資源簡介

6.3.2 二項式定理的應用
一、教材分析：
本節課選自《2019人教A版高中數學選擇性必修第三冊》，第六章《計數原理》，本節課主要學習二項式定理的應用，本節是在學習了二項式定理的基礎上，探討二項式定理的具體應用。對鞏固二項式定理，建立知識間的聯系，進一步認識二項式定理、進行二項式計算和變形都有重要作用。
二、學情分析：
學生在前面已經學習了組合數的計算公式和二項式定理，了解了二項展開式的公式寫法，也已經學習了函數與數列，對其中的計算也有了一定的思想。對于高二的學生，知識經驗已較為豐富，他們已具備了一定的抽象思維能力和演繹推理能力，能夠運用利用放縮、數學建模等數學思想進行思考。
三、教學目標與核心素養：
課程目標 學科素養
A.能用二項式定理解決相對應的問題； B.會用放縮法與二項式定理結合求近似值、證明不等式. 1.數學抽象：二項式定理的應用思想 2.邏輯推理：運用二項式定理求解相應問題 3.數學運算：運用二項式定理解決問題 4.數學建模：通過建立合適的二項式模型解決相應問題.
四、教學重難點：
重點： 利用二項式定理求近似值，求余數或證明整除問題，以及證明不等式；
難點：求近似值或證明不等式時具體放縮的位置，確定余數的具體值.
五、教學過程：
教學過程 教學設計意圖 核心素養目標
課題引入 不積跬步，無以至千里;不積小流，無以成江海。 ———荀子 ·《勸學篇》 釋義：做事情不一點一點積累，就永遠無法達成目的。 【模型建立】把自己的起始優秀值看成1，假設每天的努力能讓自己變得比前一天優秀1%，對優秀值進行復利計算： 第1天努力后優秀值為 1+0.01 ; 第2天努力后優秀值為 (1+0.01) ; ...... 第30天努力后優秀值為 (1+0.01) ; 【問題提出】如何計算(1+0.01) ？ 新知探究 Ⅰ.利用二項式定理求近似值 例1：估算(1+0.01) 的近似值(精確到0.1) 分析：利用二項式定理的展開式估計近似值 (a＋b)n＝Can＋Can－1b＋Can－2b2＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn (n∈N*)； (1＋x)n＝C＋Cx＋Cx2＋…＋Cxk＋…＋Cxn (n∈N*) 【解析】 結論：我們每天努力1%，30天后，比現在優秀30% 【知識探究】提問：如果我們每天懈怠1%，結果又如何呢？ 例2、求(1 - 0.01) 的近似值（精確到0.1） 【解析】 結論：我們每天懈怠1%，30天后，優秀只有現在的70%. 方法總結：求某個數的近似值時，若所求數為一個正整數加上（或減去）一個非常小的數時，可用二項式定理展開求近似值. 題目要求到精確到哪一位，就計算到該位的后一位. Ⅱ. 利用二項式定理證明整除問題或求余數 【例3】二項式定理證明整除問題： 解： 顯然上式是1000的倍數，故原式能被1000整除. [變式訓練] 解：因為 因此除以7的余數為1，故天后的這一天是星期五. [變式訓練] 方法總結：1.證明一個數能被另一個數整除，將被除數構造成關于除數或除數的倍數的一個二項式，利用二項式定理展開，進而證明被除數按二項式定理展開后的各項均能被除數整除，即可得證. 利用二項式定理求余數時，要注意余數的范圍，余數為大于0且小于除數的整數.利用二項式定理展開變形后，若剩余部分是負數，要注意進行轉化. Ⅲ. 利用二項式定理證明不等式 例5、證明： 變式訓練：請利用二項式定理證明：． ， ． 方法總結：利用二項式定理可以證明指數式與整式之間的大小關系，利用二項式定理將指數式轉化為整式，根據整式的次數選擇保留展開式的對應項，利用放縮法證明不等式成立 通過生活中的數學問題，從數學知識內部提出問題，引導學生觀察、發現問題本質，并加以探究。發展學生邏輯推理、數學運算、數學抽象和數學建模的核心素養。 讓學生親身經歷了解決問題的探討過程。發展學生邏輯推理和數學運算的核心素養。 通過典例解析，讓學生體會利用二項式定理的實際應用，感受數學模型在數學應用中的價值。發展學生邏輯推理、數學建模和數學運算的核心素養。
四、小結 1、利用二項式定理進行數值的估算； 2、利用二項式定理證明整除問題和求余數； 3、利用二項式定理證明不等式； 4、數學建模的思想和特殊到一般的思想 板書設計 通過總結，讓學生進一步鞏固本節所學內容，提高概括能力。

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