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(共26張PPT)
第一章 整式的乘除
1 冪的乘除
第1課時 同底數(shù)冪的乘法
活用同底數(shù)冪的乘法的“五點注意”：1.不要漏掉單獨的數(shù)字或字母的指
數(shù)1;2.將底數(shù)互為相反數(shù)的冪化為同底數(shù)冪時要注意符號的變化；3.不
要把同底數(shù)冪的乘法計算與合并同類項混淆；4.轉(zhuǎn)化過程中要時刻注意
保持冪的底數(shù)相同；5.底數(shù)可以是單項式，也可以是多項式，但指數(shù)必
須是正整數(shù)。
. .
. .
. .
. .
. .
. .
知識點1 同底數(shù)冪的乘法
1.下列各組中的兩個式子是同底數(shù)冪的是( )
C
A.與 B.與
C.與 D.與
2.[2024合肥期中] 計算 的結(jié)果是( )
B
A. B. C. D.
3.[2024北京朝陽區(qū)月考] 計算 ( )
B
A. B. C. D.
4. 迄今為止，神舟號飛船已經(jīng)將多位宇航員送入了中
國空間站，已知中國空間站繞地球運行的速度約為 ，則
中國空間站繞地球運行走過的路程 用科學記數(shù)法可表示為
( )
D
A. B.
C. D.
5.若且，則 的值為_______。
2 024
6.計算：
（1） ；
解：原式 。
（2） ；
解：原式 。
（3） ；
解：原式 。
（4） 。
解：原式 。
知識點2 底數(shù)互為相反數(shù)的冪的乘法
7.化簡 的結(jié)果是( )
D
A. B. C. D.
8.計算 的結(jié)果為( )
A
A. B. C. D.
9.計算：
（1） ；
解： 。
（2） 。
解： 。
知識點3 同底數(shù)冪的乘法法則的逆用
10.若，，則 ( )
D
A. B. C.10 D.24
11.已知，則 的值是( )
C
A.8 B.15 C.40 D.125
12.若,,則 ( )
D
A. B. C. D.
13.[2024北京西城區(qū)期末] 下列四個算式，正確的有( )
； ；
； 。
C
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
14.若，則 的值為( )
C
A.243 B.245 C.729 D.2 187
15. 我們知道，同底數(shù)冪的乘法法則為
（其中，， 為正整數(shù)），類似地，我們規(guī)定關(guān)于任意正整數(shù)
，的一種新運算：；比如 ，則
，若 ，則計
算 的結(jié)果是( )
C
A.2 026 B. C. D.
[解析] 點撥：因為， ，
，
所以
。
16. 已知按一定規(guī)律排列的一列數(shù)：，， ，
，，， ，若，，表示這列數(shù)中的連續(xù)三個數(shù)，猜想 ，
， 滿足的關(guān)系式是_______。
17.[2024太原模擬] 定義一種新運算：若，則 。例如
，則 。
（1）根據(jù)上述規(guī)定，若，則 ___；
3
（2）記，，，求，， 之間的數(shù)量關(guān)系。
解：因為，，，所以， ，
，因為，所以，所以 ，所以
。
18.一列火車將一批長方體大理石運往某地，該批大理石每塊的長為
，寬為，高為 。
（1）求每塊大理石的體積。
解：根據(jù)題意，得
。
答：每塊大理石的體積為 。
（2）如果該列火車總共運送了 塊大理石，每塊大理石約重
，請問這列火車總共運送了約重多少千克的大理石？
（結(jié)果用科學記數(shù)法表示）
解：根據(jù)題意，得
。
答：這列火車總共運送了約重 的大理石。
19. 閱讀下面的材料：
求 的值。
解：設 。①
將等式兩邊同時乘2，得 。②
，得，即 。
所以 。
請你仿照此法計算：
（1） ；
解：設 。①
將等式兩邊同時乘2，得 。
②
,得，即 。
所以 。
（2） （為正整數(shù)）。
解：設。
將等式兩邊同時乘3,得 。②
，得，即 。
所以 。(共22張PPT)
第一章 整式的乘除
3 乘法公式
第3課時 完全平方公式的認識
1.利用完全平方公式化簡求值時常采用整體思想，即把 ，，
分別看成一個整體，利用完全平方公式的變形，整體代換求值。
2.常見的變形公式：;
。
3.公式中的字母,可以是單項式，也可以是多項式。
. .
知識點1 認識完全平方公式
1. 計算 等于( )
D
A. B.
C. D.
2.下列各式中計算正確的是( )
A
A. B.
C. D.
3.[2024南通模擬] 如果多項式是完全平方式，那么常數(shù) 的
值為( )
A
A.1 B. C.4 D.
4.【3題變式】[2024廉江期末] 已知 是一個完全平方
式，則 的值是( )
D
A.8 B. C.16 D.
5.計算：
（1） ；
解： 。
（2） ；
解： 。
（3） ;
解：
。
（4） 。
解： 。
知識點2 用圖形驗證完全平方公式
（第6題）
6.如圖，將四張長為，寬為 的小長方形紙片拼成
一個大正方形，用兩種不同的方法表示這個大正方
形的面積，則可以得出的一個等式為( )
D
A.
B.
C.
D.
（第7題）
7.[2024石家莊期末] 如圖，根據(jù)圖中陰影部分的面
積關(guān)系，得到的數(shù)學公式是( )
C
A.
B.
C.
D.
