資源簡介

(共21張PPT)
第二章 相交線與平行線
3 平行線的性質
第2課時 平行線的性質與判定的綜合
運用
平行線的判定與性質常用來求角的度數，證明角相等或互補。有時為了
說理的需要，在圖形中另外添加的線叫作“輔助線”，輔助線通常畫成虛
線，以便區別圖形中原有的線，作輔助線的思路是作出符合平行線判定
或性質的“基本圖形”。我們常構造出“三線八角”或“互相平行的三條直
線”的基本圖形。
. .
. .
知識點 平行線的判定和性質的綜合應用
（第1題）
1.如圖，直線和被直線和 所截，
， ，則 的度數為
( )
B
A. B. C. D.
2.如圖，若 ，則下列結論正確的是( )
D
（第2題）
A. B. C. D.
3.如圖，，，則與 的關系是( )
A
（第3題）
A.互為余角 B.互為補角 C.相等 D.不能確定
（第4題）
4.如圖是一款手推車的平面示意圖，其中 ，
則下列結論正確的是( )
B
A. B.
C. D.
[解析] 點撥：如圖。
因為，所以 。
因為 ，所以 ，所以
，即。因為 ，所以
。
5. 古希臘數學家埃拉托色尼是第一個測
算地球周長的人，他發現在當時的城市塞恩（圖中的點 ），
直立的桿子在某個時刻沒有影子，而此時在500英里以外的
亞歷山大（圖中的點），直立的桿子卻偏離太陽光線
兩直線平行，內錯角相等
（圖中），由此他得出 ，那么 的度數也就是
的，所以從亞歷山大到塞恩的距離也就大約是地球周長的 。
其中“ ”所依據的數學定理是________________________。
6.如圖，，，直線與交于點，與 的延長線
交于點。試說明: 。
解：因為，所以。因為 ，
所以。所以，所以 。
7. 為了方便市民綠色出行和鍛煉身體，政府倡導大家
使用共享單車。圖①是一輛共享單車放在水平地面上的實物圖，圖②是
其示意圖，其中，都與地面平行， ，
。 當等于多少度時，與 平行？
解：因為，，所以 ，
所以 ，
即 。
因為 ， ，所以 。
所以當 時， 。
（第8題）
8. 如圖，電訊公司在由西向東埋設
通訊電纜線，他們從點埋設到點 時突然發現碰到
了一個具有研究價值的古墓，不得不改變方向繞開
古墓，結果改為沿南偏東 方向埋設到點 ，再
沿古墓邊緣埋設到點處，測得 。現
要恢復原來的正東方向，則 ( )
A
A. B. C. D.
9.如圖，直線，指定位置的三條射線，， 滿足
，。有以下兩個結論：與一定共線； 。
其中正確的結論是____（填序號）。
②
（第9題）
10.如圖，平分，平分 ，
，點在射線 上，直線
，垂足為。設 。
（1）請用含的式子表示 的大小；
解：因為平分， ，
所以 。因為 ，
所以 。
（2）試說明： ；
解：因為，所以 。因為
， ， ，
所以 。
因為平分，所以 。由（1）知，
，
所以 ，
所以 ，所以 。
（3）設直線與射線交于點，若 ，求 的度數。
解：由（2）知，，所以 ，
。 因為 ，所以 ，所以
，
所以 。
11.（1）【問題背景】如圖①，已知
，點 的位置如圖所示，連
接，，試探究與, 之
平行于同一條直線的兩條直線平行
間的數量關系。以下是小明同學的探究過程，請你結合圖形仔細閱讀，
并完成填空：
解：如圖①，過點作 。
因為 （已知），
所以 （_________________________________），
所以， （________________________），
所以 ______________（等式的性質）。
因為 ，
所以，, 之間的數量關系是_________________。
兩直線平行，內錯角相等
（2）【類比探究】如圖②，已知，線段與相交于點 ，
點在點右側。若 ， ，求 的度數。
解：如圖①，過點作 ，
所以 。
因為，所以 ，
所以 ，
所以 。
（3）【拓展延伸】如圖③，已知，線段與相交于點 。
若與的平分線相交于點，請求出與 之間的數
量關系 。
解：由（2）易知 。
因為，分別是， 的平分線，
所以， ，
所以 。
如圖②，過點作，則 。
因為，所以，所以 ，
所以 ，
所以 。(共11張PPT)
第二章 相交線與平行線
專項突破4 利用相交線、平行線的性
質求角度
對頂角相等；同角（等角）的余角（補角）相等；兩直線平行，同位角
（內錯角）相等，同旁內角互補。這些性質在相交線與平行線的角度計
算問題中有著廣泛的應用，做題時要善于利用方程，建立角之間的等量
關系解題。
類型1 利用相交線的性質求角度
1. 如圖，直線，相交于點，平分 。若
，求 的度數。
[答案] 解法一：如圖，因為與 是對頂角，
所以 。
又因為平分 ，
所以 。所以
。
解法二：如圖，因為與 是對頂角，
所以 。
又因為平分 ，
所以 。
又因為 ，
所以 。
2.如圖，已知直線和相交于點 ，射線
于點，射線于點 。
（1）若 ，求與 的度數。
解：因為，所以 。
因為 ，所以
，所以
。
因為，所以 ，
即 ，
所以 。
（2）若 ，求 的度數。
解：因為 ，
所以 。
類型2 利用平行線的性質求角度
（第3題）
3.[2024陜西] 如圖，， ，
，則 的度數為( )
