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(共13張PPT)
第四章 三角形
1 認識三角形
第2課時 三角形的三邊關系
判斷三條線段能否組成三角形，只需看較短兩邊的長度之和是否大于第
三邊即可。因為只要較短兩邊的長度之和大于第三邊，則任意兩邊的和都
大于第三邊，所以用此方法可以很快地判斷出三條線段能否組成三角形。
. .
. .
知識點1 三角形按邊分類
1.如圖表示的是三角形的分類，則 表示的是( )
A
（第1題）
A.等邊三角形 B.直角三角形 C.銳角三角形 D.鈍角三角形
2.一個三角形的三邊長之比是 ，周長是10，則此三角形按邊分類
是( )
A
A.等腰三角形 B.等邊三角形
C.三邊都不相等的三角形 D.以上都不對
知識點2 三角形的三邊關系
3.下列長度的各組線段能組成一個三角形的是( )
D
A.,, B.,,
C.,, D.,,
4.若某個三角形的三邊長分別為3，4，，則 的值可以是( )
B
A.1 B.5 C.7 D.9
（第5題）
5. 如圖，為估計池塘兩岸
， 兩點間的距離，小奇在池塘一側選取了一點
，分別測得，，若， 兩
點間的距離長度為偶數（單位：），那么，
兩點間的最大距離是____ 。
10
[解析] 點撥：在 中，由三角形的三邊關系可得
，因為， ，
所以，即 。
因為， 兩點間的距離長度為偶數，
所以，兩點間的最大距離是 。
6.[2024臺州模擬] 已知的三邊長分別為，， ，化簡
的結果是_________。
7. 如圖，第二次龜兔賽跑時，聰明的
烏龜設計的比賽規則是從點跑到點，因， 之間
有獵人的陷阱，烏龜讓兔子沿路線 前進，
而它沿路線 前進。烏龜告訴兔子，兔
子只跑三角形的兩邊 ，而它要跑四邊形的三邊
，這樣自己跑的路程比兔子跑的路程長。請你用所學
的知識說明它們誰跑的路程長。
解：如圖，設直線交于點，交于點 ，
在中， ，
在中， ，
在中， ，
所以 ，
所以 ，即
，所以兔子跑的路程長。
8. 在平面內，分別將3根、5根、6根……火柴棒首尾
順次相接，能搭成什么形狀的三角形呢？通過嘗試，列表如下：
火柴棒根數 3 5 6
示意圖 _____________________ _________________ ___________________________
形狀 等邊三角形 等腰三角形 等邊三角形
（1）4根火柴棒能搭成三角形嗎？
解：4根火柴棒不能搭成三角形。
（2）8根、12根火柴棒能搭成幾種不同形狀的三角形？并畫出它們的示
意圖。
解：8根火柴棒能搭成一種三角形，示意圖如圖①所示。
12根火柴棒能搭成三種不同形狀的三角形，示意圖如圖②所示。(共21張PPT)
第四章 三角形
3 探索三角形全等的條件
第2課時 角邊角與角角邊
證明三角形全等的“兩類條件”
（1）直接條件：即已知中直接給出的三角形的對應邊或對應角；
（2）隱含條件：即已知沒有給出，但通過讀圖得到的條件，如公共邊、
公共角、對頂角等。
知識點1 利用“ ”判定兩個三角形全等
1.如圖，和相交于點，已知 ，以“
”為依據說明 還需添加( )
B
A. B.
C. D.
2. 如圖，某同學把一塊三角形的玻璃打碎成了三塊，現
在要到玻璃店去配一塊完全一樣的玻璃，那么最省事的辦法是( )
C
（第2題）
A.帶①去 B.帶②去 C.帶③去 D.帶①和②去
（第3題）
3.如圖，已知是的邊 上的高，下列能使
的條件是( )
A
A. B.
C. D.
4.如圖，點在線段上，在和中， ，
，。試說明： 。
解：在和中，
所以，所以 。
知識點2 利用“ ”判定兩個三角形全等
（第5題）
5.[2024泰安月考] 如圖，已知， ，
則直接判定 的理由是( )
A
A. B.
C. D.以上都不正確
6.如圖，，與交于點 ，請添加一個條件：____________
_______________，使 。（只填一種情況即可）
（答案不唯一）
（第6題）
7.如圖，點，，，在同一條直線上，點，
分別在直線的兩側，且， ，
。
（1）試說明： ；
解：在和中，
所以 。
（2）若，，求 的長。
解：因為，，所以 。
又因為，所以 。
知識點3 利用“”或“ ”，尺規作三角形
8.[2024渭南模擬] 如圖，已知，點，， 在同一條直線上，線
段，。利用尺規作圖法在線段上求作一點 ，連接
，使得 。（不寫作法，保留作圖痕跡）
解：如圖所示。（作法不唯一）
9.[2024揚州模擬] 如圖，點在 的外部，
點在邊上，交于點。若 ，
， ，則( )
D
A. B.
C. D.
（第10題）
10.如圖，的面積為， 的
平分線于點，連接，則 的面積為
( )
C
A. B. C. D.
[解析] 點撥：如圖，延長交于點 ，
易證 ，
所以，，所以 ，所以
。
11.如圖，在中， ，，點為 上一點，
連接。過點作于點，過點作交 的延長線于
點。若，，則 的長度為___。
3
（第11題）
12.如圖，平分，， ，垂足
分別為， 。
（1）試說明： ；
解：因為平分，所以 。
因為，，所以 。
在和中，
所以 。
（2）若，，求四邊形 的面積。
解：由（1）知 ，
所以， 。
所以 。
所以。所以 。
13. 已知在中， ， ，直
線過點，且于點，于點，當直線繞點 旋轉至
圖①位置時，我們可以發現 。
（1）當直線繞點旋轉至圖②位置時，問：與， 之間的數
量關系如何？請說明理由。
解： 。理由如下：
因為，，所以 ，所以
。
因為 ，所以 ，
所以 。
在和中，
所以，所以， 。
所以 。
（2）直線在繞點旋轉一周的過程中，，， 之間存在哪幾
種不同的數量關系？（直接寫出，不必證明）
解：直線在繞點旋轉一周的過程中，，， 之間存在3種不
同的數量關系：，， 。(共11張PPT)
第四章 三角形
專項突破6 與三角形中線有關的面積
問題
三角形一邊上的中線不僅將該邊分成相等的兩段,而且還將三角形的面
積分成相等的兩部分。利用這一性質，往往可以事半功倍。
（1）中線把三角形分成兩個面積相等的三角形。如圖①，若 為
的中線，為的中線，則 ，
。
（2）若題中有中點，求面積時，要考慮在三角形中連接中線，利用（1）
中的性質求解。
（3）同一三角形被不同中線分成的三角形面積也相等。如圖②， ，
均為 的中線，則
。
（4）如圖③，，，均為 的中線，則這三條中線六等分
的面積。
（第1題）
1.如圖，在中，,,分別為,, 的中
點，且 ，則陰影部分的面積為
( )
