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(共19張PPT)
第五章 圖形的軸對稱
1 軸對稱及其性質(zhì)
兩個圖形成軸對稱和軸對稱圖形的區(qū)別：
1.定義不同； 2.軸對稱圖形是一個圖形，而成軸對稱指的是兩個圖形；
3.一個軸對稱圖形的對稱軸可能有多條，而兩個圖形成軸對稱，對稱軸
一般只有一條。
知識點(diǎn)1 軸對稱圖形及其性質(zhì)
1. 現(xiàn)實世界中，對稱現(xiàn)象無處不在，中國的方塊字中
有些也具有對稱性。下列漢字是軸對稱圖形的是( )
C
A. B. C. D.
2.圖中的圖形為軸對稱圖形，該圖形的對稱軸的條數(shù)為
( )
D
A.1 B.2 C.3 D.5
3.如圖，直線是四邊形的對稱軸，點(diǎn) 是直
線上的點(diǎn)，連接， ，下列判斷錯誤的是
( )
B
A. B.
C. D.
知識點(diǎn)2 兩個圖形成軸對稱及其性質(zhì)
4.如圖，關(guān)于虛線成軸對稱的有( )
C
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
5.[2024泉州期末] 將一張長方形紙對折，然后用筆尖在紙上扎出“B”，
再把紙鋪平，可以看到的可能是( )
C
A. B. C. D.
6.如圖的三組圖形分別關(guān)于某條直線對稱，請你使用無刻度的直尺分別
畫出它們的對稱軸。
解：如圖所示。
7.如圖，和關(guān)于直線 對稱，已知
， ，，求 的度
數(shù)和 的長。
解：因為和關(guān)于直線 對稱，所以
，。因為 ，
，所以 ， ，所以
。
知識點(diǎn)3 畫軸對稱圖形
8.下面是四名同學(xué)作關(guān)于直線對稱的 ，其中正確的是
( )
B
A. B. C. D.
9. 如圖所示的兩個軸對稱圖形分別只畫了一半，請畫出
它們的另一半（直線 為對稱軸）。
解：如圖所示。
10.如圖，所在直線是的對稱軸，點(diǎn)， 是
上的兩點(diǎn)，若， ，則圖中陰影部
分的面積是( )
A
A.3 B.2 C.1 D.4
11. 圍棋起源于中國，古代稱為
“弈”。如圖是兩位同學(xué)的部分對弈圖，輪到白方落
子，觀察棋盤，白方如果落子于點(diǎn)__________的位
置，則所得的對弈圖是軸對稱圖形。（填寫， ，
，中的一處即可，，，， 位于棋盤的格點(diǎn)
上）
（或）
12.[2024吉林期末] 如圖是從鏡子里看到的數(shù)，則實際的數(shù)應(yīng)是_______。
3 265
13.如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1個單位長度。
（1）以直線為對稱軸作四邊形 的對稱圖形；
解：如圖所示，四邊形 即為所求。
（2）求四邊形 的面積。
解：四邊形的面積 。
14.如圖，將長方形紙片沿折疊，使點(diǎn) 與點(diǎn)
重合，點(diǎn)落在點(diǎn)處， 為折痕。
（1）試說明： ；
解：由題意知 ，
，所以 。
又因為 ， ，
所以 。
（2）若，，求四邊形 （陰影部分）的面積。
解：由題意及（1）知， ，
所以四邊形的面積四邊形 的面積
。
15. 如圖，直線，相交于點(diǎn) 。
為這兩直線外一點(diǎn)，且。若點(diǎn) 關(guān)于直
線，的對稱點(diǎn)分別是點(diǎn)，，則， 之
間的距離可能是( )
B
A.0 B.1 C.2 D.3(共26張PPT)
第五章 圖形的軸對稱
專項突破9 等腰三角形中的分類討論
思想
等腰三角形中的分類討論主要是通過對等腰三角形邊和角的位置以及等
腰三角形的形狀進(jìn)行分類討論,等腰三角形需要討論的原因是邊和角位
置的不確定性以及等腰三角形是銳角三角形還是鈍角三角形的不確定性。
只有確定了邊和角的位置以及等腰三角形的形狀，才能確定正確答案。
類型1 遇腰和底不明時討論
1.[2024濟(jì)寧模擬] 一個等腰三角形的一邊長為，一邊長為 ，
則這個等腰三角形的周長是( )
