資源簡介

(共54張PPT)
3.3 函數的性質
中小學教育資源及組卷應用平臺
3.3 函數的性質
函數是描述客觀事物運動變化規律的數學模型．了解了函數的變化規律，也就基本把握了相應事物的變化規律，因此這一節我們來研究函數性質．
函數的單調性
3.3.1
3.3.1 函數的單調性
情境導入
探索新知
典型例題
鞏固練習
歸納總結
布置作業
觀察圖像，當自變量變化時，函數怎樣變化 如何用數學的語言來表示這個變化？
如圖是某市某天氣溫y()是時間x(時)的函數圖像，記這個函數為．
3.3.1 函數的單調性
情境導入
探索新知
典型例題
鞏固練習
歸納總結
布置作業
由圖可知：
時間從4到14曲線呈上升趨勢，說明氣溫隨時間的增加而逐漸升高，也就是說當時，函數的值隨自變量x的增大而增大．
時間從到24曲線呈下降趨勢，說明氣溫隨時間的增加而逐漸降低，也就是說當時，函數的值隨自變量x的增大而減小．
如圖是某市某天氣溫y()是時間x(時)的函數圖像，記這個函數為．
3.3.1 函數的單調性
情境導入
探索新知
典型例題
鞏固練習
歸納總結
布置作業
在給定區間[4，14]上，對于圖像上的任意兩點，，當時，都有，即，f(x1)＜f(x2)．
在給定區間[14，24]上，對于圖像上的任意兩點，，當時，都有，即f(x3)＞f(x4)．
由圖可知：
如圖是某市某天氣溫y()是時間x(時)的函數圖像，記這個函數為．
3.3.1 函數的單調性
情境導入
探索新知
典型例題
鞏固練習
歸納總結
布置作業
設函數的定義域為D，區間．
（2）如果對于區間上的任意兩點，，當時，都有
，
那么稱函數在區間上是減函數，區間稱為函數的減區間．如圖(1)所示．
（1）如果對于區間上的任意兩點，，當時，都有
，
那么稱函數在區間上是增函數，區間I稱為函數的增區間．如圖(1)所示．
(1)
(2)
3.3.1 函數的單調性
情境導入
探索新知
典型例題
鞏固練習
歸納總結
布置作業
如果函數在區間上是增函數或減函數，那么稱函數在區間上具有單調性，區間稱為單調區間．
增區間也稱為單調增區間，減區間也稱為單調減區間．
3.3.1 函數的單調性
例1 根據函數在R上的圖像，如圖所示，寫出其單調區間．
解 （1）由函數圖像可知，函數的定義域為R，增區間為(-∞，0]，減區間為[0，+∞)．
情境導入
探索新知
典型例題
鞏固練習
歸納總結
布置作業
3.3.1 函數的單調性
例1 根據函數在R上的圖像，如圖所示，寫出其單調區間：
情境導入
探索新知
典型例題
鞏固練習
歸納總結
布置作業
解
（2）由函數圖像可知，數函y=g(x)的定義域為，增區間為和．
3.3.1 函數的單調性
情境導入
探索新知
典型例題
歸納總結
布置作業
鞏固練習
函數 的減區間能寫成嗎？
3.3.1 函數的單調性
情境導入
探索新知
典型例題
鞏固練習
歸納總結
布置作業
例2 討論函數在(-∞，+∞)上的單調性．
解 任取且，則
，
因為，所以即
．
所以函數在上是增函數．
3.3.1 函數的單調性
例3 證明函數在區間上是減函數．
情境導入
探索新知
典型例題
鞏固練習
歸納總結
布置作業
證明 任取且，則
f f = =
因為，所以，即
．
所以函數在區間 上是減函數．
3.3.1 函數的單調性
情境導入
探索新知
典型例題
鞏固練習
歸納總結
布置作業
練習
1.填空題（填“增”或“減”）
．
．
．
．
3.3.1 函數的單調性
情境導入
探索新知
典型例題
鞏固練習
歸納總結
布置作業
2．已知函數 y = f (x)，，如圖所示，試寫出函數的單調區間，并說明在每一單調區間上函數的單調性．
練習
3.3.1 函數的單調性
情境導入
探索新知
典型例題
鞏固練習
歸納總結
布置作業
3．證明：
（1）函數在上是減函數．
（2）函數在上是減函數．
練習
函數的奇偶性
3.3.2
3.3.2 函數的奇偶性
情境導入
探索新知
典型例題
鞏固練習
歸納總結
布置作業
大千世界，美無處不在，展示了生活中的對稱之美．
3.3.2 函數的奇偶性
情境導入
探索新知
