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(共30張PPT)
第十章 三角形
10.2 三角形的內(nèi)角和外角
第1課時 三角形內(nèi)角和定理
1. 教材P130例1 在三角形中， ，
，則 的度數(shù)為( )
C
A. B. C. D.
2. 在中，，則 的度數(shù)為( )
B
A. B. C. D.
返回
3. 將一個含 角的三角板和直尺如圖
放置，若 ，則 的度數(shù)是
( )
B
A. B. C. D.
【點撥】如圖,由題意得 .
，
，
.
.
返回
4. 教材P130大家談?wù)?在探究說明“三角形的內(nèi)角和是
”時，作了如下四種輔助線，其中不能說明“三角形內(nèi)角
和是 ”的是( )
D
A. 過點作
B. 過上一點作，
C. 延長到點，過點作
D. 作于點
【點撥】A.由，得 ，
，
，故A不符合題意.由 ，
得，.由，得 ，
，
，
，故B不符合題意.由 ，得
，
，
，故C不符合題意.由
于點，得 .無法證得三角形內(nèi)角和是
，故D符合題意.
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（第5題）
5. 如圖， ，， 分別平分
和，則 的度數(shù)是( )
A
A. B. C. D.
（第5題）
【點撥】在中， ，
.,分別平分 和
， ，
在 中，
， .
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6.如圖，一塊模板按規(guī)定，的延長線相交應(yīng)成 角，
因交點不在模板上，不便于測量，工人師傅便連接 ，并測
得 ， ，這時， 的延長線相交
所成的角________規(guī)定（填“符合”或“不符合”）.
不符合
（第6題）
【點撥】延長，交于點，如圖所示.在 中，
， ，
. ， 這時， 的延長線相交所成的角不符合規(guī)定.
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7.如圖，在中，平分 ，
于點，交于點.若 ，
求 的度數(shù).
【解】
平分， ，
.
， .
.
.
返回
（第8題）
8. 如圖，點
為某光源，一束平行于主光軸
的光線經(jīng)凸透鏡折射后，其折
射光線與一束經(jīng)過光心 的光
C
A. B. C. D.
線相交于點，點為焦點.若 ，
， 則 的度數(shù)為( )
返回
9. 如圖，在中， ， ，
點，分別在，上，將沿折疊，使點 落在
處.則 ( )
C
（第9題）
A. B. C. D.
【點撥】
如圖， ， ，
.由折疊可知 ，
，
，
， .
返回
（第10題）
10. 如圖是小海為學(xué)校即將
舉辦的“首屆數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)展示大賽”制作宣傳
海報時設(shè)計的藝術(shù)數(shù)字“1”，若 ，
， ，則 ____.
【點撥】延長交于點，過點 作
交于點 ，如圖所示.
, .
又 ，
.
，
.
，， .
.
， .
返回
11. 在一個三角形中，如果一個內(nèi)角是另一
個內(nèi)角的三倍，這樣的三角形我們稱之為“三倍角三角形”.若
是“三倍角三角形”，且 ，則 中最小內(nèi)
角的度數(shù)為__________.
或
【點撥】當 是最小內(nèi)角的三倍時，此時三角形的
三角分別為 , , ，故最小內(nèi)角為 ；當
，另外兩個角的關(guān)系滿足三倍關(guān)系時，設(shè)最小內(nèi)
角為 ，則， .此時最小內(nèi)角為
.綜上，中最小內(nèi)角的度數(shù)為 或 .
返回
（第12題）
12. 如圖，已知在三角形
中， ， ，將
線段沿直線平移得到線段 ，連接
，在整個平移過程中，當 垂直三角
形中的一邊時， 的度數(shù)為_______
__________.
或 或
【點撥】垂直三角形 中的一邊，
有以下三種情況：
①當 時，如圖①所示.
.又 ，
.
由平移的性質(zhì)得 ，
；
（第12題）
②當時，如圖②所示. .
由平移的性質(zhì)得， ；
③當時，如圖③所示. .
又 ， .
由平移的性質(zhì)得， .