8.[2024太原期末] 圖①是一個長為、寬為 的長方形，用
剪刀沿圖中虛線剪開，把它分成四個形狀和大小都一樣的小長方形，然
后按圖②形式拼成一個正方形，那么中間陰影部分的面積為( )
C
A. B. C. D.
9.若，則， 的值分別是( )
A
A.， B.， C.， D.，
10.已知，則 的值是( )
C
A.4 B.16 C.14 D.15
11.已知,，則 ___。
4
12.【11題變式】設，，，若 ，
，則 __。
13.如圖，已知長方形金魚池的面積為1平方米，周長為6米，以長方形
金魚池相鄰兩邊為邊向外作兩個正方形的小花園，則這兩個正方形小花
園的面積之和是_________。
7平方米
14. 利用我們學過的知識，可以推導出下面的等式：
。
（1）請你檢驗這個等式的正確性；
解：右邊
左邊。
（2）若,, ，求
的值。
解：當,, 時，原式
。
15. 閱讀材料，解決下面的問題。
若,求 的值。
解：原等式變形為 ,
所以 。
所以,,解得, 。
所以 。
（1）若,求 的值；
解：原等式變形為 ,
所以,,解得, 。
所以 。
（2）若,求 的值；
解：原等式變形為 ,
所以 。
所以,，解得, 。
所以 。
（3）試說明：不論，取什么數(shù)，多項式 的值
總是正數(shù)；
解： 。
因為, ,
所以的最小值為1。所以不論， 取什么數(shù)，多
項式 的值總是正數(shù)。
（4）已知,,是三角形的三邊長，滿足 ，
且三角形的周長是14，求邊長 。
解：因為 ,所以
。所以 。所
以，，解得, 。
又因為三角形 的周長是14，
所以邊長 。(共23張PPT)
第一章 整式的乘除
全章熱門考點整合專訓
本章的主要內(nèi)容有冪的運算、整式的乘除法、乘法公式等，在考試中，
常與數(shù)的運算、式子的化簡、幾何等知識綜合在一起考查，題型有選擇
題、填空題、解答題。在今后的中考中，對本章知識的考查仍將以基礎
題為主。本章熱門考點可概括為兩個運算、兩個公式、一個方法、一個
技巧和三種思想。
考點1 兩個運算
運算1 冪的運算法則及其逆用
1.[2024湖北] 計算 的結(jié)果是( )
D
A. B. C. D.
返回
2.[2024海南] 下列計算中，正確的是( )
C
A. B.
C. D.
返回
3.光速約為，太陽光照射到地球上大約需 ，地球
與太陽的距離大約是( )
B
A. B.
C. D.
返回
4.計算： ___。
9
返回
5.已知,為正整數(shù)，且， ，
（1）求 的值；
解：因為， ，所以
。
（2）求 的值。
解：因為, ,所以
。
返回
運算2 整式的運算
6.計算： ( )
B
A. B. C. D.
返回
7.[2024福州模擬] 下列運算正確的是( )
D
A. B.
C. D.
返回
8. 計算：
（1） ；
解：
。
（2） 。
解：
。
返回
9.先化簡，再求值：，其中 。
解：
。
當時，原式 。
返回
考點2 兩個公式
公式1 平方差公式
10. 計算 的結(jié)果
是( )
C
A. B.0 C. D.
返回
11.先化簡，再求值:，其中 ,
。
解： 。
當，時，原式 。
返回
12.如圖，學校勞動實踐基地有兩塊邊長分別為，
的正方形秧田，，其中不能使用的面積為 。
（1）用含，的代數(shù)式表示 中能使用的面積:
________；
（2）若，，求比 多出的使用面積。
解：中能使用的面積為，則比 多出的使用面積為
。
因為， ，
所以 ，
所以比 多出的使用面積為50。
返回
公式2 完全平方公式
13.[2024太原期末] 已知，則 的值為( )
D
A.6 B. C.12 D.
返回
14.[2024長沙期中] 已知長方形的周長為 ，它的兩條鄰邊長分別為
，，且滿足 ，則該長方形的面積
為( )
D
A. B. C. D.
[解析] 點撥：由題意，得，所以 ，所以
。因為
，
所以，所以 ，所以
，所以
，即該長方形的面積為 。
返回
15.[2024成都期中] 先化簡，再求值：
，其中， 。
解：，當 時，原式
。
返回
考點3 一個方法——科學記數(shù)法
16. 世界最大的單口徑球面射電望遠鏡被譽為“中國天
眼”，在其新發(fā)現(xiàn)的脈沖星中有一顆毫秒脈沖星的自轉(zhuǎn)周期為
秒。數(shù)據(jù) 用科學記數(shù)法可以表示為( )
A
A. B.
C. D.
返回
考點4 一個技巧——巧用乘法公式
17.已知,滿足，，求 的值。
解：因為， ，
，
所以，所以 。
因為，所以，所以 。
所以 。
返回
考點5 三種思想
思想1 整體思想
18.已知，求代數(shù)式 的值。
解：。因為 ,
所以，所以原式 。
返回
思想2 轉(zhuǎn)化思想
19. 已知，則 ___。
4
返回
思想3 方程思想
20.若，則 的值是( )
B
A.3 B.4 C.5 D.6
返回
21.已知，求, 的值。
解： 。因為
,
所以 。
所以,,解得， 。
返回(共21張PPT)
第一章 整式的乘除
3 乘法公式
第4課時 完全平方公式的應用
知識點1 利用完全平方公式進行簡便計算
1.運用完全平方公式計算 的最佳選擇是( )
C
A. B.
C. D.
2.用完全平方公式進行計算：
（1） ；
解：
。
（2） 。
解： 。
知識點2 與完全平方公式有關(guān)的綜合運算
3.[2024大同期末] 下列計算正確的是( )
A
A.
