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高數人教A版(2019)選擇必修第二冊 5.3.1 函數的單調性 (第1課時)課件(27頁ppt)

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  1. 二一教育資源

高數人教A版(2019)選擇必修第二冊 5.3.1 函數的單調性 (第1課時)課件(27頁ppt)

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(共27張PPT)
選擇必修
第五章 一元函數的導數及其應用
5.3 導數的在研究函數中的應用
5.3.1 函數的單調性(第1課時)
教學目標
學習目標 數學素養
1.理解導數與函數的單調性的關系. 1.數學抽象素養.
2.掌握利用導數判斷函數單調性的方法. 2.數學運算素養.
3.對于多項式函數,能求不超過三次的多項式函數的單調區間. 3.邏輯推理素養.
溫故知新
1.基本初等函數的導數公式
①若f (x)=c(c為常數),
則f '(x)=0;
②若f (x)=(α∈Q,且α≠0),
則f '(x)=;
③若f (x)=,
則f '(x)=;
④若f (x)=,
則f '(x)=;
⑤若f (x)=(a>0,且a≠1),
則f '(x)=;
特別地,若f (x)=,
則f '(x)=;
⑥若f (x)=(a>0,且a≠1),
則f '(x)=;
特別地,若f (x)=,
則f '(x)=.
溫故知新
2.導數的四則運算法則:
導數的運算法則1
[f(x)±g(x)]′=f'(x)±g'(x).
導數的運算法則2
[f(x) g(x)]′=f′(x) g(x)+f (x) g′(x);
(g(x)≠0).
導數的運算法則3
[cf(x)]′=cf′(x) .
.
溫故知新
3.復合函數的導數法則
一般地,對于由y=f(u)和u=g(x)復合而成的函數 y=f(g(x)),它的導數與函數y=f(u),u=g(x)的導數間的關系為
y′x=y′u·u′x.
寫成:
即y對x的導數等于y對u的導數與u對x的導數的乘積,簡單的理解就是復合函數的導數等于內外函數的導數之積.
溫故知新
4.函數的單調性
一般地,設函數 f(x)的定義域為I,區間D I:
⑴如果x1,x2∈D,當x1<x2時,都有f(x1)<f(x2),那么就稱函數 f(x)在區間D上單調遞增;
⑵如果x1,x2∈D,當x1<x2時,都有f(x1)>f(x2),那么就稱函數 f(x)在區間D上單調遞減.
x
y
o
m
n
f(x1)
x1
x2
f(x2)
f(x1)
x1
x2
f(x2)
O
x
y
m
n
新知探究
在必修第一冊中,我們通過圖象直觀,利用不等式、方程等,研究了函數的單調性、周期性、奇偶性以及最大(小)值等性質.在本章前兩節中,我們學習了導數的概念和運算,知道導數是關于瞬時變化率的數學表達,它定量地刻畫了函數的局部變化.能否利用導數更精確地研究函數的性質?本節我們就來討論這個問題.
我們先來研究前面學習過的跳水問題.
新知探究
圖⑴是某高臺跳水運動員的重心相對于水面的高度h隨時間t變化的函數h(t)=-4.9t2+2.8t+11的圖象,圖⑵是跳水運動員的速度v 隨時間t變化的函數v(t)=h′(t)=-9.8t+2.8的圖象.a= ,b是函數h(t)的零點.
運動員從起跳到最高點,以及最高點到入水這兩段時間的運動狀態有什么區別?如何從數學上刻畫這種區別?
t
h
a
O
b
(1)
t
h′(t)
a
O
b
(2)
新知探究
⑴從起點到最高點,運動員的重心處于上升狀態,離水面的高度h隨時間t的增加而增加,即h(t)單調遞增,v(t)=h′(t)>0;
觀察圖象可以發現:
⑵從最高點到入水,運動員的重心處于下降狀態,離水面的高度h隨時間t的增加而減小,即h(t)單調遞增,v(t)=h′(t)<0.
t
h
a
O
b
(1)
t
h′(t)
a
O
b
(2)
我們看到,函數h(t)的單調性與h′(t)的正負有內在聯系.那么,我們能否由h'(t)的正負來判斷函數h(t)的單調性呢?
在區間(0,a)上, h′(t)>0
在區間(0,a)上, h(t)單調遞增
在區間(a,b)上, h(t)單調遞減
在區間(a,b)上, h′(t)<0
在區間(0,a)上, h′(t)>0 在區間(0,a)上, h(t)單調遞增;
在區間(a,b)上, h′(t)<0 在區間(a,b)上, h(t)單調遞減.
這種情況是否具有一般性呢?
新知探究
觀察下面一些函數圖象(如圖),探討函數的單調性與導數的正負的關系.
x
y
O