B
A. B. C. D.
（第4題）
4.[2024海南] 如圖，直線，把一塊含
角的直角三角板 按如圖所示的方式放置，
點在直線上， ，若 ，
則 等于( )
D
A. B. C. D.
5.如圖， ，頂點在直線 上，一邊
與直線交于點，且 。
（1）判斷直線與 的位置關系，并說明理由；
解： ，理由如下:
因為 ，所以 。
因為 ，所以 ，所以
。
（2）若平分且，計算 的度數。
解：因為，所以 。
因為平分，所以 。
所以 。
因為，所以 。
因為 , ,
所以 。
因為 ，所以易求得 。(共20張PPT)
第二章 相交線與平行線
2 探索直線平行的條件
第2課時 利用內錯角或同旁內角判定
兩直線平行
知識點1 認識內錯角、同旁內角
1.下列四個圖形中，與 是內錯角的是( )
D
A. B. C. D.
2. 如圖，下列兩個角是同旁內角的是( )
B
（第2題）
A.與 B.與 C.與 D.與
知識點2 內錯角相等，兩直線平行
（第3題）
3. 如圖，小明在地圖上
量得 ，由此判斷幸福大街與平安大
街互相平行，他判斷的依據是___________
_____________。
內錯角相等，兩直線平行
4.如圖，若，則____//____；若 ，則____//____。
（第4題）
（第5題）
5.[2024南京模擬] 完成下面的解題過程：如圖，
平分，.試說明： 。
解：因為平分 ，
所以 （________________）。
因為，所以 ___（__________）。
所以 （________________________）。
角平分線的定義
3
等量代換
內錯角相等，兩直線平行
6.如圖所示，，相交于點， ，
，與 平行嗎？為什么？
解： 。理由如下：
因為，， ，
所以，所以 。
知識點3 同旁內角互補，兩直線平行
7.如圖，若______，則 。
（第7題）
8.如圖，工人師傅在工程施工中，需在同一平面內彎制一個變形管道
，使其拐角 ， ，則( )
C
（第8題）
A. B. C. D.與 相交
9.如圖，，分別是，上的點， ， ，
試說明： 。
解：因為 ， ，
所以 ，所以 。
知識點4 用尺規作平行線
10.如圖，用尺規作，作圖痕跡 是( )
D
A.以點為圓心，線段 的長為半徑的弧
B.以點為圓心，線段 的長為半徑的弧
C.以點為圓心，線段 的長為半徑的弧
D.以點為圓心，線段 的長為半徑的弧
11.如圖，是學校花園內兩條小路組成的角，點在上，點 在
上，現在過點，分別建一條平行于和 的小路，請用尺規在
圖上畫出小路。
解：如圖所示，小路， 即為
所求。
12. 如圖是“自由式滑雪大跳臺”項目圖標及示意圖，則
在下列判斷中：與是對頂角；與是同旁內角； 與
是同旁內角；與 是內錯角。其中正確的有( )
C
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
13.如圖所示的四種沿 進行折疊的方法中，不一定能判斷紙帶兩條邊
， 互相平行的是( )
C
A.如圖①，展開后測得
B.如圖②，展開后測得且
C.如圖③，測得
D.如圖④，展開后測得
14.一副三角板如圖所示（共頂點 ）疊放在一起，
若固定三角板，旋轉三角板（其中 點位
置始終不變），當 ____________時，
。
或
[解析] 點撥：易知 。
①如圖①，當 時，可得
；
②如圖②，當 時，可得 ，
所以 。
15. 如圖，已知,點,, 在一條直線上，
,是的平分線。試說明： 。
[答案] 解法一：因為， ，
所以。因為是 的平分線，
所以。所以。所以 。
解法二：因為， ，
所以 。
因為是 的平分線，
所以。所以。所以 。
16. 如圖，直線和被直線 所截，交點分別為
， 。
（1）如圖①，平分，平分 （平分的是一對同旁內
角），當與滿足_______________時， 。
（2）如圖②，平分，平分 （平分的是一對同位角），
當與滿足_________時， 。
（3）如圖③，平分，平分 （平分的是一對內錯角），
當與滿足什么條件時， ？為什么？