B.
C.
D.
4.[2024武漢期末] 運用乘法公式計算 的結(jié)果
是( )
B
A. B.
C. D.
[解析] 點撥：
。
5.[2024棗莊模擬] 已知代數(shù)式 ，其最小值為___。
1
[解析] 點撥：因為 ，
且，所以，所以 的最小值為1。
6.計算：
（1） ；
解：
。
（2） 。
解：
。
7.[2024北京東城區(qū)期末] 先化簡，再求值：
，其中 。
解： 。
當時，原式 。
8.[2024杭州期末] 已知， ，求下列代數(shù)式的值：
（1） ；
解：因為， ，
所以 。
（2） 。
解：因為， ，
所以 。
9. 等于( )
C
A. B. C. D.
10.[2024北京西城區(qū)期中] 已知，，則與 的
大小關(guān)系是( )
A
A. B. C. D.
11.如果，，那么 ____。
79
12. 簡便計算： 。
解：
。
13.有這樣一道題：“化簡求值： ，
其中。”小浩同學在解題時錯誤地把“ ”抄成了“
”，但計算的結(jié)果也是正確的，你能解釋一下這是怎么回事嗎？
解：原式 。
因為結(jié)果中不含字母 ，
所以小浩同學在解題時錯誤地把“”抄成了“ ”，但
計算的結(jié)果也是正確的。
14. 閱讀理解：若滿足 ，求
的值。
解：設，，則 ，
，
所以 。
這種方法叫作換元法，利用換元法達到簡化的目的，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想。
請仿照上例解決下面的問題：
（1）若滿足，求 的值；
解：設， ，
則 ，
，
所以 。
（2）若滿足，求代數(shù)式 的值；
解：設， ，
則， ，
因為 ,
所以 。
（3）如圖，已知正方形的邊長為，，分別是， 上的點，
且，，長方形的面積是48，分別以， 為邊
作正方形和正方形 ，求陰影部分的面積。
解：因為正方形的邊長為，， ，
所以易得， ，
所以 ，陰影部分的面積
。
設，，則 ，
，
所以 ,
所以 （負值已舍去），
所以 ，
即陰影部分的面積是28。(共11張PPT)
第一章 整式的乘除
3 乘法公式
第1課時 平方差公式的認識
1.平方差公式的特征：左邊是兩個二項式相乘，并且這兩個二項式有一
項完全相同，另一項互為相反數(shù)；右邊是左邊的相同項的平方減去互為
相反數(shù)的項的平方。
2.公式中的字母,可以是單項式，也可以是
多項式。
3.平方差公式可以逆用，即。
4.平方是要對整體平方，不但字母要平方，系數(shù)也必須平方。
. .
. .
. .
. .
. .
. .
知識點 認識平方差公式
1.計算： ( )
C
A. B. C. D.
2.[2024上海寶山期中] 下列多項式乘多項式能用平方差公式計算的是
( )
C
A. B.
C. D.
3.下列計算正確的是( )
D
A. B.
C. D.
4.計算：
（1） ；
解：原式 。
（2） ；
解：原式 。
（3） 。
解：原式
。
5.[2024杭州期末] 等于( )
B
A. B.
C. D.
6.如果，那么 的值為( )
C
A.4 B. C.2 D.
7.[2024梅州模擬] 若 ，則
等于( )
B
A. B. C.6 D.8
8. 定義：如果一個正整數(shù)能表示為兩個正整數(shù)， 的平
方差，且 ，則稱這個正整數(shù)為“智慧優(yōu)數(shù)”。例如，
，16就是一個“智慧優(yōu)數(shù)”，可以利用
進行研究。若將“智慧優(yōu)數(shù)”從小到大排列，
則第3個“智慧優(yōu)數(shù)”是____。
15
9.（1）已知，，，求 的值；
解：因為，， ，
所以 ，
所以 。
（2）已知，求代數(shù)式 的值。
解：原式 。
因為，所以 ，
所以原式 。(共21張PPT)
第一章 整式的乘除
4 整式的除法
運用單項式除以單項式的法則的“三點注意”：1.單項式的系數(shù)包括它前
面的符號；2.被除式單獨含有的字母及其指數(shù)要作為商的一個因式，不
要遺漏；3.運算順序：先系數(shù)，后字母；先同底，后單獨，要記牢。
運用多項式除以單項式的法則的“兩點注意”：1.先確定商的每一項的符
號，它是由多項式的每一項的符號與單項式的符號決定的;2.相除的過程
中不要漏項，多項式除以單項式的結(jié)果仍然是一個多項式。
. .
. .
. .
. .
. .
知識點1 單項式除以單項式
1.[2024北京東城區(qū)期末] 計算 的結(jié)果是( )
C
A. B. C. D.
2.[2024杭州模擬] 計算 的結(jié)果是( )
D
A. B. C. D.
3. 若定義 表示， 表示 ，
則 的結(jié)果為( )
A
A. B. C. D.
4.若，則___, ___。
4
3
5.計算:
（1） ；
解：原式 。
（2） ；
解：原式 。
（3） 。
解：原式 。
知識點2 多項式除以單項式
6.計算 的結(jié)果是( )
A
A. B. C. D.
7.下列計算正確的是( )
C
A.
B.
C.
D.
8.一個長方形的面積是，一邊長為 ,則與其相鄰的另
一邊長為( )
B
A. B.
C. D.
9.計算：
（1） ；
解： 。
（2） 。
解：
。
10. 如果，那么 內(nèi)應填入的代
數(shù)式是( )
B
A. B. C. D.
11.[2024棗莊期中] 任意給定一個非零數(shù)，按如圖所示的程序計算，最
后輸出的結(jié)果是( )
C
A. B. C. D.
12.[2024寧波期中] 下列計算錯誤的是( )
D
A.