B
A. B.
C.或 D.無法確定
2.已知的三邊長分別為，5，6，當(dāng) 為等腰三角形
時， 的值為( )
C
A.4 B.5 C.4或5 D.5或6
3.用一條長為的細(xì)繩圍成一個等腰三角形，若其中一邊長是 ，
則腰長為( )
B
A. B. C. D.
4.[2024威海模擬] 已知一個等腰三角形的兩邊長度之比為 ，且周長
是 ，那么第三邊的長度為( )
D
A. B. C.或 D.
類型2 遇頂角和底角不明時討論
5.若等腰三角形的一個內(nèi)角為 ，則它的底角為( )
D
A. B. C. D. 或
6. 如果三角形的一個內(nèi)角是另一個內(nèi)角的2倍，那么稱
這個三角形為“倍角三角形”，例如，在中，如果 ,
，那么 就是一個“倍角三角形”。如果一個倍角三角
形是一個等腰三角形，求它的頂角的度數(shù)。
解：當(dāng)頂角是底角的2倍時，設(shè)頂角為，則底角為 ，
所以 ，解得 ;
當(dāng)?shù)捉鞘琼斀堑?倍時，設(shè)頂角為，則底角為 ，
所以 ，解得 。
綜上所述，它的頂角的度數(shù)是 或 。
類型3 遇等腰三角形形狀不明時討論
7.等腰三角形一條腰上的高與另一條腰所成的角為 ，則這個等腰三
角形頂角的度數(shù)為____________。
或
[解析] 點(diǎn)撥：如圖①，當(dāng)該等腰三角形為銳角三角形
時，由題意可知 ， ，所以
；
如圖②，當(dāng)該等腰三角形為鈍角三角形時，由題意可
知 ， ，所以
。
綜上可知，這個等腰三角形頂角的度數(shù)為 或
。
8.在中，，邊的垂直平分線與 邊所在的直線相交
所得的銳角為 。求 的度數(shù)。
解：此題分兩種情況：
（1）如圖①，若邊的垂直平分線與邊交于點(diǎn) ，
，則 。
因為，所以 。
（2）如圖②，若邊的垂直平分線與 的延長線交于點(diǎn)
， ，則 ，所以
。
因為，所以 。
綜上所述，為 或 。
9.課堂上，老師給出如下說法：等腰三角形一腰上的高與底邊的夾角等
于頂角的一半。
（1）請你判斷并說明老師給出的說法的正誤；
解：老師給出的說法正確。理由如下：
如圖①，當(dāng)該等腰三角形為銳角三角形時，過點(diǎn)作于點(diǎn) 。因
為，所以 。
因為，所以 。
因為，所以 。
所以 。
如圖②，當(dāng)該等腰三角形為鈍角三角形時，過點(diǎn) 作
于點(diǎn)，同理可得 。
當(dāng)該等腰三角形為直角三角形時，易得老師給出的說法
正確。綜上，老師給出的說法正確。
（2）利用（1）中的結(jié)論解答問題，若等腰三角形的一個內(nèi)角為 ，
則該等腰三角形一腰上的高與底邊的夾角度數(shù)為___________。
或
類型4 遇中線分成的兩部分周長不明時討論
10.等腰三角形的底邊長為,一腰上的中線 把其周長分成
差為的兩部分，求 的腰長。
解：由題意可知為的邊 上的中線，
所以 。
（1）當(dāng)時，則 。因為
，所以 。
（2）當(dāng) 時，
則。因為，所以 。但
是當(dāng)時，三邊長分別為，，，而 ，
不能構(gòu)成三角形，應(yīng)舍去。
故的腰長為 。
11.如圖，等腰三角形中，，為腰上一點(diǎn)，連接 。
（1）若為腰上的中線，且 將這個等腰三角形的周長分成15和6
兩部分，求這個三角形的腰長及底邊長；
解：設(shè)，，則 ，
因為邊上的中線 將這個三角形的周長分成15和6兩部分，所以有
兩種情況：
①當(dāng)，時，解得， ，
