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第九章 因式分解
專題13 因式分解的方法
方法1 提公因式法
1.若,則 的值為___.
3
返回
2.把下列各式因式分解:
（1） ;
【解】原式 .
（2） .
原式 .
返回
3.已知,,求 的值.
【解】, .
又, .
原式 .
返回
方法2 公式法
4. 已知 ，則代數(shù)式
的值為____.
10
【點撥】 .
又, 原式 .
返回
5.把下列各式因式分解:
（1） ;
【解】原式 .
（2） ；
原式
.
（3） .
原式 .
返回
6.利用因式分解計算: .
【解】原式 .
返回
方法3 分組分解法
7. 觀察下面甲、乙兩名同學進行的因式分解：
甲：
（分成兩組）
（分別提公因式）
.
乙：
（分成兩組）
（直接運用公式）
.
請你在他們的解法的啟發(fā)下，把下列各式因式分解：
（1） ;
【解】原式 .
（2） ;
原式
.
（3） ;
原式
.
（4） .
原式
.
返回
方法4 十字相乘法
8.對于二次三項式，如果能將常數(shù)項 分解成兩
個因數(shù)，，使，的和恰好等于一次項系數(shù) ，即
，，就能將 分解因式,這種分解
因式的方法取名為“十字相乘法”.
為使分解過程直觀，常常采用圖示的方法，將二次項系數(shù)與
常數(shù)項的因數(shù)分列兩邊（如圖）,再交叉相乘并求和，檢驗是
否等于一次項系數(shù)，從而進行分解.則代數(shù)式 因
式分解的結(jié)果為______________.
返回
方法5 換元法
9.下面是某同學對多項式 進行
因式分解的過程.
解：設(shè) ,
則原式
.
回答下列問題：
（1）該同學因式分解的結(jié)果是否徹底 ________
（填“徹底”或“不徹底”）.若不徹底，請你直接寫出該因式分
解的最后結(jié)果：_________.
不徹底
（2）請你仿照以上方法嘗試對多項式
進行因式分解.
【解】設(shè) ,則原式
.
當對某些代數(shù)式難以因式分解時，常采用換元法 ，
將沒有規(guī)律的代數(shù)式轉(zhuǎn)化為有規(guī)律的代數(shù)式進行因式分解.
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方法6 拆項法
10.在分解因式 時，李老師是這樣解的：
解：原式 （第一步）
（第二步）
（第三步）
.（第四步）
（1）從第一步到第二步運用了__________公式；
（2）從第二步到第三步運用了____________；
完全平方
提公因式法
（3）請仿照上述方法，分解因式： .
【解】 .
返回
方法7 配方法
11. 閱讀下列材料，回答問題：
因式分解： .
解：原式
.
上述因式分解的方法可以稱之為“配方法”.
（1）已知,求 的值；
【解】由 ,
得 ,
.
,，解得， .
（2）求 的最小值.
.
, .
的最小值是 .
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第九章 因式分解
測素質(zhì) 因式分解
［時間：60分鐘 分值：100分］
一、選擇題（每小題4分，共32分）
1. 下列由左邊到右邊的變形，屬于因式分解的是( )
C
A.
B.
C.
D.
返回
2. 下列多項式中，可以提取公因式的是( )
B
A. B.
C. D.
3. 下列多項式中不能用公式法分解因式的是( )
D
A. B.
C. D.
返回
4. 若多項式 能分解成兩個一次因式的積，且其
中一個一次因式為，則 的值為( )
A
A. 1 B. 5 C. D.
返回
5. 當，，且時， 的值
( )
A
A. 總是為正 B. 總是為負
C. 為0 D. 可能為正，也可能為負
【點撥】 .
B,,且, ,即
的值總是為正.
返回
6. [2024保定期末] 若 為任意整數(shù)，則
的值不一定能( )
C
A. 被2整除 B. 被4整除 C. 被6整除 D. 被8整除
【點撥】
為任意整數(shù), 的值一定能被2，4，8整
除，但是不一定能被6整除.
返回
7. 若，
（和不相等），那么式子 的值為( )
B
A. 2 025 B. C. 2 023 D.
【點撥】， ，
和 不相
等，
.