綜上所述,當垂直三角形中的一邊時，的度數(shù)為
或 或 .
（第12題）
返回
13.如圖，在四邊形中，， .
（1）求 的度數(shù)；
【解】, .
又 , .
（2）若平分交于點 ，
.試說明： .
平分， ,
.
.
又 ， .
返回
14.如圖，在中，平分 ，
.
（1）試判斷與 的位置關(guān)系，并說
明理由.
【解】
.理由：
平分， .
，
，
.
（2）若，且 ，
求 的度數(shù).
， ，
.
.
.
返回
15.
《周禮考工記》中記載有：“…半矩謂
之宣 ，一宣有半謂之欘
B
A. B. C. D.
” 意思是：“…直角的一半的角叫作宣，一宣半的角
叫作欘…”.即：1宣矩，欘宣（其中，1矩 ）.
問題：圖①為中國古代一種強弩圖，圖②為這種強弩圖的部
分組件的示意圖，若矩，欘，則 的度數(shù)為
( )
返回(共38張PPT)
第十章 三角形
專題16 三角形中角的經(jīng)典模型
類型1 雙垂直模型
（第1題）
1. 如圖，將一副三角板的直角頂點重
合并部分重疊，若 ，則
( )
B
A. B. C. D.
【點撥】設(shè)與交于點 .由題意得
. ，
.
.
.
（第1題）
返回
（第2題）
2.把一副三角板按如圖所示的方式擺放，
其中， ， ，則
的度數(shù)為____.
【點撥】由題意得 ，
. ，
.
. 在
中， ，
.
返回
類型2 A字型
3. 如圖，在中， ，若沿
圖中虛線剪去，則 的度數(shù)為
( )
C
A. B. C. D.
【點撥】設(shè)題圖中虛線與交于點 ,與
交于點 在中， ，
.
，
，
.
.
返回
4.如圖，是的角平分線，，交于點 ，
， .求 的度數(shù).
【解】 ， ，
.
又是 的角平分線，
.
， .
返回
類型3 飛鏢型（或燕尾型）
（第5題）
5. 如圖， ， ，
，則 的度數(shù)是( )
B
A. B. C. D.
【點撥】延長交于點 ,如圖所示.
是 的一個外角，
是 的一個外角，
又
, , ,
.
（第5題）
返回
6.如圖，在中， ， ， ，
，連接，，則 ____.
（第6題）
【點撥】如圖,延長交于點 .
， ，
.， ，
， .
（第6題）
返回
類型4 8字型
7.如圖①，已知線段，相交于點 ，
連接， ，我們把形如這樣的圖形
稱為“8字型”.
（1）試說明： ；
【證明】在中，，在
中， .
，
.
（2）如圖②所示， ，則
的度數(shù)為______；
【點撥】如圖，
，
，
， ， .
. ，
.
（3）如圖③，和的平分線和相交于點 ，
且與，分別相交于點，，若 ，
，求 的度數(shù).
【解】以 為交點的“8字型”中，有
，以 為交點
的“8字型”中，有
， .
，分別平分和 ，
， ，
.
又 ， ，
.
返回
類型5 角平分線模型
（第8題）
8. 如圖，，都是 的角平分線，
且 ，則 ( )
D
A. B. C. D.
【點撥】,都是的角平分線，
.又
， .又 ,
.
（第8題）
返回
（第9題）
9. 如圖，
，點，分別在 ，
上運動（不與點重合）， 平
分， 的反向延長線與
的平分線交于點，在， 的
運動過程中， 的度數(shù)( )
D
A. 變大 B. 變小 C. 等于 D. 等于
（第9題）
【點撥】平分， 平分
，， ，
.又
， .又
，
.
（第9題）
返回
10.[2024達州] 如圖，在 中，
，分別是內(nèi)角 ，外角
的三等分線，且
，，在中， ，
分別是內(nèi)角，外角 的三等分線，且
，， ，以此規(guī)律作下
去，若 ，則___ .
【點撥】 ，
， 設(shè) ，
，則 ，
.由三角形的外角的性質(zhì)得 ，
，，同理可求 ，
, ,，即 .
