資源簡介

(共27張PPT)
11.3.2 多邊形的內角和
學習目標
1. 掌握不同方法探索多邊形的內角和、外角和公式
2. 能運用多邊形的內角和、外角和公式解決一些簡單問題
3. 經歷多邊形內角和公式的推導和應用，體驗轉化、類比和方程的數學思想方法，培養探究推理、發現問題和動手操作的能力
如圖所示,小華從A點出發,沿直線前進10米后左轉24°,再沿直線前進10米,又向左轉24°，…，照這樣走下去,他第一次回到出發地A點時,一共走了多少米？你能計算嗎？
新課導入
探究新知
三角形內角和是_______
180°
長方形和正方形
的內角和是________
360°
任意四邊形的內角和是多少度？還是360°嗎？
探究新知
我們一起到幾何畫板中看一看任意四邊形的內角和到底是多少度吧！
猜想：任意四邊形的內角和是360°.
猜想：四邊形ABCD的內角和是360°.
A
B
C
D
已知：四邊形ABCD.
證明：∠A+∠B+∠C+∠D=360°.
1
2
3
4
解：連接AC
探究新知
∠D+∠DAB+∠B+∠BCD
=(∠D+∠2+∠4）+（∠B+∠1+∠3）
=180°+180°
=360°
A
B
C
D
1
2
3
解：在AB上任取一點E，連接DE,CE
（四邊形ABCD分成△ADE、△CDE、△BCE）
E
探究新知
所以∠A+∠ADB+∠B+∠BCD
=180°×3 －（∠1+∠2+∠3）
=540°－ 180°
=360°
A
B
C
D
解：在四邊形ABCD內部任取一點F，
連接AF、BF、CF、DF
（四邊形ABCD分成△ADF、△CDF、△BCF、△ABF）
F
探究新知
所以∠DAB+∠ADB+∠ABC+∠BCD
=180°×4 －（∠1+∠2+∠3+∠4）
=720°－ 360°
=360°
1
2
3
4
A
B
C
D
解：在四邊形ABCD外部任取一點P，
連接AP、BP、CP、DP
（四邊形ABCD變成三個共頂點的三角形△APD、△BPC、△CPD）
P
探究新知
所以∠DAB+∠ADB+∠ABC+∠BCD
=180°×3 － （∠APB+∠PAB+∠ABP）
=540°－ 180°
=360°
A
B
C
D
E
思考：你還有其他的證明方法嗎？
探究新知
結論： 四邊形的內角和為360°.
問題：類比上面的問題，你能推導出五邊形和六邊形的內角和各是多少嗎？
A
C
D
E
B
A
B
C
D
E
F
內角和為180°×3 = 540°.
內角和為180°×4 = 720°.
探究新知
通過以上過程，你能發現多邊形的內角和與邊數的關系？
多邊形內角和
分割出三角形的個數
從多邊形的一頂點引出的對角線條數
邊數
······
0
n –3
1
2
3
1
2
3
4
n –2
（ n –2 ）·180
1×180 =180
2×180 =360
3×180 =540
4×180 =720
······
······
······
······
由
特
殊
到
一
般
多邊形
4
5
6
n
3
探究新知
如圖，在六邊形的每個頂點處各取一個外角，這些外角的和叫做六邊形的外角和.六邊形的外角和等于多少？
思考：任意一個外角和它相鄰的內角有什么關系？
六個外角加上它們分別相鄰的六個內角和是多少？
探究新知
互補
6×180°=1080°
這六個平角和與六邊形的內角和、外角和有什么關系？
六邊形外角和
=360 °
=6個平角
–六邊形內角和
=6×180°
–(6–2) × 180°
結論：六邊形的外角和等于360°.
探究新知
n邊形的外角和又是多少呢？
n邊形外角和
=360 °
=n個平角
–n邊形內角和
=n×180°
– (n–2) × 180°
結論：n邊形的外角和等于360°.