解： 。
理由：因為平分，平分 ，
所以， 。
當時，，所以 。(共22張PPT)
第二章 相交線與平行線
1 兩條直線的位置關系
第1課時 對頂角、補角和余角
1.平行線必須滿足三個條件：①在同一平面內；②兩條直線；③不相交
（即無公共點）。
2.對頂角的位置關系和數量關系：有公共頂點且兩邊互為反向延長線；
對頂角相等，一個角只有一個對頂角，它們是成對出現的。
3.互余、互補是指兩個角之間的數量關系，它們是成對出現的；互余、
互補只與數量有關，而與位置無關。
知識點1 相交線與平行線的定義
1.在同一平面內，不重合的兩條直線的位置關系是( )
A
A.平行或相交 B.平行 C.相交 D.無法確定
知識點2 對頂角
2.下列圖形中,與 互為對頂角的是( )
D
A. B. C. D.
3.如圖，直線與交于點，則 的度數為_____。
（第3題）
4.如圖，直線，相交于點，若 ， ，則
的度數為_____。
（第4題）
5.如圖，直線，相交于點，把 分
成兩個角，且與的度數之比是 ，
，求 的大小。
解：因為與為對頂角，且 ，
所以 ，因為，所以設 ，
則 ，
又因為，所以 ，
解得 ，所以 ，即 。
知識點3 補角和余角
6.[2024蘭州] 已知 ，則 的補角是( )
A
A. B. C. D.
7.[2024河源期末] 如果一個角的余角是 ，那么這個角的度數是
( )
B
A. B. C. D.
8.[2024揚州期末] 如圖， ，則___
（填“ ”“”或“ ”），理由是________________。
同角的余角相等
9.如圖， ，平分， 。
（1）與 互余嗎？試說明理由。
解：與互余。理由如下：因為平分， ，
所以 。
因為，所以 ，
所以 ，所以與 互余。
（2）與 互補嗎？試說明理由。
解：與 互補。理由如下：因為
，所以與 互補。
10.一個角的余角比它的補角的還多 ，求這個角的度數。
解：設這個角為 ，則它的余角為 ，補角為 ，根
據題意，得，解得 。
所以這個角的度數為 。
11.如圖，三條直線，，相交于一點，則 ( )
B
A. B. C. D.
12.如果與互余，與互補，那么與 的關系是( )
B
A. B.
C. D.
（第13題）
13.[2024北京豐臺區期末] 如圖，點 在直線
上，平分， ，下列
說法不一定正確的是( )
A
A.與互補 B.與 互余
C.與互余 D.與 相等
14.如圖，直線與相交于點,, 。
（第14題）
（1）圖中 的余角是____________________；
（寫一個即可）
（答案不唯一）
（2） _____________________；
（寫一個即可）
（答案不唯一）
（3）如果 ，那么根據__________
__，可得 ______；
對頂角相等
（4）如果，求 的度數。
解：因為 ，且
，
所以，解得 。
[解析] 點方法：從圖形中找互余或互補的角，可從兩個方面入手：一方
面從角的度數入手，兩個角的度數之和為 ，則互余，兩個角的度數
之和為 ，則互補；
另一方面從圖形入手，直角分成的兩個角互余，平角分成的兩個角互補。
15.易錯題 在直線上任取一點，過點作射線， ，使
，當 時，求 的度數。
解：如圖①，當射線， 在直
線 的同側時，
因為 ，
，
所以
。
如圖②，當射線，在直線 的異側時，
因為 ， ，
所以 ，
所以 。
綜上所述，的度數為 或 。
16. 如圖，圖中的直線都相交于一點。
（1）請觀察圖形并填寫下表：
圖形編號 ① ② ③ …
對頂角的對數 ___ ___ ____ …
2
6
12
（2）若 條直線相交于一點，則共有多少對對頂角？
解：共有 對對頂角。(共20張PPT)
第二章 相交線與平行線
2 探索直線平行的條件
第1課時 利用同位角判定兩直線平行
及平行公理
1.平行線的基本事實與垂線的基本事實的相同點：在同一平面內，過直
線外一點作已知直線的平行線或垂線，能并且只能作一條，體現了“存
在性和唯一性”。
2.平行線與垂線的不同點：平行線具有傳遞性，而垂線沒有傳遞性。
. .