所以三邊長分別為10，10，1；
②當(dāng)， 時，
解得， ，此時三邊長分別為4，4，13,
而 ，所以這種情況應(yīng)舍去。
綜上，腰長是10，底邊長是1。
（2）若是邊上的高，，求 的度數(shù)。
解：因為 ，
所以 ，解得 ，
所以 。
因為是邊上的高，所以 ，
所以 。
類型5 其他類型
12.如圖，在中，， ，以點(diǎn)為圓心， 的長
為半徑作弧，交直線于點(diǎn)，連接，則 的度數(shù)是( )
C
A. B. C. 或 D. 或
13.如圖，在中， ，
，如果，是直線 上的兩點(diǎn)，
且， ，求 的度數(shù)。
[答案] （1）解：當(dāng)點(diǎn)，在點(diǎn) 的左側(cè)時，如圖①，
因為,所以 。
因為 ，所以
。因為
,所以 。
（2）當(dāng)點(diǎn),在點(diǎn) 的右側(cè)時，如圖②，
與（1）類似，也可以求得
。
（3）當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè),點(diǎn)在點(diǎn) 的右側(cè)時，如圖③，
因為 ，所以
。因為
,
所以 。
因為 ,
所以
。
（4）當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè),點(diǎn)在點(diǎn) 的左側(cè)時，如圖④，因
為，所以 。
因為，所以 。
所以
。
綜上所述，的度數(shù)為 或 或 。(共24張PPT)
第五章 圖形的軸對稱
2 簡單的軸對稱圖形
第1課時 等腰三角形的性質(zhì)
1.等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)常常可以用來說明角相等、線段相等或
線段垂直。在遇到等腰三角形的問題時，嘗試作這條輔助線，常常會有
意想不到的效果。注意等腰三角形中的“三線”知一推二。2.在沒有給出
圖形（即無圖題）或某些元素（三角形的邊、內(nèi)角）不明確時，應(yīng)注意
分類討論。3.要注意特殊的等腰三角形——等邊三角形，它具有等腰三
角形的一切性質(zhì)。等邊三角形一定是等腰三角形，但等腰三角形不一定
是等邊三角形。
知識點(diǎn)1 等腰三角形的邊角性質(zhì)
1.一個等腰三角形的頂角是 ，則它的底角的度數(shù)是( )
B
A. B. C. D.
2.如圖，,點(diǎn)在線段上，。若 ，則
的度數(shù)為( )
B
（第2題）
A. B. C. D.
3.[2024鎮(zhèn)江] 等腰三角形的兩邊長分別為6和2，則第三邊長為___。
6
4.一個等腰三角形的頂角是底角的3倍，則頂角的大小是______。
知識點(diǎn)2 等腰三角形的軸對稱性：“三線合一”
5.等腰三角形的對稱軸是( )
D
A.頂角平分線 B.底邊上的高
C.底邊上的中線 D.底邊上的高所在的直線
（第6題）
6.如圖，在中，，已知平分 ，則
下列結(jié)論不一定成立的是( )
D
A. B.
C. D.
7.如圖，在中，，為的中線， ，則
____ 。
18
（第7題）
8. 如圖，，，，在同一直線上，， 。試
說明： 。
解：方法一：過點(diǎn)作于點(diǎn) ，如圖。
因為，所以 。
因為，所以。所以，即 。
方法二：因為， ,
所以, 。
所以 。
所以。所以 。
知識點(diǎn)3 等邊三角形的性質(zhì)
9.如圖，是等邊三角形的中線，是 上一
點(diǎn)，，則 的度數(shù)為( )
