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(共17張PPT)
第六章 變量之間的關(guān)系
4 用圖象表示變量之間的關(guān)系
第2課時(shí) 用折線型圖象表示變量之間
的關(guān)系
根據(jù)圖象讀取信息時(shí)要把握的“三個(gè)方面”：1.讀懂橫軸和縱軸的意義；
2.對(duì)于某個(gè)具體的點(diǎn)，可分別向橫軸、縱軸作垂線，從而求得自變量與
因變量具體的值； 3.在實(shí)際問(wèn)題中要注意圖象與橫軸、縱軸的交點(diǎn)表
示的實(shí)際意義。
知識(shí)點(diǎn) 用圖象表示變量之間的關(guān)系
類型1 用折線型圖象表示兩個(gè)變量間的關(guān)系
（第1題）
1.[2024秦皇島模擬] 如圖，汽車勻速通過(guò)隧道時(shí)，汽車
在隧道內(nèi)的長(zhǎng)度與汽車進(jìn)入隧道的時(shí)間 之間的關(guān)系用
圖象描述大致是( )
A
A. B. C. D.
（第2題）
2.[2024武漢] 如圖，一個(gè)圓柱體水槽底部疊放兩個(gè)底面半徑
不等的實(shí)心圓柱體，向水槽勻速注水。下列圖象能大致反
映水槽中水的深度與注水時(shí)間 的函數(shù)關(guān)系的是( )
D
A. B. C. D.
類型2 從折線型圖象中獲取兩個(gè)變量間關(guān)系的信息
3.小方一家去參觀某國(guó)際博覽會(huì)，上午9：00開(kāi)車前往會(huì)展中心參觀。
途中汽車發(fā)生故障，原地修車花了一段時(shí)間。車修好后，他們繼續(xù)開(kāi)車
趕往會(huì)展中心。以下是他們家出發(fā)后離家的距離 與時(shí)間的關(guān)系圖象。
分析圖中信息，下列說(shuō)法正確的是( )
D
（第3題）
A.途中修車花了
B.修車之前的平均速度是
C.車修好后的平均速度是
D.車修好后的平均速度是修車之前的平均速度的1.5倍
（第4題）
4.“龜兔賽跑”的故事同學(xué)們都很熟悉，如圖是烏
龜與兔子第一次比賽所跑的路程與時(shí)間 的關(guān)系。
下列說(shuō)法：①兔子在中間睡了 ；②烏龜
在第 時(shí)追上了兔子；③兔子睡醒后跑得
更快了，速度提升了 ；④當(dāng)烏龜?shù)竭_(dá)
B
A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④
終點(diǎn)時(shí)，兔子距離終點(diǎn)還有 。其中正確的是( )
5.如圖是一種軌道示意圖，中間是一個(gè)圓， 為直徑，
點(diǎn)，，，依次在同一直線上，且 。現(xiàn)有
兩個(gè)機(jī)器人（看成點(diǎn)）分別從， 兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，沿著
D
A. B. C. D.
軌道以大小相同的速度勻速移動(dòng)，其路線分別為
和。若移動(dòng)時(shí)間為，兩個(gè)機(jī)器人之間的距離為 ，
則與 關(guān)系的圖象大致是( )
6.[2024資陽(yáng)] 小王前往距家2 000米的公司參
會(huì)，先以 （米/分）的速度步行一段時(shí)間后，
再改騎共享單車直達(dá)會(huì)議地點(diǎn)，到達(dá)時(shí)距會(huì)
議開(kāi)始還有14分鐘，小王距家的路程
（單位：米）與距家的時(shí)間 （單位：分鐘）
5
之間的函數(shù)圖象如圖所示。若小王全程以 （米/分）的速度步行，則
他到達(dá)時(shí)距會(huì)議開(kāi)始還有___分鐘。
點(diǎn)撥：根據(jù)題意可得 （米/分），小王全程
以 （米/分）的速度步行，則他到達(dá)公司需要的時(shí)間為
（分鐘），由圖可知，會(huì)議開(kāi)始時(shí)間為出發(fā)后
（分鐘），所以若小王全程以 （米/分）的速度步行，
則他到達(dá)時(shí)距會(huì)議開(kāi)始還有 （分鐘）。
7.如圖是一輛汽車在行駛途中的速度
隨時(shí)間 變化的示意圖。
（1）圖象中的點(diǎn)到點(diǎn)、點(diǎn)到點(diǎn)、點(diǎn)到點(diǎn) 分別表明汽車在什么
狀態(tài)？
解：點(diǎn)到點(diǎn)表明汽車在勻速行駛，點(diǎn)到點(diǎn) 表明汽車在加速行駛，
點(diǎn)到點(diǎn) 表明汽車在減速行駛。
（2）汽車在點(diǎn)的速度是多少？在點(diǎn) 呢？
解：汽車在點(diǎn)的速度是，在點(diǎn)的速度是 。
（3）司機(jī)在第開(kāi)始先勻速行駛，之后立即減速行駛
停止，請(qǐng)你在圖中補(bǔ)上從 以后汽車行駛的速度與時(shí)間的關(guān)系圖象。
解：補(bǔ)圖如圖所示：
8.如圖①，點(diǎn)是上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，點(diǎn)在上，動(dòng)點(diǎn) 以每秒
的速度沿圖①的邊線運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)路徑為 ，
相應(yīng)的三角形的面積關(guān)于運(yùn)動(dòng)時(shí)間 的圖象如圖②，若
。
（1）求和 的長(zhǎng)；
解：根據(jù)圖象可知：當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)時(shí)， 。因?yàn)?br/>，所以 。
又因?yàn)辄c(diǎn)是上靠近點(diǎn) 的三等分點(diǎn)，
所以 ，
所以 ；
當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，三角形 的面積不變，
由題圖②知，點(diǎn)從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)需要，所以 。
（2）當(dāng)時(shí)，求 的值；
解：當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在點(diǎn) 處，
所以 。
又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，三角形 的面積不變，
所以當(dāng)時(shí)， 的值為18。
（3）當(dāng)時(shí)，求 的值。
解：由題圖②知，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在 上運(yùn)動(dòng)，所以
，
所以易得 。
因?yàn)?，
所以 ，
由題意得，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到達(dá) 點(diǎn)，
所以 。
9. 甲乙兩地相距 ，如
圖表示往返于兩地的公交車離甲地的距離
（單位： ）與從早晨7：00開(kāi)始經(jīng)過(guò)的時(shí)
