資源簡介

(共20張PPT)
課時2 反比例函數在其他學科中的應用
26.2 實際問題與反比例函數
掌握反比例函數在物理學中等學科特定情境下的數學模型構建方法，能根據實際問題中的條件確定反比例函數的自變量取值范圍.
經歷運用反比例函數解決其他學科問題的過程，引導學生學會如何將實際問題轉化為數學問題，建立反比例函數模型，然后求解并對結果進行驗證和解釋，從而提升學生運用數學知識解決跨學科綜合問題的能力，以及分析問題、解決問題的系統性思維方法.
讓學生體會到數學與其他學科之間的緊密聯系，認識到數學作為工具學科在其他學科領域的廣泛應用價值，從而激發學生對數學學習的興趣和內在動力，培養學生熱愛數學、主動探索數學知識的情感.
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【重點】學會運用反比例函數的性質解決其他學科相關問題.
【難點】培養學生從具體情境中歸納抽象數學模型的能力，提高學生數學思維的邏輯性和嚴謹性.
生活中的問題：
園林修剪樹枝使用的剪刀，手柄為什么會很長？
腳踩充滿氣體的氣球會爆，為什么？
這些例子既是生活中的問題，也包含了很多物理知識，也是我們這節課需要用數學知識來思考的問題.
為什么收音機的音量、臺燈的亮度和電風扇的轉速可以調節？
公元前 3 世紀， 阿基米德說了這樣一句名言：“給我一個支點，我可以撬動地球！”這里蘊含什么樣的原理呢？
阻力 × 阻力臂 = 動力 × 動力臂
阻力
動力
支點
動力臂
阻力臂
1200N
0.5m
阻力 × 阻力臂 = 動力 × 動力臂
例1 用撬棍撬動一塊大石頭，已知阻力和阻力臂分別為 1200N 和 0.5m.
(1) 動力 F 與動力臂 l 有怎樣的函數關系？當動力臂為 1.5m 時，撬動石頭至少需要多大的力？
對于函數 ，當 l = 1.5m 時，F = 400 N，此時杠桿平衡. 因此撬動石頭至少需要 400N 的力.
解：根據“杠桿原理”阻力 × 阻力臂 = 動力 × 動力臂，得 Fl = 1200×0.5，
∴ F 關于 l 的函數解析式為
當 l = 1.5m 時，
(2) 若想使動力 F 不超過題 (1) 中所用力的一半，則動力臂l至少要加長多少
解：當 F = 400× = 200 時，由 200 = 得
3 - 1.5 = 1.5 (m).
對于函數 ，當 l ＞0 時，l 越大，F 越小. 因此，若想用力不超過 400N 的一半，則動力臂至少要加長 1.5 m.
分析：對于函數 ，F 隨 l 的增大而減小. 因此，只要求出 F = 200 N
時對應的 l 的值，就能確定動力臂 l 至少應加長的量.
1.假定地球重量的近似值為 6×1025 牛頓 (即阻力)，阿基米德有 500 牛頓的力量，阻力臂為 2000 千米，請你幫助阿基米德設計，該用多長動力臂的杠桿才能把地球撬動？
由已知得F×l＝6×1025×2×106 =1.2×1032 ，
當 F =500時，l =2.4×1029 米，
解： 2000 千米 = 2×106 米，
變形得：.
故用2.4×1029 米動力臂的杠桿才能把地球撬動.
基礎練習
例2 一個用電器的電阻是可調節的，其范圍為 110 ~ 220Ω. 已知電壓為 220V，這個用電器的電路圖如圖所示.
(1) 功率 P 與電阻 R 有怎樣的函數關系
解：根據電學知識，當 U = 220 時，得
注意：用電器的輸出功率 P(瓦)、兩端的電壓 U(伏) 及用電器的電阻 R(歐姆) 有如下關系：PR = U２．這個關系也可寫為 P =______，或 R =_____
U
~
(2) 這個用電器功率的范圍是多少
因此用電器功率的范圍為 220 ~ 440W.
解：根據反比例函數的性質可知，電阻R越大，功率P越小.
把電阻的最小值 R = 110 代入求得的解析式，
得到功率的最大值
把電阻的最大值 R = 220 代入求得的解析式，得到功率的最小值
即確定電功率P的最大值和最小值
2. 在公式 中，當電壓 U 一定時，電流 I 與電阻 R 之間的函數關系可用圖象大致表示為 ( )
B
A.
D.
C.
B.
I
R
I
R
I
R
I
R
基礎練習
1.知識小結：
“杠桿定律”：動力×動力臂=阻力×阻力臂；PR＝U ，P指用電器的輸出功率(瓦)，
U指用電器兩端的電壓(伏)，R指用電器的電阻(歐姆)．
2. 思想方法小結──建模—反比例函數的數學思想方法．
要點歸納
注意
常見背景和公式
實際問題中的
反比例函數
自變量的取值范圍：生活中，x,y的取值都為正數，即函數圖像位于第一象限；
反比例函數圖象可解決“至少”“最多”等問題
1. 受條件限制，無法得知撬石頭時的阻力，小剛選擇了動力臂為1米的撬棍，用了650牛頓的力剛好撬動；小明身體瘦小，只有 260牛頓的力量，他該選擇動力臂為 的撬棍才能撬動這塊大石頭呢.
2.5米
2.已知壓力 壓強 與受力面積 之間有如下關系式：
當為定值時，圖中大致表示壓強與受力面積之間函數關系的是( )
A
A.&1& B.& C.&3& D.&4&
提升能力
3.某氣球內充滿了一定量的氣體，當溫度不變時，氣球內氣體的壓強P（kPa）是氣體體積V(m )的反比例函數，其圖象如圖所示.
（1）求這一函數的表達式.
解：設P與V的關系式為P= ，
則k=0.8×120，
解得k=96，
∴函數關系式為P=
提升能力
(2)當氣體壓強為48KPa時，求V的值.
解：將P=48代入P= 中，
得48= ，
解得V=2，
∴當氣球內的氣壓為48KPa時，氣體的體積為2立方米.
(3)當氣球內的體積小于0.6m 時，氣球將爆炸，為了安全起見，氣球的壓強不大于多少？
解：當V=0.6m 時，氣球爆炸，
∴V=0.6，即 .
解得P=160KPa.
故為了安全起見，氣體的壓強不大于160KPa.
4.已知蓄電池的電壓為定值，使用蓄電池時，電流I（單位：A）與電阻R（單位：Ω）是反比例函數關系，它的圖象如圖所示．
(1)請寫出這個反比例函數解析式.
解：設I與R的關系式為 ，
因為該圖像過點（9,4），
則k=4×9，
解得k=36，
所以函數關系式為 .
提升能力
(2)如果以此蓄電池為電源的用電器的限制電流不能超過10A，那么用電器可變電阻應控制在什么范圍？
解：因為 ，且用電器的限制電流不能超過10A
所以I ≤ 10，所以
所以 ，所以用電器可變電阻應該大于 .

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