B
A. B. C. D.
10.[2024宜賓] 如圖，點(diǎn)， 分別是等邊三角形
的邊，上的點(diǎn)，且，與
交于點(diǎn)。試說明： 。
解：因為 是等邊三角形，
所以， ，又因為
，所以，所以 。
（第11題）
11.[2024南通期末] 如圖， 是等邊三角
形，,是的平分線，延長 到點(diǎn)
，使，則 的長為( )
D
A.7 B.8 C. D.9
（第12題）
12.如圖，已知在銳角三角形中，， 是三
角形的角平分線，是上一點(diǎn)，連接， 。若
，，則 的面積是( )
B
A.12 B.9 C.6 D.18
13.已知等腰三角形一腰上的中線將這個等腰三角形的周長分為 和
兩部分，則這個等腰三角形的腰長為____ 。
10
14.如圖，是等邊三角形內(nèi)一點(diǎn)，且， ，
。求 的度數(shù)。
解：因為 是等邊三角形，
所以， 。
在和中，
所以，所以 。
又因為 ，
所以 。
因為，所以 。
在和中，， ，
，所以 ，
所以，所以 。
15. 已知在中， 。
（1）如圖①，若 ，是中 邊上的高，并且
，則____ ；
15
（2）如圖②，若 ，是中 邊上的高，并且
，則____ ；
（3）由猜想與 之間的數(shù)量關(guān)系，請用式子表示：
________________；
20
（4）如圖③，若不是中邊上的高，但仍有 ，則
與 之間是否仍然存在（3）中的數(shù)量關(guān)系 請說明理由。
解： 仍然成立。理由如下：
因為，所以 。
因為 ， ，所以
。
因為，所以 。所
以 。
因為，所以 。
因為 ，
所以 ，
所以 。(共19張PPT)
第五章 圖形的軸對稱
2 簡單的軸對稱圖形
第2課時 線段垂直平分線的性質(zhì)及畫法
1.線段的軸對稱性：垂直并且平分線段的直線是它的一條對稱軸，線段
本身所在的直線也是它的一條對稱軸。2.應(yīng)用線段垂直平分線的性質(zhì)的
“三點(diǎn)注意”:（1）“點(diǎn)”指任意一點(diǎn)；（2）距離指的是兩點(diǎn)間線段的長
度；（3）線段的垂直平分線也叫中垂線。
知識點(diǎn)1 線段的軸對稱性
1.下列說法中，不正確的是( )
C
A.線段是軸對稱圖形
B.將線段對折，使,兩點(diǎn)重合，則折痕所在的直線是線段 的一
條對稱軸
C.線段有無數(shù)條對稱軸
D.線段的垂直平分線是它的一條對稱軸
知識點(diǎn)2 線段垂直平分線的性質(zhì)
（第2題）
2. 如圖，直線是線段 的垂直
平分線，為直線上的一點(diǎn)，已知線段 ，
則線段 的長度為( )
B
A.6 B.5 C.4 D.3
3.[2024佛山期末] 如圖，在中，的垂直平分線分別交，
于點(diǎn)，，連接。若，，則 的長為___。
8
（第3題）
4.[2024寶雞期末] 如圖，在中，，的垂直平分線分別交
于點(diǎn)，。若，則的周長為____ 。
10
（第4題）
5.如圖，在中，， ，的垂直平分線 分別
交，于點(diǎn)，，則 的度數(shù)為_____。
（第5題）
知識點(diǎn)3 尺規(guī)作線段的垂直平分線
6.[2024眉山] 如圖，在中， ，
，分別以點(diǎn)，為圓心，大于 的長為半徑
作弧，兩弧交于點(diǎn)，，過點(diǎn)，作直線交于點(diǎn) ，
連接，則 的周長為( )
C
A.7 B.8 C.10 D.12
7.[2024西安期末] 如圖，在 中，請用尺規(guī)作圖法，分別在邊
，上求作點(diǎn)，，使為邊 的垂直平分線。（保留作圖痕跡，
不寫作法）
解：如圖，則， 即為所求。
8.如圖所示，直線是線段的垂直平分線，，是直線 上的兩點(diǎn)，
則線段，，， 的關(guān)系是( )
D
A.， B.
