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二次函數與一元二次方程
復習回顧
1.關于 的一元一次方程 的解為 ，則 當 = 時，一次函數 的函數值為0.
1
復習回顧
2.一次函數 的圖象如圖所示，則關于 的一元一次方程 的解為 .
x=2
復習回顧
探索新知
問題：如圖，以40m/s的速度將小球沿與地面成30°角的方向擊出時，小球的飛行路線將是一條拋物線．如果不考慮空氣阻力，小球的飛行高度h(單位：m)與飛行時間t(單位：s)之間具有函數關系h=20t-5t2.
考慮以下問題：
（1）球的飛行高度能否達到15m？如果能，需要多少飛行時間？
O
h
t
h=20t-5t2
解：令h=15，則
15=20t-5t2.
解得t1=1，t2=3.
當球飛行1s或3s時，它的高度為15m.
你能結合圖指出為什么在兩個時間小球的高度為15m嗎？
15
1
3
（2）球的飛行高度能否達到20m？如果能，需要多少飛行時間？
O
h
t
h=20t-5t2
解：令h=20，則
20=20t-5t2.
解得t1=t2=2.
當球飛行2s時，它的高度為20m.
你能結合圖指出為什么只在一個時間小球的高度為20m嗎？
20
2
（3）球的飛行高度能否達到20.5m？如果能，需要多少飛行時間？
O
h
t
h=20t-5t2
解：令h=20.5，則
20.5=20t-5t2.
即t2-4t+4.1=0.
∵Δ=(-4)2-4×4<0，∴次方程無實數根.
即小球的飛行高度不能達到20.5m.
你能結合圖形指出為什么球不能達到20.5m的高度？
20.5
O
h
t
h=20t-5t2
解：令h=0，則
0=20t-5t2.
解得t1=0，t2=4.
當球飛行0s和4s時，它的高度為0m.
即0s時球地面飛出，4s時球落回地面.
（4）小球從飛出到落地要用多少時間？
y=ax2+bx+c
一元二次方程
y取定值
且a≠0
已知二次函數中因變量的值，求自變量的值
求相應的一元二次方程的根
例：已知二次函數y=-x2+4x的值為3，求自變量x的值，可以解一元二次方程-x2+4x=3（即x2-4x+3=0）．
反過來，解方程x2-4x+3=0又可以看作已知二次函數y=x2-4x+3的值為0，求自變量x的值．
二次函數與一元二次方程的關系：
思考：下列二次函數的圖象與x軸有公共點嗎？如果有，公共點的橫坐標是多少？當x取公共點的橫坐標時，函數值是多少？ 由此 ， 你能得出相應的一元二次方程的根嗎？
（1）y=x2+x-2；（2）y=x2-6x+9；（3）y=x2-x+1.
（1）y=x2+x-2； （2）y=x2-6x+9； （3）y=x2-x+1.
無公共點
公共點的函數值為 .
0
0=x2-x+1.
0=x2+x-2
0=x2-6x+9
x1=-2，x2=1.
二次函數圖象與x軸的公共點的橫坐標是多少？
x1=x2=3.
對應一元二次方程的根是多少？
有兩個不等的實根
有兩個相等的實根
方程無實數根
先畫出函數圖象：
二次函數y=ax2+bx+c的圖象與x軸交點 一元二次方程ax2+bx+c=0的根 b2-4ac
有兩個交點
有兩個不相等的實數根
b2-4ac>0
有一個交點
有兩個相等的實數根
b2-4ac=0
沒有交點
沒有實數根
b2-4ac<0
二次函數y=ax2+bx+c的圖象與x軸交點的坐標與一元二次方程ax2+bx+c=0根的關系
由上述問題，你可以得到什么結論呢？
練一練
二次函數與x軸的交點問題
（1）二次函數y=x2-2x+1的圖象與x軸的交點個數是 個
（2）二次函數y=4x2-3x+4的圖象與x軸的交點個數是 個
1
0
練一練
二次函數與x軸的交點問題
（3）已知二次函數y=-2x2-4x+6的圖象經過點(1,0)和(-3,0)兩個點,則方程-2x2-4x+6=0的解為 .
（4）若函數y=mx2-(m-3)x-4的圖象與x軸只有一個交點,則m的值為 .
x1=1, x2=-3
-1, -9
課堂小結
解一元一次方程ax2+bx+c=0(a≠0)
確定二次函數y=ax2+bx+c=0(a≠0)
的圖象與x軸公共點的橫坐標
數
形

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