典型例題
鞏固練習
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布置作業
數學中也存在著對稱美，函數圖像的對稱就是其中一種．
函數的圖像是關于軸對稱的軸對稱圖形．
函數 的圖像是關于原點對稱的中心對稱圖形．
觀察這兩種對稱的函數圖像，當自變量互為相反數時，它們對應的函數值有什么關系？
3.3.2 函數的奇偶性
情境導入
探索新知
典型例題
鞏固練習
歸納總結
布置作業
從函數值的角度，對于函數，有：
，
，
，
……
事實上，對于函數，自變量互為相反數時，對應的函數值x相等．即對于定義域R上的任意一個，都有 ．
想一想
點P(m，n)關于y軸對稱的點的坐標是什么？關于原點中心對稱的點的坐標是什么？
3.3.2 函數的奇偶性
情境導入
探索新知
典型例題
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歸納總結
布置作業
設函數的定義域為數集，若對于任意的，都有，且
，
則稱是偶函數．偶函數的圖像關于軸對稱．
讀一讀
在數軸上，“對于任意的x∈D，都有-x∈D”，意味著x的取值范圍關于原點對稱 ．
3.3.2 函數的奇偶性
情境導入
探索新知
典型例題
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歸納總結
布置作業
對于函數 有：
，
，
，
……
事實上，對于函數，自變量互為相反數時，對應的函數值也互為相反數．即對于定義域上的任意一個，都有
．
3.3.2 函數的奇偶性
情境導入
探索新知
典型例題
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歸納總結
布置作業
設函數的定義域為數集，若對于任意的，都有，且
，
則稱是奇函數．奇函數的圖像關于原點中心對稱．
讀一讀
當函數f(x)的圖像關于y軸對稱時，y=f(x)是偶函數．當函數f(x)的圖像關于原點中心對稱時， y=f(x)是奇函數．反正也成立．
3.3.2 函數的奇偶性
情境導入
探索新知
典型例題
鞏固練習
歸納總結
布置作業
如果一個函數是奇函數或偶函數，就說這個函數具有奇偶性，其定義域一定關于原點中心對稱．
3.3.2 函數的奇偶性
有沒有某個函數，它既是奇函數又是偶函數？如果有，請舉例說明．
情境導入
探索新知
典型例題
歸納總結
布置作業
鞏固練習
3.3.2 函數的奇偶性
例4 討論下列函數的奇偶性：
（1）； （2）；
（3）； （4）．
情境導入
探索新知
典型例題
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歸納總結
布置作業
（1）的定義域為R，對于任意的，都有，且
，
所以是奇函數．
解
3.3.2 函數的奇偶性
情境導入
探索新知
典型例題
鞏固練習
歸納總結
布置作業
（2）的定義域為R，對于任意的，都有，且
，
所以是偶函數．
解
例4 討論下列函數的奇偶性：
（1）； （2）；
（3）； （4）．
3.3.2 函數的奇偶性
情境導入
探索新知
典型例題
鞏固練習
歸納總結
布置作業
（3）的定義域為R，對于任意的，都有，但，，
所以既不是奇函數也不是偶函數．
解
讀一讀
如果函數的定義域不是關于原點對稱的，那么這個函數既不是奇函數也不是偶函數．
例4 討論下列函數的奇偶性：
（1）； （2）；
（3）； （4）．
3.3.2 函數的奇偶性
情境導入
探索新知
典型例題
鞏固練習
歸納總結
布置作業
解
（4）的定義域為 ，對于 ，而 ，所以函數既不是奇函數也不是偶函數．
例4 討論下列函數的奇偶性：
（1）； （2）；
（3）； （4）．
3.3.2 函數的奇偶性
例5 （1）左圖給出了偶函數在上的函數圖像，試將的圖像補充完整，并指出函數的單調區間．
解 （1）由于函數是偶函數，所以它的圖像關于軸對稱，因此它的圖像如圖所示．
函數的減區間為，增區間為．
情境導入
探索新知
典型例題
鞏固練習
歸納總結
布置作業