C.， D.，
9.如圖，在中，是 的垂直平分線，
，的周長為，則 的
周長為( )
B
A. B. C. D.
10.通過如下尺規(guī)作圖，能使 的是( )
D
A. B. C. D.
11. 2024年是“一帶一路”倡議提出及建設(shè)開啟的十一周
年。十一年來，我國與多個國家及國際組織簽署了多份共建“一帶一路”
合作文件，在基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)、能源建設(shè)、交通運(yùn)輸、脫貧等多個方面取
得成果，為多個國家的合作發(fā)展帶來好消息。如圖，北京與雅典、莫斯
科建立了“一帶一路”貿(mào)易合作關(guān)系，記北京為地，莫斯科為 地，雅
典為地，若想建一個貨物中轉(zhuǎn)倉，使其到，， 三地的距離相等，
那么如何選擇中轉(zhuǎn)倉的位置？請你用尺規(guī)作圖設(shè)計出中轉(zhuǎn)倉的位置 ，
保留作圖痕跡，不用說明理由。
解：如圖，點(diǎn) 即為所求。
12.如圖，在中，是 的垂直平分線，且與
，分別交于點(diǎn)，，，為 的中點(diǎn)。
（1）試說明： ；
解：連接。因為，且為線段的中點(diǎn)，所以 垂直平分
，所以 。
因為垂直平分，所以，所以 。
（2）若 ，求 的度數(shù)。
解：因為， ，
所以 ，
所以 。
因為，所以 ，
所以 。
13. 如圖，已知在銳角三角
形中，，邊的中垂線交于點(diǎn) ，
。
（1）求 的度數(shù)。
解：連接。因為，邊的中垂線交于點(diǎn) ，
所以 。
所以， 。
因為 ，
所以 。所以
。
（2） 是否為定值？若是，求出此定值；若不是，請說明
理由。
解： 為定值。理由如下：
因為，所以。因為 ，
所以 。
因為 ，
所以 。(共21張PPT)
第五章 圖形的軸對稱
2 簡單的軸對稱圖形
第3課時 角平分線的性質(zhì)及畫法
1.角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離是指角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的垂線
段的長。2.角平分線的性質(zhì)是說明線段相等的一個重要方法,應(yīng)用時要注
意兩點(diǎn)：
一是不要漏掉垂直這個關(guān)鍵條件;二是直接得到線段相等,而不必再說明
兩三角形全等。
知識點(diǎn)1 角的軸對稱性
1.下列說法不正確的是( )
A
A.角平分線是角的對稱軸
B.將對折，邊與邊重合，折痕所在的直線是 的對稱軸
C.角可以看成是以它的平分線所在直線為對稱軸的軸對稱圖形
D.角是軸對稱圖形
知識點(diǎn)2 角平分線的性質(zhì)
（第2題）
2.如圖，平分，點(diǎn)在上， ，
，則點(diǎn)到 的距離是( )
C
A.4 B.3 C.2 D.1
（第3題）
3.如圖，為的平分線，， ，
垂足分別是， ，則下列結(jié)論不一定正確的是
( )
B
A. B.
C. D.
4.如圖，在中， ,平分，交于點(diǎn) ,
,垂足為點(diǎn)。若,,則 的長為____。
2.4
（第4題）
5.如圖，在中，平分，，若， ，
則 ___。
1
（第5題）
6.如圖所示，已知為的平分線，，于點(diǎn) ，
于點(diǎn)。試說明： 。
解：因為平分 ，
所以 。
在和中，
所以 。
所以。所以平分 。
因為，，所以 。
知識點(diǎn)3 尺規(guī)作角平分線
7.用直尺和圓規(guī)作一個角的平分線的示意圖如圖所示，則能說明
的依據(jù)是( )
A
A.