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8. [2024石家莊校級模擬] 若 的結(jié)果為整數(shù)，則
整數(shù) 的值不可能是( )
D
A. 44 B. 55 C. 66 D. 77
【點撥】原式
，
當時，，是 的因子，
結(jié)果為整數(shù).故選項A不符合題意；
當時，，是 的因子，
結(jié)果為整數(shù).故選項B不符合題意；
當時，，是 的因子，
結(jié)果為整數(shù).故選項C不符合題意；
當時，，不是 的因子，
結(jié)果不是整數(shù)，故選項D符合題意.故選D.
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二、填空題（每小題5分，共20分）
9.[2024無錫] 分解因式： ______________.
10.若能分解為，則 為___,
為_____.
2
【點撥】能分解為 ,
， ,
.
返回
11. 如圖①，
邊長為 的正方形紙片
剪出一個邊長為 的正
方形之后，剩余部分
（陰影部分）可剪拼成一個長方形（如圖②），若拼成的長
方形一邊長為 ，則另一邊長為_________.
【點撥】依題意得剩余部分為
剪拼成的長方形一邊長為 ,且
, 另一邊長為 .
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12. 設(shè)實數(shù)，，滿足 ,則代
數(shù)式 的最大值是___.
8
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三、解答題（共48分）
13.（14分）
（1）因式分解：
① ;
【解】原式 .
② .
原式 .
（2）簡便計算：
.
原式
.
返回
14.（8分）已知， ，求
的值.
【解】， .
又，，解得 .
當， 時，
.
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15.（12分） 探究性學習小組的甲、乙兩名
同學進行因式分解如下表：
甲： （分成兩組） （直接運用公 式） . 乙：
（分成兩組）
（提公因式）
.
請在他們解法的啟發(fā)下，解答下列各題.
（1）因式分解： ；
【解】 .
（2）已知，，分別是三角形 的三邊長，且滿足
，請判斷三角形 的形狀，并
說明理由.
三角形 是等腰三角形.理由如下：
，
.
.
，，分別是三角形 的三邊長，
.
三角形 是等腰三角形.
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16.（14分） 我們定義：一個整數(shù)能表示成
（， 是整數(shù)）的形式，則稱這個數(shù)為“完美數(shù)”.例
如：5是“完美數(shù)”.理由：， 是“完美數(shù)”.
【解決問題】
（1）已知29是“完美數(shù)”，將它寫成（， 是整數(shù)）
的形式為_____________ ；若 可配方成
（，為常數(shù)），則 _____；
【探究問題】
（2）已知，則 ____；
【點撥】 ,
.
.
,,解得, .
.
（3）已知（，是整數(shù)， 是常
數(shù)），要使為“完美數(shù)”，試求出符合條件的一個 值，并說
明理由；
【解】 .理由:
,
且 為“完美數(shù)”，
易知,解得 .
【拓展結(jié)論】
（4）已知實數(shù)，滿足，求 的
最值.
,
.
.
,
.
的最大值為 .
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第九章 因式分解
9.3 公式法
第1課時 用平方差公式分解因式
1. 課堂上老師在黑板上布置了以下的題目：
用平方差公式分解因式：
（1）；（2） ；
（3）；（4） .
濤濤發(fā)現(xiàn)有一道題目錯了，錯誤的題目是( )
B
A. （1） B. （2） C. （3） D. （4）
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2. [2024邯鄲模擬] 將多項式“ ？”因式分解，結(jié)果為
，則“？”是( )
C
A. 3 B. C. 9 D.
3.[2024宜賓] 分解因式: _______________.
4.一個長方形的面積為，寬為 ，則該長方形
的長為_______.
5.若，，則 的值為___.
4
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6. 教材P117例1 分解因式：
（1） ;
【解】 .
（2） .
.
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7. 下面是嘉淇同學把多項式
因式分解的具體解法：
.
（1）事實上，嘉淇的解法是錯誤的，造成錯誤的原因是
________________________；
【解】公因式?jīng)]有提取完
（2）請給出這個問題的正確解法.
原式 .
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8. 有四個式子：，，， ，
請你從中選出兩個，使兩者之差能按照以下要求進行因式分
解，并寫出因式分解的結(jié)果.
（1）利用提公因式法；
【解】選取：與 ，
.
（2）利用公式法.
