資源簡介

11.3.2 多邊形的內(nèi)角和
課標(biāo)解讀
學(xué)生學(xué)什么：多邊形內(nèi)角和與邊數(shù)的關(guān)系
學(xué)生學(xué)到什么程度：能運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理轉(zhuǎn)化四邊形的內(nèi)角和，通過類比的方法自主探究五邊形、六邊形的內(nèi)角和，再從特殊到一般發(fā)現(xiàn)n邊形的內(nèi)角和公式，并能熟練掌握公式計(jì)算多邊形內(nèi)角和和邊數(shù).
學(xué)生怎么學(xué)：學(xué)生在實(shí)際問題的指引下，開始逐步思考正多邊形內(nèi)角度數(shù)與邊數(shù)的關(guān)系，教師引導(dǎo)學(xué)生將四邊形轉(zhuǎn)化成三角形求四邊形內(nèi)角和，類比四邊形內(nèi)角和的研究方法，學(xué)生進(jìn)一步自主探究從特殊到一般推導(dǎo)出多邊形內(nèi)角和公式.
數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)：幾何直觀、推理能力、運(yùn)算能力、應(yīng)用意識
二、教學(xué)內(nèi)容解析
多邊形的內(nèi)角和公式反映了多邊形的邊數(shù)與內(nèi)角和之間的關(guān)系，是三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用和多邊形的對角線條數(shù)與邊數(shù)關(guān)系的延續(xù)，同時多邊形內(nèi)角和公式為多邊形外角和公式的學(xué)習(xí)做鋪墊。
首先研究四邊形的內(nèi)角和，把四邊形進(jìn)行分割成三角形，利用三角形內(nèi)角和定理推出任意四邊形的內(nèi)角和，再類比四邊形內(nèi)角和的研究方法，多邊形的對角線能把多邊形分成幾個三角形，根據(jù)多邊形從同一頂點(diǎn)引出的對角線條數(shù)推導(dǎo)分割出的三角形個數(shù)與邊數(shù)關(guān)系，從而得出多邊形內(nèi)角和公式，因此，多邊形的內(nèi)角和問題可以轉(zhuǎn)化為三角形的內(nèi)角和問題來解決。
多邊形內(nèi)角和公式的探索過程中，把多邊形分割成若干個三角形體現(xiàn)了化歸與轉(zhuǎn)化思想，由四邊形的內(nèi)角和推導(dǎo)多邊形的內(nèi)角和體現(xiàn)了從特殊到一般的思想，根據(jù)多邊形內(nèi)角和計(jì)算多邊形的邊數(shù)體現(xiàn)了方程思想。
三、學(xué)生學(xué)情分析
學(xué)生在前面已經(jīng)學(xué)習(xí)過三角形內(nèi)角和定理、正方形和長方形的內(nèi)角和、多邊形的對角線條數(shù)與邊數(shù)的關(guān)系，有了一定的幾何推理論證的基礎(chǔ)和歸納推理的能力。但由具體的多邊形內(nèi)角和到n邊形內(nèi)角和公式的獲得，是一個由具體到抽象的過程，把多邊形內(nèi)角和轉(zhuǎn)化成三角形內(nèi)角和的思考，如何確定分割的三角形個數(shù)，多邊形的內(nèi)角和隨邊數(shù)的變化而變化，這個過程中要關(guān)注從同一頂點(diǎn)引出的對角線條數(shù)、分割的三角線個數(shù)、內(nèi)角和與多邊形邊數(shù)的關(guān)系，學(xué)生把握這個推理過程還是有一定難度，因此，在教學(xué)中需要著重引導(dǎo)學(xué)生注意不同分割方法得到的三角形個數(shù)與多邊形內(nèi)角和的關(guān)系。
四、教學(xué)目標(biāo)設(shè)置
幾何課教學(xué)重在定理性質(zhì)的推導(dǎo)過程，難在對定理的掌握和應(yīng)用；本節(jié)課的教學(xué)是通過三角形內(nèi)角和定理的轉(zhuǎn)化，立足培養(yǎng)學(xué)生的幾何意識、轉(zhuǎn)化思想、類比推理思想、方程思想。立足于本章及本節(jié)，教學(xué)目標(biāo)定位為：
掌握不同方法探索多邊形的內(nèi)角和、外角和公式；
能運(yùn)用多邊形的內(nèi)角和、外角和公式解決一些簡單問題；
經(jīng)歷多邊形內(nèi)角和公式的推導(dǎo)和應(yīng)用，體驗(yàn)轉(zhuǎn)化、類比和方程的數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)探究推理、發(fā)現(xiàn)問題和動手操作的能力.