間（單位： ）之間的關(guān)系。小明早晨7
B
A. B.
C. D.
點(diǎn)從甲地出發(fā)，勻速跑步去乙地，若他在中途與迎面而來(lái)的公交車相遇
3次，被同向行駛的公交車超越2次，則小明的速度可能是 ( )(共13張PPT)
第六章 變量之間的關(guān)系
專項(xiàng)突破10 變量之間關(guān)系的三種表
示方法
變量之間關(guān)系的表示方法共有三種：表格法、關(guān)系式法、圖象法，它們
分別從數(shù)、式和形的角度反映了變量之間的關(guān)系。
方法1 用表格表示變量之間的關(guān)系
1.地表以下巖層的溫度和它所處的深度有以下關(guān)系：
深度/ 1 2 3 4 5 6 7
溫度/ 55 90 125 160 195 230 265
（1）上表反映了哪兩個(gè)變量之間的關(guān)系？哪個(gè)是自變量？哪個(gè)是因變量？
解：反映了地表以下巖層的溫度和它所處的深度之間的關(guān)系，深度是自
變量，溫度是因變量。
（2）深度每增加 ，溫度增加多少攝氏度？
解：深度每增加，溫度增加 。
（3）估計(jì) 深處的巖層溫度是多少攝氏度。
解：估計(jì)深處的巖層溫度是 。
方法2 用關(guān)系式表示變量之間的關(guān)系
2.已知池中有水，每小時(shí)抽出 。
（1）寫(xiě)出剩余水的體積與時(shí)間 之間的關(guān)系式。
解： 。
（2） 后，池中還有多少立方米的水？
解：當(dāng)時(shí)， ，
所以后，池中還有 的水。
（3）幾小時(shí)后，池中還有 的水？
解：當(dāng)時(shí)，，解得 ，
所以后，池中還有 的水。
3.我國(guó)航天事業(yè)發(fā)展迅速，某玩具店抓住商機(jī)，先購(gòu)進(jìn)了1 000件相關(guān)
航天模型玩具進(jìn)行試銷，進(jìn)價(jià)為50元/件。
（1）設(shè)每件玩具售價(jià)為元，全部售完的利潤(rùn)為元。求利潤(rùn) （元）
關(guān)于售價(jià) （元/件）的關(guān)系式。
解：依題意得 。
（2）當(dāng)售價(jià)定為60元/件時(shí)，該玩具銷售火爆，該店繼續(xù)購(gòu)進(jìn)一批該種
航天模型玩具，并從中拿出這兩批玩具銷售利潤(rùn)的 用于支持某航模
興趣組開(kāi)展活動(dòng)，在成功銷售完畢后，資助經(jīng)費(fèi)恰好為10 000元，請(qǐng)問(wèn)
該玩具店繼續(xù)購(gòu)進(jìn)了多少件航天模型玩具？
解：設(shè)該玩具店繼續(xù)購(gòu)進(jìn)了件航天模型玩具，則總共有
件航天模型玩具，依題意得 ，
解得 。
答：該玩具店繼續(xù)購(gòu)進(jìn)了4 000件航天模型玩具。
方法3 用圖象表示變量之間的關(guān)系
4. 如圖，取一根長(zhǎng)的勻質(zhì)木桿，
用細(xì)繩綁在木桿的中點(diǎn) 并將其吊起來(lái)，在中點(diǎn)的左側(cè)距離中點(diǎn)
處掛一個(gè)重的物體，
在中點(diǎn) 的右側(cè)用一個(gè)彈簧秤向下拉，使木桿處于水平狀態(tài)，彈
簧秤與中點(diǎn)的距離（單位：）及彈簧秤的示數(shù)（單位：）滿足 ，如果用橫
軸表示的數(shù)值，用縱軸表示的數(shù)值. 那么關(guān)于 的圖象大致是( )
B
A. B. C. D.
5. 【素材1】某景區(qū)游覽路線及方向如圖①所示，①
④⑥路段路程相等，⑤⑦⑧路段路程相等，②③兩路段路程相等。
【素材2】設(shè)游玩行走速度恒定，經(jīng)過(guò)每個(gè)景點(diǎn)都停留20分鐘.小溫游路
線①④⑤⑥⑦⑧用時(shí)3小時(shí)25分鐘；小州游路線①②⑧，他所走的路程
與時(shí)間 的關(guān)系（部分?jǐn)?shù)據(jù)）如圖②所示，在2 100米處，他到出口還要
走10分鐘。
【問(wèn)題】路線①③⑥⑦⑧的各路段路程之和為( )
B
A.4 200米 B.4 800米 C.5 200米 D.5 400米
[解析] 點(diǎn)撥：由圖象可知，小州游玩行走的時(shí)間為
（分鐘），小溫游玩行走的時(shí)間為
（分鐘）。設(shè)①④⑥路段路程為 米，⑤⑦
⑧路段路程為米，②③路段路程為 米，由題意得，
，解得 ，所以游玩行走的速度為
（米/分鐘）。由于游玩行走速度恒定，所
以小溫游路線①④⑤⑥⑦⑧的路程為
（米），所以 ，所以路線①③⑥⑦⑧的各路段路程之和
為 （米）。
6.某車間的甲、乙兩名工人分別同時(shí)生產(chǎn)同種零件，他們生產(chǎn)的零件數(shù)
量（個(gè)）與生產(chǎn)時(shí)間 之間的關(guān)系如圖所示。
（1）根據(jù)圖象填空：
①甲、乙中，____先完成40個(gè)零件的生產(chǎn)任
務(wù)；在生產(chǎn)過(guò)程中，____因機(jī)器故障停止生
產(chǎn)的時(shí)長(zhǎng)是____。
甲
甲
②在甲完成生產(chǎn)任務(wù)之前，當(dāng) _______時(shí)，
甲、乙生產(chǎn)的零件個(gè)數(shù)相等。
或5.5
（2）誰(shuí)在哪一段時(shí)間內(nèi)的生產(chǎn)速度最快？求在該段時(shí)間內(nèi)他每小時(shí)生
產(chǎn)零件的個(gè)數(shù)。
解：由圖象得甲在 內(nèi)的生產(chǎn)速度最快。
因?yàn)?（個(gè)），
所以在該段時(shí)間內(nèi)他每小時(shí)生產(chǎn)10個(gè)零件。(共18張PPT)
第六章 變量之間的關(guān)系
3 用關(guān)系式表示變量之間的關(guān)系
求兩個(gè)變量之間的關(guān)系式的方法：1.根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，歸納出兩個(gè)變
量之間的關(guān)系式。2.利用公式寫(xiě)出兩個(gè)變量之間的關(guān)系式，比如三角形、
正方形的面積公式。
. .