C
A. B. C. D.
2.如圖，在中，點，，分別為，， 的中點，且
，則陰影部分的面積為___ 。
4
（第2題）
3.如圖，在中，， ，是 的中
線，，求 的面積。
解：因為是的中線， ，
所以，，所以 。
因為,所以 ,所以
。所以 。
4.如圖，是的中線，為 上一點，連接
交于點，已知的面積為14，
的面積為3，求四邊形 的面積。
解：因為是的中線， 的面積為14，
所以 。
又因為 的面積為3，
所以 。
5.用兩種不同的方法把一個大三角形分成四個小三角形，使它們的面積
相等，并簡單說明你的方法。
方法1： ______________________________________________________
解：如圖①，取的中點，連接，再分別取， 的
中點，，連接， 。
____________________________________________________________
方法2： ______________________________________________________
如圖②，分別取，，的中點，，，連接 ，
， 。（方法不唯一）
____________________________________________________________(共24張PPT)
第四章 三角形
3 探索三角形全等的條件
第4課時 靈活運用四種判定方法判定
兩個三角形全等
知識點 靈活運用四種判定方法判定兩個三角形全等
（第1題）
1.如圖，已知， ，可根據三角
形全等得到 ，則三角形全等的依據是
( )
B
A. B. C. D.
（第2題）
2.如圖，， ，添加下列一個條件
后，不能使 的是( )
A
A. B.
C. D.
3.根據下列已知條件，畫出的 不唯一的是( )
D
A.，，
B. ， ，
C. ，，
D. ，，
4.如圖，，，，，則 等于___。
4
（第4題）
5.[2024德州] 如圖，是的中點， ，請添加一個條件
________________________，使 。
（答案不唯一）
（第5題）
6.[2024濟寧月考] 如圖，點，，， 在同一
直線上，，， 。說明
。請將下面的解答過程補充完整。
解：因為 ，
所以 ，
所以____ ____。
因為 ，
所以____ ____（________________________），
兩直線平行，內錯角相等
在和 中，
因為
____=____
_____=____
_____=____
所以 （_____），
所以 （________________________）。
全等三角形的對應邊相等
7.如圖，小明的一款等腰直角三角板形
狀的玩具，恰好落在了兩堆豎直擺放的
磚塊之間。
試說明： 。
解：由題意知， ， ，
所以 ， ，
所以。所以 。
8.[2024廣州模擬] 如圖，，，
是 的延長線上一點。試說明：
（1） ；
解：在和中，因為
所以，所以 。
（2） 。
解：因為，所以 ，
在和中，因為
所以，所以 。
（第9題）
9.如圖，在中，平分交于點 ，
延長到點，使得，連接 。若
，則 的度數是( )
B
A. B. C. D.
（第10題）
10.如圖，在和中，與 相
交于點，與相交于點，與 相交于點
， ， ，
。給出下列結論： ；
；； 。
其中正確的結論是________（填序號）。
①③④
點撥：因為，所以，在 和
中，因為所以 ，所以
，，，所以①③都正確，在 和
中，所以 ，故④正確，
根據已知條件無法說明②是否正確。
11.[2024運城期末] 如圖，已知。求作 ，
使 （要求：用兩種不同的方法在指定
區域尺規作圖，不寫作法，保留作圖痕跡，并根據作
圖過程寫出 的依據）。
方法一 方法二：
作圖區域：______ 作圖區域：______
結論：______ 結論：______
作圖依據：______ 作圖依據：______
[答案] ; ; 如
圖，為所求; 如圖，為所求; 邊邊邊（或 ）; 邊角邊
（或 ）（答案不唯一）; 解：如圖所示。
12.如圖，在中， ，，分別平分 ，
。
（1）求 的度數；
解：因為 ，所以 。
因為，分別平分， ，
所以， ，
所以 ，
所以 。
（2）試說明： 。
解：如圖，在上截取，連接 ，
在和中，因為
所以，所以， 。因為
，所以 ，所以
，
所以 ，
所以 。
在和 中，
因為
所以 ，
所以，所以 。
13.[2024蘇州期末] 已知線段 直線于點，點在直線 上，分別
以，為邊作等邊三角形和等邊三角形，直線交直線
于點 。
（1）當點在線段 上時，如圖①，試說明：
（i） ；
解：因為和 都是等邊三角形，
所以，， ，
所以 ，
在和中，因為
所以，所以 。
（ii） 。
解：由（1）得 ， ，
所以。因為 直線 ，
所以 ，所以 。
因為點，，在同一條直線上， ，
所以 ，所以，所以 。
因為， ，
所以，即 。
（2）當點在線段延長線上時，如圖②，請寫出線段，，
之間的關系，并說明理由。
[答案] 。理由如下：
由（1）易得 ，
所以 ， ，
所以 ，
所以。因為 ，
所以，即 。(共15張PPT)
第四章 三角形
專項突破7 全等三角形的基本模型
全等三角形是初中幾何非常重要的內容，在解決與角、線段有關的問題
方面是很重要的幾何工具，了解全等三角形的基本模型，可很快解決說
明線段相等、線段的和差倍分關系、角相等、兩直線的位置關系等常見
幾何問題，也能夠從模型的觀點去理解復雜的幾何圖形的推理，培養學
生的建模和推理能力。
模型1 平移模型
1.如圖，， ，添加下列條
件不能判定 的是( )
B
A. B.
C. D.
2.如圖，點，，， 在同一條直線上，
，, 。試說明：
。
解：因為，所以 。
在和中，因為
所以，所以 。
模型2 對稱模型
3.[2024福州模擬] 如圖，，點， 分別
在，上，且 ，試說明：
。
解：在和 中，
所以 。
4.如圖，,,。試說明： 。
解：因為 ，
所以,即 。
在和中，
所以。所以 。
5.[2024白城月考] 如圖，在中，，， ，
垂足分別為，，，相交于點，且 。
試說明： 。
解：因為，所以 ，即
。
因為，，所以 。
在和 中，
所以 。
模型3 旋轉模型
6.[2024大連期末] 如圖，已知： ，
，。試說明： 。
解：因為 ，所以
，即 ，
在和 中，
所以 ，
所以 。
7.如圖，與 是等腰直角三角形，
，， ，連
接，交于點 。試說明：
（1） ；
解：因為 ，所以
，即 。
在和中，
所以，所以 。
（2） 。
解：由（1）可知，所以 。
因為 ，所以 ，
所以 ，即 ，所以
。所以 。
模型4 一線三等角模型
8.一線三等角模型是平面幾何圖形中的重要模型之一。“一線三等角”指
的是圖形中出現同一條直線上有三個角相等的情況，在學習過程中，我
們發現一線三等角模型的出現，還經常會伴隨著出現全等三角形。
根據對材料的理解解決以下問題：
（1）如圖①， ，。猜想 ，
， 之間的數量關系：_______________。
（2）如圖②，將（1）中的條件改為
， ，（1）中的結
論是否還成立？請說明理由。
解：成立。理由如下：因為 ，
， ，所
以 。
在和中，
所以 。
所以，。所以 。
（3）如圖③，在中，點為上一點， ，
，，，請直接寫出 的長。
解： 。(共20張PPT)
第四章 三角形
3 探索三角形全等的條件
第1課時 邊邊邊
運用“”證明兩個三角形全等主要就是找邊相等，邊相等除了題目中
已知的邊相等以外，還有些相等的邊隱含在題設或圖形中。
常見的隱含的等邊有：1.公共邊相等;2.等邊加（或減）等邊，其和
（或差）仍相等;3.由中線的定義得出邊相等。
知識點1 三角形全等的判定方法
（第1題）
1.如圖，如果， ，
，那么下列結論正確的是( )
