資源簡介

(共30張PPT)
期未提分練案
復(fù)習(xí)7 變量之間的關(guān)系
考點梳理
達(dá)標(biāo)訓(xùn)練
45分鐘 100分
一、選擇題（每題6分，共30分）
1.空調(diào)工作中每小時耗電量一定，所用電量隨開機時間的變化而變化，
有關(guān)這個問題的說法錯誤的是( )
B
A.所用電量是變量 B.開機時間與每小時耗電量是常量
C.所用電量是因變量 D.開機時間是自變量
2.[2024咸陽期中] 某日廣東省遭受臺風(fēng)襲擊，大部分地區(qū)發(fā)生強降雨。
某條河流因受到暴雨影響，水位急劇上升，下表為這一天的水位記錄，
觀察表中數(shù)據(jù)，水位上升最快的時間段是( )
時間/時 0 4 8 12 16 20 24
水位/米 2 2.5 3 4 5 6 8
D
A.8時到12時 B.12時到16時
C.16時到20時 D.20時到24時
3.如圖是底部放有一個實心鐵球的長方體水槽的軸截面示意圖，現(xiàn)向水
槽勻速注水，下列圖象中能大致反映水槽中水的深度與注水時間
關(guān)系的是( )
D
A. B. C. D.
4.[2024常州] 在馬拉松、公路自行車等耐力運動的訓(xùn)練或比賽中，為合
理分配體能，運動員通常會記錄每行進(jìn) 所用的時間，即“配速”
（單位：）。小華參加 的騎行比賽，他騎行的“配速”如圖
所示，則下列說法中錯誤的是( )
D
A.第 所用的時間最長
B.第 的平均速度最大
C.第和第 的平均速度相同
D.前的平均速度大于最后 的平均速度
5.如圖，這是一組有規(guī)律的圖案，第①個圖案由4個基礎(chǔ)圖形組成，第
②個圖案由7個基礎(chǔ)圖形組成， ，設(shè)第 （ 是正整數(shù)）個圖案是由
個基礎(chǔ)圖形組成的，則與 之間的關(guān)系式是( )
D
A. B. C. D.
二、填空題（每題8分，共24分）
6.在關(guān)系式中，速度隨時間 的變化而變化，自變量是__，
因變量是___。當(dāng)時， ___，此時表示______。
0
靜止
7.一個裝有進(jìn)水管和出水管的容器，開始時，
先打開進(jìn)水管注水，3分鐘時，再打開出水管
排水，8分鐘時，關(guān)閉進(jìn)水管，直至容器中的
水全部排完.在整個過程中，容器中的水量
（升）與時間 （分鐘）之間的函數(shù)關(guān)系如
圖所示，則圖中 的值為___。
8. 如圖所示的運算程序中，若開始輸入的 值為22，
我們發(fā)現(xiàn)第1次輸出的結(jié)果為11，第2次輸出的結(jié)果為14， ，依次類
推，按此程序，第2 029次輸出的結(jié)果為___。
4
[解析] 點撥：第1次輸出的結(jié)果為11，第2次輸出的結(jié)果為14，第3次輸
出的結(jié)果為7，第4次輸出的結(jié)果為10，第5次輸出的結(jié)果為5，第6次輸
出的結(jié)果為8，第7次輸出的結(jié)果為4，第8次輸出的結(jié)果為2，第9次輸出
的結(jié)果為1，第10次輸出的結(jié)果為4，第11次輸出的結(jié)果為2， ，則從
第7次開始，輸出的結(jié)果為4，2，1循環(huán)出現(xiàn)，
，所以第2 029次輸出的結(jié)果為4。
三、解答題（共46分）
9.（14分） 光合作用是指綠色植物通過葉綠體，利
用光能，把二氧化碳和水轉(zhuǎn)化成儲存能量的有機物，并釋放出氧氣的過
程。夏季的白天7時 時一般的綠色植物的光合作用強度與時間之間
的關(guān)系如圖所示，分析圖象回答問題：
（1）大約____時的光合作用最強，大約
_______時的光合作用最弱；
10
7和18
（2）說一說一般的綠色植物光合作用的強度從7時到18時是怎樣變化的。
解：一般的綠色植物的光合作用強度從7時至10時逐漸增強，從10時至
12時逐漸減弱，從12時至14時30分左右逐漸增強，從14時30分左右至18
時逐漸減弱。
10.（14分） 情境 小芳離開家去學(xué)校上學(xué)，走了
一段路后，發(fā)現(xiàn)自己作業(yè)本忘家里了，于是返回家里找到作業(yè)本，然后
又趕快去學(xué)校；
情境 小明從家出發(fā)去圖書館還書，走了一段路程后，發(fā)現(xiàn)時間有點
緊張，便以更快的速度前進(jìn)。
（1）情境, 所對應(yīng)的函數(shù)圖象分別是________（填寫序號）；
③，①
（2）請你為剩下的函數(shù)圖象寫出一個適合的情境。
解：小虎從家出發(fā)去圖書館看了一會書，然后回家。（答案不唯一，合
理即可）
11.（18分）某校八（1）班社團通過查閱資料發(fā)現(xiàn)，聲音在空氣中傳播
的速度和氣溫存在如下的關(guān)系：
氣溫 0 5 10 15 20 25
聲音在空氣中的傳播速度 331 334 337 340 343 346
（1）在這個變化過程中，______是自變量，_______________________
是因變量。
（2）從表中數(shù)據(jù)可知，氣溫每升高 ，聲音在空氣中傳播的速度就提
高_(dá)___ 。
氣溫
聲音在空氣中的傳播速度
0.6
（3）聲音在空氣中的傳播速度與氣溫 之間的關(guān)系式為
_______________。
（4）某日的氣溫為，小樂看到煙花燃放 后才聽到聲響
（光傳播時間忽略不計），那么小樂與燃放煙花所在地大約相距多遠(yuǎn)？
解：當(dāng)時， ，
。
答：小樂與燃放煙花所在地大約相距 。
專項 圖象信息題的判斷與分析
榮老師告訴你
從圖象和題目中獲取信息，一定要弄清橫軸和縱軸所表示的意義，同時
要抓住以下幾點：
（1）自變量變化而函數(shù)值不變化的圖象用水平線段表示；
（2）當(dāng)兩個階段的圖象都上升時，比較得出它們上升的快慢；
（3）明確函數(shù)圖象的最低點和最高點以及每個拐點的意義；
（4）要注意自變量的取值范圍，包含的點用實心圓點表示，不包含的
點用空心圓圈表示。
類型1 解決行程類圖象信息題
1.“五一”假期，小星一家駕車前往黃果樹景點旅游，在行
駛過程中，汽車離黃果樹景點的路程 與所用時間
之間的關(guān)系如圖所示，下列說法正確的是( )
D
A.小星家離黃果樹景點的路程為
B.小星從家出發(fā)第1小時的平均速度為
C.小星從家出發(fā)離景點的路程為
D.小星從家到黃果樹景點共用了
2.在一條公路上順次有，， 三地，甲、乙
兩車同時從地出發(fā)，分別勻速前往地， 地，
甲車到達(dá) 地停留一段時間后原速原路返回，
乙車到達(dá) 地后立即原速原路返回，乙車比甲車
早1小時返回 地，甲、乙兩車各自行駛的路程
（1）在上述變化過程中，自變量是___，因變量是___。
（千米）與時間 （時）（從兩車出發(fā)時開始計時）之間的圖象如圖所示。
（2）乙車行駛的速度為____千米/時。
60
[解析] 點撥：乙車行駛的速度： （千米/時）。
（3）甲車到達(dá)地停留了多久？地與 地之間的距離為多少千米？
解：甲車到達(dá)地停留了 （小時），
B地與地之間的距離為 （千米）。
類型2 解決與動點有關(guān)的函數(shù)圖象問題
3.如圖所示，是半圓的直徑，點從點出發(fā)，沿
的路徑運動一周.設(shè)為，運動時間為，則下列圖象能大致刻畫與
之間關(guān)系的是( )