. .
知識(shí)點(diǎn)1 用關(guān)系式表示兩個(gè)變量之間的關(guān)系
1.一輛汽車以的平均速度在公路上行駛，則所走的路程
與所用時(shí)間 之間的關(guān)系式為( )
D
A. B. C. D.
2.一蠟燭高20厘米，點(diǎn)燃后平均每小時(shí)燃掉4厘米，則蠟燭點(diǎn)燃后剩余
的高度（厘米）與燃燒時(shí)間 （時(shí)）之間的關(guān)系式是( )
A
A. B.
C. D.
3.一長(zhǎng)為，寬為的長(zhǎng)方形木板，現(xiàn)要在長(zhǎng)邊上截去長(zhǎng)為 的一
部分（如圖），則剩余木板的面積與 的關(guān)系式為
（其中 ）( )
C
（第3題）
A. B. C. D.
（第4題）
4. 如圖所示，在三角形 中，
已知，高，動(dòng)點(diǎn)由點(diǎn)沿
向點(diǎn)移動(dòng)（不與點(diǎn)重合）。設(shè)的長(zhǎng)為 ，
三角形的面積為，則與 之間的關(guān)系式為
________________________。
知識(shí)點(diǎn)2 求變量的值
5.變量與之間的關(guān)系式是，當(dāng)自變量時(shí)，因變量
的值是( )
A
A. B. C. D.
6.彈簧原長(zhǎng)（不掛重物） ，在彈性限度內(nèi)，所掛重物每增加
，彈簧的長(zhǎng)度就增加 。
（1）在彈性限度內(nèi)，彈簧總長(zhǎng)與重物質(zhì)量 的關(guān)系式為
____________；
（2）當(dāng)重物質(zhì)量為 （在彈性限度內(nèi)）時(shí)，彈簧的總長(zhǎng)是_______。
7. 假設(shè)圓柱的高是 ，圓柱的底面半徑由小到大變
化時(shí)，圓柱的體積也隨之發(fā)生變化。
（1）在這個(gè)變化的過(guò)程中，自變量為_(kāi)_______________，因變量為
____________；
（2）如果圓柱底面半徑為，那么圓柱的體積 可以表示為
__________；
（3）當(dāng)由變化到時(shí)，由____變化到______ 。
圓柱的底面半徑
圓柱的體積
8.某中學(xué)數(shù)學(xué)興趣小組準(zhǔn)備圍建一個(gè)長(zhǎng)方形苗
圃園 ，其中一邊靠墻，另外三邊是由長(zhǎng)
度為的籬笆圍成的。如圖，已知墻長(zhǎng)
為，設(shè)這個(gè)苗圃園垂直于墻的一邊長(zhǎng)
（1）求的長(zhǎng)度與的長(zhǎng)度 的關(guān)系式；
解： 。
為，的長(zhǎng)度為，苗圃園的面積為 。
（2）當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)度以及苗圃園的面積 。
解：當(dāng)時(shí)，的長(zhǎng)度 ，
苗圃園的面積 。
9.根據(jù)如圖所示的流程圖計(jì)算變量
的對(duì)應(yīng)值，若輸入變量 的值為1，
則輸出的結(jié)果為( )
C
A.2 B. C.1 D.
10.百貨大樓進(jìn)了一批花布,出售時(shí)要在進(jìn)價(jià)的基礎(chǔ)上加一定的利潤(rùn)，其
長(zhǎng)度與售價(jià) （元）如下表：
長(zhǎng)度 1 2 3 4 …
售價(jià) 元 …
下列用表示 的關(guān)系式中，正確的是( )
B
A. B.
C. D.
11.“十一”期間，小明和父母一起開(kāi)車到距家 的景點(diǎn)旅游，出發(fā)
前，汽車油箱內(nèi)儲(chǔ)油，當(dāng)行駛 時(shí)，發(fā)現(xiàn)油箱剩余油量為
。（假設(shè)行駛過(guò)程中汽車的耗油量是均勻的）
（1）求該車平均每千米的耗油量，并寫(xiě)出行駛路程 與剩余油量
的關(guān)系式；
解：該車平均每千米的耗油量為 。
。
（2）當(dāng)時(shí)，求剩余油量 。
解：當(dāng)時(shí)，剩余油量 。
12.某工廠計(jì)劃從，兩種產(chǎn)品中選擇一種生產(chǎn)并銷售，每日產(chǎn)銷 件.