. .
. .
. .
知識點1 認識同位角
1.圖中的同位角是( )
C
A.和 B.和 C.和 D.和
2.下列圖形中，和 不是同位角的是( )
C
A. B. C. D.
知識點2 同位角相等，兩直線平行
3.[2024南寧開學考試] 如圖，下列說法正確的是( )
B
（第3題）
A.因為，所以
B.因為，所以
C.因為，所以
D.因為，所以
4.如圖，直線，被直線所截，當___時，（填“ ”“ ”或
“ ”）。
（第4題）
5. 如圖， ， ，判斷與 是
否平行，為什么？
解：與 平行。理由如下：
因為 ，所以 。
因為 ，所以，所以 。
知識點3 平行線的畫法
（第6題）
6.如圖，我們可以用直尺和三角尺，過直線外一點 畫
已知直線的平行線 。
（1）所畫出來的直線 只有一條的理由是__________
___________________________________。
過直線外一點有且只有一條直線與這條直線平行
（2）下面是用直尺和三角尺過直線外一點畫已知直線的平行線 的
操作步驟：
①沿直尺向上移三角尺，使三角尺的斜邊經過點 ；
②用直尺緊靠三角尺的另一邊；
③沿三角尺的斜邊作出直線 ；
④用三角尺的斜邊貼住直線 。
正確的操作順序是__________。（填序號）
④②①③
知識點4 平行線的基本事實
7.如圖，若，，則點，， 在同一條直線上，理由
是____________________________________________。
過直線外一點有且只有一條直線與這條直線平行
（第7題）
知識點5 平行線的傳遞性
8. 在同一平面內，直線，，直線與 相交
于點 。
（1）與 的位置關系為______，理由：___________________________
_____。
（2）與 的位置關系為______，理由：___________________________
_________________。
平行
平行于同一條直線的兩條直線平行
相交
過直線外一點有且只有一條直線與這條直線平行
9.下列說法：①在同一平面內，已知直線，，,若， ，則
；②在同一平面內，兩條不重合的直線的位置關系只有相交和平
行兩種；③過一點有且只有一條直線與這條直線平行；④已知直線 ，
，，如果，，那么 。其中正確的說法是( )
A
A.②和④ B.①和② C.②和③ D.①和④
10.如圖，將木條，與釘在一起，若 ，
，要使木條與平行，木條 旋轉的度數至
少是( )
C
A. B. C. D.
11.如圖所示，在內有一點 。
（1）過點畫直線 ；
解：如圖所示。
（2）過點畫直線 ；
解：如圖所示。
（3）用量角器量一量與相交形成的角與 的大小有怎樣的關系。
解：如圖，與相交形成的角有四個：,,, .經測量可得，
， , ,所以
與相交形成的角與 相等或互補。
12.用一副三角尺拼圖，并標點描線如圖所示，然
后過點作平分,交于點 .試說明：
。
解：因為平分，且 ,
所以 。
因為 ,所以 。
所以 。
13. 如圖，已知直線,,被直線所截， ,
, .試說明： 。
解：如圖所示。因為 ,，所以 。
因為 ,所以 。
所以。因為 ,
所以 。
所以，所以。所以 。(共19張PPT)
第二章 相交線與平行線
全章熱門考點整合專訓
本章知識是中考的必考內容，也是后面學習有關幾何中計算和說明的基
礎。本章常見的題目涉及角度的計算、垂線段及其應用、平行線的判定
和性質，命題形式有選擇題、填空題、解答題與說理題，題目難度不大。
本章熱門考點可概括為五個概念、兩個判定、兩個性質、一個作圖和兩
種思想。
考點1 五個概念
概念1 對頂角
1.[2024鄭州模擬] 如圖，直線，相交于點 ，
， ，則 的度數
為( )