(與邊數無關)
探究新知
歸納總結
多邊形的內角和公式
n邊形內角和等于(n–2)×180 °.
注意：①n邊形的內角和隨邊數的增加而增加，每增加一條邊其內角和增加180°
②多邊形的內角和是180°的整數倍.
探究新知
n邊形的外角和等于360°.
多邊形的外角和公式
(與邊數無關)
回想正多邊形的性質，你知道正多邊形的每個內角是多少度嗎？每個外角呢？為什么？
每個內角的度數是
每個外角的度數是
探究新知
例1 如果一個四邊形的一組對角互補，那么另一組對角有什么關系？試說明理由.
A
B
C
D
解：在四邊形ABCD中，
∵∠A+∠B+∠C+∠D = （4-2）×180°=360°
又∠A+∠C=180°
∴∠B+∠D=360°-180°=180°
如果四邊形的一組對角互補，那么另一組對角也互補.
例題講解
例2 一個多邊形的內角和比四邊形的內角和多720°，并且這個多邊形的各內角都相等，這個多邊形的每個內角是多少度？
解：設這個多邊形邊數為n，則
（n–2） 180=360+720
解得n=8
例題講解
∵這個多邊形的每個內角都相等
這個多邊形的內角和為（8–2）×180°=1080°
∴它每一個內角的度數1080°÷8=135°
如圖所示,小華從A點出發,沿直線前進10米后左轉24°,再沿直線前進10米,又向左轉24°，…，照這樣走下去,他第一次回到出發地A點時,一共走的路程是多少米 你能計算嗎？
鞏固練習
（方法一）
解：設該正多邊形邊數為n
∵該正多邊形的外角為24°
（方法二）
解：設該正多邊形邊數為n
∵該正多邊形的內角為
180°-24°=156°
∴ =24°
解得n=15
∴小華一共走了15×10=150米
∴=156°
解得n=15
∴小華一共走了15×10=150米
求出下列圖形中x的值.
鞏固練習
已知一個多邊形，它的內角和比外角和的3倍還多180°，求這個多邊形的邊數.
鞏固練習
解：由題意得：該多邊形的內角和為360°×3+180°=1260°
設這個多邊形的邊數為n
(n-2)×180°=1260°
解得n=9.
答：這個多邊形是九邊形.
已知一個多邊形的每個內角與外角的比都是7:2，求這個多邊形的邊數.
鞏固練習
解法一：設這個多邊形的內角為7x °
外角為2x°
7x+2x=180
解得x=20.
每個內角是140 °，每個外角是40 °.
360° ÷40 °=9.
答：這個多邊形是九邊形.
解法二：設這個多邊形的邊數為n
根據題意得
解得 n=9.
答：這個多邊形是九邊形.
如圖，在五邊形ABCDE中，∠C=100°，∠D=75°，∠E=135°，AP平分∠EAB，BP平分∠ABC，求∠P的度數．
鞏固練習
分析：根據五邊形的內角和等于540°，
由∠C，∠D，∠E的度數可求 ∠EAB+∠ABC的度數，再根據角平分線的定義可得∠PAB與∠PBA的角度和，進一步求得∠P的度數．
鞏固練習
解：∵∠EAB+∠ABC+∠C+∠D+∠E=540°， ∠C=100°，∠D=75°，∠E=135°，
∴∠EAB+∠ABC=540°–∠C–∠D–∠E=230°.
∵AP平分∠EAB，
∴∠PAB＝ ∠EAB，
同理可得∠ABP＝ ∠ABC，
∵∠P+∠PAB+∠PBA=180°，
∴∠P=180°–∠PAB–∠PBA
=180° (∠EAB+∠ABC)=180° ×230°=65°．
如圖，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F=__________
如圖，求∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7=__________
540°
360°
課堂小結
四邊形
五邊形
六邊形
n邊形
正n邊形
三角形
內角和：(n–2) × 180 °(n ≥3的整數）
外角和：360°（與邊數無關）
每個內角度數：
每個外角度數：
類比
特殊到一般
轉化

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