已知產(chǎn)品成本價(jià)為元/件為常數(shù)，且 ，售價(jià)為8元/件，
每日最多產(chǎn)銷500件，同時(shí)每日支付專利費(fèi)30元； 產(chǎn)品成本價(jià)為12元/
件，售價(jià)為20元/件，每日最多產(chǎn)銷300件，同時(shí)每日支付專利費(fèi)元，
（元）與每日產(chǎn)銷（件）滿足關(guān)系式。若產(chǎn)銷，
兩種產(chǎn)品的日利潤(rùn)分別為元，元，請(qǐng)分別寫(xiě)出，與 的關(guān)系
式，并寫(xiě)出 的取值范圍。
解：由題意得， ；
。
13. 某市在創(chuàng)設(shè)全國(guó)文明城市期間，在市區(qū)大道中間
的隔離護(hù)欄處加裝了花卉盆栽，其平面示意圖如圖所示，假如每個(gè)盆栽
的寬度為1.2米，兩個(gè)盆栽之間的距離為3米（支撐桿寬度忽略不計(jì)）。
盆栽個(gè)數(shù) 2 3 4 5 6 …
護(hù)欄總長(zhǎng)度/米 5.4 9.6 18 …
（1）根據(jù)如圖所示，將表格補(bǔ)充完整；
解：13.8; 22.2
（2）設(shè)有個(gè)盆栽，護(hù)欄總長(zhǎng)度為米，則與 之間的關(guān)系式是______
________；
（3）求護(hù)欄總長(zhǎng)度為81米時(shí)盆栽的個(gè)數(shù)。
解：當(dāng)時(shí)， ，
解得 。
答：護(hù)欄總長(zhǎng)度為81米時(shí)盆栽的個(gè)數(shù)為20。(共10張PPT)
第六章 變量之間的關(guān)系
1 現(xiàn)實(shí)中的變量
判斷一個(gè)量是變量還是常量的方法：關(guān)鍵是看在變化過(guò)程中，該量的值
是否發(fā)生改變，或者說(shuō)該量是否會(huì)取不同的數(shù)值；在變化過(guò)程中不變的
量是常量（連同它前面的符號(hào)），可以取不同數(shù)值的量是變量。
. .
. .
. .
知識(shí)點(diǎn)1 變量與常量
1. 小華同學(xué)在市場(chǎng)買某種水果，如圖是稱重時(shí)電子秤
的數(shù)據(jù)顯示牌，則其中的常量是( )
A
A.單價(jià)
B.金額
C.質(zhì)量和單價(jià)
D.質(zhì)量、單價(jià)和金額
2.[2024滁州月考] 一根蠟燭原長(zhǎng)12厘米，點(diǎn)燃 分鐘后，剩余蠟燭的長(zhǎng)
為 厘米，則在這個(gè)變化過(guò)程中，下列判斷正確的是( )
C
A.是常量 B.12是變量 C.是變量 D. 是常量
知識(shí)點(diǎn)2 自變量與因變量
3. 在利用太陽(yáng)能熱水器來(lái)加熱水的過(guò)程中，熱水器里的
水溫會(huì)隨著太陽(yáng)照射時(shí)間的長(zhǎng)短而變化，在這個(gè)變化過(guò)程中，因變量是
( )
A
A.熱水器里的水溫 B.太陽(yáng)光的強(qiáng)弱
C.太陽(yáng)照射時(shí)間的長(zhǎng)短 D.熱水器的容積
4.[2024南京期中] 關(guān)于圓的周長(zhǎng)公式 ，說(shuō)法正確的是( )
B
A. ， 是自變量，2是常量
B.是因變量，是自變量，2， 是常量
C.是自變量，2， ， 是常量
D.是自變量，是因變量，2， 是常量
5.小亮幫母親計(jì)算家庭4月份電費(fèi)開(kāi)支情況，下表是小亮家4月初連續(xù)8
天每天早上電表的讀數(shù)：
日期/日 1 2 3 4 5 6 7 8
電表讀數(shù)/度 21 24 28 33 39 42 46 49
表格中反映的變量是________________，自變量是______，因變量是
__________。
日期和電表讀數(shù)
日期
電表讀數(shù)
6. 我國(guó)的高鐵技術(shù)發(fā)展日新月異，一次次驚艷世界，
成為我國(guó)裝備制造的一張亮麗的名片。在高鐵行駛過(guò)程中，司機(jī)在駕駛
室內(nèi)觀察前方物體是動(dòng)態(tài)的，車速增加，視野變窄，如圖表示了司機(jī)的
視野（度）隨車速 （千米/時(shí)）變化而變化的情況。
速度 （千米/時(shí)） 50 100 400
視野 度 40 20 10
（1）在這個(gè)變化過(guò)程中，自變量是
____________，因變量是_________
___；
高鐵的速度
司機(jī)的視野
（2）結(jié)合圖象，表格中 ____，
_____；
80
200
（3）若高鐵司機(jī)視野不小于10度，則高鐵行駛的速度最快是_________
___；
400千米/時(shí)
（4）請(qǐng)舉出生活中一個(gè)變量隨另一個(gè)變量變化而變化的例子，并寫(xiě)出
自變量和因變量。
解：某天的氣溫隨時(shí)間的變化而變化.自變量是時(shí)間，因變量是氣溫。
（答案不唯一，合理即可）(共17張PPT)
第六章 變量之間的關(guān)系
4 用圖象表示變量之間的關(guān)系
第1課時(shí) 用曲線型圖象表示變量之間
的關(guān)系
圖象法能直觀、形象地描述兩個(gè)變量之間的關(guān)系，但有的變量之間的關(guān)
系不能用圖象完整地表示出來(lái)，圖象只是反映兩個(gè)變量之間關(guān)系的一部
分，且由圖象確定的數(shù)值往往是近似的.在利用圖象解決問(wèn)題時(shí)，一定
要分清橫軸和縱軸分別表示哪個(gè)變量。
. .
. .
知識(shí)點(diǎn) 用圖象表示變量間的關(guān)系
類型1 用曲線型圖象表示兩個(gè)變量間的關(guān)系
1.[2024江西] 將常溫中的溫度計(jì)插入一杯 的熱水（恒溫）中，溫
度計(jì)的讀數(shù)與時(shí)間 的關(guān)系用圖象可近似表示為( )
C
A. B. C. D.
2.下列各情景分別可以用圖中的哪一幅圖來(lái)近似地刻畫(huà)？正確的順序是
______。
①汽車緊急剎車（速度與時(shí)間的關(guān)系）；
②人的身高變化（身高與年齡的關(guān)系）；
③跳高運(yùn)動(dòng)員跳躍橫桿（高度與時(shí)間的關(guān)系）；
④一瓶結(jié)了冰的礦泉水在桌面上放置（水溫與放置時(shí)間的關(guān)系）。
類型2 從曲線型圖象中獲取變量間關(guān)系的信息
3.如圖，曲線表示一只蝴蝶在飛行過(guò)程中離地面的高度
隨飛行時(shí)間 的變化情況，則這只蝴蝶飛行的
最高高度約為( )
