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(共19張PPT)
4.4 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系
中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺(tái)
4.4 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系
同角三角函數(shù)的基本關(guān)系是在任意角三角函數(shù)定義的基礎(chǔ)上，建立起三個(gè)三角函數(shù)的聯(lián)系，從而解決已知角α的一個(gè)三角函數(shù)值，求該角的其余三角函數(shù)值的問題．同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式在解決三角函數(shù)的化簡、求值、證明中具有重要作用．
4.4 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系
情境導(dǎo)入
探索新知
典型例題
鞏固練習(xí)
歸納總結(jié)
布置作業(yè)
我們知道，對(duì)于任意角α的正弦函數(shù)sinα、余弦函數(shù)cosα和正切函數(shù)tanα，都是角α的三角函數(shù)，那么這些三角函數(shù)之間存在怎樣的關(guān)系呢？
4.4 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系
情境導(dǎo)入
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典型例題
鞏固練習(xí)
歸納總結(jié)
布置作業(yè)
一般地，設(shè)點(diǎn)P (x，y)是角α的終邊與單位圓O的交點(diǎn)，則|OP|=1，x=cosα，y=sinα.
因?yàn)? |OP|=r ，所以
x +y =1 即 sin α+ cos α =1
顯然，當(dāng)α的終邊與坐標(biāo)軸重合時(shí)，這個(gè)公式也成立．
而當(dāng)α≠+2kπ(k∈Z) 時(shí)，有tanα= =．
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典型例題
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歸納總結(jié)
布置作業(yè)
由此得到同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系式：
sin α+ cos α =1
tanα=
這說明，同一個(gè)角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切．
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歸納總結(jié)
布置作業(yè)
典型例題
在運(yùn)用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系時(shí)，要特別注意“同角”二字．
如sin 35° + cos 35° =1，tan35° =；
sin β + cos β =1，tanβ =；
sin 2α + cos 2α =1，tanβ =．
以上各式都符合同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的形式，所以都成立．
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典型例題
sin 30° + cos 60° 中的角不是“同角”，不符合基本關(guān)系式的形式，所以
sin 30° + cos 60° ≠1 ．
4.4 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系
探索新知
例1 已知 sinα= ，且角α是第二象限角，求cosα和tanα．
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典型例題
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布置作業(yè)
解 因?yàn)閟in α+ cos α =1， 所以
又因?yàn)榻铅潦堑诙笙藿牵詂osα＜0，因此
從而 tanα== =-
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解 由題設(shè)及同角三角函數(shù)基本關(guān)系，得方程組
例2 已知tanα = -，且角α是第四象限角，求sinα和cosα．
解方程組得到
試一試
在例1中，如果去掉“角α是第二象限角”這個(gè)條件，該如何求解．如果在例2中也做同樣的處理，該如何求解？
因?yàn)棣潦堑谒南笙藿牵琧osα＞0所以 ．
sinα= -× =-
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例3 化簡： ．
解 因?yàn)閠anα -1= ，
所以 = =．
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證明 因?yàn)?br/>- = = =0 ．
例4 求證： = ．
所以 = ．
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例5 已知tanα=2，求 ．
解法一：由tanα=2，得 =2，即sinα=2cosα，所以
= = = = ．
解法二：代數(shù)式上下同除以tanα，得
．
4.4 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系
sinα+cosα與sinαcosα之間有什么關(guān)系？
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練習(xí)
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布置作業(yè)
1.已知sinα= ，且角α是第二象限角，求cosα和tanα．
2.已知cosα= ，且角α是第三象限角，求sinα和tanα．
3.已知tanα= ，且角α是第一象限角，求sinα和cosα．
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練習(xí)
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4. 化簡：
（1）cosαtanα ； （2） ；
（3） ，其中角α是第二象限角．
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練習(xí)
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布置作業(yè)
5. 已知tanα = 4，求下列各式的值：
（1） ； （2） ．
7. 化簡：，其中角α是第一象限角．
6. 求證： =
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