A
A. B.
C. D.這兩個三角形不全等
（第2題）
2.如圖，在和中，， 相交于
點，。若利用“ ”來判定
，則需添加的條件是( )
C
A. B.
C. D.
3.如圖，是的中點，,。試說明： 。
解：因為是的中點，所以 。
在和中，
所以 。
4.如圖，已知點，，， 在同一條直
線上，且，， 。
試說明： 。
解：因為，所以 ，
即 。
在和中，
所以，所以 ，
所以 。
知識點2 利用“ ”，尺規作三角形
5.如圖，這是數軸的一部分，其單位長度為，已知在 中,
,,.用直尺和圓規作出 。（要求：使點
， 在數軸上，保留作圖痕跡，不必寫出作法）
解：如圖， 即為所求。
知識點3 三角形的穩定性
（第6題）
6. 我國建造的港珠澳大橋全長55千米，
集橋、島、隧于一體，是世界最長的跨海大橋。如圖，是
港珠澳大橋的斜拉索，它能拉住橋面，并將橋面向下的力
通過鋼索傳給索塔，確保橋面的穩定性和安全性。那么港
三角形具有穩定性
珠澳大橋斜拉索的建設運用的數學原理是___________________。
7. 四邊形結構在生活實踐中有著廣泛的應用，如升降
機（如圖），通過控制平行四邊形形狀的升降桿，使升降機降低或升高，
其蘊含的數學道理是__________________。
四邊形的不穩定性
（第7題）
（第8題）
8.如圖，工人師傅做了一個正方形窗框，， ，
， 分別是四條邊上的中點，為使它穩固，需要在窗
框上釘一根木條，這根木條應釘在( )
A
A.，兩點之間 B.， 兩點之間
C.，兩點之間 D.， 兩點之間
（第9題）
9.如圖，已知， ，下列結論：
； ；
。其中正確的有( )
D
A.0個 B.1個 C.2個 D.3個
10.[2024惠州月考] 如圖，在和中，點在邊上， 交
于點。若，，， ，則
_____。
（第10題）
11.如圖，在中，，，分別是，， 上的點，且
，，，若 ，則 的度數為
_____。
（第11題）
12.如圖，是一個鋼架， ，
是連接點與中點 的支架，那么
嗎？請說明理由。
解：。理由：因為是連接點 與
中點的支架，所以。又因為， ，
所以，所以 。
因為 ，
所以 ，即 。
13.如圖，已知線段，相交于點，，的延長線交于點 ，
， 。
（1）試說明： 。
解：如圖，連接 。
在和中,
所以 。
所以 。
（2）在（1）的解答過程中需要作輔助線，意圖是什么？
解：構造全等三角形。
14. 如圖，
，，是 上兩動點，
且有 。
（1）若， 運動至如圖①所示的
解：因為，所以 ，
即。在和中，
所以 。
位置，且有，試說明： 。
（2）若，運動至如圖②所示的位置，仍有 ，則
還成立嗎？為什么？
解：成立。理由如下：
因為，所以，即 。
在和中，
所以 。
（3）若，不重合，和 平行嗎？請說明理由。
解：與 不一定平行。理由如下：
在和 中，只有兩組對應相等的邊，
所以不能判定 ，
所以不能判定等于，即與 不一定平行。(共14張PPT)
第四章 三角形
☆問題解決策略:特殊化
特殊化思想指的是在面對復雜的數學問題時，先考慮問題的特殊情況，
如特殊值、特殊圖形、特殊位置等，從而將復雜的一般問題轉化為相對
簡單的特殊問題，通過對這些特殊對象的分析和研究，來揭示問題的本
質特征、發現解題思路或驗證一般性結論。
1.[2024煙臺期中] 用四塊相同的大正方形地磚和一塊小正方形地磚拼成
如圖所示的實線圖案，每塊大正方形地磚的面積為9，小正方形地磚的
面積為2，依次連接四塊大正方形地磚的中心得到正方形 。則正
方形 的面積為____。
11
[解析] 點撥：如圖，連接， ，
易得 ，， ，
所以。所以 ，所以
，所以 大正方形的面積，所
以正方形的面積 。
2.如圖，在等邊三角形中，點是三角形的中心， ，
的兩邊，與，分別相交于，，判段與 的數
量關系，并說明理由。
解： 。
理由：連接， ，如圖，
因為 為等邊三角形，
所以 。
因為點是等邊三角形 的中心，所以
，，分別平分和 ，
所以 ，
所以 ，即 ，
又因為 ，即 ，
所以。在和 中，
所以，所以 。
3.[2024杭州期末] 綜合與實踐
【特例研究】
將正方形和等腰直角三角形 如圖①放置，已知
，，，連接， 。
（1）如圖①，當點在上時，線段與 之間的數量關系是
__________；直線與直線 之間的位置關系是_________；
[解析] 點撥：如圖①，延長交于點 ，
因為四邊形 為正方形，
所以， ，
又因為，所以 ，
所以， 。
因為 ，所以 ，
因為，所以。
所以 ，所以 。
【拓廣探索】
（2）圖②是由圖①中的正方形繞點 順時針旋轉一定角度得到的，
請探索圖②中線段與之間的數量關系和直線與直線 之間的
位置關系，并說明理由。
[答案] ， ，理由如下：
如圖②，延長交于點，交于 。
因為 ，四邊形 為正方形，
所以， 。
所以 ，
所以 。
在和中，
所以 。
所以， 。
因為 ，所以 。
因為，所以 ，
所以 ，所以 。(共11張PPT)
第四章 三角形
3 探索三角形全等的條件
第3課時 邊角邊
應用“”判定兩個三角形全等的“兩點注意事項”
1.對應：“”包含“邊”“角”兩種元素，一定要注意元素的“對應”關系；
2.順序：在應用時一定要按邊 角 邊的順序排列條件，絕不能出現
邊 邊 角（或角 邊 邊）的錯誤。
知識點1 利用“ ”判定兩個三角形全等
（第1題）
1.[2024湛江期中] 如圖，已知，用“ ”判
定 ，還需( )