D
A. B. C. D.
4.駱駝被稱為“沙漠之舟”，它的體溫隨時(shí)間的變化而發(fā)生較大的變化，
如圖所示，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是( )
D
A.點(diǎn)表示的是12時(shí)駱駝的體溫是
B.12時(shí)到次日凌晨4時(shí)駱駝體溫一直下降
C.駱駝第一天12時(shí)體溫與次日20時(shí)的體溫相同
D.一天中，0時(shí)到12時(shí)駱駝的體溫的變化范圍是
到
5. 圖①中的摩天輪可抽象成一個(gè)圓，圓上一點(diǎn)離地面
的高度與旋轉(zhuǎn)時(shí)間 之間的關(guān)系如圖②所示。
（1）根據(jù)圖②填表：
0 3 6 8 12 …
___ ____ 5 ____ ___ …
5
70
54
5
（2）根據(jù)圖中的信息，請(qǐng)求出摩天輪的周長(zhǎng)。
解：由圖象可知該摩天輪的直徑為 ，
所以該摩天輪的周長(zhǎng)為 。
6. 下圖反映了運(yùn)動(dòng)員進(jìn)
行高強(qiáng)度運(yùn)動(dòng)后，體內(nèi)血乳酸濃度隨時(shí)間
的變化情況，如果血乳酸濃度降到
C
A.運(yùn)動(dòng)后血乳酸濃度先升高再降低
B.當(dāng)時(shí)，兩種方式下的血乳酸濃度均超過(guò)
C.采用靜坐方式放松時(shí)，運(yùn)動(dòng)員大約 后就能基本消除疲勞
D.為更快達(dá)到消除疲勞的效果，應(yīng)該采用慢跑活動(dòng)方式來(lái)放松
以下，運(yùn)動(dòng)員就基本消除了疲勞，下列敘述錯(cuò)誤的是( )
7. 如圖是一年中部分節(jié)氣所對(duì)應(yīng)的白晝時(shí)長(zhǎng)示意圖，給
出下列結(jié)論：①?gòu)牧⒋旱酱蠛讜儠r(shí)長(zhǎng)先增大再減小；②夏至?xí)r白晝
時(shí)長(zhǎng)最長(zhǎng)；③立夏和立秋，白晝時(shí)長(zhǎng)大致相等；④立春是一年中白晝時(shí)
長(zhǎng)最短的節(jié)氣. 其中正確的結(jié)論有( )
B
A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)
8.青春期男、女生身高變化情況不盡相同，如圖
是小軍和小蕊青春期身高的變化情況。
（1）圖中反映了哪兩個(gè)變量之間的關(guān)系 自變
量是什么？因變量是什么？
解：反映了身高與年齡之間的關(guān)系，自變量是年齡，因變量是身高。
（2）, 兩點(diǎn)分別表示什么？
解：點(diǎn)表示小軍和小蕊在11歲半時(shí)身高大約都是，點(diǎn) 表示小
軍和小蕊在15歲時(shí)身高都是 。
（3）小蕊10歲時(shí)的身高大約是多少
解：小蕊10歲時(shí)的身高大約是 。
（4）比較小軍和小蕊的青春期身高情況的異同。
解：略。
9. 6月13日，某港口的潮水高度和時(shí)間 的部
分?jǐn)?shù)據(jù)及關(guān)系圖象如下：
… 11 12 13 14 15 16 17 18 …
… 189 137 103 80 101 133 202 260 …
（1）【數(shù)學(xué)活動(dòng)】
①根據(jù)表中數(shù)據(jù)，通過(guò)描點(diǎn)、連線（光滑曲線）的方式補(bǔ)全該關(guān)系圖象。
解：如圖所示。
②觀察該關(guān)系圖象，當(dāng)時(shí)，的值為多少？當(dāng)?shù)闹底畲髸r(shí)， 的
值為多少？
解：通過(guò)觀察該關(guān)系圖象，可知當(dāng)時(shí)，的值為200；當(dāng) 的值最大
時(shí)， 的值為21。
（2）【數(shù)學(xué)思考】請(qǐng)結(jié)合該關(guān)系圖象，寫(xiě)出該關(guān)系的兩條性質(zhì)或結(jié)論。
[答案] 該關(guān)系的兩條性質(zhì)如下（答案不唯一）
①當(dāng)時(shí)，的值隨 的增大而增大；
②當(dāng)時(shí)， 有最小值，最小值為80。
（3）【數(shù)學(xué)應(yīng)用】根據(jù)研究，當(dāng)潮水高度超過(guò) 時(shí)，貨輪能夠安
全進(jìn)出該港口．請(qǐng)問(wèn)當(dāng)天什么時(shí)間段適合貨輪進(jìn)出此港口？
[答案] 由圖象知，當(dāng)時(shí)，或或或 ，
故當(dāng)或時(shí)， 。
答：當(dāng)天和 （不含端點(diǎn)）這兩個(gè)時(shí)間段適合貨輪
進(jìn)出此港口。(共19張PPT)
第六章 變量之間的關(guān)系
綜合與實(shí)踐
在解決一個(gè)新的數(shù)學(xué)問(wèn)題的時(shí)候，我們一般要遵循“實(shí)驗(yàn)—觀察—猜
想—驗(yàn)證”這樣一個(gè)過(guò)程，即從特殊到一般。通過(guò)以上活動(dòng)，可以提高
我們的數(shù)學(xué)研究能力。
1.當(dāng)前計(jì)算機(jī)常用的數(shù)據(jù)形式是二進(jìn)制，二進(jìn)制數(shù)與十進(jìn)制數(shù)之間的轉(zhuǎn)
化問(wèn)題、二進(jìn)制數(shù)的計(jì)算問(wèn)題十分常見(jiàn)。為了區(qū)分二進(jìn)制與十進(jìn)制的數(shù)，
我們一般在二進(jìn)制數(shù)的右下角標(biāo)注2，例如 。
（1）類比十進(jìn)制的計(jì)數(shù)原理：
，把一個(gè)二進(jìn)制
數(shù)轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制數(shù)的方法為：
。
請(qǐng)你將二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制數(shù)： ____。
19
（2）把一個(gè)十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)化為二進(jìn)制數(shù)，一般按照“除以2取余數(shù)”的方法，