教學(xué)重點(diǎn)：多邊形內(nèi)角和公式的探索與推導(dǎo)過程.
教學(xué)難點(diǎn)：獲得將多邊形分割成三角形來解決問題的思路，確定分割后的三角形個數(shù)與邊數(shù)的關(guān)系.
五、教法策略分析
1.多邊形內(nèi)角和公式的推導(dǎo)思路是本節(jié)課的重點(diǎn)，教學(xué)過程中采用啟發(fā)式教學(xué)、探索式教學(xué)方法，通過三角形內(nèi)角和定理引出研究四邊形內(nèi)角和的方法，再類比四邊形內(nèi)角和的研究方法，從而獲得將多邊形分割成三角形來解決多邊形內(nèi)角和問題的思想.
2.“確定分割后的三角形個數(shù)與邊數(shù)的關(guān)系”是本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)，教學(xué)過程中采用特殊到一般的思想方法，同時通過列表的方式列舉出多個多邊形“從同一頂點(diǎn)引出的對角線條數(shù)”和“分割出的三角形個數(shù)”的數(shù)據(jù)，引導(dǎo)學(xué)生觀察進(jìn)而歸納推導(dǎo)出n邊形分割出的三角形個數(shù)與邊數(shù)的關(guān)系.
六、教學(xué)過程設(shè)計(jì)
1.情境導(dǎo)入
問題：如圖所示,小華從A點(diǎn)出發(fā),沿直線前進(jìn)10米后左轉(zhuǎn)24°,再沿直線前進(jìn)10米,又向左轉(zhuǎn)24°,…,照這樣走下去,他第一次回到出發(fā)地A點(diǎn)時,一共走的路程是多少米 你能計(jì)算嗎
教師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)小華行走的路徑是一個外角為24°或內(nèi)角為180°-24°=156°的正多邊形，要求小華走的路程之和，就要知道這個正多邊形的邊數(shù)，因此本題可以轉(zhuǎn)換成“已知一個正多邊形的每個外角為24°或每個內(nèi)角度數(shù)為156°，求該正多邊形的邊數(shù)”的問題，那么正多邊形的內(nèi)角度數(shù)、外角度數(shù)與其邊數(shù)有什么樣的關(guān)系呢？從而引出今天的課題。
2.探索n邊形的內(nèi)角和
師：通過前面的學(xué)習(xí)，我們已經(jīng)知道三角形的內(nèi)角和等于180o，正方形、長方形的內(nèi)角和是360o，那么任意一個四邊形的內(nèi)角和是否等于360o呢？
教師引導(dǎo)學(xué)生在幾何畫板中觀察一下任意四邊形的內(nèi)角和度數(shù)，（教師演示）不斷改變四邊形形狀，學(xué)生會發(fā)現(xiàn)不同形狀的四邊形內(nèi)角和度數(shù)是不變的，四邊形的內(nèi)角和始終是360°，進(jìn)而提出猜想:任意四邊形的內(nèi)角和等于360°.
師生活動：引導(dǎo)學(xué)生如何利用三角形內(nèi)角和求出四邊形的內(nèi)角和，上節(jié)課學(xué)習(xí)了多邊形，知道了多邊形的邊、內(nèi)角、外角和對角線以及對角線將多邊形分割成幾個三角形.因此通過添加對角線可以將四邊形轉(zhuǎn)化成三角形，你能利用三角形內(nèi)角和定理證明四邊形的內(nèi)角和等于360o嗎？
已知：四邊形ABCD，求證：∠A+∠B+∠C+∠D=360o
思考：把四邊形分割成三角形還有其他分法嗎？
思考：你還有其他的證明方法嗎？（學(xué)生自行完成證明過程）
【總結(jié)】四邊形的內(nèi)角和為360°.
問題：類比上面的問題，你能推導(dǎo)出五邊形和六邊形的內(nèi)角和各是多少嗎？
以上是在方法都是將四邊形分割成若干個三角，轉(zhuǎn)化為三角形內(nèi)角和進(jìn)行求解，那么五邊形、六邊形的內(nèi)角和問題也可以通過添加對角線解決，由特殊到一般推導(dǎo)出n邊形的同一頂點(diǎn)引出的對角線可以分割的三角形個數(shù)，進(jìn)而得到n邊形的內(nèi)角和公式.
