資源簡介

(共39張PPT)
4.1 角的概念的推廣
中小學教育資源及組卷應用平臺
4.1 角的概念的推廣
在義務教育階段我們學習過，角是有公共端點的兩條射線構成的圖形．
4.1 角的概念的推廣
我們還學習過，角是平面內由一條射線繞著端點從一個位置旋轉到另一個位置所形成的圖形．如圖所示，射線的端點O稱為角的頂點， 旋轉起始位置的射線OA稱為角的始邊，終止位置的射線OB稱為角的終邊．
折扇兩扇骨繞扇釘旋轉形成的角；剪刀的兩個刀頭繞銷軸旋轉形成的角．
4.1 角的概念的推廣
這些角都可以用我們學習過的銳角、直角、鈍角、平角 、周角等表示．
銳角 直角 鈍角 平角 周角
任意角
4.1.1
4.1.1 任意角
公園里的摩天輪，選定一個機械臂的起始位置作為始邊，如果機械臂從這個起始位置旋轉一周，就說它轉過了360° ，那么當它轉過一周半或者轉過兩周時，它轉過了多少度呢？
情境導入
探索新知
典型例題
鞏固練習
歸納總結
布置作業
4.1.1 任意角
如果時鐘快了2h，應該如何校準？校準過程中分針相對起始位置轉過了多少度？如果時鐘慢了2h呢？
情境導入
探索新知
典型例題
鞏固練習
歸納總結
布置作業
4.1.1 任意角
摩天輪的機械臂從起始位置，旋轉了一周，則說它轉過了360°，旋轉一周半，則說它轉過了540°，旋轉了兩周，則說它轉過了720° ．
情境導入
探索新知
典型例題
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布置作業
4.1.1 任意角
情境導入
探索新知
典型例題
鞏固練習
歸納總結
布置作業
類似地，在現實生活中，存在大量的旋轉超過360°的現象．如轉動的電風扇、風車、陀螺等．
4.1.1 任意角
如果時鐘快了2h，則需要將分針相對于起始位置逆時針旋轉720°來校準，如果時鐘慢了2h，則需要將分針相對于起始位置順時針旋轉720°校準．
情境導入
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典型例題
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4.1.1 任意角
由于旋轉的方向不同，其效果也不同．因此，關于角，不僅要知道旋轉的度數，還要考慮旋轉的方向．
情境導入
探索新知
典型例題
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布置作業
4.1.1 任意角
規定：一條射線繞其端點按逆時針方向旋轉形成的角稱為正角，如圖（1）所示；按順時針方向旋轉形成的角稱為負角，如圖（2）所示．
如果一條射線沒有做任何旋轉，也認為形成了一個角，這個角稱為零角．
情境導入
探索新知
典型例題
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歸納總結
布置作業
4.1.1 任意角
分針按逆時針方向旋轉2周形成的角，記作720°，如圖（1）所示；分針按順時針方向旋轉2周形成的角，記作-720° ，如圖（2）所示．
(1) (2)
情境導入
探索新知
典型例題
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開始/結束
開始/結束
顯然，這兩個角是不一樣的．
4.1.1 任意角
通常使用角的頂點或頂點與始邊、終邊上的字母來表示角.例如，下圖中的角，可以記作“∠AOB”或“∠O”．
也經常使用小寫的希臘字母 α，β， γ，…來表示角，記作“角α”“角β”“角γ”……．在不引起混淆的情況下，可以簡記成“α” “β”“γ”……例如，α=420°，β= 135°．
情境導入
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典型例題
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布置作業
讀一讀
720°角和-720°角是旋轉的絕對量相同但旋轉方向不同的兩個角 ．
4.1.1 任意角
設角α與角β是兩個任意角，如何理解角-α 、角α + β和角α-β ？
情境導入
典型例題
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探索新知
4.1.1 任意角
為了方便，通常在平面直角坐標系中討論角．將角的頂點與原點重合，角的始邊與x軸的非負半軸重合，此時角的終邊在第幾象限，就稱這個角為第幾象限角．
A
B
角∠AOB是
第一象限角
角∠AOB是
第二象限角
角∠AOB是
第三象限角
角∠AOB是
第四象限角
A
A
A
B
B
B
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典型例題
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4.1.1 任意角
角α是第一象限角
角β是第三象限角
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4.1.1 任意角
如果角的終邊在坐標軸上，就認為這個角不屬于任何一個象限，稱為界限角．如，0°，90°，180°，360°， 90°角都是界限角．
0°
90°
180°
360°
0°
-90°
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典型例題
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想一想
界限角的度數有什么特點？
4.1.1 任意角
（1）490°角是射線繞著原點逆時針旋轉490°形成的，終邊落在第二象限，所以490°為第二象限角；
例1 在平面直角坐標系中，敘述下列各角的形成過程，并指出它們是第幾象限角．（1）490°；（2） 650°．
解 將角的頂點與坐標原點重合，角的始邊與x軸的非負半軸重合，則
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4.1.1 任意角
（2） 650 °角是射線繞著原點順時針旋轉650 °形成的， 終邊落在第一象限，所以 650°為第一象限角；
例1 在平面直角坐標系中，敘述下列各角的形成過程，并指出它們是第幾象限角．（1）490°；（2） 650°．
解 將角的頂點與坐標原點重合，角的始邊與x軸的非負半軸重合，則
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4.1.1 任意角
例2 求時鐘從8點到9點15分，如圖所示，分針和時針旋轉所成的角分別是多少？
解 時鐘從8點到9點15分，分針順時針旋轉450°(360°+45°)，因此，分針旋轉形成的角為 450° ；而時針順時針旋轉了37.5°(30°+ ) ，因此，時針旋轉形成的角為 37.5° ．