D
A. B. C. D.
4.如圖①，，，點從點 出發(fā)保持勻速運
動，沿長方形凹槽 的路線運動，到
點停止；如圖②是的面積和運動時間 的圖象。
（1）求圖①中 的長度；
解：根據(jù)題圖②可知，當(dāng)點運動到點時，的面積為 ，
即，解得 。
（2）設(shè)點運動的路程為，請寫出與運動時間 之間的
關(guān)系式，并寫出 的取值范圍。
解：由（1）可知點的運動速度為 ，
所以 ，
所以從點到點的路程為 ，
所以的取值范圍為 ，
則與之間的關(guān)系式為 。
類型3 解決其他函數(shù)圖象問題
5.[2024青海] 化學(xué)實驗小組查閱資料了解到：某種絮凝劑溶于水后能夠
吸附水中懸浮物并發(fā)生沉降，從而達(dá)到凈水的目的.實驗得出加入絮凝
劑的體積與凈水率之間的關(guān)系如圖所示，下列說法正確的是( )
D
A.加入絮凝劑的體積越大，凈水率越高
B.未加入絮凝劑時，凈水率為0
C.絮凝劑的體積每增加 ，凈水率的增加量相等
D.加入絮凝劑的體積是時，凈水率達(dá)到
6. 在一定溫度下，某固態(tài)物質(zhì)在
溶劑中達(dá)到飽和狀態(tài)時所溶解的溶質(zhì)的質(zhì)量，
叫作這種物質(zhì)在這種溶劑中的溶解度.甲、乙兩種蔗糖
在某溶劑中的溶解度與溫度 之間的對應(yīng)關(guān)系
如圖所示，則下列說法中，錯誤的是 ( )
C
A.甲、乙兩種蔗糖在此溶劑中的溶解度均隨著溫度的升高而增大
B.當(dāng)溫度升高至 時，在此溶劑中甲蔗糖的溶解度比乙的溶解度大
C.當(dāng)溫度升高至 時，甲、乙兩種蔗糖在此溶劑中的溶解度相同，
都為
D.當(dāng)溫度為時，甲、乙兩種蔗糖在此溶劑中的溶解度都小于
7.如圖，小穎依據(jù)所在城市某日連續(xù)12個小時
的風(fēng)力變化情況，畫出了風(fēng)力隨時間變化的
圖象，根據(jù)圖象進(jìn)行判斷，下列說法不正確
的有________。（填序號）
①8時風(fēng)力最小；
②8時至12時，最大風(fēng)力為5級；
③這12小時中，風(fēng)力最大超過7級；
①②④
④8時至14時，風(fēng)力不斷增大。
8. 人的大腦所能記憶的內(nèi)容是有限的，隨著時間的推移，
記憶的東西會逐漸遺忘，為提升記憶的效果，需要有計劃的按時復(fù)習(xí)鞏
固，如圖是記憶保持量 與時間（天）之間的關(guān)系圖，請根據(jù)圖回答
下列問題：
（1）圖中的自變量是______，因變量是____________；
時間
記憶保持量
（2）如果不復(fù)習(xí)，3天后記憶保持量約為______；
（3）圖中點 表示的意義是______________________________________
______；
（4）圖中射線 表示的意義是__________________________________；
（5）經(jīng)過第1次復(fù)習(xí)與不進(jìn)行復(fù)習(xí)，3天后記憶保持量相差約為______；
（6）10天后，經(jīng)過第2次復(fù)習(xí)與從來沒有復(fù)習(xí)的記憶保持量相差約為
______。
經(jīng)過第1次復(fù)習(xí)，第10天的記憶保持量約為
經(jīng)過第5次復(fù)習(xí)，記憶保持量為(共36張PPT)
期未提分練案
復(fù)習(xí)3 概率初步
考點梳理
必然事件
不可能事件
達(dá)標(biāo)訓(xùn)練
45分鐘 100分
一、選擇題（每題5分，共30分）
1.[2024內(nèi)江] 下列事件是必然事件的是( )
B
A.打開電視機，中央臺正在播放“嫦娥六號完成人類首次背月采樣”的新聞
B.從兩個班級中任選三名學(xué)生擔(dān)任學(xué)校安全督查員，至少有兩名學(xué)生來
自同一個班級
C.小明在內(nèi)江平臺一定能搶到龍舟節(jié)開幕式門票
D.從《西游記》《紅樓夢》《三國演義》《水滸傳》這四本書中隨機抽
取一本是《三國演義》
2.[2024綿陽期末] 若某隨機事件發(fā)生的概率為 ，則該事件在一次
試驗中( )
B
A.一定不發(fā)生 B.可能發(fā)生，也可能不發(fā)生
C.一定發(fā)生 D.以上都不對
3.[2024深圳] 二十四節(jié)氣，它基本概括了一年中四季交替的準(zhǔn)確時間以
及大自然中一些物候等自然現(xiàn)象發(fā)生的規(guī)律，二十四個節(jié)氣分別為：春
季（立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨），夏季（立夏、小滿、芒
種、夏至、小暑、大暑），秋季（立秋、處暑、白露、秋分、寒露、霜
降），冬季（立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒），若從二十四個
節(jié)氣中選一個節(jié)氣，則抽到的節(jié)氣在夏季的概率為( )
D
A. B. C. D.
4.一個不透明的袋中裝有3個白球和若干個紅球，它們只有顏色上的區(qū)
別。從袋中隨機摸出一個球，若摸到白球的可能性更大，則袋中紅球可
能有( )
A
A.2個 B.3個 C.4個 D.5個
5.如圖，共有12個大小相同的小正方形，其中陰影部分的5個小正方形
是一個正方體的表面展開圖的一部分，現(xiàn)從剩余的小正方形中任選1個
涂上陰影，能構(gòu)成完整的正方體的表面展開圖的概率是( )
A
（第5題）
A. B. C. D.
（第6題）
6.如圖，直線，直線與直線， 都相交，從
,,, 這四個角中任意選取1個角，則所選取
的角與 互為補角的概率是( )