將余數(shù)從下向上倒序?qū)懀褪墙Y(jié)果。例如將十進(jìn)制數(shù)302轉(zhuǎn)化為二進(jìn)制
數(shù)：
，， ，
，， ，
，， ，
所以 。
請(qǐng)你將十進(jìn)制數(shù)101轉(zhuǎn)化為二進(jìn)制數(shù)，則 ___________。
（3）二進(jìn)制的四則運(yùn)算與十進(jìn)制的四則運(yùn)算原理相同，不同的是十進(jìn)
制的數(shù)位有十個(gè)數(shù)碼0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，滿十進(jìn)一，而二
進(jìn)制的數(shù)位有兩個(gè)數(shù)碼0和1，滿二進(jìn)一。
二進(jìn)制的四則運(yùn)算口訣如下：
加法：，，， 。
減法：，，， （同一數(shù)位不夠
減時(shí)，向高一位借1當(dāng)2）。
乘法：，，， 。
除法：， 。
請(qǐng)根據(jù)以上信息和所學(xué)的豎式計(jì)算相關(guān)知識(shí)，計(jì)算：
① ；
解： 。
② ；
解： 。
③ 。
解： 。
2.綜合實(shí)踐
【活動(dòng)主題】探究圖形面積與代數(shù)式之間的關(guān)系。
【活動(dòng)資源】提供長(zhǎng)度不同的兩種木棒各4根（如圖①）。
活動(dòng)任務(wù)：運(yùn)用以上8根木棒（不折斷）擺成長(zhǎng)方形或正方形，且木棒
全部用完。選取同學(xué)們的甲、乙、丙、丁四種不同的擺法（如圖②）進(jìn)
行研究。
【問(wèn)題探究過(guò)程】
（1）發(fā)現(xiàn)問(wèn)題：
請(qǐng)觀察以上所有圖形，并研究2種或2種以上擺法的圖形面積之間的關(guān)系，
你發(fā)現(xiàn)哪些結(jié)論？
例如：小明發(fā)現(xiàn)：甲擺法的面積是乙擺法總面積的2倍。
小張發(fā)現(xiàn)：丁擺法的總面積大于乙擺法的總面積。
聰明的你，能提出不同于小明和小張的更創(chuàng)新、更有意義的結(jié)論嗎？
你的發(fā)現(xiàn)是________________________________________。（請(qǐng)用簡(jiǎn)潔
的語(yǔ)言描述）
丙擺法的面積是乙擺法與丁擺法的面積之和
（2）提出問(wèn)題：
請(qǐng)用代數(shù)式表示你的發(fā)現(xiàn)（設(shè)兩種木棒的長(zhǎng)度分別為， ）其中
，四種圖形面積分別為，，， 。
例如：小明的結(jié)論是 。
小張的結(jié)論是 ，你的結(jié)論是：______________。
（3）分析問(wèn)題：
請(qǐng)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)證明你的結(jié)論。
例如：小明的證明方法如下。
證明：因?yàn)椋?，所以
。
證明：因?yàn)椋?，
所以 。又因?yàn)?br/>，所以 。
（4）拓展創(chuàng)新：
把甲擺法圍成的大長(zhǎng)方形紙片沿虛線剪成四個(gè)全等的小長(zhǎng)方形
（如圖③），請(qǐng)用四個(gè)小長(zhǎng)方形拼擺出邊長(zhǎng)為 的正方形，畫(huà)出
示意圖，并用等式表達(dá)示意圖中的各圖形面積之間的關(guān)系。
解：如圖。
。
3.綜合實(shí)踐
項(xiàng)目 主題 探索七巧板的幾何組成及其在圖形拼接中的應(yīng)用
項(xiàng)目 背景 我們熟知的七巧板是由宋代黃伯思設(shè)計(jì)的“燕幾圖”（“燕幾”就是
“宴幾”，也就是宴請(qǐng)賓客的案幾）演變而來(lái)。到了明代，嚴(yán)澄將
“燕幾圖”里的方形案幾改為三角形，發(fā)明了“蝶翅幾”。而到了清
代初期，在“燕幾圖”和“蝶翅幾”的基礎(chǔ)上，兼有三角形、正方形
和平行四邊形，能拼出更加生動(dòng)、多樣的圖案的七巧板就問(wèn)世了
（如圖①網(wǎng)格中所示）。
_________________________________________________________________
續(xù)表
驅(qū)動(dòng) 任務(wù) 通過(guò)實(shí)際操作七巧板，了解其幾何特性，并完成特定圖形的拼接
任務(wù)。
研究步驟
（1）若正方形網(wǎng)格的邊長(zhǎng)為1，則圖①中七巧板的七塊拼板的總面積為
___。
8
續(xù)表
（2）使用圖①中的七巧板可以拼出一個(gè)輪廓如圖②所示的長(zhǎng)方形，請(qǐng)
在圖②中畫(huà)出拼圖方法。（要求：畫(huà)出各塊拼板的輪廓）
解：如圖①所示。
（3）隨著七巧板的發(fā)展，出現(xiàn)了一些形式不同的七巧板，如圖③所示
的是另一種七巧板。利用圖③中的七巧板可以拼出一個(gè)輪廓如圖④所示
的圖形（大正方形的中間去掉一個(gè)小正方形），請(qǐng)?jiān)趫D④中畫(huà)出拼圖的
方法。（要求：畫(huà)出各塊拼板的輪廓）
解：如圖②所示。
（4）分析（1）（2）（3），嘗試找出七巧板幾何上的規(guī)律。
（寫(xiě)出一條即可）
解：七巧板的拼接遵循面積守恒原則，即無(wú)論怎樣組合，總面積不變。
（答案不唯一）
創(chuàng)新拼接 選擇一個(gè)你感興趣的圖形（如動(dòng)物或植物），使用七巧板進(jìn)
行拼接，并描述你的拼接過(guò)程。
解：略
報(bào)告撰寫(xiě) 將你發(fā)現(xiàn)的幾何規(guī)律和創(chuàng)新拼接的圖形及拼接過(guò)程整理成一
份報(bào)告，展示你的理解和創(chuàng)造力。
解：略(共8張PPT)
第六章 變量之間的關(guān)系
2 用表格表示變量之間的關(guān)系
用表格表示兩個(gè)變量之間的關(guān)系，能準(zhǔn)確地指出幾組自變量與因變量的
值，但不能全面地反映兩個(gè)變量之間的關(guān)系，只能反映其中的一部分。
. .