選取：與， .
（答案不唯一）
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9. 教材P124復習題T8 若 為任意整數(shù)，則
的值總能( )
D
A. 被5整除 B. 被6整除 C. 被7整除 D. 被8整除
【點撥】
，
的值總能被8整除.故選D.
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10. [2024保定期末] 已知，則 的值是
( )
C
A. 2 B. 6 C. 4 D. 8
【點撥】 ，
原式
.
返回
11. 如果,,，4,, 分別對應6個字：
鹿，鳴，數(shù)，我，愛，學，現(xiàn)將
因式分解，結(jié)果呈現(xiàn)的可能是( )
A
A. 我愛鹿鳴 B. 愛鹿鳴 C. 鹿鳴數(shù)學 D. 我愛數(shù)學
返回
12. 若 ，則
的值是( )
D
A. 2 028 B. 2 027 C. 2 026 D. 2 025
【點撥】 ，
，
.
故選D.
返回
13. 教材P119習題T7 計算： …
_____.
【點撥】原式 …
.
返回
14. 定義：若一個正整數(shù) 能表示成兩個相
鄰偶數(shù)，的平方差，即，且 的
算術(shù)平方根是一個正整數(shù)，則稱正整數(shù) 是“雙方數(shù)”.例如：
， ，36就是一個“雙方數(shù)”.若將“雙方數(shù)”
從小到大排列，前3個“雙方數(shù)”的和為_____；第100個“雙方
數(shù)”為_________.
140
158 404
【點撥】根據(jù)題意設(shè)，（ 為大于0的自然
數(shù)），則
，要使
是“雙方數(shù)”，則 必須是一個正整數(shù)的平方.設(shè)
,為大于0的自然數(shù)，是一個奇數(shù).
為奇數(shù). 當 時，
（第1個“雙方數(shù)”
）
；當時， （第2個“雙方數(shù)”）；
當時，（第3個“雙方數(shù)”）
從小到大排列，前3個“雙方數(shù)”的和為 .根
據(jù)以上規(guī)律，當是第100個“雙方數(shù)”時， ，此時
.
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15.如圖是一種混凝土排水管，其形狀為空心的圓柱體，它的
內(nèi)徑，外徑，長 .制成一節(jié)這
樣的排水管需要多少立方米的混凝土（結(jié)果保留 ）？怎樣
計算較簡便？
【解】
，
.
答：制成一節(jié)這樣的排水管需要 的混凝土;先分解
因式,再代值計算較簡便.
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16.[2024張家口期中] 如圖，卡片A，B，C各代表一個代數(shù)
式，從這三張卡片中取兩張進行因式分解運算.
（1）若選擇B，C卡片，請進行因式分解；
【解】 .
（2）嘉嘉發(fā)現(xiàn)：“若選擇A，B卡片，不論 為何整數(shù)，其結(jié)
果總可以被 整除”，請確定滿足條件的最小正整數(shù)
的值.
.
由題意可知的值總可以被 整除，
即是整數(shù) 的倍數(shù)，
滿足條件的最小正整數(shù) 的值是3.
返回
17.[2024西安高新區(qū)校級月考] 如果一個正整數(shù)能表示為兩個
連續(xù)奇數(shù)的平方差，那么稱這個正整數(shù)為“奇特數(shù)”，例如：
,, ，則8，16，24這三個
數(shù)都是“奇特數(shù)”.
（1）設(shè)兩個連續(xù)奇數(shù)是和（其中 取正整數(shù)），
由這兩個連續(xù)奇數(shù)構(gòu)造的“奇特數(shù)”是8的倍數(shù)嗎？請說明理由.
【解】由這兩個連續(xù)奇數(shù)構(gòu)造的“奇特數(shù)”是8的倍數(shù).
理由： ，
由這兩個連續(xù)奇數(shù)構(gòu)造的“奇特數(shù)”是8的倍數(shù).
（2）如圖是由正方形組成的圖形，正方
形的邊長是從1開始的連續(xù)奇數(shù) ，按此
規(guī)律拼疊到正方形 ，其邊長為39，
求陰影部分的面積.
由題意，得
.
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第九章 因式分解
全章熱門考點整合應用
考點1 因式分解
1. [2024秦皇島期末] 下列由左到右的變形，屬于因式分解的
是( )
B
A.
