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(共37張PPT)
4.6 正弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)
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4.6 正弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)
春天萬物復蘇、百花盛開，年復一年，周而復始．像這樣重復出現(xiàn)的現(xiàn)象稱為周期現(xiàn)象，數(shù)學中也存在這種現(xiàn)象．正弦函數(shù)就是一種周期函數(shù)，是刻畫“周而復始”現(xiàn)象的數(shù)學模型．
正弦函數(shù)的圖像
4.6.1
4.6.1 正弦函數(shù)的圖像
情境導入
探索新知
典型例題
鞏固練習
歸納總結(jié)
布置作業(yè)
做一個沙漏單擺實驗：如圖所示，一個沙漏掛在架子上，沙漏下方放一塊紙板，紙板中間畫一條直線作為坐標系的橫軸．把沙漏沿垂直于該直線方向拉離平衡位置，放手使之擺動，同時勻速拉動紙板．這樣可在紙板上得到一條曲線．這是一條什么曲線呢？
4.6.1 正弦函數(shù)的圖像
這個實驗得到的曲線是一條波浪起伏、周而復始的曲線．從前面的學習我們知道，隨著角的變化，三角函數(shù)值也具有這種周而復始的變化規(guī)律．我們可以用正弦函數(shù)來刻畫這條曲線．
情境導入
探索新知
典型例題
鞏固練習
歸納總結(jié)
布置作業(yè)
4.6.1 正弦函數(shù)的圖像
情境導入
探索新知
典型例題
鞏固練習
歸納總結(jié)
布置作業(yè)
根據(jù)單位圓的圓周運動特點，單位圓上任意一點在圓周上旋轉(zhuǎn)一周就回到原來的位置，這說明自變量每增加或者減少2π， 正弦函數(shù)值將重復出現(xiàn)．這一現(xiàn)象可以用公式
sin(x+2kπ) = sinx，k∈Z
來表示．
4.6.1 正弦函數(shù)的圖像
情境導入
探索新知
典型例題
鞏固練習
歸納總結(jié)
布置作業(yè)
一般地，對于函數(shù) y＝f(x)，如果存在一個非零常數(shù)T，使得當x取定義域內(nèi)任意一個值時，都有
f(x+T) ＝f(x)，
則稱函數(shù)y＝f(x)為周期函數(shù)．非零常數(shù)T為y＝f(x)的一個周期．
4.6.1 正弦函數(shù)的圖像
4.6.1 正弦函數(shù)的圖像
情境導入
探索新知
典型例題
鞏固練習
歸納總結(jié)
布置作業(yè)
因此正弦函數(shù)y = sinx，x∈R是一個周期函數(shù)，2π，4π，6π，…及-2π，-4π，-6π，…都是它的周期，即常數(shù)2kπ(k∈Z，且k≠0)都是它的周期．
如果周期函數(shù)y＝f(x)的所有周期中存在一個最小的正數(shù)T0 ，那么這個最小的正數(shù) T0就稱為y＝f(x)的最小正周期．
本書中所涉及的周期，如果不特別說明，都是指函數(shù)的最小正周期．
顯然，2π為正弦函數(shù)的最小正周期 ．
4.6.1 正弦函數(shù)的圖像
情境導入
探索新知
典型例題
鞏固練習
歸納總結(jié)
布置作業(yè)
（1）列表．
用描點法作出正弦函數(shù) y＝sinx 在 [0，2π]上的圖像.
把區(qū)間[0，2π]分成12等份，分別求出y=sinx在各分點及區(qū)間端點的正弦函數(shù)值．
4.6.1 正弦函數(shù)的圖像
情境導入
探索新知
典型例題
鞏固練習
歸納總結(jié)
布置作業(yè)
根據(jù)表中x，y的數(shù)值在平面直角坐標系內(nèi)描點(x， y) ，再用平滑曲線順次連接各點，就得到正弦函數(shù)y＝sinx 在 [0，2π]上的圖像．
用描點法作出正弦函數(shù) y＝sinx 在 [0，2π]上的圖像.