D
A. B. C. D.
二、填空題（每題6分，共24分）
7.“從一個裝有4個紅球和3個綠球（除顏色外都相同）的黑色布袋中摸
出一個球是白球。”這一事件是____________。（填“必然事件”“不可能
事件”或“隨機事件”）
不可能事件
8.小剛設(shè)計了一個游戲：任意擲出一個瓶蓋，若蓋面朝上則甲勝，若蓋面
朝下則乙勝，你認(rèn)為這個游戲________；如果以質(zhì)地均勻的硬幣代替瓶
蓋，同樣做上述游戲，你認(rèn)為這個游戲______。（填“公平”或“不公平”）
不公平
公平
9.[2024浙江] 有8張卡片，上面分別寫著數(shù)1，2，3，4，5，6，7，8.從
中隨機抽取1張，該卡片上的數(shù)是4的整數(shù)倍的概率是__。
10.某學(xué)習(xí)小組做拋擲一枚瓶蓋的試驗，整理的試驗數(shù)據(jù)如下表：
累計拋擲次數(shù) 50 100 200 500 1 000 2 000 3 000
蓋面朝上次數(shù) 28 54 106 264 527 1 056 1 587
蓋面朝上頻率
下面有兩個推斷：①第2 000次試驗的結(jié)果一定是“蓋面朝上”；②隨著
試驗次數(shù)的增大，“蓋面朝上”的頻率接近0.53。其中正確的是____。
（填序號）
②
三、解答題（共46分）
11.（13分）一個不透明袋子中裝有紅、黃、綠三種顏色的球共60個，它
們除顏色外都相同.已知其中黃球個數(shù)是綠球個數(shù)的4倍，從袋中摸出一
個球是紅球的概率為 。
（1）分別求紅球和綠球的個數(shù)；
解：紅球有 （個）。
設(shè)綠球有個，則黃球有 個，
根據(jù)題意，得，解得 。
所以紅球有20個，綠球有8個。
（2）求從袋中隨機摸出一個球是綠球的概率；
解：從袋中隨機摸出一個球，共有60種等可能的結(jié)果，其中摸出綠球的
結(jié)果有8種，所以從袋中隨機摸出一個球是綠球的概率為 。
（3）從袋中拿出12個黃球，將剩余的球攪拌均勻，求從袋中剩余的球
中隨機摸出一個球是黃球的概率。
解：拿出12個黃球以后，從袋中隨機摸出一個球，共有
（種）等可能的結(jié)果，其中摸出黃球的結(jié)果有
（種），所以從袋中剩余的球中隨機摸出一個球是黃球的概率為 。
12.（15分）如圖，這是一個可以自由轉(zhuǎn)動的圓形轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)
盤被分成了6個扇形，扇形中分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，
6，其中標(biāo)有數(shù)字1的扇形的圓心角為 ；標(biāo)有數(shù)字2，4
及6的扇形的圓心角均為 ；標(biāo)有數(shù)字3，5的扇形的圓
心角均為 。利用這個轉(zhuǎn)盤，甲、乙兩人開始做游戲：自由轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤，
轉(zhuǎn)盤停止時，指針指向奇數(shù)則甲獲勝，指針指向偶數(shù)則乙獲勝.你認(rèn)為
這個游戲?qū)住⒁译p方公平嗎？為什么？
解：公平。理由：因為標(biāo)有奇數(shù)的扇形圓心角的度數(shù)和為
，標(biāo)有偶數(shù)的扇形圓心角的度數(shù)和為
，所以（甲獲勝）（乙獲勝） 。
所以這個游戲?qū)住⒁译p方公平。
13.（18分）對某批羽毛球的質(zhì)量進(jìn)行隨機抽查，結(jié)果如下表所示。
隨機抽取的羽毛球數(shù) 10 20 50 100 200 500 1 000
優(yōu)等品數(shù) 8 17 42 82 165 412 826
優(yōu)等品率
（1）完成上表。
解：0.8; 0.85; 0.84; 0.82; 0.825; 0.824; 0.826
（2）根據(jù)上表，在這批羽毛球中任取1個，它為優(yōu)等品的概率大約是多
少？（結(jié)果保留兩位小數(shù)）
解：它為優(yōu)等品的概率大約是0.83。
（3）如果再從這批羽毛球中重新抽取1 000個羽毛球進(jìn)行質(zhì)量檢查，對
比上表記錄下的數(shù)據(jù)，這兩次的抽查結(jié)果會一樣嗎？
解：不一定一樣，但隨著隨機抽取的羽毛球數(shù)的增加，優(yōu)等品率穩(wěn)定在
0.83左右。
專項 概率計算常見的幾種題型
榮老師告訴你
有關(guān)概率的基本試驗一般有擲骰子、轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)盤、摸球、抽紙牌、擲硬幣等，
另外會涉及幾何面積，結(jié)合學(xué)科內(nèi)、學(xué)科間和學(xué)科外的知識綜合考查，
但萬變不離其宗，學(xué)科內(nèi)、學(xué)科間和學(xué)科外的知識只是一個背景，掌握
概率基本知識即可輕松解答。
類型1 學(xué)科內(nèi)綜合
題型1 與有理數(shù)及其運算綜合
1.將，， ，0， 這5個數(shù)分別寫在5張同樣的卡片上，從中隨
機抽取1張，卡片上的數(shù)為有理數(shù)的概率是__。
2.在的兩個處，任意填上“ ”或“-”，則運算結(jié)果為3的概率
是__。
題型2 與代數(shù)式綜合
3.從，，，0，2這五個數(shù)中任選一個數(shù)作為 的值，能使得
是關(guān)于 的完全平方式的概率是( )
C
A. B. C. D.
題型3 與方程綜合
4.[2024甘孜州] 某校組織多項活動加強科學(xué)教育，八年級（一）班分兩
批次確定項目組成員，參加“實踐探究”活動。第一批次確定了7人，第
二批次確定了1名男生、2名女生.現(xiàn)從項目組中隨機抽取1人承擔(dān)聯(lián)絡(luò)任
務(wù)，若抽中男生的概率為 ，則第一批次確定的人員中，男生有___人。
5
題型4 與展開圖綜合
5.一個質(zhì)地均勻的正方體各面上分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，6，8，其表
面展開圖如圖所示，拋擲這個正方體，則朝上一面的數(shù)字恰好等于朝下
一面的數(shù)字的2倍的概率是( )
D
A. B. C. D.
題型5 與平行線綜合
6.如圖，給出下列條件，任意選取一個，能判定 的概率是( )
； ；
A
； 。
A. B.1 C. D.
題型6 與統(tǒng)計綜合
7.某校為了解七年級學(xué)生的近視情況，在七年級隨機抽取五個班的學(xué)生
進(jìn)行調(diào)查，統(tǒng)計結(jié)果如表所示：
所抽取的班 （1）班 （2）班 （3）班 （4）班 （5）班
總學(xué)生數(shù) 47 43 42 48 50
近視學(xué)生數(shù) 25 25 30 27 33
（1）在這五個班中隨機抽取一名學(xué)生，求抽中近視學(xué)生的概率；
解：設(shè)在這五個班中隨機抽取一名學(xué)生，抽中近視的學(xué)生為事件 ，則
。
（2）該校七年級共有學(xué)生621人，估計該校七年級近視的學(xué)生數(shù)。
解： ，即估計該校七年級近視的學(xué)生數(shù)為378。
8.隨著通訊技術(shù)迅猛發(fā)展，人與人之間的溝通方式更多樣，更便捷。為
此，李老師設(shè)計了“你最喜歡的溝通方式”調(diào)查問卷（每人必選且只選一
種）。某校九年級（1）班同學(xué)利用周末對全校師生進(jìn)行了隨機訪問，
并將統(tǒng)計結(jié)果繪制成如圖所示的不完整的統(tǒng)計圖，請結(jié)合圖中所給的信
息解答下列問題：
（1）這次訪問活動采取的方式是__________（填寫“全面調(diào)查”或“抽樣
調(diào)查”）；
（2）本次被調(diào)查的共有_____人，條形統(tǒng)計圖中， ____；
抽樣調(diào)查
200
10
（3）從被調(diào)查的人中隨機選一人，選中的人恰好最喜歡用“語音”溝通
的概率是___；
[解析] 由最喜歡用“語音”溝通的人數(shù)和調(diào)查總?cè)藬?shù)可得最喜歡用“語音”
溝通的人所占的比例為 ，
所以從被調(diào)查的人中隨機選一人，選中的人恰好最喜歡用“語音”溝通的
概率是 。
（4）若該校有6 000人，請估計該校最喜歡用“視頻”進(jìn)行溝通的人數(shù)。
解： （人），
（人）。
所以估計該校最喜歡用“視頻”進(jìn)行溝通的有2 400人。
類型2 學(xué)科間綜合
題型1 與語文綜合
9. 歐陽修在《賣油翁》中寫道：“乃取一葫蘆置于地，
以錢覆其口，徐以杓酌油瀝之，自錢孔入，而錢不濕。因曰：‘我亦無
他，惟手熟爾?！笨梢娂寄芏寄芡ㄟ^反復(fù)苦練而達(dá)到熟能生巧之境。若
銅錢是直徑為的圓，中間有邊長為 的正方形孔，你隨機向銅
錢上滴一滴油，則油（油滴的大小忽略不計）正好落入孔中的概率為
( )
