資源簡介

(共23張PPT)
2.3 一元二次不等式
中小學教育資源及組卷應用平臺
2.3 一元二次不等式
情境導入
探索新知
典型例題
鞏固練習
歸納總結
布置作業
我們知道，當a＞0時，關于一元二次方程ax2＋bx＋c=0和二次函數y=ax2＋bx＋c之間有下表所示結論．
由表中函數y=ax2＋bx＋c的圖像可以看出，圖像在軸上方的部分所對應的函數值，即
ax2＋bx＋c＞0，
圖像在軸下方的部分所對應的函數值 y，即
ax2＋bx＋c＜0．
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像這樣，含有一個未知數，并且未知數的最高次數為2的不等式，稱為一元二次不等式．其一般形式為
ax +bx+c>0 (a≠0) ．
上面不等式中的“＞”也可以換成“＜”“≥”或“≤” ．
例如，x -9>0，3x -2x-1≤0，-2x +5x+4<0 等都是一元二次不等式．
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一元二次不等式與一元二次方程、二次函數形式上很接近，關系很密切，我們是能否借助它們之間的關系求解形如
ax2＋bx＋c＜0或ax2＋bx＋c＞0
這樣的一元二次不等式呢？
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下面先來分析一元二次不等式 x -2x-3<0 和二次函數 y=x -2x-3、一元二次方程x -2x-3=0之間的關系．
如圖(1)所示，二次函數y=x -2x-3的圖像與x軸交于兩點，方程x -2x-3=0的解是 ， ，也就是拋物線與 軸交點(-1，0)和(3，0)的橫坐標．
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如圖(2)所示，當 -1 < x < 3 時，函數的圖像位于x 軸的下方，此時 y < 0 ．
下面先來分析一元二次不等式 x -2x-3<0 和二次函數 y=x -2x-3、一元二次方程x -2x-3=0之間的關系．
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如圖(3)所示，當x<-1或x>3時，函數的圖像位于x軸的上方，此時y>0．
下面先來分析一元二次不等式 x -2x-3<0 和二次函數 y=x -2x-3、一元二次方程x -2x-3=0之間的關系．
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不等式 x -2x-3>0 的解集為(-∞，-1)∪(3，+ ∞)．
由此得到，不等式 x -2x-3<0 的解集為(-1，3)；
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先求出一元二次方程的根，再根據二次函數圖象與x軸的相關位置確定一元二次不等式的解集．
按照上面的分析，可以得到一般的一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0 ( a>0 )和 ax2＋bx＋c<0 ( a>0 )的求解方法：
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根據一元二次方程判別式的三種情況，將一元二次方程的解、二次函數圖像和一元二次不等式的解集列表： .
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例1 求下列一元二次不等式的解集：
（1） x -x-6 < 0 ；
解（1）因為不等式的二次項系數1＞0，
對應方程x -x-6=0 的解為 ，
對應的二次函數的圖像如圖所示．
所以不等式 的解集為 ．
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例1 求下列一元二次不等式的解集：
（2） x(x-3)≥0；
解（2）因為不等式的二次項系數1＞0，
對應方程 x(x-3)=0的解為x1=0， x2=3，
對應的二次函數的圖像如圖所示．
所以不等式x(x-3)≥0的解集為 ．
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例1 求下列一元二次不等式的解集：
（3） 2x -4x+3<0 ；
解（3）因為不等式的二次項系數2＞0，
對應方程 2x -4x+3=0 無實數解
（ ），對應的
二次函數的圖像如圖所示．
所以不等式2x -4x+3<0的解集為 ．
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例2 若 有意義， 試求x的取值范圍．
解 要使 有意義，應該滿足不等式
．
因為不等式的二次項系數3＞0，對應方程
的解為 ，對應的二
次函數的圖像如圖所示．
所以不等式 的解集為 ．
即當 時， 有意義．
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如何求解一元二次不等式 ？
當二次項系數a＜0時，由不等式的性質，不等式兩邊同乘 1，不等號方向改變，就可以將a＜0的情形轉化為a＞0的情形，得到與原不等式同解的不等式，然后求解即可．
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例3 求一元二次不等式-x2+4x-2<0的解集．
解 因為不等式的二次項系數為-1<0，所以將不等式的兩邊同乘-1，不等號方向改變，得到與原不等式同解的不等式
x2-4x+2>0，
其對應方程x2-4x+2=0的解為x1=2- ，x2=2+ ，對應的二次函數的圖像如圖所示．
所以不等式x2-4x+2>0的解集為
即當不等式-x2+4x-2<0的解集為
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例4 一元二次不等式x2+4x+m≥0對于一切實數x都成立，求m的取值范圍．
解 因為不等式x2+4x+m≥0對于一切實數x都成立，所以對應的二次函數y=x2+4x+m 的圖像是開口向上的拋物線，且在x軸上方，如圖所示．
也就是說，對應方程x2+4x+m=0 的根的判別式
．
解得m≥4．
因此，m的取值范圍是[4，+∞)．
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練習
1.不等式(x-2)(x-3)≥0的解集為（ ）．
A.(-∞，2)∪(3，+∞ ) B. (-∞，2]∪[3，+∞ )
C. [2，3] D. (2，3)
2.不等式2x-x >0的解集為（ ）．
A. (-∞，0)∪(2，+∞ ) B. (0，2)
C. [0，2] D. R
3.不等式x -2x+1 ≤0的解集為（ ）．
{1} B. (-∞，1)∪(1，+∞ )
C. R D.
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4.求下列一元二次不等式的解集．
（1） 5x2-x-6>0；
（3） 2x2-5x-3<0；
（5） x2-2x +1>0；
（7） x2-3x +5>0 ；
（2） -x2+3x+10≥0；
（4） 2x-x2+3<0；
（6）4x2-12x +9 <0；
（8） 2x-x2-3 >0．
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6.若一元二次方程x +mx+1=0無實數解，求m的取值范圍．
5.當x在什么范圍取值時 有意義
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