B
A. B.
C. D.
2.如圖所示，，，在同一條直線上，， ，
， ， ，則 _____。
（第2題）
3.如圖，，平分.試說明： 。
解：因為平分，所以 。
在和中，
所以 。
知識點2 利用“ ”，尺規作三角形
4.如圖是作 的作圖痕跡，則此作圖的已知條件是( )
B
A.兩角及其夾邊
B.兩邊及其夾角
C.兩角及其中一角的對邊
D.兩邊及其中一邊的對角
（第5題）
5.如圖，點，在上，， ，添
加一個條件，不能判定 的是( )
D
A. B.
C. D.
（第6題）
6.如圖，已知，點，，， 在同一條
直線上，， ，則圖中的全等三
角形有( )
C
A.1對 B.2對 C.3對 D.4對
[解析] 點撥： ，
， 。
全等三角形有3對。
7.[2024信陽月考] 如圖，在四邊形 中，
，，， ，
點為的中點。如果點在線段上以 的速
度由點向點運動，同時，點在線段上由 點向
點運動。當點 的運動速度為多少時，能夠使
與 全等？
解：因為點為的中點， ，
所以 ，
設點的運動時間為，則 ，
因為，所以 。
因為 ，
所以有兩種情況：①當， 時，
，此時 ，
解得，所以 ，
此時點的運動速度為 ；
②當， 時，
，此時，解得 ，
此時點的運動速度為 。
綜上所述：當點的運動速度為或時，能夠使 與
全等。(共30張PPT)
第四章 三角形
全章熱門考點整合專訓
本章的主要內容是三角形及相關概念、三角形的分類、全等三角形的判
定與性質，常考的題型有選擇題、填空題、解答題，更多的是相關內容
滲透到其他內容之中，是各類考試命題的重要內容。本章熱門考點可概
括為三個概念、兩個關系、兩個分類、三個性質、三個判定、一個作圖、
一個應用和兩種思想。
考點1 三個概念
概念1 與三角形有關的概念
1.如圖所示。
（1）圖中共有幾個三角形？請分別表示出來。
解：圖中共有8個三角形，分別是,,,, ,
,, 。
（2）以 為內角的三角形有哪些？
解：以為內角的三角形有和 。
（3）以 為內角的三角形有哪些？
解：以為內角的三角形有和 。
（4）以 為邊的三角形有哪些？
解：以為邊的三角形有 。
返回
概念2 三角形中的重要線段
2.如圖，，，分別是 的高、角平分線、中線，則下列結
論中錯誤的是( )
C
（第2題）
A. B.
C. D.
返回
概念3 全等三角形
（第3題）
3.[2024聊城模擬] 如圖， ，下
列結論：與是對應邊；與 是對
應邊；與是對應角； 與
是對應角。其中正確的有( )
B
A.①③ B.②③ C.①④ D.②④
返回
考點2 兩個關系
關系1 直角三角形兩個銳角的關系
4.如圖，在中，直線， 于
點，直線與交于點，若 ，則
的度數為( )
D
A. B. C. D.
返回
關系2 三角形的三邊關系
5.若一個三角形的邊長均為整數，且兩邊長分別為3和5，則第三邊的長
可以為_________________（寫出一個即可）。
3（答案不唯一）
返回
考點3 兩個分類
分類1 三角形按角分類
6.[2024宿遷期中] 在一個三角形中，若三個內角的度數之比是 ，
則這個三角形是( )
B
A.銳角三角形 B.直角三角形
C.鈍角三角形 D.等腰三角形
返回
分類2 三角形按邊分類
7.下列分類正確的是( )
D
A.三角形可分為等腰三角形、等邊三角形
B.三角形可分為不等邊三角形、等腰三角形以及等邊三角形
C.三角形可分為不等邊三角形和等邊三角形
D.三角形可分為不等邊三角形和等腰三角形
返回
考點4 三個性質
性質1 三角形的穩定性
8.[2024長沙期末] 下列生活現象中，沒運用三角形穩定性的是( )
D
A.晾衣架的結構 B.用窗鉤來固定窗扇
C.在柵欄門上斜著釘根木條 D.商店的推拉活動防盜門
返回
性質2 三角形內角的性質
9.如圖，在中，若， ，
， ，則____ .
55
返回
性質3 全等三角形的性質
10.如圖，已知點，，，在同一條直線上， 。
（1）寫出相等的線段與角；
解：因為 ，
所以，，，， ，
。
所以， 。
（2）若,,,求和 的長度。
解：因為，，所以 。
因為，，， ，
所以 。
返回
考點5 三個判定
判定1
11.如圖，已知，，是 的
中點，過點的直線分別交和 的延長線于
點，。試說明： 。
解：在和中，
所以 。
所以。所以。所以 。
返回
判定2 （或 ）
12.[2024合肥期末] 如圖，，， ，
，試說明： 。
解：因為 ，
所以 。
又因為 ，所以 。
因為，所以 。
在和中，
所以 。
返回
13.如圖，，，點在邊上， 。試說明：
。
解：如圖，設和相交于點 ，
所以 。
在和中， ，
所以 。
在和 中，
所以 。
又因為，所以 ，所以
，即 。
返回
判定3
14.如圖，在四邊形中，， ，
，的兩邊分別交，于點，，連接 。
探究圖中線段，， 之間的數量關系。
解：如圖，延長到點，使，連接 。
因為 ，
，
所以 。
因為， ，
所以 。
所以， 。
所以易得 。
因為 ，
所以，所以 。
又因為， ，
所以 。
所以 。
所以 。
返回
考點6 一個作圖——用尺規作圖
15. 如圖，在小明的一張地圖上，有，， 三個城
市，但是圖上城市已被墨跡污染，只知道 ， ，
你能用尺規幫他在圖中確定城市 的具體位置嗎？（不寫作法，保留作
圖痕跡）
解：如圖所示，點 即為所求作。
返回
考點7 一個應用——利用全等三角形測距離
16. 小西在物
理課上學習了發聲物體的振動實驗后，
對其做了進一步的探究：在一個支架
的橫桿點 處用一根細繩懸掛一個小
球，小球 可以自由擺動，如圖，
表示小球靜止時的位置。當小西用發聲物體靠近小球時，小球從
擺到位置，此時過點作于點，當小球擺到 位置時，
與恰好垂直（圖中的，，，在同一平面內），過點 作
于點，測得,。求 的長。
解：因為，所以 。
因為， ，
所以 ，
所以 ，所以 。
在和中，
所以 ，
所以 。
因為,所以 。
返回
考點8 兩種思想
思想1 方程思想
17.如圖，在 中，
,，且交
的延長線于點，求 的度數。
解：設，則, 。
在中， ，解得
。
所以 。所以 。
因為，所以 。
所以 。
返回
思想2 轉化思想
18. 如圖，某公園有一個人工湖，
王平和李楠兩人想知道這個人工湖的長度 ，
但無法直接測量，于是他們準備用所學知識，設
計測量方案進行測量。已知為垂直于 的一
條小路，且小路兩側除人工湖所占區域外，其他區域均可隨意到達，他
們兩人所帶的測量工具只有一個足夠長的皮卷尺，請你幫王平和李楠兩
人設計一種測量方案。
（1）請在圖中畫出測量示意圖并寫出測量數據（線段長度可用， ，
， 表示）；（不要求寫出測量過程）
解：測量示意圖如圖所示。
（2）根據你的測量方案數據，計算出這個人工湖的長度 。
解：在和 中，
， ，
，
所以 ，
所以 。
答：這個人工湖的長度為 。
返回(共26張PPT)
第四章 三角形
1 認識三角形
第3課時 三角形的高線、中線和角平
分線
1.銳角三角形的三條高在三角形內部；直角三角形的兩條直角邊恰好是
直角邊上的兩條高，斜邊上的高在三角形內部；鈍角三角形有兩條高在
三角形外部，一條高在三角形內部。
2.面積法是一種常用的、重要的數學解題思想方法，它利用同一圖形面
積相等、等底等高的三角形面積相等、三角形中線分三角形為面積相等的
兩部分、分割后的各圖形面積之和等于原圖形的面積等解決有關數學問題。
. .