D
A. B. C. D.
題型2 與英語綜合
10.若在單詞“ （數(shù)學(xué)）”中任意選擇一個字母，則事件“所
選字母為元音字母”的概率是( )
C
A. B. C. D.
題型3 與物理綜合
11.如圖，電路圖上有3個開關(guān)和1個小燈泡.當(dāng)小燈泡與開關(guān)在一條線路
時，閉合開關(guān)才可以使小燈泡發(fā)光，現(xiàn)任意閉合其中的1個開關(guān)，小燈
泡發(fā)光的概率是__。
類型3 學(xué)科外綜合
12.《易經(jīng)》是中華民族智慧的結(jié)晶。如圖是《易經(jīng)》中的一種卦圖，
每一卦由三根線組成（線形為“ ”或“ ”），如正北方的卦為“ ”。
從圖中任選一卦，這一卦中恰有1根“ ”和2根“ ”的概率是__。(共65張PPT)
期未提分練案
復(fù)習(xí)6 圖形的軸對稱
考點梳理
達(dá)標(biāo)訓(xùn)練
45分鐘 100分
一、選擇題（每題4分，共32分）
1.[2024巴中] 下列圖形中，是軸對稱圖形的是( )
D
A. B. C. D.
（第2題）
2.如圖，在中，， 是高線，則下列結(jié)
論中不一定正確的是( )
D
A. B.
C. D.
（第3題）
3.如圖，在中， ， ，
垂足為， ，與 關(guān)于
直線對稱，點的對應(yīng)點是點，則 的
度數(shù)為( )
A
A. B. C. D.
（第4題）
4.如圖，是中 邊的垂直平分線，若
，，則 的周長為( )
B
A. B. C. D.
5.剪紙是我國傳統(tǒng)的民間藝術(shù).將一張正
方形紙片按圖①，圖②中的方式沿虛線
依次對折后，再沿圖③中的虛線裁剪，
A
A. B. C. D.
最后將圖④中的紙片打開鋪平，所得圖案應(yīng)該是( )
6.[2024大連月考] 如圖，在中， ，
，以 為圓心，任意長為半徑畫弧分別交
，于點，，再分別以點， 為圓心，大于
D
是的平分線； ；③點在 的垂直平分線上。
A.0 B.1 C.2 D.3
的長為半徑畫弧，兩弧在內(nèi)部交于點，連接 并延長交
于點 ，則下列說法中正確的個數(shù)是( )
7.[2024廈門期中] 若一個等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角的度數(shù)
為 ，則這個等腰三角形的頂角度數(shù)為( )
C
A. B. C. 或 D. 或
8.如圖，是等邊三角形，是邊上的高，是 的
中點，是上的一個動點，當(dāng)與的和最小時，
的度數(shù)是( )
A
A. B. C. D.
二、填空題（每題5分，共20分）
9. 我國傳統(tǒng)的木結(jié)構(gòu)房屋，窗子常用各種圖案裝飾，
如圖是一種常見的圖案，該圖案有___條對稱軸。
2
（第9題）
10.如圖，在中，垂直平分，與交于點，與 交于點
， ， ，則 是______三角形。
直角
（第10題）
11.如圖，在中，平分，， ，
，則點到 的距離是____。
2.5
（第11題）
12.如圖，在正三角形網(wǎng)格中，已有兩個小正三角形涂成了灰色，再將
圖中其余小正三角形選出一個涂成灰色，使整個被涂成灰色的圖案構(gòu)成
一個軸對稱圖形的方法有___種。
3
（第12題）
三、解答題（共48分）
13.（12分）如圖，點，是等邊三角形
的邊 所在直線上的兩點，且
，求 的度數(shù)。
解：因為是等邊三角形，所以 ，
，所以 。因為
，所以 ，所以
， ，所以
。
14.（16分）[2024揚州模擬] 如圖，在邊長為1
個單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中，點 ，
， 在小正方形的頂點上。
（1）在圖中畫出與關(guān)于直線 成軸對稱的
；
解：如圖， 即為所求。
（2） 的面積是___；
3
（3）在直線上找一點，使 的長最短。
解：如圖，連接，與的交點 即為所求。
15.（20分）如圖，在中，和 的
平分線相交于點，過點作交于點 ，
交于點，過點作于點 。
（1）試說明： ；
解：因為，分別平分和 ，
所以， 。所以
。
（2）試說明： ；
解：因為，所以， 。又因為
， ，
所以， ，
所以， ，
所以 。
（3）若，，請用含，的代數(shù)式表示 的
面積， ____。
[解析] 點撥：如圖，過點作，連接 ，
易知是 的平分線，
所以 ，所以
。
專項1 三角形中的四種常見說明類型
榮老師告訴你
與全等三角形及等腰三角形的性質(zhì)相關(guān)的幾何題的類型非常豐富，常見
的類型有：說明數(shù)量關(guān)系、位置關(guān)系、線段的倍分、和差關(guān)系等。
類型1 說明數(shù)量關(guān)系
題型1 說明線段的數(shù)量關(guān)系
1.如圖，在中，，是的中點，，分別是，
上的點，且。試說明： 。
解：如圖，連接 。
因為，是 的中點，
所以 。
又因為， ，
所以 。
所以 。
2.如圖，點為線段上一點，分別以, 為等腰三角形的底邊，在
的同側(cè)作等腰三角形和等腰三角形，且 。在線
段上取一點，使，連接,。試說明： 。
解：因為和是等腰三角形，， 分別為底邊，所以
，，所以 。
因為，所以 ，
所以，所以 。
因為，所以 ，
在和中，
所以，所以 。
題型2 說明角的數(shù)量關(guān)系
3.如圖，在中， ，為邊上的點，且 ，
為線段的中點，過點作，過點作，且，
相交于點 。試說明：
（1） ；
解：因為，為線段的中點，所以 。所以
。所以 。
又因為 ，
所以 。所以 。
（2） 。
解：因為，所以 。
因為，所以 。
所以 。
在和中，
所以。所以 。
4.如圖，在中， ,點,分別在邊, 上，
,連接, 。
（1）若 ,求, 的度數(shù)；
解：因為 , ,
所以 。
因為 , ,
所以 。
因為,所以易得 是等邊三角形，
所以 。所以 。
（2）寫出與 之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由。
解： 。理由如下：
設(shè) , 。因為 ,
所以易知 ， 。
所以 ,所
以 。即 。
類型2 說明位置關(guān)系
題型1 說明平行關(guān)系