x
y
O

x
y
O

x
y
O

知新探究
函數
函數圖象
單調區間
導函數
導數符號
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
y′=1
y′=3x2
在R上單調遞增
在(-∞, +∞)上,
y′ >0
在(-∞, 0)上, f (x)單調遞減
在(0, +∞)上, f (x)單調遞增
在(-∞, 0)上, f ′ (x)<0
在(0, +∞)上,f ′ (x)>0
在(-∞, 0)上, f (x)單調遞減
在(0, +∞)上, f (x)單調遞增
在(-∞, 0)上, f ′ (x)>0
在(0, +∞)上,f ′ (x)>0
在(-∞, 0)上, f (x)單調遞減
在(0, +∞)上, f (x)單調遞減
在(-∞, 0)上, f ′ (x)<0
在(0, +∞)上,f ′ (x)<0
知新探究
如圖,導數f ′(x0)函數y=f (x)的圖象在點(x0, f(x0))處切線的斜率.可以發現:
在x=x0處f ′(x0)>0
x
y
O
(x0, f(x0))
(x1, f(x1))
切線“左上右下”下降
函數y=f (x)的圖象上升,在x=x0附近單調遞增
在區間上, f ′(x)>0
在區間上,f (x) 單調遞增
在x=x0處f ′(x0)<0
函數y=f (x)的圖象下降,在x=x1附近單調遞減
切線“左上右下”下降
在區間上, f ′(x)<0
在區間上,f (x) 單調遞減
知新探究
函數的單調性與導數的關系
一般地,函數f(x)的單調性與導函數f'(x)的正負之間具有如下的關系:
在某個區間(a, b)上, 如果f′(x)>0, 那么函數y=f(x)在區間(a, b)上單調遞增;
在某個區間(a, b)上, 如果f'(x)<0, 那么函數y=f(x)在區間(a, b)上單調遞減.
如果在某個區間上恒有f′(x)=0,那么函數f(x)有什么特性
函數y=f(x)在這個區間上是常數函數.
知新探究
探究1 對于函數y=f(x),f′(x)≥0是f(x)為增函數的充要條件嗎?
在區間(a,b)上f′(x)>0(f′(x)<0)是函數f(x)在此區間上為增(減)函數的充分條件,而不是必要條件.如果出現個別點使f′(x)=0,不會影響函數f(x)在包含該點的某個區間上的單調性.例如函數f(x)=x3在定義域(-∞,+∞)上是增函數,但由f′(x)=3x2知,f′(0)=0,即并不是在定義域內的任意一點處都滿足f′(x)>0.
可導函數f(x)在區間(a,b)上是增(減)函數的充要條件是:對任意的x∈(a,b),都有f′(x)≥0(f′(x)≤0),且f′(x)在(a,b)的任何子區間內都不恒等于零.
問題2 在區間(a,b)上f′(x)>0(f′(x)<0)是函數f(x)在區間(a,b)上為增(減)函數的充要條件嗎?
不是,因為這里的“≥”有兩層含義,大于或等于,對于這個復合命題而言,只要大于或等于這兩個條件有一個成立,它就是真命題,如果f′(x)≥0成立的條件是f′(x)=0,那么該函數無單調遞增區間,不是增函數.
知新探究
【例1】利用導數判斷下列函數的單調性:
⑴f (x)=x3+3x; ⑵f (x)=sin x-x,x∈(0,π) ;
⑶f (x).
解:
⑴∵f (x)=x3+3x,
⑵∵f (x)=sin x-x,x∈(0,π),
∴f ′(x)=3x2+3=3(x2+1)>0.
∴函數f (x)=x3+3x在R上單調遞增,如圖(1)所示.
∴f ′(x)=0.
∴f ′(x)=cos x-1<0.
∴函數f (x)=sin x-x在(0,π)內單調遞減,如(2)所示.
⑶∵f (x)=1-,x∈(-∞,0)∪(0,+∞),
∴函數f (x)=在區間(-∞,0)和(0,+∞)上單調遞增,如圖(3)所示.
知新探究
注意:
⑴確定函數y=f(x)的定義域;
⑵求導數y′=f′(x);
⑶解不等式f′(x)>0,函數在解集與定義域的交集上為增函數;解不等式f′(x)<0,函數在解集與定義域的交集上為減函數.
求函數y=f(x)的單調區間的步驟
①如果一個函數具有相同單調性的區間不止一個,那么這些區間中間不能用“∪”連接,可用“,”隔開或用“和”連接;
②在對函數劃分單調區間時,除了注意使導數等于零的點,還要注意在定義域內的間斷點;
③區間的端點可以屬于單調區間,也可以不屬于單調區間,對結論沒有影響;