. .
. .
知識點1 三角形的高線
1.在中，正確畫出 邊上的高的圖形是( )
C
A. B. C. D.
2.在中，為邊上的高， ， ，則
的度數是___________。
或
[解析] 點撥：根據題意，分兩種情況討論：
①高在三角形內部，如圖①所示：因為在中，為邊 上的
高， ，所以 。
因為 ，所以 ；
②高在三角形外部，如圖②所示：因為在中，為邊 上的
高， ，所以 。
因為 ，所以 。
綜上所述，的度數是 或 。
3.如圖，在中， ， 。
（1）試說明：是 的高；
解：因為 ， ，
所以 。
所以 ，即 。
所以是 的高。
（2）如果，，，求 的長。
解：因為 ，是 的高，
所以 。
因為，， ，
所以 。
知識點2 三角形的中線
4.[2024呂梁期末] 如圖，是 的中線，則下列結論一定成立的
是( )
C
（第4題）
A. B. C. D.
5.如圖所示的網格由邊長相同的小正方形組成，點，，，， ，
，均在小正方形的頂點上，則 的重心是_____。
點
（第5題）
6.如圖，為的中線，若的周長為23， 的周長為
18，，則 ___。
5
知識點3 三角形的角平分線
7.如圖，, ,下列結論錯誤的是( )
D
（第7題）
A.是 的角平分線
B.是 的角平分線
C.
D.是 的角平分線
（第8題）
8.如圖，是的角平分線,是 的角平
分線,若 ,則 的度數為( )
C
A. B. C. D.
9.如圖，是的角平分線，，且
交于點，，則與 有什么位置關系？
并說明理由。
解： 。理由如下：
因為,所以 。
因為是 的角平分線，
所以。所以 。
又因為，所以。所以 。
10.[2024西安期中] 下列說法錯誤的是( )
C
A.三角形的三條角平分線都在三角形內部
B.三角形的重心是三角形三條中線的交點
C.三角形的三條高都在三角形內部
D.三角形的中線、角平分線、高都是線段
（第11題）
11.如圖，在中，為 邊上的中線，若
，，的周長為20，則
的周長為( )
A
A.17 B.23 C.25 D.28
（第12題）
12.如圖，是的中線，是 的中
線，于點，且, ，則
的面積是( )
C
A.3 B.4 C.6 D.12
[解析] 點撥：因為,， ，
所以 。
因為是 的中線，
所以，所以 。
因為是 的中線，
所以 。
13.如圖，在中，是邊上的高，是 的平分線。
（1）若 ， ，求 的度數。
解：因為，所以 。
因為 ，所以 。
因為 ， ，所以
。
因為是的平分線，所以 ，
所以 。
（2）若 ， ，其余條件不變，你能用含 ， 的式
子表示 的度數嗎？（直接寫出你發現的結論）
解： 。
14. 【基本性質】三角
形中線等分三角形的面積。如圖①，
是的邊 上的中線，則
。
理由：如圖①，過點作于點 。
因為是的邊 上的中線，
所以。又因為， ，所
以 。所以三角形中線等分三角形的面積。
【基本應用】
在如圖②至④中，的面積為 。
（1）如圖②，延長的邊到點，使，連接 。若
的面積為，則___（用含 的代數式表示）。
（2）如圖③，延長的邊到點，延長邊到點 ，使
，，連接。若的面積為，則 ____
（用含 的代數式表示）。
（3）在圖③的基礎上延長到點，使，連接， ，得
到（如圖④）。若陰影部分的面積為，則 ____
（用含 的代數式表示）。
【拓展應用】
（4）如圖⑤，點是的邊上的任意一點，點， 分別是線段
，的中點，且的面積為，則 的面積為________
（用含 的代數式表示），并寫出理由。
解：
[答案] 理由：因為點是線段的中點，所以 ，
。所以 。
因為點是線段 的中點，
所以 。
所以 。(共23張PPT)
第四章 三角形
階段練習（三）（4.1） 建議用時：
45分鐘
一、選擇題（每題5分，共35分）
1.[2024廊坊月考] 下面是四位同學分別用三根木棍組成的圖形，其中是
三角形的是( )
A
A. B. C. D.
2.[2024保定期中] 如圖，在中， 邊上的高是( )
C
（第2題）
A.線段 B.線段 C.線段 D.線段
3.若三角形兩邊的長分別是4，5，則第三邊長 的取值范圍是( )
A
A. B.
C. D.無法確定
（第4題）
4.[2024淄博模擬] 如圖，小朋用鉛筆可以支起一張
質地均勻的三角形卡片，則他支起的這個點應是三
角形的( )
A
A.三條中線的交點 B.三條高的交點
C.三條角平分線的交點 D.任意一點
5.已知在中， ，，那么 是( )
A
A.銳角三角形 B.直角三角形
C.鈍角三角形 D.以上都有可能
6.如圖， ，且,,分別是 的高線、中線和角
平分線，下列結論錯誤的是( )
D
A. B.
C. D.
7.[2024南京期中] 等腰三角形底邊長為 ，一腰上的中線把其周長分
為兩部分，其差為 ，則該等腰三角形的腰長為( )