返回
類型6 角平分線+高線模型
11.在中，，平分 .
（1）如圖①，過點作 射線于點 ，則
與 有何大小關(guān)系？請說明
理由；
【解】 .理由：
在中， 射線 ，
，
平分，
.
又 在中， ，
.
（2）如圖②，過點作于點 ，
則，， 又有怎樣的數(shù)量
關(guān)系，請直接寫出結(jié)論；
.
（3）如圖③，過點作于點 ，
則與， 又有怎樣的數(shù)量
關(guān)系，請直接寫出結(jié)論.
.
返回
類型7 翻折模型
（第12題）
12.[2024張家口期末] 如圖，將三角
形紙片 按如圖方式折疊，折痕
分別為和，點與 邊上的
點重合，點與延長線上的點
重合.若滿足 ，則
____ .
38
（第12題）
【點撥】由折疊可知
，
，
， ，
又 ,
，即
. ，
.
.
.
（第12題）
返回
（第13題）
13. 如圖，在 中，
，將沿 折疊得
，若與 的邊平行，則
的度數(shù)為____________.
57. 或
【點撥】分兩種情況討論:①當
時，如圖①， .
.由折
疊得 ;
②當 時，如圖②,
,
.由折疊
得 .綜上， 的
度數(shù)為 或 .
返回(共33張PPT)
第十章 三角形
測素質(zhì) 與三角形有關(guān)的線段和角
［時間：60分鐘 分值：100分］
一、選擇題（每小題4分，共32分）
1. 如圖，圖中的三角形共有( )
A
（第1題）
A. 5個 B. 6個 C. 7個 D. 8個
返回
2. 如圖，為估計池塘兩岸， 間的距離，小榮在池塘的一
側(cè)選取一點，測得，，則， 間的
距離不可能是( )
A
（第2題）
A. B. C. D.
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3. 如圖，在中，是高，是角平分線， 是中線，
則下列說法中錯誤的是( )
C
A. B.
C. D.
返回
4. [2024天津?qū)幒訁^(qū)期末] 在中， ，
則 是( )
D
A. 等腰三角形 B. 直角三角形
C. 銳角三角形 D. 等腰直角三角形
【點撥】, 設(shè) , ,
,則 ，解得 ，
. 這個三角形是等腰直角三角形.
返回
（第5題）
5. [2024承德期中] 如圖是一副三角板拼成
的圖案，則 為( )
C
A. B. C. D.
【點撥】由題意得 ,
, ,
.
.
返回
（第6題）
6. 如圖，是的中線，， 分
別為，的中點.若 的面積為4，
則 的面積是( )
B
A. 8 B. 16 C. 20 D. 24
（第6題）
【點撥】為 的中點，
是 的中線，
，
為
的中點，
.
返回
（第7題）
7. 如圖，將紙片沿折疊，使點
落在點處，且平分， 平分
，若 ，則 的度
數(shù)為( )
A
A. B. C. D.
（第7題）
【點撥】連接 ,
.平分 ,
平分, .
.易知
, , 由折疊得
, ,
.
返回
（第8題）
8. 如圖，,都是的高，過點
作交的延長線于點 ，
，，若 ，
，則 ( )
A
A. B. C. 5 D.
【點撥】如圖，連接 ，
，
.
，
，
.
.
返回
二、填空題（每小題5分，共20分）
9.如圖，在中，，， 為中線，則
與 的周長之差為___.
2
返回
10.[2024長沙校級月考] 若，，為的三邊長，若，
滿足，且是整數(shù)，則 _________.
2，3，4
【點撥】，， ，
解得，,,.又
是整數(shù)， 的值為2，3，4.
返回
11. 如圖①，我們知道，光線射向一個平面
鏡被反射后，兩條光線與平面鏡的夾角相等 .如圖
②，光線照射到平面鏡甲上，會反射到平面鏡乙，然后光線
又會射到平面鏡甲上， .若 ， ，則
____ .
65
【點撥】如圖，
由題意知 ，， ，
， .又
， .