B.
C.
D.
13.如果在計算 時，把括號內(nèi)的減號不小心抄成
加號，那么正確結(jié)果和錯誤結(jié)果的乘積是____________。
14.李老師給學生出了一道題：當, 時，求
的值.題目出完后，小明說：“老
師給的條件 是多余的。”小穎說：“不給這個條件，就不能求
出結(jié)果，所以不是多余的。”你認為他們誰的說法有道理？為什么？
解：小明的說法有道理。理由：
，
顯然化簡結(jié)果中不含，所以最后的結(jié)果與 的值無關(guān)，所以小明的說法
有道理。
15. 【閱讀材料】多項式除以多項式，可用豎式進行演
算，步驟如下：
①把被除式、除式按某個字母作降冪排列，并把所缺的項用零補齊
（或留出空白）；
②用被除式的第一項除以除式的第一項，得到商式的第一項，寫在被除
式的同次冪上方；
③用商式的第一項去乘除式，把積寫在被除式下面（同類項對齊），從
被除式中減去這個積；
④把減得的差當作新的被除式，再按照上面的方法繼續(xù)演算，直到余式
為零或余式的次數(shù)低于除式的次數(shù)時為止，被除式除式×商式 余式，
若余式為零，則說明被除式能被除式整除。
例如：計算除以
的商式和余式，可以用豎式演算，如圖。
所以除以 的商式
為，余式為 。
（1）計算 的商式為______________，
余式為_____；
（2）若能被整除，求， 的值。
解：由題意得，如圖，
因為能被 整除，
所以， ，
所以， 。(共19張PPT)
第一章 整式的乘除
3 乘法公式
第2課時 平方差公式的應用
知識點1 利用圖形驗證平方差公式
1.[2024安慶期末] 如圖①，從邊長為的大正方形中剪去一個邊長為 的
小正方形，再將陰影部分沿虛線剪開，將其拼接成如圖②所示的長方形，
則根據(jù)兩個圖中的陰影部分的面積相等可以驗證的數(shù)學公式為( )
B
A.
B.
C.
D.
2.[2024達州期末] 如圖①，從邊長為的大正方形中剪去一個邊長為 的
小正方形，然后把剩下的部分沿虛線剪開，將其拼成如圖②所示的梯形，
通過計算圖①、圖②中陰影部分的面積，可以得到的代數(shù)恒等式為
________________________。
3.[2024白城期末] 如圖①，陰影部分是邊長為 的大正方形剪去一個邊
長為 的小正方形后得到的圖形。若將陰影部分通過分割、拼接，形成
新的圖形②。則能夠正確表示該圖形面積關(guān)系的等式是______________
____________。
知識點2 利用平方差公式進行簡便運算
4.運用平方差公式計算：
（________）（_____ ___）
___
________。
200
5
200
5
5
39 975
5.[2024南陽期中] 計算 的結(jié)果為( )
A
A.1 B. C.2 D.
[解析] 點撥：
。
6.計算：
（1） ；
解：原式
。
（2） 。
解：原式
。
知識點3 平方差公式的運用
7. 現(xiàn)定義一種新運算“”：對任意有理數(shù)， ，都
有，則 ( )
B
A. B.
C. D.
8.[2024鄭州期末] 已知，則 的值為( )
A
A.4 B.5 C.6 D.7
9.先化簡，再求值：
（1）,其中 ；
解： 。
當時，原式 。
（2），其中， 。
解： 。
當,時，原式 。
10.有三個連續(xù)的整數(shù)，若設中間的數(shù)是 ，則這三個整數(shù)的積是( )
D
A. B. C. D.
11.若，則 ( )
B
A.12 B.10 C.8 D.6
[解析] 點撥：原等式變形得
。
12.[2024濟寧期末] 計算：
___________。
1 236 321
[解析] 點撥：
。
13.計算：
（1） ;
解：原式 。
（2） 。
解：原式
。
14.試說明：的值與 的取
值無關(guān)。
解：原式，所以原式的值與 的取值無關(guān)。
15.[2024臺州模擬] 如圖，大正方形與小正方形的面積之差是40，求陰
影部分的面積。
解：設大正方形的邊長為，小正方形的邊長為 ，
則， ，
因為大正方形與小正方形的面積之差是40，
所以。根據(jù)題圖可得 ，
所以 ，
，所以陰影部分的面積 。
16. 觀察下列等式：
第1個： ;
第2個： ;
第3個： ;
…
（1）這些等式反映出多項式乘法的某種運算規(guī)律，請利用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)
律猜想并填空：若 為大于1的整數(shù)，則
________；
（2）利用（1）的猜想計算：
（ 為大于1的整數(shù)）；
解： 。
（3）計算：（ 為大于1的
整數(shù)）。
解： 。(共18張PPT)
第一章 整式的乘除
專項突破2 乘法公式的應用
類型1 利用乘法公式進行簡便計算
1.用簡便方法計算：
（1） ；
解：原式 。
（2） ；
解：原式 。
（3） ；
解：原式 。
（4） 。
解：原式 。
2.計算： 。
解：設 ,則原式
。
類型2 乘法公式的變形技巧
變形公式
1.的變形：
（1）；
（2）；
（3）。
2. 的變形：
（1） ；
（2） ；
（3） 。
3. 的變形：
（1） ；
（2） 。
3.若，，則 ( )
D
A.9 B.5 C.4 D.7
4.已知，，那么 的值為( )
D
A.13 B.7 C.6 D.