B.
C.
D.
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2. 如圖，兩條線段把正方形分割出邊長分別為， 的
兩個小正方形，則利用該圖形可以驗證因式分解成立的是
( )
B
A.
B.
C.
D.
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考點2 用提公因式法和公式法進行因式分解
3. 下列因式分解正確的是( )
C
A.
B.
C.
D.
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4. [2024邯鄲期末] 下面是甲、乙兩名同學因式分解
的結(jié)果，下列判斷正確的是( )
甲同學：原式 ;
乙同學：原式 .
C
A. 只有甲的結(jié)果正確 B. 只有乙的結(jié)果正確
C. 甲、乙的結(jié)果都正確 D. 甲、乙的結(jié)果都不正確
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5.因式分解：
（1）[2024棗莊] __________;
（2）[2024眉山] ________________;
（3） ___________.
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6.分解因式：
（1） ;
【解】原式
.
（2） ；
原式 .
（3） .
令 ,則原式
.
將代入，得原式 .
拆項和添項是在因式分解難以進行的情況下采用的
一種輔助方法，通過適當?shù)摹安痦棥被颉疤眄棥保俜纸M，以達
到因式分解的最終目的.
返回
考點3 因式分解的應用
7. 已知，，則代數(shù)式
的值為( )
C
A. B. 30 C. D.
【點撥】，， 易得
.
返回
8. 對于任意整數(shù)， ( )
C
A. 能被2整除，不能被4整除
B. 能被3整除
C. 既能被2整除，又能被4整除
D. 能被5整除
【點撥】 為任意整數(shù)，
既能被2整除,又能被4整除，即
即能被2整除,又能被4整除.
返回
9. 如果一個正整數(shù)能表示為兩個連續(xù)奇數(shù)
的平方差，那么稱這個正整數(shù)為“相數(shù)”.如： ，
， .下列各數(shù)中不是“相數(shù)”的是
( )
B
A. 32 B. 34 C. 40 D. 48
【點撥】設(shè)兩個連續(xù)奇數(shù)中較小的奇數(shù)為 ,則較大的奇
數(shù)為,其中 為正整數(shù).
,
“相數(shù)”一定是8的倍數(shù). ,40,48均為“相數(shù)”,34不是“相數(shù)”.
返回
10. 已知，均為正整數(shù)且滿足 ，則
的最大值是( )
C
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
【點撥】根據(jù)，得 .
，均為正整數(shù)，或 或
或 解得或或
或 的最大值是9.
返回
11.計算：
（1） ；
【解】原式 .
（2） .
原式 .
返回
12.已知，，求 的值.
【解】， .
又，，解得 .
當， 時，
.
返回
13. 觀察下列式子因式分解的結(jié)果：
；
；
.
（1）觀察以上結(jié)果，對進行因式分解：
_________________________________；
（2）觀察以上結(jié)果，猜想： ____________________
________________；（ 為正整數(shù)）
【解】
（3）試求 的值.
由（2）可得
，
.
返回
思想1 數(shù)形結(jié)合法
14.如圖，現(xiàn)有邊長為的正方形紙片2張，邊長為 的正方形
紙片2張，長為，寬為 的長方形紙片5張，把這些紙片拼成
一個長方形，畫出此長方形，并利用此拼圖中的面積關(guān)系，
因式分解： ________________.
【解】如圖.
返回
思想2 整體思想
15. 閱讀材料：
因式分解： .
解：將“”看成整體，令 ，
則原式 .
再將“”還原，可以得到原式 .
上述解題用到的是“整體思想”，整體思想是數(shù)學解題中常用
的一種思想方法.
問題解決：
（1）因式分解： ______________；
【點撥】令，則原式 .
將“”還原，可以得到原式 .
（2）因式分解： ；
【解】令 ，
則原式
.
將“”還原，可以得到原式 .
（3）試說明：若 為正整數(shù)，則代數(shù)式
的值一定是某個整數(shù)的平方.
.
為正整數(shù)， 為正整數(shù).
代數(shù)式 的值一定是某個整數(shù)的
平方.
