資源簡介

(共32張PPT)
17.1 勾股定理
第十七章 勾股定理
第1課時 勾股定理
C
B
A
興趣切入
在中國古代，人們把彎曲成直角的手臂的上半部分稱為“勾”，下半部分稱為“股”.我國古代學者把直角三角形較短的直角邊稱為“勾”，較長的直角邊稱為“股”，斜邊稱為“弦”.
勾
股
小貼士
股
弦
勾
學習目標
1.經歷勾股定理的探究過程，了解關于勾股定理的一
些文化歷史背景，會用面積法來證明勾股定理，體
會數形結合的思想.
2.會用勾股定理進行簡單的計算 .
勾股定理的認識及驗證
一
我們一起穿越回到2500年前，跟隨畢達哥拉斯再去他那位老朋友家做客，看到他朋友家用等腰直角三角形磚鋪成的地面（如圖）：
問題1 試問正方形A、B、C面積之間有什么樣的數量關系？
A
B
C
啟發漸進
一直角邊2
另一直角邊2
斜邊2
+
=
問題2 圖中正方形A、B、C所圍成的等腰直角三角形三邊之間有什么特殊關系？
A
B
C
A
B
C
啟發漸進
問題3　在網格中一般的直角三角形，以它的三邊為邊長的三個正方形A、B、C 是否也有類似的面積關系？觀察下邊兩幅圖(每個小正方形的面積為單位1)
這兩幅圖中A,B的面積都好求，該怎樣求C的面積？
演繹探討
A
B
C
填表：若小方格的邊長為1.
圖甲
圖甲 圖乙
A的面積
B的面積
C的面積
C
A
B
C
思考：正方形A、B、C的面積有什么關系？
4
4
8
9
16
圖乙
A
B
C
圖甲
圖甲 圖乙
A的面積
B的面積
C的面積
C
A
B
C
4
4
8
9
16
圖乙
方法1：分割法
25
A
B
C
圖甲
圖甲 圖乙
A的面積
B的面積
C的面積
C
A
B
C
4
4
8
9
16
圖乙
方法2：補形法
方法1：分割法
25
A
B
C
圖甲
圖甲 圖乙
A的面積
B的面積
C的面積
C
A
B
C
思考：正方形A、B、C的面積有什么關系？
4
4
8
9
16
25
圖乙
SA+SB=SC
A
B
圖乙
SA+SB=SC
A
B
C
圖甲
a
b
c
a
b
c
C
猜想:a、b、c 之間的關系？
a2 +b2 =c2
問題4：邊長為任意長度的直角三角形還成立嗎？
命題1 如果直角三角形的兩條直角邊長分別為a,b，斜邊長為c,那么a2+b2=c2.兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.
由上面的幾個例子，我們猜想：
a
b
c
下面動圖形象的說明命題1的正確性，讓我們跟著以前的數學家們用拼圖法來證明這一猜想.
演繹探討
a
b
b
c
a
b
c
a
證法1 讓我們跟著我國漢代數學家趙爽拼圖,再用所拼的圖形證明命題吧.
合作交流
合作交流
用拼圖法驗證猜想
小組合作，用4個直角三角形，拼成一個以斜邊為邊長的正方形
a
b
c
∵S大正方形＝c2，
S小正方形＝(b-a)2,
∴S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形，
趙爽弦圖
b-a
證明：
“趙爽弦圖”表現了我國古人對數學的鉆研精神和聰明才智，它是我國古代數學的驕傲.因為，這個圖案被選為2002年在北京召開的國際數學大會的會徽.
合作交流
合作交流
用拼圖法驗證猜想
小組合作，用4個直角三角形，拼成一個以斜邊為邊長的正方形
證法2 畢達哥拉斯證法，請先用手中的四個全等的直角三角形按圖示進行拼圖，然后分析其面積關系后證明吧.
合作交流
a
a
a
a
b
b
b
b
c
c
c
c
∴a2+b2+2ab=c2+2ab，
∴a2 +b2 =c2.
證明：
∵S大正方形=(a+b)2=a2+b2+2ab,
S大正方形=4S直角三角形+ S小正方形
=4× ab+c2
=c2+2ab，
合作交流
a
a
b
b
c
c
∴a2 + b2 = c2.
證法3 美國第二十任總統伽菲爾德的“總統證法”.
如圖，圖中的三個三角形都是直角三角形，求證：a2 + b2 = c2.
合作交流
在我國又稱商高定理，在外國則叫畢達哥拉斯定理，或百牛定理.
a、b、c為正數
如果直角三角形的兩直角邊長分別為a,b,斜邊長為c,那么a2+b2=c2.