3.3.2 函數的奇偶性
例5 左圖給出了奇函數在上的函數圖像，試將的圖像補充完整，并指出函數的單調區間．
解 （2）由于函數是奇函數，所以它的圖像關于原點中心對稱，因此它的圖像如圖所示．函數的增區間為．
情境導入
探索新知
典型例題
鞏固練習
歸納總結
布置作業
3.3.2 函數的奇偶性
練習
情境導入
探索新知
典型例題
鞏固練習
歸納總結
布置作業
1．填空題：
（1）點關于軸對稱的點為 ，關于軸對稱的點為 ，關于坐標原點對稱的點為 ；
（2）點關于軸對稱的點為 ，關于軸對稱的點為 ，關于坐標原點對稱的點為 ．
3.3.2 函數的奇偶性
練習
情境導入
探索新知
典型例題
鞏固練習
歸納總結
布置作業
2．討論下列函數的奇偶性：
（1）； （2）；
（3）； （4）．
3.3.2 函數的奇偶性
練習
情境導入
探索新知
典型例題
鞏固練習
歸納總結
布置作業
3．已知偶函數和奇函數的定義域均為[-4，4]，下圖為它們在[0，4]上的圖像．
（1）求與；
（2）將函數和在定義域內的圖像補充完整．
幾種常見的函數
3.3.3
3.3.3 幾種常見的函數
情境導入
探索新知
典型例題
鞏固練習
歸納總結
布置作業
回顧義務教育階段學過的一次函數、反比例函數與二次函數，它們的定義域、值域、單調性、奇偶性等各是怎樣的呢？如何用數學的語言表達？
3.3.3 幾種常見的函數
情境導入
探索新知
典型例題
鞏固練習
歸納總結
布置作業
是一次函數，其圖像為直線，如圖所示．
1.一次函數
由一次函數的解析式和圖像不難發現，其定義域和值域均為R，并有如下性質：
（1）當時，在R上是增函數，如圖（1）所示；當時，在R上是減函數，如圖（2）所示．
（2）當時，如圖（3）（4）所示．
一次函數是奇函數，其圖像關于原點中心對稱．
3.3.3 幾種常見的函數
例6 函數y=(3m+4)x+m在R上是減函數．
（1）求m的取值范圍；
（2）若函數的圖像過點(-1，0)，試求圖像與y軸的交點坐標．
情境導入
探索新知
典型例題
鞏固練習
歸納總結
布置作業
解 （1）由函數y=(3m+4)x+m在R上是減函數，可得3m+4<0，即
，所以的取值范圍是 ．
（2）由于y=(3m+4)x+m的圖像過點(-1，0)，則有
0=(3m+4)×(-1)x+m
解得，m =-2．所以函數的解析式為y=-2x-2 ．
令x=0，得y=-2故函數的圖像與y軸的交點坐標為(0，-2)．
3.3.3 幾種常見的函數
情境導入
探索新知
典型例題
鞏固練習
歸納總結
布置作業
2.反比例函數
是反比例函數，其圖像如圖所示．
由反比例函數的解析式和圖像可知：其定義域和值域均為
并有如下性質：
（1）當k>0時，函數圖像在第一、三象限，在和上都是減函數；當k<0時，函數圖像在第二、四象限，在和上都是增函數．
（2）函數是奇函數，圖像關于原點中心對稱．
3.3.3 幾種常見的函數
例7 設反比例函數的圖像經過點，問函數圖像是否一定經過點
解 因為反比例函數是奇函數，它的圖像關于原點對稱．而點關于原點對稱的點是，所以函數圖像一定經過點．
情境導入
探索新知
典型例題
鞏固練習
歸納總結
布置作業
3.3.3 幾種常見的函數
例8 一次函數 y=(2m+1)x+b 在R上是增函數，其圖像與反比例函數的圖像交于點（1，4），求這個一次函數與反比例函數．
解 由一次函數 在R上是增函數，可得，所以 因為兩個函數的圖像交于點（1，4），所以，將該點坐標代入反比例函數，得，所以，m=±2．由于，所以不合題意，舍去，故．
一次函數為y=5x +b，將點（1，4）代入得，4=5×1+b ，即b=-1．所以這個一次函數為y=5x-1 ，反比例函數為．
情境導入
探索新知
典型例題
鞏固練習
歸納總結
布置作業
3.3.3 幾種常見的函數
3.二次函數
情境導入
探索新知
典型例題
鞏固練習
歸納總結
布置作業
是二次函數，其圖像是拋物線，頂點坐標為，對稱軸方程為．
一般地，當時，二次函數的圖像是一條開口向上的拋物線，定義域為R，值域為．
并有如下性質：