B.
C.
D.角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等
8. 某市大力推廣乙醇汽油，交警加強(qiáng)了監(jiān)管力度。如圖，
點(diǎn)是一個加油站，,是通往加油站的兩條公路，是與 平行
的另一條公路，為了保證交警能對經(jīng)過這三條公路的每輛車進(jìn)行檢查，
準(zhǔn)備在公路上建一個值班室，要求值班室到公路, 的距離相等，
請你作出值班室 的位置（尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）。
解：如圖，點(diǎn) 即為所求。
（第9題）
9.[2024許昌期末] 如圖，在中， 平分
，若， ，則
( )
B
A. B. C. D.
10.如圖，，的平分線與的平分線相交于點(diǎn) ，
作，垂足為點(diǎn)。若，則兩平行線與 間的距離為
( )
C
（第10題）
A.3 B.5 C.6 D.不能確定
點(diǎn)撥：如圖，作于點(diǎn)，于點(diǎn) 。
因為是的平分線，， ，
所以 。
因為是的平分線，，，所以 。
因為 ，
所以兩平行線與間的距離為 。
11.如圖，在中， ，利用尺規(guī)在， 上分別截取
，，使；分別以，為圓心、以大于 的長為半徑
作弧，兩弧在內(nèi)交于點(diǎn)；作射線交于點(diǎn)，若，
為上一動點(diǎn)，則 的最小值為___。
2
12.如圖，在中， ， ，
平分，交于點(diǎn)，于點(diǎn) 。
。
（1）試說明： ；
解：因為平分，所以 。
因為 ，，所以 。
在和中，，， ，所
以 。
（2）求 的周長。
解：由（1）知，所以， 。
因為，所以 。
所以 的周長為
。
13.如圖，已知銳角三角形， ，請用尺規(guī)作圖法，在
內(nèi)部作一點(diǎn)，使，且 。（保留作圖痕跡，
不寫作法）
解：如圖，點(diǎn) 即為所求。
14.【感知】如圖①，平分， ， 。
易知 。
【探究】如圖②，平分 ，
，
。試說明： 。
解：如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，交
的延長線于點(diǎn)。因為平分 ，
，，所以 ，
。
因為 ，
，
所以 。
在和中，
所以。所以 。(共23張PPT)
第五章 圖形的軸對稱
全章熱門考點(diǎn)整合專訓(xùn)
本章內(nèi)容在中考中一直占有重要的地位，屬于必考內(nèi)容，多以選擇、填
空形式出現(xiàn)，其考查內(nèi)容主要有軸對稱和軸對稱圖形的識別、等腰三角
形的性質(zhì)等。本章熱門考點(diǎn)可概括為兩個概念、五個性質(zhì)、兩個作法和
兩種思想。
考點(diǎn)1 兩個概念
概念1 軸對稱圖形
1.[2024廣西] 端午節(jié)是中國傳統(tǒng)節(jié)日，下列與端午節(jié)有關(guān)的文創(chuàng)圖案中，
成軸對稱的是( )