5.若，，則 ___。
1
6.如果，,求 的值。
解：因為，所以 ，
又因為，所以 。
7.已知，求 的值。
解：因為，所以，所以 ，
所以，所以 ，
所以 。
8. 將完全平方公式 進行適當
的變形，可以解決很多的數(shù)學問題。
例：若，，求 的值。
解：因為， ，
所以， 。
所以 。
根據(jù)上面的解題思路與方法，解決下列問題。
（1）已知，，求和 的值；
解：因為， ，
所以 ，
。
（2）若，，求 的值。
解：因為 ，
所以 。
類型3 利用乘法公式解決問題
9.[2024邯鄲期末] 珍珍用2張型卡片、2張型卡片和1張 型卡片拼成
了如圖所示的大長方形，其中型卡片是邊長為的正方形， 型卡片是
長方形，型卡片是邊長為 的正方形。
（1）請用含，的代數(shù)式分別表示出 型卡片的長和寬；
解：由題圖得型卡片的長為，寬為 。
（2）請用含， 的代數(shù)式表示出拼成的這個大長方形的面積，進行化
簡；并求當， 時該大長方形的面積。
解：所拼成的大長方形的面積為
，
當， 時，
，即該大長方形
的面積為91。
10.【發(fā)現(xiàn)】任意五個連續(xù)整數(shù)的平方和是5的倍數(shù)。
【驗證】
（1） 的結(jié)果是5的幾倍？
解：, ，
所以 的結(jié)果是5的3倍。
（2）設五個連續(xù)整數(shù)的中間的數(shù)為 ，寫出它們的平方和，并說明是5
的倍數(shù)。
解：由題意知其余的四個整數(shù)分別是,，, ，
則它們的平方和為
。
因為是整數(shù)，所以 是整數(shù)。
所以五個連續(xù)整數(shù)的平方和是5的倍數(shù)。
【延伸】 任意三個連續(xù)整數(shù)的平方和被3除的余數(shù)是幾呢？請寫出理由。
解：任意三個連續(xù)整數(shù)的平方和被3除的余數(shù)是2。
理由：設三個連續(xù)整數(shù)的中間的數(shù)為 ，則其余的兩個整數(shù)分別是
，，它們的平方和為 。
因為是整數(shù)，所以 是整數(shù)。
所以任意三個連續(xù)整數(shù)的平方和被3除的余數(shù)是2。(共17張PPT)
第一章 整式的乘除
階段練習（一）（1.1~1.2） 建議用
時：45分鐘
一、選擇題（每題5分，共35分）
1.計算 的結(jié)果是( )
C
A. B. C. D.
2.[2024云南] 下列計算正確的是( )
D
A. B.
C. D.
3. 細胞是一切生物體結(jié)構(gòu)和功能的基本單位，細胞的結(jié)構(gòu)主
要有細胞膜、細胞質(zhì)和細胞核三個部分。在電子顯微鏡下觀察細胞，可
以區(qū)分為膜相結(jié)構(gòu)和非膜相結(jié)構(gòu)。細胞膜是細胞表面的一層薄膜，它的
厚度大約是7.5納米（即 米）。用科學記數(shù)法表示
應寫成( )
D
A. B.
C. D.
4.[2024北京西城區(qū)期中] 數(shù)學課上，老師講了單項式乘多項式，放學回
到家，小明拿出課堂筆記復習，發(fā)現(xiàn)一道題：
， 的地方被鋼筆水弄污了，
你認為 內(nèi)應填寫( )
A
A. B. C. D.1
5.若關(guān)于的積的一次項系數(shù)為15，則 的值為( )
C
A.2 B. C. D.
6.[2024邯鄲期末] 如圖，在長，寬 的長方形空地上規(guī)劃一塊長
方形花園（圖中陰影部分），花園的北面和東、西兩面都留有寬度為
的小路（圖中空白部分），則花園的面積為( )
D
A. B.
C. D.
7.已知，，則 ( )
D
A. B. C. D.
[解析] 點撥：易知 ，所以
。
二、填空題（每題5分，共25分）
8.計算_ __；用小數(shù)表示 __________。
9.已知，，則 ____。
28
10.[2024益陽期中] 已知關(guān)于的積 ，若結(jié)果中
不含有的一次項，則 的值為____。
11. 我們定義：三角形 ，五角
星 ，若 ，則
____。
32
12.[2024青島模擬] 若，則 __________。
0或2或
三、解答題（共40分）
13.（12分）計算：
（1） ；
解：原式 。
（2） ;
解：原式 。
（3） ；
解：原式 。
（4） 。
解：原式 。
14.（8分）[2024重慶月考] 先化簡，再求值：
，其中， 。
解：
，
當， 時，
原式 。
15.（10分）已知：，， 。
（1）求 的值；
解：因為，所以 。
（2）求 的值；
解：因為，， ，
所以 。
（3）直接寫出字母，， 之間的數(shù)量關(guān)系。
解： 。
[解析] 點撥：因為 ，
所以，所以 。
16.（10分）一個底面是正方形的長方體，高為 ，底面正方形的邊
長為，如果它的高不變，底面正方形的邊長增加了 ，那么它
的體積增加了多少？
解：根據(jù)題目信息可知，長方體的體積增加了
。(共18張PPT)
第一章 整式的乘除
專項突破1 冪的運算的應用
冪的運算是各種考試及中考必考的內(nèi)容，既可單獨命題，也常滲透在其
他知識中綜合考查，其類型既有直接運用法則計算，又有逆用法則計算，
也有利用法則求字母的值、比較冪的大小、解決整除問題等。
. .