B
A. B. C. D.
返回
概念2 余角和補角
2.[2024長沙期末] 如圖，將一副三角尺按不同位置擺放，擺放方式中
的圖形有( )
C
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
返回
概念3 點到直線的距離
3.如圖，點是直線外的一點，點，，在直線上，且 ，垂
足為，，垂足為 ，則下列說法中正確的是( )
C
A.，，三條線段中， 最短
B.線段的長是點到直線 的距離
C.線段的長是點到直線 的距離
D.線段的長是點到直線 的距離
返回
概念4 三線八角
4.（1）如圖，與 是直線____和____被直線____所截得的______角；
內錯
（2）與 是直線____和____被直線____所截得的______角；
（3）與 是直線____和____被直線____所截得的________角。
同位
同旁內
返回
概念5 相交線和平行線
5.一位同學采用如圖所示的方式整理所學知識，請補充①②兩處的知識：
①______；②______。
相交
垂直
返回
考點2 兩個判定
判定1 垂線的判定
6.如圖，直線，相交于點， 。
（1）若 ， ，則 _____。
（2）若，判斷與 的位置關系，并說明理由。
解：。理由如下：因為，所以 。
又因為,所以 。
所以 。所以 。
（3）若，求和 的度數。
解：因為 ,
所以。所以 。
因為，所以 ，所以 。
所以 , 。
返回
判定2 平行線的判定
7.[2024西安期末] 如圖，在四邊形 中，
點在的延長線上，點在 的延長線上，
連接，相交于點 ，
，平分 ，
。
（1）試說明： 。
解：因為 ， ，所以
，所以 。
（2）與 的位置關系如何？請說明理由。
解： 。理由如下：
因為平分，所以 。
因為，所以，所以 。
返回
考點3 兩個性質
性質1 垂線段的性質
8.[2024成都模擬] 如圖，在點 處，有一個牧
童在放牛，牛吃飽后要到河邊飲水，牧童把牛
牽到河邊，沿 的路徑走才能使所走的路程
最少，其依據是( )
B
A.經過一點有無數條直線 B.垂線段最短
C.兩點之間，線段最短 D.兩點確定一條直線
返回
性質2 平行線的性質
9.[2024長春二道區開學考試] 如圖，已知點，在直線上， 是
的平分線，過點作的平行線交于點，試說明： 。
解：如圖，因為 ，
所以， 。
因為是 的平分線，
所以，所以 。
因為 ， ，所以 。
返回
考點4 一個作圖——用尺規作直線的平行線
10.[2024茂名期末] 已知及射線上的點 （如圖），請用尺規
過點作的平行線 ，不寫作法，保留作圖痕跡。
解：如圖， 即為所求作。
返回
考點5 兩種思想
思想1 方程思想
11.如圖，，，判斷是否平分 ，并
說明理由。
解：平分 。理由如下：
因為 ，
所以可設，則， 。
因為，所以 ,
即 ，解得 。所以 , 。
所以 。
所以，即平分 。
返回
思想2 分類討論思想
12.如圖，直線，交于點，射線 平分
， 。
（1）求 的度數。
解：因為 ，
所以 。
因為平分 ，
所以 .
所以 。
（2）若射線于點，請補全圖形，并求 的度數。
解：①當射線在直線 左側時，如圖①。
因為，所以 ，
所以 。
②當射線在直線 右側時，如圖②。
因為，所以 ，
所以 。
綜上所述， 或 。
返回(共20張PPT)
第二章 相交線與平行線
階段練習（二）（2.1～2.2） 建議用
時：45分鐘
一、選擇題（每題5分，共35分）
1.[2024太原模擬] 如圖，與 是( )
C
（第1題）
A.內錯角 B.同位角 C.同旁內角 D.對頂角
（第2題）
2.[2024南京月考] 如圖，直線，相交于點 ，
若 ，則 ( )
C
A. B. C. D.
3.如圖，不能推出 的條件是( )
