資源簡介

(共33張PPT)
2.1 不等式的基本性質
中小學教育資源及組卷應用平臺
2.1 不等式的基本性質
與相等關系相比，不等關系在現實世界中更為普遍．我們知道，不等式就是描述不等關系的一種重要的數學表示形式，我們將通過實數大小的比較，來研究不等式的基本性質．
實數的大小
2.1.1
2.1.1 實數的大小
情境導入
探索新知
典型例題
鞏固練習
歸納總結
布置作業
兩個周長相等的矩形，如圖所示，它們的面積哪個更大呢？
圖(1)所示為正方形，面積為3cm×3cm=9cm2；
圖(2)所示為長方形，面積為4cm×2cm=8cm2．
由于9 8=1＞0，所以它們的面積不相等，且圖(1)所示正方形的面積大于圖(2)所示矩形的面積．
一般地，對于任意實數a，b，如果a-b>0 ，那么稱a大于b（或b小于a）．
（1）
（2）
2.1.1 實數的大小
情境導入
探索新知
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布置作業
因為實數與數軸上的點是一一對應的，對于任意實數a、b都可以在數軸上找到對應的點A和B，如圖所示．
顯然，當點A在點B的右邊時， a>b ；
當點A在點B的左邊時， a當點A與點B重合時， a=b ．
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布置作業
2.1.1 實數的大小
關于實數a，b的大小關系，可以通過以下運算來表示：
a > b a-b > 0，
a < b a-b < 0，
a = b a-b = 0 ．
要比較兩個實數（或代數式）的大小，可以轉化為比較它們的差與0的大小．這種比較大小的方法稱為作差比較法．
情境導入
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布置作業
讀一讀
“ ”表示“等價于”，即可以互相推出 ．
2.1.1 實數的大小
情境導入
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典型例題
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例1 比較 與 的大小．
解 因為
所以 ．
2.1.1 實數的大小
例2 比較(x+1)(x+2)與3x-1的大小．
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典型例題
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布置作業
解 因為(x+1)(x+2)-(3x-1)=(x +3x+2)-(3x-1) =x +3>0，
所以 (x+1)(x+2)>3x-1．
2.1.1 實數的大小
例3 比較 2x -x 與x +2x-3的大小．
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典型例題
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解 因為 (2x -x)-(x +2x-3)
= x -3x+3= x -3x+ -
= + ，
對任意實數x，都有 ≥0 ，所以
+ > 0 ．
故 2x -x >x +2x-3．
2.1.1 實數的大小
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鞏固練習
設a，b均為實數，試比較a +b -ab與ab的大小．
2.1.1 實數的大小
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布置作業
1．比較下列各組實數的大小．
（1） 與 ； （2） 與 ； （2） 與0.83.
2．若a>b ，比較2a-1 與2b-1 的大小．
3．比較x -1與2x +3 的大小．
練習
4．比較 x -x 與x-2 的大小．
不等式的性質
2.1.2
2.1.2 不等式的性質
情境導入
探索新知
典型例題
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布置作業
比較兩個實數大小的作差比較法為研究不等關系奠定了基礎．那么，如何用這個方法研究不等式的性質呢？
2.1.2 不等式的性質
在義務教育階段，我們學習過一些不等式的性質，如：
性質1 如果a>b，那么a+c>b+c．
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2.1.2 不等式的性質
可以用作差比較法證明性質1．
由 a > b，得 a-b>0，于是
(a+c)-(b+c)= a+c-b-c =a-b >0 ．
所以
a + c >b + c ．
性質1的證明
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2.1.2 不等式的性質
性質1的證明
也可以借助數軸來看性質1，如圖所示．
性質1的證明
實數a、b在數軸上分別對應點A和點，a+c和b+c在數軸上分別對應點和點．當c>0時，點A和點B同時向右平移個單位，即可到達點和點的位置；當<0時，點A和點B同時向左平移個單位，即可到達點和點的位置．
顯然，兩種情況中，點點的左右位置與點和點的情況相同．
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2.1.2 不等式的性質