④有時候為了簡便而省去列表這一步驟,而是直接解不等式f′(x)>0得到單調遞增區間,解不等式f′(x)<0得到單調遞減區間.
初試身手
⑴∵f (x)=x3-x2+2x-5,
1.求下列函數的導數:
⑴f (x)=x3-x2+2x-5; ⑵f (x)=x--ln x;
⑶f(x)=.
解:
⑵∵f (x)=x--ln x,x∈(0,+∞),
∴f ′(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1>0,
∴函數f (x)=x3-x2+2x-5在R上單調遞增.
∴f ′(x)==>0,
∴f (x)=x--ln x在(0,+∞)上單調遞增.
初試身手
⑶∵f (x)=的定義域為(-∞,2)∪(2,+∞),
1.求下列函數的導數:
⑴f (x)=x3-x2+2x-5; ⑵f (x)=x--ln x;
⑶f(x)=.
解:
∵x∈(-∞,2)∪(2,+∞)時,,
而f ′(x)=,
令f ′(x)>0,得x>3,
∴f (x)=在(3,+∞)上單調遞增.
令f ′(x)<0,得x<3,且x≠2,
∴f (x)=在(-∞,2)和(2,3)上單調遞減.
知新探究
【例2】已知導函數f′(x)的下列信息:
當1 0;
當x<1,或x >4時,f′(x) < 0;
當x = 1,或x = 4時,f′(x) = 0.
試畫出函數f (x)圖象的大致形狀.
解:
當1 0,可知f (x)在區間(1,4)內單調遞增;
當x<1,或x >4時,f′(x) < 0,可知f (x)在區間(-∞,1)和(4,+∞)內單調遞減;
當x = 1,或x = 4時,f′(x) = 0,這兩點比較特殊,我們稱它們為“穩定點”.
綜上,函數f (x)圖象的大致形狀如圖所示.
x
y
O
1
4
初試身手
⑴當0 0,可知f (x)在區間(0,2)內單調遞增;
2.⑴已知f(x)的導函數f′(x)的圖象如圖所示,那么f(x)的圖象最有
可能是圖中的(  )
解:
當x<0,或x >2時,f′(x) < 0,可知f (x)在區間(-∞,0)和(2,+∞)內單調遞減;
當x = 0,或x = 2時,f′(x) = 0,這兩點比較特殊,我們稱它們為“穩定點”.
∴綜上,函數f (x)圖象的大致形狀如圖D所示.故選D.
初試身手
⑵∵f(x)在(-∞,-1),(1,+∞)上單調遞增,
2.⑵已知f(x)在R上是可導函數,f(x)的圖象如圖所示,則
不等式f′(x)>0的解集為(  )
A.(-2,0)∪(2,+∞) B.(-∞,-2)∪(2,+∞)
C.(-∞,-1)∪(1,+∞) D.(-2,-1)∪(1,2)
解:
∴在區間(-∞,-1)和(1,+∞)上f′(x)>0.故選C.
新知探究
在區間(a,b)內,任取A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))兩點,則函數f(x)的平均變化率,其幾何意義為直線AB的斜率.
若f(x)在區間(a,b)內單調遞增,則直線AB的斜率為正,f(x)的導數為正(f′(x) > 0);
若f(x)在區間(a,b)內單調遞減,則直線AB的斜率為負,f(x)的導數為負(f′(x) > 0).
如果一個函數在某個區間M上單調遞增或單調遞減,那么就說這個函數在區間M上具有單調性.
請同學們回顧一下函數單調性的定義,并思考在某個區間上單調的函數f(x)的平均變化率的幾何意義與f′(x)的正負的關系?
課堂小結
1.函數的單調性與導數的關系
一般地,函數f(x)的單調性與導函數f'(x)的正負之間具有如下的關系:
在某個區間(a, b)上, 如果f′(x)>0, 那么函數y=f(x)在區間(a, b)上單調遞增;
在某個區間(a, b)上, 如果f'(x)<0, 那么函數y=f(x)在區間(a, b)上單調遞減.
⑴確定函數y=f(x)的定義域;
⑵求導數y′=f′(x);
⑶解不等式f′(x)>0,函數在解集與定義域的交集上為增函數;解不等式f′(x)<0,函數在解集與定義域的交集上為減函數.
2.求函數y=f(x)的單調區間的步驟
作業布置
作業: P87 練習 第1,2,3題
P97-98 習題5.3 第1,3題
盡情享受學習數學的快樂吧!
我們下節課再見!
謝謝
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