（2）描點作圖．
4.6.1 正弦函數(shù)的圖像
情境導入
探索新知
典型例題
鞏固練習
歸納總結(jié)
布置作業(yè)
觀察函數(shù)y=sinx 在 [0，2π]上的圖像發(fā)現(xiàn)，在確定圖像的形狀時，起關鍵作用的點有以下五個，描出這五個點后，正弦函數(shù)的圖像就基本確定了．
(0，0)， ，(π，0)，
4.6.1 正弦函數(shù)的圖像
情境導入
探索新知
典型例題
鞏固練習
歸納總結(jié)
布置作業(yè)
因此，在精確度要求不高時，常常先找出這五個關鍵點，再用光滑的曲線將它們連接起來，就得到[0，2π]上正弦函數(shù)的圖像簡圖了，這種作圖方法稱為五點法．
4.6.1 正弦函數(shù)的圖像
情境導入
探索新知
典型例題
鞏固練習
歸納總結(jié)
布置作業(yè)
因為正弦函數(shù)的周期是2π，所以只要將函數(shù)y＝sinx在 [0，2π]上的圖像沿x軸向左或向右平移2kπ(k∈Z)，就可得到正弦函數(shù)y＝sinx，x∈R的圖像．
正弦函數(shù)的圖像也稱為正弦曲線，它是一條“波浪起伏”“周而復始”的連續(xù)光滑曲線．
4.6.1 正弦函數(shù)的圖像
例1 利用五點法作出函數(shù)y＝1+sinx在 [0，2π]上的圖像．
解 （1）列表．
情境導入
探索新知
典型例題
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歸納總結(jié)
布置作業(yè)
4.6.1 正弦函數(shù)的圖像
（2）描點作圖．
情境導入
探索新知
典型例題
鞏固練習
歸納總結(jié)
布置作業(yè)
例1 利用五點法作出函數(shù)y＝1+sinx在 [0，2π]上的圖像．
解 （1）列表．
根據(jù)表中x，y的數(shù)值在平面直角坐標系中描點(x，y)，再用光滑曲線順次連接各點，就得到函數(shù)y=1+sinx在 [0，2π]上的圖像．
4.6.1 正弦函數(shù)的圖像
練習
情境導入
探索新知
典型例題
鞏固練習
歸納總結(jié)
布置作業(yè)
1 . 設函數(shù)y=f (x)，x∈R的周期為2，且f(1)＝1，則f (3)= ．
2 . 利用五點法作出下列函數(shù)在[0，2π]上的圖像：
（1） y＝sinx 1； （2） y＝ sinx．
3. 利用五點法作出正弦函數(shù)y＝sinx在 上的圖像．
正弦函數(shù)的性質(zhì)
4.6.2
4.6.2 正弦函數(shù)的性質(zhì)
情境導入
探索新知
典型例題
鞏固練習
歸納總結(jié)
布置作業(yè)
利用研究函數(shù)的經(jīng)驗，可否從正弦函數(shù)的定義域、值域、周期性、奇偶性和單調(diào)性等方面來研究正弦函數(shù)的性質(zhì)呢？
4.6.2 正弦函數(shù)的性質(zhì)
情境導入
探索新知
典型例題
鞏固練習
歸納總結(jié)
布置作業(yè)
（1）定義域．
正弦函數(shù)的定義域是實數(shù)集R ．
觀察正弦曲線，得到關于正弦函數(shù)y＝sinx，x∈R的結(jié)論：
4.6.2 正弦函數(shù)的性質(zhì)
觀察正弦曲線，得到關于正弦函數(shù)y＝sinx，x∈R的結(jié)論：
（2）值域．
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探索新知
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歸納總結(jié)
布置作業(yè)
如圖所示，正弦曲線分布在兩條直線y=-1和y=1之間，即對任意的x，都有|sinx|≤1成立．因此，正弦函數(shù)的值域是[1，1] ．
當x= +2kπ (k∈Z)時，y取最大值，ymax=1；
當x=- +2kπ (k∈Z)時，y取最小值，ymin=-1 ．
4.6.2 正弦函數(shù)的性質(zhì)
觀察正弦曲線，得到關于正弦函數(shù)y＝sinx，x∈R的結(jié)論：
（4） 周期性．
正弦函數(shù)是周期為2π的周期函數(shù)．
情境導入
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歸納總結(jié)
布置作業(yè)
讀一讀
對于周期函數(shù)，通過一個周期內(nèi)的特征，可以了解其整個定義域的情況．
4.6.2 正弦函數(shù)的性質(zhì)
觀察正弦曲線，得到關于正弦函數(shù)y＝sinx，x∈R的結(jié)論：
（4）奇偶性．
由圖像關于原點O對稱和誘導公式sin( x)= sinx可知，正弦函數(shù)是奇函數(shù)．
情境導入
探索新知
典型例題
鞏固練習
歸納總結(jié)
布置作業(yè)
4.6.2 正弦函數(shù)的性質(zhì)
觀察正弦曲線，得到關于正弦函數(shù)y＝sinx，x∈R的結(jié)論：
情境導入
探索新知
典型例題
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歸納總結(jié)
布置作業(yè)
（5）單調(diào)性．
這說明，正弦函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
如圖所示，在正弦函數(shù)的一個周期區(qū)間上，當x由增大到時，曲線逐漸上升，sinx由-1增大到1；當x由增大到時，曲線逐漸下降，函數(shù)值從1減小到-1 ．
4.6.2 正弦函數(shù)的性質(zhì)
觀察正弦曲線，得到關于正弦函數(shù)y＝sinx，x∈R的結(jié)論：
情境導入
探索新知
典型例題
鞏固練習
歸納總結(jié)
布置作業(yè)
（5）單調(diào)性．
在每一個閉區(qū)間 (k∈Z)上都是增函數(shù)，函數(shù)值從-1增大到1；
在每一個閉區(qū)間 (k∈Z)上都是減函數(shù)，函數(shù)值從1增減小到-1 ．
4.6.2 正弦函數(shù)的性質(zhì)
例2 當x取何值時，下列各函數(shù)取得最大值和最小值？