5.如圖，在中，，是 延長線上一點。
（1）作的平分線 （不寫作法，保留作圖痕跡）；
解：如圖所示， 即為所求。
（2）試猜想與 有怎樣的位置關(guān)系，并說明理由。
解： 。理由如下：
因為,所以 。
因為平分 ,
所以 。
又因為 ,
所以 ，
即 。
所以。所以 。
題型2 說明垂直關(guān)系
6.如圖，在中，是 上一點，且
，.試說明： 。
解：在和中，
所以 。所以
。
又因為，所以 。
類型3 說明倍分關(guān)系
7.如圖，在中，，，是的高，， 相
交于點，且。試說明： 。
解：因為,是 的高，
所以 。
又因為 ,
所以 。
在和中,
所以 。
所以 。
因為, ,
所以 。
所以 。
類型4 說明和差關(guān)系
8.如圖，在中，，平分 。試說明：
。
解：如圖，在延長線上取一點，使 ，
連接 。
則 。
因為 ，
,
所以 。
因為平分 ，
所以 。
在和 中，
所以。所以 。
因為 ，所以
。
專項2 利用垂直平分線、角平分線的性質(zhì)計算
榮老師告訴你
1.線段的垂直平分線與線段的兩種關(guān)系：垂直和平分。利用線段垂直平
分線的性質(zhì)可以求線段的長度、角的度數(shù)等，還可以解決實際生活中的
選址等問題。
2.依據(jù)角平分線上的點到角兩邊的距離相等可求線段長或得出線段的等
量關(guān)系，進(jìn)而利用全等三角形或等腰三角形得出角度數(shù)。
類型1 計算角度數(shù)
題型1 利用線段垂直平分線求角度數(shù)
1.[2024南京期末] 如圖，在中，是邊上的一點，連接 ，
垂直平分，垂足為，交于點，連接。若 ，
，求 的度數(shù)。
解：因為 ， ，
所以 。
因為垂直平分，所以， 。
在和中，
所以，所以 ，所以
，所以
。
題型2 利用角平分線求角度數(shù)
2.如圖，是的角平分線,延長至點,使,連接 ,若
, ,則 ______。
[解析] 點撥：在上截取,連接 ,如圖。
由題意得是的平分線,所以 。
又因為,,所以 ,
所以, , ,
所以 , 。因為，所以 。因
為 ,所以。又因為 ,
,所以,所以 。
類型2 求線段的長或圖形周長
題型1 利用線段垂直平分線求線段的長或圖形周長
3.[2024青島期末] 如圖，在中， 的垂
直平分線分別與，交于點，，
的垂直平分線分別與，交于點， ，
連接，，，，求
的周長。
解：因為，分別是， 的垂直平分線，
所以， ，
所以 的周長
。
因為，，所以的周長為 。
4.[2024濰坊模擬] 如圖，在中，的垂直平分線交于點 ，
交于點，的垂直平分線交于點，交于點，與 相交
于點，連接，，，，，若的周長是6，
的周長是16，求 的長。
解：因為是的垂直平分線，所以， 。
因為是 的垂直平分線，
所以，，所以 。
因為的周長為6，所以 ，
所以，即 。
因為的周長為16， ，
所以，所以 。
題型2 利用角平分線求線段的長或圖形周長
5.如圖，在中，為的平分線，于點，
于點，若的面積是,,，求 的長。
解：因為為的平分線，， ，
所以。因為的面積是 ，
所以 ，
即，解得 。
6.如圖，在中，。，過點作交 延
長線于點，交的延長線于點，于點，， ，
求 的周長。
解：因為，所以 。
因為，所以 ，
所以，所以為 的平分線。
因為，，所以 ，
在與中，
所以，所以 ，
所以 ，
所以的周長 。
類型3 求面積
7.如圖，為定角 的平分線上的一個定點，且
與互補，若在繞點 旋轉(zhuǎn)的過程中，
其兩邊分別與，相交于，兩點，連接 。
則以下結(jié)論：恒成立； 的值不
變；③四邊形的面積不變； 的長不變，其
中正確結(jié)論的序號為________。
①②③
[解析] 點撥：如圖，過點作于點 ，
于點，則 ，所以
，因為
，所以 ，所以
。因為點在 的平分線上，所以
，。又因為， ，所以
，所以 。
在和中，
所以，所以, ，
，故①正確，所以，所以
為定值，故③正確，因為 ，所
以的值為定值，故②正確， 的長度是變化的，故④錯誤。
8.[2023北京二模] 如圖，在 中，按以下
步驟作圖：①以點 為圓心，適當(dāng)長為半徑作
弧，分別交，于點， ；②分別以點
，為圓心，大于 的長為半徑作弧，兩
解：由作法得平分，則點到， 的距離相等，所以
的面積的面積，因為 的面積為2，
所以 的面積為3。
弧在內(nèi)部交于點；③作射線交于點。若 ，
的面積為2，求 的面積。
9.如圖，在中，為的平分線，
于點。若，， ，求
的面積。
解：過點作于點。因為平分， ，所以
。因為 ，所以
。
類型4 求點到直線的距離
10.如圖，，和分別平分 和
，過點，且與垂直。若 ，求
點到 的距離。
解：過點作于點，因為 ，所以
，因為，所以 ，所以
，即。因為和分別平分和 ，
所以，因為，所以 ，
即點到 的距離為4。(共30張PPT)
期未提分練案
復(fù)習(xí)2 相交線與平行線
考點梳理
相交和平行
互補
達(dá)標(biāo)訓(xùn)練
45分鐘 100分
一、選擇題（每題6分，共36分）
1.[2024西安模擬] 下列四個圖形中，與 是內(nèi)錯角的是( )
D
A. B. C. D.
（第2題）
2.[2024北京模擬] 如圖，，與，
分別相交于點，，，且 ，
則 ( )
B
A. B. C. D.
（第3題）
3.在數(shù)學(xué)課上，老師畫一條直線 ，按如圖所示的
方法，畫一條直線與直線 平行，再沿箭頭方向
推三角尺，畫一條直線也與直線 平行，此時，
發(fā)現(xiàn)直線與直線 也平行，這就說明了( )
A
A.平行于同一條直線的兩條直線平行
B.同旁內(nèi)角互補，兩直線平行
C.兩直線平行，同位角相等
D.同位角相等，兩直線平行
4.[2024長春期末] 下列說法不正確的是( )
A
A.過任意一點可作已知直線的一條平行線
B.同一平面內(nèi)兩條不相交的直線是平行線
C.在同一平面內(nèi)，過直線外一點只能畫一條直線與已知直線垂直
D.對頂角相等
5.[2024寧波期末] 如圖，下列說法正確的是( )
C
A.若，則
B.若，則
C.若 ，則
D.若 ，則
6. 如圖是一種衛(wèi)星接收天線的軸截面示意圖，
衛(wèi)星波束與平行射入接收天線，經(jīng)反射聚集到焦點 處，
若 ， ，則 的度數(shù)為( )