B
A. B. C. D.
返回
概念2 軸對稱
2.觀察圖①~④中的左右兩個圖形，它們是否成軸對稱？如果是，請畫
出對稱軸。
解：題圖①②③中的左右兩個圖形成軸對稱,題圖④中的左右兩個圖形
不成軸對稱。
畫對稱軸略。
返回
考點(diǎn)2 五個性質(zhì)
性質(zhì)1 軸對稱的性質(zhì)
3.如圖，將長方形紙片沿向上折疊，使點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)
處。若的周長為，的周長為 ，求長方形紙片
的周長。
解：由題意可知，和關(guān)于直線對稱，所以 ，
。
因為的周長為，的周長為 ，
所以, 。
所以長方形紙片 的周長為
。
返回
性質(zhì)2 等腰三角形的性質(zhì)
（第4題）
4.四邊形的邊長如圖所示，對角線 的長度
隨四邊形形狀的改變而變化.當(dāng) 為等腰三角
形時，對角線 的長為( )
B
A.2 B.3 C.4 D.5
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5. 如圖，屋頂鋼架外框是等腰三角形，其中 ，
且頂角 ，則 的大小為_____。
（第5題）
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6.如圖，在等腰三角形中，，， 分別
為，上的點(diǎn)，且滿足 。
（1）試說明： ；
解：在和中，
所以，所以 。
（2）連接，試判斷與 的位置關(guān)系，并說明理由。
解：。理由：因為，所以 。因為
，
所以 。
所以。所以 。
在和中，
所以 。
所以。所以 。
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性質(zhì)3 等邊三角形的性質(zhì)
7.[2024山東模擬] 如圖，點(diǎn)為線段 上一動
點(diǎn)（不與點(diǎn)，點(diǎn)重合），在 同側(cè)分別作
等邊三角形和等邊三角形，與
交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，與 交于點(diǎn)
A
A.4個 B.3個 C.2個 D.1個
，連接，以下四個結(jié)論：； ；
； 。其中正確的結(jié)論有( )
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性質(zhì)4 線段垂直平分線的性質(zhì)
8.如圖，在中，，的垂直平分線分別交， 于
點(diǎn)，，的周長為，則線段 的長為______。
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性質(zhì)5 角平分線的性質(zhì)
9.[2024福州期末] 如圖，射線是的平分線，是射線 上一
點(diǎn)，于點(diǎn)，，若點(diǎn)是射線上一點(diǎn)， ，則
的面積是( )
D
A.3 B.4 C.5 D.6
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考點(diǎn)3 兩個作法
作法1 作軸對稱圖形
10.如圖，在邊長為1的小正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)，， 均落在格點(diǎn)上。
（1）求 的面積；
解：的面積為 。
（2）畫出關(guān)于直線的軸對稱圖形 ；
解：如圖， 為所作圖形。
（3）在直線上找一點(diǎn)，使的值最小，請畫出點(diǎn) 。
解：如圖， 為所作點(diǎn)。
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作法2 作線段的垂直平分線和角的平分線
11.作圖題，不要求寫作法，保留作圖痕跡。
（1）如圖①，已知點(diǎn)，和，求作一點(diǎn)，使到點(diǎn)， 的距
離相等，且到 的兩邊的距離相等；
解：如圖①所示，點(diǎn) 即為所求。
（2）如圖②，已知點(diǎn)和，分別在邊，上作點(diǎn)， ，使
周長最小。
解：如圖②所示。
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考點(diǎn)4 兩種思想
思想1 方程思想
12.如圖，是等腰三角形，，在 外部分別作等邊
三角形和等邊三角形。若，求 三個內(nèi)角
的度數(shù)。
解：因為和 都是等邊三角形，所以
, 。
又因為，所以 ,即
。
又因為，所以 。
設(shè)，則 。
因為 ,
所以 ,解得 。