B
A. B.
C.或 D.以上答案都不對
[解析] 點撥：設腰長為 ，
則易得或 ，
解得或，所以或 ，所以該等腰三角形的三邊長
分別為，，或，， （不符合三角形的三邊
關系，舍去）。
所以該等腰三角形的腰長為 。
二、填空題（每題5分，共25分）
8.在中，為直角，若 ，則 _____。
9.[2024廣西防城港月考] 如圖，，為上一點，則以 為
高的三角形有___個。
6
（第9題）
10. 如圖，為估計池塘岸邊， 兩點間的距離，小明
在池塘的一側選取一點，測得米，米，則， 兩點
間的距離可能是____________________。（寫出一個即可）
10米（答案不唯一）
（第10題）
11.如圖，在中，是邊上的中線，是 的中點，連接
，，且的面積為 ，則陰影部分的面積是________。
12.如圖，在中，平分，為上一點， 于點
， ， ，則 的度數為_____。
三、解答題（共40分）
13.（12分）如圖，在中， ,, 。
（1）畫出邊上的中線 ；
解：如圖所示。
（2）畫出邊上的高 ；
解：如圖所示。
（3）在中，所對的角是_______，邊 上的高是_____；
（4）若，求 的長。
解：因為 ，
所以，解得 。
14.（12分）[2024福州期中] 數學課上老師提出
問題：“請對三角形內角和等于 進行說理。”
已知：，，是 的三個內角，
對 進行說理。
解：如圖，過點作直線 。
因為直線 ，
所以 ，
____ ____（________________________）
因為 （____________），
所以________ 。
兩直線平行，內錯角相等
平角的定義
小明給出如下說理過程，請補全。
看完小明的說理過程后，小亮提出：小明作輔助
線的方法，就是借助平行線把三角形的三個內角
轉化成一個平角，這就啟發我們可以借助平行線，
對“如圖， ”進行說
理。請你幫助小亮完成作圖并用文字語言敘述輔助線的作法，寫出說理
過程。
解：過點作，交于點 。
因為，所以 ， ，
因為 ，所以 ，
所以 ，即
。
15.（16分）在中，是 的高。
（1）如圖①，是的平分線，若 ， ，求
的度數；
解：因為 ， ， ，所以
，因為平分 ，
所以 ，
因為是的高，所以 ，
所以 ，
所以 。
（2）如圖②，是的平分線，，則，， 之
間的數量關系為_ ___________________；
（3）如圖③，延長到點，和的平分線交于點，求
的度數。
解：設 ，則 ，
因為，所以 ，
因為和的平分線交于點 ，
所以 ，
，
因為 ，所以
。(共21張PPT)
第四章 三角形
1 認識三角形
第1課時 三角形及其內角和
1.三角形的“三要素”：（1）三條線段；（2）不在同一直線上；（3）
三條線段首尾順次相接。
2.若已知直角三角形的一個銳角的度數，則可直接利用“直角三角形的
兩個銳角互余”求另一個銳角的度數，而不必再用“三角形的內角和等于
”來求解。
知識點1 三角形的有關概念
1.下面是小強用三根火柴組成的圖形，其中符合三角形概念的是( )
C
A. B. C. D.
2.如圖。
（第2題）
（1）圖中有___個三角形，它們分別是__________
_______________；
3
，，
（2） 的三個頂點是__________，三條邊是
______________，三個內角是________________；
，，
，，
，，
（3）在中，頂點所對的邊是____， 所對的邊是____；
（4）是 ______的內角， 所對的邊是____。
知識點2 三角形的內角和
3.已知中， ， ，則 的度數為( )
B
A. B. C. D.
4.[2024長沙] 如圖，在中， ， ，
，則 的度數為( )
C
（第4題）
A. B. C. D.
5. 如圖，考古學家發現在地下
處有一座古墓，古墓上方是燃氣管道，為了不影
響管道，準備在處和處開工挖出“ ”字形通道。
若 ， ，則 的度數是( )
C
A. B. C. D.
知識點3 三角形按角分類
6. 觀察如圖所示的四個三角形。
其中是銳角三角形的是____，是直角三角形的是______，是鈍角三角形
的是____。（填序號）
③
①④
②
7.若三角形三個內角的度數比為 ，則這個三角形是______三角形。
直角
知識點4 直角三角形兩銳角互余
8.如圖，在中， ， ，則 的度數為
( )
A
（第8題）
A. B. C. D.
9.[2024齊齊哈爾] 將一個含 角的三角尺和直尺如圖放置，若
，則 的度數是( )
B
（第9題）
A. B. C. D.
10.如圖所示，已知，沿圖中虛線剪去，若 ，則
______。
11.下面給出的四個三角形都有一部分被遮擋，其中不能判斷三角形類型
的是( )
C
A. B. C. D.
12. 如果一個三角形的兩個內角 與 滿足
，那么我們稱這樣的三角形為“差余三角形”。已知
是“差余三角形”，且 ，則 的度數為( )
C
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
13.如圖是,,三個便民超市和小亮家（點）的平面圖，已知,, 三
點在同一條東西方向的路段上，在的北偏東 方向，在 的北偏西
方向，且，試求出從小亮家（點 ）觀測便民超市
，兩處的視角 的度數。
解：如圖，由題意可知，
，
， ，
所以 ， ,因為 ，
所以 ,
所以 ，所以 。
因為 ,
所以 。
14. 如圖①，線段， 相
交于點，連接， ，我們把形如圖①的圖
形稱為“8字形”。如圖②，在圖①的條件下，
（1）在圖①中，與 之間的數量關系為_____________
________。
（2）仔細觀察，在圖②中“8字形”有___個。
6
和的平分線和相交于點，并且分別與， 相交
于點， 。試解答下列問題：
（3）圖②中，和為任意角時，其他條件不變，試問與 ，
之間存在著怎樣的數量關系？并說明理由。
解： 。理由如下：
因為 ，
， ，
所以 。①
因為 ，
， ，
所以 。②
因為和分別平分和 ，
所以， 。
，得 ，
所以 。
（4）如圖②，當 ， 時，直接寫出 的度數。
解： 。(共23張PPT)
第四章 三角形
專項突破5 與三角形的高、角平分線
有關的計算模型
角平分線與高線是三角形中的兩條主要線段，它們的夾角與三角形的內
角存在下面兩條規律：1.三角形同一頂點引出的角平分線與高線的夾角
等于三角形另外兩角差的絕對值的一半；2.過三角形角平分線所在直線
上任一點向第三邊作垂線，角平分線所在直線與垂線的夾角等于三角形
另外兩角差的絕對值的一半。
模型1 同一頂點的角平分線與高線求角度
1.在中，,平分,交于點，是 上的一點
（不與點重合），于點 。
（1）如圖①，若 ，當點與點重合時，求 的
度數；
解：因為 ，所以 ，
所以 。
因為平分，所以 ，
所以 。因為
，所以 ，
所以 。
（2）如圖②，當是銳角三角形時，試探索，， 之間