返回
12.如圖，在中， ，
，為 的外角，
與的平分線交于點 ，
3
與的平分線交于點， ， 與
的平分線相交于點 ，當兩條角平分線無交點時，
則 的值為___.
【點撥】 ，
.
. 又和 分
別平分和， ，
.
.
和分別平分和 ，
， ，
.
.
.同理可得
， .同理
可得 ， ， 無法
組成三角形，即兩條角平分線無交點. 的值為3.
返回
三、解答題（共48分）
13.（10分）如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均
為1，點，， 在小正方形的頂點上.
（1）畫出中邊上的高，邊上的中線 ；
【解】如圖，線段,線段
即為所求.
（2） 的面積為___.
4
【點撥】,是
的中線， .
返回
14.（16分）如圖，是的高，是 的角平分
線，是 的中線.
（1）若 ， ，求
的度數(shù)；
【解】是的高， .
又 ， .
是的角平分線， ，
.
.
（2）若， ,
與 的周長差為3，求
的長.
是的中線， .
與 的周長差為3,
.
.
又， .
返回
15.（22分）
（1）如圖①，在中，， 分別是
的高和角平分線，若 ，
，求 的度數(shù).
【解】 ， ，
.
是 的角平分線，
.
是的高線， .
.
.
（2）如圖②，已知平分，交邊于點，過點 作
于點， ， .
①___________；（用含 的式子表示）
②試判斷的度數(shù)是否為定值？若是，請直接寫出 的度
數(shù)；若不是，請說明理由.
的度數(shù)是定值， .【點
撥】平分 ，
.
， .
，
，即
. .
返回(共31張PPT)
第十章 三角形
10.3 三角形的角平分線、中線和高線
1. 某班四位同學(xué)畫出的線段，其中能表示 的高的
是( )
D
A. B. C. D.
返回
2. 如圖，在中， ，，是 上兩點，且
，平分 ，則下列說法中不正確的是( )
C
A. 是 的中線
B. 是 的角平分線
C.
D. 是 的高
返回
（第3題）
3. [2024德州] 如圖，在中， 是
高，是中線，， ，
則 的長為( )
B
A. 1.5 B. 3 C. 4 D. 6
【點撥】 ,
,.又是中線， .
返回
（第4題）
4.如圖，已知點是的重心，連接 ，
并延長交于點，， 的周長
比的周長大，則 ____.
2.2
【點撥】 點是的重心，且 的延
長線交于點,是 的中點，即
的周長比 的周長大
,
,即
.又 ,
.
（第4題）
返回
5.如圖，在中，是高， 平分
， ， ，求
的度數(shù).
【解】
是 的高，
. .
又 ， .
平分， ，
.
.
返回
6. 如圖，在中，是角平分線，是中線， 是高，
下列結(jié)論不一定成立的是( )
D
（第6題）
A.
B.
C.
D.
返回
（第7題）
7. 如圖，每個小正方形的邊長均為1，則下列
三角形（陰影部分）的面積與 面積相等
的是( )
A
A. B. C. D.
返回
8. 已知為的高，若 ，
，則 _______.
6或14
【點撥】分兩種情況討論:①當高在 的內(nèi)部時，如
圖①.，， ;
②當高在的外部時，如圖②.， ，
.綜上， 或14.
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9.如圖，已知是的中線，是 邊
上一動點，若的面積為10， ，
則 的最小值為____.
2.5
【點撥】是的中線， 的
面積為10，.易知當 時，
的值最小，.又 ，
.
返回
10. 如
圖，在1個面積為 的等
邊三角形中，連接三條
邊中點得到4個相同的三角形，將中間的三角形涂成白色，
記為第1次操作；再對其余3個三角形進行同樣的操作，記為
第2次操作；按照上述規(guī)律繼續(xù)操作，則經(jīng)過 次操作后，該
等邊三角形中白色三角形的面積之和是_ _________.