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4.1.1 任意角
練習
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典型例題
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1.判斷題(正確的打“√”，錯誤的打“×”)：
（1）第四象限角一定是負角；
（2）第二象限角一定是正角；
（3）小于90°的角一定是銳角；
（4）第一象限角一定是銳角；
（5）鈍角一定是第二象限角；
（6）第二象限角一定是鈍角．
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
4.1.1 任意角
練習
2．填空題：
（1） 15°是第_________象限角；
（2）795°是第_________象限角；
（3）163°是第_________象限角；
（4） 458°是第________象限角．
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4.1.1 任意角
練習
3．在平面直角坐標系中，分別作出下列各角，并指出它們是第幾象限角：
（1） 460° ；
（2） 995°；
（3） 200°；
（4） 700° ．
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終邊相同的角
4.1.2
4.1.2 終邊相同的角
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我們知道，在平面直角坐標系中，對于一個大小確定的角α，其終邊是確定的；反之，已知某個角的終邊，這個角的大小是否也是確定的呢？觀察生活中時鐘的指針和摩天輪等的運行軌跡會發現，這個答案是否定的，即具有相同終邊的角的大小是不確定的．
4.1.2 終邊相同的角
如圖，30°， 330°， 390°角之間有什么關系呢？
不難發現，在平面直角坐標系中，這三個角的終邊相同，并且都可以表示成30°與k個(k ∈Z) 360°的和．如：
30° = 30°＋0×360° ；
330° = 30°＋ ( 1)×360° ；
390° = 30°＋1× 360° ．
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4.1.2 終邊相同的角
從上述角的形成過程可以看出，與30°終邊相同的角有無數多個，它們與30°角均相差360°的整數倍．
因此與30°終邊相同的所有角可以表示為
β= 30° +k 360°，k∈Z．
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4.1.2 終邊相同的角
一般地，與角α終邊相同的所有角構成的集合為
S={β|β=α+ k 360°，k∈Z}，
即，所有與角α終邊相同的角都可以表示成角α與360°的整數倍的和．
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4.1.2 終邊相同的角
例3 寫出與 950°角終邊相同的所有角構成的集合，并找出0°~360°范圍內與其終邊相同的角．
解 與 950°角終邊相同的所有角構成的集合為
S={β|β＝ 950°+ k 360°， k∈Z }．
當k=3時，
β＝ 950°+3 × 360° = 130°，
故在0°~360°范圍內，與 950°角終邊相同的角是130°角．
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4.1.2 終邊相同的角
因為 950°與130°終邊相同，集合
S={β|β＝ 950°+k 360°，k∈Z}
也可寫成
S={β|β＝130°+k 360°，k Z}．
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典型例題
4.1.2 終邊相同的角
例4 寫出終邊在射線y=x(x≥0)上的角組成的集合．
解 在0°~360°范圍，終邊在射線y=x(x≥0)上的角為45°角，
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布置作業
因此終邊在射線 y=x(x≥0)上的角組成的集合為
S={β|β=45°+k·360°， k∈Z} ．
4.1.2 終邊相同的角
例5 寫出終邊在y 軸上的角組成的集合．
解 在0°~360°范圍，終邊在y軸上的角有90°角和270°角．
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布置作業
所有與90°角270°角終邊相同的角組成的集合分別為
S1={β|β=90°+ k·360°， k∈Z}，
S2={β|β=270°+ k·360°， k∈Z}．
所以，終邊在y軸上的角組成的集合為
S=S1∪S2 ={β|β= 90°+ k·360°， k∈Z}∪{β|β=270°+ k·360°， k∈Z}
= {β|β= 90°+ 2k·180°， k ∈Z}∪{β|β=90°+(2k+1) ·180°， k∈Z}
= {β|β=90°+n·180°， n∈Z}．
4.1.2 終邊相同的角
若角α是第一象限角，試寫出角α的集合．
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4.1.2 終邊相同的角
練習
1.已知角α是第一象限角，則角 α的終邊在第_______象限．
2.與1560°角終邊相同的角的集合中，最小的正角是_____ ．
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布置作業
4.1.2 終邊相同的角
練習
3. 寫出與下列角終邊相同的所有角組成的集合，并在
0°～360°范圍內找出與其終邊相同的角．
(1) 420°； (2) 510°； (3) 73°； (4) 855°.
4. 寫出終邊在x軸上的角組成的集合．
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布置作業
4.1 角的概念的推廣
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4.1 角的概念的推廣
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布置作業
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