的數量關系。
解：過點作于點，則 ，
所以,所以 。
設,因為平分 ，
所以 。
因為， ，所以
，
所以 。
因為,所以 ，
所以 ,
所以,即 。
模型2 不同頂點的角平分線與高線求角度
2.如圖，在中，是 的平分線，高
與相交于點， ，
。求：
（1） 的度數；
解：因為 ， ，所以
。
（2） 的度數。
解：因為 ，是 的平分線，所以
。因為，所以 ，所以
，所以 。
3.如圖，在中，是高，是角平分線，是上一點， ，
交于點。若 ， ，求 的度數。
解：因為， ，
所以 ，
所以 。因為 ,
所以 。
因為 ， 是角平分線，
所以 ，
所以 。
模型3 兩條高線與一內角平分線求角度
4.如圖，在中，是角平分線，和 是高，
并且，求 的各個內角
的度數。
解：設，則 ，
所以 。
因為是的高，所以 ，
所以 ，
所以 。
因為是 的角平分線，
所以 ，
所以 。
因為是 的高，
所以 ，
所以 , ，
所以，所以，解得 ，
所以 , ，
所以 。
模型4 兩內角平分線求角度
5.如圖，在中，，分別為和
的平分線，且，交于點 。
（1）當 時，求 的度數；
解：因為 ，所以 。
因為，分別為和 的平分線，
所以， ，
所以 ，
所以 。
（2）當 時，求 的度數；
解：因為 ，所以 。
因為，分別為和 的平分線，
所以， ，
所以 ，
所以 。
（3）當 時，求 的度數。
解：因為 ，所以 。
因為，分別為和 的平分線，
所以， ，
所以 ，
所以
。
模型5 兩外角平分線求角度
6.如圖，的兩個外角的平分線,交于點 。
（1）若 ，求 的度數；
解：因為 ，
所以 。
因為,為 的平分線，
所以 ，
同理 ，
所以 ，
所以 。
（2）與 有何關系？并說明理由。
解： ，理由如下：
由（1）知 ，又因為
，
所以 ，
所以
。
模型6 一內角平分線和一外角平分線求角度
7.[2024連云港期中] 如圖，在 中，
，點，分別在線段， 上
（不與點重合），是 外角的平分線，
的反向延長線與的平分線交于點 。
解：因為是 的平分線，所以
。因為是 的平分線，
所以 。
（1）若 ，求和 的度數；
[答案] 因為 ， ，
所以 ， 。
所以 。
所以 。
所以 。
所以 。
（2）若 ，求和 的度數；（無法求出準確數值的，
可以用含 的代數式表示）
[答案] 因為 ， ，
所以 ， 。
所以 。
所以 。
所以 。所
以 。
（3）若中有一個角是另一個角的3倍，則 ____________
_______。
或
[解析] 點撥：由（2）知，的度數不變，為 。當
時， 。所以
。當
時， ，所以 。
所以 。
當 或 時，不符合三角形的
內角和定理。易得或 的情況不存在.
綜上所述， 或 。(共21張PPT)
第四章 三角形
2 全等三角形
確定全等三角形對應元素的方法
1.符號對應法:用全等符號表示的,可根據對應字母的位置來找對應邊,對
應邊所對的角是對應角。
2.位置特征法:（1）有公共邊或公共角的,則公共邊或公共角就是對應邊
或對應角;（2）有對頂角的,對頂角是對應角;（3）兩個全等三角形中一
對最長邊（最大角）是對應邊（角）,一對最短邊（最小角）是對應邊
（角）。
知識點1 全等三角形的概念
（第1題）
1.如圖所示，沿直線對折，和 重合，
則________，的對應邊是____， 的對
應邊是____， 的對應角是_______。
2.[2024福州開學考試] 如圖，，， 是對應點，下列
結論錯誤的是( )
C
（第2題）
A.和 是對應角
B.和 是對應角
C.與 是對應邊
D.和 是對應邊
3.如圖，已知，，和 全等，則下列表示
正確的是( )
D
（第3題）
A. B.
C. D.
4.如圖，,與 是對應邊，請寫出其他的對應邊和對
應角。
解：因為,與 是對應邊，所以其他的對應邊分別是
與,與,對應角分別是與,與,與 。
知識點2 全等三角形的性質
5.[2024青島期中] 如圖，已知，其中 ，那么下
列結論中，不正確的是( )
C
A. B.
C. D.
（第6題）
6.[2024濟南] 如圖，已知 ,
, ，則 的度數為( )
C
A. B. C. D.
7.如圖，已知，點，，， 依次在同一條直線上。
若，，則 的長為___。
3
（第7題）
8.如圖，，， 交于點
， ， ， ，
，求的度數和 的長。
解：因為，所以， 。
因為 ， ，
所以 。
因為， ，
所以 。
9.下列說法中正確的是( )
D
A.全等三角形是指形狀相同的兩個三角形
B.全等三角形是指面積相等的兩個三角形
C.兩個等邊三角形是全等三角形
D.周長相等的兩個三角形不一定全等
（第10題）
10.如圖，，點和點 是對應點，
點和點是對應點，過點作,垂足為 ,若
，則 的度數為( )
B
A. B. C. D.
11.已知，，的面積是 ，
那么的邊上的高是___ 。
4
12. 如圖，，點，， 在同一
直線上。有以下結論：；； ；
。其中正確的有__________。（填序號）
①②③④
（第12題）
13. 全等三角形也叫作合同三角形，平面內的合同三角
形分為真正合同三角形和鏡面合同三角形。假如和 是全
等三角形，且點與點對應，點與點對應，點與點 對應。如圖，
當沿周界及 環繞時，若運動方向相同，
則稱它們是真正合同三角形（圖①）；若運動方向相反，則稱它們是鏡
面合同三角形（圖②）。
下列各組合同三角形中，屬于鏡面合同三角形的有______。
①③
14. 如圖，，分別是 的邊
，上的點，若 ，求
的度數。
解：因為，所以 。
因為 ，
所以 。
因為 ,
所以 。
因為 ，
所以 。
所以 。
15.如圖，已知，點在上，與交于點 。
（1）若 ， ，求 的度數；
解：因為，所以 。
所以 ，
即 。所以
。
（2）若，，求與 的周長之和。
解：因為 ，
所以， 。
所以與 的周長之和為
。(共18張PPT)
第四章 三角形
4 利用三角形全等測距離
設計測量方案的訣竅：首先根據已有的條件和欲測量的問題進行分析，
明確要運用哪種方法來構建三角形，即要用到哪種全等的判定方法；然
后在測量方案中把說明兩個三角形全等所需要的條件毫無遺漏地“測量
到位”。
類型1 能到達一點型問題
1. 某段河流的兩岸是平行的，數學興趣小組在老師帶
領下不用涉水過河就可測得河的寬度，他們是這樣做的（如圖）：
（1）在河流的一岸邊處，選對岸正對的一棵樹 ；
（2）沿河岸直走20步有一棵樹 ，繼續前行20步到
達處；（3）從 處沿與河岸垂直的方向行走，當
到達樹正好被樹遮擋住的 處時停止行走；（4）
測得的長就是河寬 。
請你說明以上做法的正確性（假設每步長度相同）。
解：因為, ,
所以 。
在和中,
所以 。
所以 。
類型2 能到達兩點型問題
2.如圖，有一池塘，要測池塘兩端， 的距離，
可先在平地上取一點,從點 不經過池塘可以直
接到達點和點，連接并延長到點 ,使