【點撥】 在面積為 的等邊
三角形中，連接三條邊中點得
到4個相同的三角形， 第1
次操作后，黑色三角形的面積是 ；第2次操作后，黑色三
角形的面積是 ；第3次操作后，黑色三角形的面積是
， ,第次操作后，黑色三角形的面積是， 經(jīng)
過 次操作后，該等邊三角形
中白色三角形的面積之和
.
返回
11. 如圖①，
圖②均是 的正方形網(wǎng)格，
每個小正方形的頂點稱為格
點， 的頂點均在格點上，
僅用無刻度的直尺，在給定的
網(wǎng)格中，分別按要求畫圖，保留作圖痕跡.
（1）在圖①中的邊上找一點，連接，使得 的
面積等于面積的 ；
【解】所作邊上的點 即為所求,如圖①所示.
（2）在圖②中的的內(nèi)部找一點，連接，， ，
使得，和 的面積相等.
點 即為所求,如圖②所示.
返回
12.如圖，在中， ，
，，垂足為，是 的
平分線，且交于點，交于點 .
（1）求，， 的度數(shù)；
【解】, ,
, .
,
,解
得 . , .
（2）求 的度數(shù).
是 的平分線，
.易知 ,
.
.
返回
13.等面積法是一種常用的、重要的數(shù)學(xué)解題方法.
（1）如圖①，在中， ,, ,
,，則 的長為___；
【點撥】 在中，， ，
.
又,,， .
（2）如圖②，在中，,，則 的高
與 的比是_____；
【點撥】， ,
， .
.
（3）如圖③，在中，，點 ，
分別在邊,上，且,, ，垂足
分別為，.若，求 的值.
【解】
,
,
，且 ，
.
又 ，
.
.
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第十章 三角形
專題15 三角形三邊關(guān)系的常見題型
類型1 三角形三邊關(guān)系在判斷三條線段是否組成三角形中的
應(yīng)用
1. 某校七年級學(xué)生計劃前往西柏坡紀念館
開展紅色研學(xué)活動，出發(fā)前每班需要準備一個三角形形狀的
隊旗，下列給出的三邊長規(guī)格中，可以實現(xiàn)三角形隊旗制作
的是( )
D
A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，
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2. 已知三條線段的比是：
；； ；
；； .
其中可以構(gòu)成三角形的有( )
B
A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個
返回
類型2 三角形三邊關(guān)系在求三角形第三邊長的取值范圍中的
應(yīng)用
3.[2024廊坊校級期中] 已知的三邊長分別為，， ，
且， .
（1）求 的取值范圍；
【解】,,,即 .
（2）若是小于8的偶數(shù)，求 的周長.
是小于8的偶數(shù),
或 .
當時，的周長 ;
當時，的周長 .
綜上所述， 的周長為14或16.
返回
類型3 三角形三邊關(guān)系在求等腰三角形邊長中的應(yīng)用
4.已知在中，，邊上的中線把 的
周長分為15和6兩部分，求腰長 .
【解】設(shè),,則 ,
邊上的中線將 的周長分成15和6兩部分，
,或, .
①當,且時,解得, ,
的三邊長分別為10,10,1,符合三角形的三邊關(guān)系;
②當,且 時，
解得,, 此時 ,不符合三角形的三邊
關(guān)系,故這種情況不存在.
綜上,的腰長 為10.
返回
類型4 三角形三邊關(guān)系在判斷三角形形狀中的應(yīng)用
5.，，分別為的三邊長，若， 是方程組
的解，且為奇數(shù)，求的值，并判斷 的形狀.
【解】解方程組得
，即 .
又為奇數(shù)， .
， 是等腰三角形.
返回
類型5 三角形三邊關(guān)系在非負數(shù)中的應(yīng)用
6.在中，，，是的三條邊長，其中， 滿足
，且是整數(shù).求 的周長.
【解】 ，
解得
，即.又是整數(shù), .
的周長為 .