公式變形：
勾股定理
a
b
c
合作交流
兩千多年前，古希臘有個哥拉
斯學派，他們首先發現了勾股定理，因此
在國外人們通常稱勾股定理為畢達哥拉斯
年希臘曾經發行了一枚紀念票。
定理。為了紀念畢達哥拉斯學派，1955
勾 股 史 話
國家之一。早在三千多年前，
國家之一。早在三千多年前，
國家之一。早在三千多年前，
國家之一。早在三千多年前，
國家之一。早在三千多年前，
國家之一。早在三千多年前，
國家之一。早在三千多年前，
國家之一。早在三千多年前
兩千多年前，古希臘有個畢達哥拉斯學派，他們首先發現了勾股定理，因此在國外人們通常稱勾股定理為畢達哥拉斯定理。為了紀念畢達哥拉斯學派，1955年希臘曾經發行了一枚紀念郵票。
國家之一。早在三千多年前
我國是最早了解勾股定理的國家之一。早在三千多年前，周朝數學家商高就提出，將一根直尺折成一個直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三、股四、弦五”，它被記載于我國古代著名的數學著作《周髀算經》中。比畢達哥拉斯要早了五百多年。
勾股定理是幾何學中的明珠，所以它充滿魅力，千百年來，1940年出版過一本名為《畢達哥拉斯命題》的勾股定理的證明專輯，其中收集了367種不同的證明方法。這是任何定理無法比擬的。勾股定理是人類最偉大的十個科學發現之一 。
例1 如圖，在Rt△ABC中， ∠C=90°.
（1）若a=b=5,求c;
（2）若a=1,c=2,求b.
解：
(1)據勾股定理得
(2)據勾股定理得
利用勾股定理進行計算
二
C
A
B
獨立提升
（1）若a：b=1：2 ，c=5,求a;
（2）若b=15，∠A=30°,求a,c.
【變式題1】在Rt△ABC中， ∠C=90°.
解：
(1)設a=x,b=2x,根據勾股定理建立方程得
x2+(2x)2=52，
解得
(2)
因此設a=x,c=2x,根據勾股定理建立方程得
(2x)2-x2=152，
解得
已知直角三角形兩邊關系和第三邊的長求未知兩邊時，要運用方程思想設未知數，根據勾股定理列方程求解.
歸納
獨立提升
【變式題2】 在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝3，求BC的長.
解：本題斜邊不確定，需分類討論：
當AB為斜邊時，如圖 ，
當BC為斜邊時，如圖 ，
4
3
A
C
B
4
3
C
A
B
圖
圖
當直角三角形中所給的兩條邊沒有指明是斜邊或直角邊時，其中一較長邊可能是直角邊，也可能是斜邊，這種情況下一定要進行分類討論，否則容易丟解.
歸納
獨立提升
例2 已知∠ACB=90°,CD⊥AB,AC=3,BC=4.求CD的長.
解：由勾股定理可得
AB2=AC2+BC2=25，
即 AB=5.
根據三角形面積公式，
∴ AC×BC= AB×CD.
∴ CD= .
A
D
B
C
3
4
由直角三角形的面積求法可知直角三角形兩直角邊的積等于斜邊與斜邊上高的積，它常與勾股定理聯合使用．
歸納
獨立提升
當堂測試
1.下列說法中,正確的是 （ ）
A.已知a,b,c是三角形的三邊，則a2+b2=c2
B.在直角三角形中兩邊和的平方等于第三邊的平方
C.在Rt△ABC中，∠C=90°,所以a2+b2=c2
D.在Rt△ABC中，∠B=90°,所以a2+b2=c2
C
2.圖中陰影部分是一個正方形，則此正方形的面積為 .
8 cm
10 cm
36 cm
3.在△ABC中，∠C=90°.
（1）若a=15，b=8，則c= .
（2）若c=13，b=12，則a= .
4.若直角三角形中，有兩邊長是5和7，則第三邊長
的平方為_________.
17
5
74或24
5.求斜邊長17 cm、一條直角邊長15 cm的直角三角形的面積.
解：設另一條直角邊長是x cm.
由勾股定理得152+ x2 =172，
即x2=172-152=289–225=64，
∴ x=±8（負值舍去），
∴另一直角邊長為8 cm，
直角三角形的面積是
(cm2).
6.如圖，在△ABC中，AD⊥BC，∠B=45°，∠C=30°，AD=1，求△ABC的周長．
解：∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°．
在Rt△ADB中，∵∠B+∠BAD=90°，∠B=45°，
∴∠B=∠BAD=45°，
∴BD=AD=1，∴AB= ．
在Rt△ADC中，∵∠C=30°，
∴AC=2AD=2，
∴CD= ，∴BC=BD+CD=1+ ，
∴△ABC的周長=AB+AC+BC= ．
課堂小結
勾股定理
內容
在Rt△ABC中， ∠C=90°,a,b為直角邊，c為斜邊，則有a2+b2=c2.
注意
在直角三角形中
看清哪個角是直角
已知兩邊沒有指明是直角邊還是斜邊時一定要分類討論

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