍
是_ ____________.
【點撥】將方程組中的兩個方程相加，得 ,
, ,解得
.
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思想3 分類討論思想
19.已知關于的方程 的解不小于1，
且是一個非負整數，試確定 的值.
【解】
解，得 .
原方程的解不小于1，即 ，
，解得 .
又是一個非負整數，或 .
當時，；當時， .
返回
思想4 轉化思想
20.已知關于,的方程組的解中與 均為
正數.
（1）求 的取值范圍;
【解】
，得 .
,得 .
該方程組的解為正數，
解得 .
（2）化簡： .
由（1）知且 ,
原式 .
當方程組的解滿足特定要求時，先設法求出這個方
程組的解，然后根據題意列出不等式組，求出所求字母的取
值范圍.
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思想5 類比思想
21. 【提出問題】
已知，且，，試確定 的取值范圍.
【分析問題】
先根據已知條件用一個量如表示另一個量如 ，然后根據題
中已知量的取值范圍，構建另一量 的不等式，從而確定該
量的取值范圍，同法再確定另一未知量 的取值范圍，最后
利用不等式性質即可獲解.
【解決問題】
解：， .
又， .
又， ，①
同理得 ,②
由，得 .
的取值范圍是 .
【嘗試應用】
已知，且，，求 的取值范圍.
【解】
， .
又， .
又， ，①
同理得 ,②
由,得 .
的取值范圍是 .
.
返回

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