B
A. B. C. D.
二、填空題（每題6分，共24分）
7.[2024安徽月考] 如圖所示，想在河上搭建一座橋，沿_____搭建最短，
理由是____________。
垂線段最短
（第7題）
8.如圖，直線，相交于點，，垂足為 ，若
，則 的度數(shù)為______。
（第8題）
9.如圖， ， ， ，則當(dāng) ______時，
。
（第9題）
10.將一張長方形紙片折疊成如圖所示的形狀，若 ，則
_____。
（第10題）
三、解答題（共40分）
11.（10分）如圖，，若 ，
則與 平行嗎？請說明理由。
解： 。理由如下：
因為，所以 。
因為 ，
所以 。所以 。
12.（12分）如圖，直線與相交于點，，垂足為 。
（1）若 ，則 _____；
（2）若,求 的度數(shù)。
解：因為,所以 。
因為 ,
所以設(shè)，，則 ，
解得 。所以 。
所以 。
13.（18分）[2024杭州期末] 【問題情境】在綜合與實踐課上，同學(xué)們
以“一個含 角的透明直角三角尺和兩條平行線”為背景開展數(shù)學(xué)活動。
已知直線，在中， ， 。
（1）【操作發(fā)現(xiàn)】在圖①中，若 ，求 的度數(shù)；
解：如圖①。因為 ， ，
所以 。
因為，所以 。
（2）如圖②，創(chuàng)新小組的同學(xué)將直線向上平移，并改變 的位置，
發(fā)現(xiàn) ，請說明理由；
解：如圖②，過點作。因為在 中，
， ，所以 。
因為，，所以 ，
所以， 。
所以 。
所以 。所以
。
（3）【實踐探究】縝密小組在創(chuàng)新小組發(fā)現(xiàn)的基礎(chǔ)上，將圖②中的圖
形繼續(xù)變化得到圖③，平分，此時發(fā)現(xiàn)與 又存在新的數(shù)
量關(guān)系，請寫出這個數(shù)量關(guān)系并說明理由。
解： 。
理由如下：如圖③，過點作，所以 。
因為平分， ，
所以 ， 。
因為，所以， 。
所以 。
因為 ，所以 。所以
。所以 。
專項 利用平行線的性質(zhì)求角度的常見題型
榮老師告訴你
當(dāng)題目中出現(xiàn)兩直線平行的條件時，應(yīng)立即想到平行線的三條性質(zhì)，要
注意分析圖形的特征，明確兩角的位置關(guān)系，從而明確兩角是否相等或
互補。這類題目通常還會與角平分線、垂線等知識綜合，求角度時有時
需根據(jù)已知條件綜合利用角平分線的定義、垂直的定義以及對頂角的性
質(zhì)等求解。
題型1 直接利用平行線的性質(zhì)求角度
1. 當(dāng)光線從空氣射入水中時，光線的傳播方向發(fā)生了改變，
這就是光的折射現(xiàn)象（如圖所示）。圖中 ， ，則
的度數(shù)為( )
B
A. B. C. D.
2.如圖，已知， ， ，求 的度數(shù)。
解：如圖，過點作 ，
所以 。
因為， ，
所以 ，
所以 ，
所以
。
題型2 平行線與對頂角結(jié)合求角度
（第3題）
3.[2024巴中] 如圖，直線，一塊含有 的
直角三角板按如圖所示放置。若 ，則
的大小為( )
A
A. B. C. D.
題型3 平行線與互補（平角）結(jié)合求角度
4.用一張等寬的紙條折成如圖所示的圖案，若 ，則 的度數(shù)
為______。
（第4題）
（第5題）
5. 一種路燈的示意圖如圖所示，其底部支
架與吊線平行，燈桿與底部支架 所成銳角
.頂部支架與燈桿所成銳角 ，則
與 所成銳角的度數(shù)為( )
A
A. B. C. D.
題型4 平行線與垂直結(jié)合求角度
6.[2024資陽] 如圖，，過點作于點。若 ，
則 的度數(shù)為( )
B
（第6題）
A. B. C. D.
7.如圖，已知，， ，
，求 的度數(shù)。
解：過點作，則 ，所以
， 。所
以 。因為 ，所以
，所以 。
題型5 平行線與角平分線結(jié)合求角度
8.如圖，已知直線，平分 ，
，則 的度數(shù)是( )
A
A. B. C. D.(共28張PPT)
期未提分練案
復(fù)習(xí)1 整式的乘除
考點梳理
達(dá)標(biāo)訓(xùn)練
45分鐘 100分
一、選擇題（每題4分，共32分）
1.計算 正確的是( )
C
A. B. C. D.
2.[2024南京模擬] 可燃冰是一種新型能源，它的密度很小， 可燃
冰的質(zhì)量僅為。數(shù)據(jù) 用科學(xué)記數(shù)法表示是( )
D
A. B.
C. D.
3.下列各式運算正確的是( )
C
A. B.
C. D.
4.如圖是利用割補法求圖形面積的示意圖，下列公式中與之相對應(yīng)的是
( )
A
A. B.
C. D.
5.已知，則 的值為( )
A
A.13 B.8 C. D.5
6.如果是一個完全平方式，那么 的值是( )
C
A.5 B.7或5 C.7或 D.7
7.某同學(xué)在計算 加上一個多項式時錯將加法做成了乘法，得到的答
案是 ，由此可以推斷出原題正確的計算結(jié)果是( )
A
A. B.
C. D.
8.下列四個結(jié)論，其中正確的有( )
①若，，則可表示為 ；
②若的運算結(jié)果中不含項，則 ；
③若，，則 ；
④若，則 只能是2。
B
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
二、填空題（每題5分，共20分）
9.[2024太原模擬] 計算 的結(jié)果是____。
10.[2024安徽月考] 小賢做 時，寫成
的形式，利用平方差公式計算非常簡便，
則____， __。
20
11.一個長方形的面積為，已知這個長方形的長為 ，
則寬為____________。
12.定義三角框 表示，方框 表示 ，則
× 的結(jié)果為__________________。
三、解答題（共48分）
13.（24分）計算：
（1） ；
解：原式 。
（2） ；
解：原式 。
（3） 。
解：原式
。
14.（10分）[2024杭州模擬] 先化簡，再求值：
，其中， 。
解：
。
當(dāng)，時，原式 。
15.（14分） 數(shù)學(xué)活動課上，老師準(zhǔn)備了若干張如圖
①的三種紙片，種紙片是邊長為的正方形，種紙片是邊長為 的正
方形，種紙片是長為，寬為的長方形，并用種紙片一張， 種紙片
一張， 種紙片兩張拼成如圖②的大正方形。
（1）請用兩種不同的方法表示圖②
大正方形的面積：方法1：________
____；方法2：______________。
（2）觀察圖②，請你寫出代數(shù)式：
，， 之間的數(shù)量
關(guān)系________________________。
（3）觀察圖②，解決如下問題：已知 ，
求 的值。
解：由題圖②可得， 。
設(shè)， ，
則，，因為 ，
所以 ，
所以 。
專項 整式的乘除運算中的常見誤區(qū)
榮老師告訴你
冪的相關(guān)運算法則種類較多，彼此之間極易混淆，易錯、易混點較多，
主要表現(xiàn)在混淆運算法則、符號辨別不清、忽略指數(shù)“1”等。
誤區(qū)1 混淆運算法則
1.[2024瀘州] 下列運算正確的是( )
C
A. B.
C. D.
. .
. .
. .
