資源簡介

(共24張PPT)
4.2 弧度制
中小學教育資源及組卷應用平臺
4.2 弧度制
日常生活中，很多量可以用不同的單位進行度量．如，體積有m (立方米)、L(升)等不同的度量單位；溫度有℃ (攝氏溫度)、F(華氏溫度)、K(開爾文)等不同單位．
開爾文溫度：T=t+273.15K 攝氏溫度：t=T-273.15℃ 華氏溫度：F=(9/5)t+32
角也有不同的度量單位，除了義務教育階段所學的“°”之外，還有一個度量單位——rad(弧度)．
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4.2 弧度制
把一個周角360等分，每1份圓弧所對的圓心角就是1度的角，記作1° ．
這種用“°”(度)作為單位來度量角的制度成為角度制．
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規定1°=60’，1’=60’’ ，這種用六十進制的方法來度量的角，在進行十進制運算時，常會帶來單位換算等不必要的麻煩，能否建立一種十進制的度量體系來度量角呢？
4.2 弧度制
在義務教育階段我們學過，在半徑為r的圓中，n°的圓心角所對的弧長為l=，可得，
= ，
而是一個定值．這說明比值與半徑的長度無關，只與n°角的大小有關．
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因此，我們可以用弧長與半徑的比值來表示這個圓弧所對的圓心角的大小．
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規定，弧長等于半徑(即 )的圓弧所對的圓心角稱為１弧度的角．記作“1rad”(讀作“1弧度”) ．
以“弧度”為單位來度量角的制度稱為弧度制．
同時規定，正角的弧度數是正數，負角的弧度數是負數，零角的弧度數是零．
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半徑為r的圓中，長度為 l 的圓弧所對的圓心角的大小為α，則
．
其中，角α的正負由角α的終邊的旋轉方向決定．
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因為半徑為r的圓的周長是2πr，所以周角的弧度數是 ，故有
360°=2π rad 或180°=π rad．
由此可得弧度制與角度制的換算公式：
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用弧度制表示角時，可以省略單位“rad”．如“2rad”可以寫成“2”．
但是，在用角度制表示角時，不能省略單位“°”．
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4.2 弧度制
例1 把 100°轉換為弧度．
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解 ．
例2
解
把 轉換為角度.
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例3 如圖，扇形的圓心角為α(0＜α＜2π) ，半徑為r，弧長為l，扇形面積為S，求證：（1） l=αr ；（2） ．
（2）因為圓心角為1rad的扇形面積為
所以圓心角為α的扇形面積為
．
證明 （1）因為 ，而0<α<2π，所以 ，即l=αr．
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例4 利用科學型計算器進行角度與弧度的轉換：
（1）把67°30′轉換為弧度(保留到小數點后第2位)；
（2）把3.14rad轉換為角度(保留到小數點后第2位)．
分析 利用科學型計算器進行角度
與弧度的轉換時，應先確定角的
度量單位．設置角的度量單位為
“度”或“弧度”的方法是：
依次按鍵： (角度制模式)或 (弧度制模式)．
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解 （1）第一步：將科學型計算器設為弧度制模式．
依次按鍵 ；
第二步：輸入67°30′，并把它轉換為弧度：
依次按鍵 ，結果顯示
因此，67°30′≈1.18rad．
1.178097245．
例4 利用科學型計算器進行角度與弧度的轉換：
（1）把67°30′轉換為弧度(保留到小數點后第2位)；
（2）把3.14rad轉換為角度(保留到小數點后第2位)．
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例4 利用科學型計算器進行角度與弧度的轉換：
（1）把67°30′轉換為弧度(保留到小數點后第2位)；
（2）把3.14rad轉換為角度(保留到小數點后第2位)．
（2）第一步：將科學型計算器設為角度制模式．依次按鍵 ；
第二步：輸入3.14rad，并把它轉換為角度：依次按鍵3.14 ，結果顯示179.9087477．
因此，3.14 rad≈179.91°．
解
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科學型計算器的功能強大．不同型號的計算器，按鍵操作 略有不同，本套書均以右圖所示計算器為例進行介紹．
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1.計算器的按鍵功能
（1）執行印在按鍵表面上的標記所對應的功能，直接按對應的按鍵；
（2）執行印在按鍵左上方的標記所對應的功能，需要先按功能控制區的 鍵，再按對應的按鍵．
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2.計算器的應用程序
計算器中有多個應用程序，按 鍵開機，按 鍵顯示主屏幕，使用方向鍵 以及翻頁鍵 可以查看所有應用程序．按方向鍵反色顯示需要使用的應用程序圖標后，按鍵 即可進入．本套書在沒有特殊說明的情況下，都默認計算器已開機并進入了“計算”應用程序，如圖中屏幕所示．
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一些特殊角的角度值和弧度值的對應關系：
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1．如圖所示，在半徑分別為1cm、2cm、5cm的圓中， 分別求1°的圓心角所對的弧長與半徑之比．
5cm
1°
2cm
1°
1cm
1°
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2．如圖所示，求半徑為20cm，弧長為100cm的扇形圓心角是多少弧度．
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練習
3．把下列角度轉換為弧度．
（1）22°； （2） 210°； （3） 1200° ．
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4．把下列弧度轉換為角度．
（1） ； （2） ； （3）3 ．
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典型例題
練習
5．經過4h，時鐘的時針和分針各轉了多少度？轉換為弧度是多少？
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6．用弧度制表示終邊在x軸上的角的集合．
7．已知一個扇形的半徑為10 cm，圓心角為1.2rad，求該扇形的弧長和面積．
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