性質1表明，不等式兩邊同時加上（或減去）同一個數（或代數式），不等號的方向不變．因此性質1也稱為不等式的加法法則．
利用不等式的加法法則，容易證明：
如果 ，那么 ．
這表明，不等式的任何一項可以從不等式的一邊移到另一邊，但同時要改變符號．這條結論也稱為移項法則．
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2.1.2 不等式的性質
性質2 如果a>b，c>0 ，那么ac>bc；
如果a>b，c<0，那么ac< bc．
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性質2表明，不等式兩邊同時乘(或除以)同一個正數，不等號的方向不變；不等式兩邊同時乘(或除以)同一個負數，不等號的方向改變．
性質2也稱為不等式的乘法法則．
試一試
用作差比較法證明性質2．
2.1.2 不等式的性質
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證明 由a>b， b>c ，得
a-b>0，b-c>0；
所以
a-c=a-b+b c=(a-b)+(b-c)>0，
由此得 a>c．
性質3 如果a>b，b>c，那么a>c．
性質3表明不等式具有傳遞性．
2.1.2 不等式的性質
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我們也可以借助數軸來看不等式的傳遞性．
對于實數a、b和c，它們在數軸上分別對應點A、B和C，由，所以點 A 在點 B 的右邊，又因為，即點 B 在點 C 右邊，所以三個點從左到右依次為點C、點B和點A，即．
2.1.2 不等式的性質
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性質4也稱為同向不等式的可加性．
性質4 如果a>b，c>d，那么a+c>b+d．
證明 由a＞b， c＞d ，由性質1，得
a+c>b+c， b+c > b+d.
由性質3，得
a+c>b+d.
2.1.2 不等式的性質
例4 用符號“>”或“<”填空，并說明利用了不等式的哪（幾）條基本性質．
解 （1）根據不等式性質1，不等式兩邊同時減去5，不等號方向不變，即．
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（1）如果a < b，那么a-5 b-5；
2.1.2 不等式的性質
例4 用符號“>”或“<”填空，并說明利用了不等式的哪（幾）條基本性質．
（2）根據不等式性質1，不等式兩邊同時加上4，不等號方向不變，即
，
又因為，所以根據不等式性質3，可以得到
．
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（2）如果，那么a+4 b+2；
解
讀一讀
本題也可以根據不等式的性質1和性質3，由a+4>b+4>b+2得到 ．
2.1.2 不等式的性質
解
例4 用符號“>”或“<”填空，并說明利用了不等式的哪（幾）條基本性質．
（3）根據不等式性質2，不等式a．
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（3）如果a， ；
2.1.2 不等式的性質
解
例4 用符號“>”或“<”填空，并說明利用了不等式的哪（幾）條基本性質．
（4）根據不等式性質2，不等式兩邊同時乘以3，不等號方向不變，即，
再仿照（2）的方法，可以得到
．
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（4）如果a>b，那么3a-2 3b-3 ．
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例5 若 ， ，試證明 ．
解 因為a>b，c>0 ，由不等式的性質2得
ac>bc.
同理，由c>d，b>0 ，得
bc>bd.
因此，由不等式的性質3可得ac>bd ．
讀一讀
本題也是不等式的性質之一：兩邊都是正數的同向不等式，兩邊分別相乘，所得到的不等式與原不等式同向．
2.1.2 不等式的性質
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例6 如果代數式 與代數式 的差不大于2，
求x的取值范圍．
，
解 由題可知 ，
化簡得 ，
因此 ，
故 .
所以x的取值范圍是 ．
2.1.2 不等式的性質
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如果a>b，c>d，是否有“a-c> b-d ”成立呢？如果成立，請說明理由；否則，請舉出反例．
2.1.2 不等式的性質
練習
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1．已知a＞b，用符號“＞”或“＜”填空：
（1）a+1 b+1；
（2）-5a -5b；
（3）3a+3 3b+2．
2.1.2 不等式的性質
練習
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布置作業
2．判斷下列結論是否正確，并說明理由．
（1）如果且，那么；
（2）如果，那么；
（3）如果，那么．
3．如果代數式 與代數式 的差不小于3，求x的取值范圍．
2.1.2 不等式的性質
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