返回(共27張PPT)
第十章 三角形
全章熱門考點整合應(yīng)用
考點1 三角形的概念及三邊關(guān)系
1. 如圖，圖中包含的直角三角形的個數(shù)是( )
C
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
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2. 四根木棒的長度分別為，，， ，現(xiàn)從
中取三根，使它們首尾順次相接組成一個三角形，則這樣的
取法共有( )
C
A. 1種 B. 2種 C. 3種 D. 4種
【點撥】四根木棒的長度分別為，，， ，
現(xiàn)從中取三根，共有4種取法，分別是:
，，， ，可以組成三角形；
，，， ，不可以組成三角形；
，，， ，可以組成三角形；
，，， ，可以組成三角形.
能組成三角形的取法共有3種.
返回
3.等腰三角形一個底角等于頂角的4倍，則頂角是____ ，按
角分，它是______三角形.
20
銳角
返回
4.如圖，是的邊 上任意一點，則
.請說明理由.
【解】 在中， ,在
中, ,
,
即 .
返回
考點2 三角形內(nèi)角和與外角
5. [2024資陽] 如圖，，過點
作于點.若 ，則 的
度數(shù)為( )
B
A. B. C. D.
【點撥】， .在
中， ， ，
. ，
.
.
返回
（第6題）
6. 教材P141復(fù)習(xí)題 某機器零件的
橫截面如圖所示，按要求線段和 的延
長線相交成直角才算合格.一工人測得
， ， ，
則該零件________（填“合格”或“不合格”）.
不合格
【點撥】如圖,延長,相交于點，連接
并延長至點 .
則有 . ，
， . 該零件不合格.
返回
考點3 三角形的重要線段
7. 如圖，在中，，為的中點，延長 交
于,為上的一點，于點 . 下列判斷正確的是
( )
（第7題）
A. 線段是 的角平分線
B. 線段為 的高
C. 線段是 的中線
D. 線段為 的角平分線
√
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8.如圖，為的中線，為的中線.若
的面積為30，，求中 邊上的高.
【解】過點作于點 ，如圖，
由題意可知 ，
， .
的面積為30， ，
，
解得 ,
即中 邊上的高為3.
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思想1 轉(zhuǎn)化思想
9.如圖，請猜想
的度
數(shù)，并說明你的理由.
【解】 .
理由：由題易得
.
，， ,
,
.
.
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思想2 方程思想
10.[2024邢臺校級月考] 如圖，在中，是 的
角平分線，為線段上的一個動點，交 的延長
線于點 .
（1）若 ， ，求 的度數(shù)；
【解】 ， ， .
又平分， . .
, . .
（2）當點在線段上運動時，若 是銳角，試說明
.
如圖,設(shè) ， .則
.
平分 ，
.
.
， .
.
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思想3 分類討論思想
11.已知, 是等腰三角形的兩條邊長，且
，求這個三角形的周長.
【解】 ,
,, .
當為腰， 為底時，不能構(gòu)成三角形;
當為底，為腰時，等腰三角形的周長為 .
綜上,這個三角形的周長為20.
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思想4 從特殊到一般思想
12. 教材P141復(fù)習(xí)題 如圖，在
中，分別延長的邊， 到點
，，與的平分線相交于點 ，愛
動腦筋的小明在寫作業(yè)時發(fā)現(xiàn)如下規(guī)律：
.若 ，則 ；
.若 ，則 ；
.若 ，則 ；
….
（1）根據(jù)上述規(guī)律，若 ，
則 ____;
（2）___________（用含 的式
子表示）;
（3）試說明（2）中的結(jié)論.
【解】在 中，
，
，
，
，即
.
平分，平分 ，
， .
.
在 中，
.
返回(共35張PPT)
第十章 三角形
10.2 三角形的內(nèi)角和外角
第2課時 三角形的外角
1. [2024秦皇島模擬] 如圖，若 ，則 的度數(shù)為
( )
B
（第1題）
A. B. C. D.
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2. 如圖，被信封遮住的三角形是( )
D
（第2題）
A. 銳角三角形 B. 直角三角形
C. 鈍角三角形 D. 以上都有可能
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3. [2024廊坊校級月考] 如圖，在 中，點
，在射線上，則，， 之間的大小
關(guān)系為( )
D
A. B.
C. D.
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4.[2024石家莊藁城區(qū)期末] 將一副三角板按圖中方式疊放，
則 的度數(shù)為____.