（1）y= sinx，x∈R；（2）y=1-2sinx，x∈R ．
情境導入
探索新知
典型例題
鞏固練習
歸納總結(jié)
布置作業(yè)
分析 由正弦函數(shù)的性質(zhì)知，-1≤sinx≤1，且當x=+2kπ(k∈Z)時，sinx取得最大值1，此時-sinx取得最小值-1 ，當x= -+2kπ(k∈Z)時， sinx取得最小值-1，此時-sinx取得最大值1 ．
4.6.2 正弦函數(shù)的性質(zhì)
解（1）因為-1≤sinx≤1，所以-≤ sinx≤．由正弦函數(shù)的性質(zhì)可得
情境導入
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典型例題
鞏固練習
歸納總結(jié)
布置作業(yè)
例2 當x取何值時，下列各函數(shù)取得最大值和最小值？
（1）y= sinx，x∈R；（2）y=1-2sinx，x∈R ．
當x=+2kπ(k∈Z)時，sinx取得最大值1，函數(shù)y= sinx取得最大值；
當x=-+2kπ(k∈Z)時， sinx取得最小值-1，函數(shù)y= sinx取得最小值-．
4.6.2 正弦函數(shù)的性質(zhì)
解 （2） 因為-1≤sinx≤1，所以2≥-2sinx≥-2，即-2≤-2sinx≤2 ．所以
-1≤1-2sinx≤3 ．
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典型例題
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歸納總結(jié)
布置作業(yè)
例2 當x取何值時，下列各函數(shù)取得最大值和最小值？
（1）y= sinx，x∈R；（2）y=1-2sinx，x∈R ．
由正弦函數(shù)的性質(zhì)，可得
當x= +2kπ(k∈Z)時，sinx取得最大值1，函數(shù)y=1-2sinx取得最小值-1 ；
當x= -+2kπ(k∈Z)時， sinx取得最小值-1，函數(shù)y=1-2sinx取得最大值 3．
4.6.2 正弦函數(shù)的性質(zhì)
例3 不求值比較下列各組數(shù)值的大?。?br/>（1）sin sin；（2） sin sin
（1）因為 0 < < < ，正弦函數(shù)y=sinx在上是增函數(shù)，
解 根據(jù)正弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)可知：
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布置作業(yè)
所以 sin sin
4.6.2 正弦函數(shù)的性質(zhì)
例3 不求值比較下列各組數(shù)值的大?。?br/>（1）sin sin；（2） sin sin
（2）因為 < < < ，正弦函數(shù)y=sinx在上是減函數(shù)，
解 根據(jù)正弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)可知：
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布置作業(yè)
所以 sin sin
4.6.2 正弦函數(shù)的性質(zhì)
例4 求函數(shù)y=的定義域．
觀察正弦函數(shù)y=sinx在[0，2π] 上圖像．
2kπ≤x≤π+2kπ(k∈Z)，
故函數(shù)的定義域為{x|2kπ≤x≤π+2kπ，k∈Z} ．
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典型例題
鞏固練習
歸納總結(jié)
布置作業(yè)
解 要使 y= 有意義，必須使sinx≥0.
發(fā)現(xiàn)，在[0，2π]內(nèi)，符合題意的x 滿足0≤x≤π．由函數(shù)的周期性得：
4.6.2 正弦函數(shù)的性質(zhì)
對含三角函數(shù)的函數(shù)式求定義域時，除了考慮使函數(shù)式有意義之外，還要注意三角函數(shù)的周期性．
情境導入
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歸納總結(jié)
布置作業(yè)
典型例題
4.6.2 正弦函數(shù)的性質(zhì)
對于函數(shù)y=sinx (x∈R) ，有sin=sin 成立．這是否說明是函數(shù)y=sinx (x∈R)的一個周期？為什么？
情境導入
典型例題
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歸納總結(jié)
布置作業(yè)
探索新知
4.6.2 正弦函數(shù)的性質(zhì)
練習
情境導入
探索新知
典型例題
鞏固練習
歸納總結(jié)
布置作業(yè)
1. 下列等式是否成立？為什么？
（1）2sinx=3 ；（2） sin x= ．
2. 當自變量x為何值時，下列各函數(shù)取得最大值和最小值？
（1）y= sinx；（2） y= 2sinx-1 ．
4.6.2 正弦函數(shù)的性質(zhì)
練習
3．函數(shù)y=a+2sinx的最小值是5，求a的值．
情境導入
探索新知
典型例題
鞏固練習
歸納總結(jié)
布置作業(yè)
4．不求值，比較下列各對正弦值的大小：
（1）sin(-65°)與sin(-70°)； （2） sin 與sin ；
（3） sin與sin ；（4） sin 與sin ．
5．求函數(shù)y=的定義域．
4.6.2 正弦函數(shù)的性質(zhì)
情境導入
探索新知
典型例題
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歸納總結(jié)
布置作業(yè)
4.6.2 正弦函數(shù)的性質(zhì)
情境導入
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布置作業(yè)
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