所以 。所以 。
所以三個內(nèi)角的度數(shù)分別為 , , 。
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思想2 分類討論思想
13.在等腰三角形中，比的2倍少 ，求 。
解：設(shè) 。
因為比的2倍少 ,所以 。
因為 ,
所以 。
當(dāng)時，有 ，
則，解得 ；
當(dāng)時,有 ，
則，解得 ；
當(dāng)時，有 ，
則，解得 。
綜上所述，為 或 或 。
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第五章 圖形的軸對稱
☆ 問題解決策略:轉(zhuǎn)化
軸對稱的應(yīng)用主要表現(xiàn)在求最值問題以及實際應(yīng)用問題中。求最值問題
時常用到化“折”為“直”解決兩條線段差的最大值問題，“將軍飲馬”模型
解決最小值問題。
化“折”為“直”：當(dāng),兩點(diǎn)在直線同側(cè)時，作直線,交于點(diǎn)，此
時，的值最大;
當(dāng),兩點(diǎn)在直線異側(cè)時，求解的關(guān)鍵是找點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，即
化“折"為“直”。
“將軍飲馬”模型：，兩點(diǎn)在直線同側(cè)，在直線上找點(diǎn)，使
的值最小,作法如圖①。
②已知角內(nèi)一點(diǎn),在角的兩邊上分別找點(diǎn),,使 的周長最小,作
法如圖②。
③已知角內(nèi)兩點(diǎn),,在角的兩邊上分別找點(diǎn),,使四邊形 的周長
最小，作法如圖③。
類型1 利用轉(zhuǎn)化解決幾何中的最值問題
1.如圖，等邊三角形的邊上的高為6，是邊上的中線，
是線段上的一個動點(diǎn)，是的中點(diǎn)，求 的最小值。
解：如圖，連接， 。
因為，是邊上的中線，所以，所以 垂直平分
，且，所以 ，
當(dāng)，，三點(diǎn)共線時， 有最小值，最小值為
的長。
已知是等邊三角形的邊的中點(diǎn)， 是中線，
易得 。
所以 的最小值為6。
2.如圖，等邊三角形的邊長為2，過點(diǎn)的直線，且 與
關(guān)于直線對稱，為線段上一動點(diǎn)，求 的最小值。
解：如圖，連接 。
因為等邊三角形的邊長為2，與關(guān)于直線 對稱，
所以 ， 。
因為直線，所以，， 三點(diǎn)共線。
所以 。
所以 。
又因為， ,
所以 。
所以 。
所以 ，
所以當(dāng),,三點(diǎn)共線時， 的值最小，此時
。
3.如圖為邊長為1的正方形網(wǎng)格，點(diǎn)，都在格點(diǎn)上。在直線 上畫
出點(diǎn)，使得 的周長最小。
解：如圖，作點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，連接 ，
交直線于點(diǎn)，連接 。
此時 ，為最小值，
則的值最小，即 的周長最小，
所以點(diǎn) 即為所求。
4.如圖，是內(nèi)任意一點(diǎn)， ，，和 分別
是射線和射線上的動點(diǎn)，求 周長的最小值。
解：周長的最小值即 的
最小值，分別作點(diǎn)關(guān)于直線， 的對稱點(diǎn)
，,連接， ，則
。
如圖，當(dāng)，，，共線時， 的周長
最小，等于線段的長，連接，，易得, 為
等邊三角形，所以，即 周長的最小值為8。
類型2 利用轉(zhuǎn)化解決實際應(yīng)用中的最值問題
5.如圖，點(diǎn)是將軍和馬居住的營帳，點(diǎn) 是一塊
指定的草地，一條小河潺潺流過， 是將軍帶著
馬兒喝水的地方。
（1）點(diǎn)在何處時，將軍和馬兒走過的路徑 的值最小？請在圖
中畫出最短路徑，標(biāo)出點(diǎn) 的位置；
解：如圖，作點(diǎn)關(guān)于小河的對稱點(diǎn)，連接
交于點(diǎn)， 點(diǎn)即為所求。
（2）試說明這時 的值最小。
解：如圖，在上另取一點(diǎn) ，
連接，，，在中， ，
即 ，所以此時
的值最小。
6. 如圖，已知牧馬營地在 處，每天牧馬人要趕馬群先
到河邊飲水，再到草地上吃草，最后回到營地，請你為牧馬人設(shè)計出最
短的牧馬路線。
解：如圖，分別作點(diǎn)關(guān)于河（直線）、草地（直線）的對稱點(diǎn) ，
，連接，分別與河（直線）、草地（直線 ）相交，交點(diǎn)分別為
，，連接，，則最短路線為 。

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