（1）在上是減函數，在[ 是增函數；
（2）當時為偶函數．
3.3.3 幾種常見的函數
3.二次函數
情境導入
探索新知
典型例題
鞏固練習
歸納總結
布置作業
是二次函數，其圖像是拋物線，頂點坐標為，對稱軸方程為．
一般地，當時，二次函數的圖像是一條開口向下的拋物線，定義域為R，值域為．
并有如下性質：
（1）在上是增函數，在[ 是減函數；
（2）當時為偶函數．
3.3.3 幾種常見的函數
情境導入
探索新知
典型例題
歸納總結
布置作業
鞏固練習
對二次函數進行總結，見表：
3.3.3 幾種常見的函數
例9 作出二次函數的圖像，并討論其單調性．
情境導入
探索新知
典型例題
鞏固練習
歸納總結
布置作業
解 由知：a=1，b=-2，c=-3，所以1，，則對稱軸方程為x=1，頂點坐標為(1，-4) ．
（1） 列表
（2）描點連線
圖像過點(-1，0)， (0，-3)，(1，-4)，(2，-3)，(3，0)，用光滑曲線依次連接以上各點，畫出函數的圖像，如圖所示．
由圖知，二次函數的圖像是開口向上的拋物
線，定義域為R，值域為[ 4，＋ ）．函數在（ ，1]上是減函數，函數在[1，＋ ）上是增函數．
讀一讀
求二次函數的頂點坐標時，也可以利用配方法．
3.3.3 幾種常見的函數
情境導入
探索新知
典型例題
歸納總結
布置作業
鞏固練習
已知函數 在 上是減函數，在 上是增函數，請求出 的值．
3.3.3 幾種常見的函數
情境導入
探索新知
典型例題
鞏固練習
歸納總結
布置作業
練習
1．若函數f(x)=(2a-1)x(a為實數)在R上是增函數，則（ ）．
A. B. C. D.
3.3.3 幾種常見的函數
情境導入
探索新知
典型例題
鞏固練習
歸納總結
布置作業
練習
2．填空題：
（1） 一次函數y=-3x+5的定義域是_________，值域是_______，該函數在____上是_____函數(減或增)，它的圖像與坐標軸的交點坐標為___________；
（2）當________時，一次函數是奇函數；
（3）若反比例函數在（- ，0）上是增函數，則的取值范圍是_______；
3.3.3 幾種常見的函數
情境導入
探索新知
典型例題
鞏固練習
歸納總結
布置作業
練習
2．填空題：
（4）二次函數5的定義域是_________，值域是__________，該函數在___________上是增函數，在____________上是減函數；它是__________函數（奇或偶），它的圖像與x軸的交點的坐標是________，與y軸的交點的坐標是_______；
（5）二次函數的定義域是_____，值域是______；該函數在________上是增函數，在__________上是減函數，它的圖像與x軸的交點坐標是________，與y軸的交點坐標是__________．
3.3.3 幾種常見的函數
情境導入
探索新知
典型例題
鞏固練習
歸納總結
布置作業
練習
3.已知函數2x-5在R上是減函數，求的取值范圍
4.已知函數是偶函數，且．比較的大小．
3.3.3 幾種常見的函數
情境導入
探索新知
典型例題
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歸納總結
布置作業
練習
5.已知點 A在函數 的圖像上，求點關于軸對稱點的坐標．
6.已知函數是R上的偶函數，求實數．
7.已知函數是R上的奇函數，求實數
3.3 函數的性質
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探索新知
典型例題
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布置作業
3.3 函數的性質
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探索新知
典型例題
鞏固練習
歸納總結
布置作業
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