（第4題）
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5. 如圖，一束平行于水平面的光線經(jīng)過凹透
鏡折射后與另一束穿過光心的光線相交于點 ，若
， ，則_____ .
150
（第5題）
【點撥】如圖,延長交直線于點 ，
由題意得，又 ，
.又
，
.
.
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6. 教材P134習(xí)題T2 三角形的一個外角等于與它相鄰
的內(nèi)角的5倍，又等于與它不相鄰的一個內(nèi)角的3倍，則該三
角形各角的度數(shù)為_________________.
， ，
【點撥】設(shè)和外角相鄰的內(nèi)角為 ，則外角為 ，
，解得 外角為 . 與
外角不相鄰的一個內(nèi)角為 . 另外一個內(nèi)角為
. 該三角形各角的度數(shù)為 ， ，
.
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7.[2024唐山期中] 如圖，在梯形紙片中， .
（1） ____；
【點撥】 四邊形 為梯形，
.又 ,
.
（2）剪掉梯形紙片中的，并使剪痕，則
______.
【點撥】, .
.
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8.如圖，在中，平分，為線段 上一點，
交的延長線于點，若 , ，
求 的度數(shù).
【解】
, ，
.
又平分 ，
.
.
, .
.
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9. 如圖，下列說法中錯誤的是( )
A
A.
B.
C.
D.
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（第10題）
10.[2024南京六合區(qū)校級期中] 如圖，
在中， ，沿
折疊，使點恰好落在 邊
上的處.若 ，則
____.
【點撥】 ， ，
. 沿折疊，使點 恰好落
在邊上的處， .
， .
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（第11題）
11. 如圖，，， 分別
是 三邊延長線上的點，若
，則
的度數(shù)為( )
A
A. B. C. D.
（第11題）
【點撥】 ,
,, .又
,
.
返回
12. 如圖是折疊式沙發(fā)椅的示意圖，若圖上所
示的度數(shù)為最舒適的角度，則此時 ______.
（第12題）
【點撥】如圖，延長交于點 ，
易知 ，
.
.
（第12題）
返回
13.在中，點在邊的延長線上，是 的
一個外角，，則 是______三
角形（按角分類）.
鈍角
【點撥】如圖，
， 設(shè)，則 ，
是 的一個外角，
，即 . .
， .
. 是鈍角三角形.
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（第14題）
14.如圖，是中 的平分線，
是的外角 的平分線，如果
， ，則
____.
（第14題）
【點撥】是的平分線， 是
的平分線， ，
， ,
，
. ，
.
.又 ，
. .
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15.如圖，的度數(shù)為_____ .
210
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16.[2024秦皇島期末] 如圖，在直角三角形 中，
， ，的外角的平分線
交的延長線于點，為延長線上的一點，連接 .
（1）求 的度數(shù)；
【解】
， ，
是 的外角，
.
又平分， .
（2）若 ，試說明： .
， ，
.
又 ， .
.
返回
17. 如圖，在中，平分交 于點
，點是線段上的動點（不與點重合），過點 作
交射線于點， 的平分線所在的直線與射線
交于點 .
（1）若點在線段 上運動.
①若 ， ，則的度數(shù)是____；
的度數(shù)是____；
②探究與 之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
【解】.理由:是 的一個外
角， .
，
， .
，
.
平分，平分 ，
， .
.
.
（2）若點在線段 上運動時，請在備用圖中補全圖形，
并直接寫出與 之間的數(shù)量關(guān)系.
補全圖形如圖所示. .
【點撥】 ，
.
是 的平分線，
.
.
.
平分， .
.