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第九章 因式分解
9.3 公式法
第2課時 用完全平方公式分解因式
1. 下列各式：； ；
； ，其中不能用完全平方公式因
式分解的個數(shù)為( )
B
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2. [2024北京石景山區(qū)期末] 把 分解因式，結(jié)
果正確的是( )
C
A. B. C. D.
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3. 教材P121練習 若將多項式 加上一個單
項式后，就能夠在我們所學范圍內(nèi)因式分解，則單項式 不
可能是( )
D
A. B. C. D.
返回
4. 如果， ，那么
的值為( )
D
A. 0 B. 1 C. 4 D. 9
【點撥】, ,
.
返回
5.用圖①中的正方形和長方形紙片可拼成圖②所示的正方形，
用因式分解的方法表示一個恒等式為____________________
___.
6.計算： ___.
4
返回
7. 教材P121習題T2 把下列各式分解因式：
（1） ;
【解】 .
（2） ;
.
（3） .
.
返回
8. 給出三個多項式： ;
; .
（1）請任意選擇兩個多項式進行加法運算，并把結(jié)果因式分解；
【解】選擇 （答案不唯一）.
.
（2）當, 時，求第（1）問所得的代數(shù)式的值.
當，時，原式 .
返回
9. 不論，為任何實數(shù)， 的值總是
( )
B
A. 非負數(shù) B. 正數(shù) C. 負數(shù) D. 0
返回
10. 已知,則 的值
為( )
A
A. 36 B. 42 C. 48 D. 50
【點撥】， ，
.
返回
11. [2024邢臺校級月考] 已知， ，其
中 為正整數(shù)，下列兩名同學的說法中正確的是( )
嘉嘉：由已知條件可知 .
淇淇：由已知條件可知 .
B
A. 只有嘉嘉正確 B. 只有淇淇正確
C. 兩人都正確 D. 兩人都不正確
【點撥】，， 為正整數(shù)，
,與 不相符，故嘉嘉的判斷錯誤；
，，為正整數(shù)，， .
又， ，故淇淇的判斷正確.故選B.
返回
12.已知，，分別是三角形 的三邊長，若
，，則三角形 的
周長是___.
6
【點撥】 ，
.又
,,即三角形 的周
長是6.
返回
13. 不論， 為何有理數(shù)，
的值總是非負數(shù)，則 的最小值是___.
5
【點撥】， 的最小值是5.
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14.【閱讀材料】整體思想是數(shù)學解題中常用的一種思想方法，
下面是某同學對多項式 進行
因式分解的過程.
解：設(shè) ，
則原式
.
請你模仿以上方法嘗試對多項式
進行因式分解.
【解】設(shè) ，
則原式
.
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15. 觀察下列等式：
,
,
,
, .
（1）根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，寫出 是哪一個正
整數(shù)的平方；
【解】
由題意得 ，
即 是194的平方.
（2）請把 寫成一個整數(shù)的平方的形式.
.
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16. 閱讀下面的材料，然后解決
問題.
蘇菲·熱門是19世紀法國數(shù)學家.下面是蘇菲·熱門寫的數(shù)學著
作中的一個問題：分解因式 時，因為該式只有兩項，
而且屬于平方和的形式，即 ，所以要使用公式就
必須添加一項，同時減去 ，即
.
人們?yōu)榱思o念蘇菲·熱門給出的這一解法，就把它叫作“熱門定理”.
請你依照蘇菲·熱門的做法，將下列各式因式分解：
（1） ；
【解】原式
.
（2） ；
原式
.
（3） .
原式
.
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第九章 因式分解
9.2 提公因式法
1. [2024菏澤期末] 多項式（， 均為
大于1的整數(shù)）各項的公因式是( )
B
A. B.
C. D.
2. [2024邢臺模擬] 把 分解因式時，提出公
因式后，另一個因式是( )
A
A. B.
C. D.
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3. 把 因式分解，正
確的結(jié)果是( )
B
A. B.
C. D.
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4. 計算 的結(jié)果是( )
A
A. B.
C. D.
【點撥】 .
返回
5. 整式， ，下列結(jié)論：
結(jié)論一： .
結(jié)論二：，的公因式為 .