C
（第3題）
A. B.
C. D.
4.[2024焦作期中] 如圖，已知與射線上的點 ，小亮用尺規過
點作 的平行線，步驟如下：
①取射線上的點，以點為圓心，長為半徑畫弧，交于點 ；
②以點為圓心，長為半徑畫弧，交于點 ；
③以點為圓心，長為半徑畫弧，在射線 下方交第②步中所畫的
弧于點，直線 即為所求。
小亮作圖的依據是( )
B
（第4題）
A.同位角相等，兩直線平行
B.內錯角相等，兩直線平行
C.同旁內角互補，兩直線平行
D.以上結論都不正確
5.[2024菏澤模擬] 下列說法：
①若與相交，與相交，則與 相交；
②如果，，那么 ；
③過直線外一點有且只有一條直線與這條直線平行；
④在同一平面內，兩條直線的位置關系有平行、相交與垂直。
其中錯誤的說法有( )
B
A.3個 B.2個 C.1個 D.0個
（第6題）
6.[2024咸陽模擬] 如圖，點在直線 上，
，，平分 ，則
的度數為( )
A
A. B. C. D.
（第7題）
7.[2024杭州聯考] 如圖，點 的延長線上，給
出下列條件：
； ；
；； ；
。
A
A.3個 B.4個 C.5個 D.6個
其中，一定能判定 的條件有( )
二、填空題（每題5分，共25分）
8.與互余，與互余， ，那么 _____。
9. 如圖，斑馬線的作用是引導行人安全地通過馬路。小
麗覺得行人沿垂直于馬路的方向走過斑馬線更為合理，這一想法體現的
數學依據是____________。
垂線段最短
10.如圖， ， ，還需添加一個條件：
______________________________________________（只填出一種即
可），可使 。
（或 或）
11.如圖，直線與相交于點， 于點
，平分，若 ，則
______。
[解析] 點撥：因為，所以 ，所以
，又因為 ，所以易得
，又因為平分，所以 ，所以
。
三、解答題（共45分）
12.（8分）[2024漳州期中] 完成下面的過程。
已知：如圖， ， 。
試說明： 。
解：因為 ，
所以____//____（__________________________）。
因為 ，
所以____//____。
所以 （________________________________）。
同旁內角互補，兩直線平行
平行于同一條直線的兩條直線平行
13.（10分）如圖，已知和點 （用直尺和三角板作圖）。
（1）過點畫直線，使，垂足為 ；
解：如圖，直線 即為所求。
（2）過點畫直線，使，交于點 。
解：如圖，直線 即為所求。
14.（12分）[2024武威期末] 如圖，是 上一
點，是上一點，連接，平分 ，
平分 。
（1）試說明： ；
解：因為平分，平分 ，
所以， 。
因為 ，所以
，
即 ，所以 。
（2）若與互余，試說明： 。
解：因為 ，所以 ，
又因為與互余，所以 ，
所以，所以 。
15.（15分）將一副三角板的兩個直角頂點 疊放在一
起（如圖），其中 ， ，
。
（1）若 ，求 的度數；
解：因為 ， ，
所以 ，
所以 。
（2）試猜想與 的數量關系，并說明理由；
解： 。理由如下：因為
，
，所以 。
（3）若按住三角板不動，繞頂點轉動三角板，則當
____________時， 。
或(共23張PPT)
第二章 相交線與平行線
1 兩條直線的位置關系
第2課時 垂直
1.垂直和垂線的區別：垂直和垂線是兩個不同的概念，垂直是兩條直線
的位置關系，是相交的一種特殊情況，特殊在夾角為直角，而垂線是一
條直線。
2.垂線段與點到直線的距離的區別：垂線段是一條線段，而點到直線的
距離是一個數量，是垂線段的長度。
知識點1 垂直的定義
1.如圖，于點，若 ，則 的度數為_____。
（第2題）
2.[2024北京] 如圖，直線和相交于點 ，
，若 ，則 的大小為
( )
B
A. B. C. D.
（第3題）
3.如圖，直線，相交于點 ，下列條件：
； ；
。其中能說明 的有( )
B
A.②③ B.①② C.①③ D.①②③
4.如圖，直線和相交于點，， 是射線，
且，，若 ，求
的度數。
解：因為， ，
所以 。
因為 ，所以 ，
所以 ，
所以。
知識點2 垂線的畫法
5.[2024南京鼓樓區期末] 下列各圖中，過直線外一點用三角板畫 的
垂線 ，操作正確的是( )