,連接并延長到點,使 ,連接
,那么的長就是, 間的距離，為什么？請補全下面的過程。
解：在和 中，
=____，
_______________，
=____，
所以 。
所以__________。
所以的長就是， 間的距離。
類型3 兩點都不能到達型問題
題型1 平行型
3.[2023長春改編] 如圖，工人師傅設計了一種測零件內徑 的卡鉗，
卡鉗交叉點為，的中點，只要量出 的長度，就可以知道該
零件內徑 的長度。依據的數學基本事實是( )
A
A.兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形全等
B.兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等
C.三邊相等的兩個三角形全等
D.兩點之間線段最短
題型2 垂直型
4.如圖，小強在河的一邊，要測河面的一只小船 與對
岸碼頭 的距離,他的做法如下：
（1）在岸邊確定一點，使與， 在同一直線上；
（2）在的垂直方向上畫線段，取其中點 ；
（3）畫，使，， 在同一直線上；
（4）在線段上找一點，使與， 共線。
他說測出線段的長就是小船與碼頭 之間的距離。他這樣做有道理
嗎？為什么？
解：有道理。理由如下：
因為,,所以 。
因為為的中點，所以 。
在和中，
所以 。
所以, 。
在和中，
所以。所以 ，
即測出線段的長就是小船與碼頭 之間的距離。
（第5題）
5.如圖，兩座建筑物，相距，小月從點
沿走向點，行走后她到達點 ，此時她仰望兩座
建筑物的頂點和，兩條視線的夾角正好為
（小月的身高忽略不計），且 。已知建筑物
的高為，小月行走的速度為 。則小月行
走的時間 的值為( )
D
A.50 B.60 C.80 D.100
[解析] 點撥：因為 ，所以 。
因為 ，
所以 ，所以 。
在和中，
所以，所以 。
因為，所以 ，
所以小月行走的時間是 。
6. 如圖，小明與小紅玩蹺蹺板游戲，如果蹺蹺板 的
支點（即蹺蹺板的中點）到地面的距離是 ，當小紅從水平位置
下降時，小明離地面的高度是____ 。
80
（第6題）
7. 如圖，小明和小華住在同一個小
區不同單元樓，他們想要測量小明家所在單元樓
的高度，首先他們在兩棟單元樓之間選定一點 ，然
后小華在自己家陽臺處測得處的俯角為 ，小明
站在處測得樓頂的仰角為，發現與互余，過點作
于點，已知，，，點,, 在
同一條直線上，,,，試求單元樓 的高度。
（注：,與 互余）
解：由題意得 , ，所以 。
因為，，所以 。
因為，，所以 。
在與中，
所以 ，
所以 ，
所以 。
答：單元樓的高度為 。
8.綜合與實踐：
某校七年級學生到野外活動，為測量一池塘兩端
, 間的距離，甲、乙兩名同學分別設計出如下
幾種方案：
甲：如圖①，先過點作的垂線，再在上取, 兩點，使
，接著過點作的垂線,交的延長線于點 ，則測出
的長即為, 間的距離。
乙：如圖②，過點作，再在的延長線上取一點 ，使
，這時只要測出的長即為, 間的距離。
（1）以上兩名同學所設計的方案，可行的有________；
甲、乙
（2）請你選擇一種可行的方案，說說它可行的理由。
解：（選一種即可）選甲。理由如下：
因為，,所以 。
在和中，
所以。所以 。
選乙。理由如下：
因為，所以 。
在和中，
所以。所以 。(共31張PPT)
第四章 三角形
專項突破8 構造全等三角形的常用方法
在進行幾何題的說明或計算時，需要在圖形中添加一些輔助線，輔助線
能使題目中的條件集中，能比較容易地找到一些量之間的關系，使數學
問題得以輕松地解決。常見的輔助線作法有連接法、翻折法、補形法、
延長法、倍長中線法、截長（補短）法、作垂線法和作平行線法等，目
的都是構造全等三角形。
. .
方法1 連接法
1.如圖，已知：，， ，
，求 的度數。
解：連接，在與中，
所以 ，所以
， 。因為
，
所以 。
因為 ，所以 。
方法2 翻折法
2.如圖，在中，是角平分線，，垂足為 。試說明：
。
解：如圖，延長交于點 。
因為 ，
所以 。
因為 是角平分線，
所以 。
在和 中，
所以。所以 。
因為 ，
所以 。
方法3 補形法
3.如圖，在中， ，， ，點
為的中點，于點，其延長線交于點，連接 。試說
明： 。
解：如圖，過點作，交 的延長線于點
，則 。
因為 ，
所以 。
因為，所以 。
所以 。所以 。
在和中，
所以 。
所以， 。
因為點為 的中點，
所以。所以 。
因為 ， ，所以
。所以 。
在和中，
所以 。
所以。所以 。
方法4 延長法
4.如圖，是等腰直角三角形， ，平分交
于點，垂直于，交的延長線于點。試說明： 。
解：如圖，延長，交于點 ，
因為平分，所以 。
因為垂直于 ，
所以 。
在和 中，
所以 ，
所以，所以 。
因為 ,所以 ，
所以 ，所以 。
由題意得， 。
在和中，
所以 ，
所以，所以 。
方法5 倍長中線法
5.如圖，，，，，點為 的中點，
試說明： 。
解：如圖，延長至點，使，連接 ，
則。因為點為 的中點，
所以 。
在和 中，
所以 ，
所以，，所以 ，所以
。
因為，所以 。
因為，，所以 ，
所以 ，所以 。
在和中,
所以，所以 。
方法6 截長（補短）法
6. 如圖，在中，,,為 上任意一點
（不與點， 重合）。
試說明： 。
解：解法一（截長法）：如圖①,在 上截取
，連接。在和 中，
所以.所以 。
在中， ，所以
。
所以 。
解法二（補短法）：如圖②,延長至點 ，使
，連接。在和 中，
所以。所以 。
所以 。
在中， ,
所以 。
7.如圖所示，，分別為，的平分線，兩線交于點 。
，，， 三條線段之間有怎樣的數量關系？寫出結論，
并說明理由。
解： 。理由如下：
如圖，在邊上截取，連接 。
由題意得， ，
。
又因為 ，所以易得
，
所以 ，
在與中，
所以 ，
所以 。
因為 ，所以 ，
所以 。
在與中，
所以 ，
所以 ，
所以 。
方法7 作垂線法
8.如圖， ,平分，的頂點在射線 上移
動，兩邊分別與，相交于點，， 。與 相等
嗎？試說明理由。
解： 。理由如下：
如圖，過點分別作， ，垂足分別
為，，則 。
因為平分 ,
所以 。
在和 中，
所以。所以 。
因為 , ，
所以 ,即 。
因為 ，所以 。
所以 。
在和中，
所以。所以 。
方法8 作平行線法
9.如圖，在中， , ,
平分交于點，平分交 于
點。試說明： 。
（提示：在同一個三角形中，若兩個角相等，那
么這兩個角所對的邊也相等）
解：因為 , ,所以 。
因為平分，所以 。所以
。所以 。
所以 。
如圖，過點作交于點 ，則
。
所以 ,
。
因為 ,
所以 。
因為平分 ，
所以 。
在和中，
所以。所以 ，
。所以
。
又因為 ，所以
。

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