. .
知識(shí)點(diǎn) 用表格表示變量之間的關(guān)系
1.一種豆子的售價(jià)是2元/，豆子的總售價(jià) （元）與售出豆子的質(zhì)量
之間的關(guān)系如下表：
售出質(zhì)量 0 0.5 1 1.5 2 2.5
總售價(jià) 元 0 1 2 3 4 5
（1）在這個(gè)表格中反映的是自變量________________和因變量_______
之間的關(guān)系；
（2）隨著的逐漸增大， 的變化情況是__________。
售出豆子的質(zhì)量
總售價(jià)
不斷增大
2. 某廠在設(shè)計(jì)一種易拉罐的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)符合要求的易拉
罐的底面半徑與用鋁量有如下關(guān)系：
底面半徑 1.6 2.0 2.4 2.8 3.2 3.6 4.0
用鋁量 6.9 6.0 5.6 5.5 5.7 6.0 6.5
（1）上表反映了哪兩個(gè)變量之間的關(guān)系？哪個(gè)是自變量？哪個(gè)是因變量？
解：反映了易拉罐底面半徑和用鋁量的關(guān)系，其中，易拉罐底面半徑為
自變量，用鋁量為因變量。
（2）當(dāng)易拉罐底面半徑為 時(shí)，易拉罐需要的用鋁量是多少？
解：當(dāng)?shù)酌姘霃綖闀r(shí)，易拉罐需要的用鋁量為 。
（3）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，你認(rèn)為易拉罐的底面半徑為多少時(shí)比較適宜？
說(shuō)說(shuō)你的理由。
解：易拉罐底面半徑為 時(shí)比較適宜，因?yàn)榇藭r(shí)用鋁量較少，成本低。
3. 在高處讓一物體由靜止開(kāi)始落下，它下落經(jīng)過(guò)的時(shí)
間（秒）與下落的高度 （米）之間的關(guān)系如下表：
時(shí)間 秒 1 2 3 4 …
下落高度 米 …
請(qǐng)根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)估計(jì)下落經(jīng)過(guò)的時(shí)間為5秒時(shí)，下落的高度是_____
__米。
122.5
4.[2024榆林期中] 游泳池應(yīng)定期換水，某游泳池在一次換水前存水936
立方米，換水時(shí)關(guān)閉進(jìn)水孔打開(kāi)排水孔，它們的變化情況如表：
放水時(shí)間/小時(shí) 1 2 3 4 5 6
存水量/立方米 858 780 702 624 546 468
根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，回答下列問(wèn)題：
（1）上表中__________是自變量；________________是因變量；
（2）當(dāng)放水時(shí)間為1小時(shí)時(shí)，游泳池的存水量為_(kāi)____立方米；當(dāng)放水
時(shí)間為4小時(shí)時(shí)，游泳池的存水量為_(kāi)____立方米；
放水時(shí)間
游泳池的存水量
858
624
（3）說(shuō)一說(shuō)這個(gè)游泳池的存水量隨著放水時(shí)間的增加是怎樣變化的；
解：由表可知：隨著放水時(shí)間的增加，存水量逐漸減小。
（4）請(qǐng)你估計(jì)當(dāng)放水5.5小時(shí)和9小時(shí)時(shí)，游泳池的存水量分別是多少
立方米。
解：由表可知：每增加1小時(shí)，存水量減少78立方米。
由此估計(jì)：當(dāng)放水5.5小時(shí)時(shí)，存水量為
（立方米）。
當(dāng)放水9小時(shí)時(shí)，存水量為 （立方米）。(共15張PPT)
第六章 變量之間的關(guān)系
全章熱門考點(diǎn)整合專訓(xùn)
變量之間的關(guān)系是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，是學(xué)習(xí)函數(shù)知識(shí)（以后將學(xué)）
的基礎(chǔ)，也是各類考試常考的內(nèi)容，題型常以填空題、選擇題和解答題
的形式出現(xiàn)。本章熱門考點(diǎn)可概括為兩組概念、三個(gè)方法和一種思想。
考點(diǎn)1 兩組概念
概念1 常量與變量
1.下列說(shuō)法中，正確的是( )
C
A.學(xué)校操場(chǎng)的周長(zhǎng)是一個(gè)變量
B.圓周率 是一個(gè)變量
C.行駛中的汽車油箱中的存油量是一個(gè)變量
D.在公式中，若是常量，那么和 也都是常量
返回
概念2 自變量與因變量
2.小華在做關(guān)于彈簧的實(shí)驗(yàn)的過(guò)程中，把一根彈簧的上端固定，在其下
端懸掛物體，驗(yàn)證所掛物體質(zhì)量與彈簧長(zhǎng)度的關(guān)系，記錄數(shù)據(jù)如下表：
所掛物體質(zhì)量/千克 0 1 2 3 4 5
彈簧長(zhǎng)度/厘米 12 15 18 21 24 27
據(jù)此回答下列問(wèn)題：
（1）上表反映了哪兩個(gè)變量之間的關(guān)系？哪個(gè)是自變量？哪個(gè)是因變量？
解：反映了彈簧長(zhǎng)度與所掛物體質(zhì)量之間的關(guān)系，所掛物體質(zhì)量是自變
量，彈簧長(zhǎng)度是因變量。
（2）當(dāng)所掛物體質(zhì)量為5千克時(shí)，彈簧長(zhǎng)度為多少？不掛物體時(shí)呢？
解：當(dāng)所掛物體質(zhì)量為5千克時(shí)，彈簧長(zhǎng)度為27厘米；不掛物體時(shí)，彈
簧長(zhǎng)度為12厘米。
（3）當(dāng)所掛物體質(zhì)量為7千克（在彈性限度內(nèi)）時(shí)，你能說(shuō)出此時(shí)的彈
簧長(zhǎng)度嗎？
解：由表格可知，在彈性限寬內(nèi)，所掛物體質(zhì)量每增加1千克，彈簧長(zhǎng)
度增加3厘米，所以當(dāng)所掛物體質(zhì)量為7千克（在彈性限寬內(nèi)）時(shí)，彈簧
長(zhǎng)度為 （厘米）。
返回
考點(diǎn)2 三個(gè)方法