類型1 直接利用冪的運算法則進行運算
1.[2024宿遷] 下列運算正確的是( )
B
A. B. C. D.
2.下列與 的計算結(jié)果相等的是( )
B
A. B.
C. D.
3.計算：
（1） ;
解： 。
（2） 。
。
4.已知 。
（1）求 的值；
解：因為，即 ，
所以,解得 。
（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，求 的值。
。
因為,所以原式 。
類型2 逆用冪的運算法則進行計算
5.用簡便方法計算下列各題：
（1） ;
解： 。
（2） 。
。
6.已知， ，求：
（1） 的值；
解：因為，，所以 。
（2） 的值。
因為， ，
所以 。
7.已知，求 的值。
解：因為 ,
所以原式 。
類型3 零指數(shù)冪與負整數(shù)指數(shù)冪的應用
8.[2024長春期末] 計算： ___。
5
9.已知，，，則，， 的大小關(guān)
系為__________。
點撥：因為， ，
，，所以 。
類型4 利用冪的運算法則進行大小比較
10.已知,,,則,, 的大小關(guān)系是( )
C
A. B.
C. D.
點撥：因為,, ,且
，所以 。
11.,, 的大小關(guān)系是( )
A
A. B.
C. D.
點撥：因為,,, ,
,,且，所以 。
類型5 冪的運算法則在實際生活中的應用
12.某養(yǎng)雞場需定制一批棱長為 的正方體的包裝箱
（包裝箱的厚度忽略不計）用來裝雞蛋，求一個這樣的包裝箱的體積
（結(jié)果用科學記數(shù)法表示）。
解： 。
答：一個這樣的包裝箱的體積是 。
類型6 利用冪的運算法則解決整除問題
13. 能被5整除嗎？為什么？
解：能。理由如下：
。
因為能被5整除,所以 能被5整除。
類型7 利用冪的運算法則解新定義問題
14. 規(guī)定兩個非零數(shù)， 之間的一種新運算：如果
，那么 。
例如：因為，所以 ；
因為，所以 。
（1）根據(jù)上述規(guī)定填空：___， ____；
4
（2）請說明等式 成立。
解：設，，則， ，
所以，所以 ，
因為，所以 。
類型8 利用冪的運算法則解決探究性問題
15. 探究：
;
;
；…
（1）仔細觀察上述等式，請寫出第4個等式；
解：第4個等式為 。
（2）請你找出規(guī)律，寫出第（ 為正整數(shù)）個等式；
第個等式為（ 為正整數(shù)）。
（3）計算： 。
解：原式
。(共22張PPT)
第一章 整式的乘除
2 整式的乘法
第2課時 單（多）項式與多項式相乘
單項式與多項式相乘的“三點注意”：1.活用乘法分配律，將積的問題轉(zhuǎn)
化為和的問題，切勿漏乘常數(shù)項;2.確定積的每一項的符號時，既要看單
項式的符號，又要看多項式每一項的符號;3.單項式（0除外）與多項式
相乘，積仍是多項式，且積的項數(shù)與多項式的項數(shù)相同。
多項式與多項式相乘的兩個方法：
1.箭頭標注法：為防止漏乘某項，可以采用箭頭標注一項一項乘；2.整
體相乘法：把其中一個多項式看成一個整體，將其轉(zhuǎn)化為單項式乘多項
式，然后再進一步轉(zhuǎn)化為單項式乘單項式。
. .
. .
. .
知識點1 單項式與多項式相乘
1.填空： _________ ______
_ ______________。
2.[2024鹽城期中] 李老師做了一個長方形教具，其中一邊長為 ，
另一邊長為 ，則該長方形的面積為( )
D
A. B. C. D.
3.下列計算正確的是( )
D
A.
B.
C.
D.
4.計算：
（1） _________；
（2） _______________；
（3） ____________________。
5. 如圖，大正方形的邊長為，小正方形的邊長為 。
（1）用含， 的式子表示陰影部分的面積：_ __________。
（2）若 ，則陰影部分的面積為_ __。
知識點2 多項式與多項式相乘
6.填空： ___ ___
_____________。
1
1
7.下列各式的結(jié)果為 的是( )