誤區(qū)2 符號辨別不清
2.計算：
（1） ；
解：
。
（2） 。
解： 。
誤區(qū)3 忽略指數(shù)“1”
3.計算 ，正確的是( )
C
A. B. C. D.
誤區(qū)4 分不清乘法公式中的“a”和“b”
4.計算：
（1） ；
解：原式 。
（2） ；
解：原式 。
（3） ；
解：原式
。
（4） 。
解：原式 。
誤區(qū)5 運算時遺漏項
5.計算：
（1） ；
解：
。
（2） 。
解：
。
6.[2024南充] 先化簡，再求值：，其中 。
解：原式 。
當(dāng)時，原式 。(共42張PPT)
期未提分練案
復(fù)習(xí)5 全等三角形
考點梳理
相等
相等
達(dá)標(biāo)訓(xùn)練
45分鐘 100分
一、選擇題（每題5分，共35分）
（第1題）
1.[2024南寧期中] 如圖，，和 ，
和是對應(yīng)邊，則 的對應(yīng)角是( )
B
A. B. C. D.
（第2題）
2.如圖，，點在上，與
相交于點,,，則 的周長為
( )
A
A.15 B.16 C.17 D.12
（第3題）
3.如圖，，， ，則
， 兩點間的距離( )
B
A.大于 B.等于
C.小于 D.無法確定
（第4題）
4.如圖，在中，， ，則圖中
的全等三角形有( )
C
A.1對 B.2對 C.3對 D.4對
（第5題）
5. 如圖，在和 中，
，添加一個條件，不能說明 和
全等的是( )
B
A. B.
C. D.
6.[2024長春模擬] 如圖，在的兩邊上截取，連接 ，
交于點。若，則下列結(jié)論： ；
；③點在 的平分線上。其中正確的是( )
D
（第6題）
A.① B.② C.①② D.①②③
7. 如圖，在正方形中，，延長到點 ，
使，連接，動點從點 出發(fā)以每秒1個單位長度的速度沿
向終點運動。設(shè)點的運動時間為 秒。當(dāng)
和全等時， 的值為( )
D
A.3 B.5 C.7 D.3或7
二、填空題（每題5分，共20分）
8.[2024白城模擬] 如圖，在生活中，為了保證兒童的安全，通常兒童座
椅主體框架成三角形，這是利用了________________。
三角形的穩(wěn)定性
（第8題）
9.[2024南通期末] 如圖，， ， ，
，則 _____。
（第9題）
10. 如圖，，，要使 ，還應(yīng)添加
一個條件是________________________（寫一個即可）。
（答案不唯一）
（第10題）
（第11題）
11.如圖，在中， ， ，
的平分線與相交于點，過點 作
交的延長線于點。分別延長，
相交于點，則與 間的數(shù)量關(guān)系為_ _________
__。
點撥：因為，所以 ，因為
，所以， 。
因為，所以易得 。
在和中，
所以，所以 。
因為平分，所以 。
在和中，
所以 ，
所以 。
三、解答題（共45分）
12.（12分）尺規(guī)作圖（只保留作圖痕跡，不要求寫出作法）：如圖，
已知，請根據(jù)“”作出，使 。
解：如圖， 即為所求。
13.（13分）如圖，在中， ， 。過點 作
，垂足為，延長至點，使。在邊 上截取
，連接，試說明： 。
解：因為在中， ， ，
所以 。
因為，所以 。
所以 。
所以 ，
所以 。
在和中，
所以，所以 。
14.（20分）如圖，，， 交于點
，為的中點，，點從點 向點
以每秒1個單位長度的速度向左移動，同時
點從點出發(fā)，在 上以每秒2個單位長度
的速度往返移動.當(dāng)點到點處時，點，
同時停止移動。
（1）當(dāng)?shù)拿娣e是的面積的2倍時，求 的長。
解：因為，所以, 。
因為為的中點，所以 ，
所以，所以 ，
因為的面積是 的面積的2倍，
所以，所以, ，
所以點，移動的時間為 ，
此時，所以 。
（2）若移動時間為，當(dāng)為何值時， 。
解：因為, ，
所以當(dāng)時， ,
當(dāng)時，，解得 ；
當(dāng)時，，解得 （舍去）。
綜上所述，當(dāng)時， 。
專項 用全等三角形說明常見結(jié)論的四種技巧
榮老師告訴你
全等三角形是說明與線段或角相關(guān)結(jié)論的重要方法之一，其思路如下：
1.觀察要說明的相關(guān)結(jié)論涉及的線段或角（或等量代換后的線段或角）
在哪兩個可能全等的三角形之中；2.分析要說明全等的這兩個三角形，
已知什么條件，還缺什么條件；3.設(shè)法求出所缺條件；4.利用全等三角
形得到與線段或角相關(guān)的結(jié)論。
技巧1 用全等三角形說明線段的數(shù)量關(guān)系
1.如圖，，，點在 上，連接
， 。試說明：
（1）平分 ；
解：在和中，
所以 。
所以，即平分 。
（2） 。
解：由（1）可知 。
在和中，
所以。所以 。
2.[2024長沙模擬] 如圖所示，點是線段 上一點，
是過點的一條直線，連接，，過點 作
交于點，且 。
（1）試說明： ；
解：因為，所以 。
在和中，
所以。所以 。
（2）若 ，，試說明： 。
解：因為， ，
所以 ，
所以 ，
所以 。
在和中，
所以。所以 。
所以，即 。
技巧2 用全等三角形說明線段的和差倍分關(guān)系
3.如圖，，，，，為 的中點。
試說明： 。
解：延長至點，使，連接 。
因為點為的中點，所以 ，
又因為，所以 。
所以， .
因為，，所以 ,
所以 。
因為 ,
所以 。
又因為， ，
所以。所以 。
4.如圖，在四邊形中，是邊的中點。若平分 ，
，猜想線段，， 滿足的數(shù)量關(guān)系，并給出理由。
解： 。理由如下：
如圖，在上截取，連接 。
因為平分，所以 。又因
為 ，
所以 。
所以，。因為 ,
所以 , 。
所以 。
因為為的中點，所以。所以 。
又因為，所以 。
所以。所以 。
5.如圖，在中，， ，
為延長線上一點，于點，交于點 。
（1）試說明： ；
解：根據(jù)題意得 ，所以
,所以 。
在和中，
所以。所以 。
（2）過點作交于點，連接 ，試說明：
解：由（1）知， ，
所以，因為，所以 。
因為,所以， 。
所以。又因為 ，
所以。所以 。
所以 。
技巧3 用全等三角形說明線段的位置關(guān)系
6.如圖，已知，點，在線段 上。
（1）線段與 的數(shù)量關(guān)系是________________________，判斷該
關(guān)系的數(shù)學(xué)根據(jù)是________________________（用文字表達(dá)）；
解：相等（或）
全等三角形的對應(yīng)邊相等
（2）判斷與 之間的位置關(guān)系，并說明理由。
[答案] 。
理由： 因為，所以 。
因為， ，
所以，所以 。
技巧4 用全等三角形說明角的數(shù)量關(guān)系
7. 【一題多解】在 中，
，點是直線上一點，連接 ，以
為邊向右作，使得 ，
，連接 。
（1）如圖，當(dāng)點在 邊上時，
①若 ，則_____ ；
②若 ，則_____ ；
③觀察以上結(jié)果，猜想與 的數(shù)量關(guān)系，并說明理由。
解： 。理由：如圖①。
因為，所以，即 。
在和中，
所以 ，
所以 ，所以
，即
。
（另解：因為 ，
所以，即 。
在和中，
所以，所以 。
因為，所以 ，
所以。因為 ，
所以，即 。）
（2）當(dāng)點在的延長線上時，請判斷與 的數(shù)量關(guān)系，并
說明理由。
[答案] 。理由：如圖②，
因為 ，
所以，即 。
在和 中，
所以，所以 。
因為 ， ，所以
。(共42張PPT)
期未提分練案
復(fù)習(xí)4 三角形及其相關(guān)概念
考點梳理
大于
小于
達(dá)標(biāo)訓(xùn)練
45分鐘 100分
一、選擇題（每題5分，共30分）
1.[2024白城模擬] 如圖，的邊 上的高是( )