方法1 用表格表示變量之間的關(guān)系
3. 心理學(xué)家發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對(duì)概念的接受能力 與提出概念
所用的時(shí)間（單位：）之間有如下關(guān)系（其中 ）：
提出概念所用的時(shí)間 2 5 7 10 12 13 14 17 20
學(xué)生對(duì)概念的接受能力 47.8 53.5 56.3 59.0 59.8 59.9 59.8 58.3 55.0
（1）上表反映了哪兩個(gè)變量之間的關(guān)系？哪個(gè)是自變量？哪個(gè)是因變量？
解：反映了提出概念所用的時(shí)間和學(xué)生對(duì)概念的接受能力 兩個(gè)變量之
間的關(guān)系；
提出概念所用的時(shí)間是自變量，學(xué)生對(duì)概念的接受能力 是因變量。
（2）當(dāng)提出概念所用的時(shí)間是 時(shí)，學(xué)生對(duì)概念的接受能力是多少？
解：由表可知，當(dāng)時(shí)， 。答：當(dāng)提出概念所用時(shí)間是
時(shí)，學(xué)生的接受能力是53.5。
（3）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)回答：當(dāng)提出概念所用的時(shí)間是幾分鐘時(shí)，學(xué)
生的接受能力最強(qiáng)？
解：提出概念所用時(shí)間為13分鐘時(shí)，學(xué)生的接受能力最強(qiáng)。
（4）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)回答：當(dāng) 在什么范圍內(nèi)時(shí)，學(xué)生的接受能力在
增強(qiáng)？當(dāng) 在什么范圍內(nèi)時(shí)，學(xué)生的接受能力在減弱？
解：由表中數(shù)據(jù)可知：當(dāng)時(shí)， 值逐漸增大，學(xué)生的接受能力
逐步增強(qiáng)；當(dāng)時(shí)， 值逐漸減小，學(xué)生的接受能力逐步減弱。
返回
方法2 用關(guān)系式表示變量之間的關(guān)系
（第4題）
4.[2024渭南期中] 如圖，一個(gè)圓的半徑為 ，它的
半徑增加后，圓的面積增加 。
（1）這個(gè)圓的面積增加量 與半徑增加量
之間的關(guān)系式是_______________；
（2）當(dāng)這個(gè)圓的半徑增加量從變化到 時(shí)，
這個(gè)圓的面積增加量從____變化到______ 。
返回
方法3 用圖象表示變量之間的關(guān)系
5.[2024南京期末] 如圖所示的圖象中所反映的過(guò)程是：張強(qiáng)從家跑步去
體育場(chǎng)，在那里鍛煉了一陣后，又去早餐店吃早餐，然后散步走回家。
其中表示時(shí)間， 表示張強(qiáng)離家的距離。根據(jù)圖象提供的信息，以下四
個(gè)說(shuō)法中錯(cuò)誤的是( )
D
（第5題）
A.體育場(chǎng)離張強(qiáng)家2.5千米
B.張強(qiáng)在體育場(chǎng)鍛煉了15分鐘
C.體育場(chǎng)離早餐店1千米
D.張強(qiáng)從早餐店回家的平均速度是3千米/小時(shí)
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6. 人的大腦所能記憶的內(nèi)容
是有限的，隨著時(shí)間的推移，記憶的東西會(huì)逐
漸被遺忘，德國(guó)心理學(xué)家艾賓浩斯第一個(gè)發(fā)現(xiàn)
了記憶遺忘規(guī)律。他根據(jù)自己得到的測(cè)試數(shù)據(jù)
（1）其中自變量是______，因變量是____________；
時(shí)間
記憶保持量
（2）在以下時(shí)間段內(nèi)遺忘的速度最快的是____（填序號(hào)）；
；；； 。
①
描繪了一條曲線（如圖所示），這就是非常有名的艾賓浩斯遺忘曲線，
觀察圖象并回答下列問(wèn)題：
（3）圖中 點(diǎn)表示的意義是___________________________；
9小時(shí)后記憶保持量約為
（4）老師要求我們“堂堂清”“日日清”，請(qǐng)結(jié)合艾賓浩斯遺忘曲線談?wù)?br/>你的看法。
解：如不復(fù)習(xí)，會(huì)很快忘掉很多，只能保持大約 的記憶。老師要求
我們“堂堂清”“日日清”，是提示我們學(xué)習(xí)后要及時(shí)復(fù)習(xí)。（答案不唯一，
合理即可）
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考點(diǎn)3 一種思想
7.某校與部隊(duì)聯(lián)合開(kāi)展紅色之旅研學(xué)
活動(dòng)，上午 ，部隊(duì)官兵乘坐軍
車從營(yíng)地出發(fā)，同時(shí)學(xué)校師生乘坐大
巴從學(xué)校出發(fā)，沿公路（如圖①）到
愛(ài)國(guó)主義教育基地進(jìn)行研學(xué).上午，軍車在離營(yíng)地 的地方追
上大巴并繼續(xù)前行，到達(dá)倉(cāng)庫(kù)后，部隊(duì)官兵下車領(lǐng)取研學(xué)物資，然后乘
坐軍車按原速前行，最后和師生同時(shí)到達(dá)基地，軍車和大巴離營(yíng)地的路
程與所用時(shí)間 的關(guān)系如圖②所示。
（1）求大巴離營(yíng)地的路程與所用時(shí)間的關(guān)系式及 的值；
解：由圖象可得，大巴速度為 ，
所以 。
當(dāng)時(shí)，,解得，所以 。
（2）求部隊(duì)官兵在倉(cāng)庫(kù)領(lǐng)取物資所用的時(shí)間。
解：由圖象可得，軍車速度為 。
設(shè)部隊(duì)官兵在倉(cāng)庫(kù)領(lǐng)取物資所用的時(shí)間為 ,根據(jù)題意，得
，解得 ，
所以部隊(duì)官兵在倉(cāng)庫(kù)領(lǐng)取物資所用的時(shí)間為 。
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