B
A. B.
C. D.
8.若，則， 的值分別是( )
B
A.， B.1， C. ，12 D.1，12
9.[2024合肥期末] 已知，，則 的值
為( )
A
A. B. C.1 D.2
10. 計算：
（1） ;
解：原式 。
（2） ;
解：原式 。
（3） ;
解：原式
。
（4） 。
解：原式 。
11.與 的關(guān)系是( )
A
A.相等 B.前式是后式的 倍
C.互為相反數(shù) D.前式是后式的 倍
[解析] 點撥： ，
，所以
。
12.從前，一位莊園主把一塊長為米，寬為米 的長方形
土地租給租戶張老漢，第二年，他對張老漢說：“我把這塊地的長增加
10米，寬減少10米，繼續(xù)租給你，租金不變，你看如何？”如果這樣，
你覺得張老漢的租地面積( )
A
A.變小了 B.變大了 C.沒有變化 D.無法確定
[解析] 點撥：由題意可知原租地面積為 平方米，第二年按照莊園主
的說法，租地面積變?yōu)?br/>平方米，因為，所以 ，所以租地面積
變小了。
13. 規(guī)定一種新的運算： ，那么
_______。
14.[2024廈門期中] 化簡求值： ，其中
。
解：。因為，所以 ，所以原式
。
15.在一次測試中，甲同學計算一道整式乘法題目： ，
由于抄錯了第一個多項式中的符號，得到的結(jié)果為 。
（1）試求出式子中 的值；
解：由題意得，甲所計算的式子為 ,
所以，所以,所以 。
（2）請你計算出這道題的正確結(jié)果。
解：由（1）得
16.（1）當，為何值時， 的展開式中
不含項和 項
解：原式
。
因為展開式中不含項和項，所以且 ，解
得， 。
（2）[2024吉安校考] 已知 的展開式中不
含項和項，求， 的值。
解：原式
。
因為展開式中不含項和 項，
所以且，解得， 。
17. 你能化簡
嗎？我們不妨先從簡單情況
入手，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，歸納結(jié)論。
【探究發(fā)現(xiàn)】 填空：
_______；
_______；
_______；…
由此猜想： _________。
【拓展應用】利用這個結(jié)論，你能解決下面兩個問題嗎？
（1）求 的值；
解：因為 ，
且 ，
所以 。
（2）若，求 的值。
解：因為 ，
所以 ，所
以，所以 。(共12張PPT)
第一章 整式的乘除
2 整式的乘法
第1課時 單項式與單項式相乘
單項式乘單項式的“三點注意”：1.利用乘法交換律、乘法結(jié)合律轉(zhuǎn)化為
數(shù)與數(shù)相乘、同底數(shù)冪相乘的形式，單獨一個字母照抄;2.不論幾個單項
式相乘，都可以用法則計算;3.單項式乘單項式的結(jié)果仍是單項式。
. .
. .
知識點1 單項式與單項式相乘
1.填空： 。
5
3
2.[2024運城期中] 下列計算中，正確的是( )
A
A. B.
C. D.
3.如果單項式與 之和仍是單項式，那么這兩個單項
式的積為( )
A
A. B. C. D.
4.計算：
（1） ；
解：原式 。
（2） ；
原式 。
（3） 。
原式 。
知識點2 單項式乘單項式的實際應用
5.一個三角形的底邊長為，底邊上的高的長為 ，則它的面積為
____。
6.某同學家的住房結(jié)構(gòu)如圖所示，他家打算把臥室和客廳鋪上地板，請
你幫他算一算，至少需要地板的面積是______。
7.已知單項式與的積為，那么 ( )
A
A. B.5 C.1 D.
8.閱讀下列運算過程，回答問題。
①
②
。 ③
（1）上述解答過程有錯誤，從第____步開始錯誤，原因是___________
___________________；
①
弄錯乘方運算和乘法運算的順序
（2）請寫出正確的運算過程。
解：正確的運算過程如下:
。
9.[2024壽光期中] 先化簡，再求值:
，其中 ，
， 。
解：
。
當，， 時，原式
。(共15張PPT)
第一章 整式的乘除
1 冪的乘除
第3課時 積的乘方
1.在進行積的乘方運算時，應把底數(shù)（積）的每個因式分別乘方，不要
漏掉任何一項；當?shù)讛?shù)含有“-”時，應將它看成，作為一個因式，不
要漏乘。
2.積的乘方法則對于三個及三個以上的因式的積的乘方也一樣適用，即
（為正整數(shù)），但是要防止出現(xiàn)
這樣的錯誤。
. .
. .
. .
. .
. .
. .
知識點1 積的乘方
1.[2024武漢模擬] 計算 的結(jié)果是( )
B
A. B. C. D.
2.[2024大連期中] 下列各式計算正確的是( )
A
A. B.
C. D.
3.某廣場為正方形廣場，其邊長為 ，該廣場的面積用科學記
數(shù)法表示為( )
D
A. B.
C. D.
4.計算：
（1） ；
解： 。
（2） ；
解： 。
（3） ；
解： 。
（4） 。
解： 。
知識點2 積的乘方的逆用
5.填空：（________） ____。
4
6.[2024徐州模擬] 計算： ____。
7.若，則 的值為_____。
8.[2024太原模擬] 計算 的正確結(jié)果是( )
B
A. B.
C. D.
9.下列命題中正確的有( )
①當為奇數(shù)時，一定有等式 ；
②無論為何值，等式 都成立；
③三個等式， 都成立；
④若，則 。
B
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
10.已知，則 的值為( )
B
A. B.1 C. D.
11. 若（且,, 是正整數(shù)），則
，你能利用上面的結(jié)論解決下面的問題嗎？試試看，相信你一定行！
（1）如果，求 的值；
解：因為 ，所以
，解得 。
（2）已知，判斷和 的大小；
解：因為，所以，即 ；
因為，所以，即 ，
所以 ，
又因為 ,
所以,所以 。
（3）已知，，用含，的式子表示： ______。(共17張PPT)
第一章 整式的乘除
1 冪的乘除
第2課時 冪的乘方
不要把冪的乘方與同底數(shù)冪的乘法混淆，其相同點都是底數(shù)不變；不同
點是同底數(shù)冪的乘法轉(zhuǎn)化為指數(shù)的加法運算，而冪的乘方轉(zhuǎn)化為指數(shù)的
乘法運算。
. .
. .