D
A. B. C. D.
6.如圖所示。
（1）在圖①中過點畫 的垂線；
解：如圖①所示。
（2）在圖②中過點畫 的垂線；
解：如圖②所示。
（3）在圖③中過點畫 的垂線。
解：如圖③所示。
知識點3 垂線的性質和點到直線的距離
（第7題）
7. 如圖，田地 的旁邊有一條小河
，要想把小河里的水引到田地 處，為了省時省力
需要作，垂足為，沿 挖水溝，則水溝最
短，理由是____________。
垂線段最短
8.如圖，在平面內作已知直線 的垂線，可作垂線的條數有( )
（第8題）
D
A.0條 B.1條 C.2條 D.無數條
9.[2024紹興期中] 下列圖形中，線段的長度表示點到直線 的距離
的是( )
C
A. B. C. D.
（第10題）
10.[2024常德期末] 如圖，直線，， 交于
點，平分，且， ，
則 的度數是( )
A
A. B. C. D.
11. 如圖，已知，，所以與 重合，其理
由是( )
B
（第11題）
A.兩點確定一條直線
B.同一平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線
垂直
C.過已知直線上一點作該直線的垂線只能作一條
D.垂線段最短
12.[2024武漢期末] 如圖，，，相交于點，平分 ，
， 。
（1）線段_____的長度表示點到 的距離；
（2）比較與 的大小:___________
（用“ ”連接），并說明理由：____________；
垂線段最短
（3）求 的度數。
解：因為 ， ，
所以 ，
因為平分，所以 ，所以
。
13.如圖，直線，相交于點， 。
（1）若，試說明： ；
解：因為，所以 ，
即 。
因為 ，
所以 ，即 ，
所以 。
（2）在（1）的條件下，若，求 的度數。
解：因為，所以 。
因為，所以 。
因為 ，所以 ，
所以 。
由（1）知，所以 ，
所以 。
14.如圖，點為直線上一點，為一射線， 平
分，平分 。
（1）若 ，試探究， 的位置關系；
解：因為 ，所以 。
因為平分，平分 ，
所以 ， ，
所以 ，
所以 。
（2）若，（1）中， 的位置關系是否
仍成立？請說明理由。
解：仍成立。理由如下：
因為 ，所以 。
因為平分，平分 ，所以
， ，
所以 ，所以 。(共21張PPT)
第二章 相交線與平行線
專項突破3 平行線中常見的拐點模型
在解決平行線的問題時，如果無法直接得到角的關系或兩條線之間的位
置關系，通常借助輔助線來幫助解答，如何作輔助線需要根據已知條件
確定。輔助線的添加既可以產生新的條件，又能與題目中原有的條件聯
系在一起。
. .
. .
模型歸納
過拐點作其中一條直線的平行線，然后利用平行線的性質求解。
1.單拐點模型
2.多拐點模型
模型一 單拐點模型
類型1
“ ”形圖
1. 如圖，,為,之間的一點，已知 ,
，求 的度數。
[答案] 解法一：過點 作射線
,如圖①所示。
因為， ,所以
， 。
所以 ，
所以 。
所以 。
解法二：過點作射線 ,如圖②所示。
因為，,所以， 。所以
。
因為 ,
所以 。
所以 。
類型2
“ ”形圖
2.小林乘車進入車庫時仔細觀察了車庫門口的“曲臂直
桿道閘”，并抽象出如圖所示的模型，已知 垂直于
水平地面 。當車牌被自動識別后，“曲臂直桿道閘”