下列判斷正確的是( )
A
A. 結(jié)論一正確，結(jié)論二不正確
B. 結(jié)論一不正確，結(jié)論二正確
C. 結(jié)論一、結(jié)論二都正確
D. 結(jié)論一、結(jié)論二都不正確
【點撥】，則，， 的公因
式是， 結(jié)論一正確，結(jié)論二不正確.故選A.
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6. 在處填入一個整式，使關(guān)于 的多項式
可以因式分解，則 可以為__________________
（寫出一個即可）.
（答案不唯一）
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7. 如圖，長方形的長、
寬分別為,，且比 大3，面積為7，則
的值為____.
【點撥】由題意可知， ，
， .
21
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8. 教材P115習題T1 把下列各式分解因式：
（1） ；
【解】原式 .
（2） .
原式 .
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9. 教材P116習題T4 用簡便方法計算：
（1） ;
【解】原式 .
（2） .
原式
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10. 某養(yǎng)雞場老板準備用 長的籬笆圍
成一個相鄰兩邊長分別為， 的長方形場地，已知
，則這個長方形場地的面積為( )
B
A. B. C. D.
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11. 多項式 可以因
式分解成，則 的值是( )
C
A. 2 B. 4 C. 4或 D.
【點撥】，故，或， ，
則或 .故選C.
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12. 已知 ，則
的值是( )
A
A. 0 B. 1 C. D. 2
【點撥】 ，
.
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13.對于任意的有理數(shù),,,,我們規(guī)定 ,如
，則 的值為
___________.
【點撥】 ，
.
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14.已知，，是正整數(shù)， ，且
，則 等于__________.
或
【點撥】 ,
，，是正整數(shù)， ，
或或 .
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15.已知 可分解因式為
，其中，均為整數(shù)，則 等于多少？
【解】
.
由題意得， ，
.
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16.已知,,為三角形 的三邊長,且
,試判斷三角形 的形狀.
【解】因為 ，
所以 .
所以 .
因為，，為三角形 的三邊長，
所以.所以 .
所以.所以三角形 是等腰三角形.
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17. 先閱讀下列分解因式的過程，再回答所
提出的問題：
.
（1）上述分解因式的方法是____________，共應用了___次；
提公因式法
2
（2）若分解因式
，則需應用
上述方法_______次，結(jié)果是____________；
2 025
（3）分解因式：
（ 為正整數(shù)）.
【解】原式
…
.
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18.[2024石家莊模擬] 每個人都擁有一個快樂數(shù)，我們把自己
出生的年份減去組成這個年份的數(shù)字之和，所得的差就是我
們自己的快樂數(shù).比如我國著名的數(shù)學家華羅庚出生于1910年，
他的快樂數(shù)是 .
（1）某人出生于1949年，他的快樂數(shù)是_______；
1 926
（2）快樂數(shù)都能被___整除，請你用所學知識說明你的猜想;
9
設(shè)出生年份為 ，
快樂數(shù)為
.
快樂數(shù)都能被9整除. 猜想正確.
（3）請你重新定義快樂數(shù)，并寫出一個你找到的規(guī)律
（直接寫出結(jié)果，不用證明）.
【解】定義：若一個四位數(shù)的千位數(shù)字與十位數(shù)字相等，個
位數(shù)字與百位數(shù)字相等，則稱這個數(shù)為快樂數(shù).發(fā)現(xiàn)的規(guī)律是：
快樂數(shù)能被101整除.（答案不唯一）
【點撥】令這個快樂數(shù)為 ,
快樂數(shù)是101的倍數(shù).
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第九章 因式分解
9.1 因式分解
1. [2024保定期末] 下列各式由左邊到右邊的變形中，表述正
確的是( )
；
.
C
A. 都是因式分解
B. 都是乘法運算
C. ①是因式分解，②是乘法運算
D. ①是乘法運算，②是因式分解
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2. [2024邯鄲期末] 下列各式從左到右的變形，是因式分解且
正確的是( )
D
A.
B.
C.
D.
3.已知多項式 分解因式的結(jié)果是
，則 的值為____.
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4.如果，求 的值.
【解】 ，
， .
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5. 教材P112習題T4若多項式 因式分解后
有一個因式是，則 的值為( )
C
A. B. 5 C. 1 D.
【點撥】設(shè)能因式分解成兩個一次因式
與 的積，
，
即 .
，， .