D
（第1題）
A. B. C. D.
2.下列長度的三條線段，能組成三角形的是( )
C
A.1，3，4 B.2，2，7 C.4，5，7 D.3，3，6
3.關(guān)于三角形的分類，有如圖所示的甲、乙兩種分法，則( )
D
（第3題）
A.甲、乙兩種分法均正確
B.甲、乙兩種分法均錯誤
C.甲的分法錯誤，乙的分法正確
D.甲的分法正確，乙的分法錯誤
（第4題）
4.[2024蘭州] 如圖，在中， ，
，，則 ( )
B
A. B. C. D.
（第5題）
5.如圖，在中，，分別是， 的中點，
若，則 的面積為( )
B
A.2 B.1 C. D.
6.如圖，將三角形紙片沿著 折疊壓平，則( )
B
（第6題）
A. B.
C. D.
二、填空題（每題6分，共18分）
7.如圖，以 為邊的三角形共有___個。
3
（第7題）
8.已知一個等腰三角形的周長為29，一邊長為7，則此等腰三角形的腰
長為____。
11
9. 若三角形滿足一個內(nèi)角 是另一個內(nèi)角 的3倍，則
稱這個三角形為“智慧三角形”，其中 稱為“智慧角”.在有一個內(nèi)角為
的“智慧三角形”中，“智慧角”是___________。
或
三、解答題（共52分）
10.（10分）如圖，已知是的角平分線，
是的高， ， ，求
的度數(shù)。
解：因為是的角平分線， ，
所以 。
因為是的高，所以 ，
又因為 ，所以 。所以
。
11.（12分）如圖，在中， ， 是
的平分線，點，，在同一條直線上， ，
交于點， ，求 的度數(shù)。
解：因為， ，所以 。
因為是 的平分線，
所以 。
因為 ，所以 。
12.（12分）“佳園工藝店”打算制作一批兩邊長分別是7分米，3分米，
第三邊長為奇數(shù)（單位：分米）的不同規(guī)格的三角形木框。
（1）滿足上述條件的三角形木框共有___種。
3
（2）若每種規(guī)格的三角形木框只制作一個，制作這種木框的木條的售
價為8元/分米，問至少需要多少錢購買材料？（忽略接頭）
解： （分米），
（元）。答：至少需要408元購買材料。
13.（18分） 在中，， 平分
。
（1）如圖①，過點作交的延長線于點，則 與
， 有何數(shù)量關(guān)系？請說明理由。
解： 。理由：因為
，平分 ，
所以 。
因為，所以 ，
所以 。
（2）如圖②，過點作于點，則與， 有怎
樣的數(shù)量關(guān)系？寫出你的結(jié)論（不需要說明理由）。
解： 。
（3）如圖③，過點作于點，則與， 有
怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出你的結(jié)論（不需要說明理由）。
解： 。
專項 三角形的高、角平分線、中線應(yīng)用的十種常見題型
榮老師告訴你
三角形的高、中線和角平分線是三角形中三種重要的線段，它們提供了
重要的線段或角的關(guān)系，對我們以后深入研究三角形的一些特征有很大
幫助，因此，我們需要從不同的角度認(rèn)識這三種線段。
題型1 三角形的高在求線段長中的應(yīng)用
1.如圖，在中，，，高，試作出 邊上的
高，并求 的長。
解：如圖，邊上的高 即為所作。
因為，，， ，
所以 ，
所以 。
題型2 三角形的高在求角度中的應(yīng)用
2.如圖，是的高， ，
.求 的度數(shù)。
解：設(shè)，則 ，
因為是的高，所以 ，
所以 ，即 ，
解得 ，
所以 。因為 ，
所以 。
題型3 三角形的高在說明相關(guān)線段和的問題中的應(yīng)用
3.如圖，在中，，是 的
高，為邊上一點，， ，垂足
分別為， 。
試說明： 。
解：如圖，連接 。
因為 ,
所以 。
又因為，所以
題型4 三角形的中線在求面積中的應(yīng)用
4.[2024廣州期中] 如圖所示，在中，已知點 ，
，分別為邊，，的中點，且 。
（1）求 的面積；
解：因為點為的中點， ，
所以 。
（2）求 的面積。
解：因為點為 的中點，
所以， ，
所以 。
因為點為的中點，所以 。
題型5 三角形的中線在求線段長中的應(yīng)用
5.如圖，的周長是，，中線分 為兩個三
角形，且的周長比的周長大，求， 的長。
解：因為是的中線，所以 。
因為的周長比的周長大 ,
所以 。所以
。①
因為的周長是, ,
所以 。②
將①代入②，可得,所以 。
題型6 三角形的中線與高在說明線段相等中的應(yīng)用
6.如圖，在中，，分別為，的中點，且 ,
于點 。
（1） ____；
20
（2）若，求 的長；
解：因為，分別為， 的中點，所以
。又因為 ，
，所以，所以 。
（3）若交的延長線于點，試說明： 。
解：因為為的中點，所以 。
因為， ，
所以。所以 。
題型7 三角形的中線與高在求線段和差中的應(yīng)用
7.[2024滄州期中] 如圖，在中，是中線，
是高，且，， 。
（1）____， ____；
84
14
（2）求和 的周長差。
解：因為是的中線，所以 。
因為的周長為 ，
的周長為 ，
所以和的周長差為 。
題型8 三角形的角平分線在求角度中的應(yīng)用
8.（1）如圖,在中，，，是邊 上的三點，且
，以 為角平分線的三角形有________________；
，
（2）如圖,若已知平分，且 ，計算 的
度數(shù)，并說明是 的角平分線。
解：因為平分，所以 。
因為 ，
所以 。
所以 ，即 。
又因為 ，所以 。所以 。
所以是 的角平分線。
題型9 三角形的角平分線與高在求角度中的應(yīng)用
9. 如圖,在中， 于點
，平分， ， 。
（1）求 的度數(shù)；
解：因為 ，
所以 。
因為平分，所以 。
（2）求 的度數(shù)；
解：因為，所以 。
所以 。
所以 。
由（1）可知 ，
所以 。
（3）探究：小明認(rèn)為，如果條件 ， 改成
，也能得出 的度數(shù)，你認(rèn)為能嗎？若能，請你寫
出求解過程；若不能，請說明理由。
解：能。
因為 ，
所以。因為平分 ，
所以 。因
為，所以 。
所以 。所以 。
所以 。
因為 ，所以 。
題型10 三角形的中線、角平分線、高的綜合應(yīng)用
10.如圖，在中，，分別為的中線和高， 為
的角平分線。
（1）若 ， ，求 的度數(shù)；
解：因為 ，所以 ，所以
。
因為平分，所以 。
因為為的高，所以 ，
所以 。
（2）若的面積為40，，求 的長。
解：因為為的中線，，所以 ，因為
，所以 。

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