學(xué)生課前預(yù)習(xí)填寫下面表格，教師引導(dǎo)學(xué)生觀察數(shù)據(jù)規(guī)律，得出從同一頂點(diǎn)引出的對角線條數(shù)、分割出三角形個數(shù)、內(nèi)角和與邊數(shù)的關(guān)系。
多邊形 邊數(shù) 從同一頂點(diǎn)引出的對角線條數(shù) 分割出的三角形個數(shù) 內(nèi)角和 外角和
3 0 1 1×180°=180° 360°
4 1 2 2×180°=360° 360°
5 2 3 3×180°=540° 360°
6 3 4 4×180°=720° 360°
... ... ... ... ... ...
n n-3 n-2 (n-2)·180° 360°
【總結(jié)】一般地，從n邊形的一個頂點(diǎn)出發(fā)，可以作（n-3）條對角線，它們將n邊形分成（n-2）個三角形，從而得到n邊形內(nèi)角和公式：（n-2）×180°(n≥3,n為正整數(shù)）
【注意】（1）n邊形的內(nèi)角和隨邊數(shù)增加而增加，每增加一條邊其內(nèi)角和增加180°.
多邊形的內(nèi)角和是180°的整數(shù)倍.
3.探究多邊形外角和
如圖，在六邊形的每個頂點(diǎn)處各取一個外角，這些外角的和叫做六邊形的外角和.六邊形的外角和等于多少？（學(xué)生填寫上面的表格）
思考：如果將六邊形換成n邊形（n是不小于3的任意整數(shù)），可以得到同樣結(jié)果嗎？
解：n邊形的n個外角加上它們相鄰的內(nèi)角，所得總和等于n·180°，n邊形內(nèi)角和是(n-2)·180°，所以外角和為n·180°-(n-2)·180°= 2×180°=360°.
【總結(jié)】多邊形的外角和等于360°.
思考：回想正多邊形的性質(zhì)，你知道正多邊形的每個內(nèi)角是多少度？每個外角呢？
每個內(nèi)角的度數(shù)是，每個外角的度數(shù)是
4.例題講解
例1：如果一個四邊形的一組對角互補(bǔ)，那么另一組對角有什么關(guān)系？
【總結(jié)】如果四邊形的一組對角互補(bǔ)，那么另一組對角也互補(bǔ).
例2：一個多邊形的內(nèi)角和比四邊形的內(nèi)角和多720°，并且這個多邊形的各內(nèi)角都相等，這個多邊形的每個內(nèi)角是多少度？
5.鞏固練習(xí)
練習(xí)1：解決情境導(dǎo)入的問題
練習(xí)2：求出下列圖形中x的值.
練習(xí)3：
已知一個多邊形，它的內(nèi)角和比外角和的3倍還多180°，求這個多邊形的邊數(shù).
已知一個多邊形的每個內(nèi)角與外角的比都是7:2，求這個多邊形的邊數(shù).
練習(xí)4：
如圖，在五邊形ABCDE中，∠C=100°，∠D=75°，∠E=135°，AP平分∠EAB，BP平分∠ABC，求∠P的度數(shù)．
練習(xí)5：
如圖，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F=__________
如圖，求∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7=__________
6.課堂小結(jié)
七、教學(xué)特色反思
1.引導(dǎo)學(xué)生對已有知識經(jīng)驗(yàn)的再創(chuàng)造，重視思想方法的培養(yǎng)，關(guān)注推理能力的形成。在探究就四邊形內(nèi)角和時，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理將四邊形內(nèi)角和問題轉(zhuǎn)化為三角形內(nèi)角和問題，并采用多種方法將四邊形分割成三角形進(jìn)行證明，逐步開發(fā)學(xué)生的思維，在探究五邊形、六邊形內(nèi)角和時，放手讓學(xué)生自主探究，再通過列表進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)多邊形內(nèi)角和與邊數(shù)的關(guān)系。在這個過程中體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、類比、從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想，學(xué)生一步步分析問題、推理證明、得出結(jié)論，這是形成良好思維方式的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)。
2.課上通過幾何畫板引導(dǎo)學(xué)生觀察、實(shí)驗(yàn)、比較、分析的探究過程，通過對內(nèi)角和“變與不變”的思考，進(jìn)一步幾何驗(yàn)證四邊形內(nèi)角和的規(guī)律，充分調(diào)動學(xué)生的多重感官，在動手、動口、動腦活動中，形成表象，逐步實(shí)現(xiàn)對多邊形內(nèi)角和規(guī)律的探索，這一過程滲透化歸思想，感悟知識本質(zhì)。
3.在邊數(shù)逐級增加的探索中感悟數(shù)學(xué)研究方法，從特殊到一般總結(jié)歸納出多邊形內(nèi)角和與邊數(shù)的關(guān)系，使學(xué)生構(gòu)建的知識體系更清晰明了。

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