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6. 根據(jù)如圖所示的拼圖過程，寫出一個多項
式的因式分解：___________________________.
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7. 兩名同學將一個二次三項式分解因式，一
名同學因看錯了一次項系數(shù)而分解成 ，另一名
同學因看錯了常數(shù)項而分解成 ，求出原多項式.
【解】設(shè)原多項式為（其中,, 均為常數(shù)，且
）,
,
由題意得, .
,
由題意得 原多項式為 .
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8. 對于多項式，如果我們把
代入 ，發(fā)現(xiàn)此多項式的值為0，這時可以斷定多項
式中有因式 ，可設(shè)
（ 為常數(shù)），通過展開多項式
或代入合適的的值即可求出 的值.我們把這種因式分解的
方法叫“試根法”.
根據(jù)以上閱讀材料，回答下列問題：
（1）請完成下列因式分解：
_____________________；
【解】
（2）若多項式（， 為常數(shù)）因式分解后，有
一個因式是，求 的值；
由題意得當時, .
.
.
（3）請用“試根法”分解因式： .
把代入，得 ，
，
，,，解得， .
.
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第九章 因式分解
專題14 因式分解的常見應用
應用1 簡便計算
1.利用因式分解計算：
（1） ;
【解】 .
（2） ;
.
（3） .
.
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應用2 化簡求值
2.若，，則 的值是___.
6
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3.先化簡，再求值：
（1）已知,,求 的值；
【解】原式 .
當, 時,
原式 .
（2）已知,,求 的值.
原式 .
當,時，原式 .
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應用3 判斷整除
4. 若為任意整數(shù)，則 的值總能( )
B
A. 被2整除 B. 被3整除 C. 被5整數(shù) D. 被7整除
【點撥】為任意整數(shù)， 的值總能被3整除.
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5.當為整數(shù)時， 能被4整除嗎？請說明理由.
【解】能被4整除.理由如下：
, 當為整數(shù)時， 能被4整除.
解決整除問題，首先要對所給的多項式進行因式分
解，然后確定因式分解結(jié)果中的因式能否被某個數(shù)（整式）
整除，若能，則能被整除，否則不能被整除.
. .
. .
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6. 先閱讀下列材料，然后解題.
因為 ，
所以 ,
即能被 整除.
所以是的一個因式，且當 時，
.
（1）【類比思考】 ，所以
能被_____________整除，所以_____________是
的一個因式，且當 _________時，
；
或
或
或
（2）【拓展探究】根據(jù)以上材料，已知多項式
能被整除，試求 的值.
【解】因為能被 整除，
所以當時， .
所以,解得 .
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應用4 判斷正負
7. 已知是有理數(shù)，且,則多項式 的值( )
A
A. 一定為負數(shù) B. 不可能為正數(shù)
C. 一定為正數(shù) D. 可能是正數(shù)或負數(shù)或零
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應用5 比較大小
8. 已知,為任意有理數(shù)，記，，則
與 的大小關(guān)系為( )
B
A. B. C. D. 不能確定
【點撥】, ,
.
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9. 已知 ，
，比較， 的大小.
【解】
.
因為， ，
所以.所以 .
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應用6 判斷三角形的形狀
10.已知，，是三角形 三條邊的長，且滿足
.試判斷三角形 的形狀.
【解】 ，
，
，
，
，
，， ，
，即三角形 的形狀為等邊三角形.
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應用7 求周長
11. 閱讀材料：
利用公式法，可以將一些形如 的多項式
變形為 的形式，我們把這樣的變形方法叫作多
項式 的配方法，運用多項式的配方法及
平方差公式能對一些多項式進行因式分解，例如：
.
根據(jù)以上材料，解答下列問題.
（1）用配方法分解因式： ；
【解】
.
（2）求多項式 的最小值；
,
因為，所以 .
所以多項式的最小值為 .
（3）已知,，是三角形 的三邊長，且滿足
，求三角形 的周長.
因為 ,
所以 .
所以 .
所以 .
所以,, .
所以,, .
所以三角形的周長為 .
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應用8 探究規(guī)律
12.觀察下列各式：
；
；
；
…
你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？請用含有字母（ 為正整數(shù)）的等式表
示出來，并說明理由.
【解】規(guī)律為
理由如下：
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