知識點1 冪的乘方
1.若為正整數(shù)，則 表示的意義為( )
D
A.5個相加 B.2個 相加
C.7個相乘 D.5個 相乘
2.[2024重慶期末] 計算 的結(jié)果是( )
A
A. B. C. D.
3.[2024眉山改編] 下列運算中正確的是( )
B
A. B. C. D.
4. 計算：
（1） ______;
（2） ______；
（3） __________。
5.在學校舉辦的手工制作大賽中，李佳做了一個足球模型。若它的半徑
是,則它的體積約為________球的體積公式為， 取
。
知識點2 冪的乘方的逆用
6.填空： 。
[答案] 4; 3; 6; 2
7.下列變形錯誤的是( )
C
A. B.
C. D.
8.已知,,則 的結(jié)果為( )
D
A.1 B.6 C.7 D.12
9.[2024河南] 計算 的結(jié)果是( )
D
A. B. C. D.
10.已知,,其中,為正整數(shù)，則 ( )
C
A. B. C. D.
11.[2024宣城期末] 已知，，，則，， 的
大小關(guān)系是( )
A
A. B.
C. D.
[解析] 點撥：因為 ，
，
， ，
所以，即 。
12.比較，， 的大小，正確的是( )
B
A. B.
C. D.
13.[2024成都期末] 已知，則 的值是____。
81
14.已知,,,那么,, 滿足的等量關(guān)系是_____________。
[解析] 點撥：因為,, ,
所以，即，所以 ，
所以 。
15.計算：
（1） ；
解：原式 。
（2） ;
解：原式 。
（3） 。
解：原式(共25張PPT)
第一章 整式的乘除
1 冪的乘除
第4課時 同底數(shù)冪的除法
1.同底數(shù)冪相除，底數(shù)可以是單項式，也可以是多項式。
2.對于三個及以上的同底數(shù)冪相除，法則仍然成立.
底數(shù)為正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)；
（2）底數(shù)為負數(shù)的奇次冪是負數(shù)，偶次冪是正數(shù)。
4.如果運算結(jié)果中含有負整數(shù)指數(shù)冪，一般要化為正整數(shù)指數(shù)冪。
. .
. .
. .
. .
5.用科學記數(shù)法表示數(shù)：（1）當時， ,其中
,的取值為 的整數(shù)位數(shù)減1；
（2）當時,,其中,的取值為 中
第一個非零數(shù)字前0的個數(shù)。
6.利用科學記數(shù)法表示實際生活中的數(shù)時，注意不能漏掉單位。
. .
. .
. .
. .
. .
知識點1 同底數(shù)冪的除法
1.[2024太原模擬] ( )
B
A. B. C. D.
2.[2024浙江改編] 下列式子運算正確的是( )
D
A. B.
C. D.
3. 計算：
（1） ____；
（2） _____；
（3） ______；
（4） ____；
（5） _________。
知識點2 同底數(shù)冪的除法法則的逆用
4.若，且，，則 的值為( )
D
A. B.1 C. D.
5.[2024臨沂期中] 若，，則 的值為( )
B
A. B. C. D.
知識點3 零指數(shù)冪與負整數(shù)指數(shù)冪
6.若，則 的取值范圍是( )
C
A. B. C. D.
7.[2024雅安] 計算 的結(jié)果是( )
C
A. B.0 C.1 D.4
8.[2024重慶（A卷）] 計算： ___。
3
9.比較大小：___（填“ ”“”或“ ”）。
知識點4 用科學記數(shù)法表示絕對值小于1的數(shù)
10.[2024大慶] 人體內(nèi)一種細胞的直徑約為1.56微米，相當于
米，數(shù)字 用科學記數(shù)法表示為( )
C
A. B.
C. D.
11.用科學記數(shù)法表示的數(shù)是 ，則原來的數(shù)是( )
C
A. B.6 120 C. D.612 000
12. 劉禹錫有詩曰：“庭前芍藥妖無格，池上芙蕖凈少情。唯
有牡丹真國色，花開時節(jié)動京城。”紫斑牡丹為國家重點一級保護野生
植物，在顯微鏡下可見其花粉粒呈圓形或橢圓形，直徑為
，其中。將“ ”換算成用米作單位
且用科學記數(shù)法表示為( )
C
A. B.
C. D.
13.[2024新鄉(xiāng)期中] 下列四個算式：
； ；
； 。
其中計算不正確的是( )
B
A.①② B.①③ C.②④ D.②③
14.若，則 等于( )
A
A. B. C. D.
點撥：因為,所以 。
所以（正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)，故 舍去）。
所以 。
15. 定義一種新運算：如果 ，那么
,則 的值是( )
B
A. B.5 C. D.
16.已知的氫氣的質(zhì)量用科學記數(shù)法表示約為 ，一塊橡
皮的質(zhì)量約為。一塊橡皮的質(zhì)量是 的氫氣質(zhì)量的________倍。
17.若，滿足，則 ____。
16
18.若，，則 的值是_ ___。
19.計算：
（1） ；
解：原式 。
（2） 。
原式 。
20. 掌握地震知識，提升防震意識。根據(jù)里氏震級的定
義，地震所釋放出的能量與震級的關(guān)系為
（其中 為大于0的常數(shù)），那么震級為8級的地震所釋放的能量是震級
為6級的地震所釋放能量的多少倍？
解：根據(jù)題意得震級為8級的地震所釋放的能量為
，
震級為6級的地震所釋放的能量為 ，
因為 ，所以震級為8級的地震所釋放的能量是震級
為6級的地震所釋放能量的1 000倍。
21.[2024泉州期中] 本學期我們學習了“同底數(shù)冪除法”的運算，運算法
則如下：當時，，當時， ，
當時， 。
根據(jù)“同底數(shù)冪除法”的運算法則，回答下列問題：
（1）填空：__， ___；
（2）如果，求出 的值；
解：因為，所以 ，所以
，解得 。
（3）如果，請直接寫出 的值。
解：或或 。
點撥：由，可得 。
當且時，；當時， ；當
且為偶數(shù)時，。所以或或 。

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