C
A. B. C. D.
的段繞點緩慢向上旋轉， 段則一直保持水平狀態上升
（即與始終平行），在該過程中 始終等于( )
類型3
“ ”形圖
3.如圖， , , 。請問：與
平行嗎？請說明理由。
解：
。理由如下：
如圖，過點作 ，
所以 。
因為 ，
所以 。
因為 ，所以 ，
所以。又因為，所以 。
類型4
“ ”形圖
4.如圖，,則,, 有何數量關系？為什么？
解： 。理由如下：
如圖，過點作 ,
所以 。
因為, ,
所以，所以 ，
所以
。
類型5
“ ”形圖
5.如圖，已知， ， ，求 的度數。
解：如圖,過點作 。
因為， ，
所以， 。
所以 。
所以 。
所以 。
模型二 多拐點模型
6.如圖，一環湖公路的 段為東西方向，經過四次拐彎后，又變成了東
西方向的段，求 的度數。
解：如圖，分別過點，作的平行線， ，
由題意知 ，
所以 ，
則 ，
，
，
所以
，
即 。
7.如圖，已知，，試說明 。
解：如圖，作， ，
所以， 。
因為，所以 ，
所以 。
因為 ，
所以 ，
所以 ，
所以 。
8.如圖，一條公路修在湖邊，需拐彎繞道而過，如果第一次向右拐 ，
第二次拐彎形成的拐角 ，第三次拐彎后的道路恰好和第一
次拐彎前的道路平行，那么第三次是如何拐彎的？
解：如圖，過點作，延長到點 。
因為， ，
所以。因為第一次向右拐 ，所以 ，
所以 。
因為 ，
所以 。
又因為，所以 。
所以第三次應向左拐 。(共21張PPT)
第二章 相交線與平行線
3 平行線的性質
第1課時 平行線的性質
1.一定要注意結論（“同位角相等”“內錯角相等”“同旁內角互補”）成立
的前提是“兩直線平行”，否則，結論不成立。
2.平行線的性質是由兩直線之間的位置關系（平行）確定兩角之間的數
量關系（相等或互補）。
知識點1 兩直線平行，同位角相等
（第1題）
1. 如圖，直線， ，
則 的度數是( )
C
A. B. C. D.
2.一副三角板按如圖所示放置，斜邊平行，則 的度數為( )
C
（第2題）
A. B. C. D.
3.如圖，，，點，分別在，上。若 ，
求 的度數。
解：因為, ,所以 。
又因為,所以 。
知識點2 兩直線平行，內錯角相等
4.如圖，，若 ，則 的度數是( )
B
（第4題）
A. B. C. D.
5. 一桿古秤在稱物時的狀態如圖所示，已知
，則 的度數為_____。
（第5題）
6.已知：如圖，。試說明： 。
解：因為，所以 。
因為，所以 ，
所以 。
知識點3 兩直線平行，同旁內角互補
（第7題）
7.[2024青海] 如圖，一個彎曲管道 ，
，則 的度數是( )
C
A. B. C. D.
8.如圖，，，若 ，則 的度數為( )
C
（第8題）
A. B. C. D.
9.[2024上海期末] 如圖，已知 ，
， ， ，
求 的度數。
解：因為， ，所以
， ，所以 。
因為 ， ，
所以 ，
解得，所以 。
（第10題）
10.如圖，直線，直角三角形的頂點在
上，若 ，則 ( )
A
A. B. C. D.
（第11題）
11. 光線在不同介質中的傳播速度是不同的，
因此光線從水中射向空氣時，要發生折射。由于相同介
質的折射率相同，所以在水中平行的光線，在空氣中也
是平行的。如圖， , ，則
( )
C
A. B. C. D.
[解析] 點撥：如圖所示，因為 ，光線在空氣中平行，所以
， 。因為 , ，所以
， 。
所以 。
12.如圖，，點在上，點在 上，如果
， ，那么 的度數是_____。
（第12題）
（第13題）
13.某興趣小組利用幾何圖形畫出螳螂的簡筆畫，
如圖，已知 ， ，
，則____ 。
20
[解析] 點撥：過點作 ，則
。因為 ，所以
，所以 ，所以
，所以 。
14.把一張長方形紙片沿折疊后，點，分別落在點， 的
位置上，與的交點為，如圖所示。若 ，則
_____， ______。
15. 中華文化博大精深，漢字便是其中一
塊瑰寶。漢字中存在很多的“平行美”，如漢字“互”。將漢
字“互”轉化為幾何圖形如圖所示，已知
，，若 ，求
的度數。
解：因為， ，
所以 。
因為，所以 。
因為，所以 。
16.[2024佛山期末] 探究問題：已知，畫一個角 ，使
，，且交于點，與 有怎樣的數量關
系？
（1）我們發現與 有兩種位置關系，如圖①與圖②所示。
①圖①中與 的數量關系為______________________；圖②
中與 的數量關系為_______________；
②由①得出一個結論（用文字敘述）：____________________________
_______________________。
如果兩個角的兩邊互相平行，那么這兩個角相等或互補
（2）應用②中的結論，解決問題：若兩個角的兩邊互相平行，且一個
角比另一個角的2倍少 ，請求出這兩個角的度數。
解：設其中一個角的度數為，則另一個角的度數為 ，由（1）
得 或 ，
解得 或 ，所以 或 ，
所以這兩個角的度數為 ， 或 ， 。

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