返回(共27張PPT)
第十章 三角形
10.1 三角形的邊
1. [2024廊坊校級月考] 下面是四位同學(xué)分別用三根木棍組成
的圖形，其中是三角形的是( )
A
A. B. C. D.
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2. 如圖，以 為邊的三角形有( )
D
（第2題）
A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個
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3. 教材P128練習(xí)T3 滿足下列條件的三條線段,, ，
能構(gòu)成三角形的是( )
C
A. B. ，
C. ，， D. ，
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（第4題）
4. [2024邢臺校級期中] 如圖表示的是三角形的
分類，則下列說法正確的是( )
C
A. 表示等邊三角形
B. 表示銳角三角形
C. 表示等腰三角形
D. 表示三邊都不相等的三角形
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5. 絕緣梯是電力工程的專用登高
工具，如圖，在絕緣梯示意圖中，， 的長
度都為，則， 兩點之間的距離可能是
( )
A
A. B. C. D.
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6.如圖，圖中有___個三角形，含 的三角形為___________
______________，在中，的對角是_______， 的
對邊是____.
6
，，
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7. 已知一個三角形的三條邊的長分別為
，， .若這個三角形是等腰三角形，求它的三邊
的長.
【解】
需分兩種情況討論：
①若，則 ，此時三邊長分別為3，3，7，不
能構(gòu)成三角形，舍去；
②若，則 ，此時三邊長分別為5，9，9，能
構(gòu)成三角形，符合題意.
綜上,當這個三角形是等腰三角形時，三邊長分別為5，9，9.
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8. [2024秦皇島期末] 若使用如圖所示的①、②兩根直鐵絲做
成一個三角形框架，則需要將其中一根鐵絲分為兩段，則下
列說法正確的是( )
C
A. ①②都可以分為兩段 B. ①②都不可以分為兩段
C. 只有①可以分為兩段 D. 只有②可以分為兩段
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9. [2024廊坊一模] 在平面內(nèi)，將長分別為1，1，3， 的線
段，首尾順次相接組成凸四邊形（如圖），則 可能是( )
B
A. 1 B. 3 C. 5 D. 7
【點撥】連接 ，如圖,
在中，，.在
中，， 可能是3.
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10.如圖，過，，，， 五個點中任意三點畫三角形.
（1）以 為一邊可以畫出___個三角形，
請在圖①中畫出圖形；
3
【解】畫出的,, 如圖①所示.
（2）以 為頂點可以畫出___個三角形，請在圖②中畫出圖形.
6
畫出的，，，，，
如圖②所示.
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11.已知,, 為三角形的三邊長，化簡：
.
【解】
,, 為三角形的三邊長，
,, .
原式 .
返回
12. 已知，，為的三邊長，且，
滿足，為方程 的解，求
的周長.
【解】
,
解得
為方程的解， 或1.
當,,時， ,
不能組成三角形，故 不符合題意;
當,, 時,符合三角形的三邊關(guān)系.
的周長 .
返回
13.[2024廊坊校級月考] 某建材市場上的一種鋼管的長度規(guī)格及
相應(yīng)價格如表所示.學(xué)校要制作一個三角形支架的宣傳牌，已經(jīng)
購買了兩根長度分別為和 的鋼管，還需要購買一根.
規(guī)格/ 1 2 3 4 5 6
價格/（元/根） 10 15 20 25 30 35
（1）有哪幾種規(guī)格的鋼管可供選擇？
【解】設(shè)第三根鋼管的長度為 ，
則，即 ，
長度為，， 的鋼管可供選擇.
（2）若要求制成的三角形支架的周長為偶數(shù)，則制成一個
三角形支架一共需要花多少錢購買鋼管？
三角形支架的周長為偶數(shù)，
三邊長分別為、、 ，
（元）.
答：制成一個三角形支架一共需要花75元購買鋼管.
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14.
（1）如圖①，圖中共有三角形____個；如圖②，若增加一
條線，則圖中共有三角形____個；
10
24
（2）如圖③，若增加到10條線，請你求出圖中的三角形的個數(shù).
【解】增加1條線，三角形的個數(shù)為
;
增加2條線，三角形的個數(shù)為
;
增加3條線，三角形的個數(shù)為
;
…
則增加 條線，三角形的個數(shù)為
.
所以增加10條線，三角形的個數(shù)為
.
返回

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